21/05/29 23:33:33.35 fi/E4J7v.net
>>621 追加
余談ですが、新井敏康先生
下記の証明論、Hilbert 「有限の立場」の意義
”ここに潜んでいるHilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:real
なものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。”
とか、あるいは
「「有限の立場」で意味がある命題が、Tの公理で表わされた超限的な仮定のも
とに証明されても、それは既に「有限の立場」で確かめ得る」
”Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった”
とか
なるほどと思った
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
証明論について
新井敏康(神戸大学自然科学研究科)
2002年9月27日
概要
P3
2 Hilbert
「有限の立場」での形式的理論Tの無矛盾性証明は何をもたらすだろうか?
「「有限の立場」で意味がある命題が、Tの公理で表わされた超限的な仮定のも
とに証明されても、それは既に「有限の立場」で確かめ得る」となる。
ここに潜んでいるHilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:real
なものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。realなものに関する命題、例えば
自然数に関する命題でも、∀X1∈ω∃x2∈ω∀X3∈ω∃x4∈ω…R(x1,x2,x3,x4,…)
のように「任意」や「存在」が複雑に入り組んで使用されたなら、idealであると考
える。
つづく
681:現代数学の系譜 雑談
21/05/29 23:33:48.04 fi/E4J7v.net
つづき
Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった。後者はL.Kronecker「自
然数は神の御業だが、それ以外の数は人間がつくった」,L.Browerらにより強烈に
批判されていた。そこで、Hilbertは超限的な数学の無制限の使用に制約を加えなが
らそれを擁護しなければならなかった。そのためのひとつの取り得る道筋が、対象
の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった。上述のようにそのためには、まずidealな対象に関する
公理を形式化し、こうして得られた形式的理論Tの無矛盾性CON(T)を証明すれ
ばよいどその証明がそこで形式化される形式的理論が正しい限り、Tの公理に成文
化された範囲でのidealなものの権利保証が得られることになる。
(引用終り)
以上
682:１３２人目の素数さん
21/05/30 00:17:29.45 IHHkwfUH.net
>>621
>0<2<4<・・・1<3<5<・・
だから１の前者は何だと聞いてるんだが
なぜおまえは逃げ続けるのか？
683:１３２人目の素数さん
21/05/30 04:32:23.29 4LOzs/AI.net
>>620
>>1∈2∈3∈・・∈ω
>>これは、あくまで、上昇列です。降下列に変わったりしません
>１から見れば上昇列、ωから見れば下降列、それだけのことｗ
ああ、チョソンに騙されたらアカンよ
そもそも
1∈2∈3∈・・∈ω
は、正確に書けば
1∈2∈3∈・・∈ｎ∈ω
で、有限列だから、
無限列にはなりようがないｗｗｗ
684:１３２人目の素数さん
21/05/30 04:36:36.24 4LOzs/AI.net
>>621
>・花木章秀先生、”∀n∈N”は普通です
上記から
> つまり、1∈2∈・・∈Nです
は導けない
導けるのは
１∈Ｎ
１∈２∈Ｎ
１∈２∈３∈Ｎ
・・・
みな有限列ｗ
論理を知って正しく考えような
HOL？ いやチョソンの独善思考なんか、HOLでも正当化でけへんからｗ
いいから、生野から出て行って、ピョンヤンに帰れｗｗｗ
685:１３２人目の素数さん
21/05/30 04:44:59.14 4LOzs/AI.net
>>621
＞・新井敏康先生、順序数に対する”<”の使い方 下記です
＞ ”0<1<2<・・・ω<ω+1<ω+2<・・・ω+ω<・・・”
それ、「<列」としての記載ではないよｗ
<列なら、
0<1<2<・・・<n<ω<ω+1<ω+2<・・・<ω+m<ω+ω<・・・
と書かにゃならんよ
つまり、
１）ωの左にすべての自然数が現れる＜列は存在し得ない
２）いかなる順序数λにおいても、0からλに到達する<列は有限列
これ、数学の常識な
ウソだと思うなら、新井敏康本人に、メールで直接たずねてみｗ
www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/people/arai_toshiyasu/
686:１３２人目の素数さん
21/05/30 04:47:49.75 4LOzs/AI.net
どうでもいいが、お🐎🦌チョソンがいくら
「レーヴェンハイム・スコーレムがー」「有限の立場がー」
とわめいても、初歩からつまづいてるから意味ないぞｗ
いいから数学諦めて、ピョンヤンに帰れｗｗｗ
687:１３２人目の素数さん
21/05/30 04:53:59.35 4LOzs/AI.net
>>0<2<4<・・・1<3<5<・・
>だから１の前者は何だと聞いてるんだが
お🐎🦌のチョソンは、順序数の羅列＝「＜列」と誤解してるんだな
定義を一切確かめない🐎🦌が必ずやらかす誤り
こういうヤツは数学科では確実に死ぬｗ
＜列というからには、＜の左と右の項が必ず存在しなくてはならない
これ常識、否定しようもない
新井がー？新井が「＜列」として記載したと書いてるか？
ちがうだろ？あくまで初心者にわからせるために「羅列」として書いてるだろ？
チョソンよ、新井敏康本人に
「０から始まってωにいたる無限長の＜列は存在しますよね？ね？ね？」
ってメールで直接質問してみ？ｗ
即座にバッサリ否定されるからｗｗｗ
688:１３２人目の素数さん
21/05/30 05:01:31.76 4LOzs/AI.net
初心者にわかるようにいってやるが
「０から始まりωにいたる＜列の中に、
ωより小さい全ての自然数ｎが
あらわれるようにはできない」
なぜならωは後続順序数でないから
ｎ＜ω ならば、 ｎ＜ｍ＜ωとなる、ｍが存在するから
いい加減、「鉄道」ではωに到着しないことに気づけ
ωには「飛行機」でしか行けないんだよ
「鉄道」は次々にたどるから、とばすことはないが
「飛行機」は間の順序数をすっとぱす、ってこと
🐒どころか🐄🐖🐓にもわかる実にいい喩えだろ？
これで分からんなら🐛だなｗｗｗｗｗｗｗ
689:１３２人目の素数さん
21/05/30 07:28:20.63 IHHkwfUH.net
>>625
誰も騙されてない
誰も無限列だと言ってない
キミ字が読めない文盲？
690:１３２人目の素数さん
21/05/30 07:56:54.30 4LOzs/AI.net
>>631
「キミ」＝チョソンね
相手間違うなよ
🐎🦌っていわれなくないだろ？
691:１３２人目の素数さん
21/05/30 08:13:50.21 drEsiSVi.net
突然ですが、決定番号、閃いたぁぁぁ
モピロン、さらに以前よりも、かなり
決定番号Nが超完璧に解ってきたぁぁ
ホントは無限個の、無限列だが、
でも、4個の無限列で考えてみた。
無限列 s1 = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,…
無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
無限列 s4 = {2,0,0,0,0,0,0,0,…
だとしたら、多分、決定番号Nは、
s1とs4は、決定番号N = 1 ぽぃし、
s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
∴決定番号のモピロン期待値は、∞
∴決定番号が有限になる確率は、2/4
√2の小数点決定桁目の値は、ナゾだが
√2の小数点決定桁目以降は、ZERO
だと思う。決定番号なんか面白い
by 👾
692:１３２人目の素数さん
21/05/30 08:20:20.41 4LOzs/AI.net
チョソンが理解すべき唯一のこと
「０から始まりωにいたる＜列の中に、
ωより小さい全ての自然数ｎが
あらわれるようにはできない」
なぜならωは後続順序数でないから
ｎ＜ω ならば ｎ＜ｍ＜ωとなるｍが存在するから
693:１３２人目の素数さん
21/05/30 08:23:59.12 4LOzs/AI.net
>>633
>無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
>無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
>s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
無限列s={0,0,0,0,0,0,0,0,0,…
との比較なら、そもそも、s2もs3も、sと同値じゃなーいｗ
694:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 08:31:43.26 kTzpB/An.net
>>622-623
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
証明論について
新井敏康(神戸大学自然科学研究科)
2002年9月27日
Hilbertの考え方はこうである。数学の対象には2種類ある:
realなものとidealなものと。realなものの代表は自然数であり、idealなものの典型は抽
象的・超限的な集合、自然数全体の集合ωのpowersetIP(ω)(=continuum)のpower
setP(P(ω))(realvaluedfunctions),etc.である。
Hilbertの眼前には、一方で集合論の逆理があり、他方にその集合論を用いた超限
的で神学的とも評された新しいスタイルの証明があった。後者はL.Kronecker「自
然数は神の御業だが、それ以外の数は人間がつくった」,L.Browerらにより強烈に
批判されていた。そこで、Hilbertは超限的な数学の無制限の使用に制約を加えなが
らそれを擁護しなければならなかった。そのためのひとつの取り得る道筋が、対象
の二分化とidealなものの権利保証として、「idealなものは原理的には単なる「言
葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを
示していくことにあった。
(引用終り)
ここを補足すると
Hilbertがこれを考えたのは、20世紀初頭。つまり、ちょうど100年ほど前なのだ
”対象の二分化とidealなものの権利保証として、「idealな
695:ものは原理的には単なる「言 葉の綾(figureofspeech)」に過ぎず、realな命題はそれなしでも示し得る」ことを 示していくことにあった” とあるけど、 もう時代が変わってしまったんだ つづく
696:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 08:33:05.94 kTzpB/An.net
>>636
つづき
Hilbertの数学の公理化の仕事は、十分な成果を上げた
例えば「集合論の逆理」は、その原因が解明され、「集合論の逆理」を避ける道も見つかった
しかし、数学全体を、ユークリッド幾何原本のように公理化するという夢は、実現できないことがわかった
（∵ ゲーデルの不完全性定理（下記））
21世紀の現代物理の量子力学や超弦理論は、idealのかたまりだ
「idealなものは原理的には単なる「言葉の綾(figureofspeech)」」ではない
量子の世界は、日常の理念には収まらない
数学でも同様で、現代数学では素朴な”real”を超えて、idealのかたまりになってしまった（おやじギャグ（＾＾ ）
時枝記事なども、その典型でしょう。で、”ideal”だと、毛が三本足りないサルが飛びついて、実は腐った”ideal”だと気付かずに、喜んでいるという構図です（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲーデルの不完全性定理
不完全性定理とは、数学基礎論の重要な定理[1]（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、計算機科学と密接に関連している[2]）。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり[3]、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す[2][3]。なお、少し拡張された有限の立場では不完全性定理は成立せず、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明）[2]。
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している[7]。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった[7]。日本数学会が言うには「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」[3]。
(引用終り)
以上
697:１３２人目の素数さん
21/05/30 08:40:37.01 IHHkwfUH.net
>>632
>相手間違うなよ
間違ってないぞ？
>🐎🦌っていわれなくないだろ？
言ってもいいよ？根拠付きなら
698:１３２人目の素数さん
21/05/30 08:43:16.86 IHHkwfUH.net
>>632
>🐎🦌っていわれなくないだろ？
馬鹿は、上昇列と下降列の話をしてるのに、勝手に無限列と有限列の話と勘違いしたおまえな？
699:１３２人目の素数さん
21/05/30 08:48:50.61 IHHkwfUH.net
>>632
素直に読み間違えましたって言やいいものを何つっかかってんだ？
その前にもういっぺん自分のレス読み返してみろや
700:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 09:49:10.79 kTzpB/An.net
>>633
(引用開始)
無限列 s1 = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,…
無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
無限列 s3 = {1,7,3,2,1,3,5,6,…
無限列 s4 = {2,0,0,0,0,0,0,0,…
だとしたら、多分、決定番号Nは、
s1とs4は、決定番号N = 1 ぽぃし、
s2とs3は、決定番号N = ∞ ぽぃ
∴決定番号のモピロン期待値は、∞
∴決定番号が有限になる確率は、2/4
√2の小数点決定桁目の値は、ナゾだが
(引用終り)
モピロンさん、どうも
スレ主です
それ面白い
私なりに解釈すると
（なお、細かい点は>>401 時枝記事ご参照）
1．無限列を、区間(0,10)のある実数rから無限列を構成する
つまり、無限小数のｎ桁目の数を、ｎ番目の数とする
但し、有限小数の場合は、後ろに0を付ける
一例が
√2→無限列 s2 = {1,4,1,4,2,1,3,5,6,…
2．代表は、有限小数の場合は、有限小数そのものとする
この場合、決定番号は、有限小数の桁数ｎと一致する
3．無限小数の場合は、確たる基準が決められないので、時枝記事のしっぽの同値類から無作為に選んだ数列を代表とする
この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
（”期待値”という概念を入れたことが面白い）
なかなか良い閃きですね。うんうん（＾＾
701:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:04:14.63 4LOzs/AI.net
>>638
>間違ってないぞ？
疑問符がつい
702:てるのはキミ自身、自信がない証拠 当然だろう、間違ってるんだからｗ >言ってもいいよ？根拠付きなら では、以下で根拠を示そう >>639 >馬鹿(=チョソン)は、上昇列と下降列の話をしてるのに、 >勝手に無限列と有限列の話と勘違いしたおまえな？ 🐎🦌が提示した列がそもそも上昇列でも下降列でもないのでその点を指摘した キミはわかってなかったんだね そりゃチョソンと同類の🐎🦌だわ これ根拠、キミもチョソンと一緒にピョンヤンに帰れｗｗｗ
703:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:06:56.11 4LOzs/AI.net
>>640
素直に
「すまん、オレもチョソン同様、上昇列＆下降列わかってねぇわ
童貞だと思って最初っから優しくおしえて、お姉タマ」
といえばいいものをｗｗｗｗｗｗｗ
どうしてオオサカにはチョソン人やハングク人しかおらんのやろな？ｗｗｗ
704:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:24:16.48 4LOzs/AI.net
>>641
＞それ面白い
チョソンは自分が理解できないとき
この言葉で自分にウソをつく
だから🐎🦌のまんまなんだよｗｗｗ
705:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:26:12.28 4LOzs/AI.net
>>641
＞私なりに解釈すると
日本語も読めないチョソンの
独善解釈が正しかった試しは
一度としてなかったが
いいかげん自分が🐎🦌だと気づけ
どこの大学も受からんかった負け🐕チョソン！
706:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 10:29:52.95 kTzpB/An.net
>>641
> この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
> （”期待値”という概念を入れたことが面白い）
>なかなか良い閃きですね。うんうん（＾＾
”期待値”について
下記ご参照
URLﾘﾝｸ(ai-trend.jp)
AVILEN Inc.
2020/04/14
期待値の定義・性質・計算例。平均との違いも！
統計学の基礎
ライター：IMIN
目次
1 期待値の定義
1.1 離散型の場合
1.2 連続型の場合
2 期待値の性質
2.1 期待値の線型性
2.2 期待値の単調性
2.3 X2の期待値
2.4 独立な2つの確率変数に対して
3 期待値と平均の違い
4 関数の期待値
4.1 離散型確率変数の関数の期待値
4.2 連続型確率変数の関数の期待値
期待値と平均の違い
期待値は記号では、μ(ミュー)と表され、これは英語の平均meanの頭文字mに対応するギリシャ文字であり、このことからも期待値と平均には深い関連があることが見て取れます。
大数の法則から、標本サイズNが∞まで大きくなるとき、pi=Ni/Nとなります。つまり、標本の数が∞のとき、μ=x￣が成り立ちます。また、標本の数が∞というのは、標本が母集団に一致していることを示しています。よって標本が母集団と一致するとき、期待値と標本平均が等しくなる、ということです。
このことから、期待値というのは標本の背後に存在する母集団の平均に対応する値であり、標本の理論的な平均値（母集団の平均値）を表すものだと理解出来ます。また、理論的な平均値というのは母集団における平均であり、確率分布の期待値は母集団の平均値と一致します。
(引用終り)
以上
707:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:30:10.52 4LOzs/AI.net
>>641
＞無限小数の場合は、確たる基準が決められないので、
＞時枝記事のしっぽの同値類から無作為に選んだ数列を代表とする
＞この場合、決定番号の期待値は、有限の桁数ｎにはならない（∞）でしょう
期待値が発散するのと、決定番号が確率１で∞となるのとは全く異なるがw
そんな初歩的なことも分からずに
「確率論で時枝記事は完全否定できる！」
とか口からデマカセのホラふいとったんか？
大阪生まれのチョソン人SET Aはｗｗｗ
708:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:32:40.84 4LOzs/AI.net
>>641
＞”期待値”という概念を入れたことが面白い
＞なかなか良い閃きですね。うんうん
いつもながら🐎🦌な言い訳だ
キサマは会社で３０年以上そんな言い訳しかしてこなかったんか？
さすが能無しチョソンｗｗｗ さっさとピョンヤンに帰れｗｗｗｗｗｗｗ
709:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:36:57.16 J8YsAX2B.net
平面ユークリッド幾何の体系の中で、決定不能な命題があるか、あるとすれば
どのようなものか、例を上げよ。（５点）。
710:１３２人目の素数さん
21/05/30 10:39:33.96 4LOzs/AI.net
>>641
決定番号の平均が発散したからといって
決定番号が∞となることはない
な�
711:ｺなら、もし決定番号が自然数の値をとらないなら それは「当該数列が、同値類の代表数列と同値でない」 という同値類の定義に真っ向から反する矛盾を導くからｗ いいかげん自分の初歩的誤りに気づけ チョソン！ 🐎🦌のまま死にたいのか？ｗｗｗｗｗｗｗ
712:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 11:01:59.20 kTzpB/An.net
>>602 補足
(引用開始)
可算無限長の上昇列 1<2<3<・・<ω があったとして、
これが、降下列に変わったりしません
あくまで、上昇列は上昇列
そして列の長さは、あくまで可算無限長であって、決して有限長などにはなりませんｗ（＾＾；
(引用終り)
この無限降下列の議論は、下記の整礎関係の記事や、正則性公理の話に起源があります
多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
私も、最初引っかかりましたが、すぐ誤りに気付きました（まあ、サルには難しいよね）
ここ、英語版では、”Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]”
となっていて、”such that xn+1 R xn for every natural number n”とあり、自然数ｎに大して、”xn+1 R xn”なる ”no countable infinite descending chains”なのです
日本語だけで考えると、ハマリですね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
つづく
713:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 11:02:30.42 kTzpB/An.net
>>651
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-founded relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
(引用終り)
以上
714:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 11:10:52.33 kTzpB/An.net
>>649
>平面ユークリッド幾何の体系の中で、決定不能な命題があるか、あるとすれば
>どのようなものか、例を上げよ。（５点）。
面白いね
第五公準が有名ですね（下記）（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
平行線公準
平行線公準とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
ユークリッド幾何学は平行線公準を含む全てのユークリッドの公準を満たすような幾何学を研究するものである。平行線公準が成立しない幾何学は非ユークリッド幾何学と呼ばれる。平行線公準から独立した幾何学（つまり、ユークリッド公準のうち、最初の4つの公準しか仮定しない幾何学）を絶対幾何学（英語版）（もしくは中立幾何学）と呼ぶ。
URLﾘﾝｸ(upload.wiki)
715:media.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.svg/350px-Parallel_postulate_en.svg.png 内角αとβの角度の和が180°未満であれば、二つの直線は無限に伸ばせば同じ側で交わる。 歴史 2000年もの間、平行線公準をユークリッドの他の4公準から証明するという試みが多数行われてきた。この証明が特に求められたのは、平行線公準が他の4公準とは違い、自明ではなかったことが大きな理由である。 ユークリッドは平行線公準なしで証明もしくは論証を先に進められないと気づいた時にのみ、これを使っていたことを意味している[7]。4公準から第5公準を証明する試みが多く行われ、間違いが発見されるまでそれが正しい証明であると受け入れられてきた。 証明において間違いを犯してしまった理由は、常に第5公準と同値の命題（プレイフェアの公理）を「明らかに」正しいものと仮定していたことに起因している。1795年、ジョン・プレイフェアがユークリッドに関する有名な解説書を著し、その中でユークリッドの第5公準を自身の公理と置き換えるよう提案した (引用終り) 以上
716:１３２人目の素数さん
21/05/30 11:27:26.65 4LOzs/AI.net
>>653
🐎🦌
第五公準はユークリッド幾何では真だが
公理なんだからあたりまえだろｗｗｗ
ユークリッド幾何から第五公準を除いた
「前ユークリッド幾何」ともよぶべきものについて
第五公準が決定不能
味噌とクソの区別もつかん🐎🦌チョソンはピョンヤンに帰れｗｗｗ
717:１３２人目の素数さん
21/05/30 11:30:12.00 4LOzs/AI.net
>>651
＞多分、下記のような日本語
＞「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、
＞ 真の無限降下列をもたないことである」
＞が、ミスリードです
🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
「真の」は別に要らないが、
「無限降下列を持たない」は否定できないぞ
間違いを認められないと●違いになるぞ チョソン！
718:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 11:34:30.77 kTzpB/An.net
>>651 補足
>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>私も、最初引っかかりましたが、すぐ誤りに気付きました（まあ、サルには難しいよね）
>日本語だけで考えると、ハマリですね（＾＾；
下記の整礎的集合（正則性公理）を考えると分かり易い
（どういうわけか、英語版がない。独語版を代用しました）
「整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である」
そこで、集合を並べるのに、記号”∈”が使える。二項関係Rとして、”∈”を使う
A∈B (一番単純な集合が空集合Φで、だんだん複雑な集合ができる。”A∈B”は、左のAより、右のBが複雑な集合だってことを意味するとも解せられる)
下記のノイマン構成の自然数もそう。数ｎが大きくなると、それを表現する集合も複雑になる
この”∈”による整礎関係は、日常語の複雑さと解せられる
で、段々複雑になる”∈”列が、上昇列です。これは無限に複雑にできる
一方、だんだん簡単にする”∈”列も考えられるが、これは必ず止まる。少なくとも、空集合Φに来れば止まる
「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整礎的集合
整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である。
集合の階数
整礎的集合 x に対して、x ∈ Vα + 1 をみたす最小の順序数 α を x の階数（rank）といい、これを rank(x) で表す。
rank(x) = sup {rank(y)+1 | y ∈ x} が成立する。
正則性公理と整礎的集合
正則性公理を用いると、すべての集合が整礎的であることが示される。したがって、すべての集合に階数が定義される。
つづく
719:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 11:35:01.46 kTzpB/An.net
>>656
つづき
（英語版がないようなので、独語版を）
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Fundierte Menge
Inhaltsverzeichnis
1 Noethersche Induktion
2 Beispiele
3 Lange absteigender Ketten
（ノイマンによる自然数系の構成）
URLﾘﾝｸ(www.slideshare.net)
何もないところから数を作る
7/24「第4回プログラマのための数学勉強会」にて発表。
Taketo Sano
38. フォン・ノイマンによる自然数系の構成 として順に作っていく。 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a∪{a}
(引用終り)
以上
720:１３２人目の素数さん
21/05/30 11:55:51.73 4LOzs/AI.net
>>656
＞段々複雑になる”∈”列が、上昇列です。これは無限に複雑にできる
なんか誤解してるなｗ
順序数が複雑になるからといって、上昇列が複雑になるわけではない
（上昇／下降）列を誤解するからそういう🐎🦌なことを書くｗ
721:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 13:37:15.40 kTzpB/An.net
>>656
>>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
1．下記 wikipedia 正則性公理の説明にも、「∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない」が出てきますが
繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。勘違いしているサル二匹がいます
2．あと、正則性公理でノイマンが狙ったのは、下記の”Epsilon-induction”です
つまり、帰納法を走らせるためです
3．そのために、 正則性公理の役割は、
空集合Φからできる集合を規制すると同時に、
∈による順序記号として、∈の意味として等号を含めないといのがあります
不等号で書くと、”≦”ではなく、”＜”の意味に制限するってことです
こうすると、x ＜xとは書けないのです。つまり、「x ∈x はダメ」ということになるのです！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀A(A≠ Φ → ∃x∈ A ∀t∈A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
x・任意の空でない集合xに対して、 ∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない。
・ V=WF}V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
つづく
722:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 13:38:03.22 kTzpB/An.net
>>659
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
Contents
1 Statement
1.1 Comparison with natural number induction
2 Independence
ndependence
In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulting theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implie
723:s neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity. (引用終り) 以上
724:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 14:34:59.33 kTzpB/An.net
>>659 補足
>繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
>逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。
ここの説明としては、下記の段級位制に例えるのが分かり易い（サル二匹には無理としても）
1．段級位制で、級は数字が増えるほど、ランクは下がります。つまり下降列です＊）
2．一方、段位は、数字が増えるほど、ランクは上がります。つまり上昇列です
3．整楚や正則性公理で規制しているのは、無限の降下列です。∞級はダメです。∞段はOKです（＾＾；
注＊）
・一等賞、二等賞なども、下降列です。数字が増えるほど、ランクが下がります
・徒競走の1番、2番・・も同様です。数字が増えるほど、ランクが下がります
・なお、チェスのレーティングは、数字が上ほど、ランクが上です
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
段級位制
段級位制（だんきゅういせい）は、テーブルゲーム・武道・スポーツ・書道・珠算などで技量の度合いを表すための等級制度のうち、段位を上位とし、級位を下位に置くものをいう。級位は数字の多い方から少ない方（10級 → 1級）へ昇級するのに対して、段位は数字の少ない方から多い方（初段 → 十段）へ昇段していく仕組みになっている。
段位・級位
段位及び級位はそれぞれ武道や芸道、スポーツ、遊戯において現在の技能、過去の実績などの段階を示すものである。一般的には段位は級位の上位にあり、初級者は級位から取得し、段位の認定を目指すことになる。段位は、初段（「一段」という表記は慣例的に用いない）にはじまり、十段を最高位とする10段階で構成されていることが多い（例外もある）。級位は1級を上限とし、初段の1つ下が1級、1級の1つ下が2級であり、級位の下限はカテゴリーによって異なる。
まず江戸時代の名人碁所、本因坊道策が囲碁において導入し、それが将棋でも採用され、明治時代になって、武道や芸道などに広がっていった。
つづく
725:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 14:35:21.89 kTzpB/An.net
>>661
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
FIDE世界ランキングとは、国際チェス連盟 (FIDE)が毎月発表しているチェスのレーティングの世界ランキングである。
概要
国際チェス連盟は、レーティングを用いてチェスプレイヤーの強さを数値化している。
詳細は「イロレーティング」を参照
最初の世界ランキングが発表されたのは1971年7月であり当時は年1回の発表であったが、現在では月に1度の頻度で発表されている。
(引用終り)
以上
726:１３２人目の素数さん
21/05/30 15:29:24.95 IHHkwfUH.net
>>642
>🐎🦌が提示した列がそもそも上昇列でも下降列でもないのでその点を指摘した
それって
>1∈2∈3∈・・∈ω
のことだろ？
これ∈列だよ？ 1から見れば∈上昇列、ωから見れば∈下降列
え？？？ そんなことも分からんの？ おまえも落ちこぼれか？
言っとくが、∈無限列であるなんて一言も言ってないので勝手に誤解せぬよう
727:１３２人目の素数さん
21/05/30 15:31:32.51 IHHkwfUH.net
ID:4LOzs/AI
はアホザルと同類の落ちこぼれでした
やれやれ
728:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 17:07:29.81 kTzpB/An.net
>>661
(引用開始)
ここの説明としては、下記の段級位制に例えるのが分かり易い（サル二匹には無理としても）
1．段級位制で、級は数字が増えるほど、ランクは下がります。つまり下降列です＊）
(引用終り)
追加説明
1．多項式で、下記降べきの順と昇べきの順というのがある
f(x)=a0+a1x+a2x^2 が昇べきの順
f(x)=a2x^2+a1x+a0 が降べきの順
2．多項式ならば、（項が有限なので）どちらもありうるが、形式的冪級数（無限のべき項を持つ式）では、昇べきの順しかありえない
変数xのべき（冪）�
729:ｪ増える順に、係数a0,a1,a3・・と並ぶ（下記 形式的冪級数の”より形式的な定義”をご参照 ） この係数列 a0,a1,a3・・は、上昇列です サルには理解が難しいかな （参考） https://manabitimes.jp/math/827 高校数学の美しい物語 降べきの順と昇べきの順について 更新日時 2021/03/07 降べきの順とは，次数が下がって行くような式の表し方。 降べきの順で表した例 . x^3-x^2+4x+1 昇べきの順とは，次数が上がって行くような式の表し方。 昇べきの順で表した例 . 1+4x-x^2+x^3 この記事では， 降べきの順と昇べきの順の意味 や， どちらを使うべきなのか などについて解説します。 目次 ・降べきの順とは ・昇べきの順とは ・変数が複数ある場合 ・降べきの順 VS 昇べきの順 ・そもそもなぜ式を整理するのか 降べきの順 VS 昇べきの順 降べきの順と昇べきの順のどちらで表すのが良いのかを考えてみます。 基本方針は 「重要なものを先頭に持ってくる」です。次数の高いものが重要なのか，定数項が重要なのか，場面に応じて使い分けます。 ・基本的には降べきの順に整理すればよいです。多くの場面では高次の項が重要だからです。 ・まれに昇べきの順に整理する場面（定数項が重要な場合）が出てきます。例えば，マクローリン展開など，いろいろな関数を多項式で近似する場合は定数項が重要なのです。 ・実は，対称式の場合は降べきの順でも昇べきの順でもない整理の仕方が一番美しい場合があります。 つづく
730:現代数学の系譜 雑談
21/05/30 17:08:15.59 kTzpB/An.net
>>665
つづき
そもそもなぜ式を整理するのか
「降べきの順や昇べきの順にする」というのは「式の整理」の方法の1つです。一般に，式を整理すると，
・単純に見やすい，そのため次なる一手につなげやすい
・因数分解しやすくなる
などの恩恵があります。どのように整理すると最大限恩恵が得られるのかを考えて，場面に応じて整理の方法を使い分けましょう。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多項式環
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
p=pmX^m+p_m-1X^m-1+・・・+p1X+p0
の形の式のことである。ここで p0, …, pm は K の元で、p の係数といい、X, X2, … は形式的な記号だが X の冪という。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ? は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 ?∞ と定義する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ _n=0～∞a nX^n=a0+a1X+a2X^2+・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
より形式的な定義
N を非負整数全体の集合とし、配置集合 AN すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
(an)n∈N+(bn)n∈N:=(an+bn)n∈N
(an)n∈N・(bn)n∈N:=(Σk=0～n akbn-k)n∈N
によって演算を定めると、AN は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (an) は上の 蚤nX^n と対応する。
(引用終り)
以上
731:１３２人目の素数さん
21/05/30 17:22:49.43 4LOzs/AI.net
>>663
732: >>🐎🦌が提示した列がそもそも上昇列でも下降列でもない >それって >>1∈2∈3∈・・∈ω >のことだろ？ そうだよ >これ∈列だよ？ 🐎🦌チョソンが書いた列なら、違う もし 1∈2∈3∈・・∈n∈ω と書いてあったなら 確かに∈列である し・か・し、🐎🦌チョソンは 1∈2∈3∈・・∈ω と書いて、これが無限列だといっている そして、その説明を読む限り 「ωの左側に全ての自然数が現れる列」 だと考えていることがわかる その時点で、∈列たりえない だいたい、「∈ω」のすぐ左の項は何だ？という質問に対して 🐎🦌チョソンが、ガースー💩首相のごとく、 頑なに答えずにはぐらかすのを見る限り 「すぐ左の項なんかない しかしなくても∈列だ！」 と初歩的誤解してるのが分かる ID:IHHkwfUH も🐎🦌チョソンと同じ誤解をしてるのか？ ならいっしょにピョンヤンに帰れｗｗｗｗｗｗｗ
733:１３２人目の素数さん
21/05/30 17:26:38.99 4LOzs/AI.net
>>659
＞「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。
なぜOKかわかるか？ｗ
それは上記の列の任意のxnは、xから有限ステップで到達するから
つまりどの項からもxに有限回で降下できるから
いい加減気づけよ🐎🦌チョソンｗｗｗ
734:１３２人目の素数さん
21/05/30 17:33:40.94 4LOzs/AI.net
>>661
なんか相変わらずトンチンカンなこと書いてるなガースーチョソンはｗ
アベもクソだがガースーはさらにクソだった
さて、本題に入ろう
ω段はＯＫ？ 別に構わんよ
で、ω段から降格して０段に至る列は、有限長ってわかるか？
一発目でω段から降格する場合、どの段に落ちる？
どの段に落ちるとしてもｎ段（ｎは自然数）だろ？
その瞬間、有限長だとわかるな
もちろん、長さの上限はない ｎの上限はないからな
しかしどこかのｎに降りるしかないんだから無限長にはなり得ないな
いいかげんこんな大学１年の４月で習うようなこと理解しろよ
おまえは万年１８歳の数学ドーテー野郎なんか？ｗｗｗｗｗｗｗ
735:１３２人目の素数さん
21/05/30 17:35:13.95 4LOzs/AI.net
>>665-666
これ無関係だから全部ゴミ箱なｗｗｗｗｗｗｗ
736:１３２人目の素数さん
21/05/30 20:02:55.14 IHHkwfUH.net
>>667
>もし
>1∈2∈3∈・・∈n∈ω
>と書いてあったなら
>確かに∈列である
1,2,…,9,10
と書いてあったら列。
1,2,…,10
と書いてあっても列。
後者は,9を省略しているに過ぎず同じ列。
1∈2∈3∈・・∈n∈ω
と書いてあったら列。
1∈2∈3∈・・∈ω
と書いてあっても列。
後者は∈nを省略しているに過ぎず同じ列。
737:１３２人目の素数さん
21/05/30 22:22:54.10 4LOzs/AI.net
>>671
チョソンがいったことも読み取れない
キミのあだ名はマンジュねｗ
チョソンが無限列だといっている
マンジュに否定できるか？ｗ
チョソンは
「ωの左側に全ての自然数が現れる列」
だと考えている
マンジュに否定できるか？ｗ
738:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 08:18:25.72 bBlCoden.net
>>558
Steve Awodey 先生
URLﾘﾝｸ(www.sciencedirect.com)
Annals of Pure and Applied Logic
Volume 165, Issue 2, February 2014, Pages 428-502
Steve Awodey Carsten Butzb1 Alex Simpsonc2 Thomas Streicherd
Abstract
This paper introduces Basic Intuitionistic Set Theory BIST, and investigates it as a first-order set theory extending the internal logic of elementary toposes. Given an elementary topos, together with the extra structure of a directed structural system of inclusions (dssi) on the topos, a forcing-style interpretation of the language of first-order set theory in the topos is given, which conservatively extends the internal logic of the topos. This forcing interpretation applies to an arbitrary elementary topos, since any such is equivalent to one carrying a dssi. We prove that the set theory (where Coll is the strong Collection axiom) is sound and complete relative to forcing interpretations in toposes with natural numbers object (nno). Furthermore, in the case that the structural system of inclusions is superdirected, the full Separation schema is modelled. We show that all cocomplete and realizability toposes can (up to equivalence) be endowed with such superdirected systems of inclusions.
A large part of the paper is devoted to an alternative notion of category-theoretic model for BIST, which, following the general approach of Joyal and Moerdijk?s Algebraic Set Theory, axiomatizes the structure possessed by categories of classes compatible with BIST. We prove soundness and completeness results for BIST relative to the class-category semantics. Furthermore, is complete relative to the restricted collection of categories of classes given by categories of ideals over elementary toposes with nno and dssi. It is via this result that the completeness of the original forcing interpretation is obtained, since the internal logic of categories of ideals coincides with the forcing interpretation.
739:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 08:26:40.96 bBlCoden.net
これ面白い
圏論は外だな
Second order arithmetic (These are defined in detail in the articles on second order arithmetic and reverse mathematics.)
は、入っている
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
List of first-order theories
In mathematical logic, a first-order theory is given by a set of axioms in some language. This entry lists some of the more common examples used in model theory and some of their properties.
Contents
1 Preliminaries
2 Pure identity theories
3 Unary relations
4 Equivalence relations
5 Orders
6 Lattices
7 Graphs
8 Boolean algebras
9 Groups
10 Rings and fields
11 Geometry
12 Differential algebra
13 Addition
14 Arithmetic
15 Second order arithmetic
16 Set theories
17 See also
18 References
19 Further reading
Preliminaries
For every natural mathematical structure there is a signature σ listing the constants, functions, and relations of the theory together with their arities, so that the object is naturally a σ-structure. Given a signature σ there is a unique first-order language Lσ that can be used to capture the first-order expressible facts about the σ-structure.
There are two common ways to specify theories:
1.List or describe a set of sentences in the language Lσ, called the axioms of the theory.
2.Give a set of σ-structures, and define a theory to be the set of sentences in Lσ holding in all these models. For example, the "theory of finite fields" consists of all sentences in the language of fields that are true in all finite fields.
An Lσ theory may:
略
(引用終り)
以上
740:１３２人目の素数さん
21/05/31 08:51:15.68 50J4z65h.net
>>673-674
チョソン、今日も発●中
一階論理(FOL)もわからん🐎🦌に、二階論理(SOL)なんて無理
無能なクセにマウントしたがるサルはピョンヤンに帰れｗｗｗ
741:１３２人目の素数さん
21/05/31 11:58:51.02 pdrViWtM.net
>>672
数学科出身をかたるサルが、だめなんじゃないの？
（>>671より）
1,2,…,9,10
と書いてあったら列。
1,2,…,10
と書いてあっても列。
後者は,9を省略しているに過ぎず同じ列。
1∈2∈3∈・・∈n∈ω
と書いてあったら列。
1∈2∈3∈・・∈ω
と書いてあっても列。
後者は∈nを省略しているに過ぎず同じ列。
(引用終り)
これ正しいんじゃね？
お主、レベルが高くないのに、威張りすぎだよ
数学科出身を鼻にかけてさ
そのレベルで、必死に他人にマウントしたがる
742:よね ブザマで、滑稽だよ
743:１３２人目の素数さん
21/05/31 14:02:46.21 bKoS+/J9.net
>>676
彼が言いたいのは、ω以下の順序数すべて（0を除く）を並べた 1∈2∈3∈・・∈ω
はそもそも∈列じゃないってことでしょ？
それは正しいよ。ωのすぐ左が定まらないから。
つまり間違ってるのはキミだけだよ、サルくん。
744:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 14:40:09.58 pdrViWtM.net
1. 自然数の集合Nで、これは下記ノイマン構成によれば順序数ωでもあり、Ｎ＝ω
2．いま、任意のn∈Ｎに対し、n∈ω（∵ Ｎ＝ω ）
3．記号で書けば、∀n∈ω
4．つまりは、Ｎ＝{0,1,2,・・}とも書けるので
0∈1∈2∈・・∈ω ！
ここに、”0∈1∈2∈・・”は、全ての自然数を尽くす！！（∵∀n∈Ｎ→∀n∈ω）
（”1∈2”などの、途中の∈は、下記のノイマンの自然数構成法より）
ωの「すぐ左」なんて、小学校までの話だわさｗ
大学数学では、だれも問題にしないよ（∵ 無限集合で、「すぐ左」などと言い出せば、当てはまらない例は、日常茶飯事だよ）
(>>237より )
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
例
順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。この順序数 ω は、自然数の最小上界に一致するものとして、最小の超限順序数でもある。ゆえに、ω は自然数全体の成す集合の順序型を表している。
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数の公理
「ペアノの公理」も参照
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
(引用終り)
以上
745:１３２人目の素数さん
21/05/31 14:49:46.31 50J4z65h.net
>>676
>> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
>> 1∈2∈3∈・・∈ω
>> 後者は∈nを省略しているに過ぎず同じ列。
>これ正しいんじゃね？
じゃ、チョソンの
「1∈2∈3∈・・∈ω は可算無限列」
は、まったくのウソッパチってことだな
だって
1∈2∈3∈・・∈ω
＝1∈2∈3∈・・∈n∈ω
は、有限列じゃん
長さn+1じゃん n+1が無限かよ？
🐎ぁぁぁぁぁ🦌
746:１３２人目の素数さん
21/05/31 14:52:54.76 50J4z65h.net
>>677
>ω以下の順序数すべて（0を除く）を並べた
>1∈2∈3∈・・∈ω はそもそも∈列じゃないってことでしょ？
>それは正しいよ。ωのすぐ左が定まらないから。
そういうことよ チョソンは終始一貫して
ωの左側に全ての自然数が並ぶ、といっている
その瞬間 ∈列でなくなることが、🐎🦌には理解できない
747:１３２人目の素数さん
21/05/31 14:58:24.23 50J4z65h.net
>>678
＞任意のn∈Ｎに対し、n∈ω
然り
＞つまりは、Ｎ＝{0,1,2,・・}とも書けるので
＞0∈1∈2∈・・∈ω ！
＞ここに、”0∈1∈2∈・・”は、全ての自然数を尽くす！！
否ｗ
いくら力みかえって絶叫しても、否なものは否ｗ
0∈ω
0∈1∈ω
0∈1∈2∈ω
0∈1∈2∈3∈ω
･･･
いくらでも長い列が続けられる
し・か・し、どの列も有限
ωの左側に全ての自然数が並ぶことはない
な・ぜ・な・ら、ωは極限順序数であって
ωより小さい順序数（すなわち自然数）の中に、
最大のものは存在しないから
チョソン！
貴様の負けだ！
貴様は死んだ！
今！！ここで！！！
748:１３２人目の素数さん
21/05/31 15:03:44.41 50J4z65h.net
∈列だというからには、∈の左右が全て決まっていなくてはならない
･･･∈ωで、∈の左側が存在しないなら、それは∈列ではない
順序数を、順序に従って並べたものが、
∈列になると「誤解」したのが
🐎🦌チョソンの失敗
チョソンは定義を一切確認しない
独善的な思いつきを絶対の真理だと妄想する
だから初歩から間違う
妄想するなｗ
749:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 15:25:03.23 pdrViWtM.net
>>678 補足
>> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
↓
>> 1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
などと、∀を使えば、よかんべ
日常数学では
「∀n∈Ｎ」は、普通だっぺ
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
First-order logic
First-order logic?also known as predicate logic, quantificational logic, and first-order predicate calculus?is a collection of formal systems used in mathematics, philosophy, linguistics, and computer science. First-order logic uses quantified variables over non-logical objects, and allows the use of sentences that contain variables, so that rather than propositions such as "Socrates is a man", one can have expressions in the form "there exists x such that x is Socrates and x is a man", where "there exists" is a quantifier, while x is a variable.[1] This distinguishes it from propositional logic, which does not use quantifiers or relations;[2] in this sense, propositional logic is the foundation of first-order logic.
First-order logic is the standard for the formalization of mathematics into axioms, and is studied in the foundations of mathematics.
Peano arithmetic and Zermelo?Fraenkel set theory are axiomatizations of number theory and set theory, respectively, into first-order logic. No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line.
Axiom systems that do fully describe these two structures (that is, categorical axiom systems) can be obtained in stronger logics such as second-order logic.
(引用終り)
以上
750:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 15:34:00.81 pdrViWtM.net
>>683
追加参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Categorical theory
Not to be confused with Category theory.
In mathematical logic, a theory is categorical if it has exactly one model (up to isomorphism).[1] Such a theory can be viewed as defining its model, uniquely characterizing its structure.
In first-order logic, only theories with a finite model can be categorical.
Higher-order logic contains categorical theories with an infinite model.
For example, the second-order Peano axioms are categorical, having a unique model whose domain is the set of natural numbers N.
In model theory, the notion of a categorical theory is refined with respect to cardinality. A theory is κ-categorical (or categorical in κ) if it has exactly one model of cardinality κ up to isomorphism. Morley's categoricity theorem is a theorem of Michael D. Morley (1965) stating that if a first-order theory in a countable language is categorical in some uncountable cardinality, then it is categorical in all uncountable cardinalities.
Contents
1 History and motivation
2 Examples
3 Properties
(引用終り)
以上
751:１３２人目の素数さん
21/05/31 15:44:55.82 50J4z65h.net
>>683
>> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
↓
>> 1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
>などと、∀を使えば、よかんべ
はい🐎🦌、ほんと🐎🦌
述語論理も知らん正真正銘の🐎🦌
●ねよ サナダ🐛
752:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:07:27.92 bKoS+/J9.net
>>683
>> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
↓
>> 1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
>などと、∀を使えば、よかんべ
反例 1∈1∈ω
∀nは任意の自然数だから1でもよい。しかし 1∈1 は偽だから「1∈1∈ω は∈列」も偽。
1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω
は良い。しかしこれは有限列。
さすがに大学数学に入門を拒絶されただけのことはありますね。量化子がまったく分かってない。
753:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 16:15:31.21 pdrViWtM.net
>>683
(引用開始)
などと、∀を使えば、よかんべ
日常数学では
「∀n∈Ｎ」は、普通だっぺ
(引用終り)
日常数学では
厳密な、一階述語論理だけを使う必要はない
というか、それが必要なときに、必要なだけ、一階述語論理を使えば良い
あるいは、二階述語論理が必要とされているときのみ、二階述語論理に拘れば良い
日常数学では、一階述語論理、二階述語論理
754:、あるいはもっと高階を行ったり来たり あるいは、数学外の勘や感覚と、数学論理を行ったり来たり 一流数学者は、それで間違わない というか、それができないと 数学の新しい分野を切り開くことはできないだろうよ 三流のサルは 10年ROMれ
755:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:16:52.07 50J4z65h.net
>>686
＞1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω
＞は良い。
いや、これもおかしいけどね
みんな、述語論理、勉強してよ
756:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:18:09.72 50J4z65h.net
>>687
そもそも何階でも
1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
なんて🐎🦌な書き方はできないよ
間違ってるからｗ
757:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:20:37.09 50J4z65h.net
∀n∈N.n∈ωからいえるのは
1∈2∈3∈・・∈n∈ω
だけ
どの要素ｎをとってきてもそこから1までは有限ステップで行ってしまう
要するに無限列にはなりようがないの いい加減理解しようね チョソン君ｗ
758:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:34:46.44 bKoS+/J9.net
>>688
え？？？
キミ量化子知らんの？
1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω
は
ある自然数nが存在して
1∈2∈3∈・・∈n∈ω
を満たす
という意味だよ？
1∈2∈3∈4∈ω
は真じゃないと？ 大丈夫？キミ
759:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:39:36.62 50J4z65h.net
>>691
＞1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω は
＞ある自然数nが存在して
＞1∈2∈3∈・・∈n∈ω を満たす
＞という意味だよ？
そんな使い方はしないから
ちゃんと論理学の本読んで勉強してね
読まずに自己流で使用すると、
チョソンみたいになっちゃうよｗ
760:１３２人目の素数さん
21/05/31 16:50:22.18 50J4z65h.net
ID:bKoS+/J9 君のオレ様用法だと
「1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
は
任意の自然数nについて
1∈2∈3∈・・∈n∈ω
を満たす
という意味だよ？」
となるが・・・
上記の言明自体は間違っていないが
そもそもそんな書き方をしない
761:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 16:51:15.65 pdrViWtM.net
>>683
(引用開始)
>> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
↓
>> 1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
などと、∀を使えば、よかんべ
(引用終り)
そりゃ、n＝1～3は、まずいわな
（承知の上で手抜きだよ（ごたごた書きすぎても、５ｃｈ掲示板では、見にくいだけだよ））
だから、”∀n∈Ｎ 但し、n＞3”と書けばいいだけのことよ
三流のサルは
10年ROMれ
762:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:10:14.26 50J4z65h.net
>>694
チョソンは、根本的に分かってないｗ
どうせ
1∈（∀ｎ>１）∈ω
1∈２∈（∀ｎ>２）∈ω
･･･
と書けば、「全部無限列」だといえると思ってるんだろうが
🐎🦌丸出しだ
五流の🐓 七流の🐛は 永遠に失せろｗ
763:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:38:12.50 bKoS+/J9.net
>>693
>「1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
> は
> 任意の自然数nについて
> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
> を満たす
> という意味だよ？」
>となるが・・・
その通りだよ？
>上記の言明自体は間違っていないが
間違いだよｗ
反例 1∈1∈ω
キミ基本が全然解ってないじゃん キミもサルと同類の落ちこぼれか やれやれ
764:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:39:03.66 bKoS+/J9.net
ID:50J4z65hはサル並みの落ちこぼれ
量化子がまるで分かってない
765:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:40:54.11 pdrViWtM.net
>>684
(引用開始)
>> 1∈2∈3∈・・∈n∈ω
↓
>> 1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
などと、∀を使えば、よかんべ
そりゃ、n＝1〜3は、まずいわな
（承知の上で手抜きだよ（ごたごた書きすぎても、５ｃｈ掲示板では、見にくいだけだよ））
だから、”∀n∈Ｎ 但し、n ＞3”と書けばいいだけのことよ
(引用終り)
・そもそもが、”∀n∈ω”だけで、数学としては終わっている話よ
・おサルの ”1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω”(>>686)と、”∀n∈ω”とは、数学的には全く異なる主張だ
・”∀n∈ω”→ ”1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω”は言えるけど、
逆は言えないよね
・そして、”∀n∈ω”は、自明も自明な話だ
・上記、” 1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω”但し n ＞3は、
小学生にも分かるようにかみ砕いだけだよ
・∀n∈Nで、ｎは全ての自然数ｎを渡るよ
・厳密には、記号の濫用（下記）にも当たらない（∵ 誤りだとは言えない）
が、広い意味の記号の濫用とも、解釈できるだろう（＾＾；
三流のサルは
10年ROMれ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
記号の濫用
記号の濫用（きごうのらんよう、英: abuse of notation, 仏: abus de notation）とは、形式的には正しくないが表記を簡単にしたり正しい直観を示唆するような表記を（間違いのもととなったり�
766:ｬ乱を引き起こすようなことがなさそうなときに）用いることである。 (引用終り) 以上
767:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:42:56.72 50J4z65h.net
>>696
それは本質的な反例ではない
1∈ω は正しいから
1∈2∈ω も正しいから
むしろキミの上げ足はチョソンの幼稚な「式」
1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω
の欠陥を指摘したといっていい
だからそういう半端な書き方はダメなんだってｗ
768:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:44:25.33 bKoS+/J9.net
落ちこぼれはサルだけにしてくれよｗ 数学板に書きこむなら量化子くらい勉強してくれｗ
769:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:45:29.05 pdrViWtM.net
>>697
>ID:50J4z65hはサル並みの落ちこぼれ
>量化子がまるで分かってない
レスありがとう
同意です
私スレ主といい勝負だろ？ｗ（＾＾；
770:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:45:47.71 bKoS+/J9.net
>>699
>1∈2∈ω も正しいから
でも1∈1∈ω は間違い
つまり1∈2∈3∈・・∈∀n∈ωは間違い
やれやれ
771:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:47:39.35 bKoS+/J9.net
>>699
何がどう揚げ足と？
キミ揚げ足取りの意味知らないの？ サル並みの落ちこぼれさん
772:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:48:05.86 50J4z65h.net
チョソンは「記号の濫用」で思いっきり間違ったｗ
∀ｎ∈ω と書けば
0∈1∈･･･(全ての自然数)･･･∈ω
と書けると誤解した
もちろんそんなことはないｗ
あくまで任意の自然数ｎについて
0∈･･･∈n∈ω
とできるだけのこと
（また、小賢しい高卒🐎🦌野郎のID:bKoS+/J9が
０ではダメだ、１ではダメだ、とリコウぶってわめくからいっとくが
0∈ω、0∈1∈ω、だぞ
どうだ貴様は今ここでオレに首掻き切られて死んだぞ！ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!）
773:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:49:13.23 50J4z65h.net
ID:bKoS+/J9 は チョソンと同類の🐎🦌ハングクか？
774:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:50:41.43 50J4z65h.net
ID:bKoS+/J9の揚げ足取りは
みずからのレベルの低さを表した
🐛は🐦に食われちまえｗ
775:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:51:46.70 bKoS+/J9.net
>>699
∀nは「任意の自然数」という意味でありその意味しか無い。
つまり一つでも1∈2∈3∈・・∈∀n∈ωを満たさない自然数nが存在するなら偽となる。
1∈1∈ωがその例。
え？？？ こんな基本中の基本を説明せんとあかんの？ 勘弁してくれや
776:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:52:05.59 50J4z65h.net
ID:bKoS+/J9は、0から始まりωに至る∈列が
無限列になりえないことすら指摘できなかった
どうせチョソンと同じ誤解をしてたんだろうｗｗｗ
さすがハングクｗｗｗｗｗｗｗ
777:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:52:48.06 bKoS+/J9.net
>>705-706
はい、発狂して逃亡しました。お疲れさーん
778:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:56:08.95 50J4z65h.net
＞∀nは「任意の自然数」という意味でありその意味しか無い。
ID:bKoS+/J9 は何が問題かわかってなかったｗ
チョソンは
･･･∈ω
の･･･に全ての自然数が並べられると思い込んでた
しかし実際は、任意の自然数ｎについて
･･･∈ｎ∈ω
とできるというだけのことだった
そこを指摘せずに
「1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω で、nが1,2,3ならアウトだ」
とつまらぬことをいうのは正真正銘の🐎🦌である
さすがチョソンの兄弟、ハングクｗｗｗｗｗｗｗ
779:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:56:59.60 bKoS+/J9.net
>>708
>ID:bKoS+/J9は、0から始まりωに至る∈列が
>無限列になりえないことすら指摘できなかった
指摘してるけどｗ ID:bKoS+/J9というID、つまり今日指摘したかは憶えてないがｗ
事実誤認だからキミの負けだよ落ちこぼれくん
780:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:58:14.90 50J4z65h.net
>>710でチョソンとハングク以外の誰の目にも明らかだがｗ
ID:bKoS+/J9
はい、発狂してたのはキミでしたｗｗｗ
さっさと●ねや 🐖野郎ｗ
781:１３２人目の素数さん
21/05/31 17:59:16.51 50J4z65h.net
>>711
＞指摘してるけどｗ
オレの後追いだろ？
さすがハングク、イルボンの後追いｗｗｗｗｗｗｗ
782:１３２人目の素数さん
21/05/31 18:00:44.59 50J4z65h.net
ま、ハングクはきっとこういうだろう
「そういうイルボンも、ヨーロッパやアメリカの後追いだろ」
その通りですが何か？
オレはお前みたいに世界で一番なんて
みっともないマウンティングはしないよ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
783:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 21:15:40.78 bBlCoden.net
>>698 補足
量化子が分かってないのはだれ？（＾＾
1）1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω 但し n ＞ 3
2）1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3
この二つの文で、形式的には、1)が許されるなら、2）も許されるよ（逆も可だよ）
勿論、下記のように「ある偶数 n について、 n・n=25である」という文のような、空（集合）だとか、矛盾を生じるとかで、文が不成立は別としてね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全称記号（ぜんしょうきごう、universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である。通常「∀」と表記され、全称量化子（ぜんしょうりょうかし）、全称限量子（ぜんしょうげんりょうし）、全称限定子（ぜんしょうげんていし）、普遍量化子（ふへんりょうかし）、普通限定子（ふつうげんていし）[1]などとも呼ばれる。
記号の意味
「Px」という開論理式 (open formula) が与えられたとき、これが意味するところは「……はPである」ということだけで、これだけでは真偽が確定しない。そこで、「Px」に現れている自由変項「x」を量化記号によって束縛することにより、新たに閉論理式 (closed formula) が得られる。このような閉論理式は、しかるべき解釈を施すことにより真偽を確定することができる。一般に量化記号には、「全ての」を意味する全称記号「∀」と、「存在する」を意味する存在記号「∃」の2種類がある。このうち全称記号「∀」によって束縛した場合には「∀xPx」という閉論理式が得られ、これは「全ての（任意の） x について、x は P である」（より簡単には「全ての x は Pである」）という意味になる。
「∀xPx」は存在記号と否定記号とを用いて、「￢∃x￢Px」と表現することもできる。「￢∃x￢Px」は「P でないような x は存在しない」という意味だから、これはすなわち「全ての x は Pである」ということである。また、議論領域 (doma∈ of discourse) が有限の場合、「∀xPx」は全称記号を使わずに連言のみで表現できる。例えば議論領域が {a, b, c} のとき、「∀xPx」と「Pa ∧ Pb ∧ Pc」は同じ意味となる（詳しくは述語論理、量化の各記事を参照）。
つづく
784:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 21:19:30.82 bBlCoden.net
>>715
つづく
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
存在記号とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子・・などとも呼ばれる
これとは対照的に全称記号は、何かが常に真であることを示す
ある自然数 n について、 n・n=25 である
これは存在量化を用いた、形式論理として妥当な単一の文である
この文は前者の書き方よりも正確である点に注意されたい。前者は「などなど」が全ての自然数を指し、それ以外を含まないことを汲み取れはするが、明確には述べられていない。そのため、形式的表現に変換できない。一方、後者の量化された文では、自然数について明確に言及しているため、解釈の誤りは通常の場合生じない
5 は自然数のもとで、5 を n に代入すると "5・5 = 25" となり、式は真となる。" n・n=25" が5以外の自然数 n で偽となることは関係がない。少なくとも1つの解が存在すれば、存在量化で真となるに十分である
一方、「ある偶数 n について、 n・n=25である」という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、「ある奇数 n について、 n・n=25である」という文は、5 が奇数であるため真となる。この事実は変数 n が取りうる値の範囲を示す「議論領域（domain of discourse）」が重要であることを示している。
何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい
例として、「ある奇数 n について、 n・n=25である」という文は「ある自然数 n について、 n は奇数であり、かつ n・n=25 である」という文と論理的に同値である。この場合、「かつ」は論理積を表している
数理論理学で存在量化を表す存在記号は " ∃"（サ
785:ンセリフ体の "E" を裏返した字）で表される。なお、これは英語で存在を意味するexistに由来する 故に、 P(a,b,c) が " a・b=c" を表す述語で、 Nが自然数の集合であるとすると、 ∃n∈N P(n,n,25) という論理式が以下の文を表すことになる ある自然数 n について、n・n=25 である 存在記号の各種記号法は全称記号の項目に参照されたし (引用終り) 以上
786:現代数学の系譜 雑談
21/05/31 23:29:30.94 bBlCoden.net
>>715
さらに補足
1．「1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3」は、二つの部分に分けられる
a)1∈2∈3∈・・∈∀n
b)∀n∈ω
2．a)の文は、ノイマン構成を表す
b)の文は、ω＝N（＝自然数の集合）から、自明
3．a)＆b)→「1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3」となる
文「1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3」
は、なんの不思議もない
普通の文ですよ
以上
787:現代数学の系譜 雑談
21/06/01 00:12:12.26 nGHQy4Vx.net
>>717 さらに補足
1．文 a)1∈2∈3∈・・∈∀n
は、丁寧に書くと、
∀n∈N（1∈2∈3∈・・∈n）但し n ＞ 3 ・・(1)
ってことだけど
2．これ以上の説明は、大学生には不要だろうが
高校生向けに、形式的に数学的帰納法を適用してみよう
1)上記(1)は、n=4で成立する
2)(1)がｎで成立するとして、n+1は？
ノイマン構成（>>678）だから、n∈n+1 が成り立つ
よって、1∈2∈3∈・・∈n∈n+1 が成立する
3)(下記)数学的帰納法より、(1)は n ＞ 3 なる全ての自然数で成立する
（本当は、わざわざ数学的帰納法を使うまでもないことだが）
3．(1)の列は有限か？
1)まず、列 1∈2∈3∈・・∈n の項の数は明らかにn個で、よって列の長さはｎだ
2)確かに、個々のｎを見れば有限だが、∀n∈Nだったことを思いだそう
3)仮に、(1)の 1∈2∈3∈・・∈n の長さに、上限Lがあるとする（これは項の数の上限がLであることを意味する）
しかしながら、かならず上限Lを超える数ｎを取ることができるから （∵∀n∈Nだから）
よって、(1)の 1∈2∈3∈・・∈n の長さには、上限がない。つまり、上限がないという意味での無限である
4)もう一つの理解の仕方は、(1)の∀n∈N（1∈2∈3∈・・∈n）では、n→∞ と考えることでしょうかね（＾＾
ここは、各人が自分で考えて納得してもらうしかない（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.u.dendai.ac.jp)
越智禎宏 電大
代数入門
1. 数と式
URLﾘﾝｸ(www.u.dendai.ac.jp)
代数入門：数と式
1.1 数学的帰納法
自然数で重要な性質として次がある：
（性質 N) 空でないどんな部分集合 S ⊂ N には必ず最小元が存在する．
これは当たり前のようにも思える．この原理から，次の数学的帰納法（mathematical induction) が導かれる：
（数学的帰納法) 自然数に関する命題6P(x) に対して，P(1) が正しく P(k)
が正しいなら P(k + 1) も正しい，が任意の自然数 k に対して成り立つなら
ば，全ての自然数 n に関して P(n) は正しい．
実際，S = {a ∈ N : P(a) が正しくない } とおく．もし S≠ Φ ならば，性
質 N より，S に最小元 b が存在する．
略
(引用終り)
以上
788:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:32:28.10 lmERvB79.net
>>715-718
なんかつまらないことにこだわりだしたねコイツ
789:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:33:47.89 lmERvB79.net
結局
1∈・・・∈ω
は、全部有限列、というのは反論ないから認めたわけね？
790:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:34:44.76 lmERvB79.net
自分の誤りを認めないと先進めないよ ＞◆yH25M02vWFhP
791:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:37:22.90 lmERvB79.net
>>718
＞∀n∈N（1∈2∈3∈・・∈n）では、n→∞ と考える
どう考えるつもりか知らんけど、ｎに∞を代入したら間違いだよ わかってるね？
792:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:40:42.11 lmERvB79.net
>>718
＞(1)の 1∈2∈3∈・・∈n の長さには、上限がない。
＞つまり、上限がないという意味での無限である
いまさら
1∈2∈3∈・・∈n∈ωに上限がないから無限列
とか哀れな素人みたいな可能無限的言い訳すんなよ
793:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:42:09.99 lmERvB79.net
◆yH25M02vWFhP 往生際悪いよ
早く自分の誤り認めて 楽になろうね
だれも君が賢いなんて思ってないから 安心していいよ
794:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:45:05.90 lmERvB79.net
このスレ終わったな
795:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:46:43.20 lmERvB79.net
次は立てなくていいよ ＞◆yH25M02vWFhP
特に「ガロア理論」の文字は要らないから
素人の君にガロア理論なんて語れないし
796:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:48:49.14 lmERvB79.net
どうしても立てたいなら
素人数学（ガロア理論以前）
でどうぞ それが実態だし
797:１３２人目の素数さん
21/06/01 01:50:30.83 lmERvB79.net
あと、HNも
不遜な素人 ◆yH25M02vWFhP
にしなよ 素人なのに自惚れが強い君らしいね
798:現代数学の系譜 雑談
21/06/01 07:12:26.10 nGHQy4Vx.net
>>718 補足
> 4)もう一つの理解の仕方は、(1)の∀n∈N（1∈2∈3∈・・∈n）では、n→∞ と考えることでしょうかね（＾＾
・この分かり易い例として、形式的冪級数（>>666）がある
・形式的冪級数は、「多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない」が、例外的に収束するときがある
・その分かり易い例が、下記の正則関数の収束冪級数展開である
蛇足だが、正則関数の収束冪級数展開は、一般に無限の項を持つ
（∵ もし、有限の項しかなければ、正則関数は多項式のみになり、exp(x)や、三角関数 sin θ が存在しえないというバカな話になる）
この”n→∞”が理解できないということは、正則関数の解析性が理解できて いないってことを、意味する（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ n=0～∞a nX^n=a0+a1X+a2X^2+・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
つづく
799:現代数学の系譜 雑談
21/06/01 07:13:03.40 nGHQy4Vx.net
>>729
つづき
性質
・多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。
このとき a1,・・・ ,an∈ Iであれば、
ΣαcαX^α∈ A[[X1,・・・ ,Xn]] の X1,・・・ ,Xn に a1,・・・ ,an を代入したものは収束する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則関数の解析性
この記事では正則関数の解析性（英: Analyticity of holomorphic functions）について述べる。
複素解析において、複素変数 z の複素数値関数 f が
・点 a において正則であるとは、a を中心とするある開円板内のすべての点において微分可能であることをいい、
・a において解析的であるとは、a を中心とするある開円板において収束冪級数
f(z)=Σn=0～∞ cn(z-a)^n
として展開できることをいう（これは収束半径が正であることを意味する）。
(引用終り)
以上
800:１３２人目の素数さん
21/06/01 09:40:40.77 PQhkszb6.net
>>715
>1）1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω 但し n ＞ 3
ある自然数nで成り立てばよいのだから真。「但し n ＞ 3」などという断り書きは不要。
>2）1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3
書き方が悪い。
∀n∈{n∈N|n>3}、1∈2∈3∈・・∈n∈ω とでもすべき。
で、これはnがどんな自然数であれ有限列であって、おまえの主張（=無限列）とは異なることは分かる�
801:ｩ？ そこが重要だぞ？
802:現代数学の系譜 雑談
21/06/01 10:59:00.85 sQGRXvx5.net
>>731
二匹目のサルか？
>> 1）1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω 但し n ＞ 3
>ある自然数nで成り立てばよいのだから真。「但し n ＞ 3」などという断り書きは不要。
分かってないね
（>>715より）
1）1∈2∈3∈・・∈∃n∈ω 但し n ＞ 3
2）1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3
(引用終り)
ここでは、1）と2)の二つの文の対称性を重視しているんだよ（両方に”n ＞ 3”を、キチンと付けてね）
つまり、ある文 P（∃ｘ）があったとき（但し、「x」は自由変項）
∃ｘ→∀ｘ とした文で
P（∀ｘ）もまた、形式的には可！ だよ
（勿論、P（∀ｘ）のロジカルな成否は、別問題としてね）
>> 2）1∈2∈3∈・・∈∀n∈ω 但し n ＞ 3
ここで強調していることは、”1∈2∈3∈・・∈∀n”の部分が、可算無限長だってこと
下記のe^xのマクローリン展開で説明するよ
e^xの項 1.1/2!,1/3!.1/4!,・・1/n!・・
↓↑
自然数 1, 2 , 3 , 4 ,・・ n,・・
という一対一対応がつくよ
e^xの級数展開項は、可算無限（∵有限ならe^xにはならない）
だから、自然数の数列も可算無限長だ
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
e^xのマクローリン展開，三角関数との関係 更新日時 2021/03/07
e^x =1+x+ 1/2!x^2 +1/3!x^3 +1/4!x^4 + ・・・
(引用終り)
以上
803:１３２人目の素数さん
21/06/01 14:13:17.90 PQhkszb6.net
>>732
>ここで強調していることは、”1∈2∈3∈・・∈∀n”の部分が、可算無限長だってこと
∀の意味も分らぬ馬鹿につける薬無し
804:１３２人目の素数さん
21/06/01 14:40:08.12 PQhkszb6.net
>>732
おまえ数学入門してないだろ
なんでここに居るの？
805:現代数学の系譜 雑談
21/06/01 14:47:19.18 sQGRXvx5.net
>>732 補足
>ここで強調していることは、”1∈2∈3∈・・∈∀n”の部分が、可算無限長だってこと
サルは、無限が理解できない
下記でも嫁め
「ωは自然数の集合であるから、自然数以外の余計な物は含んでいない。故に「ちょうどピッタリ自然数より大きい数」だと言える」
（下記は、渕野先生）
「N は極限点を含まない．
一方X = N ∪ {N} として，X 上の二項関係 <X を，
<X= {〈x, y〉 ∈ X2 : (x, y ∈ N かつ x<y)または (x ∈ N かつ y = N) }と定義すると，
<X は X 上の整列順序となり，N は X での （<X に関する）極限点となっている．」
つまり、ωないしNの個々の要素は有限だが、上限がない。だから、全体として無限なんだよ
”e^xのマクローリン展開 e^x =1+x+ 1/2!x^2 +1/3!x^3 +1/4!x^4 + ・・・”は、個々の項を見れば有限だが、
全体としては有限で終わってはならない（∵e^xが多項式になってしまい おかしなことになるから）
ここらの機微は、サルには理解できないだろう
（参考）
URLﾘﾝｸ(kembo.)はてなブログ/entry/2015/08/12/180625
けんぼうは留年生 2015-08-12
何よりも大きな話をしよう(無限,超限順序数の話)
「自然数全体の集合」というものを考えてみよう。どの自然数も「自然数全体の集合」に含まれているので、「自然数全体の集合」を順序数と見なすとこれはどの自然数よりも大きいということになる。
・ω={0,1,2,3,…}
・自然数nについてn∈ω→n<ω
このωのように有限ではない順序数のことを「超限順序数」と呼ぶ。
ところで、このωは自然数の集合であるから、自然数以外の余計な物は含んでいない。
故に「ちょうどピッタリ自然数より大きい数」だと言える。「ωより小さくて自然数より大きい」数は存在しないということだ。
つづく
806:１３２人目の素数さん
21/06/01 14:48:20.12 sQGRXvx5.net
>>735
つづき
超限順序数ωとは
簡単にまとめておこう。
・「超限順序数」はどんな自然数よりも大きい数
・ωはどの自然数よりも大きい超限順序数の一種。
・自然数よりも大きくてωより小さい数は無い。
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 昌 (Sakaé Fuchino) の web page．
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
この文章
807:は「ゲーデルと20世紀の論理学 第４巻」 （東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部の第2章からの抜粋です．ただし，2009年の後期に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いたときに見つけた typos などの訂正などの update が施されているため，本とは多少異なるものになっています． (抜粋) 2.1 整列順序 例 2.2自然数の全体の集合 N は自然な順序により整列順序集合となる． n ∈ N に対し，n = n ∪ {n} である．すべての n ∈ N に対し， n = 0 なら，m = n となる m ∈ N がとれるから，N は極限点を含まない． 一方X = N ∪ {N} として，X 上の二項関係 <X を， <X= {〈x, y〉 ∈ X2 : (x, y ∈ N かつ x<y)または (x ∈ N かつ y = N) }と定義すると， <X は X 上の整列順序となり，N は X での （<X に関する）極限点となっている． (引用終り) 以上
808:１３２人目の素数さん
21/06/01 14:52:39.85 sQGRXvx5.net
>>734
サルが、ああ勘違い
ここ５ｃｈは、天下の落書き
別名、便所の落書きともいう
数学入門だぁ～？
来る場所を間違えているな
あほサルが
動物園へ帰れ！ｗ（＾＾；
809:１３２人目の素数さん
21/06/01 14:57:01.39 sQGRXvx5.net
>>734
>おまえ数学入門してないだろ
そういえば
もう一匹のサルが
小学生で、遠山先生の
「数学入門」を読んだと自慢していたのを思い出したよ
あいつは、それを鼻にかけて
成長が止まったんだろうね（＾＾
テングになっちゃいけないよね（＾＾；
810:１３２人目の素数さん
21/06/01 15:04:29.89 sQGRXvx5.net
>>737
補足しておくが
１）間違っても、５ｃｈで数学の勉強などと思わないことだ
２）あくまで、エンタです
３）面白おかしく、楽しめばいい
以上
811:１３２人目の素数さん
21/06/01 16:55:09.52 lJr+ympS.net
>>739
了解。
クソつまらない嘘やコピペはいらないゴミということですね。
812:１３２人目の素数さん
21/06/01 17:09:20.16 sQGRXvx5.net
>>740
まあ、何が面白く
何が楽しめるか
それは、各人が判断すれば、良いと思うよ
シッタカ、ハナタカする
数学科出身をかたるサルの
大はずしが、面白いと思う人もいるだろうさ
コピペは、おれのメモ帳なんだよ
ここはね。自分が面白いと思ったものを
コピー貼付けする
他人が見て、面白いかどうかは知らん
いろんな人が居ていいでしょ
多様性を認めましょ
ここは５ｃｈなんだからさ
スレだっていろいろある
ここに来てつまらん文句たれるヒマが
あったら、スルーして他のスレに行くか
自分が、面白いと思ったことを投稿したらいい
そもそもが、５ｃｈなんて学会じゃない
斬新な、新規の数学なんてのは
期待する方がおかしいよね
だったら、どこかのクソのカキコより
大学ＰＤＦからのコピペの方が、気が利いていると思うぜ（＾＾
813:１３２人目の素数さん
21/06/01 17:29:25.44 lJr+ympS.net
コピペついでにシッタカで嘘つきまくっている人は説得力が皆無ですね。
814:１３２人目の素数さん
21/06/01 18:50:58.62 sQGRXvx5.net
>>742
別にだれかを説得しようとか
説得力を持たせようとか
考えてない
単なるメモ帳さ
ここは、おれのね
815:１３２人目の素数さん
21/06/01 18:52:11.13 sQGRXvx5.net
メモ
21世紀の数学は、高階をめざす
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.org)
wikia.org
二階算術
二階算術 (Second-order arithmetic) (Z2 あるいは Π∞^1-CA としても知られる[1])は、自然数だけではなく自然数の「集合」の量化を許容する1階述語論理である。
目次
1.言語
2.公理
3.部分体系
3.1RCA0
3.2WKL0
3.3ACA0
3.4ATR0
3.5Π1^1-CA0
3.6その他のサブシ�
816:Xテム 4.参考文献
817:１３２人目の素数さん
21/06/01 19:03:13.55 PQhkszb6.net
>>735-736
屁理屈はいいからωの前者を答えて
818:１３２人目の素数さん
21/06/01 19:04:32.07 PQhkszb6.net
∈列のどの∈も左右が定まっていないといけないことは分かるかな？サルくん
819:１３２人目の素数さん
21/06/01 19:05:37.45 PQhkszb6.net
ωの前者が存在したらωが極限順序数であることと矛盾するのはいい？サルくん
820:現代数学の系譜 雑談
21/06/02 07:22:57.86 ZvVygx5z.net
>>659
(引用開始)
>>多分、下記のような日本語「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」が、ミスリードです
>「空集合Φより簡単な集合はない」を公理にしたのが、正則性公理です
1．下記 wikipedia 正則性公理の説明にも、「∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋... は存在しない」が出てきますが
繰り返しますが、ダメなのは、「”xn+1 R xn”なる ”countable infinite descending chains”」(>>651)なのです
逆の「x∈x1∈x2∈... 」なる無限列はOKです。勘違いしているサル二匹がいます
(引用終り)
補足説明しておこう
1．問題の”無限下降列”では、下記英文 Well-founded relationの
”Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.”
が最も正確な表現なのです
繰り返すが、”there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.”ね
2．ここ、infiniteでなく、有限だと意味が微妙です
例えて言えば、いま目の前に階段があるとする。下りが上りか？ 自分の立ち位置で違う。下から見れば上りで、上から見れば下り
つまり、有限なら、一つの階段に対して、どちらの見方もありうる
しかし、エンドレスの無限階段なら？ どちらか一つしかあり得ない。エンドレスだから、逆からの見方はできない。無限に上るか、無限に下るかしかないのです
3．日常語の感覚のまま、「無限降下列」を考えて、”どちらの見方もありうる”！ とハマル おサルがいます（＾＾；
つづく
821:現代数学の系譜 雑談
21/06/02 07:25:00.29 ZvVygx5z.net
>>748
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-founded relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
定義
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃y∈x,x�