21/05/28 17:14:40.36 uSGdl6YO.net
>>572
つづき
定理 6.2.1. [cf. 定理 2.47:[21]] X 上の二項関係 <R が整礎であることと, <R が X で無限降下列を持
たないことは同値である.
証明 ある無限降下列 x1 >R x2 >R x3 >R · · · が存在したとする. このとき, Y := {x1, x2, x3, . . .} は
(<R に関して) 最小元を持たない. よって <R は整礎ではない. 逆に <R は整礎ではないと仮定すると, 極
小元を持たず空でないある Y ⊆ X が存在する. 以下を繰り返すことで無限列が作れる.
・ Y は空でないのである元 a1 が存在する.
・ Y からある元 a1 をとると a1 は極小元ではないので, a2 <R a1 なる a2 が存在する.
・ Y からある元 a2 をとると a2 は極小元ではないので, a3 <R a2 なる a3 が存在する.
・ 一般に, Y からある元 ai をとると ai は極小元ではないので, ai+1 <R ai なる ai+1 が存在する.
□
・ 上述の証明のように, ある要素 ai に依存して次の要素 ai+1 を選ぶ操作を無限回繰り返すという証
明を受け入れてよいものかは疑問の余地がある. 実際, “従属選択公理 (axiom of dependent choices (DC))”
と呼ばれる公理を予め仮定することで, このような証明を許すという場面がある. (e.g.(1.1.2):[17], 2.4.7:[13], 2.1 節:[6])
・ (DC)は“選択公理(axiom of choice (AC))”よりも弱いことが知られている. (e.g. Theorem 5.26:[10],
P135:[9])
(引用終り)
以上