21/12/30 04:06:54.08 kMEvpIJt.net
>>977
どうやって解けばいいのか教えて
1017:１３２人目の素数さん
21/12/30 04:24:08.31 08dfr0+G.net
>>982
私はID:c/gvz8j4ではありませんが、>>899の本でAを代入するのが赤線の部分でなく、下の式であるのはどんな理由があるのでしょうか？>>978の定理を使わずに済むととか…。
1018:１３２人目の素数さん
21/12/30 05:51:21.07 jHsnXa/8.net
>>899
(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)
=
x^n * C_{n-1} + x^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + x * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
の最後の式に、 A と可換な行列 M を代入すると、
M^n * C_{n-1} + M^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + M * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
=
(M^n * C_{n-1} + M^{n-1} * C_{n-2} + … + M * C_0) - (M^{n-1} * A * C_{n-1} - … - M * A * C_1 - A * C_0)
=
(M^n * C_{n-1} + M^{n-1} * C_{n-2} + … + M * C_0) - (A * M^{n-1} * C_{n-1} - … - A * M * C_1 - A * C_0)
=
M * E_n * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0) - A * (M^{n-1} * C_{n-1} - … - M * C_1 - C_0)
=
(M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
となるという単純な話です。
なぜ、こんな簡単なことが分からない人ばかりなのでしょうか？
理解に苦しみます。
特に、 A は A 自身と可換ですから、
A^n * C_{n-1} + A^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + A * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
=
(A * E_n - A ) * (A^{n-1} * C_{n-1} + A^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
=
O * (A^{n-1} * C_{n-1} + A^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
=
O
が成り立ちます。
1019:１３２人目の素数さん
21/12/30 06:01:17.16 jHsnXa/8.net
>>899
(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)
=
x^n * C_{n-1} + x^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + x * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
この式の右辺に x = M を代入した式を変形すると、この式の左辺に x = M を代入した式に等しくなるのは、 A と M が可換だからです。
これが分からない人がいるというのが信じられません。
自明です。
1020:１３２人目の素数さん
21/12/30 07:33:36.05 oiq/qm1H.net
>>986
＞この式の右辺に x = M を代入した式を変形すると、この式の左辺に x = M を代入した式に等しくなるのは、 A と M が可換だからです。
君がそこで言っているのは、次のようなことである。
(1) (x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0) という式に出現する x を
M に置き換えた式 (M * E_n - A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0) を手作業で変形する。
(2) すると、MとAが可換の場合、M^n * C_{n-1} + M^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + M * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
と変形できる。これは結局、x^n * C_{n-1} + x^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + x * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
において x を M で置き換えた式になっている。
(3) 以上より、
(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)
＝ x^n * C_{n-1} + x^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + x * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
という等式に関しては、両辺の x を M で置き換えても等号は保たれる(AとMが可換という仮定のもとで)。
ここまでは実際に正しい。
1021:１３２人目の素数さん
21/12/30 07:37:22.40 oiq/qm1H.net
しかし、ケイリー・ハミルトンの定理を証明するには、さらに
Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) ＝ (M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
という等号が必要になる。問題はここなんだよ。君の理屈だけでは、この等式は証明できない。
このことを具体的に見ていこう。まず、スカラーλごとに
Σ[k＝0～n] λ^k(a_kI) ＝ (λ * E_n - A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)
が成り立つことが既に分かっている。では、λを形式的に M に置き換えても等号が成立するのか？
君の理屈に基づいて等号を示すには、上と同様に、
(1) Σ[k＝0～n] λ^k(a_kI) という式に出現する λ を M に置き換えた式 Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) を変形する。
(2) すると、MとAが可換の場合、(M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
と変形できる。これは結局、(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)
において x を M で置き換えた式になっている。
(3) 以上より、Σ[k＝0～n] λ^k(a_kI) ＝ (λ * E_n - A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)
という等式に関しては、両辺の λ を M で置き換えても等号は保たれる(AとMが可換という仮定のもとで)。
の3ステップを踏む必要がある。
1022:１３２人目の素数さん
21/12/30 07:47:22.86 oiq/qm1H.net
し・か・し、(1)から(2)に推移できないのである(ここで君の言い分は失敗に終わる)。
Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) を手作業で変形しようとしても、
まず a_k は行列ですらなく、単なるスカラーなのであり、
そしてa_kというスカラーが「a_k」のままでは、C_kという行列に全く結びつかない。
たとえば、a_1M という1次の項に関してのみ考えてみると、試しに
a_1M ＝ (a_1/2)M ＋ (a_1/2)M
などと浅い変形をしてみても、C_1, C_2, …, C_n という行列は一向に出現しない。
>>987の場合に(1)～(3)が上手く機能したのは、両辺ともに最初から C_k に関する計算しか扱ってないから。
そして、今回は事情が違う。a_k と
1023: C_k は異なる定義から排出された異なる対象なので、 Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) をそれ単独で手作業で変形しても C_k は出て来ないし、 逆に (M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0) を それ単独で手作業で変形しても a_k は出て来ない。
1024:１３２人目の素数さん
21/12/30 07:51:32.55 oiq/qm1H.net
かと言って、a_k と C_k は全くの無関係というわけではなくて、任意のスカラーλに対して
Σ[k＝0～n] λ^k(a_kI) ＝ (λ * E_n - A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)
という等号が成り立っている。……という、極めて間接的な意味において、a_k と C_k は互いに関係している。
ここから上手く情報を引き出して、Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) から
(M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0) を導出しなければならない。
具体的には、どうすればいいのか？
少なくとも、君の言い分からは導出できない。
そのことを導出するには、>>978 で書いた定理が必要。より根本的には、>>951 の補題が必要。
1025:１３２人目の素数さん
21/12/30 08:06:34.15 oiq/qm1H.net
以下では、a_k と C_k の関係を具体的に調べてみよう。まず、
Σ[k＝0～n] λ^k(a_kI) ＝ (λ * E_n - A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)
が任意のスカラーλで成立している。右辺を普通に手作業で展開してλ^kごとに整理すれば、
Σ[k＝0～n] λ^k(a_kI) ＝ λ^n * C_{n-1} + λ^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + λ * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
が任意のスカラーλで成立することになる。両辺の λ^k の係数を比較すれば(これが大事なポイント！)
a_0I ＝ - A * C_0
a_1I ＝ (C_0 - A * C_1)
a_2I ＝ (C_1 - A * C_2)
：
：
などが成り立つ。要するに、ここで初めて、a_k と C_k の具体的な関係が明らかになる。
そして、「両辺の λ^k の係数を比較する」という操作が可能なのは、>>951 の補題が理由である。
そして、いま手に入った a_0I ＝ - A * C_0, a_1I ＝ (C_0 - A * C_1), …… という等式を用いれば、
今度こそ、Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) から出発して (M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
を導出することが可能になる(AとMが可換という仮定のもとで)。
結局、>>951 の補題は必須であると言える。
そして、君の言い分には、このようなロジックが存在しているように見えない。
だからダメなんだよ。
1026:１３２人目の素数さん
21/12/30 09:41:42.62 7s+T2YDR.net
まぁアホには一生わからんよ
この辺りがアホの知能の限界
1027:１３２人目の素数さん
21/12/30 09:56:50.43 jHsnXa/8.net
＞しかし、ケイリー・ハミルトンの定理を証明するには、さらに
＞Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) ＝ (M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
＞という等号が必要になる。問題はここなんだよ。君の理屈だけでは、この等式は証明できない。
以下のように、証明できます。自明です。
det(A) * E_n
=
x^n * E_n + x^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + x * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
x^n * C_{n-1} + x^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + x * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
が成り立つから、
φ_A(A)
=
A^n * E_n + A^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + A * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
A^n * C_{n-1} + A^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + A * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
=
(A * E_n - A ) * (A^{n-1} * C_{n-1} + A^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
=
O * (A^{n-1} * C_{n-1} + A^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
=
O
が成り立ちます。
1028:１３２人目の素数さん
21/12/30 09:59:38.97 jHsnXa/8.net
訂正します：
>>988
＞しかし、ケイリー・ハミルトンの定理を証明するには、さらに
＞Σ[k＝0～n] M^k(a_kI) ＝ (M * E_n - A ) * (M^{n-1} * C_{n-1} + M^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
＞という等号が必要になる。問題はここなんだよ。君の理屈だけでは、この等式は証明できない。
以下のように、証明できます。自明です。
det(x * E_n - A) * E_n
=
x^n * E_n + x^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + x * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
x^n * C_{n-1} + x^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + x * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
が成り立つから、
φ_A(A)
=
A^n * E_n + A^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + A * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
A^n * C_{n-1} + A^{n-1} * (C_{n-2} - A * C_{n-1}) + … + A * (C_0 - A * C_1) - A * C_0
=
(A * E_n - A ) * (A^{n-1} * C_{n-1} + A^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
=
O * (A^{n-1} * C_{n-1} + A^{n-2} * C_{n-2} + … + C_0)
=
O
が成り立ちます。
1029:１３２人目の素数さん
21/12/30 10:17:38.89 jHsnXa/8.net
なぜ、このような自明なことが分からない人が多いのか理解に苦しみます。
1030:１３２人目の素数さん
21/12/30 10:26:06.77 8Rm68Ugz.net
>>995
コレも高木とかの常套句だよ
1031:１３２人目の素数さん
21/12/30 10:44:38.50 PD+c9utC.net
松阪君ってホント代数が絶望的に苦手だね
1032:１３２人目の素数さん
21/12/30 11:37:28.88 pwN5ZTjo.net
どや顔で線型代数を語る馬鹿アスぺ二号
1033:１３２人目の素数さん
21/12/30 13:43:42.62 oLKvXdsJ.net
微分方程式
e^(-x)y'=y
を解け。
1034:１３２人目の素数さん
21/12/30 13:52:41.72 MMZ3bPpc.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
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