Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 57

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 57at MATH

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 57 - 暇つぶし2ch97:-09) 類体論とはどういうものか? というPDF http://alg-d.com/math/number_theory/class_field_theory.pdf 代数的整数論類体論 @alg d 2013 年 2 月 9 日 0 初めにこの PDF は某国某所で某氏によって開催されたとあるセミナーで発表する内容をまとめたものです．当然，こんな量喋りきれるはずは無いので当日は適当に必要な部分だけ喋りますが，PDF の用量に制限は無いので書けるだけ書いています．今回の話は類体論がどういうものかを理解してもらうのが目的です．類体論をやるには当然代数的整数論の基本的な知識が必要ですが，頑張ってその辺をごまかしています．(無理なところは諦めてその辺の知識を仮定しています．) 目的が目的なので類体論の証明などは殆どやりません．というかそういうのを勉強したい方は本を読んで下さい． 1 導入　～有理数体の類体論へ～ 2 代数体の類体論 K/Q を代数体，m を K のイデアルとする．以下，K は総虚であるとする．(即ち，埋め込み K ?→ R は存在しないとする．これは以下の議論を簡単にするための仮定である．) 4 現在の類体論さて，今まで類体論をざっと眺めてきたが，類体論をちゃんと勉強しようと例えば『数論 I』などを読んでみるとここで書いてきたようなこととは全然違うことが書いてありビックリすると思われる (というか筆者の実体験)。今回紹介したのは高木貞治先生が作った時の類体論であり，現在では証明も含めて色々と整理されている．ここではそれを軽く紹介する．既に書いたように「類体 = アーベル拡大体」，即ち類体論とはアーベル拡大の理論である．ところでアーベル拡大体たちの合成体はアーベル拡大になるから，特に体 k の全てのアーベル拡大の合成体はまたアーベル拡大である．これを最大アーベル拡大といい kab/k と書く．この拡大の Galois 群 Gal(kab/k) を知ることが重要である．何故ならば任意のアーベル拡大 K/k は kab/k の中間体であり，よって Galois 理論によって Gal(kab/k) の部分群と対応しているからである．つづく

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