21/06/26 03:08:13.77 U0t83wXJ.net
過去スレ (続き)
31 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1622242743/
3:１３２人目の素数さん
21/06/26 08:55:03.90 YwxapBim.net
表のでる確率が0.6のコインを投げて表がでると賭金3倍に、裏がでると賭金が0になるギャンブルを行う。
毎回資金の一定割合を賭金にして資金が2倍になるまで続ける。
賭金の割合をいくつにすればギャンブル回数が最小になるか。
4:１３２人目の素数さん
21/06/26 09:01:44.66 zKWAEMAp.net
転載
こんなのあった
α、β、γをα+β+γ=πである鋭角とする
この時直方体XAFB-CEYDで
XBYEとXCYFのなす角がα、
XCYFとXAYDのなす角がβ、
XAYDとXBYEのなす角がγ
となるものが取れる
らしい
5:１３２人目の素数さん
21/06/26 14:15:57.53 7zoShJey.net
>>3
尿瓶ジジイ失せろ
6:１３２人目の素数さん
21/06/26 18:02:33.93 eu9ffy+8.net
Σ[n=0,∞] (1/2)^n / C[3n,n] をπとlog(2)を含む有理数係数の式で表し、それが成り立つことを示せ
7:１３２人目の素数さん
21/06/26 19:29:16.08 BRN9Xlq7.net
ググるとこんなのは出てくるけどアルゴリズムは出てこないな
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
8:１３２人目の素数さん
21/06/27 01:32:23.91 ZvGr1oiE.net
>>4
u=tanα、v=tanβ、w=tanγ、a=1/√vw、b=1/√wu、c=1/√uvとおく
uvw=u+v+wよりa^2+b^2+c^2=1である
3辺の長さがa,b,cの直方体を考えると、対角面の法線ベクトルは
(a,-b,0),(0,c,-a),(b,-c,0)とおけるからそれらのなす角の余弦、正弦の組み合わせは
bc/√((a^2+b^2)(a^2+c^2))、a/√((a^2+b^2)(a^2+c^2)、
ca/√((b^2+c^2)(b^2+a^2))、b/√((b^2+c^2)(b^2+a^2)、
ab/√((c^2+a^2)(c^2+b^2))、c/√((c^2+a^2)(c^2+b^2)、
であり、正接が
a/bc=u、b/ca=v、c/ab=w
によりこれが求める直方体である
9:１３２人目の素数さん
21/06/27 02:00:16.79 movehHSD.net
近似値
Σ[n=0,∞] 1/((2^n) C(3n, n)) = 3Ｆ2(1/2, 1, 1；1/3, 2/3；2/27) = 1.1849590120910735276403292
10:１３２人目の素数さん
21/06/27 12:58:05.83 qEFpToRj.net
以前同じの出したか覚えてないけど自分の中で未解決なので投稿
一変数整係数多項式 f,g∈Z[x] の組 (f,g) であって
(x^2+3)f(x)^2 + 1 = g(x)^2
を満たすものは (0,±1) 以外に存在するか
11:１３２人目の素数さん
21/06/27 13:53:36.23 I7hB9BzO.net
f(z) = e^(-iz^2)/(1+e^(2(√π)z)) に関して(iは虚数単位)
±R,±R+i√πを頂点とする長方形(R>0)の経路積分の留数解析のみで
(1) ∫[-∞,∞] sin(x^2) dx = √(π/2)
(2) ∫[-∞,∞] cos(x^2) dx = √(π/2)
を示せ
12:１３２人目の素数さん
21/06/27 23:48:01.61 IxaNcphO.net
>>10
(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす f(x),g(x)∈C[x] を全て求めることにする。
deg g≧2 のときを考える。自動的に deg f≧1 である。
n＝deg f≧1, m＝deg g≧2と置く。(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2により、
両辺の最高次を比較して 2n＋2＝2m なので、n＋1＝mである。
(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を微分して、2xf^2＋(x^2＋3)2ff'＝2gg'なので、
C[x]において f｜gg' である。(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 により、C[x]において
gcd(f,g)＝1なので、C[x]において f｜g'であり、g'＝qfなるq(x)∈C[x] が取れる。
deg g≧2により、deg g'≧1なので、自動的に q≠0 であり、
deg g'＝deg q＋deg fである。すなわち、m－1＝deg q＋n である。
n＋1＝mだったから、deg q＝0である。よって、q は0でない定数であり、
f＝(1/q)g' となる。これを(x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 に代入して、
(x^2＋3)(1/q)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 …(1)
となる。g(x)の最高次の係数をa≠0として、(1)の両辺の最高次の係数を比較すれば
(1/q)^2(ma)^2＝a^2なので、q＝±m であり、f(x)＝±(1/m)g'(x) となる。
そして、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2となる。
13:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:01:12.97 O9MxQRsv.net
(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を微分すると
2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g(x)g'(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x) … (2)
である。g(x)＝Σ[i＝0～m] a_i x^i, a_m≠0 と置いて、(2)から地道に係数を比較する。
mの偶奇に応じて計算の仕方が少し変わるので、ここは場合分けになる。
いずれの場合も、a_i が具体的に決まって、ある具体的な h_m(x)∈C[x]とある a∈C－{0} に対して
g(x)＝ah_m(x)という形になる。また任意のb∈C に対して、g(x)＝bh_m(x)は(2)を満たすことが(逆算で)確かめられる。
そして、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 にg(x)＝bh_m(x), g'(x)＝bh_m'(x)を代入してx＝0での値を見ると、
bの値が決まり、b＝±c_m (c_mはmごとに決まる唯一の値)という形になる。
g(x)＝±c_mh_m(x) が (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を満たすことを示すのだが、
まず g(x)＝±c_mh_m(x) は既に(2)を満たしているので、つまり ((x^2＋3)g'(x)^2＋m^2－m^2g(x)^2 ) ' ＝ 0
が成り立つことになる。よって、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2－m^2g(x)^2＝C なる定数Cが取れるので、
x＝0を代入すると、b＝±c_m の取り方から 0＝C と計算できるので、確かに (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 が成り立つ。
14:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:09:01.82 ulLm3RVN.net
このことから、各 m ＝ deg g ≧ 2 ごとに唯一の H_m(x) が存在して、
(f(x),g(x))＝((α/m)H_m'(x),βH_m(x)) (α,β∈{－1, 1})
という4つのみが (x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たすことが分かる。H_m(x)は、具体的には次のようになる。
m＝2l, l≧1のとき： H_m(x)＝Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k))/(3(k＋1)(2k＋1)) ) x^{2i}
m＝2l＋1, l≧1のとき： H_m(x)＝(√(－1))((2l＋1)/√3)Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k＋1))/(3(k＋1)(2k＋3)) ) x^{2i＋1}
ただし、Π[k＝0 ～ －1](…) ：＝ 1 と規約する。
あとは、deg g＝1, deg g＝0, g＝0 のケースが残っている。
deg g＝1 のときは、個別に計算して解(f,g)を求めると、その解は
＞ m＝2l＋1, l≧1のとき： H_m(x)＝(√(－1))((2l＋1)/√3)Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k＋1))/(3(k＋1)(2k＋3)) ) x^{2i＋1}
の部分でl＝0とした場合に一致するので、上の表現でl＝0を許容したものに吸収される。
deg g＝0のときは、(f,g)＝(0,±1)となる。g＝0のときは、解(f,g)は存在しない。
これで全ての解が求まった。この中で f(x),g(x)∈Z[x]を満たすものを探すと、m＝2l＋1, l≧0 のときは、
H_m(x)の係数に (√(－1))/√3 が入っているので自明に不適。m＝2l, l≧1 のときは、H_m(x) の最高次の係数が
Π[k＝0～l－1] (2(l－k)(l＋k))/(3(k＋1)(2k＋1)) になっているが、これは整数にならないことが計算できるので、
やはり不適。よって、(f,g)＝(0,±1)しかない。
15:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:28:39.46 24729WJH.net
n×n整数行列のなす環Mn(Z)の自己同型はある可逆行列Aを用いてX→AXA^-1と書けることを示せ
16:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:39:31.10 JaTsP/nq.net
>xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x)
もうここまで行ったら解いちゃった方が
17:早くね？ g(x) = cosh(c + i m sinh^(-1)(x/sqrt(3))) だってby 大先生 積分定数cが純虚数でなければ実数値関数になりえず、その場合でも有界にしかならない
18:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:57:06.55 JaTsP/nq.net
>>15
R=Mn(Z)とおく
MをZのn個の直和として自然にR加群とみなす
φ:Mn(Z)→Mn(Z)を環の同型写像としてMをφを通した後作用させることによりR加群とみなした物をNとおく
MとNはR加群として同型であるから(∵ projective, indecomposableだけど森田対応Mod(R)≡Mod(Z)によりそれは同型の意味をのぞいてただひとつ)
よってR加群としての同型a:M→Nが取れるが、これを行列表示したものが求める行列である
19:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:03:11.05 ulLm3RVN.net
>>16
＞積分定数cが純虚数でなければ実数値関数になりえず、その場合でも有界にしかならない
m＝deg g として、m＝2l, l≧1 のときは、>>14により
(f(x),g(x))＝((α/m)H_m'(x),βH_m(x)) (α,β∈{－1, 1})
が (x^2＋3)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たすので、特にα＝β＝1として、
(f(x),g(x))＝((1/m)H_m'(x),H_m(x)) かつ (x^2＋3)H_m'(x)^2＋m^2＝m^2 H_m(x)^2
となる。つまり(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 となる。微分すると
2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g(x)g'(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x) … (2)
である。つまり、g(x)＝H_m(x) は(2)を満たす。ここで、
H_m(x)＝Σ[i＝0～l]( Π[k＝0～i－1] (2(l－k)(l＋k))/(3(k＋1)(2k＋1)) ) x^{2i}
は有理数係数のm次多項式であるから、少なくとも Q[x] の範囲内で、
(2)の自明でない解 g(x)∈Q[x] が各 m＝2l, l≧2 に対して必ず存在する。
20:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:05:25.96 ulLm3RVN.net
例：
g(x)＝H_2(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝2 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝2^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_4(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝4 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝4^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_6(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝6 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝6^2g(x) が成り立つ。
21:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:14:08.16 ulLm3RVN.net
すまん。くだらない記述ミスを発見してしまった。
>>13
＞ (x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を微分すると
＞ 2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g(x)g'(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
＞
＞ xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x) … (2)
ここは記述ミスで、正しくは
――――――――――――――――――――
(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 を微分すると
2xg'(x)^2＋(x^2＋3)2g'(x)g''(x)＝m^2 * 2g(x)g'(x) なので、deg g'≧1 により
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝m^2g(x) … (2)
――――――――――――――――――――
となる。つまり、(x^2＋3)g(x)の部分が記述ミスで、正しくは (x^2＋3)g''(x) ということ。
その他の部分はちゃんと「 (x^2＋3)g''(x) 」のつもりで計算してるので問題ないはず。
22:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:27:06.30 ulLm3RVN.net
>>18-19も、記述ミスの部分をそのままコピペしてるので意味不明になってるが、
「(x^2＋3)g(x)」の部分を「(x^2＋3)g''(x)」に差し替えると正しい記述になる。
一応修正しておくと、たとえば>>19は次のように修正される。
例：
g(x)＝H_2(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝2 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝2^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_4(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝4 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝4^2g(x) が成り立つ。
例：
g(x)＝H_6(x) と置くと、g(x)∈Q[x], deg g(x)＝6 であり、かつ
xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝6^2g(x) が成り立つ。
23:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:30:23.16 JaTsP/nq.net
>>18
あれ？
解あんの？
なんで大先生時間違ってるんだろう
積分定数どう考えても一個しかないよな？
sqrt問題かな？
24:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:38:07.37 JaTsP/nq.net
>>20
え？そこ？
f | gg'
と次数みて
g' = mf (m: const )
まではあってるでしょ？
なら
m^2(x^2+3)(g')^2 +1= g.^2
までは間違いないし一階の常微分方程式で解空間は一次元のはずなんだけどな
25:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:47:27.64 ulLm3RVN.net
>>23
まず、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 は1階の微分方程式ではない。
また、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 の両辺を微分するときに、
右辺には g(x)^2 が出現しているので、微分した後には g(x)g'(x) が出現するが、
左辺は g(x)^2 ではなく g'(x)^2 が出現しているので、微分した後には
g(x)g'(x) ではなく g'(x)g''(x) が出現する。最終的に得られる(2)は
・ xg'(x)＋(x^2＋3)g(x)＝m^2g(x)
ではなくて(もしこれなら1階の微分方程式だが、これは記述ミス)、正しくは
・ xg'(x)＋(x^2＋3)g''(x)＝m^2g(x)
というもで、g, g', g'' に関する2階の微分方程式になっており、これが正しい形。
26:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:54:41.34 JaTsP/nq.net
大先生にお願いして解析してもらったら積分定数が純虚数のとき必ず2次式になるんだな
37次まで展開して2次の項までしか出ない
series (cos^2(m sinh^(-1)(x/sqrt(3)) + c) - 1)/(cos(m sinh^(-1)(x/sqrt(3)) + c)')^2
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
27:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:56:42.65 JaTsP/nq.net
さすが大先生
ページの下の方見たら２次式になるって断言されてるよ
28:１３２人目の素数さん
21/06/28 01:58:53.43 ulLm3RVN.net
＞まず、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 は1階の微分方程式ではない。
↑すまん、(x^2＋3)g'(x)^2＋m^2＝m^2g(x)^2 自体が「1階」なのは言葉として合ってるな。
(さっきの記述ミスといい、なんか変なところで引っ掻き回してしまう自分がいる・・・)
で、(2)は「g''」まで含まれてるのが正しい形のはずで、この問題の厄介なところは、
少なくともQ[x]の中に解が存在してしまうところ。なので、整数係数であることを用いて
早めに矛盾を導こうとしてもなかなかうまくいかなくて、結局は泥臭い方法で
解の全体像を解ききらないとキリがなさそうなところ。
29:１３２人目の素数さん
21/06/28 02:05:25.96 JaTsP/nq.net
まぁオレらは(1)みたいに定数項のある線形方程式の形出てきたらとりあえず定数項消して消したくなるけどな
大先生はお構いなしに解いてくれるからな
(1)は係数の範囲を実数まで広げた場合の与えられた条件の必要十分条件だけど(2)は解が膨れて要らない解消す作業が必要になる
人間が手でやるならそれでも(2)を持ち出した方が楽だけどな
30:１３２人目の素数さん
21/06/28 02:08:02.41 JaTsP/nq.net
線形じゃないわw
しかし大先生よくこんなのいともかんたんに解いてくれるよな
31:１３２人目の素数さん
21/06/28 02:11:30.99 ulLm3RVN.net
>>21について、一応、H_2(x), H_4(x), H_6(x) の3つを具体的に書き下しておく。
H_2(x)＝1+(2/3)x^2
H_4(x)＝1+(8/3)x^2+(8/9)x^4
H_6(x)＝1+6x^2+(16/3)x^4+(32/27)x^6
g(x)＝H_2(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 2 で、xg'(x)+(x^2+3)g''(x) = 2^2g(x) が成り立つ。
g(x)＝H_4(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 4 で、xg'(x)+(x^2+3)g''(x) = 4^2g(x) が成り立つ。
g(x)＝H_6(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 6 で、xg'(x)+(x^2+3)g''(x) = 6^2g(x) が成り立つ。
32:１３２人目の素数さん
21/06/28 03:14:31.56 JaTsP/nq.net
オレも訂正
大先生にお伺い立てる時に√の中の±逆にしてた
どおりてへんな虚数解出てくるわけだ
(1)の正しい解は
(cosh^2( a sinh^(-1)(x/sqrt(3)) + c) - 1)
コレが多項式g(x)になるとすると(x/√3)=sinh(t)とおいて
g(√3 sinh(t)) = cosh^2(at + c)-1
がtについての恒等式
t→∞での挙動を考えて2aは整数
左辺がsinh^k(t)で展開できていて右片にsinh(at)の項が出てくるから結局aは整数
右辺のバラした時cosh(at)の係数がcosh(c)、sinh(at)の係数が-sinh(c)
この商tanh(c)が左辺の係数を見てQ(√3)に入る必要があるがリンデマンの定理に反するから不可能
大先生のお力お借りしてもそんなには楽にならんな
33:１３２人目の素数さん
21/06/28 03:38:57.16 ulLm3RVN.net
>>31
このやり方だと「>>12の(1)を満たすg(x)は多項式にならない」と言ってるように見えるのだが、
多項式g(x)であって(1)を満たすものは無限に存在するよ？
まず、(1)の q は実際には q＝±m (ただし m＝deg g) なので、
(x^2＋3)(1/m)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 …(1)
これを満たすg(x)であって、多項式であるものを作りたいわけだが、
たとえば、>>30の多項式H_2(x),H_4(x),H_6(x)について、
g(x)＝H_2(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 2 で、(x^2＋3)(1/2)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
g(x)＝H_4(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 4 で、(x^2＋3)(1/4)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
g(x)＝H_6(x)と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = 6 で、(x^2＋3)(1/6)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
一般に、m＝2l, l≧1 として、g(x)＝H_m(x) と置くと、g(x)∈Q[x] かつ deg g = m で、
(x^2＋3)(1/m)^2 g'(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
34:１３２人目の素数さん
21/06/28 03:42:43.64 JaTsP/nq.net
>>32
ホント？
大先生に聞いてみるから(1)の多項式解出してみて
35:１３２人目の素数さん
21/06/28 03:46:17.24 JaTsP/nq.net
あれ？
ホントだ
解あるね
36:１３２人目の素数さん
21/06/28 03:50:30.72 JaTsP/nq.net
そうだ
c=0の時tanh(c)=0www
37:１３２人目の素数さん
21/06/28 04:01:51.47 ulLm3RVN.net
>>33-34
こちらでも事前に、>>32で挙げた3種類について
大先生に検算してもらってるので、3つとも大丈夫のはず。
もともとの問題は、(x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす
f(x),g(z)∈Z[x] を見つける話だったが、>>14で示したように、
(f(x), g(x))＝((1/2)H_2'(x), H_2(x)) ＝ ( (2/3)x , 1+(2/3)x^2 )
(f(x), g(x))＝((1/4)H_4'(x), H_4(x)) ＝ ( (4/3)x+(8/9)x^3 , 1+(8/3)x^2+(8/9)x^4 )
(f(x), g(x))＝((1/6)H_6'(x), H_6(x)) ＝ ( 2x+(32/9)x^3+(32/27)x^5 , 1+6x^2+(16/3)x^4+(32/27)x^6 )
の3種類は f(x),g(x)∈Q[x] かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす。
これも大先生に検算してもらったので大丈夫のはず。
38:１３２人目の素数さん
21/06/28 04:10:09.64 ulLm3RVN.net
>>14で既に書いたことだが、より一般的に、m≧1 として、
(f(x),g(x))＝(±(1/m)H_m'(x), ±H_m(x)) (符号は4種類全てのどれでもよい)
と置くと、f(x),g(x)∈C[x], deg g = m かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 が成り立つ。
逆に、m≧1として、f(x),g(x)∈C[x], deg g = m かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を
満たす f(x),g(x) は (f(x),g(x))＝(±(1/m)H_m'(x), ±H_m(x)) の4種類しかない。
m＝0のときが残っているが、この場合、
f(x),g(x)∈C[x], deg g = m かつ (x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たす f(x),g(x) は
(f(x), g(x)) ＝ (0,±1) しかない。
そして最後に、deg g = －∞ つまり g＝0 の場合は、解f(x),g(x) は存在しない。
これで全ての解が出揃ったが、この中でZ[x]内の解は(f(x), g(x)) ＝ (0,±1)
しかない(詳しくは>>14に書いたとおり)。
なお、mが偶数のときは、(f(x),g(x))＝(±(1/m)H_m'(x), ±H_m(x)) は必ず Q[x] の元になっており、
特に、(x^2＋1)f(x)^2＋1＝g(x)^2 を満たすQ[x]内の f(x),g(x) は無限にある。
このことから、Z[x] の性質を使うことで早めに矛盾を導くのはたぶん難しくて、
多項式の解(f(x),g(x))を全て求めた後で初めて「Z[x]内の解は(f,g)＝(0,±1)のみ」
が言えるという地獄の様相を呈している。
39:１３２人目の素数さん
21/06/28 04:28:35.73 JaTsP/nq.net
やり直し
右辺バラして
(cosh(2at+2c) + 1 )/2 -1
=cos(2c)cosh(2at) + sinh(2c)sinh(2at)+1)/2 -1
しかしc=0でなければsinh(2at)がsinh(t)の多項式でなければならず、そのためには2aが奇数にならなければいけないが、今kは整数だから不可能
よってc=0と決まる
でcosh(2at)をsinh(t)の多項式で表したものが解になる
40:１３２人目の素数さん
21/06/28 08:09:46.51 r1cntibv.net
x = (√3) sinh(t),
とおくと
dx/dt = (√3) cosh(t),
G(t) = g(x),
dG/dt = g '(x)(dx/dt) = g '(x)(√3)cosh(t),
d^2G /(dt)^2 = g "(x) (dx/dt)^2 + g '(x)・d^2 x/(dt)^2
= g "(x)・3cosh(t)^2 + x g '(x)
= (x^2 +3) g "(x) + x g'(x)
= m^2 g(x) … (2)
= m^2 G(t),
∴ G(t) = c･e^(mt) + c'e^(-mt),
41:１３２人目の素数さん
21/06/28 10:22:40.45 3aq67usH.net
>>14
すごい、解けてる…ありがたい…
元々は「ペル方程式の解は一般に見つけにくいらしいけど、
平方数に近い場合とか特殊な条件に絞ればいけるのでは？」と思って
(x^2+1)f(x)^2 + 1 = g(x)^2
のZ[x]解を調べてみたのがきっかけ。
実際この場合は無数にあるんだけど、よく考えたら
ここで得た解の情報は >>10 でも使えたんだな、と解答見て初めて気づいた…orz
42:１３２人目の素数さん
21/06/28 10:34:13.30 rU+J6sTC.net
連続な関数f(x)について
任意の実数xでf(x)が
f(f(x)-x)=f(f(x)+x)
を満たすならばf(x)は定数関数である
は正しいか？
43:１３２人目の素数さん
21/06/28 18:51:56.44 MTmfx9cH.net
水酸化水素を飲んだ人間の
200年以内の死亡率は100%
44:１３２人目の素数さん
21/06/28 19:03:34.18 i098ftCX.net
VがRベクトル空間で写像F,G: R×V→V(注 線形とかではないただの射像)について二項演算
(a,x)⊕(b,y)=(a+b,x+y+F(a,b))
(a,x)⊗(b,y)=(ab,bx+ay+G(x,y)
がR×V上に単位元を持つ可換環の構造を与えるとする
この時写像f:R→Vで
F(a,b)=f(a)+f(b)-f(a+b)
G(a,b)=bf(a)+af(b)-f(ab)
を満たすものが取れる事を示せ
45:１３２人目の素数さん
21/06/28 19:06:18.98 JgAASwu/.net
もうバレバレだからID変えなくてもいいぞ
46:１３２人目の素数さん
21/06/28 20:53:23.05 +AVpP6DH.net
>>44
統失？
誰と誰が同じに見えるんだろう笑
47:１３２人目の素数さん
21/06/28 22:07:56.07 vv+1Ryj7.net
lim_{n \ to \infty} (1/n)*\sum_{k=1}^n k*log(cos(1/(n-k+2))
が収束することを示し、その収束値を α とすると
3/2 < e^(-2α) < 2
が成り立つことを示せ。
48:１３２人目の素数さん
21/06/28 22:58:19.73 Pa1MwMqw.net
α=-(1/2ζ(2)+1/12ζ(4)+1/45ζ(6)+‥)
かな
49:１３２人目の素数さん
21/06/28 23:12:09.14 Pa1MwMqw.net
いや
1/2(ζ(2)-1)+1/12(ζ(4)-1)+‥
か
50:１３２人目の素数さん
21/06/29 00:00:43.26 0QPM/hjL.net
まず
和=Σ[k=2,n+1]((n+2)/n-k/n)logcos(1/k)‥①
log(cos(x) = Σcic^iをマクローリン展開としてそのI次までの打ち切り近似Σ[j≦i]cjx^jをfi(x)とすれば
| logcos(x) - fi(x)|≦A(4/3)^i (∀|x|≦1/2)‥②
を満たすAが取れる(∵収束半径は1)
特に|logcos(x)|≦Bx^2(∀|x|≦1/2)
となるBも取れる
ここで
Σ[k=2,n+1] | (k/n) log(cos(1/k) |
≦Σ[k=2,n+1] | (k/n) B(1/k^2) |
=O((logn)/n)
つまり①の後半の項の寄与分は０
前半部をマクローリン展開した打ち切り近似の誤差項を評価する
それは②より
Σ[k=2,n+2]A(1/k)^i
≦Σ[k=2,n+1]A(4/3)^i(1/k)^i
≦ΣA(4/3)^i∫[3/2,n+3/2](1/k)^idk
=A(4/3)^i1/(i+1)(3/2)^(-i+1)
=A(8/9)^i/(i+1)
あとはexplicitにAやBを決定して極限値を望む制度で計算可能である
51:１３２人目の素数さん
21/06/29 08:14:59.50 R4/ohYgW.net
π+log2は有理数か.
(ベイカーの定理は認めていいです)
52:１３２人目の素数さん
21/06/29 08:44:21.69 IQUX66oT.net
>>41
多項式なら簡単なんだがｗ
なかなか解けない
53:１３２人目の素数さん
21/06/29 09:46:33.89 bpnxUqKD.net
マクローリン展開
log(cos(x)) = Σc_i･x^i
c_0 = 0,
c_2 = -1/2,
c_4 = -1/12,
c_6 = -1/45,
c_8 = -17/2520,
c_10 = -31/14175,
c_12 = -691/935550,
54:１３２人目の素数さん
21/06/29 10:28:03.67 AfHdjNyu.net
>>50
ベイカーの定理使っていいなら
はてなブログ/entry/2017/06/25/143500
↑これの系６からπ+log2>0より
π+log2 = -2i log(2i) + log2
は超越数
55:１３２人目の素数さん
21/06/29 10:30:16.36 AfHdjNyu.net
テスト
URLﾘﾝｸ(integers.)はてなブログ.com/entry/2017/06/25/143500
56:１３２人目の素数さん
21/06/29 10:30:55.09 AfHdjNyu.net
>>54
はてなブログ＝hatenablog
57:１３２人目の素数さん
21/06/29 12:39:30.98 P0TmPWbj.net
>>6 系統のより簡単な問題:
Σ[n=0,∞] C[4n,n] (27/100)^(2n) = 5/3 を示せ
58:１３２人目の素数さん
21/06/29 13:33:31.68 AfHdjNyu.net
>>56
それより>>6の解答をおながいします
59:１３２人目の素数さん
21/06/29 14:33:08.42 P0TmPWbj.net
>>57
>>6
1/((3n+1)C[3n,n]) = Γ(2n+1)Γ(n+1)/Γ(3n+2) = Β(2n+1,n+1)
= ∫[0,1] t^(2n) (1-t)^n dt
(Γ,Βはガンマ関数、ベータ関数)より
Σ[n=0,∞] x^(3n+1)/((3n+1)C[3n,n])
= ∫[0,1] xdtΣ[n=0,∞](t^2(1-t)x^3)^n
= ∫[0,1] xdt/(1-t^2(1-t)x^3)
この式をxで微分してx=(1/2)^(1/3)を代入
Σ[n=0,∞] (1/2)^n / C[3n,n]
= 4∫[0,1](1+t^2-t^3)/(2-t^2+t^3)^2 dt
= (4/125)∫[0,1]{15/(1+t)^2 + 15(7-4t)/(2-2t+t^2)^2 - 1/(1+t) - (18-t)/(2-2t+t^2)}dt
= (270+11π-12log(2))/250
60:１３２人目の素数さん
21/06/29 18:00:25.42 R4/ohYgW.net
>>53
正解です
というかこのブログの系10にありましたか
61:１３２人目の素数さん
21/06/29 18:05:30.59 sYuitIOH.net
>>50
難しくて解けなかったわ。
「有理数かどうかを判定する」って部分が引っ掛け問題だな。
どうせなら
問い. π+ln(2) が超越数かどうか判定せよ
って言ってほしかった。高卒のワイにも分かるように… （ '‘ω‘）
62:１３２人目の素数さん
21/06/29 23:57:21.09 iGCjSfK0.net
>>46
について徒然なるままに
すでに述べられてるように
logcos(x)=Σc_k x^k
をマクローリン展開として
α = Σc_k ((ζ(2k)-1) = -0.32896268059492134
-1鬱陶しいので
β = Σc_k ((ζ(2k)) = -0.9447114983236895
について考えるとする
値はざっくり計算させた値だけど上の２つの差
=-0.615748817729
が
ln(cos((1)))
=-0.615626470386
でそこそこあってるはず(丸め誤差上等の計算なので誤差項評価するだけ無駄)
さてさて大先生の出してきたc_kの値からコレは簡単に一般項求まって
c_n = ( (2^(2*n))-1)/(2^(2*n) )* ζ( 2*n ) * (4^n)/n/pi^(2*n)
と綺麗に求まる
ζ(2n)/π^(2n)はベルヌーイ数で書ける有理数でここまでは丸め誤差なしで気分良く求められる
しかしコレにζ(2n)かけて足し合わせる段階でかなり必然的に丸めざるを得なくなる(回避はできなくはないがかなり面倒、丸め上等しかやる気にならん)
さりとてexplicitにβの値を表示する方法も見つからん
一般項にB_2n^2の形が出てくる級数になって気分良くはもとまらない
まぁ無理なんかな
実際出題も近似値求めよだしな
63:１３２人目の素数さん
21/06/30 05:54:22.46 d+aRw8HS.net
ζ(2n) / π^{2n} = － (-4)^n * B_{2n} / (2*(2n)!),
c_n = － (4^n -1)/n * ζ(2n) / π^{2n}
= (-4)^n (4^n -1) B_{2n} / (2n*(2n)!),
近似値
α = -0.32974258434031867311905769899937833476606066811972515418371883313992717643116601753785337951958517164538
β = -0.94536905472633293526609521540827019811699609206609798837271471777594170631719038689429214813862409338202
64:１３２人目の素数さん
21/06/30 13:22:40.27 LI3gbCah.net
>>11
留数定理より
∫[長方形] f(z)dz = 2πi Res[z=(√π)i/2] f(z) = (1-i)√(π/2)
一方
|∫[垂直方向] f(z)dz| < (1/R)/(1-e^(-2R√π)),
∫[水平方向] f(z)dz = ∫[-R,R]{f(x)-f(x+i√π)}dx = ∫[-R,R] e^(-ix^2)dx
したがってR→∞で
∫[-∞,∞] e^(-ix^2)dx = (1-i)√(π/2)
このアイデアは1940年ごろに発見されたものでガウス積分とそれに関連する積分が
技巧的な関数の留数のみで計算できるというものです
この技巧的な関数の作り方は検索すればいろいろ出てきます
文献：L. Mirsky, The probability integral, Math. Gazette 33 (1949) p.279
65:１３２人目の素数さん
21/06/30 17:01:34.90 NC4qLTrR.net
>>56
t=27/100, Γを|z|=1を正の向きに一周する線積分路として
∫[Γ] (t/27)^n(z^3+3/z)dz/z = C[4n,n]t^n
の総和が|t|<27/256においては積分と可換だから
与式左辺
=∫[Γ]1/(1-t/27(z^3+3/z))dz/z
=∫[Γ]z^4/(1-t/27(z^4+3))dz/z
となりこの右辺の留数計算すれば良い
t=27/100の場合分母の根は全て単根でありρをその根のひとつとするとf(w)=1-t/27(t+3)とおいて
res(z=ρ,z^4/(zf(z^4)))
=lim[z→ρ](z-ρ)z^4/(zf(z^4))
=lim[z→ρ](z^4-ρ^4)z^4/(zf(z^4))/(z^3+z^2ρ+zρ^2+ρ^3)
=1/4lim[w→ρ^4](w-ρ^4)/f(w)
である
ここで対象となる積分核の極ρは絶対値が1未満のf(z^4)=0の解であり、すなわちf(w)=0の解の4乗根であり1/3の4乗根である
それらよっつのρにおいて留数は
1/4lim[w→ρ^4](w-ρ^4)/f(w)
=1/4lim[w→ρ^4](w-1/3)/f(w)
=5/12
であるから求める積分値は5/3である
66:１３２人目の素数さん
21/06/30 20:55:21.91 NC4qLTrR.net
>>64
あ、f(w)=1-t/27(w+3)やね
あと与式左辺＝...ではなく与式左辺×2πi＝...
67:１３２人目の素数さん
21/06/30 20:58:04.60 NC4qLTrR.net
まだ違うw
f(w)=1-t/27(w+3)^4
その上であたりの積分核の中も^4抜けてるわ
68:１３２人目の素数さん
21/07/01 05:53:13.51 AHpnc4h9.net
>>43
これ意外と闇が深い？
69:１３２人目の素数さん
21/07/01 06:00:21.04 /dKbxtKi.net
>>67
プチエンジェルとかエプスタイン島みたいな
いいかたやめろ
70:１３２人目の素数さん
21/07/01 06:35:42.00 AHpnc4h9.net
条件から代数的に上手く導くだけかと思ったけど、何らかの極限操作を使う(極限が使えることも示す)必要がありそうな気がして・・・
71:１３２人目の素数さん
21/07/01 08:44:44.33 Aj8MMCKC.net
>>43のヒント
まず示すのは問題の設定の元で
π:R×V→Rを自然な射影とするとき、環準同型φ:R→R×Vでπφが恒等写像になるものが取れる事を示せ
と同じになってる事がポイント
実際そのような写像はr→(r,f(r))の形を取らねばならず、このf(x)が求める条件を満たす
このφの作り方はZornの補題か超限帰納法か
φ:S→S×Vまで作れたとしてr∈R＼SをとってきてφをS[r] (Sにrを添加してできる環)まで拡張する
rの行き先は(r,x)の形になるけどそれが“環準同型”になるようにxを選ばないといけないけどどのように選べばいいかを吟味しないといけない
72:１３２人目の素数さん
21/07/01 09:04:08.84 Aj8MMCKC.net
あ、r→(r,-f(r))
73:１３２人目の素数さん
21/07/01 09:16:51.77 AHpnc4h9.net
Zornの補題(プチエンジェル)
超限帰納法(エプスタイン島)
74:１３２人目の素数さん
21/07/01 16:26:07.92 fw9EJI0L.net
n次元多様体がn-1次元多様体の展開図で表される条件
75:１３２人目の素数さん
21/07/01 21:41:10.44 AHpnc4h9.net
こういう構成慣れてないからよくわからんけど
追加するrがSと代数的関係があるときは、その関係式をV側に翻訳することでf(r)がs,f(s'),F(t,t')(s,s',t,t'∈S)たちとの関係式で書けて決まる
しかも、その関係式はVの積構造の性質からf(r)に関して1次式なのでf(r)は一意に決まる
代数的関係がないときは自由にf(r)を決める
そしてRとVの環構造が連動してることから、この決め方はwell-defined
という感じか・・・
76:１３２人目の素数さん
21/07/01 21:45:38.35 AHpnc4h9.net
Vの環構造という言葉はよくないか
R×Vの環構造のV部分の構造という意味
77:１３２人目の素数さん
21/07/01 23:58:32.27 wLofkOQj.net
有限群論の範疇で、あまり演習問題のようなものとして広くは知られていないけれど、問題として面白く教訓的な問題を求む。
78:１３２人目の素数さん
21/07/02 00:11:20.90 xq3s/hFp.net
だいぶ正解に近づいてると思います
整理しまず
設定
環準同型φ:S→R×Vが与えられてる
R≠Sなのでr∈R＼Sをとってきてφの拡張ψS[r]→R×Vを作りたい
この設定でよく使われるのは“多項式環のユニバーサリティ”というのを使う方法です
すなわち上の設定で
Sに不定元tを添加した多項式環なら簡単に環準同型を作れる、すなわち
r∈Rを自由に選ぶとき環準同型Φt:S[t]→RをΦ(t)=rとなるように構成できる
r∈Rとx∈Vを自由に選ぶとき環準同型Ψrx:S[t]→R×Vをφの拡張でΨrx(t)=(r,x)となるように取れる
です
この時S[r]は自然にS[t]/kerΦrなので結局問題は
kerΦr⊂kerΨrxとなるようなr,xを見つけることができるか？
となります
そのためには都合の良いr,xを両方見つけることになりますが、まずはrです
もちろんkerΦrがなるべく小さいものを撮るようにすれば後で楽になります
すでに気づかれてる通りrが、S上超越的に取れる時はkerΦr=0なので終了です、xは好きな元を取れます
それが不可能な場合、すなわちR/Sが代数拡大の場合が問題です
その場合なるべくkerΦrを小さく取る方法として最初に思いつくのはrがS上モニック、すなわち最小多項式がモニックになるものを取る場合でこの場合にはkerΦrはモニック最小多項式で生成される単項イデアルになるのでだいぶxの選定が楽になります
それが無理な時、すなわちR/Sの商体が一致していてSが整閉整域の場合は整拡大が取れなくなります
しかしその場合には
任意のr∈R＼Sについて付値vをSの元が全てv進付値でv(r)<0となるようにとれる
という事実を利用すればketΦrが単項イデアルになるrを見つけることができます
とりあえずkerΦrが単項イデアルでないとxの選定がメチャクチャ難しくなります
79:１３２人目の素数さん
21/07/02 00:35:24.31 ggzffHrn.net
>>77
日本語すらわからないなら引っ込んでろ
80:１３２人目の素数さん
21/07/02 03:24:59.82 MmNEmaBr.net
>>77
詳しくありがとう
想像以上に闇深・・・
しかし、もう少し簡単に示せないか考え中
環でやると難しいけど
g(a,b)=e^(-a)((G(e^a,e^b)-G(e^a,0))e^(-b)-F(0,0))
とおくと
(a,x)+(b,y)=(a+b,x+y+g(a,b))
でR×Vが加法群になっていて(問題を加法のみで設定し直す)
これに対してg(a,b)=h(a)+h(b)-h(a+b)が示せれば
分配律によるFとGの関係によってf(r)が
rh(logr)+F(0,0) (r>0)
F(0,0) (r=0)
F(r,-r)-rh(log(-r)) (r<0)
と取れることが分かる
つまり問題が加法構造のみの場合で示せれば良い
81:１３２人目の素数さん
21/07/02 03:58:11.46 MmNEmaBr.net
うーん、しかし結局これはGの(a,0)における連続性みたいな仮定がないと上手くいかない方法か
82:１３２人目の素数さん
21/07/02 05:52:37.57 xq3s/hFp.net
良い作戦だと思います
それができればいいんですがおそらくなかなか難しいでしょう
実はFの方だけなん�
83:ﾆかすればいいのなら話はもっと簡単なんです やはりπ:R×V→Rを自然な射影とします πが群準同型なら群準同型φ:R→R×Vをπφ=1と取れる時、πを“分裂全射(split epimorphism”と呼んでいつそれが可能かはとてもよく研究されてます ひとつの条件として ・Rの可法群が自由群の時(Rの可法群が射影的(projective)の時) ・kerπ=Xが可除的(divisible)時(=入射的(injective)の時) で今回の場合、Xはベクトル空間なので可法群としては可除的であり上の条件の下の条件を満たすので可能であるとわかります ところでこの話はある論文が元ネタなんですが今ご紹介したお話はその論文の定理１です まず可法群の方をなんとかしようと考えるのはまさにまず考えて見るべき事ですね そしてその発展版が>>43の問題でその論文の定理２なのです 全射群準同型がいつ分裂するかは上で述べた通り割とスッキリ方がつくんですが環準同型がいつ分裂全射かはかなり難しい問題で、実はそれにも研究があり、それを利用すれば話が終わります しかしその研究でやってる事がまさに>>77でやってる事です 体の分裂問題はsplitting algebra problemと呼ばれて特に有限次元の場合はBrauer群と呼ばれる整数論の世界でとても大切な話に繋がります >>43はその手の話の一部？になってるお話です
84:１３２人目の素数さん
21/07/02 06:13:03.74 DSrKKpUO.net
アホな質問だけど
上の設問 >>50 について。
文章を以下のようにAからBへ変えた場合、
難易度ってどのくらい変わる？
Bの方だと…簡単すぎる？あるいは、ちょっとだけ簡単になるくらい？
A. π+log2は有理数かどうか答えよ。
B. π+log2は超越数であることを示せ。
85:１３２人目の素数さん
21/07/02 06:48:43.62 MmNEmaBr.net
>>81
全然知らなかったけど面白そうな話だね
素朴な準同型の話からそんな深い話に繋がってるとは
勉強も兼ねてその論文読みたいんだけど教えてもらうことは出来ないんだろうか
なんなら関連論文でもいいので
86:１３２人目の素数さん
21/07/02 07:24:07.83 PMaLXoW4.net
>>82
頭悪すぎて釣りだと思いたいけど釣られてみる
>>50は京大の有名な「tan1°は有理数か.」をもじっただけだろ
それにベイカーの定理を認めていいとあるから直ぐに無理性を示すべきことが分かるだろ
87:１３２人目の素数さん
21/07/02 09:08:45.32 grE6KJQw.net
>>84
間接的に無理性を示しているだけで
>>50 の回答で示しているのは超越性やろがい！
頭の良さそうなあなたに聞きたい。
>>50 について超越性を経由せずに
直接、無理性を示す解法を答えてみ。
88:１３２人目の素数さん
21/07/02 09:28:26.93 CipLsPQC.net
↓これです
タダで読めます
Some Functional Equations in Groups and Rings.
Authors
B. Jessen
J. Karpf
A. Thorup
URLﾘﾝｸ(www.mscand.dk)
89:１３２人目の素数さん
21/07/02 09:29:18.01 CipLsPQC.net
アンカー忘れた
>>86は>>83宛
90:１３２人目の素数さん
21/07/02 10:34:29.94 MmNEmaBr.net
>>86
マジでありがとう
なるほど、多面体の不変量からの流れ(？)でもあったのか
91:１３２人目の素数さん
21/07/02 13:01:58.23 CipLsPQC.net
>>88
そうです
ここでDehn Invariantの話を小耳に挟んでなんじゃそりゃと思って勉強してたら出てきた話
こんな話がまさかのDehn Invariant�
92:ﾉつながるとかびっくらこいた どうやったらこの話をSydlerの定理に結びつけようと思いつけるのか 世界の天才達の慧眼は想像を絶する
93:１３２人目の素数さん
21/07/02 13:46:31.11 yrFdAUFW.net
>>41
f(x)をxが有理数の時1 無理数の時0
としてみてはどうだろうか
x:有理数 f(1-x)=f(1+x)=1
x:無理数 f(0-x)=f(0+x)=0
しかしこのとき明らかにfは定数関数ではない
…とここまで考えてfが連続という条件を思い出した
しかし、ということはxを有理数に限定した時にf(x)≡f(0)が真かどうかを示せればいいわけだな
後は任せた
94:１３２人目の素数さん
21/07/02 13:53:59.79 grE6KJQw.net
>>84
逃げんな。
>>85に答えろ
95:１３２人目の素数さん
21/07/02 15:10:51.10 PMaLXoW4.net
>>85
おまえベイカーの定理の主張わかってないだろ？？
その主張があれば、ほぼ関係ないということが分からないのか？？
π+log(2)が「有理数」と仮定すると
π+log(2)=pとおいて
(-i)*log(-1) + log(2) + (-p)*1 =0
となり、{log(-1),log(2),1}の(代数的数の集合)上線型独立であることに矛盾
これだけだろ
ベイカーが分かってるかどうかが全てだろ
96:１３２人目の素数さん
21/07/02 15:11:21.33 PMaLXoW4.net
>>91
ベイカーの定理の主張を正確に言ってみろ低知能
97:１３２人目の素数さん
21/07/02 15:28:37.34 LfdOfupp.net
>>90
偽になるっぽいね
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
98:１３２人目の素数さん
21/07/02 15:39:07.34 grE6KJQw.net
>>92
悪くはないな、
80点！合格！！
99:１３２人目の素数さん
21/07/02 15:45:08.89 PMaLXoW4.net
>>95
あれ？？ 他人に対しては逃げるなとか言っておいてお前自身は逃げるの？
早くベイカーの定理の主張を正確に言えよ
100:１３２人目の素数さん
21/07/02 16:43:56.16 QFUfvRLq.net
プロおじという共通の敵が消えたことで仲間割れを始めたぞ
必要悪というやつだったか
101:１３２人目の素数さん
21/07/02 18:55:44.68 HC6Q3Ced.net
>>97
もう死んだのかな？
102:１３２人目の素数さん
21/07/02 18:58:07.41 OP23HkGl.net
いないならいないで良いんだからわざわざ言及するな
103:100
21/07/02 19:08:56.96 cCOB5Dag.net
〔定理〕
α_1, ……, α_n を0ではない代数的数とする。
もし log(α_1), ……, log(α_n) がQ上線形独立であるならば、
{1, log(α_1), ……, log(α_n)} は代数的数体上線形独立である。
-----------------------------------------------------------
(系1)
α_1, ……, α_n, β_0 を0ではない代数的数、
β_1, ……, β_n を代数的数としたとき、
β_0 + (β_1)log(α_1) + …… + (β_n)log(α_n) ≠ 0,
(系2)
α_1, ……, α_n, β_0, β_1, ……, β_n を0ではない代数的数としたとき、
e^(β_0)・(α_1)^(β_1)・……・(α_n)^(β_n) は代数的数でない。
(系3)
α_1, ……, α_n を 0でも1でもない代数的数とする。
β_1, ……, β_n を 代数的数とし、
{1, β_1, ……, β_n} はQ上線形独立としたとき、
(α_1)^(β_1)・……・(α_n)^(β_n) は代数的数でない。
(系3) で n=1 とすることにより、ゲルフォント=シュナイダーの定理が導かれる。
104:１３２人目の素数さん
21/07/02 23:02:22.23 grE6KJQw.net
>>96
ググレカス。
ベイカーの定理をそのまま解釈すればいいだけ。
それで分からないなら、もっと勉強してこい。
105:１３２人目の素数さん
21/07/03 01:29:41.58 xLJWXPj4.net
ふへへw
結局逃げてますぜこいつw
106:１３２人目の素数さん
21/07/04 00:28:44.98 pksIqXzl.net
∫[0, 1] (∫[0, x] 1/(1+t^2) dt) dx の値を求めよ。
高校生的な(arctanを使わない)解法で。
107:１３２人目の素数さん
21/07/04 01:17:26.03 RQHqA+Ud.net
>>103
> ∫[0, 1] (∫[0, x] 1/(1+t^2) dt) dx
= 1 × ∫[0, 1] 1/(1+t^2) dt - ∫[0, 1] (x/(1+x^2) dx
= ∫[0, π/4] dθ - 1/2 ∫[0, 1] (1/(1+u) du
= π/4 - 1/2 log2
108:１３２人目の素数さん
21/07/04 01:48:04.50 f8xaAEsA.net
>>103
積分順序の交換をしないなら
∫[0, 1] (∫[0, x] 1/(1+t^2) dt) dx（x=tanθと置く）
= ∫[0,π/4] (∫[0,tanθ] 1/(1+t^2) dt) dθ/cos^2θ（t=tanαと置く）
= ∫[0,π/4] (∫[0,θ] dα) dθ/cos^2θ
= ∫[0,π/4] θdθ/cos^2θ（部分積分）
= π/4 - ∫[0,π/4] tanθdθ
= π/4 + [logcosθ]_{0,π/4}
= π/4 + log(1/√2)
= π/4 - (1/2)log2
109:１３２人目の素数さん
21/07/04 02:02:09.10 RQHqA+Ud.net
部分積分しか使ってませんがな
110:イナ
21/07/04 03:26:50.97 sVKHz7qL.net
>>103
やっぱりなぁ。
部分積分だけで解けるわけないよなぁ。
わかってたさ、うすうすは。
置換積分か。
111:１３２人目の素数さん
21/07/04 10:14:04.53 M7HHpVD4.net
前スレ738
＞四面体ABCDの
＞稜ABとCDの双方に直交する直線をP、
＞稜ACとBDの双方に直交する直線をQ、
＞稜ADとBCの双方に直交する直線をRとするとき、
＞直線P、Q、Rが一点で交わるのは、元の四面体ABCDがどのような性質をもつ場合か？
式を地道に立てて解いてみたところ、
(↑AB・↑CD)((↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC))＝(↑AC・↑DB)((↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD))＝(↑AD・↑BC)((↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB))＝0
という関係式を得た。
すなわち以下の１つ以上が成り立つ、ということらしい。
#1 ↑AB・↑CD＝↑AC・↑DB＝↑AD・↑BC＝0
#2a ↑AB・↑CD＝(↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD)＝(↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB)＝0
#2b (↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC)＝↑AC・↑DB＝(↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB)＝0
#2c (↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC)＝(↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD)＝↑AD・↑BC＝0
#3 (↑AC×↑DB)・(↑AD×↑BC)＝(↑AD×↑BC)・(↑AB×↑CD)＝(↑AB×↑CD)・(↑AC×↑DB)＝0
112:１３２人目の素数さん
21/07/04 12:05:47.28 iGOLT3JP.net
(1) トーラス(ドーナッツ状の図形)の単純グラフは必ず次数が6以下の点が存在することを証明せよ.
(2) トーラスに描かれた地図(飛び地無し)は7色で塗り分け可能であることを示せ.
113:１３２人目の素数さん
21/07/04 12:23:25.13 iGOLT3JP.net
(3 おまけ) トーラスに描かれた地図(飛び地無し)で6色では塗り分けられないものを求めよ.
114:１３２人目の素数さん
21/07/04 12:49:02.01 3A1SOCrK.net
また尿瓶か？
115:１３２人目の素数さん
21/07/04 13:20:14.19 Y3qmm/Sm.net
尿瓶のやり口とは違うし割と有名問題ではあるが、トーラス上に図を書く必要があるから面倒
116:１３２人目の素数さん
21/07/04 14:44:32.69 593V153A.net
>>104 は
∫ (∫[0,x] 1/(1+t^2) dt) dx
= ∫ (x ')･(∫[0,x] 1/(1+t^2) dt) dx
= x・∫[0,x] 1/(1+t^2) dt - ∫ x・(1/(1+x^2)) dx
= x・∫[0,x] 1/(1+t^2) dt - (1/2)log(1+x^2),
0<x<1 で定積分すれば
= ∫[0,1] 1/(1+t^2) dt - (1/2)log(2)
= ∫[0,1] (1-t^2+t^4-t^6+…) dt - (1/2)log(2) (等比級数)
= 1 -1/3 +1/5 -1/7 + … - (1/2)log(2)
= π/4 - (1/2)log(2),
ライプニッツの公式を使えば arctan 使わずにできる。。。
部分積分は使ってもいいの？
高木先生：
だって昔から言うぢゃありませんか、
「ブブンのことはブブンでせよ」と。
117:１３２人目の素数さん
21/07/04 15:38:52.58 LyBZkkyZ.net
いやコレは由緒正しい数学の問題でしょ
そんなびっくりするほど難しい定理を使うわけでもないし
118:１３２人目の素数さん
21/07/04 15:42:08.02 iGOLT3JP.net
>>110の解答ですが、トーラス上の図は正方形の境界に同値関係を入れたものに表現してもらって構いません
119:１３２人目の素数さん
21/07/04 16:50:30.70 /XpC2B45.net
>>111
彼に謝ったほうがいいぞ
「私の無学が原因であなたを尿瓶扱いしてすみませんでした」とな
120:１３２人目の素数さん
21/07/04 16:55:55.03 3uF/HJF4.net
>>115
これでええ？
URLﾘﾝｸ(imepic.jp)
121:１３２人目の素数さん
21/07/04 19:26:45.52 iGOLT3JP.net
>>117
素晴らしい
想定していたのもそんな感じです
大正解！
122:１３２人目の素数さん
21/07/04 23:10:11.64 dlwqChQH.net
>>116
尿瓶ジジイは尿瓶ジジイだろ。
123:１３２人目の素数さん
21/07/05 00:29:50.80 x1ruXS0E.net
>>101 。
124:１３２人目の素数さん
21/07/05 01:12:03.62 BhZ3f7kk.net
>>104 について。ど素人質問で申し訳ないんやけど、()がある場合と無い場合で数式の意味が変わったりするの？
125:１３２人目の素数さん
21/07/05 01:47:10.42 2xjXHKN2.net
どの( )の話だよ関西弁
126:１３２人目の素数さん
21/07/05 06:33:39.54 O6+TUPHV.net
V(n)をn次の3変数同次多項式のなす実ベクトル空間とする
例えば2x^4-x^3y+5xyz^2∈V(4)である
反対称化写像A(n):V(n)→V(n)を
(Af)(x_1,x_2,x_3)=Σ[σ∈S_3]sgn(σ)f(x_σ1,x_σ2,x_σ3)
とする
このときlim[n→∞]dim(kerA(n))/nを求めよ
また、その値になることを示せ
127:ベイカーおじさん
21/07/05 07:11:36.55 Lmgb/mSI.net
何か重要な事を書き込もうと思ったけど
よく考えたら高校レベルのテーマだった。
だから、このスレに書くのは止めて高校向けのスレに書くことにする。
みんな、さようなら、ばいばい ノシ
128:１３２人目の素数さん
21/07/05 09:28:30.82 H7MVv5Jn.net
>>123
im A(n)は次数nの交代式で(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)×対称式とかけるn次式でその空間の次元はn-3次対称式のなす空間S(n-3)の次元に等しい
よってdim ker A(n) = dim V(n) - dim S(n-3)である
dim V(n) = (n+1)(n+2)/2
は容易
dim S(n) = 1/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))のn次の係数
であり
1/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))のn次の係数
=(x + 2)/(9 (x^2 + x + 1)) - 17/(72 (x - 1)) + 1/(8 (x + 1)) + 1/(4 (x - 1)^2) - 1/(6 (x - 1)^3)
である
前3項の|n次の係数|はO(1)
後2項のそれはそれぞれn+1, 1/6×(n+1)(n+2)/2
であるから
dim S(n-1) = 1/12 n^2 + O(n)
以下ry
129:１３２人目の素数さん
21/07/05 09:36:22.63 O6+TUPHV.net
>>125
せっかく答えてもらった後で申し訳ない
出題ミスってた・・・
n次の単項式のうち指数にカブりのあるものの数をa(n)とする
例えばn=5のときx^0y^0z^5,xyz^3,x^2yz^2,…など9種類なのでa(5)=9
このとき
lim[n→∞]a(n)/n
を問いたかった
130:１３２人目の素数さん
21/07/05 09:45:50.30 H7MVv5Jn.net
>>126
では(xy)^0z^n〜(xy)^[n/2]z^(0か1)型が[n/2]+1次、類するのがあと2型あり、被りはなしか1次元
よってa(n)=3([n/2]+1)-(0か1)
以下ry
131:１３２人目の素数さん
21/07/05 15:31:19.48 6tgTvBCc.net
>>119
尿瓶ジジイ＝尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者
開業医スレを荒らしに行って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係。
内視鏡スレを荒らし行ったが業界ネタを全く投稿できないのが尿瓶洗浄係。
132:１３２人目の素数さん
21/07/05 15:38:07.78 qO7WXUqg.net
>>128＝尿瓶プロおじ＝尿瓶ジジイ＝医者アピールに必死な証拠出せないニセ医者
133:１３２人目の素数さん
21/07/05 16:11:00.01 TnCrROtb.net
尿瓶はいつまで爺臭い顔文字とnCr(a,b)とかいうおかしな表記使い続けるの？
なんで数学と関係ない話唐突に始めるの？
なんで業界ネタ（笑）を披露して必死に医者アピールしてるの？
134:１３２人目の素数さん
21/07/05 16:20:45.39 qO7WXUqg.net
>>130
バカだからw
135:１３２人目の素数さん
21/07/05 16:28:14.55 2xjXHKN2.net
こいつらも哀れな尿瓶の被害者なのかもしれん
まだこのスレに尿瓶は来てないのにその話ばかりしてる
136:１３２人目の素数さん
21/07/05 17:21:13.06 CDpL8UAC.net
∫[-∞,∞] e^(-ax^2) cos(bx) dx, a>0,b∈R を複素積分や級数展開を使わずに求めよ
ただし∫[-∞,∞] e^(-x^2) dx = √π は既知とする
137:１３２人目の素数さん
21/07/05 19:24:42.62 KvEOkHQ2.net
J(b) = ∫[0,∞] e^(-ax^2) cos(bx) dx
ば (bに関して一様に) 収束するが、積分記号下で b に関して微分して
J '(b) = ∫[0,∞] e^(-ax^2) (-x) sin(bx) dx.
|sin(bx)| ≦1 で、これも一様に収束するから、この微分が許される。さて、
J '(b) = [ (1/2a)e^(-ax^2) sin(bx) ](x=0,∞) - (b/2a)∫[0,∞] e^(-ax^2) cos(bx) dx
= - (b/2a)J(b),
(d/db)log|J(b)| = -b/2a,
log|J(b)| = -bb/4a + C,
J(b) = c e^(-bb/4a).
定数cを求めるために b=0 と置けば
c = J(0) = ∫[0,∞] e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a).
故に
J(b) = (1/2)√(π/a) e^(-bb/4a),
高木貞治「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第4章, §48, [例6] p.170
138:１３２人目の素数さん
21/07/05 19:32:52.36 CDpL8UAC.net
>>134
正解です
解析概論に答えがありましたか（確認不足ですまない）
139:１３２人目の素数さん
21/07/05 19:46:12.65 KvEOkHQ2.net
>>113
Leibnizの級数を求める方法は、「解析概論」を見ると
Arc tan を使う方法 (第4章、§52, [附記] p.186) と
Fourier級数による方法 (第6章、§77, p.281-282)
があるらしい。
140:１３２人目の素数さん
21/07/05 19:57:59.19 CDpL8UAC.net
>>136
ちなみにLeibnizの級数を初等幾何のみで求める方法が
小林昭七「円の数学」に書いてある
141:１３２人目の素数さん
21/07/05 23:01:34.18 SGPcpNlI.net
別に有名な教科書に載ってる問題でもいいでしょ？
そもそも素人が自作問題作ってもほとんど駄作にしかならない
142:１３２人目の素数さん
21/07/06 00:20:21.49 hb0WYb/r.net
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n) は収束するか
収束するなら近似値を10桁求めよ
143:１３２人目の素数さん
21/07/06 09:38:37.07 4j6One5S.net
>>139
発散する
∵ ) cos(n)/log(n) はre(n)≧2において正則、かつa≧2において一様に
| lim[y→∞]cos(a+iy)/log(a+iy) exp(-2πy) |
≦ lim[y→∞]1/log(2) exp(-2πy) | = 0
かつ
| lim[x→∞]∫[0,∞]cos(x+iy)/log(x+iy) exp(-2πy) dy|
≦ lim[x→∞]1/log(x) ∫[0,∞]exp(-2πy) dy = 0
であるから Abel–Plana の和公式から
Σ[n=2,∞]cos(n)/log(n)
= 1/2 cos(2)/log(2) + ∫[2,∞]cos(x)/log(x)dx
+ ∫[0,∞](cos(2+iy)/log(2+iy) - cos(2-iy)/log(2-iy))/(exp(2πy)-1)dy
である
第3項の積分は|cos(2±iy)|〜exp(y)により収束する
第2項の積分は
∫[2,X]cos(x)/log(x)dx
= cos(X)/log(X)-cos(2)/log(2)
- ∫[2,X]sin(x)/(x log(x))dx
= cos(X)/log(X)-cos(2)/log(2) - Si(X) + Si(2)
- ∫[2,X]Si(x)/x dx
となり発散する
144:１３２人目の素数さん
21/07/06 10:07:23.00 hb0WYb/r.net
>>140
いいところまで行ってるんですが、最後で間違ってます
∫[π/2,∞]cos(x)/log(x)dx
= Σ[n=1,∞](-1)^n∫[-π/2,π/2]cos(x)/log(x+πn)dx
= Σ[n=1,∞](-1)^n*|単調に0に減少する項|
だからこの交項級数の部分和はコーシー列をなして収束します
145:１３２人目の素数さん
21/07/06 10:22:14.72 4j6One5S.net
あら、部分積分間違えたw
146:１３２人目の素数さん
21/07/06 12:07:47.96 BR9AQPQE.net
ざっと －1.342218 ぐらい？ (叩き台)
Σ[n=2,∞] sin(n+1/2){1/ln(n) - 1/ln(n+1)} ≒ 0.152094 を使った。
147:１３２人目の素数さん
21/07/06 12:21:24.48 4j6One5S.net
まぁ近似値出せはええやろ
誤差項が多項式オー�
148:_ーでしか出ないやつしかないと1/Nに誤差抑えるのにザックリNに比例したオーダーの計算求められる [/10^10に抑えるなら10^10回とか、二乗でも10^5×定数 しかもこれだけやると丸め誤差も巨大になって最後の方の桁がどれくらいあてにならんかも評価しないといけない Doubleまで計算する程度の標準ライブラリでは無理 10桁となると非標準の4倍精度くらいのやつ持ってくるか、そもそももっと収束早い表示見つけてくるかだけど大して数学的に意味もない計算にそんな頑張るのはやる気出ん
149:１３２人目の素数さん
21/07/06 12:40:05.52 4j6One5S.net
プ板に出してきた
プログラミングのお題スレ Part20
ｽﾚﾘﾝｸ(tech板)
強者どもが出してくれるかな？
150:ベイカーおじさん
21/07/06 13:02:36.55 raldFPw3.net
これ何て読むん？
強い者。
きょうじゃ？つわもの？
151:１３２人目の素数さん
21/07/06 13:12:03.71 D1XzFRr5.net
目の前の端末で調べろ
152:１３２人目の素数さん
21/07/06 14:39:56.42 BR9AQPQE.net
もっと収束の早い表示を見つけろと。
生姜ねぇな…
cos(n) = (-cos(n-1) + 2cos(n) - cos(n+1)) /[2(1-cos(1))],
を入れると
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n) = {-cos(1)/log(2) + cos(2)･(2/log(2)-1/log(3)) + Σ[n=3,∞] cos(n)･(-1/log(n-1) +2/log(n) -1/log(n+1)) }/[2(1-cos(1))]
= －1.3422195105 ぐらい？
153:ベイカーおじさん
21/07/06 15:02:41.34 raldFPw3.net
>>147
端末とかいう難しい言葉を使う男の人って…
154:１３２人目の素数さん
21/07/06 15:19:56.63 BR9AQPQE.net
夏草や兵どもが夢の跡
↑ 松尾芭蕉 (五月十三日、平泉)
つわもの
155:１３２人目の素数さん
21/07/06 15:34:39.11 gFvjnwRQ.net
>>148
cos(n) = (cos(n-2)-4cos(n-1)+6cos(n)-4cos(n+1)+cos(n+2))/[2(1-cos(1))]^2,
とか
望むだけ収束を早くできる？
156:１３２人目の素数さん
21/07/06 15:52:04.86 zqNWXGkU.net
そのタイプでは所詮O(n^(-k))程度で必要な計算回数が1/精度程度にしかならないので10^10とかには届かない
157:１３２人目の素数さん
21/07/06 16:00:29.67 zqNWXGkU.net
もう少し詳しく言えばアーベルの和公式一回で誤差はO(1/n)程度になる
しかしこれでは10^10回計算しないとダメでできなくはないがやりたくない
精度をO(1/n^2)にあげれば10^5で済む
この辺が1番の落とし所だけど当然丸め誤差が10^5程度は出るので下3〜4桁は信用できない
すると10^10まで精度出すには計算ライブラリの方は10^15とかで計算してくれないとダメ
しかし普通のCのライブラリとかだとダメ
非標準なやつなら山のようにネットに転がってるからそれでできるけどな
しかしやっぱりそもそもO(r^n)くらいのオーダーで収束するやつ見つけてこないと
まぁあるにはあるけどな
158:１３２人目の素数さん
21/07/06 16:31:30.88 zqNWXGkU.net
訂正
倍精度だと有効桁数16桁
10^10と思ってた
記憶違い
しかしO(1/n^2)だとちょっと信用できない
O(1/n^3)で10^4くらいの近似でならまぁいけるか？
しかしこれでも丸め誤差が10^4×10^(-16)出てしまう
O(1/n^3)の係数部分次第では危ない
ともかく10^10という値が標準ライブラリだとギリギリ危ない数値なんだよな
159:１３２人目の素数さん
21/07/06 18:17:39.80 hb0WYb/r.net
>>148
惜しい、小数点以下１０位が正しくないです
純粋な数学の問題としては
「Σ[n=1,∞] 1/(n^3 sin^2(πn/√2)) は収束するか」
の方が簡単で面白いかも
160:１３２人目の素数さん
21/07/06 18:23:02.51 zqNWXGkU.net
>>155
どうやって出した？
ホントに合ってる？
161:１３２人目の素数さん
21/07/06 18:43:12.36 hb0WYb/r.net
>>156
162:計算しやすい単純な積分に持ち込んで近似すれば wolfram先生が任意の精度で答えてくれます
163:１３２人目の素数さん
21/07/06 20:12:26.35 gFvjnwRQ.net
近似値を１０桁というが
小数点以下１１位のところを
切り捨てるのか四捨五入するのか悩む
164:１３２人目の素数さん
21/07/06 20:46:51.87 zqNWXGkU.net
あぁそうか
大先生がいたかwww
165:148
21/07/06 21:28:36.98 BR9AQPQE.net
>>151
－1.3422195104 になった？
(10桁目はあやしいけど)
166:１３２人目の素数さん
21/07/06 22:12:49.84 hb0WYb/r.net
>>160
とりあえずこの方針では9桁が限界のようなので方針を変えた方がよいかと
ところでcos(n)の高階差分を取るのはどういう意味があるの？
部分和分？収束の加速法の一種？
167:１３２人目の素数さん
21/07/06 22:18:00.06 qzXU2If/.net
なんか反転公式みたいな式が出てくる
168:148
21/07/07 00:58:04.84 0DoNaPzu.net
>>151
俺の結果は
－1.342219510174558025
になった…
169:１３２人目の素数さん
21/07/07 01:17:54.88 0DoNaPzu.net
S = Σ[n=4,∞] cos(n){1/log(n-2) - 4/log(n-1) + 6/log(n) - 4/log(n+1) + 1/log(n+2)}
= －0.11149043710615104
を利用して
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n)
= cos(2)/log(2) + cos(3)/log(3)
+ {S - cos(4)/log(2) + (4cos(4)-cos(5))/log(3) + (cos(2)-4cos(3))/log(4) + cos(3)/log(5)}/[2(1-cos(1))]^2
= －1.342219510174558025
>>151 の式で十分なことが分かった。
170:１３２人目の素数さん
21/07/07 01:34:58.64 0DoNaPzu.net
>>161
部分和分といえばそうかも。
cos(n) の差分をとってアーベル総和すると 1/log(n) の方が差分になり、
およそ O(1/n)倍になる。
{1/log(n) - 1/log(n+1)} ～ 1/{n･log(n)^2}
{1/log(n-1) - 2/log(n) + 1/log(n+1)} ～ 1/{n^2･log(n)^2}
これでもバーゼル以上の速度になる。
{1/log(n-2) - 4/log(n-1) + 6/log(n) - 4/log(n+1) + 1/log(n+2)} ～ 6/{n^4･log(n)^2}
参考書
一松 信「数値計算」至文堂 近代数学新書 (1963)
第3章, 第1節, §42. 級数求和法, p.164-167
171:１３２人目の素数さん
21/07/07 02:33:54.15 6xjrVijU.net
>>164
正解です
>>139 のこちらで用意していた解答をあげます
f(z) = (e^(-iz)/log(z))/(1-e^(-2πiz)) と置き、
Cを虚軸に平行で点3/2を通る線分と半径m中心3/2の右半円を合わせた経路とすると
留数定理より
Σ[n=2,m+1] cos(n)/log(n) = Re∫[C] f(z)dz
右半円の積分はO(1/log(m))→0 (m→∞)
したがって
Σ[n=2,∞] cos(n)/log(n) = -Re∫[-∞,∞] f(3/2+iy)idy
= ∫[-∞,∞]Im(e^(-3i/2+y)/log(3/2+iy))/(1+e^(2πy)) dy
この積分は収束するので和も収束
この積分（急減少する解析関数のR上積分）は安直な近似で高精度になり
(出典:URLﾘﾝｸ(core.ac.uk))
∫[-∞,∞] f(3/2+iy) dy ≒ Σ[n=-n1,n2] f(3/2+inΔy)Δy
これを約13桁で近似するには大まかに
Δy≒π/(13log10)≒1/10, n1≒13log10/Δy≒300, n2≒13log10/(Δy(2π-1))≒57
と設定しwolfram先生に計算してもらうと
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
この虚部が近似値で
-1.342219510175
一方、実部はΣ[n=2,∞] sin(n)/log(n) の値に対応します
文献によるとy=sinh(t)で変数変換するとさらに精度がよくなって
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
虚部を取ると
-1.34221951017455809126131778428822570588391891536680437
最後の桁まで正しいことはΔy,n1,n2を少し変化させて数字が変わらないとで確認します
172:１３２人目の素数さん
21/07/07 07:22:30.64 ZsrS0IEB.net
nCr(a,b)の解説をお願いします
173:１３２人目の素数さん
21/07/07 10:56:47.35 20QXNXY4.net
まぁしかしやっぱり数値出す系での回答としてはやっぱり解答できてないやろ
本気で数値を必要な桁数出せって問題でたら
・正確な値出す式を作る
・その数値をだすための積分、関数を計算するためのライブラリ用意する
・そのライブラリの計算誤差がいくらかきちんと信頼できるソースで調べる
・出てきた誤差全部足し合わせて要求される値以下である事を示す
までやらなきゃ数学的には答えになってない
174:１３２人目の素数さん
21/07/07 11:31:21.49 0DoNaPzu.net
いずれにせよ肝心要の計算は大先生に頼むしかない、というのが
面白い問題
175:１３２人目の素数さん
21/07/07 11:45:58.04 0DoNaPzu.net
大石進一(早大･理工) 編著：「精度保証付き数値計算の基礎」コロナ社 (2018)
311p．4950円
URLﾘﾝｸ(www.coronasha.co.jp)
(大意)
訳の分からない誤差を、拾い集めて暖め合おう～ (襟裳岬)
176:１３２人目の素数さん
21/07/07 11:48:07.76 20QXNXY4.net
いや、ホントに数学科で数値計算やってたやつなら自分でやるよ
大先生に頼んだらなんて許されるはずないからなw
俺も学生時代多倍長精度のライブラリ使って計算したりした事は練習程度ではある
で円周率いっぱい計算して遊んだりはした
今回のが難しいのは元のΣcos(n)/log(n)でやってしまうとちょっと工夫するだけではO(1/n^k) (k =1,2,3..)程度の誤差が出てしまう事
Euler-MaclaurinとかAbel-Planaとか使えばO(r^n)が出てきてやっと実用になる
しかしコレだと数値積分ライブラリも必要になってこいつが結構誤差出してくれる
しかも数値積分の理論ってかなり難しくてライブラリの機能100%使い切るのなんて専門家でないと無理なんだよな
大先生の数値積分のドキュメントも専門用語のオンパレードでわけわからん
長々説明あって結局どんだけの誤差出るんだかサッパリわからなかったりする
177:１３２人目の素数さん
21/07/07 13:19:01.05 0DoNaPzu.net
k階階差をとったときの誤差が ～ O(1/n^k) ならkを大きくとればよい。
k=12 ぐらいにすれば n=10 項ぐらいになって、手で計算できるはず。
しかし実際は ～ O(k!/n^k) なので
nの上限が同程度なら、kを大きくとれないんだよな。。。
178:１３２人目の素数さん
21/07/07 13:26:58.42 20QXNXY4.net
ハマり中
アーベルプラナの和公式なら
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
Integrate[x^2,{x,3/2,5/2}]+ I * Integrate[( (3/2+I*y)^(2)- (3/2-I*y)^(2) -(5/2+I*y)^(2)+(5/2-I*y)^(2))/(Exp[2*Pi*y] - 1), {y, 0, Infinity}]
↑これ4になる�
179:ﾍずなのに4.25になるorz 何が違う？
180:１３２人目の素数さん
21/07/07 13:27:59.51 20QXNXY4.net
貼り忘れた
大先生の計算
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
181:１３２人目の素数さん
21/07/07 13:49:20.03 20QXNXY4.net
わかった
前提条件満たしてないや
お騒がせしました
182:１３２人目の素数さん
21/07/07 13:58:21.09 20QXNXY4.net
イヤ違う、やっぱり
lim[y→∞] exp(-2πy)(x±y)^2 = 0 (3/2<x<5/2)
だからいけるはず
何がおかしいんだろ？
183:１３２人目の素数さん
21/07/07 14:04:33.75 jXcM73+t.net
(1) (n次元)閉円盤は可算個の閉集合と、(n次元)ルベーグ測度におけるゼロ集合との非交和であることを証明せよ.
(2) 閉円板は可算個の閉集合の非交和か？
184:１３２人目の素数さん
21/07/07 14:08:01.22 20QXNXY4.net
ちなみにaやbが整数値なら合う
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
もしかしたらwikiには整数値でなくてもいけるって書いてあるけど実はaやbが整数値でないと成立しないのかな？
185:１３２人目の素数さん
21/07/07 14:54:25.87 0DoNaPzu.net
>>174
大先生は正解のようですね。(17/4)
a=3/2, b=5/2 として
∫[a, b] x^2 dx = (b^3-a^3)/3 = 49/12,
∫[0, ∞] y/(e^{2πy}-1) dy
= Σ[k=1, ∞] ∫[0, ∞] y e^{-2kπy} dy
= Σ[k=1, ∞] [ -(1+2kπy)/(2kπ)^2・e^{-2kπy} ](y=0,∞)
= Σ[k=1,∞] 1/(2kπ)^2
= (1/2π)^2 Σ[k=1,∞] 1/k^2
= (1/2π)^2 (π^2)/6
= 1/24,
186:１３２人目の素数さん
21/07/07 15:19:55.50 20QXNXY4.net
>>179
という事はやはりおかしいのはwikiの方？
どっかでa,bが整数出ないと成立してない話が混じってる？
187:１３２人目の素数さん
21/07/07 15:25:22.14 6xjrVijU.net
>>173
Wikipediaが間違っている
正確なステートメントは以下の通り:
a,bが非整数の時:
Σ[n=ceil[a],floor[b]] f(n)
= ∫[a,b] f(x) dx
+ i∫[0,∞] {f(a+iy)/(E^(2πy-2πia)-1)-f(a-iy))/(E^(2πy+2πia)-1)}dy
- i∫[0,∞] {f(b+iy)/(E^(2πy-2πib)-1)-f(b-iy))/(E^(2πy+2πib)-1)}dy
Wikiの誤りの原因は、
証明のaまたはbだけずらすときに分母の処理が抜け落ちていることにある
188:１３２人目の素数さん
21/07/07 15:37:39.41 20QXNXY4.net
>>181
ありがとう
とりあえず今晩間違い探ししてみるよ
189:１３２人目の素数さん
21/07/07 16:54:49.14 oDBggFyQ.net
次のような図を考える。
URLﾘﾝｸ(www.creative-hive.com)
円弧に対応する円は同一である必要はなく、端点ＡＣで図のようになっていればいい。光線というのは図のようにＢから出ている３本の線である。
もし、領域、１，２，３に円が内接するならば、領域４にも円が内接することを示せ。
190:１３２人目の素数さん
21/07/07 17:40:57.87 9tiwSd37.net
>>183
一般に2円Γ1,Γ2が異なる2点A,Bで交わるとし、CがΓ1に内接しΓ2に外接するとする
直線ABの距離d(C)と半径をr(C)とするときr(C)/d(C)は定数である
問題の図においてACを通る３つの円をうちから順にΓ1,Γ2,Γ3としBから出ている３つの半直線を左から順にl,m,nとする
mに接しΓ2に接し、Γ1に外接、またはΓ3に内接する領域1,2,3,4にある円をC1,C2,c3C3,C4とする
関数d,rを前段の議論のそれとする
前段の議論により
r(C1)/d(C1)=r(C2)/r(C2)
r(C3)/d(C3)=r(C4)/r(C4)
である
また
C1とC3の共通外接戦の交点が直線AC上⇔r(C1)/d(C1)=r(C3)/r(C3)
C2とC4の共通外接戦の交点が直線AC上⇔r(C2)/d(C2)=r(C4)/r(C4)
である
以上で示された
191:１３２人目の素数さん
21/07/07 17:55:42.48 oDBggFyQ.net
>>184
天下り式で何を言ってるか分からない。本問は、図から明らかに初等幾何の問題である。そして、定理の示し方は一般的に見当がつかず
恐ろしく難解なものになると考えられる。これを想定して上の解答を読むと様々なことが天下り式ないし、参考書の引き写しのように書いてあり
認められない
192:１３２人目の素数さん
21/07/07 18:52:00.09 7EIgntZM.net
サイコロのようなものがあり、２６回振ったところ、６つの面がそれぞれ、
４，５，４，２，７，４回出た。
１／６づつ出るはずと考えると、４回か５回あたりが妥当な回数だが、
２回とか７回とかの面もある。
このサイコロのようなものは、歪んでいると考えるべきか、
それとも、歪んでなくても十分起こりえる範囲と考えるべきか？
そして、なぜこれが「面白い問題」スレに出されたか考えて欲しい。
（これこそが面白いはず。）
193:１３２人目の素数さん
21/07/07 18:53:09.93 9tiwSd37.net
>>185
>>183
一般に2円Γ1,Γ2が異なる2点A,Bで交わるとし、CがΓ1に内接しΓ2に外接するとする
直線ABの距離d(C)と半径をr(C)とするときr(C)/d(C)は定数である
∵) Cの中心をP(C)、Γiの中心をFi、半径をri、P(C)とFiの距離をfi(C)とおく
r(C)+f1(C) = r1‥①
r2+f2(C)=r(C)によりf1(C)+f2(C)=r1+r2であるからP(C)の軌跡は楕円の一部をなす
P(C)から準線までの距離h(C)。離心率をeとするとf1(C)=e h(C)である
このh(C)はd(C)の一次式だからf1(C)=a d(C) + bとおける
①に代入して
r(C)=-ad(C)-b + r1
となる
C→Aの極限においてr→0、d→0であるから定数項は0でありr(C)はd(C)に比例する
194:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:03:10.15 oDBggFyQ.net
>>187
それは初等幾何の範囲で定理として認められているのか
195:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:18:52.68 oDBggFyQ.net
共通外接線の観点は初等幾何の王であり、本件の問題が共通外接線の類題であることから共通外接線に着目するのは自然といえるが
共通外接線の性質を知らないものにはきついし、また上の説明では共通外接線の性質だけからの証明になってなくて 論理飛躍した定理を用いている
196:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:27:27.67 9tiwSd37.net
>>188
認められてない
しかしある程度以上の力のある人間なら主張を買いとけば証明自体は自然な流れでできてしまうので“容易に示せる”で許してもらえるレベル
読者層のレベルによる
197:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:32:51.06 oDBggFyQ.net
上の比例定理を証明できるかはどうでもよく、この問題を見たときにこの比例定理を思いつくこと自体が困難だから 解答として美しいとは言えない
他方共通外接線は初等幾何の中心だし、本問の図には共通外接線があるから、そこから証明できればいいが、上では、できていない
また本問のような問題に対し、解答の分量が少なく、バランスも悪い
198:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:37:47.76 If4pm4lz.net
>>190
その人、本人のレベルが恐ろしく低いくせに、自分が理解できないことは絶対認めないマンだから相手にしたらダメなやつだぞ。
なんせ分量で判断するくらいだからw
199:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:44:18.20 oDBggFyQ.net
>>192
本人のレベルが恐ろしく高い場合には、 そのことしか理解できない ないし できない奴ぐらいしか今の日本には残っていないからどうでもいい
例えば昭和はともかく 平
200:成時代は、 数オリなら数オリで、それでは金がとれるが数オリのことしか分からないとか、そんな奴ばかりだった それに昭和は腐ったから否定されたしな
201:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:49:16.21 9tiwSd37.net
>>102
まぁもうこの問題終わったし描く事もないな
202:１３２人目の素数さん
21/07/07 20:57:30.87 oDBggFyQ.net
>>184
初等幾何の問題は通常 小中高等学校生に教えるところだが、この比例定理は、普通、小中高校生が自然に問題を検討して思いつくものではないから
解答としては華麗にすぎ、数十分程度で思いつくものではない
またくそつまらないので、この問題の模範解答の場所はアップしないが 模範解答では もっと華麗に解いている
203:１３２人目の素数さん
21/07/07 21:14:01.64 oDBggFyQ.net
幾何学のもっとも美しい問題で、数オリに出るようなものは、 何か簡単な点を Introduceすることを思いつけば簡単に解けるとか、ユークリッドの公理
つまり角度の関係だけで解ける 補助線 補助円を多く作成することにより解く、 もっとも驚異的な場合であっても レンマ（補題）を作ることが要請される
ことからすると、この問題は終わったとは言えないだろう。 模範解答では、 この問題を解くために、 レンマ＝補題を３つ作成しているし、
本問を本格的に解くのは難しい
それから上の解答ではまず解答になっているかどうかも検証されていない
204:１３２人目の素数さん
21/07/07 21:22:09.91 hhHzoJnw.net
このスレってプロおじの影に隠れてるけどやばいやつ結構いるよな
205:１３２人目の素数さん
21/07/07 21:26:42.28 EDfGcKUz.net
同じやつなんじゃないの？
206:１３２人目の素数さん
21/07/07 21:36:20.26 bzLqPGK+.net
キチガイが多すぎてまともな数学徒がみんないなくなってしまったスレ
207:１３２人目の素数さん
21/07/07 21:40:19.19 0CBgsK0a.net
>>186
問題的にはχ二乗検定で解けるんよね？
何が面白いのか分からないから教えて欲しい
208:１３２人目の素数さん
21/07/07 21:52:41.70 oDBggFyQ.net
>>184
この証明は何を言っているのか分からないし 俺が見た模範解答では、もっと長い議論をしていたし、補題 （ ちなみにレンマを作る作業というのは
数学的に重要とされている ） も３つあったから、本件の定理は、定理自体が極めて美しいのに対して、その証明には根気がいるから
この問題はそんなに簡単ではない。それからこの定理は非常に美しくそれが分からないとかクソ
209:１３２人目の素数さん
21/07/07 22:54:24.45 oDBggFyQ.net
>>197
やばいっていうか基本、数学はキチガイじゃないとムリだからな
昭和時代にガチでやっていた奴らは、 刑務所の工場みたいなところで働いて超集中してみんなでやって盛り上がっていた真夏
しかしそんなものは３５年以上前に流行り廃れたんだよ
210:１３２人目の素数さん
21/07/07 23:41:10.84 7EIgntZM.net
>>200
そうですね。
「何が面白いのか」はちょっと保留させていただいて、
次のような場合だったら、回答はどうなるだろうか。
実は、６面の内、望ましい面が一つと、望ましくない面が一つあったとする。
２６回振った内、各面が出た回数は、
４，５，４，２，７，４
で同じだが、２回しか出なかった面は、望ましくない面で、
７回出た面は、望ましい面だったとする。
つまり、望ましくない面は少なく、望ましい面は多く出て出ていたとする。
この場合、「サイコロのようなもの」には何らかの細工が施されていると考えるべきか
それとも、歪みが無くても十分起こりえる範囲と考えるべきか？
211:１３２人目の素数さん
21/07/08 00:23:25.58 MZaxT2Ec.net
正7角形a0a1a2a3a4a5a6を考える
直線a3a4と直線a1a6の距離をg
直線a3a4と直線a2a5の距離をh
としたとき
この正7角形の面積が√7ghとなることを示せ
212:１３２人目の素数さん
21/07/08 00:26:39.12 kdUls0zP.net
>>43 の用意してた解答をうp >>86の論文よめば書いてあるんだけど せっかく用意してたので 定理 VがRベクトル空間で写像F,G: R×V→V(注 線形とかではないただの射像)について二項演算 (a,x)⊕(b,y)=(a+b,x+y+F(a,b)) (a,x)⊗(b,y)=(ab,bx+ay+G(x,y) がR×V上に単位元を持つ可換環の構造を与えるとする この時写像f:R→Vで F(a,b)=f(a)+f(b)-f(a+b) G(a,b)=bf(a)+af(b)-f(ab) を満たすものが取れる 自然な射影をπ:R×V→Rとする 主張は環準同型φ:R→R×VでπφがRの恒等写像でさらに関数R→Vでφ(a)=(a,-f(a))とかけるものが存在する事と同値である Rの部分環Sと関数f:S→Vの組みで ・φ(a)=(a,-f(a))とおくときφは環準同型となる ものの全体に制限で順序を入れると帰納的順序となるからZornの補題により極大元(S,f)が取れる S≠Rとして矛盾を導く φを上記のようにとる R＼Sの元rを選び多項式環S[t]からRへの準同型ψをψ(t)=rとするとき、rをうまく選定すればkerψが0か、単項イデアルであるように取れる
214:１３２人目の素数さん
21/07/08 00:26:56.06 kdUls0zP.net
続き
実際rがS上超越的ならkerψ=0である
Sの全商体KにおいてがR/K代数的で非自明ならrをS上モニックであるようにとればよい
R=Kとする
仮定によりK≠Sである
よってSは非可逆元aを持つ
そこでr=1/aとおく
kerψが(at-1)で生成される事を示す
P(t)がkerψの元とすると多項式Q(t)∈K[t]をP(t)=(at-1)Q(t)を満たすように取れるが定数項から順に係数比較してQ(t)∈S[t]となり主張が示された
以上によりkerψが単項生成となるようにrが選出できるとわかった
次にx∈Vを取るとき準同型ψx(a):S[t]→R×Vをψx(a) = φ(a)、ψx(t)=(r,x)で定められるものとする
xをうまく選定すればkerψ⊂ketψxとできる事を示す
まず帰納的に任意のP(t)∈S[t]に対しy∈Vを任意のxに対し
ψx(P(t)) = (P(r), P'(r)x + y)
を満たすようにとれる事を示す
degPが定数aならy = -f(a)ととればよい
P(t)=tQ(t)+aとかけるときy∈Vを
ψx((P(t))
=(r,x)⊗(P(r),P'(r)x+a)⊕(a,-f(a))
=(rP(r)+a, P(r)x + rP'(r)x+y+G(r,P(r)) -f(a) +F(rP(r),a) )
が成立するようにとれるから主張は示された
そこでP(t)をkerψの生成元とするときy∈Vを上記の性質を満たすように選ぶときP'(r)x=-yとなるxを選べばよいが、今Sは標数0の体の部分環だからP'(r)≠0によりコレは可能である
以上によりxの選定が終わった
結局kerψ⊂kerψxであるから自然な準同型S[t]/kerψ→S[t]/kerψxが引き起こされ、さらに自然な同型S[t]/kerψ→S[r]と準同型S[t]/kerψx→R×Vによりφの拡張が得られたから矛盾を得る
215:１３２人目の素数さん
21/07/08 00:32:05.30 kdUls0zP.net
>>205
の話が面白いのはこの話誰がどう見てもかなり抽象度の高い話であんまり使い所なさそうな話なのに、この話をうまく使ってSydlerの定理(Dehnの定理の逆)
定理
多面体が切り貼り同値であるのはその体積とDehn不変量が等しいそのときである
を示して見せた事
しかも使い方がめっちゃ素晴らしく(定理をうまく2回使う)ちょっと感動ものでした
興味ある人は挑戦してみて下さい
216:１３２人目の素数さん
21/07/08 02:37:24.23 lB9sE2ee.net
何をもって面白いというのか分からない
あえて面白いというなら、研究以来
217: ２０００年を経過した初等幾何学において、２１世紀を過ぎてもまだ次のような珍しい問題があった 三角形ABCの外接円をωとする。ωに接線Ｌが接している。辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡを軸にＬを対称移動させてできる線で囲まれる三角形の外接円をΛとする。 ωとΛは接することを示せ。
218:１３２人目の素数さん
21/07/08 04:18:18.06 d+SvPwXI.net
以下の問8が面白いと思いました。分かる人いらっしゃいますか？
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
219:１３２人目の素数さん
21/07/08 07:43:34.97 7AJz7a5D.net
>>203
何が面白いのか教えてくれ
220:１３２人目の素数さん
21/07/08 09:01:06.10 h6/l9qfm.net
>>204
面白くない解答
g = cos(2π/7) - cos(6π/7)
= 2sin(2π/7)sin(4π/7) (和積公式)
= 2sin(2π/7)sin(3π/7),
h = cos(4π/7) - cos(6π/7)
= 2sin(π/7)sin(5π/7) (和積公式)
= 2sin(π/7)sin(2π/7),
gh = (1/2)sin(2π/7){8sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)}
= (1/2)(√7)sin(2π/7),
S = 7sin(π/7)cos(π/7)
= (7/2)sin(2π/7)
= (√7)gh,
221:１３２人目の素数さん
21/07/08 09:23:16.45 nvpPrvvJ.net
>>209
答え載ってんじゃん
222:１３２人目の素数さん
21/07/08 09:33:40.88 h6/l9qfm.net
Π[k=1,n-1] {2sin(kπ/n)} = n,
223:１３２人目の素数さん
21/07/08 09:53:46.15 h6/l9qfm.net
>>209
ある瞬間には犬で、次の瞬間には猫になっている動物
という可能性もある(?)
その辺の気まずさは、一般化学の教科書をのぞいてみるとよく分かる。
北アメリカで評判の高い教科書の１つには次のような調子の説明がある。
"Ｏ_3の実際の電子構造は 図1.7の (Ⅱ) にも (Ⅲ) にも対応せず、この2つ
の構造の中間の共鳴混成 (resonance hybrid) と呼ばれる電子構造を持っている。
共鳴という言葉が使われたのはまことに不幸なことで、そのためにＯ_3の電子構
造が実際に (Ⅱ) になったり (Ⅲ) になったりしているのだと思い込む人がある
が、これは正しくない。もし、かりに、犬と猫のあいの子ができたとすると、
それは両親の特性が混じりあった動物になり、ある瞬間には犬で、次の瞬間には
猫になっているわけではない。"
これでは初学者の頭はますます混乱するばかりだろう。 (後略)
･出 典
藤永 茂：「入門 分子軌道法」講談社ｻｲｴﾝﾃｨﾌｨｸ (1990) §1.3
224:１３２人目の素数さん
21/07/08 12:26:26.83 h6/l9qfm.net
フタを開けたら犬になってた(!)
シュレディンガーもそこまでは考えなかったのでは？
225:１３２人目の素数さん
21/07/08 14:37:23.53 nvpPrvvJ.net
猫が犬になったとしてそれはもう猫でも犬でもないが
226:１３２人目の素数さん
21/07/08 14:38:44.87 lB9sE2ee.net
>>208
の問題は？
227:１３２人目の素数さん
21/07/08 14:42:21.78 3OOysqLa.net
>>216
その理屈はおかしい。
キメラやウナギイヌでさえ
広義では犬である。
228:イナ
21/07/08 16:19:48.68 OjZWcih4.net
前>>107
>>204
直感で言って√7ghにはならない。
gh√7か(√7)ghだと思う。
正七角形の一辺の長さをaとすると、
△a1a2a3=△a2a3a4=ah/2
△a1a3a4=ag/2
正七角形の面積Sは、
S=ah+ag+△a0a3a4
=a(h+g)+a√｛(g^2/h^2)a^2-a^2/4｝
=a(h+g)+a^2√(g^2/h^2-1/4)
等脚台形a1a2a3a4=等脚台形a2a3a4a5
=△a1a2a3+a1a3a4=h(a+a2a5)/2=h(a+a1a4)/2
=ah/2+ag/2=h(a+a2a5)=h(a+a1a4)
ag=ha1a4=ha2a5
ここまでまあまぁおもし�
229:�かった。
230:１３２人目の素数さん
21/07/08 19:10:16.53 nvpPrvvJ.net
>>218
お前キメラ見て
「あ！犬だ！」ってなるのかよ
231:１３２人目の素数さん
21/07/08 19:37:01.06 Cg/BuVGz.net
>>187
r2+r(C)=f2(C) ね 外接してるし
r1=r(C)+f1(C)と足し合わせてf1(C)+f2(C)=r1+r2だからその後には影響しない
後半は初等幾何っぽくないけど
楕円であることを利用して
準線をABと平行にΓ1側奥にとって
焦点からの距離と準線からの距離の比が一定
f1(C)= e(1/e*r1-d(C))
(C->Aのときf1(C)=r1であることを用いた)
①に代入してr1=r(C)+e(1/e*r1-d(C))
変形してe*d(C)=r(C)
でどうかな
232:１３２人目の素数さん
21/07/08 20:21:56.08 lB9sE2ee.net
この問題は共通外接線がみえているから共通外接線の性質から解くのが普通
それ以外の解法では普通分かるはずがないので、上のように唐突な定理を使っているのは論理的に考えてもおかしい
結論先に有りき、参考書の引き写しと言われても仕方がない
233:１３２人目の素数さん
21/07/08 22:52:42.29 vr3m5jgE.net
>>210
「選挙は仏滅が避けられ、大安が好まれる」・・・(★)
みたいな話は聞いたことは無いでしょうか？
>>203で記した4,5,4,2,7,4 という数字(※)は、戦後行われた26回の衆議院選挙の投票日を、
先勝,友引,先負,仏滅,大安,赤口 で分類すると、それぞれ何回あったかを整理したものです。
仏滅が２回で大安が７回、他は４回か５回ということです。
★は当たっていそうに見えますが、カイ二乗検定では作為を認定できないと思います。
>>何が面白いのか教えてくれ
★は正しそうだが、そうとは断定できない。★を正しいと示す何らかの方法は無いか？
あるいは、そもそも★は正しくないのか？．．．このあたりの考察を楽しんで欲しかったということです。
先入観を排除して欲しかったため、選挙や六曜のことは伏せ、「サイコロのようなもの」と表現しました。
※参照 2021/7/6 トラノモン ニュース
234:１３２人目の素数さん
21/07/08 23:17:42.74 MKkGH3RG.net
>>223
もう来んな
235:１３２人目の素数さん
21/07/08 23:43:10.02 nvpPrvvJ.net
さすがに別人が出題者装ってるだけでしょ
でなきゃこんな頭のおかしいことは書けない