21/10/30 08:28:14.71 zgBubH+2.net
>>654
>「降鎖条件を満たすことと、整礎であること、
> つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。
> これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。」
>の証明
>まず、集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈Nがあったら、
>集合{a_n}n∈Nは最小元を持たないから、Aは整列集合でない
"実は>>654の証明は
松坂和夫氏の「集合・位相入門」の第3章§3の問2
の解答をほぼそのまま書いてます">>663
は良いけど、この証明は かなりずさんじゃね？
1．「降鎖条件を満たすことと、整礎であること」は、半順序に関する命題だが、整列集合は全順序でしょ？
いま、自然数の話だから、全順序限定で良いけど、そこは断らないと
（下記、英文wikiの”A totally ordered set that is well-founded is a well-ordered set.”を証明したんだよね）
2．同値の証明は、命題A→B と B→Aをいうのが通例だが、上記証明で
”まず、集合Aについて、a_n∈Aとなる無限長の降鎖(a_n)n∈Nがあったら、
集合{a_n}n∈Nは最小元を持たないから、Aは整列集合でない”
がA→Bか B→Aか、どちらの命題を証明しているのか、不明確だね
つまり、背理法ともとれるし、対偶を証明しているともとれるし、だからそこも曖昧だし（証明の後段も同じ）
（院試なら、採点官がどう受け取るか？ 多分、「読みにくい答案だ」と思うだろう）
3．長いので引用しなかったが、証明後段「φ(a_1)=a_2,φ(a_2)=a_3,…,φ(a_n-1)=a_n,…
とすれば、(an)n∈Nは無限長の降鎖となる」で、順序関係（つまり、a_2＞a_3とか）を示していないよね
選択公理を使ったら順序関係がどうかな？ 松坂本では、ここはどうなの？
松坂和夫を参考にしたのは良いが、荒いね記述が
だから、名無しさんが、5ｃｈに書き散らす証明を読むのは、いやなんだよねｗ、まるで赤ペンやっているみたいになるからｗ
つづく