21/08/08 08:57:21.28 WazGu/ED.net
ビップの方から来ました
3:1
21/08/08 11:49:44.04 SDG+YpoB.net
これは言い換えると、全ての自然数は一桁の数字であらわすことができるかどうかが焦点となります
自然数の公理では、特に明言がないため自然数が全て一桁の数としても問題ないように見えます
全ての自然数が一桁の数字で表せるのなら、その場合2桁の数は自然数ではなく
10は全ての自然数より大きい超自然数となります
4:１３２人目の素数さん
21/08/09 11:56:07.35 cfTafirP.net
その自然数進法では10-1はどうなるん？
5:1
21/08/09 15:56:04.39 4gD5MJTL.net
>>4
10-1は最後の自然数です。値としては1～∞のどの値でも成立します
少し発想の転換が必要となるので、たとえ話をします
鶏はオスですか？と質問されたら？？？となりますよね。
鶏はオスの鶏とメスの鶏を含むものであって、鶏はオスですか？は質問として成立しないです
鶏={オスの鶏、メスの鶏}
オスの鶏はオスですか？ならyesになります。
自然数の場合は、最大値が2の自然数体系、最大値が3の自然数体系、最大値が4の自然数体系...という
無数の自然数体系が存在すると考えてください
このとき単に「自然数」と呼んだ場合は、それらを含んだ総称になります
自然数={最大値が2の自然数体系、最大値が3の自然数体系、最大値が4の自然数体系...}
「最大値が3の自然数体系」の10-1はなんですか？は簡単に解を出せますが、
自然数の10-1はなんですか？は質問として成立しないです
6:1
21/08/10 18:58:58.82 PqrQ44V1.net
X進数というのは、2進数、3進数、4進数...と無限に大きい進数を作ることができます
自然数と同じ数のX進数を作成できるのであれば、>>1のように全ての自然数より大きい10が存在します
自然数と同じ数のX進数を作成できない(自然数のほうが大きい)なら、自然数より小さい無限を作り出せたことになります
どちらの結論でも面白いと思うんですけど、どっちなんでしょうね。それとも第三の道があるのか
7:1
21/08/16 11:04:15.71 NN77Uhio.net
反応はないけど、怒られるまでは続けていこうかな
・10は全ての自然数より大きい
これが正しいなら、10は自然数ではないことになります
超自然数でも何でもいいんですけど、自然数以外の何かです
それが何かを説明するために、負数と対比させます
自然数の公理系において、(0-1)は、解なしです。
同様に最後の自然数(10-1)に1を足した、((10-1)+1)は、解なしになります。
自然数の公理系には自然数しかないので、負数は存在できません
同様に自然数ではない10は存在できず、10に値する式の解は存在できません
8:1
21/08/17 18:46:32.81 gGToD7SN.net
(0-1)は、解なしというのが重要です
(0-1)という式・・存在する
(0-1)の解・・存在しない
自然数の世界の中に、負数である-1は存在しませんが
実質同等のものである(0-1)という式は存在できてしまいます。解はありませんが。
自然数の公理系の中には自然数しか存在しませんが、式という形式であれば自然数以外も存在できます
さらに結論をいうと、「10」は式です
9:1
21/08/18 18:12:57.46 PqPO40j/.net
１桁の数と2桁以上の数、私にはとても大きい違いがあると感じられるのですが、
そうでない人のほうが多いと思うので、それら違いを書いていきます。
①
1桁の数は任意の符号、2桁以上は消えられた文字列であり変更できない
具体例として3進数を考えてみます
一般的な3進数 ={0,1,2,10,11,12,20,21....}
3進数パターンA={0,1,g,10,11,1g,g0,g1....}
3進数パターンB={5,c,h,c5,cc,ch,h5,hc....}
最初の３つは自由に文字を割り当てることができますが、
4つ目＝10以上は決められたルールに従った文字列が必要です。
明らかに違いがあるわけで、その影響がどこかに出ることは自然なことかなと思います
10:１３２人目の素数さん
21/08/19 10:47:35.03 J0+bN0is.net
１さんが述べている、「１０」というのは
一般的な自然数の10個ではなく
最小の桁の数が初めて繰り上がった状態を表しています。
11:１３２人目の素数さん
21/08/19 10:53:51.07 J0+bN0is.net
自然数は10個しかないという言葉は誤解を招きそうです
正確には、一般的なN進法において、
使用する記号の種類と、○○進法における「１０」という表現が
同じ数であるということです。
12:１３２人目の素数さん
21/08/19 11:20:36.23 J0+bN0is.net
自然数進法、有限な数の位取り表記から
有限ではない数の位取り表記「１０」を目指すのは難しそうだけど
①さんには頑張って新しい理論を生み出してほしいです。
13:１３２人目の素数さん
21/08/19 15:54:20.36 aKqjpkAy.net
1進数や0進数について考えてみては？
14:１３２人目の素数さん
21/08/19 15:57:40.81 AlPfqvz6.net
>>13
1進数は0しか現せる数がない
0進数は現せる数が一つもない
15:1
21/08/19 18:37:00.49 Qp4jXoLt.net
>>13-14
0進数、1進数については考えたことはあるんですが、新しい知見は見つかりませんでした。すみません
>>10-12
補足ありがとう。
タイトルについては、センセーショナルにしたかったので
わざと誤解を生むような表現になっています。すみません。
補足通りの意図になります。
新しい理論が希望ということであれば、先にそちらに行ってみましょうか
>>1の裏付けとなる理論です。もしかすると背理法の根拠になるかもしれませんが、ならないかもしれません
・公理A,Bによって構成される公理系{AB}の大きさは、A,Bの積であるA∩Bである
・公理系{AB}を扱うことができる人は当然、公理系{A}、公理系{B}も扱うことができる
・公理系{A}、公理系{B}、公理系{AB}を同時に考えた場合、A∩!Bを満たすある値は公理系{A}内に存在し、公理系{AB}内には存在しないことが言える
一言でいうなら、公理系外のものを扱う理論です。
これを推し進めていった結果、>>1が得られました
16:1
21/08/20 18:26:58.04 +oqX0WrR.net
公理系{AB}を扱うとき、同時に公理系{A}も扱うことができます
{AB} < {A}でAのほうが大きいことは自明で
それはつまり、公理系より大きい集合を扱うことができるということです
このとき、公理系より大きい集合Aの要素を公理系{AB}ですべて列挙すると
どうなるでしょうというのが最大の問題です
17:1
21/08/20 18:28:19.48 +oqX0WrR.net
理屈自体は非常にシンプルでわかりやすいと思っているのですが
受け入れがたいのもわかりますので、質問してもらえればありがたいです
18:1
21/08/22 15:48:31.10 9MajnYtO.net
公理系より大きいAの集合を
公理系ABで外延的に列挙すると
公理系ABと同じサイズになります
外延というのは存在するものしか列挙できず
公理系に存在しないものは列挙できません
公理系には存在しないものを含む集合を列挙すると
その集合が変化してしまうというのがポイントです
19:1
21/08/22 16:42:25.00 9MajnYtO.net
公理系ABで、公理系Aも同時に考えると
「全て」という概念が曖昧になるんですよね
これをちゃんと考えると
「全て」という概念は公理系の大きさに依存する
ことがわかると思います
20:1
21/08/23 13:05:45.07 NwNRAIik.net
「全て」にかかわるものといえば、
要は数学では∀と∃です。
公理系{AB}で、その公理より大きい公理{A}全体を表す集合Aを考えるとき、
∀と∃の表す範囲は次の4種類が考えられます
∀A={A}
∀A={AB}
∃A={A}
∃A={AB}
21:１３２人目の素数さん
21/08/23 13:50:24.68 SKZa3/3G.net
狂気のはじまり
22:１３２人目の素数さん
21/08/24 18:22:54.15 zy7GJyWr.net
超自然数の演算について聞きたい
23:1
21/08/24 19:05:14.77 +W5Dkpda.net
∃Aは実質的に内包であり、Aの性質のみを判定します。「存在命題」という名前ですが、存在を保証しません
∀Aは実質的に外延であり、外延的に列挙できなければいけないという条件がありそれはつまりすべて公理系内に「存在」しなければいけないということです
それらをまとめれば。公理系{AB}で、その公理より大きい公理{A}全体を表す集合Aを考えるとき、以下になります。
∃A={A}
∀A={AB}
∀は、公理系外の要素が含まれていた場合、それらをすべて削除します。
例えばX={0,1,2,10}という集合Nがあった時、
10が存在する公理系では∀X={0,1,2,10}となりますが、
10が存在しない公理系では∀X={0,1,2}となります。∀によって得られたものは全て存在するものでなければいけません
>>22
自然数の公理系内で、Xが超自然数の時、∀Xの時に非可算の部分をすべて削除します
∃Xはそのままです。特殊なことはそれだけで、あとは通常通りです
24:1
21/08/24 19:06:34.46 +W5Dkpda.net
これは通常は未定義である、公理系外の要素の扱いを決めただけであり、
公理系内の要素のみを扱う場合には影響を与えない・・ハズです
∀ではなく、まったく別の記号を使えばあまり大きな軋轢は生まないと思いますが
とりあえず、あえて意味の異なる？∀を使います。
25:1
21/08/24 20:26:57.15 +W5Dkpda.net
>>22
超自然数の演算について、一番わかりやすいのを追加で出しときます
自然数進数において、10は超自然数です
このとき、例えば10(個)+10(個)=20(個)になります
この20(個)を列挙（自然数と一対一対応）すると、
10個分の自然数と対応が取れ、残りが削除されるので10(個)になります
10+10=10ですね。
10以上の数は同様に、列挙するとすべて10になります。
もちろん余りは出るのですが、それは公理系外の要素なので検出できません
公理系の中から見る限り、自然数と一対一対応がとれたとしか見えません
列挙さえしなければ10以上の数もそのまま意味のある値として使えるのですが
一回でも列挙してしまうと値としての意味が壊れてしまって、
10以上の数であるという状態を表すものになります
26:１３２人目の素数さん
21/08/25 12:51:27.18 +t3iGXoQ.net
では2^10は？
明らかに10より大きくなるけど
27:1
21/08/25 14:57:15.53 4cy42WuU.net
>>26
2^10は、明らかに10より大きいので自然数進数の公理系には存在しない値になります
2^10を式として使用するなら、そのまま使用できます(2^10 < 3^10 のように)
2^10を式として、値を求めるなら解なしとなります（＝自然数ではない）
2^10の個数の集合の個数を数えた場合、自然数進数の公理系内では自然数と同じ10個となります
これで回答になってますでしょうか
28:１３２人目の素数さん
21/08/25 18:22:46.67 +t3iGXoQ.net
2^10=3^10ではなく？
29:1
21/08/25 19:35:49.44 4cy42WuU.net
>>28
個数比較の場合、どの公理系で比較するかで答えが変わります
非可算の公理系：2^10 ≠ 3^10
可算の公理系：2^10 = 3^10 = 10
>>28さんがどちらの話をしているのかがわからないです...
30:1
21/08/26 13:34:43.17 DXZan/1j.net
この特殊な∃、∀について、自然数に関する公理について考えて見たいと思います
まずは特殊な∃、∀を使った外延公理
∀A∀B（∀X（X∈A←→X∈B）→A=B）
∀A、∀B、∀Xの段階でそれぞれ公理系に存在するもののみ抽出します
A, Bから公理系に存在するもののみを取り出しそれらの要素がすべて同じなら
（この公理系の中では）AとBは同じ
A,Bが存在しないものを含んでいても、それを削除してから操作するので
演算は公理系の範囲内に収まりこれといって問題はないかと思います。
31:1
21/08/27 19:33:07.64 cfVC5utM.net
ZFCの公理はすべてやろうかと思ったけれど、
そこまで実りもなさそうなので、要望があればということで後回しにします
結局のところ焦点は無限公理なので、それだけやります
∃A（0∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)）
Aが公理系外の要素を含む非可算のものだった場合、
∀Aで列挙した値+1は、∃Aの中にあるという意味になります。
超自然数Aで考えた場合、
∀A={０～(10-1)となるので、それぞれに＋１すると、
A'={(0+1)～((10-1)+1)}となり、それぞれの式は超自然数A(10以上の数を含む自然数)の中にあります
この解釈では、Aが超自然数だったとしてもそのまま無限公理が成立します
同様に、ZFCは超自然数Aでも成立してしまうんですよね、
意味はまるで別物になりますが。
32:1
21/08/28 12:53:52.44 5K2hr4sY.net
意味が別物というのは、例えば無限公理だと
最大の自然数に+1すると非可算の値になるというだけで、無限でもなんでもなく任意の大きさをもつただの有限集合であるということになります
じゃあ最大値が5とかの自然数を実際に作ってみようと思って作ったのが>>1です
なんか矛盾でも出るだろうって作ったのですが
あまりにしっくりきすぎて怖いくらいです
33:1
21/08/28 12:56:08.58 5K2hr4sY.net
てことで最低限必要な情報は出せたので
あとはマッタリツッコミ待ちします
34:1
21/08/30 11:15:09.87 tqSm4nl4.net
>>1含めてこれらが何の話かというと、
自然数が有限なのか無限なのか？可算なのか非可算なのか？というのがテーマです
一般には自然数は値は有限かつ可算、集合は無限かつ可算
ここで示そうとしているのは、2つの自然数があるということです
①自然数は有限かつ可算、集合は無限かつ可算
②自然数は無限かつ非可算、集合は無限かつ非可算
少なくとも有限の範囲では値=個数となる自然数において
全てあつめると無限かつ可算というのはおかしくない？っていう
誰もでも一度は考えたことのある疑問を突き詰めたものですね
35:1
21/08/30 11:17:05.73 tqSm4nl4.net
>>34
一番大事なとこ間違えた
①自然数は有限かつ可算、集合は有限かつ可算
②自然数は無限かつ非可算、集合は無限かつ非可算
36:1
21/09/02 22:47:51.46 zYQM78p1.net
>>25の続き掘り下げようかな
10+10=10
当然10＋1＝10 だし、10*2=10
これが何を暗示してるかというと
♾+♾=♾と同じだねってことです
37:1
21/09/03 20:54:05.59 JmHbTtV5.net
♾+♾=♾というのは、無限にしかない
特殊なものだよなんて言われたりもしますが
実際にはほとんど同じ特徴を持つものがあります
カンストっていう昔のゲームによくあった仕組みです
38:1
21/09/06 14:36:40.68 6KDJTGJE.net
カンストは、カウンターストップの略語で、
数字のカウントが上限に達し、それ以上のカウントがストップされることです。
99999までは普通に増えるけれど、それ以上増やそうと思っても
99999のままみたいな動きをします
カンストする場合、99999+1＝99999ですし、99999+99999＝99999です
まったく同じではないですが、大体同じ仕組みを>>1でも使います
39:1
21/09/07 22:07:35.08 yZ4Cp/Tj.net
無限の大きさ比較には一般に
自然数との一対一対応を使うのですが、
その手法には大きな欠陥があります
自然数の方が大きい場合には正確に計測できるのですが、対象物が自然数より大きい場合に計測不能になります
計測不能になるのは超自然数の世界で計測した場合であって、自然数の世界で計測すると、自然数と同じ大きさだと混同します
カンストですね
40:1
21/09/08 12:02:49.53 Cx38iedR.net
計量カップとかをイメージしてもらうとわかりやすいかな
500mlまで測れる計量カップは
100mlや200mlは正確に測れます
ただし、600ml入れると溢れてしまいます
その時、計量カップの外から見ると、溢れたことがわかるので、500ml+αってことがわかります
しかし計量カップの中から観測すると、溢れたことに気づけないので、ピッタリ500mlと勘違いしてしまいます
定規でも体重計でもなんでもいいんですけど、その計測能力を超えたものを計測するなら、何か変なことが起きます
41:1
21/09/09 13:40:33.46 CUH7M3pi.net
自然数を使って対象を計測するなら、
自然数以下のものしか測れないってことです
42:1
21/09/10 12:00:47.03 iHFRFbJ1.net
無限での比較は自然数との一対一対応、つまり全単射となります
全単射にはおかしなところがあります
それを掘り下げていきます
43:1
21/09/11 11:59:46.72 3nadurQr.net
全単射は、全射が成立し、かつ単射が成立することです
2つの独立した条件が成立することが条件であるということに注目してください