21/06/17 20:18:50.48 lnjH0V31.net
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね 467
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
(使用済です: 478)
数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(mathmathmath.dotera.net)
☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
URLﾘﾝｸ(web.archive.org)
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
2:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:30:21.97 TGp5XK7v.net
時限爆弾が10個送られてきた。
いずれも60分以内に爆発することは判明しているが、それ以外に情報がない。
爆発までの時間を一様分布と想定して、3個が爆発するまでの時間の期待値を求めよ。
答： 300/11=27.27分
3:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:35:14.28 TGp5XK7v.net
>>2
これは5個での値だった。3個だと180/11。
4:１３２人目の素数さん
21/06/17 20:36:16.16 lvhk/aVu.net
以前プロおじが出した問題をプロおじ向けに改題したものです
よろしくお願いいたします
プロおじに「あなたは尿瓶洗浄係ですか」という質問を五回する。ただし、
プロおじは、「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り
1 または2の目が出たときは正直に答え、3または4の目が出たときは うその答えを言い、
5または6の目が出たときは1/2の確率で正直に答えるものとする。
5: (1) プロおじが尿瓶洗浄係のとき、「はい」と答える回数が3である確率を求めよ。 (2) 「はい」と答える回数が3であるとき、プロおじが尿瓶洗浄係である確率を求めよ。
6:１３２人目の素数さん
21/06/17 22:31:52.43 FjTsY/eT.net
>>3
おい尿瓶ジジイ
別の板までマルチポストするな、引っ込んでろ
7:１３２人目の素数さん
21/06/17 23:20:45.52 WswkpqIt.net
(4)ってどういうことでござんすか
Mが対角行列なら解けるけどわかんなあああああい
うわああああ
984 １３２人目の素数さん sage 2021/06/17(木) 01:38:30.10 ID:AosbIRus
(4)は
|x| < max{|固有値|}において
L(I -xM)N
=L(I+Mx+(Mx)^2+... )N
=LM^0N + lMNx + LM^2Nx^2+..
=c1 + c2x + c3x^2 +..
ですな
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
8:１３２人目の素数さん
21/06/18 04:20:33.54 VvmIkHeC.net
s,t,p,qを実数の定数とする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。Dと直線y=t(-∞<t<∞)の交線の端点の座標をs,t,p,qで表せ。
9:１３２人目の素数さん
21/06/18 06:51:04.01 jJtCPzqc.net
s,t,p,q の大小関係がないと解く気が起こらない…
>>5
シー珍品にしようよ。
10:１３２人目の素数さん
21/06/18 08:25:34.51 SMzIlaC2.net
>>5
尿瓶ジジイ＝尿瓶洗浄係＝職種の言えない医療従事者
開業医スレを荒らしに言って入院勧告を受けているのが尿瓶洗浄係
11:１３２人目の素数さん
21/06/18 08:28:55.81 yv+o55lN.net
>>9
尿瓶ジジイ＝トケジ＝プロおじw
12:１３２人目の素数さん
21/06/18 09:08:43.30 WnFSc8Xp.net
>>5
期待値の算出法でも投稿すればいいのに。
定義通りに計算すれば出てくる。
13:１３２人目の素数さん
21/06/18 12:30:38.37 eh1zlDVL.net
s,t,p,qは実数の定数で、s≦t<0≦p≦qとする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。Dと直線y=t(-∞<t<∞)の交線の端点の座標をs,t,p,qで表せ。ただし交線が2つ以上の線分に分かれる場合、各線分の端点すべてについて述べること。
14:１３２人目の素数さん
21/06/18 12:31:33.08 eh1zlDVL.net
>>12
s≦t≦0≦p≦qの間違いです、すいません
15:１３２人目の素数さん
21/06/18 13:16:10.99 tYTboDZs.net
表に 5 または 10、裏に 2 または 3 の数字が書いてあるカードが 13 枚ある。
その内訳は、以下のようになっているものとする。
表に 5 が書いてあるカードの枚数 = 6
表に 10 が書いてあるカードの枚数 = 7
裏に 2 が書いてあるカードの枚数 = 9
裏に 3 が書いてあるカードの枚数 = 4
カードを1枚引くときの、表の数字を X とし、裏の数字を Y とする。
E(X + Y) を求めよ。
E(X + Y) = E(X) + E(Y) が成り立つ。
この式を用いて、計算すればよい。
表に 5 が書いてあり、裏に 2 が書いてあるカードの数、
表に 5 が書いてあり、裏に 3 が書いてあるカードの数、
表に 10 が書いてあり、裏に 2 が書いてあるカードの数、
表に 10 が書いてあり、裏に 3 が書いてあるカードの数。
これらが分かっていないにもかかわらず、 X + Y の平均が求まるのって不思議に感じるのですが、不思議に感じるのは正しい感覚ですか？
16:１３２人目の素数さん
21/06/18 13:41:29.79 1TEFPw6W.net
>>14
> 不思議に感じるのは正しい感覚ですか？
逆に聞くけどさ、正しい感覚への憧れがあるの？もっと普通になりたいと思うの？
だったら回線切って、いろんなところに出向いて店員さんとでもいいから会話した方がいいぞ
17:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:10:02.36 Xfezzw6f.net
「期待値の線型性」にちょっとした驚きがあることは自然なことだと思うな
18:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:11:46.65 gy72L7Rq.net
マルチしてたのかよ
19:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:30:09.24 mWUH7RNm.net
>>11
マルチポストするな尿瓶ジジイが。
20:１３２人目の素数さん
21/06/18 14:30:38.67 tYTboDZs.net
>>16
やはり不思議ですよね。
21:１３２人目の素数さん
21/06/18 15:27:35.18 M1IYKoOJ.net
不思議に思う事が「正しい感覚」かどうか尋ねられても答えようがないよね
>>16の言う「自然な感覚」ならば理解できるけど
22:１３２人目の素数さん
21/06/18 16:23:05.44 jJtCPzqc.net
>>12
(1)
aa - 4b ≧ 0, (実根をもつ)
t ≦ -a/2 ≦ p, (軸のx座標)
s^2 + as + b ≧ 0,
t^2 + at + b ≦ 0,
p^2 + ap + b ≦ 0,
q^2 + aq + b ≧ 0,
23:１３２人目の素数さん
21/06/18 17:47:30.36 lTQnYJ8E.net
時限爆弾が100個送られてきた。
いずれも60分以内に爆発することは判明しているが、それ以外に情報がない。
爆発までの時間を一様分布と想定する。
爆弾が到着してから10分以内に爆発する爆弾の数の95%信頼区間を有効数字３桁で求めよ。
24:１３２人目の素数さん
21/06/18 19:01:45.40 NUaNBqw+.net
>>22
nCr(a,b)の定義を述べ、以下の（1）～（3）を計算せよ。
定義に基づくと計算不可能である場合は、計算不可能と記せ。
（1）4C2(8,3)
（2）nCr(7,2)
（3）nC1(2a,a)
25:１３２人目の素数さん
21/06/18 19:16:13.28 N9mseVWv.net
>>14
表裏のカードの配分が決まってないから独立としか言いようがないわな
逆に決まってたら独立じゃない
26:１３２人目の素数さん
21/06/18 20:18:20.61 wkvb3cRD.net
これを証明したいのですが、どのように証明すればいいでしょうか
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
27:１３２人目の素数さん
21/06/18 21:04:46.99 jJtCPzqc.net
〔系 A.1〕
n個の "互いに独立" な正規確率変数 X_1, X_2, …, X_n が "同一
の" 正規分布 N(μ,σ^2) に従う時、加重和 Σ[i=1,n] (c_i X_i) は
正規分布 N(M,S^2) に従う。ここに
M = μΣ[i=1,n] (c_i)^2, S^2 ＝ σ^2 Σ[i=1,n] (c_i)^2.
28:１３２人目の素数さん
21/06/18 21:16:42.79 jJtCPzqc.net
n=2 の場合から μ と σ^2 の加成性が分かる。
n>2 は nについての帰納法で出る。
n=2 のとき
軸の回転
Y1 = (c1 X1 + c2 X2)/c,
Y2 = (-c2 X1 + c1 Y2)/c
c = √{(c1)^2 + (c2)^2},
これは直交変換だから
f(X1)f(X2) = f(Y1)f(Y2),
Y2で (-∞, ∞) で積分すれば、Y1の分布が出る。
29:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:16:52.61 M1IYKoOJ.net
>>21
s=-1 t=-0.1 p=0.1 q=1 a=-0.3 b=-0.5 とすると、
a^2-4b=2.09>0：成立
t≦-a/2≦p ... -0.1≦0.15≦0.1：不成立
s^2+as+b=0.8≧0：成立
t^2+at+b=-0.46≦0：成立
p^2+ap+b=-0.52≦0：成立
q^2+aq+b=0.2≧0：成立
つまり条件未達なのにx^2-0.3x-0.5=0の2実根は-0.573と0.873で題意を満足しています。
条件を広げる必要があるのでは？(どこをどう広げるべきなのか分からないけれど)
30:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:23:00.70 dUD46s6V.net
軸の条件抜くだけやん
31:中学生
21/06/18 22:31:57.32 BZm2CHcz.net
正八面体の対面が平行である証明を教えてください！
ベクトルとか座標平面ではなく、空間幾何として解いていただくとありがたいです
32:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:56:57.54 dUD46s6V.net
立方体ABCD-EFGHの6面の重心を結んで正八面体が得られるからコレについて言えれば良い
ABCD,AEFB,AEHDの重心をPQRとして平面PQRが対角線AGと垂直である事を示せば良い
A中心に2倍に相似変換して平面CFHと対角線AGが垂直である事を示せば良い
C,F,Hから直線AGに下ろした垂線の足をU,V,Wとする
△ACGはAC:CG=√2:1の直角三角形で△AUC、△CUGはコレと相似だから線比よりAU:UG=2:1, すなわちUはAGを2:1に内分する点である
V,Wについても同様であるからU=V=W
特にUを通りAGに垂直な平面上にC,F,Hが乗るとわかる
よって平面CFHとAGは垂直
33:１３２人目の素数さん
21/06/19 00:03:50.38 qkL8CkN+.net
>>27
すみません、文系の統計レベルでもこの証明になる感じでしょうか。
加重和の期待値、分散は使いませんか？
34:１３２人目の素数さん
21/06/19 00:26:25.63 /fMPlG8T.net
>>30
隣接辺への鏡映変換を2度行うから平行になる
35:１３２人目の素数さん
21/06/19 01:56:47.20 Izf7+Y5w.net
>>32
n=2 だけでいいなら、畳み込んだ方が簡単かも知れません。
c1 X1 + c2 X2 = Y
とおき
g(Y) = ∫[-∞,∞] f(X1) f((Y-c1X1)/c2) dX1 = …
>>27 では
正規分布N(μ,σ^2) の分布関数が
f(X) = a e^(-(X-μ)^2/(2σ^2)), a = 1/√(2πσ^2),
であり、直交変換では (X1-μ)^2 + (X2-μ)^2 = (Y1-M)^2 + (Y2)^2 となるため
f(X1)f(X2) = f(Y1-M)f(Y2),
となることを利用しました。(*)
n>2 への拡張もできるし、
分子軌道(MO)法 計算ソフト"GAUSSIAN" でも使われているらしいです。
なお、初めから正規分布になることが分かっていれば、
平均値と分散だけ計算して完了です。
36:１３２人目の素数さん
21/06/19 02:58:54.95 f1l0lA4K.net
尿瓶プロおじ懲りないね
37:１３２人目の素数さん
21/06/19 10:13:28.92 qkL8CkN+.net
>>34
平均値と分散は加重和のやつを計算するということですか？
正規分布になることが分かってる状態です。
38:１３２人目の素数さん
21/06/19 10:27:57.15 IdOfjWky.net
>>36
プロおじそんなこともわからないんだ…
39:１３２人目の素数さん
21/06/19 10:37:40.64 qkL8CkN+.net
>>37
僕はガイジなの🥺
40:１３２人目の素数さん
21/06/19 11:14:32.07 pW8kC5f5.net
>>38
知障の手帳upしろ
41:１３２人目の素数さん
21/06/19 11:49:51.31 LhMrC8Uk.net
>>30
正八面体の六つの頂点を、N-ABCD-Sとします。(外接球を考え、Nは北極、Sは南極、ABCDは赤道上の正方形)
四角形NASCは四辺が等しいのでひし形 → NA∥SC
同様に四角形NBSDもひし形 → NB∥SD
NA∥SC かつ NB∥SD → NABを含む平面∥SCDを含む平面
42:１３２人目の素数さん
21/06/19 11:56:47.53 qkL8CkN+.net
>>39
自称だからない🥺
43:１３２人目の素数さん
21/06/19 12:33:06.30 QDYC1aE8.net
この問題の(1)って
焦点をFとして
F1 P + F2 P = 2a
|F1 P - F2 P| = 2a
が与式になるを示せばいいだけ？
あと、>>6 も教えていただけると助かります
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
44:１３２人目の素数さん
21/06/19 12:53:16.89 Yf/a7uHS.net
>>30
合同な正偶数角錐の底面合わせて立体を作ると平行な面の組み合わせができる
って補題行けそうだけど
正八面体は点対称な立体だから必ず平行な面の組み合わせができる
とか
45:１３２人目の素数さん
21/06/19 13:30:03.34 iWPphUFG.net
【難しかったので改題】
s,t,p,qは実数の定数で、s≦t≦0≦p≦qとする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。D上の点を(x,y)とすると、yには最小値が存在することを示し、その値をa,b,s,t,p,qのうち必要なもので表せ。
46:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:21:26.41 whu1B+jw.net
>>42
それおもろいなぁ
(1)はそう
そのせつもんの文章なら
「楕円とはある定数tと焦点F,F'の距離の和FP+F'Pがtに等しくなる点の軌跡」
と定義されてるので求められてるのは
∃t FP+F'P = t ⇔ x^2/a^2+y^2/b^2 = 1
tが存在すれば2aである事が必要なのもすぐ出るから実質
FP+F'P=2a⇔x^2/a^2+y^2/b^2=1
そんな難しくない、てか(1)はネットにアホほど転がってますがな
47:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:23:06.22 whu1B+jw.net
>>44
もう答え出てたんじゃなかったっけ？
48:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:55:23.44 aEJvEOq2.net
何かの問題だったと思うが、条件 a,b,c は正の実数で
a^2≦b^2+c^2
b^2≦c^2+a^2
c^2≦a^2+b^2
を満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。また、等号成立条件は何か。
（a+b+c）（a^2+b^2+c^2）（a^3+b^3+c^3）／（a^6+b^6+c^6） ≧ ４
検討した結果
x^6+y^6 ≦ 7/2
を言えばいいというところまでたどり着いたが、あってるかどうか分からない上に、中々正解が出ません。かなり難しい問題だと思うのでどうにかしてください。
49:１３２人目の素数さん
21/06/19 15:58:40.11 aEJvEOq2.net
上の条件は
１ ≦ x^2+y^2
x^2 ≦ y^2+1
y^2 ≦ x^2+1
という条件の下である。この領域の図を書くと、 単位円と y=xの交点 ないしは y=x が境界条件になるが、おそらく y=x のときが解である。
50:１３２人目の素数さん
21/06/19 17:42:25.44 Izf7+Y5w.net
(略証)
aa = A, bb = B, cc = C とおく。題意より
0 ≦ A ≦ B+C, 0 ≦ B ≦ C+A, 0 ≦ C ≦ A+B,
（a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) - 4(a^6+b^6+c^6)
≧ (a^2+b^2+c^2)^3 - 4(a^6+b^6+c^6) (コーシー)
= (A+B+C)^3 - 4(A^3+B^3+C^3)
= 3A(B+C-A)^2 + 3B(C+A-B)^2 + 3C(A+B-C)^2 + 6(B+C-A)(C+A-B)(A+B-C) (*)
> 0,
(*) Ravi変換を利用するのが便利…
もし {B+C-A, C+A-B, A+B-C} のうちの2つ以上が0ならば、それらの和も0,
∴ ABC = 0, abc = 0,
となり、題意に反する。
51:１３２人目の素数さん
21/06/19 17:47:57.28 aEJvEOq2.net
>>49
コーシー、ホルダー、イエンセンなどの定理は知らなかったら終わりであり、こうした既知定理を使う手法は醜悪とされているので
もっとエレガントなものを頼む。
52:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:12:40.34 iWPphUFG.net
a,b,cを正の実数とするとき、
{(a+b+c)^2}{(c/ab)+(a/bc)+(b/ca)}
の取りうる値の範囲を求めよ。
53:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:15:24.98 TAgIXne2.net
そうだね、知を積み重ねる学問は知らなかったら終わりだから醜悪だね
なので>>50は数学に限らず学問そのものに興味を持たなくてもいいんだよ
54:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:24:27.88 whu1B+jw.net
そもそもこの程度自力でできない時点で数学的脳力なんかたかがしれとるわな
55:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:25:26.45 aEJvEOq2.net
平成時代の学生は、コーシーなどを習っていないから反則
マジクソだな
必要な既知定理は、ＡＭＧＭくらいしか学ばせなかったせいで数学教育が崩壊したんだよ
56:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:27:30.53 aEJvEOq2.net
つうか文部科学省が 学習指導要領から 幾何 関数等式 整数 組合せなどを削除した上、更に滅茶苦茶になり
東大生ですら、数オリのレベルは解けない時代にしてしまったせいでこうなっている
57:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:30:20.86 Izf7+Y5w.net
コーシーのところをラグランジュ恒等式で表わせば
(a+b+c) (a^3+b^3+c^3) - (aa+bb+cc)^2
= ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2
≧ 0,
等号成立は a=b=c.
58:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:33:11.21 aEJvEOq2.net
>>56
a=b=c では等号が成立しないから誤り
コーシーを使う、ないし、知っているという卑怯な方法を使ってるから上では正解が出ているが
コーシーやホルダーはほとんどの人が習ってないから反則
59:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:37:52.02 whu1B+jw.net
wwwwwwwww
60:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:45:48.79 aEJvEOq2.net
不等式に関する コーシーが示した定理でもその一部は知ってる人は知ってるが、 イエンセンやホルダーは無理
また、東大生レベルになると、 そういう大きな定理でなく
a^2+b^2+c^2 ≧ ab + bc + ca
くらいしか知らない。後は 相加相乗
61:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:54:47.83 O37V/skE.net
横文字の読みにケチつけるのも何だけど、あれは普通ヘルダーって読むんじゃない
62:１３２人目の素数さん
21/06/19 18:56:09.07 Izf7+Y5w.net
>>51
a=b=c の場合は 27a だから、正の実数(すべて)
>>54
習ってないから分からんでもいい、という不思議な考えは
入試にしか通用しないマジクソだと思うよ。
出所は 受験産業(塾・予備校)あたりかな。
>>55
つうか文部科学省が削除したおかげで知ってる者が少ないから、
簡単なのにマウント取りやすくなった。
>>57
> a=b=c では等号が成立しないから誤り
要確認
63:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:00:02.76 aEJvEOq2.net
>>47
一番最初のこの式で a=b=cとしても、４にならないから間違い
64:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:02:18.84 GGU6pU0E.net
まともな受験業界は「習ってないからできなくてもいい」とは決して言わない
「出ないからできなくてもいい」とは言うが
65:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:06:50.02 whu1B+jw.net
数オリどうこういう以前に高校で習う普通の技術ができませんがなww
66:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:07:38.34 aEJvEOq2.net
教育の元締めの文科省が、 数オリに出るものを全部削っているのだから、特殊な学校や予備校で習ったところでどうにもならない
数オリの問題が解けるのは 灘高校や開成高校の一部の人とばれている 国民のほとんどの人は この種の問題を見ても理解できない
67:１３２人目の素数さん
21/06/19 19:24:42.00 aEJvEOq2.net
>>63
さすがに東大、京大、一ツ橋 などなどでは幾何学は出ないが、 整数論は出るからな
組合せ論かどうかは分からないが、それに近い物が、 平成１４年東大文系数学第４問に出た
あと、１９９８年に 東大理系後期が、 グラフ理論という、組合せ論で、しかも超難問を出してしまい、予備校講師はフランスの数学教授から解答を聞いて
模範解答を作成できたという
68:１３２人目の素数さん
21/06/19 20:00:58.62 aEJvEOq2.net
>>49
受験ではコーシーシュワルツの不等式として知られているが、この問題は簡単ではなく、コーシーシュワルツで華麗に変形してやらないといけない
不等式にも簡単な部類はあるが、コーシーシュワルツを使うことに気づかないと解けないこの問題はかなりの難問
コーシーを使わない解き方が求められる
69:１３２人目の素数さん
21/06/19 20:03:25.10 ilxqumAW.net
放物線C:y=x^2上の点P(p,p^2)における接線をlとする。lを反時計回りに30°回転させた直線をm、mとCとの交点のうちPでないものをQとする。またQを通りPQに直交する直線をn、nとCとの交点をRとする。
3点P,Q,Rが三角形をなすとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。
70:１３２人目の素数さん
21/06/19 20:37:02.46 Wu0TQSwg.net
へんな問題文
71:１３２人目の素数さん
21/06/19 21:13:02.16 Izf7+Y5w.net
Q(q, qq), R(r, rr) とおく。
L: y = 2px - pp,
m: y = (p+q)x - pq,
n: y = (q+r)x - qr,
tan(30゜) = 1/√3 より
p + q = (2p + 1/√3)/(1 - 2p/√3) = m,
q + r = -1/m,
p - q = 2p - m,
q - r = 1/m + 2(m-p),
r - p = -1/m -m,
⊿PQR = |(p-q)(q-r)(r-p)|/2 = …
かな
72:１３２人目の素数さん
21/06/19 21:45:21.44 whu1B+jw.net
そもそもなさそうな気しかしない
73:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:03:56.84 QDYC1aE8.net
>>42
この問題の(2)からどうやってときますか？
74:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:17:49.02 whu1B+jw.net
>>72
(2)はx=acosθ、y=bsinθ、df/dθ=f^としてy'=y^/x^=-(b/a)cotθを代入して確認
(3)はx=c coshθ、y=dsinh(θ)で同じ作業
(4)は(***)を解いて
y'' = (-x^2+y^2+u^2 ± √((x^2-y^2-u^2)^2-4x^2y^2))/(xy)‥①
のうち第一象限でy'がマイナスの方が楕円だから±が−の方が楕円、+の方が双曲線
よって(***)の各(x,y)を通る双曲線と楕円は解と係数の関係から常に直交するとわかる
そして領域xy≠0で①の右辺はリプシッツ連続だから解があれば唯一
よって求める方程式は①の±がプラスの方
(5)は双曲線
75:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:22:32.52 whu1B+jw.net
訂正
(***)を解いてのとこは
y'=...
ね、2次方程式の解の公式
76:１３２人目の素数さん
21/06/19 22:37:26.00 QDYC1aE8.net
>>73
ありがとうございます
(2)は代入してy'を代入してどんな形になることを示せばいいの？
77:１３２人目の素数さん
21/06/19 23:13:28.19 tl2lK6Fl.net
もちろんゼロ
78:１３２人目の素数さん
21/06/19 23:35:43.82 tl2lK6Fl.net
xy(y')^2+(x^2-y^2-u^2)y' -xy
= abcosθsinθ(-b/a cotθ)^2 + (a^2cos^2θ-b^2sin^2θ-u^2)(-b/a cotθ)-absinθcosθ
= abcosθsinθ(-b/a cotθ)^2 + (a^2sin^2θ-b^2cos^2θ)(-b/a cotθ)-absinθcosθ
= b/a cotθ( b^2 cos^2θ + a^2sin^2θ - b^2cos^2θ - a^2 sin^2θ)
=0
(3)も一緒
79:１３２人目の素数さん
21/06/19 23:51:50.62 QDYC1aE8.net
>>77
何度も申し訳ないのだけど、=0になることがどうしてEuに属する任意の楕円がこの微分方程式を満たすことをになるの？
80:１３２人目の素数さん
21/06/20 00:00:23.13 KZE6Olb+.net
だってEUに属する楕円とはa^2-b^2=u^2を満たす定数によってx=a^2cosθ、y=bcosθとパラメータ表示できる関数ですがな
このパラメータ表示された関数が(1)の(*)を満たすことは一瞬でわかりますがな
実際x,yが(*)を満たす変数の時、新しい変数θをθ=acos(x/a)で定めればy=±bsinθが確定する
-のほうはθ→-θと置換すればy=bsinθの場合だけ確認すればいいとわかる
81:１３２人目の素数さん
21/06/20 00:15:00.78 D/WuJVBA.net
>>79
(*)はそもそもEuを満たす楕円の集合であってこの式を満たすx yをパラメータ表示して、(***)に代入して等式が成り立てばそれで、Euに属する楕円がこの微分方程式を満たすっていうことか
そういうことか、基本がわかってなかった
82:１３２人目の素数さん
21/06/20 00:24:46.59 KZE6Olb+.net
まぁもちろんパラメータ表示使わずに
変数(x,y)が(*)を満たす⇔y=±b√(1-((x/a)^2)
を利用して(***)に代入してゴリゴリやってもできるけどな
いい計算練習にはなるかもしれないけどやはりそれでよしとしていたのではちょっとな
83:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:07:43.42 cnZVxdX7.net
>>61
数学は簡単というか、ここでやってる奴は所詮知識なんだよな 昭和時代という恵まれた時代にあらかた勉強したから、コーシーでもなんでも
使えるわけで
平成の若者は、そもそも学習指導要領から不等式なども削られているから、そこらへんの元高校生は、そんなん知らん
84:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:26:34.35 an3t7Ks+.net
誰か放物線y=x^2を使った傑作問題を考えてください
85:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:38:47.18 cnZVxdX7.net
（a+b/n）^(1/n) が何に収束するかを検討したら e^(a/b) という美しい式になりました。
これを利用し、 ｎ＾(1/n) → １ を証明したいと思うが、 a=0 とおけばよい。すると、 最初の式から、n^(1/n)→1がいえる。
この推論は正しいか。
86:１３２人目の素数さん
21/06/20 01:48:23.11 KZE6Olb+.net
バカだなぁ
87:１３２人目の素数さん
21/06/20 03:54:19.04 1XoPw825.net
>>42
(1) 楕円
e = (1/a)√(aa-bb), (離心率)
F1 (-ae, 0)
F2 (ae, 0)
とおくと
(F1P)^2 = (x+ae)^2 + y^2 = (a+ex)^2 + bb{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}
(F2P)^2 = (x-ae)^2 + y^2 = (a-ex)^2 + bb{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}
点P(x,y) は楕円上の点だから
(x/a)^2 + (y/b)^2 - 1 = 0,
F1P = a+ex,
F2P = a-ex,
よって
F1P + F2P = 2a,
88:１３２人目の素数さん
21/06/20 03:56:44.81 1XoPw825.net
>>42
(1) 双曲線
f = (1/c)√(cc+dd),
F1 = (-cf, 0)
F2 = (cf, 0)
とおくと
(F1P)^2 = (x+cf)^2 + y^2 = (fx+c)^2 - dd{(x/c)^2 - (y/d)^2 -1},
(F2P)^2 = (x-cf)^2 + y^2 = (fx-c)^2 - dd{(x/c)^2 - (y/d)^2 -1},
点P(x,y) は双曲線上の点だから
(x/c)^2 - (y/d)^2 - 1 = 0,
F1P = fx+c,
F2P = fx-c,
よって
|F1P - F2P| = 2c,
89:イナ
21/06/20 04:53:58.44 //EbZ0I8.net
>>83
考えた。
傑作だ。
答えはある。まだ解いてないだけで。
90:１３２人目の素数さん
21/06/20 05:47:37.01 1XoPw825.net
>>70
p = -5/(2√3) = -1.443375673
q = r = 1/√3 = 0.577350269
m = -(√3)/2 = -0.866025403
のとき
⊿PQR = 0.
91:１３２人目の素数さん
21/06/20 10:53:12.23 3LEPME35.net
0^0=eとなるような0^0の妥当な定義を与えよ。
92:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:26:32.34 fpW7qxhc.net
キモいのが湧いてきた
93:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:40:38.08 Q3hS75zk.net
>>83
任意の放物線が互いに相似であることを示して
94:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:43:38.33 Q3hS75zk.net
互いに相似っていうか2つの任意の放物線が相似って表現の方がいいか
95:１３２人目の素数さん
21/06/20 11:47:57.30 MG7itG+h.net
>>92
有名事実ではないか
多少は工夫した問題を作成せよ
96:１３２人目の素数さん
21/06/20 12:46:21.17 aE9TXCL8.net
>>94
思いつかない
97:１３２人目の素数さん
21/06/20 13:08:52.19 TcDhz1EC.net
すごく面倒くさい問題
xy平面上の2点A(t,0),B(t+1,3)をひとつの対角線とする正方形Tを考える。
Tと領域D:y≧x^2が共通部分を持つように実数tが動くとき、その共通部分の面積の最大値を求めよ。
98:１３２人目の素数さん
21/06/20 14:27:25.94 D/WuJVBA.net
>>73
(4)の楕円に直行する曲線の微分方程式は、(***)の楕円の微分方程式の逆数にマイナス掛けたやつだよね？
(5)ってどうやって解きますか
99:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:04:26.17 T3v6J9nz.net
算数の速さや割合の問題って、代数を使って解けるものなのでしょうか？
100:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:24:19.78 fCf5r1xG.net
すみませんこの問題の答えを教えてください
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
101:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:31:23.86 De00mPCW.net
>>90
顔真っ赤になって必死に考えたのだろうが、 （b/n）^(1/n) は、 bのｎ乗根／ｎのｎ乗根
ｎ→∞で、分子は１に収束し、分母は１に収束する
102:１３２人目の素数さん
21/06/20 15:53:13.81 De00mPCW.net
>>84は何か考え違いをしたと思うが
（a+b/n）^(1/n) は １に収束する。
このことから、a=0 b=1としても１に収束するから、 ｎのｎ乗根は１に収束する。
103:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:00:41.36 De00mPCW.net
nのｎ乗根が１に収束することの論証は一般に簡単なものは知られていないから、（a+b/n）^(1/n)が１に収束することからこれをいうのは華麗である
以下、 （a+b/n）^(1/n) は １に収束することを論証する
（a+ab/an）^(1/n)＝ a^(1/n)*(1+b/n)^(1/n) ★
b/n=1/kとおくと、 1/n=1/bk よって ★ ＝ a^(1/n)*(1+1/k)^(1/bk) ｎ→∞のときに ｋ→∞だから
★ → １＊e^0 =1
よって、（a+b/n）^(1/n) は１に収束する。
104:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:05:41.34 De00mPCW.net
これの味噌は 結局 （１＋1/k）^k → eを利用したものだが、この既知結果が良く�
105:mられているので、これを通しての論証は華麗である 他にも （1/n）^(1/n)のn→∞の収束値は、 1./n=kとおいて、 k^k が k→０を見るということにもなるが、関数 y=x^xがx=0で１ということは 直観的には知られていても、なぜそうなるのかというと、難しい議論が必要である。
106:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:07:02.80 GkOyKAgr.net
>>96
どなたかこれお願いします
107:１３２人目の素数さん
21/06/20 16:10:32.77 PGBQ0FOy.net
>>96
面倒くさいし、代数的に解けない
t=-0.46844122 のとき 4.6995256
108:１３２人目の素数さん
21/06/20 17:22:09.89 nHxKFylL.net
>>97
いや(***)の方程式は楕円と双曲線が両方解として出てくる
それを示せが(2)と(3)
だから(5)について改めて解く必要はない
もうすでに(2)と(3)で解が2個見つかってて常微分方程式のかいの一意性(今回の場合は局所的にリプシッツ連続になってる事)を利用して高々解が２つしかない事からわかる
109:１３２人目の素数さん
21/06/20 17:34:47.03 De00mPCW.net
微分積分のアイデア自体はいたるところで使われていますが、積分が何の役に立つんですか
面積を計算したかったら どんな複雑な図形でも、点をランダムにたくさん落とし、その点の個数の割合で計算するという方法が知られている
積分の公式を使ってシコシコ計算するより、こちらの方が直截で、美しいように見える
110:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:04:53.92 D/WuJVBA.net
>>106
そっかそっか
111:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:12:15.86 De00mPCW.net
数学は現代の日本人にとって難しいというより
自分でやる → 公理の構築からしてほぼ不可能
色々な定理も含めガリガリ勉強しズルをする → バカでもできる
112:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:12:58.63 aLctkghf.net
>>107
それ近似値しか出ないですよね
113:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:18:45.44 De00mPCW.net
>>110
生活に応用するなら近似値でもおおいにけっこう なんで厳密な実数値を出す必要があるのか分からない
それに被積分関数が知られていないものもあるし
114:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:25:26.55 q7bjrae/.net
生活に応用したいなら勝手にやってれば？
115:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:30:52.24 yisf4jgs.net
そっかあ
116:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:32:43.49 fd8tQw49.net
複雑な図形だと点をランダムに落とす以前に正確に図を作る手間が大変なのでは
てか一つ次元あげて体積の計算だとどうするの？
117:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:33:23.80 De00mPCW.net
結局すごい定理はすごい定理からしか出てこないんだよな だからすごい定理を証明したかったらすごいことを知らないといけないから絶望
118:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:34:48.40 De00mPCW.net
>>114
余計に便利 ３次元空間の体積なんか普通計算できないから、 モンテカルロ法でパソコンに計算させた方が早い
119:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:40:10.19 q7bjrae/.net
この人もπと3.14の違いがわからない人なのかな
120:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:44:20.11 Dq2CdIxm.net
まぁ意味がわからないならやる必要はない
121:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:46:23.03 De00mPCW.net
パソコンで、一辺が２の正方形の中に入っている単位円を描き、この正方形の中にランダムで点を落とし、点が円内に落ちた個数をＡ、円外に落ちた個数をＢとし
点が円内に落ちる確率 Ａ／（Ａ＋Ｂ）で πを求めるプログラムを構成せよ。
122:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:48:51.30 q7bjrae/.net
>>119
πと3.14が違うってのはわかる？
123:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:51:24.17 De00mPCW.net
一辺２の正方形の中にある単位円があって、その円の中に点が落ちる確率は、 π／４ 面積論的確率論
124:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:52:40.24 q7bjrae/.net
>>121
πと3.14が違うってのはわかる？
125:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:53:50.86 Dq2CdIxm.net
パソコン使うのはいいとして、モンテカルロでやろうというのがアホ丸出し
所詮バカはパソコン使わせてもバカ
126:１３２人目の素数さん
21/06/20 18:59:22.65 De00mPCW.net
意味不明な文章 モンテカルロ法をバカにしているだけ アホ丸出し
127:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:04:29.41 gbgMyFMF.net
>>119
> k=10000000
> mean(runif(k,-1,1)^2+runif(k,-1,1)^2<1)*4
[1] 3.141934
128:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:08:12.68 Dq2CdIxm.net
>>124
なんでモンテカルロでやる？
ふちに近いとこメッシュ法でやればいいやろ？
バーカ
129:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:12:38.22 Pl1e+6mw.net
モンテカルロ法は数学ではない
板違い
130:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:13:54.63 De00mPCW.net
>>125
プログラム言語は何？ ＢＡＳＩＣではできないのか？
131:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:21:10.00 gbgMyFMF.net
>>128
R
種々の分布に従う乱数が標準装備されていて便利
132:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:25:57.34 De00mPCW.net
センター試験でも採用されているＢＡＳＩＣでは、１０００００００くらいを超えるともう計算しなくなる。
桁数をいくらでも増やしても計算できる言語はないか
133:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:41:52.24 gbgMyFMF.net
>>116
不等式で判定できるのはモンテカルロしやすいけど
軌跡の面積や体積は無理じゃないかなぁ？
134:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:48:50.02 De00mPCW.net
>>125
これが何を意味しているのか分からんが、ｋを増やしていけばいくらでもπに近づくんじゃねえのか。
また、この乱数計算を大きくしていくとπになるという数学的証明はできないのか。
135:１３２人目の素数さん
21/06/20 19:57:08.79
136:D/WuJVBA.net
137:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:13:39.32 jA2rtNGF.net
>>132
できるよ
大数の法則
138:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:18:09.00 1XoPw825.net
>>42
>>72
(2) 楕円
(x/a)^2 + yy/(aa-uu) = 1 (a>u>0) … (*)
これをxで微分すると
2x/aa + 2yy'/(aa-uu) = 0,
よって
1/aa = (x+yy')/(uux),
1/(aa-uu) = - (x+yy')/(uuyy'),
これらを (*) に入れてaを消すと
(xy'-y)(x+yy') - uuy' = 0 … (***)
(3) 双曲線
(x/c)^2 - yy/(uu-cc) = 1 (u>c>0) … (**)
これをxで微分すると
2x/cc - 2yy'/(uu-cc) = 0,
よって
1/cc = (x+yy')/(uux),
1/(uu-cc) = (x+yy')/(uuyy'),
これらを (**) に入れてcを消すと
(xy'-y)(x+yy') - uuy' = 0 … (***)
(4)
(***) で y → z, y' → -1/z' とすると
(xz'-z)(x+zz') - uuz' = 0,
つまり (***) と同じ。
139:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:20:36.74 cyz8vMnb.net
放物線C:y=x^2上に2定点A(1,1),B(b,b^2)をとる。ただしb<1とする。
b<p<1をの範囲を変化する実数pに対し、C上の点P(p,p^2)を考える。
（1）∠APBが最小となるpをbで表せ。
（2）pは（1）の値とする。点PにおけるCの接線は、直線ABと平行であるか。結論と理由を述べよ。
140:１３２人目の素数さん
21/06/20 20:22:07.76 De00mPCW.net
放物線を題材にした問題は 東大入試 模擬試験に無数にあるが もう出尽くしてるだろ
仮にあったとしても、驚異的なものはない
141:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:09:05.73 b+WkcIjj.net
>>135
それだと(4)はダメやな
直交するかもしれんしか言えてない
142:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:10:52.89 1XoPw825.net
>>99
(問題)
Aさんは、バス停Cを午前８時に出発して 一定の速度で学校Dま
で走った。Bさんは午前８時 15分に 学校Dを出発して、Aさんと
同じ道を通って一定の速さでバス停Cまで走ったところ、Aさんが
学校Dに着いた後でバス停Cについた。下図は、午前８時ｘ分
における2人の間の道のりをｙ m として、Bさんがバス停Cにつくまで
のｘとｙの関係を表わしたグラフである。
このとき、下の問いに答えなさい。ただし、Bさんは学校Dを出
発するまでは動かなかったものとし、また学校に着いたAさ
んは、その後学校Dから動かなかったものとする。
図 <省略>
(1) 2人が出会ってからAさんが学校Dに着くまでの間について、
ｙをｘの式で表わしなさい。ただし変域は示さなくてよい。
(2) 2人がまだすれ違っていなくて、2人の間のキョリが 540m のとき
Bさんはバス停Cから何mの地点にいるか求めなさい。
(3) Aさんが学校Dに着いてから Bさんがバス停Cに着くまでの間について、
ｙをｘの式で表わしなさい。ただし変域は示さなくてよい。
143:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:23:50.04 +1YOZlwq.net
バス停と学校にわざわざ名前をつけたのはなぜだろう
144:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:30:58.35 3784H03J.net
バス停は同じところですか
学校は同じところですか
って質問する奴が出るのを防いだ
145:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:38:53.60 1XoPw825.net
(概要)
バス停C - 学校D のキョリ 1920 m
Aさんの速度 80 m/分
Bさんの速度 100 m/分
y = 1920 - 80x (0<x<15)
= 3420 - 180x (15<x<19)
= -3420 + 180x (19<x<24)
= -1500 + 100x (24<x<34.2)
x= 0, a=0, b=1920,
x=15, a=1200, b=1920,
x=19, a=b=1520,
x=24, a=1920, b=1020,
x=34.2 a=1920, b=0.
146:１３２人目の素数さん
21/06/20 21:55:15.89 wq/iUjte.net
>>133
y' = dy/dx
dF/dx = y'(∂F/∂y) + (∂F/∂y')(dy'/dx)
∂F/∂y - (d/dx)(∂F/∂y')
147: = 0 (2.3) ∴ dF/dx = y'd(∂F/∂y')/dx + (∂F/∂y')(dy'/dx) d(y'(∂F/∂y'))/dx = (∂F/∂y')(dy'/dx) + y'd(∂F/∂y')/dx ∴ (∂F/∂y')(dy'/dx) = d(y'(∂F/∂y'))/dx - y'd(∂F/∂y')/dx ∴ dF/dx = d(y'(∂F/∂y'))/dx ∴ d(F - y'(∂F/∂y'))/dx = 0
148:１３２人目の素数さん
21/06/20 22:00:47.06 nmncFR+G.net
Bさんの謎：
Bさんはなぜバス停に行ったのだろうか
Aさんの様子を見に行っただけなら、途中で会った後にUターンして一緒にダッシュするはず
だが、Aさんが遅刻しまいと必死で走ってる様子にお構いなく、バス停まで行ってしまった
急にサボりたくなったのなら、もう少し待って、朝の出席の後で帰るのが自然
体調の急変なら保健室に行くはず
あと考えられる線は
・二人とも当日が休校日なことを忘れていた（Bさんは8時15分に気付いた）
・Bさんは学校に着いた直後にウンコを漏らした
辺りか
149:１３２人目の素数さん
21/06/20 22:52:06.59 VH8RYVya.net
>>99
>>142に説明と答えがほぼ全て書いてある
理解出来たらマルチしてる方のレスも終わらせてね
150:１３２人目の素数さん
21/06/21 05:01:35.86 LHMg2z8J.net
>>132
（（－１から１までの間の一様分布する乱数１０００万個）＾２＋（－１から１までの間の一様分布する乱数万個）＾２＜１）が成立する割合＊乱数の取りうる面積４
可読性を考えなければ
mean(runif(1e7,-1,1)^2+runif(1e7,-1,1)^2<1)*4
と１行で書ける。
BASICで１行にするのは無理じゃね？
151:１３２人目の素数さん
21/06/21 05:02:14.61 LHMg2z8J.net
>>146（脱字修正）
（（－１から１までの間の一様分布する乱数１０００万個）＾２＋（－１から１までの間の一様分布する乱数１０００万個）＾２＜１）が成立する割合＊乱数の取りうる面積４
152:１３２人目の素数さん
21/06/21 05:07:30.36 LHMg2z8J.net
>>130
１億個（1e8=10^8の意味）にしたらさらにπに近づいた。
> mean(runif(1e8,-1,1)^2+runif(1e8,-1,1)^2<1)*4
[1] 3.141565
>
153:１３２人目の素数さん
21/06/21 05:39:33.63 gJdwCB0V.net
>>96
T を □ACBE とする。
A(t,0) C(t-1,2) B(t+1,3) E(t+2,1)
辺の長さ √5,
AC y = -2(x-t),
BE y = -2(x-t) + 5,
AE y = (x-t)/2,
BC y = (x-t+5)/2,
-1/2 < t < 1-√2 のとき
y=x^2 とTの交点は6つあるが、両端のものは
x_1 = {1 - √(41-8t)}/4,
x_2 = √{2(3+t)} - 1,
S_1 = ∫[t-1, x_1] (5/2)(x_1-t+1)dx = (5/4)(x_1-t+1)^2,
S_2 = ∫[x_1,a] (xx+2(x-t))dx + ∫[b,t] (xx+2(x-t))dx
= ∫[x_1,t] (xx+2(x-t))dx - ∫[a,b] (x-a)(x-b)dx
= (1/3)(t^3 - x_1^3) - (t-x_1)^2 + (4/3)(1+2t)^{3/2},
ただし xx + 2(x-t) = (x-a)(x-b) とした。b-a=2√(1+2t),
S_3 = ∫[t,c] (xx-(x-t)/2)dx + ∫[d,x_2] (xx-(x-t)/2)dx
= ∫[t,x_2] (xx-(x-t)/2)dx - ∫[c,d] (x-c)(x-d)dx
= (1/3)(x_2^3 - t^3) - (1/4)(x_2-t)^2 + (1/48)(1-8t)^{3/2},
ただし xx - (x-t)/2 = (x-c)(x-d) とした。d-c=(1/2)√(1-8t)
S_4 = ∫[x_2,t+2] (5/2)(t+2-x)dx = (5/4)(t+2-x_2)^2,
S_1 + S_2 = (1/3)t^3 + (1/4)t^2 - (21/8)t + (181/96) - (1/96)(41-8t)^{3/2} + (4/3)(1+2t)^{3/2}
S_3 + S_4 = -(1/3)t^3 + t^2 + 7t + (32/3) - (4/3)(√2)(3+t)^{3/2} + (1/48)(1-8t)^{3/2}
S(t) = 5 - (S_1 + S_2 + S_3 + S_4)
= - (5/4)t^2 - (35/8)t - (725/96) + (1/96)(41-8t)^{3/2} - (4/3)(1+2t)^{3/2} + (4/3)(√2)(3+t)^{3/2} - (1/48)(1-8t)^{3/2}
154:１３２人目の素数さん
21/06/21 05:47:38.48 gJdwCB0V.net
(続き)
S(t) = - (5/4)t^2 - (35/8)t - (725/96) + (1/96)(41-8t)^{3/2} - (4/3)(1+2t)^{3/2} + (4/3)(√2)(3+t)^{3/2} - (1/48)(1-8t)^{3/2},
S '(t) = 0 を解くと
t。= - 0.468441224569533013139772174145073057253
のとき最大で
S(t。) = 4.6995856481086073734128483180743134
x_1 = -1.42233986
x_2 = 1.25013723
b-a = 0.5024642
d-c = 1.0894413
S_1 = 0.00265667
S_2 = 0.0361110
S_
155:3 = 0.1626490 S_4 = 0.0989976
156:１３２人目の素数さん
21/06/21 06:25:10.06 gJdwCB0V.net
>>144
・二人とも当日が休校になったことを知らなかった、もある。。。
当日の早朝に休校が決まったため、連絡が遅れた。
「2人がまだすれ違っていなくて、」とあるから、
登校中のAさんと下校中のBさんは途中ですれ違った。
AさんとBさんは日ごろ仲が悪かったので…
157:１３２人目の素数さん
21/06/21 08:31:36.46 gYNitXjf.net
>>148
ずれてますよ
πと3.141565は違いますよね
158:１３２人目の素数さん
21/06/21 13:30:58.21 i3t0Zjo9.net
>>148
おじいちゃん、昼食はさっき食べたじゃないですか
さ、お部屋に戻りましょうね
159:１３２人目の素数さん
21/06/21 13:50:36.77 jdR8Y0AX.net
高校数学に範囲内で、「証明手法が驚異的に美しくほとんどの人がお手上げ」みたいな問題ありますか
160:１３２人目の素数さん
21/06/21 14:21:58.88 5yaPkhIJ.net
範囲外で君の主観の例を出したまえ
161:１３２人目の素数さん
21/06/21 15:02:57.25 JZzbmm8Y.net
アフィン超平面は超平面の並行移動
(H=H0+x)で示されることを厳密に証明せよ
直感では明らかなんですけど、厳密にってどうやるんでしょうか…
162:１３２人目の素数さん
21/06/21 16:14:02.22 qR29a8XD.net
φ は、ベクトル空間の公理のうち、1つを除いてすべて満たす。その1つはどの公理か？
という問題が線形代数の教科書に書いてあります。
(1)がその公理だとは思います。
(2)はvacuously trueということだと思います。
(2)の公理では、その記述に存在しない 0 が使われています。
(2)が真か偽か問う際に、そのことはどう考えればいいのでしょうか？
(1) 任意の v ∈ φ に対して、 v + 0 = v を満たすような 0 ∈ V が存在する。
(2) 任意の v ∈ φ に対して、 v + w = 0 を満たすような w ∈ V が存在する。
163:１３２人目の素数さん
21/06/21 16:16:10.03 qR29a8XD.net
訂正します：
φ は、ベクトル空間の公理のうち、1つを除いてすべて満たす。その1つはどの公理か？
という問題が線形代数の教科書に書いてあります。
(1)がその公理だとは思います。
(2)はvacuously trueということだと思います。
(2)の公理では、その記述に存在しない 0 が使われています。
(2)が真か偽か問う際に、そのことはどう考えればいいのでしょうか？
(1) 任意の v ∈ φ に対して、 v + 0 = v を満たすような 0 ∈ φ が存在する。
(2) 任意の v ∈ φ に対して、 v + w = 0 を満たすような w ∈ φ が存在する。
164:１３２人目の素数さん
21/06/21 16:20:02.70 qR29a8XD.net
訂正します：
φ は、ベクトル空間の公理のうち、1つを除いてすべて満たす。その1つはどの公理か？
という問題が線形代数の教科書に書いてあります。
(1)がその公理だとは思います。
(2)はvacuously trueということだと思います。
(2)の公理では、その記述に存在しない 0 が使われています。
(2)が真か偽か問う際に、そのことはどう考えればいいのでしょうか？
(1) ∃0 ∈ φ∀v ∈ φ, v + 0 = v
(2) ∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0
165:１３２人目の素数さん
21/06/21 16:23:44.33 qR29a8XD.net
(2)
∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0
は、
(2')
∃u ∈ φ∀v ∈ φ, v + u = v
この u を 0 と書くと、
∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0
が成り立つ。
ということを言っていると考えると、「∃u ∈ φ∀v ∈ φ, v + u = v」は成り立たないので、(2')も成り立たないと考えられるのではないでしょうか？
166:１３２人目の素数さん
21/06/21 16:25:42.84 qR29a8XD.net
つまり、
(2)は(1)が成りたつことを前提としているのではないでしょうか？
そして(1)は成り立たないため、(2)も成り立たないということになりませんか？
167:１３２人目の素数さん
21/06/21 16:34:07.06 qR29a8XD.net
それとも、(2)は
「∃0 ∈ φ∀v ∈ φ, v + 0 = v」 ⇒ 「∀v ∈ φ ∃w ∈ φ, v + w = 0」
が成り立つということを言っているのでしょうか？
だとすると「∃0 ∈ φ∀v ∈ φ, v + 0 = v」は成り立たないので、(2)は真ということになります。
168:１３２人目の素数さん
21/06/21 17:19:39.61 gBB2XSmb.net
まだこんなレベルの言葉やっとるん？
恥ずかしないん？
169:１３２人目の素数さん
21/06/21 17:50:25.04 5yaPkhIJ.net
自慢のつもりだろ
170:１３２人目の素数さん
21/06/21 17:51:13.37 JZzbmm8Y.net
アフィン超平面は超平面の並行移動
(H=H0+x)で示されることを厳密に証明せよ
直感では明らかなんですけど、厳密にってどうやるんでしょうか…
謎の連投で埋もれたので
171:１３２人目の素数さん
21/06/21 21:01:47.12 gBB2XSmb.net
>>165
あなたのaffine部分空間の定義をどう定義するかで答えは違ってくる
まずそれを明示しないと答えようがない
172:１３２人目の素数さん
21/06/21 21:15:29.95 gJdwCB0V.net
>>150
S '(t) = - (5/2)t - (35/8) - (1/8)√(41-8t) - 4√(1+2t) + 2√(2(3+t)) + (1/4)√(1-8t),
t。は代数的数 (代数方程式の解) だが、4次より高次で、代数的には解けない....orz
173:１３２人目の素数さん
21/06/21 21:38:30.57 GVM+5PNp.net
放物線C:y=x^2上に2定点A(1,1),B(b,b^2)をとる。ただしb<1とする。
b<p<1の範囲を変化する実数pに対し、C上の点P(p,p^2)を考える。
（1）∠APBが最小となるpをbで表せ。
（2）pは（1）の値とする。点PにおけるCの接線は、直線ABと平行であるか。結論と理由を述べよ。
174:１３２人目の素数さん
21/06/21 22:15:48.90 gBB2XSmb.net
pの変域に縛りがなければp=(a+b)/2の時最小であるが、コレが0未満の時もありうるので常には成立しない
175:１３２人目の素数さん
21/06/21 22:41:34.89 qR29a8XD.net
V を R または C 上のベクトル空間とする。
V の R, S, T を V の部分空間とする。
以下が成り立つことを証明せよ。
R ∪ S ∪ T が V の部分空間であるための必要十分条件は、 R, S, T の中の1つが他の2つを含むことである.
176:１３２人目の素数さん
21/06/21 22:42:04.36 qR29a8XD.net
訂正します：
V を R または C 上のベクトル空間とする。
R, S, T を V の部分空間とする。
以下が成り立つことを証明せよ。
R ∪ S ∪ T が V の部分空間であるための必要十分条件は、 R, S, T の中の1つが他の2つを含むことである。
177:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:15:27.02 IozuyU1H.net
y=x^xを積分するとどうなりますか
178:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:16:03.81 ++mSptP5.net
>>172
疲れます
179:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:23:06.66 IozuyU1H.net
y=x^xの曲線において
ｙ＝1のとき、ｘ＝1
ｙ＝4のとき、ｘ＝2
ｙ＝27のとき、ｘ＝3
とまあ、一見スムーズに出せそうに見えますが
では、
ｙ＝10のとき、ｘはいくつになりますか
ｙ＝50のとき、ｘはいくつになりますか
ｙ＝100のとき、ｘはいくつになりますか
ｘをｙの関数で表すと、どうなりますか
180:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:34:11.43 gBB2XSmb.net
log x = t, log y = uとおいて
u = t exp t
だから
t = W(u) = W( log y )
∴ x = e^( W( log y ) )
181:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:35:35.16 zFTNAeQ/.net
それ反則
182:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:40:49.01 gJdwCB0V.net
x^x = y,
x*log(x) = log(y),
log(x) = W( log(y) ),
x = exp( W( log(y) ) ),
です。
y=10 のとき、x= 2.5061841455887692562929409223778472717713960521332128301431646463
y=50 のとき、x= 3.2872621953555806526092999797828460064505540154728215252320999933
y=100 のとき、x= 3.5972850235404175054976522517822860691355430548865767837202521279
とスムーズに出せます。
183:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:42:22.77 IozuyU1H.net
y=x sin(x),
y=x ln(x)
などにおいても>>174と同様な疑問が湧いてきますが
ｘをｙの関数で表すと、どうなりますか
184:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:46:24.18 IozuyU1H.net
>>177
了解しました。ありがとうございます。
>>178の質問は取り消します。
それを応用すればいいね。
185:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:50:15.30 zFTNAeQ/.net
Wのようなインチキ関数じゃなく、初等関数で表して欲しい
186:１３２人目の素数さん
21/06/21 23:55:52.55 gJdwCB0V.net
>>172
∫[0,1] x^x dx = －Σ[k=1,∞] (-1/k)^k = 0.7834305107...
ついでに云うと、
∫[0,1] 1/(x^x) dx = Σ[k=1,∞] (1/k)^k = 1.291285997... （ベルヌーイ?)
187:１３２人目の素数さん
21/06/22 00:16:01.04 wuaJB1iW.net
>>180
x = 2/5 のとき x^x = log(2) だよ。。。
188:１３２人目の素数さん
21/06/22 00:17:34.61 gQtAKxWb.net
>>180
W「やんのかコラ」
189:１３２人目の素数さん
21/06/22 01:28:35.58 wuaJB1iW.net
>>180
x = 1/e のときも x^x = log(2) だな。。。
190:１３２人目の素数さん
21/06/22 01:46:12.84 jaSBGYXF.net
>>180
頑張れば初等関数になるもんじゃない
√2を有理数で表して欲しい、と言ってるのと同レベル
191:１３２人目の素数さん
21/06/22 01:47:29.30 DWTlzCIo.net
下記の文章は正しいかどうか検討せよ。
ワイエルシュトラスが完成させたεδ論法は一見してまやかしのようにみえるが、その成果に見えている華麗さなどからその論法の真理性が
確保されており驚異的な理論と思う。
例えば、数列an bnがそれぞれ α、βの有限確定値に収束するとき、anbnはαβに収束することをεδ論法でいうときに、華麗な式変形
によりこれが言えるとされているのが凄い。
式変形は
｜an-α｜＜ε１ ｜bn-β｜＜ε２ のとき
｜anbn-αβ｜≦｜（an-α）（bn+β）＋α（bn-β）-β（an-α）｜≦ε１ε２＋βε１＋αε２
とできるから、任意の実数ε１ε２に対して、δ＝ε１ε２＋βε１＋αε２ととればよい。したがって、証明された。
この積の収束法則が華麗にいえることからεδ論法は神であり正しい。
192:１３２人目の素数さん
21/06/22 07:51:00.24 aT+HIzsB.net
>>166
アフィン部分空間について何もやっていないので関係ないと思いますが
どう定義するとどう変わるのですか？
そもそも定義に幅もないでしょう
pが0でないとか細かい条件は抜きに
p・(x-x※)=0を満たすx全体がアフィン超平面
p・x=0を満たすx全体が超平面
これだけです
193:１３２人目の素数さん
21/06/22 09:17:26.20 8mKs/joT.net
>>44
(1)
aの範囲：-(t+q)≦a≦-(s+p)
bの範囲：aの値により下限と上限を与える式が変わる
a<-(s+q)の時 b≧-aq-q^2
a=-(s+q)の時 b≧sq
a>-(s+q)の時 b≧-as-s^2
a<-(t+p)の時 b≦-at-t^2
a=-(t+p)の時 b≦tp
a>-(t+p)の時 b≦-ap-p^2
(2)
x^2+ax+b=(x+a/2)^2-(a/2)^2+bより、Cの頂点は(-a/2,-(a/2)^2+b)。
さらに-(a/2)^2+bが最小になるのは2実根の差が最大になる時つまり2実根がx=sとx=qの時。
軸x=-a/2はそれらの中央なので
-a/2=(s+q)/2
a=-(s+q)
この時b=sqなのでその時の-(a/2)^2+bは
-(-(s+q)/2)^2+sq
=-(s^2+2sq+q^2)/4+4sq/4
=-(s^2-2sq+q^2)/4
=-((s-q)^2)/4
194:１３２人目の素数さん
21/06/22 12:10:49.88 wR6iell2.net
pを実数とし、放物線C:y=x^2+1上を点P(p,p^2)が動く。PにおけるCの接線をl_Pとし、l_Pとx軸との交点をQとする。
（1）PQが最小となるpの値を求めよ。
（2）Oを座標平面の原点とするとき、PQ/OPの最小値を求めよ。
195:１３２人目の素数さん
21/06/22 16:36:06.13 rTkbIxKa.net
尿瓶プロおじまだ生きてたの？
196:１３２人目の素数さん
21/06/22 17:52:18.57 gQtAKxWb.net
>>187
そら変わるよ
ヒルベルトの幾何原論でやってるみたいな形で定義する場合と鼻からR^nと同相からスタートする場合と
197:１３２人目の素数さん
21/06/22 20:18:40.85 aT+HIzsB.net
>>191
両方についておねがいします 意味がわからないので
198:１３２人目の素数さん
21/06/22 22:00:38.89 af3qlxKS.net
>>192
めんどい
199:１３２人目の素数さん
21/06/22 22:09:31.50 CeWrG5ZH.net
この(2)からわからないです
(ⅰ) u(x,t)exp(-ikx)をxで２階偏微分して2.1をつかえば行けるかなと思ったんだけど～わからん
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
200:１３２人目の素数さん
21/06/22 23:19:29.57 mTRdr8u4.net
問題と言えるのか分かりませんが…
身長や試験の点数など、数字で回答する調査において調査人数・中央値・平均値・標準偏差の4つの値が公開されているとき、任意の一定以上の数値の人が調査人数の何パーセントを占めるかはこの4つの条件から求められますか？
求められるとしたらどうやって導くのか教えていただきたいです
201:１３２人目の素数さん
21/06/22 23:55:51.89 5SWT61if.net
>>195
求められないと思う
例えば人数が5、値が小さい順に-b、-a、0、a、bだった場合、
人数5、中央値0、平均値0は固定
しかし、aとbは標準偏差が同じになる場合が何通りもあるから、任意の値、例えば2以上の数値の人数は0人だったり1人だったり2人だったりすることがあり得るんじゃないかな
202:１３２人目の素数さん
21/06/23 10:42:37.46 WaiE7hFs.net
>>167
{25(7+4t)^2, 41-8t, 1024(1+2t), 512(3+t), 4(1-8t)}
の基本対称式は
S = 10(40t^2 + 392t + 383),
T = 1008000t^3 + 5516432t^2 + 10415472t + 4879353,
U = 20(18928640t^4 +137815296t^3 +344316560t^2 +348626888t+106963901),
V = -2048(8064000t^5 +48092928t^4 +75547376t^3 -18351128t^2 -107277821t -42713077),
W = 128(640^2)(7+4t)^2･(41-8t)(1+2t)(3+t)(1-8t),
よって
SS-4T = 128(1250t^4 -7000t^3 -28401t^2 -90896t -37879),
(SS-4T)^2 - 64V = (640^2)(62500t^8 - 700000t^7 - 880100t^6 + 9395440t^5 + 94768269t^4 + 251910384t^3 + 410675070t^2 + 241115064t + 43724561),
S^3 - 4ST + 8U = 800(80000t^6 +336000t^5 -1656336t^4 -356992t^3 -7975048t^2 -9733400t -1819471),
これより t。を解とする16次方程式
((SS-4T)^2 - 64V)^2 - 2048(S^3 -4ST+8U)W = 0,
が出る・・・
203:１３２人目の素数さん
21/06/23 10:52:05.18 WaiE7hFs.net
↑ [面白スレ３５．996] [面白スレ３６．040] の方法を使いますた。
204:１３２人目の素数さん
21/06/23 14:28:55.92 WaiE7hFs.net
t = t。= - 0.468441224569533013139772174145073057253
のときの値
・基本対称式
S = 2081.48527203791205244872258684386811836
T = 1107211.05932605392314799726154835236322
U = 119070175.13008842735381210842946947279
V = 4338709009.6970154306738714657609188100
W = 46767254643.256947932020614690761307878
SS - 4T = -96263.299593474950983936523014029856833264
(SS-4T)^2 - 64V = -268410753771.9858728997612049394730706675
S^3 - 4ST + 8U = 752190760.69911618179343616818505277511
205:１３２人目の素数さん
21/06/23 14:39:48.73 WaiE7hFs.net
↑ たしかに面倒くさい。。。>>96
206:１３２人目の素数さん
21/06/23 16:45:03.98 fjL2pnvm.net
>>171
R, S, T の中の1つが他の2つを含めばVの部分空間になることは明らか。
R∪S∪T が V の部分空間ならばR, S, T の中の1つが他の2つを含むことを示す。
まずR, S, T の中の1つが他の2つの和集合に含まれるケースを考える。
R⊆S∪Tとして一般性を失わない。
S⊆TならTがRとSを両方を含む。
S/⊆T（/は⊆の否定）とし、x∈S,x/∈T,y∈Tをとる。
R∪S∪T = S∪T が部分ベクトル空間なのでx+y∈S∪T
x+y∈Tとするとx∈Tとなり矛盾。よってx+y∈S よってy∈S ゆえにT⊆S
次にR, S, T のどれも他の2つの和集合に含まれないケースを考える。
x∈R, x/∈S∪T, y∈S, y/∈R∪Tがとれる。
R∪S∪Tが部分ベクトル空間なのでx+y∈R∪S∪T
x+y∈R ⇒ y∈Rとなり矛盾。x+y∈S ⇒ x∈Sとなり矛盾。
よってx+y∈T
またx-y∈R∪S∪T
x-y∈R ⇒ y∈Rとなり矛盾。x-y∈S ⇒ x∈Sとなり矛盾。
よってx-y∈T
しかしx+y+(x-y)=2x∈T ⇒ x∈Tとなり矛盾。
よってR, S, T のどれも他の2つの和集合に含まれないケースは起こらない。
207:１３２人目の素数さん
21/06/23 17:32:43.74 eyBL33w9.net
>>189
どなたかお願いします
208:１３２人目の素数さん
21/06/23 17:56:37.38 Ee6WngPG.net
n≧1、SとDはユークリッド空間の部分空間
S⊂ℝ^(n+1)、D⊂ℝ^n、f：D→ℝ^(n+1)
∀x∈Dに対してf(x)∈Sを示せ
x∈Dでf(x)を作ってこのf(x)がどうなれば示せたことになるんだ？
D、S、f(x)の定義は省略してる
209:１３２人目の素数さん
21/06/23 19:33:04.91 EcY5Rq3P.net
そりゃf(x)∈Sになれば示せたことになるでしょ
210:１３２人目の素数さん
21/06/24 00:09:32.33 Rtx2FFc6.net
>>171
一般化して証明できる。先ず2個の場合を証明する。
補題：
R, SをVの部分空間とする。R∪SがVの部分空間 ⇔ R⊆SまたはR⊇S。
証明：
(⇐) は自明。たとえばR⊆SならばR∪S=SはVの部分空間である。R⊇Sの場合も同様。
(⇒)の証明:
R∪SがVの部分空間と仮定する。
R,Sからそれぞれ任意の元r,sをとる。
r,s∈R∪Sだからr+s∈R∪S (R∪Sが部分空間と仮定したから)
すると i) r+s∈Rまたは ii) r+s∈S
i)のときはs=r+s-r∈R (部分空間の定義をみたすから)
すなわちS⊆R
ii)のときは同様にS⊇R
これで(⇒)も示せた。■
任意個の場合
以下、Vの部分空間全部の集合をQとおく。
任意の正整数mに対してW_m∈Qとする。
nに関する次の命題P(n)が任意の正整数nに対して成り立つことを証明する。（i,jは正整数を表す）
P(n): W_1∪…∪W_n∈Q ⇔ ∃i∀j[1≦i≦nかつ1≦j≦n ⇒ W_i⊇W_j]
証明:
(⇐)は自明。実際、任意の正整数nに対して
∃i∀j[1≦i≦nかつ1≦j≦n ⇒ W_i⊇W_j]が成り立つならW_1∪…∪W_n=W_i∈Qだから。
(⇒)の証明:
kを正整数としてW_1∪…∪W_{k+1}∈Qを仮定する。
P(k)を仮定すると
W_1∪…∪W_k∈Q ⇒ ∃i∀j[1≦i≦kかつ1≦j≦k ⇒ W_i⊇W_j]
これよりW_1∪…∪W_k=W_i(iの範囲: 1≦i≦kに注意)
するとW_1∪…∪W_{k+1}=W_i∪W_{k+1}∈Q
ここで補題(の(⇒))よりW_i∪W_{k+1}∈Qならば W_i⊆W_{k+1}またはW_i⊇W_{k+1}
いずれの場合も∃i∀j[1≦i≦k+1かつ1≦j≦k+1 ⇒ W_i⊇W_j]が成り立つ。
帰納法により任意の正整数nに対して(⇒)が成り立つ。
以上より任意の正整数nに対してP(n)が成り立つ。■
211:１３２人目の素数さん
21/06/24 00:16:50.04 Rtx2FFc6.net
いずれの場合も∃i∀j[1≦i≦k+1かつ1≦j≦k+1 ⇒ W_i⊇W_j]が成り立つ。
P(k+1)が成り立つということな
212:１３２人目の素数さん
21/06/24 05:07:02.59 Cvncx3sw.net
>>205
任意個の場合の証明間違ってる
213:１３２人目の素数さん
21/06/24 06:31:52.73 8dmvq8o7.net
>>189
放物線C：y=x^2+1上を点P (p,p^2) が動く。
ダウト
214:１３２人目の素数さん
21/06/24 08:24:47.10 v7cpw9EE.net
>>193
出来ないんですね
定義がーとかいって煙に巻こうとするのやめましょうね
215:１３２人目の素数さん
21/06/24 09:45:29.50 IRszeAWH.net
>>209
できなかった
残念
216:１３２人目の素数さん
21/06/24 13:13:31.17 jSAtIQyz.net
R,rはR>r>0の実数とする。
半径Rの円Cの内部に半径rの円Dが内接しており、DはC上を滑ることなく反時計回りに転がる。
このとき、以下の性質を持つD上の定点Pが存在するための条件をRとrで表せ。
（性質）
DがC上を転がるとき、Pが描く軌跡は線分となる。
217:１３２人目の素数さん
21/06/24 14:57:58.34 lSFSs6xt.net
1+1=
218:１３２人目の素数さん
21/06/25 05:11:29.71 4/YFPn9J.net
Dの自転角は公転角の(1-R/r)倍。
これが -1 倍になるのは
R=2r のとき。
D上の定点PはCの直径上を往復する。
219:１３２人目の素数さん
21/06/25 17:40:38.33 9Xel4zP1.net
一番上の図の二つの角度αが等しくなる理由がわからない。。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
220:１３２人目の素数さん
21/06/25 17:48:59.06 UXMUXJDm.net
わからないんですね
221:１３２人目の素数さん
21/06/25 18:02:03.05 9Xel4zP1.net
上図はたぶん間違いだと思う。この図で簡単に証明できる
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
222:１３２人目の素数さん
21/06/25 19:31:48.39 jhtphh56.net
放物線C:y=x^2の焦点をFとする。
（1）C上を点P(p,p^2)が動くとき、FPが最小となるpをすべて求めよ。
（2）放物線D:y=-x^2-4の焦点をF'とする。C上を点Q(q,q^2)が、D上を点R(q+1,(q+1)^2)が動くとき、折れ線FQRF'の長さを最小にするqをすべて求めよ。
223:１３２人目の素数さん
21/06/26 12:15:07.18 BRN9Xlq7.net
-4 gone
224:１３２人目の素数さん
21/06/26 13:58:01.63 cmVPiJMz.net
放物線C:y=x^2の焦点をFとする。
（1）C上を点P(p,p^2)が動くとき、FPが最小となるpをすべて求めよ。
（2）放物線D:y=-x^2-4の焦点をF'とする。C上を点Q(q,q^2)が、D上を点R(q+1,-(q+1)^2-4)が動くとき、折れ線FQRF'の長さを最小にするqをすべて求めよ。
225:１３２人目の素数さん
21/06/26 14:01:35.51 6cNbmOm/.net
n^2+p,(n+1)^2+p,(n+2)^2+p,
がすべて5の倍数になるような正整数の組(n,p)が存在するならば、1組求めよ。
226:１３２人目の素数さん
21/06/26 18:42:57.04 pkyPhk2y.net
白紙、何もしないが正解
227:１３２人目の素数さん
21/06/26 19:11:41.54 5jKAap3l.net
ただ5の倍数とわかる部分を=5kとおいていくだけで解決するな
228:１３２人目の素数さん
21/06/26 21:13:56.92 T78Hh2v6.net
P ⇒ Q を示すのに、
￢Q ⇒ ￢P
を示すことによって示すことがあります。これは背理法と同じですか？
229:１３２人目の素数さん
21/06/26 22:41:41.92 FOYkOaq1.net
違う
背理法は「 P ∧ ￢Q ⇒ 矛盾」を示す
230:１３２人目の素数さん
21/06/27 00:10:11.52 FH2u9gr8.net
￢Q ⇒ ￢P が示されたとすると、 P ∧ ￢Q ⇒ P ∧ ￢P = 矛盾となりますし、
P ∧ ￢Q ⇒ 矛盾が示されたとすると、￢Q ⇒ ￢P となるので同じことではないですか？
231:１３２人目の素数さん
21/06/27 00:48:58.03 movehHSD.net
>>220
(n^2 + p) - 2{(n+1)^2 + p} + {(n+2)^2 + p} = 2,
が5の倍数…
232:１３２人目の素数さん
21/06/27 01:27:45.76 AJ+76age.net
>>225
矛盾はどこで生起してもいい。
233:１３２人目の素数さん
21/06/27 01:57:30.42 StpFy5Wj.net
>>225
証明できればどの方法も同じと思ってんの？
全部「証明する方法」と言う一つの方法なら名付ける必要はないな
234:１３２人目の素数さん
21/06/27 02:40:20.05 pOvyxu89.net
きついね
235:１３２人目の素数さん
21/06/27 04:15:29.93 DIGeOu+7.net
放物線C:y=x^2上の-1≦x≦1の部分を点Aが、1≦x≦2の部分を点Bが、それぞれ独立に動く。
線分ABの3等分点をAに近い方からP,Qとする。Pが存在しうる領域をD、Qが存在しうる領域をEとするとき、領域D∩E上の点のx座標の最大値および最小値を求めよ。
236:１３２人目の素数さん
21/06/27 05:34:36.86 TcPA+MyS.net
放物線C:y=x^2上に点A(-1,1)をとる。
実数p>-1に対してP(p,p^2)とするとき、線分長APをf(p)と定義する。
f(p)が極値を持つか調べ、極値を取る場合は対応するpをすべて求めよ。
237:１３２人目の素数さん
21/06/27 08:56:50.74 GwWRsDy8.net
n×n整数行列のなす環Mn(Z)の外部自己同型(可逆行列Aを用いてX→AXA^-1と書けないもの)は存在しますか？
あるとすれば、どんなものがあるんでしょうか
238:１３２人目の素数さん
21/06/27 09:04:45.24 GVwLNolM.net
>>231
{f(p)}^2=g(p)とおく。
g(p)=(p+1)^2+(p^2-1)^2
=p^4-p^2+2p+2
g'(p)=4p^3-2p+2
g'(p)=0⇔2p^3-p+1=0
⇔(p+1)(p^2-p+1)=0
p^2-p+1>0より、p>-1でg'(p)>0
よってg(p)は極値をもたないから、f(p)は極値をもたない。
【改題】
C:y=x^2上に定点A(a,a^2)をとる。ただしa<0とする。
Cのa<xの部分を動く点P(p,p^2)に対して、f(p)=APと定める。f(p)が極値を持つようなaの範囲を求めよ。
239:１３２人目の素数さん
21/06/27 09:52:11.73 Iunoszis.net
>>233
{f(p)}^2=g(p)とおく。
g(p)=(p-a)^2+(p^2-a^2)^2
=p^4+(1-2a^2)p^2+2ap+a^4+a^2
g'(p)=4p^3+2(1-2a^2)p+2a
g'(p)=0⇔2p^3+(1-2a^2)p+a=0
⇔(p+a)(2p^2-2ap+1)=0
よって「p=-a,p={(a±√(a^2-2))/2}」…(*)
a={(a±√(a^2-2))/2}を解くと、
a=±√(a^2-2)
a^2=a^2-2 となって解をもたない。
したがって(*)は少なくとも2つの解を持つ。
(i)(*)がちょうど2つの解を持つとき
a=±√2で、
(A)a=√2のとき
p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=-√2のときのみ起こる。
(B)a=-√2のとき
p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=1/√2のときのみ起こる。
p=-√2,1/√2で、g'(p)の符号変化はp=-√2のときのみ起こる。
(ii)(*)がちょうど3つの解を持つとき
a<-√2または√2<aであり、このときg'(p)の符号変化はちょうど3回起こる。
以上より、極値をもつのは
a≦-√2または√2≦aのとき
である。
240:１３２人目の素数さん
21/06/27 12:19:25.57 Qbo2UVI8.net
xy平面上の放物線C:y=x^2と、放物線D:x=y^2+cが相異なる4点で交わるとき、その交点をx座標の小さい順にP,Q,R,Sと表す。
CとDが相異なる4点で交わるように実数cが動くとき、比PR/QSの取りうる値の範囲を求めよ。
241:１３２人目の素数さん
21/06/27 12:31:58.14 Iunoszis.net
>>235
問題として成立していないので改題
xy平面上の放物線C:y=x^2と、放物線D:x=(y-c)^2+c^2が相異なる4点で交わるとき、その交点をx座標の小さい順にP,Q,R,Sと表す。
CとDが相異なる4点で交わるように実数cが動くとき、比PR/QSの取りうる値の範囲を求めよ。
242:１３２人目の素数さん
21/06/27 13:12:42.00 /wnXhY58.net
>>236
x=(y-c)^2-c^2としないと問題として成立しない。
x=(x^2-c)^2-c^2
x(x^3-2cx-1)=0
この方程式の実数解の個数を考える。
x≠0のとき、x^3-2cx-1=0⇔c=(x^3-1)/2x
y=cとy=(x^3-1)/2xはc>3/{2^(5/3)}のとき相異なる3点で交わる。
したがってこのとき、x=0も含め相異なる4点で交わる。
各交点の座標など出したくもない
243:１３２人目の素数さん
21/06/27 14:04:02.89 movehHSD.net
>>230
D:
y ≦ 2 +4x +3xx (-1/3≦x≦0)
y ≦ (4 -4x +3xx)/2 (0≦x≦4/3)
y ≧ (1 -2x +3xx)/2 (-1/3≦x≦1)
y ≧ 2 -4x +3xx (1≦x≦4/3)
E:
(1 -2x +3xx)/2 ≦ y ≦ (3 +2x +3xx)/4, (1/3≦x≦1)
y ≦ 2(6 -8x +3xx) (1≦x≦9/7)
y ≦ (3 -2x +3xx)/4 (9/7≦x≦5/3)
(複雑なので後略)
A(-1/3,1/9) B(5/3, 25/9) のとき P(1/3,1)
A(-1,1) B(1,1) のとき Q(1/3,1)
A(1,1) B(4-√6, 22-8√6) のとき P(2-√(2/3), 8{1-√(2/3)})
A(√(2/3), 2/3) B(3-2√(2/3), 35/3 -4√6) のとき Q(2-√(2/3), 8{1-√(2/3)})
∴ (1/3,1) と (2-√(2/3), 8{1-√(2/3)}) は D∩E に含まれる。
1/3 ≦ x ≦ 2 - √(2/3) = 1.18350342
244:１３２人目の素数さん
21/06/27 19:11:56.57 FH2u9gr8.net
V を F 上の {0} でない有限次元ベクトル空間とする。
W を F 上の無限次元ベクトル空間とする。
L(V, W) は F 上の無限次元ベクトル空間であることを証明せよ。
以下の解答は合っていますか？
L(V, W) が F 上の有限次元ベクトル空間であったとする。
v_1, …, v_n を V の基底とする。
φ_1, …, φ_m を L(V, W) の基底とする。
W は無限次元だから、 φ_1(v_1), …, φ_m(v_1) は W を生成しない。
ゆえに、 w ∈ Span(φ_1(v_1), …, φ_m(v_1)) とはならない W の元 w が存在する。
φ(v_1) = w となるような L(V, W) の元 φ が存在する。
φ = a_1*φ_1 + … + a_m*φ_m
とかける。
w = φ(v_1) = a_1*φ_1(v_1) + … + a_m*φ_m(v_1) であるが、これは矛盾である。
245:１３２人目の素数さん
21/06/27 19:44:22.19 StpFy5Wj.net
直接構成すりゃ良いのに
そんな回り道する意味がわからん
246:１３２人目の素数さん
21/06/27 20:28:15.43 FH2u9gr8.net
>>240
どういうことですか？
247:１３２人目の素数さん
21/06/27 23:07:22.07 StpFy5Wj.net
V の基底 v_1, …, v_n を固定して
φ(v_1), …, φ(v_n) ∈ W を指定すれば φ ∈ L(V, W) が決まるんだから
L(V, W) ≅ W^n が分かるだろ
248:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:21:38.74 vrmCjQFg.net
#L（V,w）≦#W^n はわかったけど、そこから dim(L,W)=∞ が出る過程をもう少し詳しく。
249:１３２人目の素数さん
21/06/28 00:27:08.99 24729WJH.net
>>232
自己解決
250:１３２人目の素数さん
21/06/28 07:12:48.06 r1cntibv.net
>>219
(1)
F (0, 1/4) … P(p, p^2)
FP^2 = p^2 + (p^2 - 1/4)^2 = (p^2 + 1/4)^2,
FP = p^2 + 1/4,
これが最小となるのは p=0 のみ。
(2)
F(0, 1/4) … Q(q, q^2) … R(q+1, -(q+1)^2 -4) … F '(0, -17/4)
FQ = q^2 + 1/4,
QR = √{1^2 + [q^2 + (q+1)^2 + 4]^2},
RF '= (q+1)^2 + 1/4,
∴ FQ + QR + RF 'が最小になるのは
q^2 + (q+1)^2 が最小のとき
q^2 + (q+1)^2 = 2(q + 1/2)^2 + 1/2 ≧ 1/2,
∴ q = -1/2
251:１３２人目の素数さん
21/06/28 19:52:58.16 0l/16VXN.net
＞分からない問題はここに書いてね
今は特にない
252:１３２人目の素数さん
21/06/28 20:57:57.81 2LJ9p63m.net
放物線C:y^2=4pxの焦点をFとする。
Fを通る傾きa(a≠0)の直線をl、lとCの交点のうちy座標が正のものをA、�
253:奄ﾌものをBとする。 （1）AF*BFは実数aの値に関わらず一定であることを示し、その値を求めよ。 （2）x軸のx>0の部分を動く点P(p,0)、Pを通る傾き1の直線をl_pとする。l_pとCの交点のうち、y座標が正のものをQ、負のものをRとする。 線分QR上にあるy座標が正の点Sで、QS*RS=AF*BFとなるものを考える。Pが動くとき、Sの軌跡の方程式を求めよ。
254:１３２人目の素数さん
21/06/28 21:45:42.76 XKL2zhgE.net
スレチ承知の質問だけど
お湯1リットル(=1kg=1000g)に
比熱cので温度25℃牛肉150ｇ(=m)を入れたときのお湯の温度を60℃にしたい。
最初に何度のお湯を用意すればよいか？
という計算をしたいのだが、牛肉の比熱ってどれくらいか知っている人いますか？
255:１３２人目の素数さん
21/06/28 21:52:58.06 wymSeZtX.net
>>248
ググるとすぐ出てくるよ
256:１３２人目の素数さん
21/06/28 22:06:06.13 Pa1MwMqw.net
a→+0でAF→∞、BF→p
257:イナ
21/06/28 22:42:27.02 D4wr2/FP.net
>>248
1000x+150×25=1150×60
x=69-3.75
=65.25(℃)
比熱については、なにか新しい情報があればまた対処したい。
258:１３２人目の素数さん
21/06/29 01:56:35.48 g2TiPknZ.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
y=11π/6になるのが分からん。教えてクレメンス
259:１３２人目の素数さん
21/06/29 05:34:57.86 FnD0DldR.net
>>249
定数じゃなくて温度依存性があるようだ。
260:１３２人目の素数さん
21/06/29 05:35:57.27 FnD0DldR.net
>>253
牛肉,豚肉,鶏肉の10～100°Cの範囲の比熱を比較すると,赤肉では畜種による差はほとんど認められず,温度上昇に伴って,約0.5kJ/kg•Kの直線的な温度依存性が見いだされた.
261:１３２人目の素数さん
21/06/29 06:38:05.30 n9YIjuI3.net
個体食品の比熱は，温度の影響よりも含水率によって大きく変わる。
0.37＋0.63xwという記載を見つけた
URLﾘﾝｸ(www.eng-book.com)
赤身サーロインは水分85%とあったので
150*(0.37+0.63*0.85)*(60-25)/1000*1+60=64.75
65℃程度のお湯に入ればいいんだな。
炊飯器の保温機能を低温調理器かわりに使ってローストビーフを作ろうと思っていた。
今日は代休なので嫁といっしょにやってみよう。
オーブンでの調理とどっちが旨いか楽しみ。
262:１３２人目の素数さん
21/06/29 07:20:53.02 n9YIjuI3.net
肉の種類が変わっても準備すべきお湯の温度は大差ないな。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
むしろ、肉の量や投与する肉の温度に左右されるのでグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
うまくできたら量を増やしてて調理の予定。
263:１３２人目の素数さん
21/06/29 07:31:50.29 gVXeZ6F6.net
この温度だと大腸菌など食中毒予防に必要な中心温度７５℃１分を実現できないので良い子は真似しないように。
264:１３２人目の素数さん
21/06/29 07:42:07.26 vU5x8gsT.net
尿瓶生きてたのか...
265:１３２人目の素数さん
21/06/29 07:42:37.24 vU5x8gsT.net
もともとの質問も自演臭いな
266:１３２人目の素数さん
21/06/29 08:21:11.44 +iFP9vxN.net
本日の尿瓶
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
267:１３２人目の素数さん
21/06/29 08:50:40.78 KUURlfo4.net
2^m+m=n^2
268:を満たす正整数の組(m,n)を全て求めよ.
269:１３２人目の素数さん
21/06/29 08:52:05.44 KUURlfo4.net
2^m+m=n^2を満たす正整数の組(m,n)を全て求めよ.
270:１３２人目の素数さん
21/06/29 12:00:23.60 8cDG8aiV.net
>>243
私は>>242でないけど、その記号は不等号「≦」ではなくて同型「≅」です。
L(V, W)≅W^nとはL(V,W)とW^nがベクトル空間として同型という意味。
基底に含まれるn個のベクトルの行き先であるWの元が決まれば一次写像は一意に決まるからL(V, W)≅W^n。
Wは無限次元なのでW^nも無限次元。
271:１３２人目の素数さん
21/06/29 12:32:33.52 zs6RWvJU.net
a,bは正の実定数とする。
放物線C:y=x^2と直線y=ax+bの交点をそれぞれA,Bとし、Cの弧AB上に点P(p,p^2)をとる。
（1）pが変化するとき、△ABPの面積が最大となるpをa,bで表せ。
（2）pは(1)の値とする。弧PB上を動く点Q(q,q^2)をとる。□APQBの面積を最大にするqの値をa,bで表せ。
（3）弧AB上を相異なる2点S,Tが独立に動くとき、4点A,B,S,Tを頂点とする凸四角形の面積の最大値をMとする。Mは(2)の□APQBの面積の最大値に一致するか。
272:１３２人目の素数さん
21/06/29 12:45:09.77 GyUZPT2/.net
>>256
尿瓶まだ生きてたのか
273:１３２人目の素数さん
21/06/29 13:19:32.05 zs6RWvJU.net
>>264
x^2-ax-b=0(a,bは共に正)
の2解をα、βとし、A(α,α^2)、B(β,β^2)とおく。α<p<βである。
直線AB上でx座標がpである点のy座標はy=ap+bであり、この点をKとすると
2△ABP=2△AKP+2△BKP
=(p-α)(ap+b-p^2)+(β-p)(ap+b-p^2)
=(β-α)(ap+b-p^2)…(A)
pが変化するとき(A)を最大化すればよく、
-p^2+ap+b
=-(p-(a/2))^2+(a^2/4)+b
ここで
α={a-√(a^2+4b)}/2、β={a+√(a^2+4b)}/2
より、α<a/2<βである。したがってp=a/2となることができるから、
p=a/2…（答）
で△ABPの面積は最大になる。
274:１３２人目の素数さん
21/06/29 13:38:33.76 bpnxUqKD.net
mが偶数のとき (m = 2m')
m' ≦ 2^(m'-1),
(2^m')^2 < 2^{2m'} + (2m') < (2^m' +1)^2
より 不合理。
∴ 偶数のmはない。
275:１３２人目の素数さん
21/06/29 14:22:34.96 w80CvQja.net
>>264
p=a/2とする。2点P,Bを通る直線の傾きは、
(aβ+b-p^2)/(β-p)
=a-(p^2-ap-b)/(β-p)
=a-(p-α)(p-β)/(β-p)
=a+p-α
（1）より、△PBQを最大にする点Qの接線の傾きはPBの傾きに等しい。
よって2q=a+p-α
q={2a+√(a^2+4b)}/4…（答）
276:１３２人目の素数さん
21/06/29 14:40:09.88 w80CvQja.net
>>264
（3）ができません
ご教授ください
277:１３２人目の素数さん
21/06/29 16:35:08.55 RoCRvrms.net
m,Nを正整数の定数とし、有限数列{a[n]}および{q[n]}を以下のように定義する。
・a[1]=m,a[n+1]=a[n]+q[n](1≦n≦N-1)
・数列{q[n]}は1,2,...,N-1,Nを並べ替えた列
とする。
このとき、以下の命題の真偽を述べよ。
【命題】
m,Nがどのような数であっても、任意のiに対しa[i]が平方数でないようにq[n]を構成できる。
278:１３２人目の素数さん
21/06/29 16:47:16.02 te7gSgOo.net
>>242
ありがとうございます。
試験問題として出題された場合には、 L(V, W) と W^n が同形であるというほぼ自明な事実を証明する必要がありますが、それが面倒という欠点がありますね。
279:１３２人目の素数さん
21/06/29 17:10:52.53 YPePZKDj.net
3つの円弧γ1、γ2、およびγ3が点AとCを端点として接続します。これらの円弧は同じ位置にあります。弧γ2が弧γ1とγ3の間にあるように線ACによって定義され
る半平面で、 BはセグメントACにあります。 h1、h2、およびh3をBから始まり、同じ位置にある3つの光線とします。半平面、h2はh1とh3の間にあります。 iの場合、j 1、
2、3は、Vi
280:jによって交点を示します。hiとγjで示すVijVkjVkViは湾曲した四辺形、その辺はセグメントVijVi、VkjVk、アークVijVkjとViVkとなる円が存在する場合、こ の四辺形は外接円であると言います。これらの2つのセグメントと2つの円弧に触れます。湾曲した四辺形V11V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22は外接し ており、次に湾曲した四辺形V22V32V33V23も外接していることを証明せよ。
281:１３２人目の素数さん
21/06/29 17:35:48.52 MNeTcP7c.net
m=4,Nが任意で不可能
282:１３２人目の素数さん
21/06/29 17:39:50.52 MNeTcP7c.net
>>272
何言ってるか謎すぎて草wwwww
283:イナ
21/06/29 19:30:52.68 BpdIz4VL.net
前>>251
>>264(3)
直線PBに対し最遠方の点Qを選ぶのと、
Pを自由にしてS,PによらないTを条件なくとるのとでは、
□ASTBは後者が大きいのは明らか。
∴示された。
284:１３２人目の素数さん
21/06/29 21:02:41.42 v+pY+ZdS.net
>>270
>>273にもあるように初項mや末項m+N(N+1)/2が平方数なら詰んでる
そうでないときはNが十分大きければmod 8で考えて≡0,1,4を回避しながら周期的に進めて行くことが可能
Nが小さいときも明らかに可能(pcでチェックすればよい)
285:１３２人目の素数さん
21/06/30 00:23:10.84 i7lsBAA0.net
>>272
マルチガイジ
286:イナ
21/06/30 10:14:59.31 Kf1GwOjr.net
前>>275
>>119
A/(A+B)=π/4だから、
π=4A/(A+B)
287:１３２人目の素数さん
21/06/30 11:02:39.60 pd5MO4e5.net
Cは組み合わせで
Σ［l=0→k］aC(k-l)×bCl=(a+b)Ckを示せ
288:１３２人目の素数さん
21/06/30 12:11:48.17 NC4qLTrR.net
1〜aから0人、a+1〜a+bからk人
＋1〜aから1人、a+1〜a+bからk-1人
＋1〜aから2人、a+1〜a+bからk-2人
‥
＋1〜aからk人、a+1〜a+bから0人
289:１３２人目の素数さん
21/06/30 12:29:24.10 d+aRw8HS.net
生成関数を使えば…
A(x) = Σ[L=0,a] aＣL x^L = (1+x)^a,
B(x) = Σ[L=0,b] bＣL x^L = (1+x)^b,
A(x)B(x) = Σ[k=0,a+b] (a+b)Ｃk x^k = (1+x)^(a+b),
290:１３２人目の素数さん
21/06/30 12:31:28.50 vEEkKRQl.net
>>272
原文の英語を書いてもらえますか？
291:１３２人目の素数さん
21/06/30 14:24:20.30 U5wyjdbx.net
パズドラで65盤面で10コンボ盤面が出現する確率って何%ですか？
292:１３２人目の素数さん
21/06/30 14:24:43.09 U5wyjdbx.net
5属性+回復ドロップで
293:１３２人目の素数さん
21/06/30 14:31:29.27 vaMQ3+XQ.net
>>283-284
ドロップ30個が6色いずれかの色のとき
各色の個数が
すべて15以下の3の倍数になる確率
こう書き直せば誰か解いてくれるかも