21/10/23 07:51:25.01 VEyje5yT.net
>>455
(引用開始)
＞資本主義とは何か？
検索しなよ いつものようにgoogleに「しほんしゅぎ」って入れてさ
資本主義
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(引用終り)
それ正に、
基礎論廃人のヒキコモリに対する反論にもなっているし
ショルツェ氏の間違いの指摘にもなっているね
1．基礎論廃人の「定義！ 定義！」に対する反論は、
まさに、こちらは独自の定義を使っていないから（一般共通の定義）、
おっさんの言い分は意味ないってこと
2．ショルツェ氏の間違いは、望月氏の定義をsimplificationしちゃったってことね
そうすると、お互い違う定義での議論になるよね。その議論は、凄く危険だってこと
本来は、共通の定義で議論しないといけないんだ
その危険性に、気付いていないショルツェ氏でした
以上
511:１３２人目の素数さん
21/10/23 08:04:39.54 s+Uxluaw.net
定義もできんカスがショルツェの間違いを語るwwwwwwwwwww
512:１３２人目の素数さん
21/10/23 08:54:22.67 Bd9CL3YV.net
>>463
>数学基礎論が衰退したのは何故か？
そもそも衰退したんですか？ｗ
>1．ヒルベルトの数学の公理化は、ある一定の成果を上げた
そもそも、ここから誤解がありますね
ヒルベルトのいう公理化と、
ブルバキのいう公理化は、
そもそも目的が違いますよ
前者は無矛盾性証明という目標を達成するためのもの
後者は数学全体の構造化ですね
ブルバキのいう公理化を「基礎論」というのは誤りです
ここ、素人が確実につまづくところです
>パラドックスに対する処方箋もできた。
何のパラドックス？ラッセル・パラドックス
それならツェルメロによる集合論の公理化の時点で達成されてますよ
>基本は、一階述語論理限定
>しかし、”一階述語論理限定”は、ちょっと狭い
なんで、唐突に一階述語論理が出てくるのかわかりませんが
もしかして
「述語論理を一階述語論理に限定することでパラドックスが回避される」
と思ってます？
それ、完全な誤解ですけど
>そこに出てきたのが圏論で、
>「一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち
> 高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、
> 現在では数学全体を通して応用されている」
>とあるように、圏論でパラドックスは出ないし、
>”高階論理との親和性がある”結構柔軟な理論だということで
> 多くの人が、圏論にシフトした
そもそも、集合論自体が「高階論理」（の一階論理上での公理系）ですが
圏論は数学側の都合でできたもので、
基礎論（つまり数理論理）の側から提案したものではないですよ
まあ、数理論理にも応用できるから興味を持たれてますが
「集合論（＝一階論理） VS 圏論（＝高階論理）」というあなたの理解は
そもそもVSも間違ってるし、集合論と圏論をそれぞれ一階論理、高階論理と
同一視するのも間違ってます
>素人なので、外しているかも知れませんが
ええ、上述のように完全に外しまくってます
数学書読まずにネットの文章だけ流し読みするから
そういう🐎🦌な誤解をするん
513:で まったく数学を諦めるか、しっかし数学書読んで学習するか どっちか選んでくださいね （個人的には前者をお勧めします あなたには向学心が欠如してるので）
514:１３２人目の素数さん
21/10/23 08:55:24.74 Bd9CL3YV.net
>>464
何度でもいいますが、読まずにコピペ、悪い癖だから、今すぐきっぱりやめようね
515:１３２人目の素数さん
21/10/23 09:00:19.28 Bd9CL3YV.net
>>465
>こちらは独自の定義を使っていないから
そもそも何の定義もしてないですよね あなたは
>（一般共通の定義）
素人の無知を開き直られても困りますね
勉強する気ないなら数学板の書き込みはもちろん読むのもやめてくださいね
あなたの精神の安定にとって有害ですから
>ショルツェ氏の間違いは、望月氏の定義をsimplificationしちゃったってことね
>そうすると、お互い違う定義での議論になるよね。
>その議論は、凄く危険だってこと
>本来は、共通の定義で議論しないといけないんだ
>その危険性に、気付いていないショルツェ氏でした
そもそも、望月氏が定義してないのが悪いんですが、気づきませんでした？
論文読めない素人がわけもわからず
「望月新一は日本人だから絶対間違えない！」
みたいな狂ったこと絶叫するの見苦しいですよ
516:１３２人目の素数さん
21/10/23 09:05:16.59 Bd9CL3YV.net
>>466
そもそも、定義の理解なんて、代数学では基本なんですが
高校卒業で数学終わっちゃった素人さんには理解できないようですね
無矛盾性証明に固執するのも狂った素人さんにありがちですね
VEyje5yTは精神科で診てもらったほうがいいとおもうな マジで
517:１３２人目の素数さん
21/10/23 11:15:24.01 VEyje5yT.net
>>466
基礎論廃人さん、おはよー
夜は、0時投稿後、朝は7時からご出勤
ご苦労さん
ほんと廃人やね
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
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数学 > 2021年10月23日 > s+Uxluaw
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518:１３２人目の素数さん
21/10/23 11:39:57.26 VEyje5yT.net
>>465 補足
> 2．ショルツェ氏の間違いは、望月氏の定義をsimplificationしちゃったってことね
> そうすると、お互い違う定義での議論になるよね。その議論は、凄く危険だってこと
> 本来は、共通の定義で議論しないといけないんだ
二人の数学者AとBと、議論をしているが噛み合わない
聞くと、お互いの定義が異なっていたという
それじゃ、話が合わなくて当然！
実際、ショルツェ氏自身が、”This will involve certain radical simplifications”と書いているよね（下記）
そして、結論として、”which leads to an empty inequality.”つまり、不等式は導けない という
一方、望月氏は、「そんなsimplifications するから、おかしくなる」という
お互いの主張が噛み合わない
実際、ショルツェ氏の主張が、厳密な数学になっていないのは明白だ
”simplification”なんて、百人居れば百様のやり方が可能だ
だから、本来は、ショルツェ氏が”simplification”無しでも主張が成り立つという証明をしなければいけない
しかし、その証明は、おそらくIUT自身と同じ複雑さになるだろうから、数百ページを要するかも
よって、普通は、原論文のギャップをピンポイントで指摘する。証明の欠陥を議論するときにはね
それをしないで、”simplification”だけの議論で終わったことは、大きな問題なのです
そんな話は、数学を知る人ならば、ごく常識の話なのだが、
フィールズ賞に目がくらんだひとには、それが見えなくなっているのです
つづく
519:１３２人目の素数さん
21/10/23 11:40:28.73 VEyje5yT.net
>>472
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(ncatlab)
520:.org/nlab/files/why_abc_is_still_a_conjecture.pdf Why abc is still a conjecturePETER SCHOLZE AND JAKOB STIX Date: July 16, 2018. 2.1. Glossary To facilitate the discussion, we will describe (only) the notions that are strictly relevant to explain what we regard as the error. This will involve certain radical simplifications, and it might be argued that such simplifications strip away all the interesting mathematics that forms the core of Mochizuki’s proof. P10 Thus, Mochizuki wanted to introduce scalars of j^2 somewhere on the left part of thisdiagram (which strictly speaking leads to inconsistencies, i.e. monodromy, on the left part of thediagram alone, which arguably can be overcome by using averages). However, it is clear thatthis will result in the whole diagram having monodromy j^2, i.e., being inconsistent.The conclusion of this discussion is that with consistent identifications of copies of real num-bers, one must in (1.5) omit the scalars j^2 that appear, which leads to an empty inequality. (引用終り) 以上
521:１３２人目の素数さん
21/10/23 11:53:07.70 VEyje5yT.net
>>467
>ヒルベルトのいう公理化と、
>ブルバキのいう公理化は、
>そもそも目的が違いますよ
ほんとおサル>>5-6は、笑えるな
「ブルバキ」は、基礎論のテキストではないよね
集合論の部分もあったと思うが
一般の数学用の集合論と、基礎論とは、書きぶりが全く異なるよね
例えば、3 (＝{0,1,2})＝{{},{{}},{{},{{}}}} なんて定義に従ったら
3x3＝9でさえ、とんでもないことになるよｗ
一般の数学用の集合論は、
あくまでアトム（＝Urelement（下記））を使う集合論にしないと、
”全てを空集合{}で定義する～！”とか言い出すと
収拾が付かないでしょｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object that is not a set, but that may be an element of a set. It is also referred to as an atom or individual.
(引用終り)
以上
522:１３２人目の素数さん
21/10/23 12:15:45.27 VEyje5yT.net
>>474 追加
Bourbaki Theory of Sets 1954 （下記）
これの本文は検索できなかったが、書評（下記）によれば
明らかに、この後に続く数学の基礎、
つまりは、一般の数学用の集合論であることは明白ですね
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Nicolas Bourbaki
Elements de mathematique[118][h]
Year Book References
1954 Theory of Sets [126]
References
126 Bagemihl, Frederick (1958). "Review: Theorie des ensembles (Chapter III)" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 64 (6): 390?91. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10248-7.
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
into six sections:
1. Order relations, ordered sets;
2. Well-ordered sets (including transfinite induction and the well-ordering theorem) ;
3. Equivalent sets, cardinals (including Cantons theorem that 2a > a) ;
4. Finite cardinals, finite sets (including mathematical induction);
5. Operations with integers (including combinatorial analysis) ;
6. Infinite sets (including the theorem that a2 = a if a is infinite).
About 35 of the 118 pages of the book consist of exercises,
(引用終り)
以上
523:１３２人目の素数さん
21/10/23 12:56:32.72 VEyje5yT.net
>>472
>二人の数学者AとBと、議論をしているが噛み合わない
>聞くと、お互いの定義が異なっていたという
>それじゃ、話が合わなくて当然！
当たり前だが、一言
上記は、定義の具体的な記載には依存しない
単に、数学者AとBと、二人の考えている定義に差があるならば、
話が合わなくて当然なのです
「定義もできんカスがショルツェの間違いを語る」>>466
などという批判は、全くの的外れです
524:１３２人目の素数さん
21/10/23 12:58:56.48 s+Uxluaw.net
アホ〜wwwwwwwww
525:１３２人目の素数さん
21/10/23 12:59:24.58 3G0Npyj8.net
住み処はきっと奥の方 便器のずっと奥の方
セタ公はそこからやって来る 便器のずっと奥の方
出し立てのくっさい糞を セタに食わせよう
セタ公に尿を掛けましょう 便器のずっと奥の方
526:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:22:55.39 Bd9CL3YV.net
>>472
根本的に状況をとりちがえてますね
定義をしていないのは望月新一のほうです
だからショルツは定義していない箇所に対して
simplificationとして実質自分の定義を示した
この解釈では定理が証明できない
違うというなら定義を示せ、と
しかしながら、望月新一氏は
狼狽したのか感情的にブチ切れ
しかも自分の定義は一切示せず
∧と∨の話にすり替えた
大変悪質といっていい
あなたも日本人なら、
ただ日本人だというだけで
やみくもに応援するのは
みっともないからやめてほしい
STAPのときも小保方晴子は絶対正しいと言い張ってた人がいたが
実際は彼女がＥＳ細胞を資料に混ぜる不正を働いていた
今回も望月新一は肝心の箇所の定義を怠り
しかも、それが明らかになってもなお自分の誤りを認めない
意図的な不正でなかったとしても数学者としては恥ずかしい
京大霊長類研は不正経理の件で取り潰しにあったが
数理解析研もこのままでは最悪取り潰されるね
527:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:29:02.53 Bd9CL3YV.net
>>474
ええ、ブルバキ「数学原論」は基礎論のテキストではないですよ
だからブルバキ「数学原論」レベルの定義の確認で
基礎論とかいいだすあなたが間違ってますよね？
あなた、自分が一度でも正しかったことがあると思ってるんですか？
悪いけど、一度だって正しかったことなんてないですよ
さて、今日のトンデモコメントはこれかい？
>一般の数学用の集合論は、
>あくまでアトムを使う集合論にしないと、
>”全てを空集合{}で定義する～！”とか言い出すと
>収拾が付かないでしょ
別に数がアトムだと言い切る必要なんてないけど
数を集合に割付できれば、加法や乗法なんて
いくらでも正しく定義できるけど
あなたが面倒くさがり屋で一度も考えないから分からないだけ
528:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:32:41.83 Bd9CL3YV.net
>>478
元ネタはこの曲ですね
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
多分、大学数学がちっとも理解できなかった
大学一年のセタ君（仮名）の気持ちは
こんな感じだったでしょうね
529:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:37:46.97 Bd9CL3YV.net
ま、パンクもいまや乃木坂におちょくられる存在になっちゃいましたが
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
なんか声が残念なんだよな
個人的には久保（左側のボーカル）を推してるんだが
これはなんか合ってない
・・・あ、すまん
530:ここ乃木坂板じゃなかったなｗ
531:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:42:25.66 Bd9CL3YV.net
そんな久保が最近唄った歌
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
532:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:48:52.60 Bd9CL3YV.net
>>475
セタ君（仮名）はブルバキの集合論からやりなおしたほうがいい
順序関係・（全）順序集合・整列順序集合を理解してるなら、
「ボクの考えた無限個の{}の入れ子」
にいつまでもみっともなく固執したりしないから
533:１３２人目の素数さん
21/10/23 14:57:44.39 VEyje5yT.net
>>468
＞何度でもいいますが、読まずにコピペ、悪い癖だから、今すぐきっぱりやめようね
話は逆
いままで、無様な錯覚と、傑作ゴミのカキコをして来たおサルさん
ちゃんと確認せず、間違いと錯誤を書くおサル
1．ここは学会ではない。よって、基本は数学的に新しい事項が、書かれることはない
2．逆に、数学的に新しいことが書かれたら、それは間違いと思うべし
3．新しい事項が、書かれることはないとすれば、いま書かれていることは、探せばどこかに類似のカキコがあるとか、複数の組合わせで表現できるべきもの
4．自分で一からタイプすれば、タイポ、過誤、錯覚などが混じり、不正確で間違いを含んだ文になりがち
5．よって、典拠を明示したコピペが、おサルより遙かに賢いということです！ QEDｗｗｗ
534:１３２人目の素数さん
21/10/23 15:11:58.67 VEyje5yT.net
>>463 補足
常識だが、一言
ラッセルのパラドックスの解消と、ZFC（一階述語論理）は関連している
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
一階述語論理の表現力
現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラッセルのパラドックス（和文はあまり参考にならないが貼る。基本は下記の英文ご参照）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Russell's paradox
Two influential ways of avoiding the paradox were both proposed in 1908: Russell's own type theory and the Zermelo set theory. In particular, Zermelo's axioms restricted the unlimited comprehension principle. With the additional contributions of Abraham Fraenkel, Zermelo set theory developed into the now-standard Zermelo?Fraenkel set theory (commonly known as ZFC when including the axiom of choice). The main difference between Russell's and Zermelo's solution to the paradox is that Zermelo modified the axioms of set theory while maintaining a standard logical language, while Russell modified the logical language itself. The language of ZFC, with the help of Thoralf Skolem, turned out to be that of first-order logic.[6]
Set-theoretic responses
Modifications to this axiomatic theory proposed in the 1920s by Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem, and by Zermelo himself resulted in the axiomatic set theory called ZFC. This theory became widely accepted once Zermelo's axiom of choice ceased to be controversial, and ZFC has remained the canonical axiomatic set theory down to the present day.
つづく
535:１３２人目の素数さん
21/10/23 15:12:23.18 VEyje5yT.net
>>486
つづき
ZFC does not assume that, for every property, there is a set of all things satisfying that property. Rather, it asserts that given any set X, any subset of X definable using first-order logic e
536:xists. The object R discussed above cannot be constructed in this fashion, and is therefore not a ZFC set. In some extensions of ZFC, objects like R are called proper classes. ZFC is silent about types, although the cumulative hierarchy has a notion of layers that resemble types. Zermelo himself never accepted Skolem's formulation of ZFC using the language of first-order logic. As Jose Ferreiros notes, Zermelo insisted instead that "propositional functions (conditions or predicates) used for separating off subsets, as well as the replacement functions, can be 'entirely arbitrary' [ganz beliebig];" the modern interpretation given to this statement is that Zermelo wanted to include higher-order quantification in order to avoid Skolem's paradox. Around 1930, Zermelo also introduced (apparently independently of von Neumann), the axiom of foundation, thus?as Ferreiros observes? "by forbidding 'circular' and 'ungrounded' sets, it [ZFC] incorporated one of the crucial motivations of TT [type theory]?the principle of the types of arguments". つづく
537:１３２人目の素数さん
21/10/23 15:12:54.62 VEyje5yT.net
>>487
つづき
This 2nd order ZFC preferred by Zermelo, including axiom of foundation, allowed a rich cumulative hierarchy. Ferreiros writes that "Zermelo's 'layers' are essentially the same as the types in the contemporary versions of simple TT [type theory] offered by Godel and Tarski. One can describe the cumulative hierarchy into which Zermelo developed his models as the universe of a cumulative TT in which transfinite types are allowed. (Once we have adopted an impredicative standpoint, abandoning the idea that classes are constructed, it is not unnatural to accept transfinite types.) Thus, simple TT and ZFC could now be regarded as systems that 'talk' essentially about the same intended objects. The main difference is that TT relies on a strong higher-order logic, while Zermelo employed second-order logic, and ZFC can also be given a first-order formulation. The first-order 'description' of the cumulative hierarchy is much weaker, as is shown by the existence of denumerable models (Skolem paradox), but it enjoys some important advantages."[8]
In ZFC, given a set A, it is possible to define a set B that consists of exactly the sets in A that are not members of themselves. B cannot be in A by the same reasoning in Russell's Paradox. This variation of Russell's paradox shows that no set contains everything.
(引用終り)
以上
538:１３２人目の素数さん
21/10/23 16:22:36.30 Bd9CL3YV.net
>>485
>基本は数学的に新しい事項が、書かれることはない
>逆に、数学的に新しいことが書かれたら、
>それは間違いと思うべし
じゃ、セタ君（仮名）の
「ボクの考えた無限個の{}の入れ子」
は間違いだなｗ
>新しい事項が、書かれることはないとすれば、
>いま書かれていることは、
>探せばどこかに類似のカキコがあるとか、
>複数の組合わせで表現できるべきもの
>自分で一からタイプすれば、
>タイポ、過誤、錯覚などが混じり、
>不正確で間違いを含んだ文になりがち
>よって、典拠を明示したコピペが、
>おサルより遙かに賢い・・・
それ、全部ウソだろｗ
本当は自分が理解することなく
知識をひけらかしたいから
検索した結果を丸ごとコピペしてだけだろｗ
そういう奴のこと日本語でなんていうか教えてやろうか？
「剽窃家」
539:１３２人目の素数さん
21/10/23 16:28:17.40 Bd9CL3YV.net
>>486-488
>ラッセルのパラドックスの解消と、
>ZFC（一階述語論理）は関連している
その書きぶりじゃ、
なんで、ZFCでラッセルパラドックスが解消できるか
全然分かってないな
実際は内包公理
{x|P(x)}
を分出公理
{x∈a|P(x)}
に置き換えただけだよ
{x∈a|￢x∈x}は自分自身を含まない
しかし、そこから
540:矛盾は導かれない なぜか？それは {x∈a|￢x∈x}∈a ではないから {x|￢x∈x}と書いてしまうと、 {x|￢x∈x}∈{x|￢x∈x} とせざるを得なくなる たったこれだけ ん？どうした？一階述語論理ｗｗｗ
541:１３２人目の素数さん
21/10/23 21:45:54.72 VEyje5yT.net
>>479
(引用開始)
定義をしていないのは望月新一のほうです
だからショルツは定義していない箇所に対して
simplificationとして実質自分の定義を示した
この解釈では定理が証明できない
違うというなら定義を示せ、と
(引用終り)
ほんと、おサルはサイコパス>>5-6
ウソ、誤魔化しのオンパレード
事実を曲げてまで、主張するかね？
いや、そういう甘いことをやるから
数学では、落ちこぼれになる
1，ショルツ氏は、自ら”simplification”と言っている
2．だから、「定義をしていないのは望月新一のほう」なんてあり得ない
3．もし、「定義をしていないのは望月新一のほう」ならば、その箇所をキチンと指摘すれば、それでIUTはノックアウトでしょ？ｗ
おサルさん
あんた煮ても焼いても食えないけど
その態度が、数学では落ちこぼれへの道だ
そして、
それを擁護する基礎論廃人についても
同じ
542:１３２人目の素数さん
21/10/23 23:41:10.17 VEyje5yT.net
>>490
(引用開始)
実際は内包公理
{x|P(x)}
を分出公理
{x∈a|P(x)}
に置き換えただけだよ
(引用終り)
？ 下記の内包公理および分出公理と言葉つかいが違うけど
お前の用語の使い方が正しいとする根拠あんの？ｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
知識は永遠の輝き
ある組織-5-内包公理
2010-10-11 06:31:19 | 数学基礎論／論理学
組織Vの規則は残り３つ、規則７－９ですが、規則７は論理式で表すと次のようになります。
規則７．∃x∀y(y∃x⇔(y∃a∧Ａ(y))
Ａ(y)というのは員yについて述べた何らかの文章(論理式)を示します。
昔から論理学の方では、分類される集合を決める方法として内包法と外延法の２つが区別されていました(注1)。内包法と言うのはある述語によって集合を規定する方法で、まさに規則７の方法そのものです。ゆえに規則７、すなわちZF公理系における公理７は内包公理(axiom of comprehention)とも呼ばれています。また集合aの部分集合を論理式Ａ(y)によって規定することから、部分集合の公理(axiom of subset)とも呼ばれています。また集合aからその一部を取り出すとも言えるので、分出公理(axiom of separation)とも呼ばれています。
一方外延法というのは、集合の要素１つ１つを枚挙してゆき明示することで、その集合を規定する方法です。つまり要素を全て規定することで集合を規定する方法であり、実は規則１の考え方に相当します。それゆえ規則１は外延性の公理(axiom of extentionality)と呼ばれています。
(引用終り)
以上
543:１３２人目の素数さん
21/10/23 23:55:54.65 VEyje5yT.net
>>490
(引用開始)
なんで、ZFCでラッセルパラドックスが解消できるか
{x∈a|￢x∈x}は自分自身を含まない
しかし、そこから矛盾は導かれない
なぜか？それは {x∈a|￢x∈x}∈a ではないから
{x|￢x∈x}と書いてしまうと、
{x|￢x∈x}∈{x|￢x∈x}
とせざるを得なくなる
(引用終り)
ワケワカをグダグダと書いてあるが、違うんじゃね？
「なんで、ZFCでラッセルパラドックスが解消できるか」の説明は下記にあるよ
つまり、ツェルメロは、パラドックスを回避しなければいけないこともわかっていたから、
ラッセルのパラドックス ” R={x｜ x not∈ x}”が、ZFC の中では構成できないように、構成手法に縛りをかけたんだ
それが、分出公理だってこと。そこを言わないとね。上記は、そこに触れてないから、零点ですｗ
なお、構成手法に縛りをかけた結果、一階述語論理内になったってことです
つづく
544:１３２人目の素数さん
21/10/23 23:56:19.18 VEyje5yT.net
>>493
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理はZFの公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀ X∃ A∀ x(x∈ A←→ (x∈ X∧ψ (x)))
この公理は、
545:論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、 これを {x∈ X｜ ψ (x)} で表す。 {x∈ X｜ x∈ Y} を X∪ Yで表す。 パラドックスの回避 ツェルメロが ZF の元となる公理系を1908年に発表した最大の動機は、実数が整列可能だとする彼の証明を弁護することであった。しかし、同時に彼はその当時すでに知られていたパラドックスを回避しなければいけないこともわかっていた。代表的なものとしては、 ラッセルのパラドックス、リシャールのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスがある。 これらのパラドックスは、集合を構成する方法に制限を付けている ZFC の中では展開できない。 例えば、ラッセルのパラドックスで用いられるラッセルのクラス（集まり） R={x｜ x not∈ x} は ZFC の中では構成できないし、 リシャールのパラドックスで用いられる構成は論理式で記述できない。 ラッセルのクラスRが集合でないことから集合全体のなすクラス（集まり） V={x｜ x=x} も集合でないことがわかる。なぜならもしVが集合なら分出公理からRも集合になってしまうためである。 ここまでの議論で使われた公理は外延性公理と分出公理のたった二つだけであるであることを最後に注意しておこう。 (引用終り) 以上
546:１３２人目の素数さん
21/10/24 03:07:48.93 T5H3rN2o.net
>>490
前頭葉が機能していないかまたは無駄な空回りばかりしているセタには論理的思考も直観的想像も無理､
海馬に頼り記憶の照合と填め合わせだけの記憶パズル思考が関の山｡
だから奴関連スレはコピペばかりのゴミ屋敷スレどころじゃない糞まみれスレに陥っている｡
正に便所虫の集合Aどころじゃない便食虫の集合Aらしい蠅魔王ベルゼバブセタに相応しい腐敗ぶり｡
547:１３２人目の素数さん
21/10/24 07:14:49.46 ljh0ogmi.net
>>491
>「定義をしていないのは望月新一のほう」なんてあり得ない
いつまでも勝手にジコチュウ妄想してろよ 🐎🦌
>「定義をしていないのは望月新一のほう」ならば、
>その箇所をキチンと指摘すれば、
>それでIUTはノックアウトでしょ？
その箇所をズバリ打ち抜いたのがsimplification
望月新一は正しい定義を示せずThe End これが真実
>>492
>？ 下記の内包公理および分出公理と言葉つかいが違うけど
同じ意味だよ っつーか、おまえ論理式、写し間違ってるぞｗ
>規則７．∃x∀y(y∃x⇔(y∃a∧Ａ(y))
正しくは、∃x∀y(y∈x⇔(y∈a∧Ａ(y)) な
それこそ、コピペすればいいだけなのに、なにわざわざ打ち間違ってんだよｗｗｗ
おまえ、∈も知らねえの？ そんな数痴に大学数学は無理だから諦めろ
>>493
>ラッセルのパラドックス ” R={x｜ x not∈ x}”が、
>ZFC の中では構成できないように、構成手法に縛りをかけたんだ
>それが、分出公理だってこと。そこを言わないとね。
おまえが云わなかったんじゃん お🐒のセタ
それをおれが>>490で教えてやったんじゃん なに捻じ曲げてんだよｗ
>上記は、そこに触れてないから、零点ですｗ
零点はわけも分からず「一階述語論理！」と吠えただけのお🐒のセタ
俺はズバリ分出公理でパラドックスが排除できるメカニズムを示したから100点
ま、実は数理論理学者のytb氏の受け売りだけどなwwwwwww
>なお、構成手法に縛りをかけた結果、一階述語論理内になったってことです
やっぱこいつ全然わかってねえなあ
内包公理も一階述語論理の式なんだが
ほ~れ、これが内包公理だよ
∃x∀y(y∈x⇔Ａ(y))
548:１３２人目の素数さん
21/10/24 07:39:54.41 ljh0ogmi.net
ラッセルパラドックスに関して
包括原理（内包公理）の制限による解決
ｙｔｂブログ 20070912/p2
論理の制限による解決
ｙｔｂブログ 20070917/p1
･･･
以下延々と続く
ytb氏が部分構造論理の話をしたくてこのネタを取り上げたのが見え見え
こういうの本で書けばウケるんだけどな モッタイナイ！！！
549:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:01:28.50 IwWQ/vZk.net
>>496
＞>規則７．∃x∀y(y∃x⇔(y∃a∧Ａ(y))
＞正しくは、∃x∀y(y∈x⇔(y∈a∧Ａ(y)) な
＞それこそ、コピペすればいいだけなのに、なにわざわざ打ち間違ってんだよｗｗｗ
ありがと
訂正しておく
550: >>492 規則７．∃x∀y(y∃x⇔(y∃a∧Ａ(y)) ↓ 規則７．∃x∀y(y∈x⇔(y∈a∧Ａ(y)) 補足：コピーしたんだが、別のところの修正で、置換機能で ∈→∃ を掛けたんだが、そのときに、全置換をしたので、無関係な規則７まで置換が走ったんだ ＞>？ 下記の内包公理および分出公理と言葉つかいが違うけど ＞同じ意味だよ そこ分かったよ、あんたの内包公理>>490の話 下記の ”restricted comprehension”（制限された内包）と、”Unrestricted comprehension”（無制限内包）とだね axiom of comprehension (内包性公理)は、最初Fregeが1884年に発表したが、このときは”Unrestricted comprehension”（無制限内包）だった（下記） （"contains all the essential steps of a valid proof (in second-order logic) ・・”） それが、ラッセルのパラドックスを生むことが分かって、”restricted comprehension”（制限された内包）にして、Zermeloが公理として採用したわけだ これが、後の「内包公理」 >>492になって、いま日本で「内包公理」というと、”restricted comprehension”のZermeloの公理を指すみたいだね （下記ご参照） (参考) https://ejje.weblio.jp/content/comprehension+axiom comprehension axiomとは weblio 内包公理; 内包性公理 つづく
551:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:02:44.09 IwWQ/vZk.net
>>498
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom schema of specification
In many popular versions of axiomatic set theory, the axiom schema of specification, also known as the axiom schema of separation, subset axiom scheme or axiom schema of restricted comprehension is an axiom schema. Essentially, it says that any definable subclass of a set is a set.
Some mathematicians call it the axiom schema of comprehension, although others use that term for unrestricted comprehension, discussed below.
Because restricting comprehension avoided Russell's paradox, several mathematicians including Zermelo, Fraenkel, and Godel considered it the most important axiom of set theory.[1]
Contents
1 Statement
2 Relation to the axiom schema of replacement
3 Unrestricted comprehension
4 In NBG class theory
5 In higher-order settings
6 In Quine's New Foundations
つづく
552:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:03:03.63 IwWQ/vZk.net
>>499
つづき
The axiom schema of unrestricted comprehension reads:
∀ w_1,・・・ ,w_n,∃ B,∀ x,(x∈ B←→ φ (x,w_1,・・・ ,w_n))
that is:
There exists a set B whose members are precisely those objects that satisfy the predicate φ.
This set B is again unique, and is usually denoted as {x : φ(x, w1, ..., wn)}.
This axiom schema was tacitly used in the early days of naive set theory, before a strict axiomatization was adopted. Unfortunately, it leads directly to Russell's paradox by taking φ(x) to be ￢(x ∈ x) (i.e., the property that set x is not a member of itself). Therefore, no useful axiomatization of set theory can use unrestricted comprehension. Passing from classical to intuitionistic logic does not help, as the proof of Russell's paradox is intuitionistically valid.
Accepting only the axiom schema of specification was the beginning of axiomatic set theory. Most of the other Zermelo?Fraenkel axioms (but not the axiom of extensionality, the axiom of regularity, or the axiom of choice) then became necessary to make up for some of what was lost by changing the axiom schema of comprehension to the axiom schema of specification ? each of these axioms states that a certain set exists, and defines that set by giving a predicate for its members to satisfy, i.e. it is a special case of the axiom schema of comprehension.
It is also possible to prevent the schema from being inconsistent by restricting which formulae it can be applied to, such as only stratified formulae in New Foundations (see below) or only positive formulae (formulae with only conjunction, disjunction, quantification and atomic formulae) in positive set theory. Positive formulae, however, typically aren't able to express certain
553:things that most theories can; for instance, there is no complement or relative complement in positive set theory. つづく
554:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:03:26.53 IwWQ/vZk.net
>>500
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。公理図式とも訳される。
目次
1 定義
2 有限公理化
3 公理型の例
4 有限公理化可能な理論
5 高階論理において
定義
公理型とは、 注目している公理系におけるメタ言語で記述された、(その系内部の)公理であって、 特にメタ変項（英語: metavariable）を含む式の事をいう。
有限公理化
型変数に代入されうる部分論理式や項の個数が可算無限だとすれば、ある公理型は可算無限個の公理の集合を表すことになる。この集合は通常は再帰的に定義できる。公理型を用いずに公理化できる理論は「有限公理化」可能であると言う。有限公理化可能な理論は、たとえそれらが推論を行う上で実用性に劣っていても、超数学的なエレガントさの上では幾分か優位であると看做される。
公理型の例
公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。
・帰納型：ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。
・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
これらの型は除去できないことが証明されている（最初の証明はリチャード・モンタギューによる）。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。
有限公理化可能な理論
ZFCで証明できる定理は全てフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（英語版）(NBG)でも証明できるが、大変驚くべきことに、後者は有限公理化されている。新基礎集合論(NF)は有限公理化可能だが、その場合はエレガントさが幾分か失われる。
高階論理において
一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。上で挙げた帰納法 と置換 の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。
つづく
555:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:03:52.34 IwWQ/vZk.net
>>501
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom schema（上記 公理型の英語版）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Frege's theorem
In metalogic and metamathematics, Frege's theorem is a metatheorem that states that the Peano axioms of arithmetic can be derived in second-order logic from Hume's principle. It was first proven, informally, by Gottlob Frege in his 1884 Die Grundlagen der Arithmetik (The Foundations of Arithmetic)[1]
Overview
the one truly new principle was one he called the Basic Law V[2] (now known as the axiom schema of unrestricted comprehension):[3] the "value-range" of the function f(x) is the same as the "value-range" of the function g(x) if and only if ∀x[f(x) = g(x)]. However, not only did Basic Law V fail to be a logical proposition, but the resulting system proved to be inconsistent, because it was subject to Russell's paradox.[4]
The inconsistency in Frege's Grundgesetze overshadowed Frege's achievement: according to Edward Zalta, the Grundgesetze "contains all the essential steps of a valid proof (in second-order logic) of the fundamental propositions of arithmetic from a single consistent principle."[4] This achievement has become known as Frege's theorem.[4][5]
556: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6 数学の哲学 目次 1 テーマ 2 数学の哲学の歴史概略 3 20世紀における数学の哲学 4 現代の学派 4.1 数学的実在論 4.1.1 プラトニズム 4.1.2 論理主義 4.1.3 経験主義 4.1.4 形式主義 4.2 直観主義 4.3 構成主義 4.4 フィクショナリズム 4.5 身体化理論 4.6 社会構築主義・社会的実在主義 4.7 伝統的学派を超えて 4.7.1 準経験論 4.7.2 数学と哲学の統一 4.7.3 数学の言語と自然言語 5 数学の美学 6 哲学の数学 (引用終り) 以上
557:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:17:26.90 ljh0ogmi.net
>>498
>修正で、置換機能で ∈→∃ を掛けたんだが
そもそも∈も∃も 意味全然わかってないだろｗ
>>>言葉つかいが違うけど
>>同じ意味だよ
>そこ分かったよ
おまえってほんと考えなしの軽率🐎🦌野郎だよなｗｗｗ
558:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:19:57.88 ljh0ogmi.net
>>499-502
誰もド素人の初歩的学習に興味ねえから一々クソコピペすんな 🐎🦌
559:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:23:46.33 IwWQ/vZk.net
>>497
>ラッセルパラドックスに関して
>包括原理（内包公理）の制限による解決
>ｙｔｂブログ 20070912/p2
>論理の制限による解決
>ｙｔｂブログ 20070917/p1
それ正しいよ
下記に、「ラッセルのパラドックス」を含む 自己言及のパラドックスの説明がある
その解決案の一つが、言語階層に制限をつけるという案
（注：ここの言語階層の階の定義と、second-order logicの”order”とは定義が違うことにご注意）
つまり、Fregeの最初の内包公理は無制限で、”in second-order logic”だったわけだ>>498
で、制限された内包公理で、Zermeloはパラドックスを避けることにしたわけです
結果、”in first-order logic”だったわけです
余談だが、基礎論廃人は、この話には全く入ってこれないんだよね、きっと
また「定義！ 定義！」と、外野から叫ぶのだろうがｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自己言及のパラドックス
哲学および論理学における自己言及のパラドックス（じこげんきゅうのパラドックス）または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。
「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。
目次
1 歴史
2 パラドックスの詳細と派生
2.1 集合論におけるパラドックス
2.2 土地台帳法
2.3 パラドックスでないもの
3 様々な解決案
3.1 言語階層
3.6 Dialetheism
4 嘘つきのパラドックスの論理構造
集合論におけるパラドックス
詳細は「ラッセルのパラドックス」を参照
集合論における典型的なパラドックスは次のようなものである。これは特に、バートランド・ラッセルが議論の対象としたことで知られる（ラッセルは述語論理における同様のパラドックスについても議論している）。
つづく
560:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:24:25.34 IwWQ/vZk.net
>>505
つづき
様々な解決案
言語階層
「文章に言及する文章」を矛盾無く取り扱うには「この文は間違っている」という文章をうまく排除する必要がある。「この文は間違っている」という文章を回避する方法として、言語に階層をいれる、というものがある。すなわち、言語に「レベル0の文章」、「レベル1の文章」…を以下のように作る。
・レベル0の文章：（自己言及や他己言及を含まない）「普通の」文章。
・レベル1の文章：レベル0の文章について言及している文章。
・レベル2の文章：レベル1の文章について言及している文章。
・…
・レベルi+1の文章：レベルiの文章について言及している文章。
・…
そしてこのようにレベルづけできる文章だけを（矛盾が生じる危険がないので）取り扱う事にし、その他の文章を扱うのを諦める。
Dialetheism
グレアム・プリーストを中心とする論理学者ら[誰?]は、嘘つきのパラドックスはdialetheismと呼ばれる見方からすると、真であり
561:同時に偽であると見なせるとした[9]。その論理体系では、文は真の場合、偽の場合、両方の場合がある。しかしこのような論理体系では、古典論理の基本原則である ex falso quodlibet、すなわち矛盾からはあらゆる命題が導かれうるという原則が成り立たない。このような論理を「矛盾許容論理」とも呼ぶ。 嘘つきのパラドックスの論理構造 嘘つきのパラドックスを文 A とすると、A は偽なので次のように表せる。 ・"A = 'A = false'" この式を解けるようにする最も単純な論理的手法は dealetheism 的手法であり、その場合 A は「真」であり同時に「偽」であると解釈する。他の解決策では、式に何らかの修正を施すことが多い。 (引用終り) 以上
562:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:43:36.03 IwWQ/vZk.net
>>504
止めを刺すよ
（>>485再録）
＞何度でもいいますが、読まずにコピペ、悪い癖だから、今すぐきっぱりやめようね
話は逆
いままで、無様な錯覚と、傑作ゴミのカキコをして来たおサルさん
ちゃんと確認せず、間違いと錯誤を書くおサル
1．ここは学会ではない。よって、基本は数学的に新しい事項が、書かれることはない
2．逆に、数学的に新しいことが書かれたら、それは間違いと思うべし
3．新しい事項が、書かれることはないとすれば、いま書かれていることは、探せばどこかに類似のカキコがあるとか、複数の組合わせで表現できるべきもの
4．自分で一からタイプすれば、タイポ、過誤、錯覚などが混じり、不正確で間違いを含んだ文になりがち
5．よって、典拠を明示したコピペが、おサルより遙かに賢いということです！ QEDｗｗｗ
(引用終り)
例えば、今回の内包公理の用語の問題
(>>492より引用開始)
実際は内包公理
{x|P(x)}
を分出公理
{x∈a|P(x)}
に置き換えただけだよ
？ 下記の内包公理および分出公理と言葉つかいが違うけど
お前の用語の使い方が正しいとする根拠あんの？ｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
知識は永遠の輝き
ある組織-5-内包公理
2010-10-11 06:31:19 | 数学基礎論／論理学
ZF公理系における公理７は内包公理(axiom of comprehention)とも呼ばれています。また集合aの部分集合を論理式Ａ(y)によって規定することから、部分集合の公理(axiom of subset)とも呼ばれています。また集合aからその一部を取り出すとも言えるので、分出公理(axiom of separation)とも呼ばれています。
(引用終り)
つづく
563:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:43:53.75 IwWQ/vZk.net
つづき
で、おサルの>>492の内包公理の用法で、”Unrestricted ”に使うのもあるよね。けど、多分古い用法なんでしょ
おサルが、基礎論を学んだころが、いまから30年くらい前だと思うけど、そのころ読んだ本は
仮に、出版から5年として、原稿が書かれたのが2～5年前、原稿の参考にした種本とか論文（洋書）とかは さらに平均5年くらい前として
およそ、50年くらい前の知識だ。で、30年経ったうろ覚えの記憶で、内包公理を書くから、
無様な、ワケワカでグダグダの恥さらし になってしまったのですｗ>>493
だから、結論：よって、典拠を明示したコピペが、おサルより遙かに賢いということです！ QEDｗｗｗ（上記）
以上
564:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:45:43.16 ljh0ogmi.net
>>505
>Fregeの最初の内包公理は無制限で、”in second-order logic”だったわけだ
>で、制限された内包公理で、Zermeloはパラドックスを避けることにしたわけです
>結果、”in first-order logic”だったわけです
🐎🦌丸出しｗｗｗ
Fregeの最初の理論には型がない
一方型理論では無限に型がある つまり無限階論理ｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
単純型理論による解消
項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、
述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する
（すなわち論理式の文法を制限する）ことで矛盾を回避する。
単純型理論は階型毎に無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
実はZFCも無限階論理として解釈できる
その場合の「階数」は到達不能順序数未満
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ZFCの下では、κ が強到達不能であるときVκ がZFCのモデルになる。
ZFの下では、κ が弱到達不能であるときゲーデル宇宙のLκ がZFCのモデルになる。
非可算基数 κ が弱到達不能基数（じゃくとうたつふのうきすう、英: weakly inaccessible）であるとは、
それが正則な極限基数であることを言い、
強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、
κ 未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
正則基数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集合論において、正則基数（regular cardinal）とは、その共終数がそれ自身である基数のこと。
共終数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数 α の共終数（きょうしゅうすう、cofinality）とは、
β から α への写像で その値域が α の中で非有界になっているようなものが
存在するような 最小の β のことを言う。
565:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:53:51.98 ljh0ogmi.net
>>507
>止めを刺すよ
自分にかい？お🐒のセタ君ｗ
>>508
>ワケワカでグダグダの恥さらし
お🐒のセタ君に読解力がないだけでしょｗ
unrestricted comprehension axiom （＝内包公理）
∃x∀y(y∈x⇔Ａ(y)) つまり {x|A(x)}が存在する
restricted comprehension axiom （＝分出公理）
∃x∀y(y∈x⇔(y∈a∧Ａ(y))) つまり {x∈a|A(x)}が存在する
はじめからそう書いている お🐒のセタ君が知らなかっただけ
いまわかっただろ？
やれ一階だ二階とかいうのが全然見当違いだったってことが
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
566:１３２人目の素数さん
21/10/24 11:57:42.11 ljh0ogmi.net
>>509
>ZFCも無限階論理として解釈できる
>その場合の「階数」は到達不能順序数未満
自然数論すなわち有限集合論も無限階論理として解釈できる
その場合の階数はω未満
567:１３２人目の素数さん
21/10/24 13:24:09.34 IwWQ/vZk.net
>>510
おれは、名前の議論はしない。だれか第三者に迷惑をかける可能性が有るからね
>>509
>一方型理論では無限に型がある つまり無限階論理ｗ
そこは(>>505 再引用開始)
下記に、「ラッセルのパラドックス」を含む 自己言及のパラドックスの説明がある
その解決案の一つが、言語階層に制限をつけるという案
（注：ここの言語階層の階の定義と、second-order logicの”order”とは定義が違うことにご注意）
(引用終り)
だな。なお
second-order logicなどについては、後述
>実はZFCも無限階論理として解釈できる
>その場合の「階数」は到達不能順序数未満
その通りだが、”「階数」は到達不能順序数未満”つまりω未満(>>511) で、ある種の無限階になるってことだよね
あなた、そこが理解できて居なかったねｗｗｗ
（例 >>405より
珍説1（>>354より）
「＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」
珍説2（>>363より）
「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は
両立する
(引用終り)）
568:１３２人目の素数さん
21/10/24 13:27:17.80 IwWQ/vZk.net
>>512
>second-order logicなどについては、後述
下記ご参照
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
萩野 達也
慶應義塾大学 環境情報学部 教授
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
論理学2018年度
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
論理学 第14回「いろいろな論理体系」萩野 達也
P19
その他の論理の話題
・ 二階述語論理および高階述語論理
・ 一階述語論理では量化記号は対象領域を動く変数に対してのみ用いること
ができる．
・ 二階述語論理では量化記号を述語（対象領域の部分集合）の変数にも用い
ることができる．
・ 三階述語論理では対象領域の部分集合全体の集合の部分集合を動く変数
に対して量化記号を用いることができる．
・ 一般にn階述語論理を定義することができ，すべての総称が高階述語論理．
つづく
569:１３２人目の素数さん
21/10/24 13:27:47.73 IwWQ/vZk.net
>>513
つづき
URLﾘﾝｸ(www.practmath.com)
実用的な数学を
2019年3月24日 投稿者: TAKAN
述語論理 Predicate Logic
目次
・数学の言語
一階述語論理「数学の基礎知識」
二階述語論理「一階述語論理より幅広い表現ができるやつ」
高階述語論理「表現の幅が更に拡張されたやつ」
・無限論理「無限に長い文を許しちゃう理屈」
・量化記号の概要
全称量化「全ての（もの）は（条件）を満たす」
存在量化「（条件）を満たす（もの）が存在する」
一階述語論理 First-Order (PL)
|| 数学の基礎そのものと言って良いレベルのもの
「個体（変数）」の「量化」だけ許してる、
「命題論理」を拡張した述語論理のことです。
なんでこれがメインかというと、
これだけ「完全性」と「健全性」が証明されてるからです。
こいつはまあ「一階」って言ってますが、
「二階」「高階」から削りに削って出来上がったものです。
そんな感じで、これはだめあれもだめをひたすら繰り返して、
色々と性質を確認して、ようやく得られた集大成になります。
一階という字面のせいであれですが、
基本というよりは「成果」と言うべきものになります。
二階述語論理 Second-Order (PL)
「個体（変数）」だけじゃなく「関数」と「述語」もOKなやつ。
一階述語論理を拡張したものです。
割と実用的ではあります。
推論は妥当（正→正）なもので、健全性は確かです。
なので、これをベースに推論を行っても基本的には大�
570:苺vです。 ただ、完全性は今のところ保証されていません。 実効性の面で、今後も保証されない可能性が高いです。 なので、なんで正しいのかを「証明」することはできません。 ここで「実効性」（決定可能性）というやつが出てきました。 これについては、詳しくは「再帰理論」でやります。 (引用終り) 以上
571:１３２人目の素数さん
21/10/24 14:09:14.22 T5H3rN2o.net
あれしきでトドメとは。あれのどこがどうトドメなのか？
トドメに成ってないトドメ宣言での御高説は女に多いがセタは女なのか？
572:１３２人目の素数さん
21/10/24 14:33:22.76 UPw45Ovj.net
>>505
基礎論廃人wwwwwwww
まぁいいや、オレの数学力はちゃんと金になってるからね
どっかの金にならんクソ数学マニアとは違うからな
wwwwwwwwwwwww
573:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:16:07.75 ljh0ogmi.net
>>512
>到達不能順序数未満つまりω未満で、ある種の無限階になるってことだよね
おまえ、アホじゃろｗ
到達不可能順序数はωよりはるかに大きいぞｗ
（注：到達不可能の条件には非可算であることが含まれる）
>珍説
>「＜上昇列 ０＜１＜・・・ω という無限列があり得る」と
>「＜上昇列 ０＜１＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない」は
>両立する
珍説でもなんでもない
>>372 2021/10/19(火) 19:08:23.67
>>407 2021/10/20(水) 19:05:57.93
を理解できるまで読み直せ
それまでここには書くなよｗ
574:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:22:01.59 ljh0ogmi.net
>>513-514
なんかお🐒のセタは二階論理全然 分かってなさそう
特に514のリンク先はどうみてもド素人が書いたもんだし
特にこの文章がヤヴァイ
「推論は妥当（正→正）なもので、健全性は確かです。」
こいつの頭、完全にイカレてるな
575:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:35:42.54 ljh0ogmi.net
>>516
お🐒のセタの新しい呼び名を思い付いた
「クソ論廃人 セタ」
ｗｗｗｗｗｗｗ
576:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:35:47.43 T5H3rN2o.net
何を今更
577:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:44:04.23 IwWQ/vZk.net
>>516
これはこれは、亀おじさんだね
レスありがとうございます。
ふーん、今日は日曜日か（下記）（意味曖昧だが）
カキコは、いまのところ、この1レスのみか
>まぁいいや、オレの数学力はちゃんと金になってるからね
それは、ご同慶の至りだが、日本数学会などで普通のアカデミックな数学の職での給与ではないんだろうね
それはともかく、数学力で金になるのは良いことだ
話は違うけど、サッカーなどでも、足の速さは金になる
陸上100メートルで優勝できなくても、”俊足”と呼ばれる程度でもね
おれの場合は、そういうこと。サッカーでは、足の速さ以外に、キックの力とかボールさばきもあって総合力なんだ
おれの場合は、物理や化学も、メシのたねなんだ
あ、余談だが、”基礎論”では、普通は金にはならんだろうね
（参考）
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
数学 > 2021年10月24日 > UPw45Ovj
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１３２人目の素数さん Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 60
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516 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/10/24(日) 14:33:22.76 ID:UPw45Ovj
>>505
基礎論廃人wwwwwwww
まぁいいや、オレの数学力はちゃんと金になってるからね
どっかの金にならんクソ数学マニアとは違うからな
wwwwwwwwwwwww
(引用終り)
以上
578:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:47:16.95 IwWQ/vZk.net
>>520
＞何を今更
同意だよ
但し、おれは名前の議論はしない。だれか第三者に迷惑をかける可能性があるから
クソ論廃人、同意だが
三人ともじゃね？ｗ
579:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:47:44.51 UPw45Ovj.net
>>521
お前数学の議論に参加できるレベルの知能ねーよwwwww
アホ〜wwwwwwwwwww
580:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:50:
581:55.10 ID:T5H3rN2o.net
582:１３２人目の素数さん
21/10/24 15:53:58.17 IwWQ/vZk.net
>>518
>特にこの文章がヤヴァイ
>「推論は妥当（正→正）なもので、健全性は確かです。」
>こいつの頭、完全にイカレてるな
まあ、その意見もありだろうね
但し、”健全性”の定義がなんとも
だから、定義次第という気もするし
なにか種本とかあって
そこからの孫引きじゃね？
だとすれば、種本を見ないとなんとも言えない
かつ、二階述語論理 即 不健全ってわけでもないだろうし
ちょっと引っかかりはあったけど、スルーして、引用した
583:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:10:28.48 IwWQ/vZk.net
>>523
＞お前数学の議論に参加できるレベルの知能ねーよwwwww
ありがと
で、あんたは？ 知能の証明ないけどｗｗｗ
>>524
>あとベルゼバブはお前に他ならない
ID:T5H3rN2o氏か。5ｃｈ徘徊パターンが、基礎論廃人そのものだ
雑談はここに書け！【５９】で、高木氏とご対談のパターンｗ
”ベルゼバブ”は、マンガからか。ドカベンと同じパターンだ
結論：なんだ、基礎論廃人の別IDかよｗｗｗ
それならば、ID:UPw45Ovj氏のカキコが少ない>>521のも納得だなｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
数学 > 2021年10月24日 > T5H3rN2o
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雑談はここに書け！【５９】
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 60
高校数学の質問スレ Part414
0.99999…は１ではない その23
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
『べるぜバブ』（BEELZEBUB）は、田村隆平による日本の漫画作品。『週刊少年ジャンプ』（集英社）2008年37・38号の第4回金未来杯を受賞し、2009年13号から2014年13号まで連載された
あらすじ
男子高校生・男鹿辰巳は、喧嘩の最中に川に流れてきたおっさんを割り、中から出てきた赤ん坊を拾う。その赤ん坊は、普通の子ではなく人類を滅ぼすために魔界から送り込まれた大魔王の息子・カイゼル・デ・エンペラーナ・ベルゼバブ4世（通称ベル坊）だった。ベル坊にすっかり気に入られてしまった男鹿はベル坊の侍女悪魔・ヒルダの監督の下、不本意ながらも魔王の親となり子育てをすることになる。
(引用終り)
以上
584:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:20:58.50 T5H3rN2o.net
>>526
お前に言った積もりだったんだがな
あ、ごめん、蠅は浄化を齎す汚れ役だからお前を蠅認定するのは過剰評価だった
ヤソマガツヒとか其処等の不浄の象徴辺りが似合うな
585:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:24:47.79 IwWQ/vZk.net
>>526
>『べるぜバブ』（BEELZEBUB）
下記ご参考まで
（この名はヘブライ語で「ハエの王」（一説には「糞山の王」[1]、糞の王」[2]）を意味する。）
大変すばらしいね、あんたの知能が高いことがよく分かったよ（反語）Ｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベルゼブブ
「ベルゼバブ」はこの項目へ転送されています。漫画については「べるぜバブ」をご覧ください。
ベルゼブブ（ラテン語: Beelzebub）はキリスト教における悪魔の一人。旧約聖書『列王記』に登場する、ペリシテ人の町
586:であるエクロンの神バアル・ゼブルが前身とされる。新約聖書『マタイ福音書』などではベルゼブル (Beelzebul) の名であらわれる。 目次 1 概説 2 旧約聖書におけるベルゼブブ 3 新約聖書におけるベルゼブブ 4 近世での展開 4.1 記録された事件 ランの奇跡 概説 ベルゼバブ、ベールゼブブとも表記される。この名はヘブライ語で「ハエの王」（一説には「糞山の王」[1]、糞の王」[2]）を意味する。 本来はバアル・ゼブル（ヘブライ語: ????? ??????? [Ba‘al z??ul]）、すなわち「気高き主」あるいは「高き館の主」という意味の名で呼ばれていた。これはおそらく嵐と慈雨の神バアルの尊称の一つだったと思われる。 パルミュラの神殿遺跡でも高名なこの神は、冬に恵みの雨を降らせる豊穣の神であった。一説によると、バアルの崇拝者は当時オリエント世界で広く行われていた、豊穣を祈る性的な儀式を行ったとも言われる。 しかし、イスラエル（カナン）の地に入植してきたヘブライ人たちは、こうしたペリシテ人の儀式を嫌ってバアル・ゼブルを邪教神とし、やがてこの異教の最高神を語呂の似たバアル・ゼブブすなわち「ハエの王」と呼んで蔑んだという。これが聖書に記されたために、この名で広く知られるようになった。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Beelzebub.png/330px-Beelzebub.png 『地獄の辞典』第6版(1863年)のベルゼブブのルイ・ル・ブルトンによる挿絵 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Beelzebub_and_them_with_him.jpg 『天路歴程』のフレッド・バーナードによる挿絵
587:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:27:09.58 ljh0ogmi.net
>>524
なんだ、てっきり「クソ論廃人」に対するコメントかと思ったよｗ
>>525
>ちょっと引っかかりはあったけど、スルーして、引用した
だから貴様はダメなんだ クソ論廃人 お🐒のセタ
588:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:33:14.06 ljh0ogmi.net
余談だが、七つの大罪に対して、それぞれ悪魔が対応してるらしい
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
傲慢 ルシファー
憤怒 サタン
嫉妬 レヴィアタン
怠惰 ベルフェゴール
強欲 マモン
暴食 ベルゼブブ
色欲 アスモデウス
消化もできない知識を無闇に貪って下痢便コピペを垂れ流す点では
クソ論廃人お🐒のセタは立派なベルゼブブかもなｗｗｗ
589:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:35:06.03 IwWQ/vZk.net
>>527
>ヤソマガツヒとか
あ、ごめん、ヤソマガツヒもマンガ？（下記）
でも、日本の神話に起源がありそうだね
ピクシブ百科事典に記事があるね（下記）
すごいね
あんたの知能の高さには、おそれいったぜＷ
ついて行けんなＷＷ
URLﾘﾝｸ(www.pixiv.net)
pixiv
ヤソマガツヒ#ヤソマガツヒのイラストやマンガは3件
URLﾘﾝｸ(i.pximg.net)
邪神・ヤソマガツヒ
URLﾘﾝｸ(dic.pixiv.net)
ピクシブ百科事典
ヤソマガツヒ（八十禍津日）とは、黄泉の穢れから生まれた日本神話の災厄の神である。
目次[非表示]
1 概要
2 創作での扱い
2.1 女神転生シリーズ
2.2 孔雀王曲神紀
創作での扱い
女神転生シリーズ
孔雀王曲神紀
590:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:46:08.05 IwWQ/vZk.net
>>530
＞余談だが、七つの大罪に対して、それぞれ悪魔が対応してるらしい
＞URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
へー
余談だが、おサルは、こういう話の方が
生き生きしているよ
数学科か。文系の方が良かった気がするなＷＷ
591:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:53
592::08.49 ID:T5H3rN2o.net
593:１３２人目の素数さん
21/10/24 16:55:31.40 IwWQ/vZk.net
>>528
＞「ベルゼバブ」
こんなのもヒットするな
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
「孔雀王」 レビュー (ファミコン)
2019-09-20
「荻野 真」氏原作の同名マンガのファミコン版
コマンド選択式アドベンチャー
開発も発売もポニーキャニオン
１９８８年９月２１日発売
『ピラミッド』にラスボス『闇の太君』が封印されているのだが
魔族が復活しようと暗躍していた。
その魔族の１人『ベルゼバブ』とかいうハエみたいなボスがいて
結界を破壊させようとしているのだがその前に『あしゅら』という少女を繰り出してくる。
こちらとしては初対面の少女だ。
ベルゼバブ
「その 娘の 名は あしゅら
お前と 同じ 星を
持つものだ」
あしゅらに対してはひたすら「はなす」で
説得を行うことになる。
(引用終り)
以上
594:１３２人目の素数さん
21/10/24 17:08:30.03 T5H3rN2o.net
孔雀王は儂の親父が読んどったが引越につき割愛廃棄された
臨・兵・闘・捨・皆・陣・烈・在・前
勝
595:１３２人目の素数さん
21/10/24 17:15:43.93 6Sa+PlBj.net
３人でオフ会でも開いたら？
596:１３２人目の素数さん
21/10/24 17:27:38.09 T5H3rN2o.net
儂は止めとく、セタを海浜に首から下を埋めて1時間頭を冷やしてやる積もりがポニョ爺と呑んだ暮れて
セタを掘り起こすの忘れて満潮で溺れさせそうじゃけぇのう｡
597:１３２人目の素数さん
21/10/24 17:38:35.22 ljh0ogmi.net
>>532
>余談だが、おサルは、こういう話の方が生き生きしているよ
お🐒は貴様だろう、クソ論廃人セタ
>>536
蕎麦氏同様俺もやめとく セタはリアルでもウザい奴に違いないから
598:１３２人目の素数さん
21/10/24 17:42:03.57 ljh0ogmi.net
クソ論廃人セタがクソコピペを一切止めたら考えないでもないがな
599:１３２人目の素数さん
21/10/24 17:48:49.98 ljh0ogmi.net
クソ論廃人セタへ
まず、（参考）禁止な
そして、（引用開始）（引用終り）禁止な
全部、自分の言葉で書けよ 🐎🦌
600:１３２人目の素数さん
21/10/24 18:41:03.75 ljh0ogmi.net
ついでに（下記）も禁止な
馬鹿ほど無駄なことを長々と書き散らかす
601:１３２人目の素数さん
21/10/24 20:55:16.58 IwWQ/vZk.net
>>517
>>到達不能順序数未満つまりω未満で、ある種の無限階になるってことだよね
>（注：到達不可能の条件には非可算であることが含まれる）
これ、日本語では、”到達不可能の条件には非可算であることが含まれる”かもしれないが
下記英語では、”Some authors do not require weakly and strongly inaccessible cardinals to be uncountable (in which case ｱﾚﾌ0 is strongly inaccessible).”
なんだって。残念ですねｗ
あと、細かいけど、”到達不能順序数”とは言わないのでは
つまり、”到達不能基数”（Inaccessible cardinal）という数学用語はあるが、”到達不能順序数”は数学用語として疑問では？
検索すると、”inaccessible ordinals”は、mathoverflowの質問レベルではある
なお、”inaccessible and Mahlo ordinals”の質問はあるが、”Mahlo Cardinal”の方が普通では？
数学の院試で基礎論の問題が出るとは思わないが、
学部レベルでは、すべからく学術用語は、キチンとしておくべきだろう
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inaccessible cardinal
602: The term "inaccessible cardinal" is ambiguous. Until about 1950, it meant "weakly inaccessible cardinal", but since then it usually means "strongly inaccessible cardinal". An uncountable cardinal is weakly inaccessible if it is a regular weak limit cardinal. It is strongly inaccessible, or just inaccessible, if it is a regular strong limit cardinal (this is equivalent to the definition given above). Some authors do not require weakly and strongly inaccessible cardinals to be uncountable (in which case ｱﾚﾌ0 is strongly inaccessible). Weakly inaccessible cardinals were introduced by Hausdorff (1908), and strongly inaccessible ones by Sierpi?ski & Tarski (1930) and Zermelo (1930). つづく
603:１３２人目の素数さん
21/10/24 20:55:51.97 IwWQ/vZk.net
>>542
つづき
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
On a characterization of the recursively inaccessible ordinals asked Oct 7 '16 at 17:27 Archimondain
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Proof of existence of recursively inaccessible and Mahlo ordinals asked Apr 19 '14 at 20:05 Wojowu
URLﾘﾝｸ(www1.maths.leeds.ac.uk)
Arch. Math. Logic (1990)
Ordinal Notations Based on a Weakly Mahlo Cardinal Michael Rathjen
(引用終り)
以上
604:１３２人目の素数さん
21/10/24 21:00:47.74 IwWQ/vZk.net
>>535 >>537
？
あんた、蕎麦屋のおっさん？
基礎論廃人だと思ってたけど？
>>536
> ３人でオフ会でも開いたら？
数学板 3馬鹿 オフ会？
考えただけで、笑えるなｗｗｗ
605:１３２人目の素数さん
21/10/24 21:13:51.33 ljh0ogmi.net
>>542
🐎🦌はつまらぬツッコミしかしないな 白痴か？ｗ
606:１３２人目の素数さん
21/10/24 21:24:00.53 T5H3rN2o.net
>>544
相変わらず節穴野郎じゃのう
607:１３２人目の素数さん
21/10/25 00:09:10.20 wB/2IR+g.net
>>509
>>で、制限された内包公理で、Zermeloはパラドックスを避けることにしたわけです
>>結果、”in first-order logic”だったわけです
>Fregeの最初の理論には型がない
>一方型理論では無限に型がある つまり無限階論理ｗ
なんか変
おかしいね
”in first-order logic”＝一階述語論理
型理論でも、”基盤となる論理は一階述語論理”もあるし
型理論での、高位の型、超限数個の型があってもなんら不都合は生じない という記述と混同または誤解しているようだな
”高階述語論理の例として、アロンゾ・チャーチの Simple Theory of Types”とあるから、高階まで
「無限階論理」という用語は、存在しないのでは？
なお、「無限論理」と「∞カテゴリー」という用語は存在する
もう、無茶苦茶やね
書いていること
うろ覚えのデタラメじゃんｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
型理論（かたりろん、英: Type theory）は、集合論を数学基礎論の観点から代替する目的で提唱された理論である。階型理論（かいけいりろん、英: Theory of Types）とも呼ばれる。20世紀初頭にバートランド・ラッセルが、いわゆるラッセルのパラドックスによってフレーゲの素朴集合論から矛盾が導き出されるという発見を説明するために提唱した、型の仮説群（theories of type）が型理論の始まりであり、後に簡約可能性公理（Axiom of reducibility）を随伴したその詳細は、ホワイトヘッドとラッセルの 『プリンキピア・マテマティカ』に収録されている。型理論は通常、計算機科学およびコンピュータプログラミングで用いられる型システムの学術研究として認知されている。
現在の型理論で有名なものは、アロンゾ・チャーチによる型付きラムダ計算と、マルティン・レーフによる直観主義型理論の二つである。
つづく
608:１３２人目の素数さん
21/10/25 00:09:34.16 wB/2IR+g.net
>>547
つづき
単純階型理論（Simple Theory of Types）
ここでは、Mendelson (1997, 289-293）の体系 ST を解説する。
基盤となる論理は一階述語論理であり、量化変数の範囲は型によって限定される。
最下層の型の個体要素は、ある集合論の原要素（Ur-elements）に対応する。それぞれの型にはより高位の型があり、ペアノの公理の後者関数（successor function）の記法にも似ている。ST では最高位の型があるかどうかは規定していない。超限数個の型があってもなんら不都合は生じない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
高階述語論理（こうかいじゅつごろんり、英: Higher-order logic）は、一階述語論理と様々な意味で対比される用語である。
例えば、その違いは量化される変項の種類にも現われている。一階述語論理では、大まかに言えば述語に対する量化ができない。述語を量化できる論理体系については二階述語論理に詳しい。
その他の違いとして、基盤となる型理論で許されている型構築の違いがある。高階述語（higher-order predicate）とは、引数として1つ以上の別の述語をとることができる述語である。一般に n 階の高階述語の引数は1つ以上の (n - 1) 階の述語である（ここで n > 1）。同じことは高階関数（higher-order function）にも言える。
高階述語論理は表現能力が高いが、その特性、特にモデル理論に関わる部分では、多くの応用について性格が良いとは言えない。クルト・ゲーデルの業績により、古典的高階述語論理の任意の標準モデルで真となる命題のみ、そしてそれらの全てを証明できるような（帰納的に公理化された）健全で完全な証明計算は存在しない。一方、モデルの範囲を（非標準的モデルを含む）ヘンキンモデルに拡大すれば、任意のモデルで真となる命題のみ、そしてそれらの全てを証明できるような、健全で完全な証明計算は存在する。
高階述語論理の例として、アロンゾ・チャーチの Simple Theory of Types や Calculus of Constructions (CoC) がある。
つづく
609:１３２人目の素数さん
21/10/25 00:09:53.36 wB/2IR+g.net
>>548
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
一階述語論理（英：first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（英：second-order predicate logic）と呼ぶ。それに、さらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（英：higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限論理 (むげんろんり、英: infinitary logic) は、無限に長い言明および／または無限に長い証明を許す論理である。
URLﾘﾝｸ(infinitytopos.wordpress.com)
はじまりはKan拡張
∞カテゴリー
投稿日: 2015年1月30日 投稿者: infinity_topos
●∞カテゴリーの3つのモデル
さて，Lurieの理論に話をもどそう．Higher Topos Theoryにおいて，この”(∞,1)-圏”というアイデアを実現する対象として，ある意味において同値な次の3つのモデルを導入している．
1.topological category
2.simplicial category
3.quasi category
(引用終り)
以上
610:１３２人目の素数さん
21/10/25 02:16:26.64 kGhWNLRY.net
事の顛末まとめ
ABCについては
ZBmath reviewに反論もできず、
3.12の飛躍が9年経っても埋められず
Clearly insufficient to prov
611:e the ABC conjecture でケリがついた。 IUTについては一部のマニアには面白いかもよ、ってレベルで落ち着いた。
612:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:03:48.31 hsOsnSo2.net
クソ論廃人のアホが夜中にわめいとる
>>547
>なんか変 おかしいね
おかしいのは貴様のオツム
>「無限階論理」という用語は、存在しないのでは？
貴様が知らんだけ 高階論理の中に無限階論理も存在する
>もう、無茶苦茶やね
>書いていることうろ覚えのデタラメじゃん
それは、素人の直感だけでデタラメ書くクソ論廃人の貴様
いいから夜は寝ろ
>>547-549
あと、リンクとコピぺ禁止な
考えずに未消化の下痢便垂れ流すな
613:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:05:55.94 hsOsnSo2.net
>>550
>IUTについては一部のマニアには面白いかもよ、ってレベルで落ち着いた。
IUTは極一部の愛国馬鹿がわけもわからず支持するトンデモに成り下がったｗ
STAP出でて理研滅ぶ
IUT出でて数解研滅ぶ
614:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:50:17.49 wB/2IR+g.net
>>542 追加
到達不能基数で下記は重要だね。IUTのIVの後半の議論と関連している
"The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (which could be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding."
因みに、後半には”二階述語論理のZFCのモデル”の話もあるよ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inaccessible cardinal
Existence of a proper class of inaccessibles
There are many important axioms in set theory which assert the existence of a proper class of cardinals which satisfy a predicate of interest. In the case of inaccessibility, the corresponding axiom is the assertion that for every cardinal μ, there is an inaccessible cardinal κ which is strictly larger, μ < κ. Thus, this axiom guarantees the existence of an infinite tower of inaccessible cardinals (and may occasionally be referred to as the inaccessible cardinal axiom). As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe. The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (which could be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
This is a relatively weak large cardinal axiom since it amounts to saying that ∞ is 1-inaccessible in the language of the next section, where ∞ denotes the least ordinal not in V, i.e. the class of all ordinals in your model.
つづく
615:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:50:36.59 wB/2IR+g.net
>>553
つづき
Two model-theoretic characterisations of inaccessibility
Firstly, a cardinal κ is inaccessible if and only if κ has the following reflection property: for all subsets U ⊂ Vκ, there exists α < κ such that (V_α,∈ ,U∪ V_α) is an elementary substructure of (V_{κ },∈ ,U). (In fact, the set of such α is closed unbounded in κ.) Equivalently, κ is Π _{n}^{0}-indescribable for all n ≧ 0.
It is provable in ZF that ∞ satisfies a somewhat weaker reflection property, where the substructure (Vα, ∈, U ∩ Vα) is only required to be 'elementary' with respect to a finite set of formulas. Ultimately, the reason for this weakening is that whereas the model-theoretic satisfaction relation ｜＝ can be defined, truth itself cannot, due to Tarski's theorem.
Secondly, under ZFC it can be shown that κ is inaccessible if and only if (Vκ, ∈) is a model of second order ZFC.
In this case, by the reflection property above, there exists α < κ such that (Vα, ∈) is a standard model of (first order) ZFC. Hence, the existence of an inaccessible cardinal is a stronger hypothesis than the existence of a standard model of ZFC.
つづく
616:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:50:58.19 wB/2IR+g.net
>>554
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
到達不能基数
到達不能基数による真クラスの存在性
興味を深い述語を満たす基数によるの真クラスの存在を主張する 集合論の重要な公理がいくつも存在する。 到達不能基数に関して対応する公理は、全ての基数 μ に対して それより真に大きい到達不能基数 κ が存在すると主張するものである。 従って、この公理は到達不能基数による無限のタワーが存在することを保証する (この公理はしばしば到達不能基数公理と呼ばれる)。 到達不能基数の存在性と同様に、この公理はZFCの下では証明できない。 ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom: 任意の集合 x に対して、x ∈ }∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。と同値である。 ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される (これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意)。 この公理系は、例えば全ての圏は 適切な米田埋め込み(en:Yoneda embedding)を持つということを証明するのに役立つ。
これは巨大基数公理より相対的に弱い。これは次の節の言葉で言うところの ∞ が 1-到達不能であると言っていることに等しいからである。 ここで ∞ は V に属さない最小の順序数、すなわち対象のモデルの全ての順序数によるクラスである。
つづく
617:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:51:13.64 wB/2IR+g.net
>>555
つづき
到達不能基数のモデル理論的な二つの特徴付け
一つ目として、基数κが到達不能であることはκが以下のreflection propertyを満たすことと同値である。: 全ての U ⊂ Vκに対してある α < κ が存在して (V_α,∈ ,U∪ V_α) が (V_{κ },∈ ,U) の初等部分モデルになる (実は、そのようなαの集合はκの中でclubである)。 全ての n ≧ 0に対して κ が Π _{n}^{0}-記述不能 であるというのもこの条件に同値である。
ZFの下で∞がreflection propertyよりいくらか弱い条件を満たすことが 証明可能である。ここで、部分構造 (Vα, ∈, U ∩ Vα)は 式の有限集合に関して'初等的'であることのみ要求される。
結局、この弱化の理由は モデル理論的充足関係 ｜＝ は定義できるが、 真理性は定義できないことによる。 タルスキの定理による。
二つ目は、ZFCの下で κが到達不能基数であることと (Vκ, ∈)が二階述語論理のZFCのモデルであることが 同値であることが証明できる。
この場合、上のreflection propertyによって、 あるα < κが存在して(Vα, ∈)が一階述語論理の ZFCの標準モデルとなる。 だから到達不能基数の存在はZFCの標準モデルの存在より強い仮定である。
脚注
1^ ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
(引用終り)
以上
618:１３２人目の素数さん
21/10/25 07:58:51.30 wB/2IR+g.net
>>551
>>「無限階論理」という用語は、存在しないのでは？
>貴様が知らんだけ 高階論理の中に無限階論理も存在する
"無限階論理"で検索すると、下記しかヒットしない
「無限階論理」という学術用語は、存在しないみたいだねｗ
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
数学基礎論・数理論理学 その10
259 ：１３２人目の素数さん：2011/11/06(日) 08:18:45.68
>>249-252
619:ゲーデルのLを知らんのか？ あれはまさに無限階論理といってもいいわけだが。 しかし、全ての階をいっしょくたにできるような 最上階というものは存在しない。 (引用終り) ＞あと、リンクとコピぺ禁止な 分かるよ おまえの無茶苦茶な うろ覚えのデタラメ 暴かれるからなｗ アホやなｗｗｗ
620:１３２人目の素数さん
21/10/25 08:15:31.98 wB/2IR+g.net
>>550
>ZBmath reviewに反論もできず、
> 3.12の飛躍が9年経っても埋められず
>Clearly insufficient to prove the ABC conjecture
>でケリがついた。
>IUTについては一部のマニアには面白いかもよ、ってレベルで落ち着いた。
（>>3より）
東大の重鎮 Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan)先生
8月末～9月初めの二つのIUT会議に出席したようです
Atsushi Shiho先生に教えてあげたら？
「IUTについては一部のマニアには面白いかもよ、ってレベルで落ち着いた」と
先生、喜ぶかもねｗｗ
ZBmath reviewが出たのは、IUT国際会議の前だったけど
先生は、読んでなかったみたい（って、そんなわけ無いだろうよｗ）
621:１３２人目の素数さん
21/10/25 16:31:02.80 P2mdyh23.net
>>514 追加
この”共終数”の説明がいいね
”共終数”の概念は、なかなか難しいね
URLﾘﾝｸ(www.practmath.com)
実用的な数学を
2019年4月20日 投稿者: TAKAN
極限基数 Limit Cardinal
目次
・概要「極限基数の雰囲気」
・順序数と基数「要素の数を表す数」
・フォンノイマンの割り当て「順序数を使った基数の定義」
・共終数「上に限りが無い、一番小さな部分集合」
共終数の具体例「共終数を実際に求めてみた」
・正則基数「共終数と、元になった基数とが一致」
・特異基数「共終数より、元になった基数が大きい」
基数の分類も、基本的には「順序数」と似たり寄ったりです。
まあ「基数」の割り当ての方法がそもそも「順序数」基準ですし、
似てるもなにも、ほとんど同じじゃんって感じではありますが。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Cofinal (mathematics)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cofinality
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cofiniteness
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
共終数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
補有限（英: cofinite; 余有限）
(引用終り)
以上
622:１３２人目の素数さん
21/10/25 19:20:28.52 hsOsnSo2.net
なんか闇雲に検索してるみたいだけど
>>553
>(到達不能基数は)IUTのIVの後半の議論と関連している
宇宙の存在＝到達不能基数の存在
これ豆な 知らなかった？
>因みに、後半には”二階述語論理のZFCのモデル”の話もあるよ
>under ZFC it can be shown that κ is inaccessible
>if and only if (Vκ, ∈) is a model of second order ZFC.
「ZFCの下では、(Vκ, ∈)が二階ZFCのモデルである場合に限り、
κが到達不能であることが示されます。」
で？何がいいたいの？
無限階論理としてのZFCを
二階論理上の公理系として
実現してても何の問題もないけど
論理、理解してる？
>>553-556
だから、何度もいうけど、
理解しないままコピペしても無駄だぞ
何がしたいの？
>>557
あのな、ノイマンのV*とかゲーデルのL*とかの
*(順序数)の部分を階数と考えていいんだぞ
フォン・ノイマン宇宙と
（ゲーデルの）構成可能集合
のところ読み直せ
フォン・ノイマン宇宙
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
構成可能集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>>559
だから、何度もいうけど、
理解しないままコピペしても無駄だぞ
何がしたいの？