21/06/19 12:24:15.67 IxFCR29a.net
>>342
>正則性の公理からすべての集合は無限降下列を持たない
>したがって上の列を使ってどんな集合を作ろうが無限降下列を持たない
どうも
猿回しの、スレ主です（＾＾
おサルとの会話中に（バトル中？）
横から悪いが
これ賛成！！
時間の節約のために、解説するよ（当たっているかどうかは不明だが）
1．正則性の公理のいう無限降下列とは？
思うにその本質は、「∈ を順序 < と したときの x の最小値 min x」の存在ってこと(下記Kogaより)
それはまた、選択公理と合わせて、無限降下列 A1 ∋ A2 ∋ A3 ... の非存在でもある
2．最小値 min xの存在は、下記の整礎関係 Well-founded relation ”every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R”でもある
”Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.”
つまり、”axiom of dependent choice”と合わせて、”no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X”
3．で、整礎関係 正則性の公理とも、無限降下列 A1 ∋ A2 ∋ A3 ... の非存在は
最小値 min xの存在と対立するもの。つまり、最小値 min xの存在する列は、たとえ無限列であっても、整礎関係 正則性の公理の下での無限降下列ではない
この最小値 min xの存在する無限列を、”無限上昇列”と呼べば、全てが現代の高等数学と整合します！
4．なお、有限列では、全順序では最小値は常に存在するので、整礎関係 正則性の公理の下での、”降下” or ”上昇”の区別は無意味です
以上
追記
おサルは、アホやな（＾＾
つづく