21/10/31 18:29:25.34 OPOZLzHw.net
>>780
>>654より
"まず、集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈Nがあったら、"
>>663より
”実は>>654の証明は
松坂和夫氏の「集合・位相入門」の第3章§3の問2
の解答をほぼそのまま書いてます”
上記”集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈N”は、松坂和夫氏からでしょ？
この定義を、理解しているかい
878:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:43:17.69 +PpCGhCF.net
>>782
>”集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈N”は、松坂和夫氏からでしょ？
>この定義を、理解しているかい
貴�
879:lは口のきき方をしらないね ブッ●されるよ 「”無限長の降鎖(a_n)n∈N”は松坂和夫氏の「集合・位相入門」ではどう定義されてますか？」 って聞けないの？精神オカシイの？ 「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、 a_1>a_2>…＞a_n>… となるものをAにおける降鎖という」 これが定義 わざわざ聞くほど突飛なものではないがな？
880:１３２人目の素数さん
21/10/31 20:04:39.48 OPOZLzHw.net
>>783
理解できてないね
定義と、質問の意図が
図星じゃんか、
質問の意図
では、さらに聞く
いま、一つの列があるとする
この列が、降鎖なのか、上昇列なのか、はたまたどちらでもないのか？
どうやって判断するんだ？
そこが、分かってないんだろうね
お主は
881:１３２人目の素数さん
21/10/31 21:13:15.58 +PpCGhCF.net
>>784
>いま、一つの列があるとする
>この列が、降鎖なのか、上昇列なのか、はたまたどちらでもないのか？
言葉知らんのか？
「降鎖なのか、昇鎖なのか」か
「降下列なのか、上昇列なのか」か
どっちかだろ
ちゃんぽんに書く貴様は正真正銘の馬鹿
降鎖なら降りる方向に次の項がある a_n > a_n+1
昇鎖ならのぼる方向に次の項がある a_n < a_n+1
つまる無限昇鎖 a_0<a_1<･･･a_ω はそのまま無限降鎖とはできない
なぜなら、a_ω=b_0 として b_0>b_1 としたくても a_ω-1 なんて存在しないから
>そこが、分かってないんだろうね お主は
分かってないのはおめえだよ 💩🐒
882:１３２人目の素数さん
21/10/31 21:55:33.11 K/512aCb.net
結局のところセタは公理が矛盾しててもいいと思ってるんやろ
公理が矛盾しててもいいと思ってる奴と議論する意味ないわな
883:１３２人目の素数さん
21/10/31 22:01:24.56 OPOZLzHw.net
>>663
思い出したので戻る
(引用開始)
>>655 「ではその定理を利用してNはdccを満たすがaccを満たさないの証明を完成して下さい」
ついでに>>655の解答書くと
もし、NがDCCでないとすると、無限降下列が存在しますが その場合、
「任意のn∈Nについて、nが無限降下列の項に入ってない」
といえるので矛盾します
「」内を数学的帰納法で示します
まず、0は無限降下列に入ってません
0より小さい自然数はないからそこで止まっちゃいますからね
(引用終り)
”0より小さい自然数はないからそこで止まっちゃいますからね”が
ちょっと甘いと思った
ここ、”止まっちゃいます”から ”無限降下列にならない”を示すことは、要証明事項であって
その根拠が、>>654の「降鎖条件を満たすことと、整礎であること、
つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。
これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。」の証明だったはず
ここの記述が、ロジックがちょっと甘いと思った
だから、
「0は自然数全体の最小限であり、任意の部分集合においても、
最小限であるから極小条件を満たす。
よって、無限降下列は0を含んでは成らない」と書くべきだし
しかし、そもそも、極小条件の「降鎖条件を満たすことと、整礎であること、
つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である」を既に証明しているのだから
本来、最小値原理「自然数からなる空でない集合は最小値をもつ」>>757 を、まず証明すべきで
その後に、極小条件から、”Nはdccを満たす”というのが、一番素直な筋だと思うよ
884:１３２人目の素数さん
21/10/31 22:07:07.22 OPOZLzHw.net
>>785
そこまで分かっているなら、
おまえの珍説見直して見ろよ
珍説（再録>>731）
珍説1（>>354より）
「＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
珍説2（>>363より）
「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は
両立する
(引用終り)
＜上昇列 ０＜１＜・・・ω なんだろ？
これを、松坂和夫の上昇列の定義に当てはめて見ろよ
無限列なんだろ？
885:１３２人目の素数さん
21/10/31 22:23:03.71 +PpCGhCF.net
>>787
>”0より小さい自然数はないからそこで止まっちゃいますからね”が
>ちょっと甘いと思った
🐎🦌
>「0は自然数全体の最小元であり、
> 任意の部分集合においても、最小元であるから極小条件を満たす。
> よって、無限降下列は0を含んでは成らない」と書くべきだし
そう書いたらダメでしょ 完全な誤りだからｗ
「0は任意の部分集合においても、最小元」が誤り
いっとくけど、空集合も部分集合、とかいうつまらん理由じゃないよ
0を含まない部分集合では、0は当該集合の最小元じゃないでしょ
っていうより根本的な理由からだよ
ロジックに基づけば以下のように書くのが正しい
「0は自然数全体の最小元である。
よって、自然数の無限降下列が存在するなら、0を含まない」
>本来、最小値原理「自然数からなる空でない集合は最小値をもつ」
>を、まず証明すべきで その後に、極小条件から、
>”Nはdccを満たす”というのが、一番素直な筋
馬鹿ほどベキベキベキベキいうけど、それロジックと�
886:ﾖ係ないね dccを満たさないとして数学的帰納法により矛盾を導くのも 数学的帰納法の対偶から最小値原理を示すのも 実は同じことだから、つまらんことで騒ぐ貴様が🐎🦌
887:１３２人目の素数さん
21/10/31 22:28:24.71 +PpCGhCF.net
>>788
>＜上昇列 ０＜１＜・・・ω なんだろ？
>これを、松坂和夫の上昇列の定義に当てはめて見ろよ
>無限列なんだろ？
何ギャアギャアわめいてんだこの🐎🦌ｗ
それ、松坂和夫の降下列（＝降鎖）の定義に当てはめられるか？
当てはまらないだろ？ おまえが間違ってるんだよ この落ちこぼれ🐒ｗ
工学部とかいう「職業訓練専門学校」にしか行けなかった🐎🦌の貴様に
大学数学なんか到底無理だから綺麗さっぱり諦めろｗ
888:１３２人目の素数さん
21/10/31 23:10:44.70 OPOZLzHw.net
>>790
>>＜上昇列 ０＜１＜・・・ω なんだろ？
>>これを、松坂和夫の上昇列の定義に当てはめて見ろよ
>>無限列なんだろ？
>それ、松坂和夫の降下列（＝降鎖）の定義に当てはめられるか？
だから、降下列（＝降鎖）、上昇列の定義（松坂和夫）
>>783
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
a_1>a_2>…＞a_n>…
となるものをAにおける降鎖という」
同様に
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
a_1<a_2<…<a_n<…
となるものをAにおける上昇列という」
だな
そして、”a_1<a_2<…<a_n<…”は、あくまで2項関係”<”が成り立つ意味であって
”<”を書いたらではないよね
例えば、”a_1,a_2,…,a_n,…”と略記したとしても、
上記の2項関係”<”が成り立つ列であれば、上昇列だよね
繰り返すが、”<”を書く書かないではなく、2項関係”<”が成り立つ列であれば、上昇列だ
その上で珍説2（>>363より）
「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は
両立する
(引用終り)
これを見ると
”<”を書く書かないではなく、2項関係”<”が成り立つ列であれば、それは上昇列だったよね
あんた、自分で前段で、「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」というが
後段で、「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」という
おかしいよね。自分でそれ分からないか？ やれやれだな
889:１３２人目の素数さん
21/10/31 23:32:30.11 OPOZLzHw.net
>>789
>>「0は自然数全体の最小元であり、
>> 任意の部分集合においても、最小元であるから極小条件を満たす。
>> よって、無限降下列は0を含んでは成らない」と書くべきだし
>そう書いたらダメでしょ 完全な誤りだからｗ
>「0は任意の部分集合においても、最小元」が誤り
>いっとくけど、空集合も部分集合、とかいうつまらん理由じゃないよ
> 0を含まない部分集合では、0は当該集合の最小元じゃないでしょ
ああ、ありがと
じゃ、補正します
「0は自然数全体の最小元であり、
任意の部分集合においても、最小元であるから極小条件を満たす。
よって、無限降下列は0を含んでは成らない」と書くべきだし
↓
「0は自然数全体の最小元であり、
問題の任意の部分集合においても、もし0を含めば、0が最小元であるから極小条件を満たす。
よって、問題の無限降下列は0を含んでは成らない」と書くべきだし
”もし0を含めば”を追加しましたよ
それで良いよね
890:１３２人目の素数さん
21/11/01 01:35:45.90 xMKlm24x.net
>>777
ダウト。kingは質問スレに挙がった統計に関する質問に誤って答えて
悪びれもせず開き直った態度を続けた事で弄られる様に成った果てに
「人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。」とオカルトな事を言い始めて以来、魔羅パピヤスはkingを一層、弄り始めた｡
891:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:16:00.32 S5VLTjgn.net
横レスだが
>>791
>前段で、「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」というが
>後段で、「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」という
>おかしいよね。
別におかしくはないんじゃね？
まず、
＜上昇列 ０＜１＜・・・ω と
＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω は
異なる列ね
（注：別にωの左側にω未満の全ての順序数が現れる必要はない）
で
＜上昇列 ０＜１＜・・・ω ではωの前項は存在しないが
＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω ではωの前項が存在する
したがって
＜上昇列 ０＜１＜・・・ω はそのまま降下列とはならないが
＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω はそのまま降下列となる
それだけじゃね？わかんないか？やれやれ
892:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:24:25.92 S5VLTjgn.net
横レスだが
>>792
＞「0は自然数全体の最小元であり、
＞ 問題の任意の部分集合においても、もし0を含めば、0が最小元であるから極小条件を満たす。
＞ よって、問題の無限降下列は0を含んでは成らない」
2行目要らないね
その次にくるのは
「もしn未満の自然数を自然数全体の集合から取り除けば
nが上記の集合の最小元となる
よって、問題の無限降下列はnを含まない」
これで数学的帰納法により
「問題の無限降下列は任意の自然数を含まない」
といえる
893:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:26:57.03 S5VLTjgn.net
横レスだが
>>793
>kingは質問スレに挙がった統計に関する質問に誤って答えて
それ、いつの話？
>魔羅パピヤスはkingを一層、弄り始めた｡
その書き込み、具体的にリンクで示せる？
894:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:29:02.30 S5VLTjgn.net
それにしても今度の選挙 維新 ジャン勝ちじゃん
維新嫌いのMaraPapiyasは寝込んでるよ、きっと
関西って右寄りなのかな？
895:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:42:53.21 S5VLTjgn.net
今年はオリンピックと皇室の存在意義が問われた年だったと思うけど
自民党と資本主義の存在意義はまだ疑われてないみたいだね
896:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:47:57.
897:52 ID:S5VLTjgn.net
898:１３２人目の素数さん
21/11/01 06:48:24.87 S5VLTjgn.net
また夜来るね
899:１３２人目の素数さん
21/11/01 07:32:19.65 0PUyxUhS.net
>>794
(引用開始)
まず、
＜上昇列 ０＜１＜・・・ω と
＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω は
異なる列ね
（注：別にωの左側にω未満の全ての順序数が現れる必要はない）
それだけじゃね？わかんないか？やれやれ
(引用終り)
レスありがとね
しかし、わかんねーし、標準的な記法ではないよね
標準的な定義と記法は、松坂 >>791 とか、>>773 Axiom of regularity URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
とかじゃね？
それに、「現れる必要はない」と「現れてはいけない」とは、意味違う
>>795
(引用開始)
＞「0は自然数全体の最小元であり、
＞ 問題の任意の部分集合においても、もし0を含めば、0が最小元であるから極小条件を満たす。
＞ よって、問題の無限降下列は0を含んでは成らない」
2行目要らないね
(引用終り)
いると思うよ
1．自然数Nの空でない部分集合Aを取って、その元を降順に並べて、列を作る
但し0を含むから、下記になる
>>783 降下列（＝降鎖）の定義（松坂和夫）
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
a_1>a_2>…＞a_n>…
となるものをAにおける降鎖という」
を使って
a_1>a_2>…＞a_n>…> 0 となる
2．直感的には、a_1=n ∈N だから、
列の長さは、n+1以下だ
3．しかし、数学的にはNは無限集合だから、
nに上限がないので、有限長の主張としては、そこがちょっと弱点だ
4．よって、「a_1=n」を言わずに、最小元の存在だけで、列が有限長だと主張したい
そのために、極小条件>>654を使うのが綺麗だってこと（極小条件に有限長が示されている）
（そもそも、出題は>>655「ではその定理(極小条件)を利用してNはdccを満たすがaccを満たさないの証明を完成して下さい」だしね）
900:１３２人目の素数さん
21/11/01 11:04:44.19 vxXoa7Zf.net
>>769 補足
(引用開始)
ノイマン構成の自然数で、深さ無限の集合Ｎができるよね
そして、Ｎ＝{0,1,2,・・・}で、{}を外して元を見ると
0,1,2,・・ だけど、これって、後ろは・・で無限の彼方状態だよね
これは許されるよね
で、4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }
を使って、余計な要素を抜くと、{ { {{}}} } } とできる
同じように、ノイマン構成のＮで余計な要素を抜くと
{・・{ { {{}}} } }・・} となって、{}を外して元を見ると
・・{ { {{}}} } }・・ だけど、これって、左右は・・で無限の彼方状態だよね
これも許されるよね、上記 0,1,2,・・ と同じだから
(引用終り)
・・{ { {{}}} } }・・ と類似の存在が、ノイマン構成の自然数集合Nで現れることを
背理法で示す
１．まず、・・{ { {{}}} } }・・ は、可算無限シングルトンの元です
２．さて、ノイマン構成の自然数集合N＝{0,1,2,・・・}の元として、上記1のような元が無くて
あるｎ＝ { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n
(ここに }nは、空集合{}までの”nesting depth”>>769を示す )
で終わったとすると
{0,1,2,・・n}となり、Nは有限集合にしか ならないので、矛盾
３．よって、{ {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n ・・・
の状態の元が存在しなければ、Nは無限集合たりえない
４．では、{ {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n ・・・は、集合なのだろうか？
下記の正則性公理の説明”V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している”
を信じれば、答えはYes！ （下記で特に”超限回繰り返し”の記述にご注目）
だから、類似の存在が許されるならば、・・{ { {{}}} } }・・ もありと思うよ
存在を否定したい人は、どうぞ証明を。それをツッツク方が楽だから(>>769 )
つづく
901:１３２人目の素数さん
21/11/01 11:05:27.26 vxXoa7Zf.net
>>802
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
(引用終り)
以上
902:１３２人目の素数さん
21/11/01 11:15:22.12 GFaoa/dG.net
>>802
お前証明読めんやん？
お前に何度も何度も証明つけて説明したけど全部わからんかったんやろ？
お前に数学理解できる知能ないって
人格障害でその事認識できんみたいやけど
903:１３２人目の素数さん
21/11/01 19:27:48.17 S5VLTjgn.net
>>801
>1．自然数Nの空でない部分集合Aを取って、その元を降順に並べて、列を作る
> 但し0を含むから
> a_1>a_2>…＞a_n>…> 0 となる
もし、Aの元全部を並べるつもりなら
必ず上記のようにできるとはいえない
なぜなら、Aが無限集合なら、
そもそも最大元がないから
始まりとなるa_1が存在しな�
904:｢ おわかり？ >2．直感的には、a_1=n ∈N だから、 > 列の長さは、n+1以下だ >3．しかし、数学的にはNは無限集合だから、 > nに上限がないので、有限長の主張としては、そこがちょっと弱点だ もし、Aが無限集合で、その元全部を並べるつもりなら そもそも、始まりとなるa_1が存在しないから無意味 もし、Aが無限集合でも、全部並べることはあきらめて とにかくあるAの元から始めるというなら どの元から始めても有限長になる 列の長さに上限がないからといって、 無限長の列が存在するとはいえない おわかり？ >4．よって、「a_1=n」を言わずに、最小元の存在だけで、列が有限長だと主張したい 無理 a_1が自然数であることはNの降鎖として必要 >そのために、極小条件>>654を使うのが綺麗だってこと >（極小条件に有限長が示されている） そもそも君が考える列は、始まりがない場合降鎖ではなく、0から始まる昇鎖 （その場合、インデクスは逆順でつける）
905:１３２人目の素数さん
21/11/01 19:29:40.96 S5VLTjgn.net
>>802
>２．さて、ノイマン構成の自然数集合N＝{0,1,2,・・・}の元として、
>可算無限シングルトンの元・・{{{{}}}}}・・が無くて
>あるｎ＝ { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n
>(ここに }nは、空集合{}までの”nesting depth”を示す )
>で終わったとすると
ちょっと待った
・・{{{{}}}}}・・が無いと、nesting depthの上限がnとなる
と決めつけてるけど その証明は？ ないよね
実際にはNに・・{{{{}}}}}・・なんてないけど
>３．よって、{ {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n ・・・
> の状態の元が存在しなければ、Nは無限集合たりえない
仮定が間違ってるので、その証明は失敗
Ｎは任意の自然数ｎに関する
{ {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n
の和集合なので、存在する
その場合最後の}はもちろん存在する
906:１３２人目の素数さん
21/11/01 19:36:24.77 S5VLTjgn.net
vxXoa7Zf (=0PUyxUhS) は、何故
「無限シングルトン」…{{{}}}･･･だと駄目で
「有限シングルトン全体の無限集合」{{},{{}},{{{}}},…}ならいいのか
よ~く考えたほうがいいと思うよ
907:１３２人目の素数さん
21/11/01 21:11:04.36 xMKlm24x.net
>>781
kingが初めからkingではなかった様に
魔羅パピヤスも初めから魔羅パピヤスではなかった
関係ないが一節
♪嗚呼 天才の Qman～よどこーへー
♪お前は どこへ 飛～んでゆく
♪嗚呼 気違いの kingが～ ほらぁ
♪『下』を出しぃてーぇーぇ くーるぅってら
908:１３２人目の素数さん
21/11/01 23:39:15.25 0PUyxUhS.net
>>758 補足
>帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ￢ P(n) } によって定める。
>この A が空集合であるということを示したい。
>そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。
>従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。
>帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
ここの補足
下記なかけんの数学ノートが結構分かり易いね
URLﾘﾝｸ(math.nakaken88.com)
なかけんの数学ノート
自然数の整列性と数学的帰納法 2020年12月19日
【目次】
最小元
自然数の整列性
自然数の整列性と数学的帰納法の原理
いろいろな数学的帰納法の形
おわりに
定理(自然数の整列性から数学的帰納法の原理)
N の、空でない部分集合には、必ず最小元があるとする。
略
以下の内容は証明というよりは、証明の概要のようなものです。
次のような集合 T を考えます。
T={n∈N?n not∈S}
つまり、
S の補集合です。このとき、
T=Φ なら、 S=N が言えます。
もし、 T が空集合でないとすると、最小元 m が存在します。(a)より、
m≠0 です。このとき、
w+=m となる w が存在します。
w<m なので、 m の最小性から w not∈T が成り立ちます。つまり
w∈S となります。(b)より w+=m∈S となりますが、これは
m∈T に矛盾します。
以上から、 T=Φ なので、
S=N が示せました。
これより、数学的帰納法の原理と整列性は同値だとわかります。
(引用終り)
以上
909:１３２人目の素数さん
21/11/01 23:55:06.28 0PUyxUhS.net
>>804
ID:GFaoa/dGさんは、基礎論廃人さんだね
今日は、11時から5ｃｈ出勤か（下記）
毎日、ご苦労さん
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
数学 > 2021年11月01日 > GFaoa/dG
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１３２人目の素数さん
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 60
大学学部レベル質問スレ 16単位目
(引用終り)
>お前証明読めんやん？
妄想でしょ？ そりゃ、読めない高等数学の証明は、世の中沢山あるよ
殆どそうと言って過言でないけどね
でも、おっさんの証明は見たことないぜ
>お前に何度も何度も証明つけて説明したけど全部わからんかったんやろ？
知らんよ、妄想お断りだよ
”何度も”は、複数回で2回以上でしょ？
”何度も何度も”だったら、4回以上だぜ
知らんよ、妄想お断りだよ
>お前に数学理解できる知能ないって
お前に、定義以上のことができる知能ないって
証明？ 知らんよ、妄想お断りだよ
910:１３２人目の素数さん
21/11/02 00:15:55.87 ZFNf+G/G.net
>>805
>なぜなら、Aが無限集合なら、
>そもそも最大元がないから
>始まりとなるa_1が存在しない
そうだよ
その通りだよ
分かってきたじゃん、お主ｗ
でも、それだけで済むなら、証明は3行だよね？（下記）
＜証明もどき＞
列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎで、
最小元は0又はそれ以上
自然数は、＞に対し全順序だから、列の長さはｎ+1以下で有限に過ぎない
QED
おわかりか？
数学的帰納法も何も不要でしょ？
やっぱ、極小条件使って、有限長を、すっきりと示すべきじゃね？
911:１３２人目の素数さん
21/11/02 00:27:49.19 ZFNf+G/G.net
>>806
>・・{{{{}}}}}・・が無いと、nesting depthの上限がnとなる
>と決めつけてるけど その証明は？ ないよね
証明いらんでしょ？
nesting depthの上限が有限nで終わったら、Nは有限集合でしかない
だった、それ以上の何か必要だよね。それを、・・{{{{}}}}}・・と書いた
>実際にはNに・・{{{{}}}}}・・なんてないけど
別にどう表現しようと結構だが
有限 ｎ＝ { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n (ここに }nは、空集合{}までの”nesting depth”を示す )
で終われないよね、分かってるよね
>Ｎは任意の自然数ｎに関する
>{ {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n
>の和集合なので、存在する
nが有限で終わったら、有限集合にしかならんぜ
nは無限大（極限）まで走らないと、無限集合にならんぜ
912:１３２人目の素数さん
21/11/02 06:01:27.93 W8uEDlcI.net
>>811
>>なぜなら、Aが無限集合なら、
>>そもそも最大元がないから
>>始まりとなるa_1が存在しない
>そうだよ その通りだよ
>分かってきたじゃん、お主
で、それ故、無限上昇列は降下列にならない
ってことは理解した？
>列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎで、
>最小元は0又はそれ以上
>自然数は、＞に対し全順序だから、列の長さはｎ+1以下で有限に過ぎない
>数学的帰納法も何も不要でしょ？
列の長さはn+1以下、というのはどうやって導いたの？
(n-0)+1かい？ で足し算や引き算の定義はどうするの？
>やっぱ、極小条件使って、有限長を、すっきりと示すべきじゃね？
極小条件を証明するのに数学的帰納法を使うんなら、同じだけど
もしかして、数学的帰納法が理解できないから、
それと同値である極小条件を「公理」とすべきっていってる？
それ論理じゃなくただの趣味だよね？
913:１３２人目の素数さん
21/11/02 06:08:14.18 W8uEDlcI.net
>>812
>>・・{{{{}}}}}・・が無いと、nesting depthの上限がnとなる
>>と決めつけてるけど その証明は？ ないよね
>証明いらんでしょ？
「いらん」以前に「できん」でしょ？
だって間違いだから
>nesting depthの上限が有限nで終わったら、Nは有限集合でしかない
そこは否定してないよ
「無限集合なら、nesting depthが∞となる元がある」
という君の主張を否定してる
Nのどの元も自然数だから、そのnesting depthは有限
ただ、いくらでも大きい自然数が存在するから
nesting depthに上限がないだけ
上限がないから、無限回nestする元が存在するなんていえないよ
それ、ウソだから 分かる？
>（nesting depthの上限がないなら）それ以上の何か必要だよね。
ああ、無限集合でしょ？ それ以外なにかある？
>それを、・・{{{{}}}}}・・と書いた
それ、間違ってるよ よ~く 考え直してみ
時間はいくらでもあるからさ
914:１３２人目の素数さん
21/11/02 06:24:56.45 W8uEDlcI.net
>>812
>有限 ｎ＝ { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} }・・・ }n
>(ここに }nは、空集合{}までの”nesting depth”を示す )
>で終われないよね、分かってるよね
だから、無限集合だよね
>nが有限で終わったら、有限集合にしかならんぜ
>nは無限大（極限）まで走らないと、無限集合にならんぜ
もしかして、無限集合だから、∞って元があると思ってる？
もし、君が「Nの要素の中に∞が見える」というなら、それ、幻覚だから
「決定�
915:ﾔ号∞」も「無限シングルトン」も元はその誤解からだね それ、恥ずかしいから今ここで誤りに気付いたほうがいいよ
916:１３２人目の素数さん
21/11/02 07:38:55.37 ZFNf+G/G.net
>>813
(再録)>>811
＜証明もどき＞
列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎで、
最小元は0又はそれ以上
自然数は、＞に対し全順序だから、列の長さはｎ+1以下で有限に過ぎない
QED
数学的帰納法も何も不要でしょ？
(引用終り)
1．「列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎ」が正当化できれば、後は2行で証明はすぐ終わる
2．数学的帰納法は不要。「最小値原理」は「数学的帰納法の原理」と同等だから>>757
3．で、上記1を証明するのが、あんたの>>654の証明であり、それは”松坂和夫氏の「集合・位相入門」の第3章§3の問2
の解答をほぼそのまま”>>663 が、”極小条件”の証明だよね。
上記1に証明が要らないなら、>>654の証明（松坂和夫氏の「集合・位相入門」の第3章§3の問2 の解答）って何？
大袈裟に、選択公理使う証明って
4．言い換えれば、a_1＝ｎが許されるならば、a_1＝ｎ+1もあり、a_1＝ｎ+2もあり・・、となるよ
これ、どうすんの？ってことよ
917:１３２人目の素数さん
21/11/02 07:50:33.14 W8uEDlcI.net
>>816
>１．「列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎ」
>が正当化できれば
降鎖の定義から明らかだけどな
>２．数学的帰納法は不要。「最小値原理」は「数学的帰納法の原理」と同等だから
それは「数学的帰納法」のかわりに「最小値原理」を公理にするという意味か？
「最小値原理」が公理でないなら「数学的帰納法」で証明する必要があるのは
理解してる？
>上記1を証明するのが、>>654の証明であり
違うけど
１．は降鎖の定義から明らか
２．の「最小値原理」を証明するのが、>>654の証明
>上記1に証明が要らないなら、
>>>654の証明って何？
>大袈裟に、選択公理使う証明って
選択公理から、整列定理が導かれるのは承知してる？
>4．言い換えれば、a_1＝ｎが許されるならば、
> a_1＝ｎ+1もあり、a_1＝ｎ+2もあり・・、となるよ
> これ、どうすんの？ってことよ
どうもせんけど 何が困るの？
918:１３２人目の素数さん
21/11/02 07:52:32.07 ZFNf+G/G.net
>>814
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
Encyclopedia of Mathematics
Ordinal number
transfinite number, ordinal
The ordinal number of the set consisting of 1 and numbers of the form 1-1/n where n∈N, ordered by the relation ≦, is ω+1.
(引用終り)
ここ、熟読しなよ
n=1,2,3・・,n,・・とすると
0,1/2,2/3,・・,(n-1)/n,・・,1 この列がω+1だってことね
1より左は、・・としか書けないよね、ωは極限順序数だから
{}も同じだよ
919:１３２人目の素数さん
21/11/02 07:56:06.94 ZFNf+G/G.net
>>815
だんだん、分かってきたじゃんｗ
珍説2（>>363より）
「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は
両立する
(引用終り)
珍説でしょｗ
＞「決定番号∞」も「無限シングルトン」も元はその誤解からだね
誤解はあなた
珍説2から、誤解が生まれていると思うよｗ
920:１３２人目の素数さん
21/11/02 08:01:00.73 W8uEDlcI.net
>>818
>0,1/2,2/3,・・,(n-1)/n,・・,1 この列がω+1だってことね
>1より左は、・・としか書けないよね、ωは極限順序数だから
で、それ1から始まり0で終わる降鎖になる？
ならないよね？1の次の「1より小さい数」がないから
ωは極限順序数で、前者がないから
>>783にある、降鎖の定義、理解してる？
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
a_1>a_2>…＞a_n>…
となるものをAにおける降鎖という」
1,・・,(n-1)/n,・・・・,2/3,1/2,0
この「無限列」で、a_1=1として、a_2は何？
もうずっと同じ質問を繰り返しされてるけど一度も答えないよね
921:１３２人目の素数さん
21/11/02 08:05:08.54 ZFNf+G/G.net
>>817
>「最小値原理」が公理でないなら「数学的帰納法」で証明する必要があるのは
>理解してる？
それはこっちのセリフだよ
「最小値原理」を使えば、「数学的帰納法」を使う必要ない
それを言っているのが、”極小条件”の証明じゃね？
＞選択公理から、整列定理が導かれるのは承知してる？
歴史的には、ツェルメロが間違えたらしいね
で、ぐだぐだいうなら、>>663のおまえのクソ証明って何なのさｗ
”列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎで、
最小元は0又はそれ以上
自然数は、＞に対し全順序だから、列の長さはｎ+1以下で有限に過ぎない”
この3行を証明と認めるのか？ｗ
922:１３２人目の素数さん
21/11/02 08:10:51.61 W8uEDlcI.net
>>819
>だんだん、分かってきたじゃんｗ
君は全然分かってないんじゃない？
∞はNの要素じゃないよ
あと、>>820読んで 降鎖の定義、理解しようね
それで君が「降鎖でないものを降鎖だと思い込んだ」誤りが明らかだから
923:１３２人目の素数さん
21/11/02 08:16:53.76 W8uEDlcI.net
>>821
>「最小値原理」を使えば、「数学的帰納法」を使う必要ない
だから、それって「数学的帰納法」のかわりに
「最小値原理」を公理にするという意味か？って聞いてるけど、
なんで答えないの？ 意味、わかんないの？
>>選択公理から、整列定理が導かれるのは承知してる？
>歴史的には、ツェルメロが間違えたらしいね
文章は正確に書こうな
「ツェルメロが整列定理を証明するのに、無意識に選択公理を使っていた」
ということだろ？いいじゃん、結局気づいたん
924:だから >で、ぐだぐだいうなら ぐだぐだいってるのは君 結局、何がしたいの？
925:１３２人目の素数さん
21/11/02 08:22:38.48 W8uEDlcI.net
午後相手してやる
926:１３２人目の素数さん
21/11/02 11:10:25.78 5Cyjwk3N.net
>>808
それ自体はあり得るが流石にking知らないは胡散臭すぎる
日本に居て車興味無いから車知らないってレベル
やっぱ居なかったんじゃねーの
927:１３２人目の素数さん
21/11/02 12:09:52.87 6hX3jc8X.net
>>817
>> 4．言い換えれば、a_1＝ｎが許されるならば、
>> a_1＝ｎ+1もあり、a_1＝ｎ+2もあり・・、となるよ
>> これ、どうすんの？ってことよ
>どうもせんけど 何が困るの？
？ ”a_1＝ｎ+1もあり、a_1＝ｎ+2もあり・・、となる”
の部分は、数学的帰納法だよね？
これ、どう説明すんの？ってことよｗ
>>820
(引用開始)
>>783にある、降鎖の定義、理解してる？
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
a_1>a_2>…＞a_n>…
となるものをAにおける降鎖という」
1,・・,(n-1)/n,・・・・,2/3,1/2,0
この「無限列」で、a_1=1として、a_2は何？
もうずっと同じ質問を繰り返しされてるけど一度も答えないよね
(引用終り)
それは、こちらの言い分だよ
上記と、珍説2（>>363より）
「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は
両立する
(引用終り)
を比べてみろよｗ
あなたのは珍説でしょｗｗ
ようやく分かってきたかい？ｗ
928:１３２人目の素数さん
21/11/02 12:48:41.81 6hX3jc8X.net
>>813
>>やっぱ、極小条件使って、有限長を、すっきりと示すべきじゃね？
>極小条件を証明するのに数学的帰納法を使うんなら、同じだけど
>もしかして、数学的帰納法が理解できないから、
>それと同値である極小条件を「公理」とすべきっていってる？
ワケワカランことをいう
Zornの補題と選択公理
・Zornの補題を使ってさらに選択公理使うか？ 片方で可だろ！
・Zornの補題をつどつど証明するって？ｗ
・Zornの補題を使うなら、それを公理にすべき？ｗ
大丈夫か？ｗ
929:１３２人目の素数さん
21/11/02 12:50:22.59 6hX3jc8X.net
>>824
>午後相手してやる
いらねー
最近忙しくなったから
アホの相手は、ほどほどにだよ
930:１３２人目の素数さん
21/11/02 13:18:05.63 W8uEDlcI.net
>>826
>”a_1＝ｎ+1もあり、a_1＝ｎ+2もあり・・、となる”
>の部分は、数学的帰納法だよね？
違うんじゃね？
>これ、どう説明すんの？
なんで説明がいるの？
>>1,・・,(n-1)/n,・・・・,2/3,1/2,0
>>この「無限列」で、a_1=1として、a_2は何？
>>もうずっと同じ質問を繰り返しされてるけど一度も答えないよね
>それは、こちらの言い分だよ
なんで答えないの？
a_2でどの(n-1)/nを選んでもいいけど、
どれを選んでも有限長になるってのは分かる？
降鎖の長さが無限になるような(n-1)/nなんて存在しないのは分かる？
931:１３２人目の素数さん
21/11/02 13:26:58.23 W8uEDlcI.net
>>827 大丈夫か？
>>828 忙しいなら一切書き込みやめたら
考える能力ゼロの君に数学は無理だよ
932:１３２人目の素数さん
21/11/02 14:13:29.48 W8uEDlcI.net
もし、自然数の定義をペアノの公理ではなく以下のように定義するなら、
最小値原理を公理としてもいいがね
１．最小の自然数が存在する（これを０と名付ける）
２．自然数の部分集合が空でないならかならず最小値ｎが存在し
もしこれが最小の自然数０とは異なるならば、
ｎ未満の自然数の最大値ｍが存在する
（ｓを後者関数とすれば、ｎ＝ｓ（ｍ）となる）
933:１３２人目の素数さん
21/11/02 18:09:00.00 W8uEDlcI.net
順序集合Aの、任意の(空でない)全順序部分集合が
Aの中の上限を有するとき、帰納的という
■Zornの補題
帰納的な順序集合は極大元を持つ
上記は以下の２つの補題の証明により証明される
■補題2
Aを帰納的な順序集合とし
φを写像A→Aで、任意のx∈Aに対し
φ(x)≧xとなるものとする
そのときφ(a)=aとなるa∈Aが存在する
■補題3（対偶系）
順序集合Aについて
任意のx∈Aに対しφ(x)≧xとなる
いかなるφ:A→Aでも、φ(a)=aとなるa∈Aが存在すれば
Aは極大元を持つ
選出公理は補題3の証明で用いられる
934:１３２人目の素数さん
21/11/02 18:10:52.97 W8uEDlcI.net
■補題3
Aを極大元を持たない順序集合とすれば
φ:A→Aで、任意のx∈Aについて
φ(x)>xとなるものが存在する
（証明）
Aの全ての空でない部分集合からなる集合系をMとする
選出公理によって、Mで定義された写像Φで
Mの全ての元mに対しΦ(m)∈mとなるものが存在する
Aは極大元を持たないと仮定されているから
x∈Aに対して{y|y∈A,y>x}=m_xとおけば、
どのx∈Aに対してもm_x≠{},すなわちm_x∈M
そこで、任意のx∈Aに対し
φ(x)=Φ(m_x)
としてφ:A→Aを定義すれば、
φ(x)∈m_xであるから、φ(x)>xとなる
935:１３２人目の素数さん
21/11/02 18:15:56.99 W8uEDlcI.net
>>833の証明が>>654の証明と同様の方法であることは
見る人が見れば明らかだろう
936:１３２人目の素数さん
21/11/03 00:17:35.35 bYOpU002.net
>>826 補足
１．>>620 の Encyclopedia of Mathematics Ordinal number URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
に
937:上昇列の定義があるのを見つけたんだ ”If the values of this sequence are ordinal numbers, and if γ<β<α implies that φ(γ)<φ(β), then it is called an ascending sequence.” これ分かり易いと思った ２．で、上昇列と松坂和夫の降下列（＝降鎖）の定義に注意を向けるように誘導したのです>>754 ３．自然数で、任意の空でない部分集合は最小値を持つ。 >>626の「自然数の集合はdescending chain condition は満たすがascending chain confition は満たさない 」 は良いヒントだと思ったよ。（上昇列、降下列でなく）自然数の集合Nの持つ性質だからね ４．さてその上で、珍説2（>>363より）の下記を見る 1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と 2)「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は 両立する (引用終り) これを見るに、自然数の集合Nにωを一つ加えただけだから、”任意の空でない部分集合は最小値を持つ” 「自然数の集合はdescending chain condition は満たすがascending chain confition は満たさない 」 の二つは、そのまま成立する ６．上記4項の1)2)の両方で、”任意の空でない部分集合は最小値を持つ” 「自然数の集合はdescending chain condition は満たすがascending chain confition は満たさない 」 は成り立ち、差はない ７．更に、1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」では、”０＜１＜・・・”の部分は自然数を整列させたもので無限列だ 同様に、2) ＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ωで、”０＜１＜・・・”の部分は自然数を整列させたもので、これも無限列としうる。そもそも上昇列だから ここで、降下列（＝降鎖）の話から、「有限列にしかなり得ない」の議論は噴飯もので、全く無関係 ８．結論：やっぱり珍説 以上
938:１３２人目の素数さん
21/11/03 06:40:53.31 dCkKgOCS.net
>>835 １～３ その前振り、要らない
４
>> 1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」
>> 2)「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
> これを見るに、自然数の集合Nにωを一つ加えただけだから、
どっちが？どっちも？なら誤り
1)はおっしゃる通りだが
2)はそうではない
なぜなら、2)のωを除いた列は最大値を持つから
ここ、君の最初のつまづき
で、５が抜けてるので
６
>上記4項の1)2)の両方で、”任意の空でない部分集合は最小値を持つ”
>「descending chain condition は満たすが
> ascending chain confition は満たさない 」
>は成り立ち、差はない
どっちも？なら誤り
1)はaccを満たさないが
2)はaccを満たす
なぜなら、2)のωを除いた列は最大値を持つから
ここ、君の二番目のつまづき
７
>更に、
>1)＜上昇列 ０＜１＜・・・ω では、
> ”０＜１＜・・・”の部分は自然数を整列させたもので無限列だ
>同様に、
>2) ＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ωで、
>”０＜１＜・・・”の部分は自然数を整列させたもので、これも無限列としうる。
1)は正しいが
2)は誤り
なぜなら2)の”０＜１＜・・・”の部分は
自然数の列のうち、最大値を持つ部分列を抜き出したものだから
そしてそのような列は有限列にしかならない
ここ、君の三番目のつまづき
>ここで、降下列（＝降鎖）の話から、
>「有限列にしかなり得ない」の議論は噴飯もので、
>全く無関係
「＜ω」と書いた時点で、ω未満の列が最大値を持たねばならない
ここ見落とした君は軽率
８
結論：君が間違ってる
以上
P.S.
松坂和夫「集合・位相入門」を最初から読んでね
一度も読んだことないんでしょ？ いい機会だから
939:１３２人目の素数さん
21/11/03 07:33:48.42 bYOpU002.net
>>836
>で、５が抜けてるので
そだね
ちょっと、眠かった
かつ、見直して、ちょっと並べ替えとかしていて、５が抜けた
さて、>>835 珍説2（>>363より）の下記を見る
1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
2)「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω」内で
列 ０＜１＜・・＜n＜ωがあり得る
列 ０＜１＜・・＜n＜n+1＜ωがあり得る
よって、数学的帰納法により、
列 ０＜１＜・・・＜ωは
全ての自然数を尽くす
結局、1)と2)は同じ。数学的帰納法を認めるならばね
940:１３２人目の素数さん
21/11/03 08:41:10.56 dCkKgOCS.net
>>837
>>で、５が抜けてるので
>ちょっと、眠かった
眠れば？
>列 ０＜１＜・・＜n＜ωがあり得る
>列 ０＜１＜・・＜n＜n+1＜ωがあり得る
>よって、数学的帰納法により、
>列 ０＜１＜・・・＜ωは
>全ての自然数を尽くす
数学的帰納法の結論が誤り
正しくは
「よって、数学的帰納法により
任意の自然数mについて
列 ０＜１＜・・＜m＜ωが存在する」
一方で、いかなる自然数mについても
列 ０＜１＜・・＜m は
mより大きい（可算無限個）の自然数を全く含まない
したがって全ての自然数は尽くせない
結局1)と2)は異なる。数学的帰納法を認めたところでこの結論は変わらない
ついでに言うと、最初の非可算順序数ω1について
ω1未満のいかなる順序数λを最大値とする上昇列をとってきても
その列の長さはたかだか可算無限
なぜならλは可算順序数であるから
しかも、０からλまでの上昇列が降下列でもあるなら、その列の長さは有限
このことは超限帰納法からいえる
（いかなる順序数でも成り立つことであるが）
941:１３２人目の素数さん
21/11/03 10:00:45.88 bYOpU002.net
>>663 戻る
（引用開始）
ついでに>>655の解答書くと
もし、NがDCCでないとすると、無限降下列が存在しますが その場合、
「任意のn∈Nについて、nが無限降下列の項に入ってない」
といえるので矛盾します
「」内を数学的帰納法で示します
まず、0は無限降下列に入ってません
0より小さい自然数はないからそこで止まっちゃいますからね
で、任意の自然数n>0について、
n未満の自然数が無限降下列に入ってないとすると
nも無限降下列には入りません
そりゃそうですよね、nから降下する先はn未満の自然数ですから
したがって任意の自然数nについて、nが無限降下列に入ってない
で、NがACCを満たすのは、ペアノの公理から明らかでしょう
いかなる自然数nについても、その後者が存在しますから
Q.E.D.
(引用終り)
さて
>>655は、「ではその定理を利用してNはdccを満たすがaccを満たさないの証明を完成して下さい」
その定理とは
>>654 より、 >>643の
「降鎖条件を満たすことと、整礎であること、
つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。
これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。」だ
で、”0より小さい自然数はないからそこで止まっちゃいますからね”
が、ちょっと甘いと思った
つづく
942:１３２人目の素数さん
21/11/03 10:01:15.94 bYOpU002.net
>>839
つづき
要するに、「無限降下列は、最小限(0など)を持てない」という主張だ
ここがちゃんと証明できていない。本来、この部分こそ、
「自然数Nから、無限降下列を構成することは出来ない」の証明の核心部分
そこを、ふわーとスルーして、何かを証明した気になっている
「最小値原理 自然数からなる空でない集合は最小値をもつ」
これは、数学的帰納法と同等だと（中野伸先生 学習院>>757）
だから、まず「最小値原理 自然数からなる空でない集合は最小値をもつ」を言って
次に、「降鎖条件を満たすことと、整礎であること、
つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。
これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。」を言って、
自然数の最小値原理から、「Nはdccを満たす」の証明とすべき
で、上記の”したがって任意の自然数nについて、nが無限降下列に入ってない”こそは
「最小値原理 自然数からなる空でない集合は最小値をもつ」の証明そのもの
つまり、最小値原理”空でない集合で最小値を持たない場合は、矛盾”を言っているだけ
”無限降下列が、最小値を持つと矛盾”という 「無限降下列 vs 最小値を持つ」 の矛盾について、ふわーとスルー
つづく
943:１３２人目の素数さん
21/11/03 10:01:47.57 bYOpU002.net
>>840
つづき
そんな論法で可ならば、(再録)>>811
＜証明もどき＞
列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎで、
最小元は0又はそれ以上
自然数は、＞に対し全順序だから、列の長さはｎ+1以下で有限に過ぎない
QED
で、3行で証明終りです
この3行は、直感的理解としては、全く正しい
しかし、数学の証明としては、ちょっとツッコミどころあり
（院試として考えると、採点基準があるとして、これは書いておくべきという点があると思う）
１．降鎖列の定義は書くべき。ここから、a_1＝ｎが出る
２．「最小値原理 自然数からなる空でない集合は最小値をもつ」に触れていない
３．”a_1＝ｎ”の部分は、”a_1＝ｎ+1”も可能で、数学的帰納法によって、列の長さはｎ+1→∞に発散する
降鎖列の定義から、必ず有限ｎを取らざるを得ず、ｎ+1→∞を考えてはいけないことの言及がない
４．なので、上記の3項の証明が、極小条件 (minimal condition) で、
Nは最小値原理を満たす→極小条件→降鎖条件(dcc)を満たす(＝降鎖列は有限）
を書く
本来、こういう答案であるべき
以上
944:１３２人目の素数さん
21/11/03 10:22:13.51 bYOpU002.net
>>838
(引用開始)
一方で、いかなる自然数mについても
列 ０＜１＜・・＜m は
mより大きい（可算無限個）の自然数を全く含まない
したがって全ての自然数は尽くせない
結局1)と2)は異なる。数学的帰納法を認めたところでこの結論は変わらない
(引用終り)
あらら、数学的帰納法を誤解しているのか、必死の強弁なのかｗ
（>>758より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法（英: mathematical induction）
同値な定式化
集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる[3]。
自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。
帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ￢ P(n) } によって定める。
この A が空集合であるということを示したい。
そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。
従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。
帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
(引用終り)
ここで、A = { n ∈ N : ￢ P(n) } は、数学的帰納法が成立しない集合で
最小値原理から、「A が空集合である」が導かれるよ（上記の通り）
余談だが、”いかなる自然数mについても 列 ０＜１＜・・＜m は、mより大きい（可算無限個）の自然数を全く含まない”
が、時枝 箱入り無数目 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
が成立しない理由の一つ。
いかなる、有限の決定番号 mに対しても、m以降のしっぽの部分の長さは、可算無限だ
だから、そういうmを使った確率計算は、数学的には正当化しえない
945:１３２人目の素数さん
21/11/03 11:21:34.30 dCkKgOCS.net
>>841
>”a_1＝ｎ”の部分は、”a_1＝ｎ+1”も可能で、
>数学的帰納法によって、列の長さはｎ+1→∞に発散する
誤りね 数学的帰納法、分かってない
>降鎖列の定義から、必ず有限ｎを取らざるを得ず、
>ｎ+1→∞を考えてはいけないことの言及がない
降鎖列だと宣言した瞬間、その定義を満たすのは当然
わざわざ言及しなければならないと思うなら
論理が全然分かってない
>>842
>あらら、数学的帰納法を誤解しているのか、必死の強弁なのか
上述のように、841で数学的帰納法を誤解したのは、あなた
（箱入り無数目）
>いかなる、有限の決定番号 mに対しても、
>m以降のしっぽの部分の長さは、可算無限だ
>だから、そういうmを使った確率計算は、
>数学的には正当化しえない
箱入り無数目ではそういう確率計算は全くしてないので無意味
ついでにいうと、決定番号はその定義から必ず自然数となるので
決定番号が∞という「自然数でない値」をとることはない
残念だったね
946:１３２人目の素数さん
21/11/03 11:24:05.41 dCkKgOCS.net
>>842
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
数学的帰納法（英: mathematical induction）
同値な定式化
集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる。
自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。
帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。
自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ￢ P(n) } によって定める。
この A が空集合であるということを示したい。
そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、
P(0)は成り立っていることから a は0でない。
従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、
a は A に属する最小の自然数であったということから、
b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。
帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
上記の証明は>>663と基本的に同じだけど、理解してる？
>>663は
「数学的帰納法を認めるならば
Aに属する最小の自然数が存在しないとき、
・0はAに属さない
・n未満の自然数がAに属さないならnもAに属さない
と数学的帰納法の前提を満たすからAは空である」
といっている
上記は
「最小値原理を認めるならば
Aが空でないときＡは最小値を持つが
0がAに属するなら、数学的帰納法の仮定1を満たさないし
0がAに属さないなら、Aに属する自然数の最小値aに対して
a=b+1となる自然数bが存在して、bはAに属さないので
bがAに属さないのにb+1はAに属することになり
数学的帰納法の仮定2を満たさない」
といっている
いわゆる対偶の関係
>ここで、A = { n ∈ N : ￢ P(n) } は、(P(n)について)数学的帰納法(の前提)が成立しない集合で
これ誤解ね、実際は
「帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。」
と書いてあるように全く逆
>最小値原理から、「A が空集合である」が導かれるよ（上記の通り）
正しくは「Aの定義中のP(n)が数学的帰納法の前提を満たすなら空集合となる」
947:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:17:33.25 dCkKgOCS.net
>>783の降鎖の定義（松坂和夫）
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
a_1>a_2>…＞a_n>…
となるものをAにおける降鎖という」
により
…>2>1>0
は降鎖ではない
なぜなら、a_1にあたる項がないからである
また
ω･･･>2>1>0
で、上記の列に全ての自然数が現れる場合
同じく降鎖ではない
なぜなら、a_2にあたる項がないからである
ω>ｎ>…>2>1>0
は降下列であり、その長さは有限である
948:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:24:05.79 dCkKgOCS.net
そもそも超限帰納法により、いかなる順序数の降下列の長さも有限である
「a を 順序数とする。
x < a を満たす全ての順序数 x について、x から 0 への降下列の長さが有限ならば、
a から 0 への降下列の長さも有限である」
ωの場合、ω>nとなる任意のn（つまり自然数）について降下列
n>･･･>0
は有限であるから、これにω>を付け加えただけの降下列
ω>n>･･･>0
も有限である
949:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:31:26.85 dCkKgOCS.net
Zermeloの順序数構成方法でも、なぜωがシングルトンでないのか
それはωより小さい順序数の最大値が存在しないからである
Zermeloの順序数構成方法でも、ωの要素内の最大値は存在しない
950: （したがってωは無限集合である 一般に極限順序数は無限集合である）
951:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:35:28.53 bYOpU002.net
>>842 補足
>成立しない理由の一つ。
>いかなる、有限の決定番号 mに対しても、m以降のしっぽの部分の長さは、可算無限だ
>だから、そういうmを使った確率計算は、数学的には正当化しえない
補足しておくと、”裾の重い分布あるいはヘヴィーテイル”という言葉がある（下記）
ガウス分布（正規分布）は、裾が指数関数的には減衰する
”裾の重い分布あるいはヘヴィーテイル”は、減衰が遅いが、それでも積分値が有限に収まる
よく知られているように、積分∫1/x dx は、x=1～∞の定積分で発散する
積分値が有限に収まるためには、1/xよりも早く減衰しなければならない
当然、∫x dx のように、xの指数が1などでは x=1～∞の定積分で発散する
時枝の決定番号 m は減衰しないので、そういうmを使った確率計算は、数学的には正当化しえないのです
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。 また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的(subexponential)などがある。
(引用終り)
以上
952:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:40:58.83 bYOpU002.net
>>843
>>降鎖列の定義から、必ず有限ｎを取らざるを得ず、
>>ｎ+1→∞を考えてはいけないことの言及がない
>降鎖列だと宣言した瞬間、その定義を満たすのは当然
院試とか、学生が受ける試験は、普通書かなければ、配点は0だよ
採点基準がある場合は、特にね
よほどできる答案で、「この人 書いてないけど、分かっている」と判断されるのはまれだろう
そこが、プロの投稿論文との違いだよ
プロの投稿論文は、紙数制限もあるので、極力記述を圧縮する
（いまどきの先端論文は、学部生では苦しいだろう）
953:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:42:02.84 dCkKgOCS.net
箱入り無数目の無限列s1,s2の同値条件は以下の条件と同値である
「s1,s2の不一致項全体の集合が空であるか、
または空でない場合、その項の番号が最大値ｍを持つ」
この場合、s2をs1の同値類の代業元とすれば、s1の決定番号は
・不一致項の集合が空であるならば１
・不一致項の番号の最大値がｍならばm+1
となる
決定番号が「∞」というのは以下の条件にあたると考えられる
「s1,s2の不一致項全体の集合が空でなく
しかもその項の番号が最大値ｍを持たない」
しかしながら、この場合、そもそもs1とs2は同値でないのだから矛盾する
（s2がs1の同値類の代表元であれば、s1とs2は同値である筈）
954:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:47:57.65 dCkKgOCS.net
>>848
無限列の同値類内での決定番号の分布関数をうまく構成できないのは確かだが
箱入り無数目ではそのような関数は一切用いないので考える必要がない
また「決定番号∞」は、>>850で述べたように
無限列の同値関係に反するのでありえない
>>849
>>降鎖列だと宣言した瞬間、その定義を満たすのは当然
>院試とか、学生が受ける試験は、普通書かなければ、配点は0だよ
嘘はいけないな
>採点基準がある場合は、特にね
嘘の採点基準をデッチあげてはいけないな
>よほどできる答案で、
>「この人 書いてないけど、分かっている」
>と判断されるのはまれだろう
いわずもがなのこと書いても、加点はないよ
955:１３２人目の素数さん
21/11/03 14:50:58.80 bYOpU002.net
>>844
>上記の証明は>>663と基本的に同じだけど、理解してる？
形式は一致しているが、>>663の証明はクソだとしか思えない
グダグダ書いているわりに、内容がない
>>845
>…>2>1>0
>は降鎖ではない
>なぜなら、a_1にあたる項がないからである
だから、そこを指摘したのは、おれだよｗ
（>>781 再録 ”上記”集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈N”は、松坂和夫氏からでしょ？
この定義を、理解しているかい”）
>>847
>Zermeloの順序数構成方法でも、なぜωがシングルトンでないのか
>それはωより小さい順序数の最大値が存在しないからである
そんなん、ノイマン構成も同じ
>Zermeloの順序数構成方法でも、ωの要素内の最大値は存在しない
そんなん、ノイマン構成も同じ
956:１３２人目の素数さん
21/11/03 15:03:24.05 bYOpU002.net
>>851
>>よほどできる答案で、
>>「この人 書いてないけど、分かっている」
>>と判断されるのはまれだろう
>いわずもがなのこと書いても、加点はないよ
学部の定期試験とか、院試とか誤解してないか？
”いわずもがなのこと書いても、加点はない”ではないよね
試験答案は、如何に自分がキチンと数学の勉強をしているかのアピールの文書と思わないと
時間との競争だが、定義からきっちり論証を書ければ、印象は良いだろうね
そこ、定義うろ覚えで誤魔化そうとすると、すぐ見抜かれたりして
「こいつ、定義の理解があやふやで 分かってない」とかね
957:１３２人目の素数さん
21/11/03 15:15:05.53 dCkKgOCS.net
>>853
>>上記の証明は>>663と基本的に同じだけど、理解してる？
>形式は一致しているが、>>663の証明はクソだとしか思えない
それ、感情論
>>…>2>1>0
>>は降鎖ではない
>>なぜなら、a_1にあたる項がないからである
>だから、そこを指摘したのは、おれだよ
いや、みんな前から指摘してる
あなたが最近やっと気づいただけ
>>Zermeloの順序数構成方法でも、なぜωがシングルトンでないのか
>>それはωより小さい順序数の最大値が存在しないからである
>そんなん、ノイマン構成も同じ
>>Zermeloの順序数構成方法でも、ωの要素内の最大値は存在しない
>そんなん、ノイマン構成も同じ
そもそもω未満の順序数の最大値が存在しないのは構成法とは無関係
Zermeloの構成法の場合、ω未満の全ての順序数を要素とする必要はないが
ωからω未満の任意の順序数ｎへの降下列が存在するようにするには
無限集合とせざるを得ない
958:１３２人目の素数さん
21/11/03 15:27:12.26 dCkKgOCS.net
>>853
>試験答案は、如何に自分がキチンと数学の勉強をしているかの
>アピールの文書と思わないと
>時間との競争だが、定義からきっちり論証を書ければ、印象は良いだろうね
頭の中であれこれ空想しても、実際にできないんじゃ点数にならないけど
今話題のあの方みたいに、大学院には行ったけど試験は不合格、みたいな感じかな
959:１３２人目の素数さん
21/11/03 17:06:10.54 OApyQn4e.net
SetAの体重は96kg
960:１３２人目の素数さん
21/11/03 17:32:58.21 bYOpU002.net
>>854
(引用開始)
>>…>2>1>0
>>は降鎖ではない
>>なぜなら、a_1にあたる項がないからである
>だから、そこを指摘したのは、おれだよ
いや、みんな前から指摘してる
あなたが最近やっと気づいただけ
(引用終り)
ふふふｗ
再録>>837 珍説2（>>363より）の下記を見る
1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
2)「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
１．この珍説の主は、上昇列の定義＊）と、降下列（＝降鎖）の定義（松坂和夫 >>783）の差が、分かってなかったようです
（ ＊）Encyclopedia of Mathematics Ordinal number URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
”If the values of this sequence are ordinal numbers, and if γ<β<α implies that φ(γ)<φ(β), then it is called an ascending sequence.”）
２．まず卑近な例として、上り坂と下り坂と。いま目の前に坂があるとします
上りか下りか？ それは進行方向で決まる。進む方向次第
３．同様に、上昇列と降下列（＝降鎖）の違いも、a1,a2,a3,・・と進むにつれて、a1<a2<a3<・・なら上昇列
a1>a2>a3>・・なら降下列（＝降鎖）
４．しかし日常なら、上り坂と下り坂は立ち位置で反転する。同様に、数列も有限列ならば、反転可能
上昇列 a1<a2<a3<・・<anを、an>・・>a3>a2>a1 として、番号を付け替えて b1>・・>bn-2>bn-1>bn とできる(ここに、b1=an,・・,bn-2=a3,bn-1=a2,bn=a1 )
５．しかし、数列が自然数のような無限長列では、それ（自然数から無限長の降下列（＝降鎖））は出来ないのです
つまり、順序位相（下記）で、順序数ωが集積点になっているということ
0,1,2,・・,ω と、 ω,・・,2,1,0 とは、始点と集積点の位置が、左右逆です
ですから、ω,・・,2,1,0 を、降下列（＝降鎖）の定義（松坂和夫 >>783）に当てはめると、
a1=ωとして、次にa2=n（有限）とせざるを得ない
単なる列 ω,・・,2,1,0 は存在しうるが、これをそのまま 降下列（＝降鎖）の定義（松坂和夫 >>783）に当てはめることはできないのです
つづく
961:１３２人目の素数さん
21/11/03 17:33:34.16 bYOpU002.net
>>857
つづき
６．なお順序型として、無限長の降下列（＝降鎖）は
負整数を使って、0,-1,-2,・・,-ω などとできます
７．ここらが、有限の世界で馴れている人には、
勘違い（＝上昇列を反転したら降下列になる）が、起きやすい一つの理由ですｗ
勘違いしたんですね。分かります。
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列順序付けられた集合または整列集合（英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。
順序位相
任意の整列集合は順序位相を与えて位相空間にすることができる。順序位相に関して、この位相空間の元は次の二種類に分けることができる。
孤立点: 最小元や直前の元を持つ元などはこちらの種類の点になる。
集積点: 有限整列集合ではこの種類の元は存在できない。また、無限整列集合は集積点を持つことも持たないこともある。
集積点を持たない無限整列集合（たとえば N）は順序型 ω を持つ。
つづく
962:１３２人目の素数さん
21/11/03 17:33:50.07 bYOpU002.net
>>858
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序型（order type）とは、全順序集合同士の "形" を比較するために、その構造のみに注目することによって得られる概念である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Order type
In mathematics, especially in set theory, two ordered sets X and Y are said to have the same order type if they are order isomorphic, that is, if there exists a bijection (each element matches exactly one in the other set) f： X→ Y such that both f and its inverse are monotonic (preserving orders of elements). In the special case when X is totally ordered, monotonicity of f implies monotonicity of its inverse.
For example, the set of integers and the set of even integers have the same order type, because the mapping n→ 2n is a bijection that preserves the order.
But the set of integers and the set of rational numbers (with the standard ordering) do not have the same order type, because even though the sets are of the same size (they are both countably infinite), there is no order-preserving bijective mapping between them.
To these two order types we may add two more: the set of positive integers (which has a least element), and that of negative integers (which has a greatest element).
(引用終り)
以上
963:１３２人目の素数さん
21/11/03 18:00:13.50 dCkKgOCS.net
>>857 １～４はすっとばして
>５．･･･数列が自然数のような無限長列では、
>自然数から無限長の降下列（＝降鎖）は出来ないのです
やっと気づいたの？
みんなず～っとそういってたけど、君一人
「いや、終わりが決まってたら始まりなしで無限長でもＯＫ！」
って駄々こねてたんだけどね、
やっとそれでは定義にあてはまらないと観念したんだね
おめでとう！
>順序数ωが集積点になっているということ
>0,1,2,・・,ω と、 ω,・・,2,1,0 とは、始点と集積点の位置が、左右逆です
>ですから、ω,・・,2,1,0 を、降下列（＝降鎖）の定義に当てはめると、
>a1=ωとして、次にa2=n（有限）とせざるを得ない
うん、そうだよ
みんなずっとそういってたんだけどね
>単なる列 ω,・・,2,1,0 は存在しうるが、
>これをそのまま 降下列に当てはめることはできないのです
うん、そうだよ
みんなずっとそういってたんだけどね
ま、でもやっとみんなの云ってることが正しいと気づいたんだね
おめでとう！
>>858 ６はすっとばして
>７．ここらが、有限の世界で馴れている人には、勘違い
>（＝上昇列を反転したら降下列になる）が、起きやすい一つの理由です
> 勘違いしたんですね。分かります。
うん、君がね 君だけがね ず～っと勘違いしてたの
みんな、そのことをず～っと指摘し続けてきたんだよ わかる？
その甲斐あって、やっと君も自分の勘違いに気づいたんだね
おめでとう！
P.S.
>>859
これもみんなず～っといってることだけどコピペは要らないよ
君が一人で読んで一人で理解すればいいから
みんなそんなのとっくの昔に知ってるから
964:１３２人目の素数さん
21/11/03 20:31:30.15 bYOpU002.net
>>854
>Zermeloの構成法の場合、ω未満の全ての順序数を要素とする必要はないが
>ωからω未満の任意の順序数ｎへの降下列が存在するようにするには
>無限集合とせざるを得ない
そんなことは、無い
単に、シングルトンを使った添え字集合（下記ご参照）と考えれば良い（IUTではラベル問題という）
{}0={}
{}1={{}}
{}2={{{}}}
・
・
{}n={・・{{}}・・}
・
・
{}ω={・・{・・{{}}・・}・・}
とすれば、良いだけ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
族（ぞく、family）は、添字付けされた元（要素）の（一般には非可算無限個の）集まり[1
965:]で、対、n-組、列などの概念の一般化である。系（けい、collection）と呼ぶこともある。元がどのような対象であるかによって、点族、集合族（集合系）、関数族（関数系）などと呼ばれる。 定義 集合 I から集合 X への写像 A: I → X が与えられたとき、これを X の元の集まりとみなしたものを、I を添字集合 (index set) とする X の元の族という[2]。添字集合 I の元を添字 (index) という。 つづく
966:１３２人目の素数さん
21/11/03 20:31:50.26 bYOpU002.net
>>861
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Indexed family
In mathematics, a family, or indexed family, is informally a collection of objects, each associated with an index from some index set. For example, a family of real numbers, indexed by the set of integers is a collection of real numbers, where a given function selects one real number for each integer (possibly the same).
More formally, an indexed family is a mathematical function together with its domain I and image X. Often the elements of the set X are referred to as making up the family. In this view, indexed families are interpreted as collections of indexed elements instead of functions. The set I is called the index (set) of the family, and X is the indexed set. Sequences are one type of families with the specific domains.
Mathematical statement
Definition. Let I and X be sets and f a function such that
略
The symbol x is used to indicate that x_i is an element of X.), then this establishes an indexed family of elements in X indexed by I, which is denoted by (x_i)_{i∈ I} or simply (xi), when the index set is assumed to be known.
The index set I is not restricted to be countable, and a subset of a power set may be indexed, resulting in an indexed family of sets. Sequences are one type of families as a sequence is defined as a function with the specific domain (an interval of integers, the set of natural numbers, or the set of first n natural numbers, depending on what sequence is defined and what definition is used).
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96)
独立 (確率論)
一般に、（有限とは限らない）事象の族 Aλ が独立であるとは、その任意の有限部分族 Aλ1,Aλ2,・・・,Aλnに対して
P(Aλ1∩Aλ2∩・・・∩Aλn)=P(Aλ1)P(Aλ2)・・・P(Aλn)
が成立することをいう。
(引用終り)
以上
967:１３２人目の素数さん
21/11/03 20:46:52.98 bYOpU002.net
>>860
ふふふｗ
再録>>837 珍説2（>>363より）の下記を見る
1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
2)「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
この珍説について
１．この二つ列とも、「＜上昇列」と定義されてるから、降下列（＝降鎖）ではない
（上昇列と降下列とは、そもそも定義が違うので、当然だが）
２．この二つ列とも、降下列（＝降鎖）を作れば、有限列にしかなり得ない
３．この二つ列とも、上昇列であれば、無限長の列は可能
例えば、０＜１＜・・＜ｎ＜ωから、０＜１＜・・＜ｎ＜ｎ+1＜ωも可能で、従って数学的帰納法により 無限長の列は可能
よって、この二つ列とも差はなく、
片方が”無限列があり得る”、
片方が”有限列にしかなり得ない”
というのは大間違いｗｗ
968:１３２人目の素数さん
21/11/03 21:05:07.83 dCkKgOCS.net
>>861
>>Zermeloの構成法の場合、
>>ωからω未満の任意の順序数ｎへの降下列が存在するようにするには
>>無限集合とせざるを得ない
>そんなことは、無い
>単に、シングルトンを使った添え字集合と考えれば良い
>{}0={}
>・・・
>{}n={・・{{}}・・}
>・・・
>{}ω={・・{・・{{}}・・}・・}
>とすれば、良いだけ
なんだ、まだわかってなかったんだ
n>0となる自然数の場合
{}n={{}n-1}でしょ？
でも
{}ω={{}ω-1}
とはできないって、
>>857で認めた筈じゃなかったっけ？
P.S.
>（IUTではラベル問題という）
その冗談、つまらないよ
>>862 無駄コピペやめようね 悪い癖だよ
>>863
> 1)「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」
> 2)「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
>１．この二つ列とも、「＜上昇列」と定義されてるから、降下列（＝降鎖）ではない
なんだ、まだわかってなかったんだ
1)は降下列ではないが、2)は降下列となるよ
正確に書けば０＜１＜・・・＜ｎ＜ωだから
>３．この二つ列とも、上昇列であれば、無限長の列は可能
>例えば、０＜１＜・・＜ｎ＜ωから、０＜１＜・・＜ｎ＜ｎ+1＜ωも可能で、
そうだね、しかし
>従って数学的帰納法により 無限長の列は可能
とはいえないな
数学的帰納法では、任意有限長の列が可能といえるだけ
０＜１＜・・＜ｎ＜ｎ+1＜・・
という無限長の列の先に「ω」だけつける列は
数学的帰納法とは異なる方法で正当化する必要がある
969:１３２人目の素数さん
21/11/03 23:07:04.38 bYOpU002.net
>>816 追加
(引用開始)
＜証明もどき＞
列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎで、
最小元は0又はそれ以上
自然数は、＞に対し全順序だから、列の長さはｎ+1以下で有限に過ぎない
QED
数学的帰納法も何も不要でしょ？
(引用終り)
1．「列の始まりとなるa_1は、ある自然数ｎだから a_1＝ｎ」が正当化できれば、後は2行で証明はすぐ終わる
2．数学的帰納法は不要。「最小値原理」は「数学的帰納法の原理」と同等だから>>757
3．で、上記1を証明するのが、あんたの>>654の証明であり、それは”松坂和夫氏の「集合・位相入門」の第3章§3の問2
の解答をほぼそのまま”>>663 が、”極小条件”の証明だよね。
上記1に証明が要らないなら、>>654の証明（松坂和夫氏の「集合・位相入門」の第3章§3の問2 の解答）って何？
大袈裟に、選択公理使う証明って
4．言い換えれば、a_1＝ｎが許されるならば、a_1＝ｎ+1もあり、a_1＝ｎ+2もあり・・、となるよ
これ、どうすんの？ってことよ
(引用終り)
下記によれば、やっぱ従属選択公理は必要らしいね
勿論、フルパワーの選択公理があれば十分だが
なんか、変なことをほざいている人が居たな>>817
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列集合
整列順序付けられた集合または整列集合（英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
4 同値な定式化
順序集合 X が全順序集合である場合には、以下の条件はどれも互いに同値である。
1．X は整列集合である。つまり、空でない任意の部分集合が最小元を持つ。
2．X の全体で超限帰納法が有効である。
3．X の元からなる任意の狭義単調減少列は必ず有限な長さで停止する（ただし、従属選択公理を仮定する）。
(引用終り)
以上
970:１３２人目の素数さん
21/11/03 23:28:32.63 bYOpU002.net
>>864
>{}n={{}n-1}でしょ？
>でも
>{}ω={{}ω-1}
>とはできないって、
そんなん、ノイマン構成でも同じだろ？
そもそも、”ω-1”は存在しないよ、ノイマン構成でも
>正確に書けば０＜１＜・・・＜ｎ＜ωだから
そうだよ
でも、本当は あなた勘違いしてたんだ
で、以前 数学科出身らしい人と論争して、ボコボコにされた（下記）
そのときに、”ごめん「０＜１＜・・・＜ｎ＜ω」のつもりだった”って謝れば
バカにはされたろうが、あんなにボコボコにはされなかったろうにｗ（下記）
>数学的帰納法では、任意有限長の列が可能といえるだけ
数学的帰納法で、全ての自然数 ∀n∈N に対して成立だね
そして、Nは無限集合だということをお忘れかなｗｗｗ
a1,a2,a3,・・・ と全ての自然数を尽くせば、可算無限長ですがなｗ
（時枝 箱入り無数目 が、理解できないはずだわ。あなたにはね ｽﾚﾘﾝｸ(math板) ）
（>>343より）
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 55
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:968番)
968 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/27(日) 21:24:36.76 ID:2cYyqlhC
>>946
>>574の君「ωは上昇列ではない」
>>593の君「ωは上昇列である」
あのもう議論としてあなたは詰んでしまってるんで
てか一週間経って俺がいなくなってそうな状態を見計らっての、突然の勝利宣言は流石に笑える
どんだけ悔しかったんだ
(引用終り)
以上
971:１３２人目の素数さん
21/11/04 06:16:52.92 hzGky04A.net
>>865
（引用開始）と（引用終り）が対になってない 漫然とコピペしてる証拠だね
さて
＞やっぱ従属選択公理は必要らしいね
＞勿論、フルパワーの選択公理があれば十分だが
それ、>>654の証明を見ればわかるよ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
選択公理により、MからMへの写像φで、
任意のa∈Mに対してφ(a)∈M_aとなるものが存在する
そこで、Mの元a_1をとってきて、
φ(a_1)=a_2,φ(a_2)=a_3,…,φ(a_n-1)=a_n,…
とすれば、(an)n∈Nは無限長の降鎖となる
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
「φ(a_1)=a_2,φ(a_2)=a_3,…,φ(a_n-1)=a_n,…」
とすればいいので、選択公理から従属選択公理を導くのでなく
従属選択公理をそのまま使っても導けるというだけのこと
もちろん、従属選択公理、知ってて言ってるよね？
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
「非空集合 X 上の二項関係 R⊂X×X が
「任意の x∈X に対してある y∈X が存在して xRy」
を満たすとき，Xのある点列 { xn }n∈ωが存在して
任意の n に対して xn R xn+1 となる．」
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
P.S.
＞なんか、変なことをほざいている人が居たな>>817
無限シングルトンが集合として存在する！と吠える君ほどじゃないんじゃね？
972:１３２人目の素数さん
21/11/04 06:51:59.12 hzGky04A.net
>>866
>>{}n={{}n-1}でしょ？
>>でも
>>{}ω={{}ω-1}
>>とはできないって、
>そんなん、ノイマン構成でも同じだろ？
うん、だからノイマン構成でも
ω＝X∪{X}
となるようなX（つまりωの最大元X）は存在しないよ
>そもそも、”ω-1”は存在しないよ、ノイマン構成でも
うん、だから、君のいうωは
「ωより小さい最大の順序数Ｘのみを要素とするシングルトン」
という形では構成できないよね？
君の「”ω-1”は存在しないよ」は
君の「無限シングルトンが存在するよ」を
否定してるの分かる？
ωがシングルトンなら、その唯一の要素はω－１だよね？
で、今君は「”ω-1”は存在しないよ」といいきったよね？
じゃ、ωはシングルトンにならないじゃん 分かる？この論理
(続く)
973:１３２人目の素数さん
21/11/04 06:54:21.87 hzGky04A.net
>>866
>>正確に書けば０＜１＜・・・＜ｎ＜ωだから
>そうだよ
理解したんなら、それで終わりだね
>でも、本当は あなた勘違いしてたんだ
いや、勘違いしてたのは君だよ
>で、以前 数学科出身らしい人と論争して、ボコボコにされた（下記）
「数学科出身らしい人」も「ボコボコにされた」も君の主観じゃね？
実際は、
君 「無限シングルトンが存在する」
皆 「ダメダメ、集合では∋の無限降下列が存在しない」
君 「いやいや、{}から始まる無限上昇列は存在するじゃん」
というやりとりがあって
「上昇列＝降下列、というわけではない」という理解の下に、
「降下列となり得る上昇列」について語っていたところ
どっかのトンチンカンが、今までのいきさつを全部無視して
「ん？上昇列であるのに降下列となる必要はないじゃね？」
とかいいだして、君が愚かにもそれに食いついただけだよな
>そのときに、”ごめん「０＜１＜・・・＜ｎ＜ω」のつもりだった”って謝れば
>バカにはされたろうが、あんなにボコボコにはされなかったろうにｗ
そもそも「０＜１＜・・・＜ｎ＜ω」について語ってたことは読めばわかるし
そもそも「降下列となり得る上昇列」の話なんだから謝る必要はないな
（前提を理解しないトンチンカンが馬鹿にされるだけ）