21/11/01 23:39:15.25 0PUyxUhS.net
>>758 補足
>帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ￢ P(n) } によって定める。
>この A が空集合であるということを示したい。
>そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。
>従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。
>帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
ここの補足
下記なかけんの数学ノートが結構分かり易いね
URLﾘﾝｸ(math.nakaken88.com)
なかけんの数学ノート
自然数の整列性と数学的帰納法 2020年12月19日
【目次】
最小元
自然数の整列性
自然数の整列性と数学的帰納法の原理
いろいろな数学的帰納法の形
おわりに
定理(自然数の整列性から数学的帰納法の原理)
N の、空でない部分集合には、必ず最小元があるとする。
略
以下の内容は証明というよりは、証明の概要のようなものです。
次のような集合 T を考えます。
T={n∈N?n not∈S}
つまり、
S の補集合です。このとき、
T=Φ なら、 S=N が言えます。
もし、 T が空集合でないとすると、最小元 m が存在します。(a)より、
m≠0 です。このとき、
w+=m となる w が存在します。
w<m なので、 m の最小性から w not∈T が成り立ちます。つまり
w∈S となります。(b)より w+=m∈S となりますが、これは
m∈T に矛盾します。
以上から、 T=Φ なので、
S=N が示せました。
これより、数学的帰納法の原理と整列性は同値だとわかります。
(引用終り)
以上