21/08/21 22:38:18.39 kvCTkQ4a.net
>>117
つづき
また，シュタインハウス[註 58] とミチェルスキは 1962 年の
論文で，現在では決定性の公理 (Axiom of Diterminacy (AD)) と呼ばれている公
理 (と選択公理以外の集合論の公理) から，すべての図形に体積が定義できること
を証明しています．この公理については，更に 1990 年代以降に大きな研究の進展
があったのですが，それについては，たとえば Kanamori [30] をご覧ください．
一方，ヴィタリによる非可測集合の構成法を思い出してみると，R が整列可能
なら，ヴィタリが構成したような非可測集合が作れることがわかります．集合論の
公理系が無矛盾なら，選択公理を集合論の公理から除いたものに，選択公理の否定
と R の整列可能性の主張を加えた体系も無矛盾であることが示せます (例えば，前
出の Kunen [33] の VII 章の演習問題 (E4) の変形でこれが示せます[註 59] )． この
体系では，選択公理は成り立たないけれど，非可測集合は存在します．
(引用終り)
以上