21/11/07 22:06:06.67 BrxBUhc9.net
定義により１
3:１３２人目の素数さん
21/11/07 23:19:40.09 EsJSVVYe.net
x>=0, x = 0^0
log x = log(0^0)
log x = 0 * log 0
log x = 0
x = 1
4:１３２人目の素数さん
21/11/07 23:43:55.17 B1OJaWic.net
>>3
0 * log 0は不定形ですよ。
5:１３２人目の素数さん
21/11/08 03:40:34.13 mwhsBxRY.net
f(x)=0^x とする
x≠0 では f(x)=0 でよい？
6:１３２人目の素数さん
21/11/08 08:50:30.42 dLcZ5AqR.net
昔は存在が確認されてなく
ゼロ除算以前は0
プログラミング内では1
未来は未定
自分は0推奨派です
7:１３２人目の素数さん
21/11/08 09:00:40.99 4+jZoXkF.net
1か未定義のどちらかだが、1とした方がなにかと都合がいい
0というのは意味が分からない
8:１３２人目の素数さん
21/11/08 09:33:03.80 KVz4eiMC.net
また糞スレか
9:１３２人目の素数さん
21/11/08 11:28:56.99 DMgNGmTc.net
0の0乗の一つの定義は
空集合から空集合への写像全体の集合の濃度
10:１３２人目の素数さん
21/11/08 17:38:33.75 NVFWu5ov.net
>>5
x=-1のとき
0^(-1)=1/(0^1)=1/0より不定形
11:１３２人目の素数さん
21/11/08 17:41:17.24 NVFWu5ov.net
>>7
0^xグラフのx→+0における極限が0だから0という意見がある
実際のところ、適当なグラフを用意すればどんな正の実数にも収束させられるので正当性はない
12:１３２人目の素数さん
21/11/08 18:13:49.66 TkVkoS5+.net
０はさすがに草
13:１３２人目の素数さん
21/11/08 18:17:37.95 4z2ns0gS.net
>>4
0に何をかけても0じゃないの？
14:１３２人目の素数さん
21/11/08 18:18:12.14 TkVkoS5+.net
とりあえず１であることの解説
URLﾘﾝｸ(abel.a.la9.jp)
15:１３２人目の素数さん
21/11/08 19:28:33.59 NVFWu5ov.net
>>13
log0は発散するのでムリ
それがありなら例えば
1=0×1/0=0
みたいな計算もできてしまう
16:１３２人目の素数さん
21/11/08 19:44:27.31 4z2ns0gS.net
>>15
log0が定義されてないから巻き添えを食らうわけか
17:１３２人目の素数さん
21/11/08 19:48:17.78 4z2ns0gS.net
だったら0^0も未定義になるんじゃないのか
log x = 0 * log 0
18:１３２人目の素数さん
21/11/08 19:57:32.71 UViyIIen.net
0^0は1
単にそこで不連続ってだけ
19:１３２人目の素数さん
21/11/08 21:02:00.81 4z2ns0gS.net
0^0=1なら
log 0^0 = 0*log 0 = log 1 = 0
ってならんの？
20:１３２人目の素数さん
21/11/09 00:28:05.03 p+4/ebNG.net
i
21:１３２人目の素数さん
21/11/09 09:52:31.04 i0Yw3GZU.net
lim［x→0］x^x と
lim［x→0］log(x)^x と
lim［x→0］x^log(x) って
全部同じかな
22:１３２人目の素数さん
21/11/09 11:38:57.93 fzgI02jS.net
9と14はスルーされる運命だね
いかに正しくても
ネタにはならないから
23:１３２人目の素数さん
21/11/09 12:06:06.91 BM5VgNhF.net
いや、0は実数の0だし
24:１３２人目の素数さん
21/11/09 13:02:18.52 HTfBiTlp.net
i^iの解が複数存在するように0^0の解も複数存在するという考えではダメか
25:１３２人目の素数さん
21/11/09 17:32:38.86 UmPKS1MH.net
>>14から引用
集合論と整合性を持たせるならば、
0^0＝１と定義するしかありません。
実際、高校数学Aの教科書の２項定理の項目では、
「ただし、 a^0＝1, b^0＝1 とする。」(a＝0 や b＝0 も除外していない！)
と述べていますが、これは集合論と整合する定義となっています。
このような、論理的に考えれば自明な事実「0^0=1」にもかかわらず
(*) 「0^0 は定義できないまたは定義により異なる値になる」
という誤った認識をしている数学者が多いので同業者として恥ずかしい。
一番多い屁理屈は、
「0^0 のタイプの極限値は不定形だから」
という理由を述べて、自滅する解析学の専門家(紛い)が大変に多い。
x→a のとき、f(x)→b という場合、
f(a) と b は無関係であるのは極限値の常識と思いますが、
先に 0^0 の値は決まっているということを知らないので、
「正の実数の有理数乗を連続関数となるように拡張」(高校数学で)
したのと同様に 0^0 の値も連続になるように決めるつもりなのでしょう。
残念ながら、上記の理由は単に
「0 まで連続に拡張はできない」ことの理由に過ぎないのです。
他に見られる屁理屈としては
「0^0 の値が決まれば、・・・・、0 の逆数が存在することになる：矛盾」
という論法が見受けられますが、
「帰納的定義の誤用」(自滅)
にすぎません。
26:１３２人目の素数さん
21/11/09 17:38:36.36 BM5VgNhF.net
だからその0は整数の0で実数の0じゃないっしょ
27:１３２人目の素数さん
21/11/09 20:12:20.01 aNhAKFe1.net
スルーされたからって何回も言わなくていいよ
28:１３２人目の素数さん
21/11/09 21:56:38.67 7HQ99MQj.net
>>26
整数の0と実数の0はどっちが大きい？
それとも比較不可能？
29:１３２人目の素数さん
21/11/09 22:08:11.22 BM5VgNhF.net
>>28
0が整数か実数かで答えが変わるんだと思う
30:１３２人目の素数さん
21/11/09 22:15:00.40 BM5VgNhF.net
可算無限と不可算無限があるように
可算ゼロと不可算ゼロがあるんじゃないかな
31:１３２人目の素数さん
21/11/09 22:18:10.56 BM5VgNhF.net
おっと
不可算じゃなくて非可算か
32:１３２人目の素数さん
21/11/10 13:59:07.32 7behBvEm.net
ノイマン流に自然数作って直積と商で整数・有理数に拡張してデデキント切断で実数にするという過程で自然数の0,1は整数・有理数・実数の0,1としてちゃんと埋め込まれてるから0,1が自然数か整数・有理数・整数かは関係ないと思う
33:１３２人目の素数さん
21/11/10 16:48:48.38 7behBvEm.net
結局べき乗をどう定義するか？の問題だよね
34:１３２人目の素数さん
21/11/11 08:54:42.12 edr/KrQ2.net
そもそも0と1をどう定義するか
35:BLACKX
21/11/11 09:28:02.05 HqUaZU/c.net
0だと思う人は2^0はどう考えるんだか
36:１３２人目の素数さん
21/11/11 09:41:26.15 1Dz64K/E.net
問題を理解してないやついるよな
37:１３２人目の素数さん
21/11/11 10:01:55.48 woOMHfZz.net
そもそも演算の順序が
38:１３２人目の素数さん
21/11/11 11:37:51.29 hUyA2QDk.net
そもそも^をべき乗の記号にする習慣はどこから来てるの？
39:１３２人目の素数さん
21/11/11 12:00:59.46 rJHbT7FJ.net
LaTeXやプログラミング言語BASICなど
40:１３２人目の素数さん
21/11/11 12:14:41.10 hUyA2QDk.net
それらの言語はなぜ^を選んだのかが知りたいのですが
41:１３２人目の素数さん
21/11/11 12:31:28.33 rJHbT7FJ.net
BASIC(Wikipedia)
>1964年、米国ダートマス大学にて、数学者ジョン・ケメニー（1926年-1992年）と
>トーマス・カーツ（1928年 - ）により、教育用などを目的としてダートマスBASICが開発された。
なんか数学者が最初に作ったっぽいな
そもそもキーボードで入力できる記号は限られてるんだから、べき乗演算子を実装しようという発想が
まず数学者らしいというか
42:１３２人目の素数さん
21/11/11 13:44:08.27 1Dz64K/E.net
0⁰じゃ入力できないんだよね
43:１３２人目の素数さん
21/11/11 16:45:21.40 WKyArt8w.net
0を0回かけると0に決まってる
1を0回かけてもモピロン0だ。
1を1回かければモチロン1だけど、
何にもかけないのだから
1を0回かけてもモピロン0に定義しなさい
つまりxがどんな数でも
xのゼロ乗は、モピロン、ゼロと定義しよう
44:１３２人目の素数さん
21/11/11 17:31:25.84 rJHbT7FJ.net
nを0を除く実数、mを整数とすると
n^(m+1) = n^m * n
m=0とおくと
n^1 = n^0 * n
よってn^0 = 1
45:１３２人目の素数さん
21/11/11 17:51:34.04 2bRl2cWN.net
>>44
n=0のときは
>n^1 = n^0 * n
をn^0について解けないよね
もっというとn=0のときn^0は任意の値としてもn^1=n^0*nは成立する
46:１３２人目の素数さん
21/11/11 18:23:28.39 rJHbT7FJ.net
>>45
何でもいいから敢えて定義するわけか
47:１３２人目の素数さん
21/11/11 19:34:58.82 2bRl2cWN.net
定義しても良いし定義しなくても良い
定義しない場合は^:N*N\{(0,0)}->Nと考えれば良い
48:１３２人目の素数さん
21/11/11 19:36:23.65 8XjtTgeP.net
a^a
a^(a^a)
a^(a^(a^a))
a^(a^(a^(a^a)))
a^(a^(a^(a^(a^a))))
…
の極限を考えます
無限テトレーションというやつですね
たとえばa=1のときの極限は1,a=√2のときは2になります
これは0<a≦e^(1/e)の範囲で収束し、a>e^(1/e)で発散します
aを0に近づけたときの極限は0です(y=x^yのグラフを描くとわかる)
0^0=1と定義するならばこの数列は
1,0,1,0,1,0,1,0,…と振動するので極限が存在しません
一方0^0=0ならば
0,0,0,0,0,0,0,…
0^0=n,(n≠0,n≠1)ならば
n,0,0,0,0,0,0,…
となり、0^0が1以外の値であればきちんと収束することがわかります
無限テトレーションの0の極限について論じるというレアケースであれば0^0を1と定義すると面倒になるということですね
49:１３２人目の素数さん
21/11/11 22:23:16.97 2bRl2cWN.net
>>48
これは良い例
50:１３２人目の素数さん
21/11/12 01:05:54.89 MP0qLc6v.net
y=x^yのグラフ
51:１３２人目の素数さん
21/11/12 01:28:18.30 OQ07sov1.net
>>50
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
52:１３２人目の素数さん
21/11/12 01:45:43.90 fn8stVsI.net
>>51
これ0への収束かなり遅いな
53:１３２人目の素数さん
21/11/12 02:43:28.88 fn8stVsI.net
しかし実際に有限個でやってみると
x^xの極限は1
x^(x^x)の極限は0
x^(x^(x^x))の極限は1
x^(x^(x^(x^x)))の極限は0
なので振動するのは正しいし0^0=1と考えても問題はない
最初から無限個として考えるなら0になるのは確か
54:１３２人目の素数さん
21/11/12 10:20:30.62 fjZqHTJP.net
振動するとどんな問題があるんだろう？
55:１３２人目の素数さん
21/11/12 11:32:03.29 1m8m55Ln.net
>>48
y=x^y が x=y=0 (の極限)を期待してるのなら
1=x^y のグラフを描くのもありじゃないですか？
56:１３２人目の素数さん
21/11/12 12:29:51.44 fjZqHTJP.net
面倒とかじゃなくて明確に矛盾することを示してほしいのな
自分の美学に拘ってるような印象しかない
57:１３２人目の素数さん
21/11/12 12:57:21.50 F+WaPMAM.net
>>56
任意性あるしこう置くと矛盾というのはないでしょ
ただ各々0^0が1の場合都合が良いとか0の方が良いとか例を挙げてるだけで
少なくとも多分>>48は矛盾を指摘しようとしてるわけではない
58:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:02:29.66 fjZqHTJP.net
>>57
よーするに美学の問題じゃないか
数学は美しいんだとか叫んでそうだな
59:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:09:20.74 ZU2+dHIQ.net
結局のところ原初の定義から考えれば1と定義するのが妥当
計算上も1とすべき場面が圧倒的に多い
実際には不定形で0以上の全ての実数をとる可能性がある(負や複素数になることはたぶんない)
0と考えた方が楽な場面も超レアケースながら存在するが意図的に設定しない限りまず使うことはない
という感じでしょう
60:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:16:46.62 ZU2+dHIQ.net
>>55
それってx=1,y=0のグラフになるのでは
61:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:27:37.21 1m8m55Ln.net
恣意的に 0 に有利になるように選んでる時点で論外
62:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:34:02.29 F+WaPMAM.net
>>58
多分美学じゃなくて未定義だから任意性があるよねという点を強調してるだけだと思う
63:１３２人目の素数さん
21/11/12 14:36:16.24 F+WaPMAM.net
>>14
形式的にやってるから長ったらしいけど要は空集合⊂空集合だから包含写像があるよねって言うと手早い気がする
もっと言うと空集合=空集合だから恒等写像なわけだけど
まあHom(空集合,空集合)が空じゃないことしか言えないから単元集合までは言えないが
64:１３２人目の素数さん
21/11/12 17:27:37.54 fn8stVsI.net
>>61
だからその恣意的に0に有利にすることが可能だと言いたいのでは
65:１３２人目の素数さん
21/11/13 15:39:36.86 mtRXTHpu.net
どうせ不連続点でしょ