21/10/16 09:45:00.20 UMLyo87G.net
>>273 補足
(>>220より)
Axiom of infinity URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
で、ノイマンの後者関数 suc(a)= a ∪ {a}。一方、ツェルメロの後者関数 suc(a)= {a}
比較すれば、分かるように、”a ∪ {a} -→ {a}” のように、余分の aを取ると、{a}になる
ここに、”-→” を、余分のaを取る操作を表すとする
0 = {} -→ {}0、 ネストの深さ0 （注：空集合までの{}のネストの深さ。以下同じ）
1 = {{}} -→ {{}}1、 ネストの深さ1
2 = { {}, {{}} } -→ {{{}}}2、 ネストの深さ2
3 = { {}, {{}}, {{}, {{}}} } -→ {{{{}}}}3、 ネストの深さ3
4 = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } } -→ {{{{{}}}}}4、 ネストの深さ4
・
・
N = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } ・・} -→ {・・{{{{{}}}}}・・}ω、 ネストの深さ∞
（Nは、空集合までの{}のネストの深さ∞であり>>221、{・・{{{{{}}}}}・・}ωもそう。ここに、∞はｱﾚﾌ0でありωである）
（なお、この構成法では、最外側の{}が存在することを、注意しておく）
上記ように、{・・{{{{{}}}}}・・}ωは、ノイマンの自然数の集合Nから、余分のaを取る操作で得られる
さて、ノイマンの自然数の集合Nの元、自然数とは何か？
ZFCの公理の中では、端的に、Axiom of infinity＝無限公理によって出来たNの元だということができる
つまり、「自然数とは何か？」という問いには、ZFC中では ”無限公理→集合N→集合Nの元”という順でしか語ることができない
”有限の自然数nを集めたもの”という記述は可能だが、話の順としては「無限公理→集合N→集合Nの元」が先だ
つまり、集合Nの元は、自然数nの有限の記述では到達できない。即ち、”元に関する有限の記述では到達できない”
（集合Nの元＝自然数n には、最大値が存在しないことに、注意。ここから、”元に関する有限の記述では到達できない”が従う）
そして、”元に関する有限の記述では到達できない”からこそ、無限公理が必要になる
つづく