21/05/20 10:56:13.60 kKO60rMr.net
>>216 >>220 補足
(>>213 引用開始)
鉄道を無限に乗り続けてωに至ることはない
かならずどこかで飛行機に乗らないとωにいけない
ωから降りるときも同様
かならず最初に飛行機でどこかのｎに行かなければならない
ωから下にいく鉄道路線はない
(引用終り)
(>>220 引用開始)
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集積点
集積点（英: accumulation point）あるいは極限点（英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ
このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない
たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である
集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする
実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる
(引用終り)
簡単な例で補足説明するよ（＾＾
1．自然対数の底e は、超越数で、下記のように 「e=exp 1=Σn=0～∞ {1/n!}」という簡単な級数の表現を持つ
2．極限を使って書くと、lim n→∞ (Σn=0～n {1/n!})=exp 1=e である
3．いま、ノイマンの自然数構成を認めて、N＝ω（最小の極限順序数）としよう
4．集合Nは、全ての自然数を含む。つまりN={0,1,2・・n・・}であり、繰り返すが全ての自然数を含む
5．上記の集積点：「極限の概念を適切に一般化したもの」に倣って説明する
6．eは超越数だから、上記 (Σn=0～n{1/n!})は、有限で終わっては有理数にしかならない
つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、e= 2.718281828… なる超越数が得られる
7．小数列 2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182・・・と一桁ずつ伸ばして、コーシー列を考えることができる
これは、もちろん超越数eに収束するけれども、数学では あくまで有理数Qの範囲の定義だとしたい
つまり、小数桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。それが、コーシー列
8．そして、数学的定義として、このコーシー列が超越数eを定義していると考えて、eと同一視する
ここらの微妙な話があって
同じことは、無限小数 0.999・・・にも言えるのです
0.999・・・でコーシー列を作って、1と同一視すれば、0.999・・・＝1です
しかし 小数の桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。それが、コーシー列
ここらの機微が分かっていない人が、
何年も0.999・・・で議論しているのです（＾＾；
つづく
259:１３２人目の素数さん
21/05/20 10:56:56.77 kKO60rMr.net
>>237
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
指数関数
ネイピア数 e (= 2.718281828…) を底とする関数 x ↦ ex である。これを exp x のようにも書く。
厳密な定義
以下の冪級数
exp(x)=Σn=0～∞ {x^n/n!}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
で定義するのが典型的である[5]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ネイピア数
自然対数の底
微分積分学の基本的な関数を使った定義
e=exp 1=Σn=0～∞{1/n!}
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
例
順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。この順序数 ω は、自然数の最小上界に一致するものとして、最小の超限順序数でもある。ゆえに、ω は自然数全体の成す集合の順序型を表している。
(引用終り)
以上
260:１３２人目の素数さん
21/05/20 11:35:53.77 XKKTinQT.net
>>237
＞ここらの微妙な話があって
チャット君はいまだに理解できてないのねｗ
無限和は直接定義できません
したがって 無限数列の同値類という形で定義されます
しかし、そういう�
261:Aタマを使う話は、チャット君にはムリ いままで一度も考えたことないからねえ どうせ朝鮮学校ではケンカしかしてこなかったんだろ？ｗ
262:１３２人目の素数さん
21/05/20 11:38:42.35 XKKTinQT.net
>>237
＞順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、
＞有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。
これ完全な誤りね
順序数を定義しただけではωの存在は言えません
無限公理が必要ですｗ
263:１３２人目の素数さん
21/05/20 13:27:22.34 YWb1AsD2.net
>>237
>6．eは超越数だから、上記 (Σn=0～n{1/n!})は、有限で終わっては有理数にしかならない
> つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、e= 2.718281828… なる超越数が得られる
ωは自然数ではないからnはωに到達しません。
極限がまるで分かってない。大学一年四月で落ちこぼれた証拠。
>7．小数列 2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182・・・と一桁ずつ伸ばして、コーシー列を考えることができる
> これは、もちろん超越数eに収束するけれども、数学では あくまで有理数Qの範囲の定義だとしたい
いみふｗ
> つまり、小数桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。
微妙でもなんでもないｗ 何のための極限の厳密化かｗ 落ちこぼれのキミが分かってないだけｗ
>それが、コーシー列
いみふｗ
>8．そして、数学的定義として、このコーシー列が超越数eを定義していると考えて、eと同一視する
間違い。
実数と同一視するのは有理コーシー列ではなくその同値類。
で、同一視は何も数学者が話し合いで決めるもんじゃなく環同型だからなんだけど分かってる？ｗ
>ここらの微妙な話があって
どこらの？ｗ
>同じことは、無限小数 0.999・・・にも言えるのです
>0.999・・・でコーシー列を作って、1と同一視すれば、0.999・・・＝1です
>しかし 小数の桁数nは全ての自然数を尽くすことができるが、ωには未到達という微妙な存在。それが、コーシー列
ぱーちくりんｗ
>ここらの機微が分かっていない人が、
なんだよ機微ってｗ 文学じゃないんだからｗ
>何年も0.999・・・で議論しているのです（＾＾；
妄想ｗ
264:１３２人目の素数さん
21/05/20 13:47:33.12 kKO60rMr.net
突然ですが、メモ貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Peter A. Loeb
Peter Albert Loeb is a mathematician at the University of Illinois at Urbana–Champaign. He co-authored a basic reference text on nonstandard analysis (Hurd–Loeb 1985). Reviewer Perry Smith for MathSciNet wrote:
This book is a welcome addition to the literature on nonstandard analysis.[1]
The notion of Loeb measure named after him has become a standard tool in the field.[2]
In 2012 he became a fellow of the American Mathematical Society.[3]
See also
Influence of nonstandard analysis
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Influence of nonstandard analysis
The influence of Abraham Robinson's theory of nonstandard analysis has been felt in a number of fields.
Contents
1 Probability theory
2 Economics
3 Education
4 Authors of books on hyperreals
Probability theory
"Radically elementary probability theory" of Edward Nelson combines the discrete and the continuous theory through the infinitesimal approach. The model-theoretical approach of nonstandard analysis together with Loeb measure theory allows one to define Brownian motion as a hyperfinite random walk, obviating the need for cumbersome measure-theoretic developments. Jerome Keisler used this classical approach of nonstandard analysis to characterize general stochastic processes as hyperfinite ones.
265:１３２人目の素数さん
21/05/20 14:22:33.40 kKO60rMr.net
>>242
追加
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
Loeb，P.（英語表記）
世界大百科事典内のLoeb，P.の言及
【超準解析】より
…すなわち，集合上の測度として定義される確率は，超有限集合の元の個数をかぞえる組合せ的確率によって無限に近似される。とくにローブP.Loebの発明したメカニズムは，標準確率と超有限確率との間を自由に往復することを可能にした。現在，この方法によって確率論の再編成および新理論の建設が大きな成果をあげている。…
266:１３２人目の素数さん
21/05/20 17:25:04.02 kKO60rMr.net
>>237 補足
20世紀に。無限公理が必要とされたのは、他の公理から独立で、他の公理からは無限公理が導けないからだよ
だが、無限の概念自身は、古代ギリシャのアリストテレスも書いているよ
実際、デデキントはデデキント無限なる概念を考えて、無限集合を証明しようとしたが、ちょっと失敗もあったけどね
数理哲学では、無限は公理ではないよ
つまり、古代ギリシャ以降、多くの数学者たち、例えばリーマンなども無限公理の無い時代にリーマン球面に無限大の点を考えたよ
カントールも、無限公理など使わずに、無限集合論を作ったぜ ｗ（＾＾
本末転倒の理解をしているサルが居るｗｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
つづく
267:１３２人目の素数さん
21/05/20 17:26:10.82 kKO60rMr.net
>>243
つづき
（参考：Second-order の無限公理）
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Second-order and Higher-order Logic
First published Thu Aug 1, 2019 by Jouko Väänänen
1. Introduction
2. The Syntax of Second-Order Logic
3. The Semantics of Second-Order Logic
3.1 The Ehrenfeucht-Fraïssé game of second-order logic
4. Properties of Second-Order Formulas
5. The Infamous Power of Second-Order Logic
5.1 Putting distance between second- and first- order logic
5.2 The collapse of the Completeness Theorem
5.3 “Set theory in sheep’s clothing”
5.4 Does second-order logic depend on the Axiom of Choice?
6. Non-Absoluteness of Truth in Second-Order Logic
7. Model Theory of Second-Order Logic
7.1 Second-order characterizable structures
7.2 Second-order logic and large cardinals
7.3 The model theory of general and Henkin models
8. Decidability Results
9. Axioms of Second-Order Logic
9.1 General models and Henkin models
9.2 Axioms of infinity
10. Categoricity
11. Logics Between First and Second Order
12. Higher Order Logic vis-à-vis Type Theory
13. Foundations of Mathematics
14. Second-Order Arithmetic
15. Second-Order Set Theory
16. Finite Model Theory
9.2 Axioms of infinity
Some are equivalent if the Axiom of Choice is assumed. Let us call a second-order sentence
ϕ of the empty vocabulary an Axiom of Infinity if
A |-ϕ if and only if A is infinite.
An axiom of infinity can say in second-order logic that a proper subset of the domain has the same cardinality as the entire domain (i.e., that the domain is not Dedekind-finite), or that there is a partial order without a maximal element, or that there is a set with a unary function and a constant which constitute a structure isomorphic to (N,s,0), or that the domain is the union of two disjoint sets which
268:have the same cardinality as the domain, and so on. As is the case in set theory without the Axiom of Choice, the different formulations of infiniteness need not be equivalent. In second-order logic the situation is even more diffuse because of the variety of different formulations of the Axiom of Choice. We refer to Asser (1981) for a discussion of the different variants and to Hasenjaeger (1961) for a proof that the various non-equivalent forms of Axioms of Infinity form in a sense a dense set. For a survey of different concepts of finiteness, see de la Cruz (2002). (引用終り) 以上
269:現代数学の系譜 雑談
21/05/20 18:02:38.15 kKO60rMr.net
(>>213 引用開始)
鉄道を無限に乗り続けてωに至ることはない
かならずどこかで飛行機に乗らないとωにいけない
ωから降りるときも同様
かならず最初に飛行機でどこかのｎに行かなければならない
ωから下にいく鉄道路線はない
(引用終り)
なにを言いたいの？ｗ（＾＾
270:１３２人目の素数さん
21/05/20 18:13:39.19 kKO60rMr.net
突然ですが（＾＾；
下記「ラッセル氏の存在も注目を集める。2歳で元素記号を暗記し、小学生で自ら携帯電話をつくり、13歳で水リサイクルシステムの特許を取得した「神童」だ。米ペイパル共同創業者ピーター・ティール氏の薫陶を受け、17歳でルミナーを創業。特別買収目的会社（SPAC）を使って20年12月に上場し、25歳でビリオネアになった。」
が、凄まじいね
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
車の「目」価格100分の1 最新センサー、トヨタも採用 日経
2021年5月20日 2:00 [有料会員限定]
米スタートアップ、ルミナー・テクノロジーズも500～1000ドルの低価格ライダーを開発した。独自システムで250メートル先まで検知する一方、周囲の状況を数センチメートル単位で正確に把握できるなど精度も高い。反射率の低い道路上の黒い落下物や黒い服を着た人なども把握できるという。
独ダイムラー、スウェーデンのボルボ・カー、インテル傘下のモービルアイ（イスラエル）、トヨタ自動車の研究子会社が試験車などでルミナー製を採用した。
「自動運転は安全性が不可欠だ。100人のうち1人がぶつかっていいということはなく、限りなく事故ゼロの精度でないといけない」。ルミナーのオースティン・ラッセルCEOは日本経済新聞の取材に応じ、こう強調する。
同社はラッセル氏の存在も注目を集める。2歳で元素記号を暗記し、小学生で自ら携帯電話をつくり、13歳で水リサイクルシステムの特許を取得した「神童」だ。米ペイパル共同創業者ピーター・ティール氏の薫陶を受け、17歳でルミナーを創業。特別買収目的会社（SPAC）を使って20年12月に上場し、25歳でビリオネアになった。
米国では同社以外に、米エバなど5社以上のスタートアップ企業がSPACスキームを使いながら上場した。
(引用終り)
以上
271:１３２人目の素数さん
21/05/20 18:15:18.04 XKKTinQT.net
>>247
チャット君こそ何いいたいの？
無限回実行できるとかマジでいってる？
脳ミソ サナダムシに食われてる？ｗｗｗ
272:１３２人目の素数さん
21/05/20 18:16:38.31 XKKTinQT.net
>>247
チャット君はケンカしか能がない朝鮮ヤンキーなんだから
おとなしく祖国に帰って高射砲でバラバラにされなさいｗｗｗｗｗｗｗ
273:１３２人目の素数さん
21/05/20 18:17:23.75 XKKTinQT.net
ああ、そうそう
雑談＝チャット
だから チャット君ねｗ
274:１３２人目の素数さん
21/05/20 19:04:53.06 YWb1AsD2.net
>>246
救い様の無い馬鹿
275:現代数学の系譜 雑談
21/05/20 20:46:38.65 6qFMF4tQ.net
>>246
サルは、複素関数論やらんの？
リーマンが、リーマン球面（下記）を考えた
無限遠点は、地球儀で言えば、北極点に当たる
飛行機を使ってもいいけど、原子力潜水艦もありらしいよ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
北極点
1958年8月3日、アメリカの原子力潜水艦『ノーチラス号』が北極点を潜航したまま通過して北極海を横断。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン球面は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点
1/0 = ∞
は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。 19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。 これはまた、以下の通りにも呼ばれる。
複素射影直線と言い、CP1 と書く。
拡張複素平面と言い、C＾ または C ∪ {∞} と書く。
純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。
目次
1 拡張複素数
2 複素多様体としてのリーマン球面
3 複素射影直線としてのリーマン球面
4 球面としてのリーマン球面
7 応用
複素射影直線としてのリーマン球面
リーマン球面は、複素射影直線としても定義することができる。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
複素数 A をリーマン球面上の一点 α に写す立体射影
応用
リーマン球面は物理学で多くの応用を有する。 量子力学において、複素射影直線上の点は、光子の偏光状態、スピン 1/2 の有質量粒子のスピン状態、および一般に 2 状態の粒子の自然な値を示す。 リーマン球面は、天球の相対論的モデルに使用することも推奨されてきた。 弦理論 では、弦の世界面 (worldsheet) はリーマン球面であり、最も単純なリーマン面としてのリーマン球面は重要な役割を演じる。 これは、ツイスター理論においても重要である。
276:１３２人目の素数さん
21/05/20 22:22:28.23 YWb1AsD2.net
>>252
無限遠点が何だと？
バカ丸出し
277:１３２人目の素数さん
21/05/20 22:23:45.67 YWb1AsD2.net
無限遠点を考えればωが後続順序数になるとでも？
だからおまえはサルと云われる
278:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 00:00:25.23 21czZX5k.net
>>252
無限集合は出来たけど
無限操作は不可だと？
じゃ、どうやって無限の箱に数を入れるのかな？（＾＾
時枝先生に言ってやれ！ 「無限操作は不可」だと。時枝先生に喜ばれるぞｗｗ
(>>238より)指数関数 e^x=exp(x)=Σn=0～∞ {x^n/n!}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
この無限級数が最後まで実行出来なければ、exp(x)は完成しないし、e=exp(1)は超越数にならんぜよｗ
公理主義で、不足する公理は追加してでも、ZFCで数学が遂行できるようにする・・、してきたんだよ！
分かってないサルどもだなｗ
なお、北極点は「犬ぞりを使用」で可らしい
飛行機いらないぜｗ
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
公理主義
精選版 日本国
279:語大辞典「公理主義」の解説 ?名? すべての理論は、基礎となる公理群を出発点とし、厳密な推論によって打ち立てられなければならないという主張。一九世紀末、ドイツの数学者ヒルベルトによって提唱され、実践された。現代の数学はこの立場に立って推進されている。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%97%E6%A5%B5%E7%82%B9 北極点 ・1978年4月26日、日本大学山岳部が日本人初の北極点到達。犬ぞりを使用。 ・ 同年4月29日、日本の冒険家・植村直己が世界初の単独行で北極点到達。犬ぞりを使用。 ・1989年5月10日、日本の女優・和泉雅子が北極点到達（日本人女性初。女性として世界で2人目。）。スノーモービルで“そり”を曳いた。 (引用終り) 以上
280:１３２人目の素数さん
21/05/21 00:32:48.34 /m1DW3z3.net
>>255
>無限集合は出来たけど
>無限操作は不可だと？
誰と会話してんだ？ｗ
>じゃ、どうやって無限の箱に数を入れるのかな？（＾＾
え？？？
数列が存在しないと？
>時枝先生に言ってやれ！ 「無限操作は不可」だと。時枝先生に喜ばれるぞｗｗ
だから誰と会話してんだよｗ 大丈夫か？ｗ
>(>>238より)指数関数 e^x=exp(x)=Σn=0～∞ {x^n/n!}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
>この無限級数が最後まで実行出来なければ、exp(x)は完成しないし、e=exp(1)は超越数にならんぜよｗ
はい、素人丸出しな初歩的間違いｗ
無限級数は無限項の和じゃありませんｗ
落ちこぼれにも程があるだろｗ
>公理主義で、不足する公理は追加してでも、ZFCで数学が遂行できるようにする・・、してきたんだよ！
いみふｗ
>分かってないサルどもだなｗ
自白ですか？ｗ
>なお、北極点は「犬ぞりを使用」で可らしい
>飛行機いらないぜｗ
やっぱり>>254なんだｗ サル丸出しｗ
281:１３２人目の素数さん
21/05/21 00:40:43.74 /m1DW3z3.net
じゃあ無限遠点を使ってωが後続順序数であることを証明してごらんｗ
そしてsuc(x)＝ωの解を答えてねｗ
まあ無理だと思うけどｗ 妄想ザルが吠えてるだけだからｗ
282:１３２人目の素数さん
21/05/21 00:42:59.22 /m1DW3z3.net
吠えるだけならサルにもできるｗ
落ちこぼれクンはただ吠えるだけ、質問には決して答えないｗ
283:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 07:32:30.54 21czZX5k.net
>>255 追加
サルと会話？ そんな気はない
サルは放し飼い
無限操作は不可だと言った
時枝の無限数列存在するんだろ？
s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N(下記)
1,2,3,・・・ と自然数の全てを尽くすんだよ
無限操作は不可だと
可能でしょ？ サルはダブルスタンダードが平気ですｗ
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:2番)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
(引用終り)
リーマン球面
複素関数
ｙ＝1/ｚを取る
逆関数
ｚ＝1/ｙ
ｚに自然数ｎを入れる
時枝同様に、1,2,3,・・・ と自然数の全てを尽くす
ｙは、その極限として0になる
lim z→∞ 1/ｚ＝0
逆関数
ｚ＝1/ｙ で
ｙ＝0に相当するのが
リーマン球面のP（∞）の点
即ち
ｚ＝∞
ｙは自然数で、ｚはその逆数だったから
この場合、ｚ＝∞＝ωだよ
詳しくは、
>>252 リーマン球面 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ご参照 （”1/0 = ∞” など）
284:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 07:38:26.98 21czZX5k.net
>>259
>>259 追加
一流数学者は、必要なら何でも導入するよ
サルには理解できないだろうが
例えば、下記 強到達不能基数やグロタンディーク宇宙
21世紀で、ZFCに止まっている一流数学者は、いないだろうね
サルには理解できないだろうが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
到達不能基数
(抜粋)
非可算基数 k が弱到達不能基数であるとは、それが正則な極限基数（英語版）であることを言い、強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、k 未満の任意の基数 λ に対し、 2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]。
“到達不能基数”という用語は曖昧である。1950年頃までは弱到達不能基数を指していたが、以後は普通は強到達不能基数を意味するからである。
定義より、強到達不能基数は同時に弱到達不能基数でもある。一般連続体仮説が成り立つ場合は、強到達不能基数であることの必要
285:十分条件は弱到達不能であることになる。 α_0 は正則な強極限基数である。選択公理を仮定すると、他の全ての無限基数は正則かまたは（弱）極限である。しかしながら、その両方になれるもの、即ち弱到達不能基数は中でも大きいものに限られる。 順序数が弱到達不能基数であるための必要十分条件は、それが正則順序数であり、かつ、正則順序数の列の極限であることである（0,1,α_0)は正則順序数だが正則順序数の列の極限ではない）。強極限かつ弱到達不能な基数は強到達不能である。 強到達不能基数の存在は、グロタンディーク宇宙が存在するという形で仮定される場合がある。この両者の間には深い繋がりがある。 モデルと無矛盾性 ZFCの下では、k が強到達不能であるときVk がZFCのモデルになる。 ZFの下では、k が弱到達不能であるときゲーデル宇宙のLk がZFCのモデルになる。 よって、ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。 つまり、到達不能基数は巨大基数の一種である。 (引用終り) 以上
286:１３２人目の素数さん
21/05/21 08:18:12.22 /m1DW3z3.net
>>259
>サルは放し飼い
キミのような害獣は野放しにしないよｗ
>ｚ＝1/ｙ で
>ｙ＝0に相当するのが
0で割ることはできないって小学校で習わなかったの？
>この場合、ｚ＝∞＝ωだよ
だから何？
ωは後続順序数とでも言いたいの？
じゃあ早く証明して下さいね
無理だと思いますけどｗ 偽だからｗ
287:１３２人目の素数さん
21/05/21 08:21:24.87 /m1DW3z3.net
>>260
>21世紀で、ZFCに止まっている一流数学者は、いないだろうね
εδ論法も線型写像も分からない落ちこぼれに21世紀の数学を語られてもねえｗ
288:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 10:49:46.32 3mEsqhi1.net
>>259 補足
(引用開始)
詳しくは、
>>252 リーマン球面 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ご参照 （”1/0 = ∞” など）
(引用終り)
ここの
”1/0 = ∞”
は、演算としての1/0 ではなく
幾何学的な（あるいは位相空間の）点としての 無限遠点 1/0 = ∞ の意味だよ
サルには難しいかもな
289:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 10:52:57.48 3mEsqhi1.net
サルのεδ論法は、まったく記号としての丸暗記そのもので
その意味が全く理解できていないのです
地頭のわるいサルですｗ
丸暗記で、数学科を乗り切ったらしい（＾＾；
290:１３２人目の素数さん
21/05/21 11:00:48.48 /m1DW3z3.net
>>263
>幾何学的な（あるいは位相空間の）点としての 無限遠点 1/0 = ∞ の意味だよ
>複素関数
>ｙ＝1/ｚを取る
の定義域、値域を述べよ
関数とは何か分かってないんだろうｗ
>>264
このサル今日も妄想全開ｗ
291:１３２人目の素数さん
21/05/21 11:17:15.02 3mEsqhi1.net
>>179
戻る
(引用開始)
>>177
>選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在するだって？0点で落第ですｗ
”最小の正実数が存在する”は、可能じゃない？（＾＾
下記の”Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.”
が許されるなら。かつ、整列可能定理を認めるならば
「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」でしょ？
(引用終り)
答を書いておく
１．任意のある実数 r∈R を取って、残りはR’＝R＼r (注：Rからrを取り除いた集合)とする
２．R’を整列可能定理で整列させる
３．rを最小と定義し、それより大きい整列集合として、R’の整列集合をつなぐ
４．こうすれば、「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」
QED
簡単でしょ？（＾＾；
これを拡張して、R中のお好みの整列部分集合Sを先に取り出して、残り R＼Sを整列させることで
R中のお好みの整列部分集合Sと、残りのR＼Sを整列させた整列集合とをつないだ 整列集合が構成可能
トリビアだが面白いでしょ
この程度の頭の体操ができないようじゃ
地頭悪いよね、サル二匹（＾＾；
292:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 11:49:11.66 3mEsqhi1.net
>>263 追加
サルは、複素関数論を知らない
下記の「リーマン面の登場」川崎真澄先生が分かりやすくて、面白いね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
海城
数学科
複素数の世界
2012年度数学科夏期リレー講座（2012/8/20～8/25）
・初日 複素数とはこんなもの 宮﨑篤
・２日目 三角比と三角関数 北村亮太
・３日目 複素数の極形式・ド・モアブルの定理 小林慶祐
・４日目 複素平面 平山裕之
・５日目 リーマン面の登場 川崎真澄
・６日目 オイラーの公式・代数学の基本定理 小澤嘉康
・全日 授業レポートと担当者および受講者の声
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
2012 年度・夏期リレー講座・5 日目
リーマン面の登場 川崎真澄
(抜粋)
P13
実は困ったことが生じ
ています．
そう，それは，これらのリーマン面を 3 次元空間で実現することはできない（○○○
同士と×××同士を接着するのは無理！）のです．
できれば 3 次元空間
において「実現」したい．そしてそれを「見てみたい」と思うのが人情なのではないでしょうか．
果たしてこの願望は叶えられるのでしょうか．次項で探ってみることにしましょう．
§5．リーマン面を曲面として捉える
ここで，北極Ｎに対応する仮想（空想上）の点を｛∞｝とすれば，
ＳＣＵ｛∞｝
とできます（複素数平面のコンパクト化といいます）．
これにより，2 枚の複素数平面で考えていたリーマン面を，2 つの球面で考えてみようと
いうわけです．
「なんだ！空想であることにかわりはないじゃないか！！」
との声が聞こえてきそうですが，空想に変わりはありませんが，こちらはこの仮想の点を
設定することで，“目に見える”形で次のようにリーマン面を“実現”できるのです．
同様にして，様々なコンパクト化されたリーマン面を考えることができます．いくつかの
例を挙げておきます．
(引用終り)
以上
293:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 12:08:01.60 3mEsqhi1.net
>>259
訂正
ｙは自然数で、ｚはその逆数だったから
↓
ｚは自然数で、ｙはその逆数だったから
だな
逆に書いていた（＾＾；
294:１３２人目の素数さん
21/05/21 14:28:20.52 3mEsqhi1.net
>>267 追加
下記 Riemann surface、g(z) = 1 / z、 ”called the Riemann sphere ”
だってよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann surface
Examples
・Let S = C ∪ {∞} and let f(z) = z where z is in S \ {∞} and g(z) = 1 / z where z is in S \ {0} and 1/∞ is defined to be 0. Then f and g are charts, they are compatible, and { f, g } is an atlas for S, making S into a Riemann surface. This particular surface is called the Riemann sphere because it can be interpreted as wrapping the complex plane around the sphere. Unlike the complex plane, it is compact.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン面
複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。 リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。 各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、大域的位相は大きく異なり得る。例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。
リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。 今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている[1][2]。
全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、正則関数を一義的に
295:定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。 リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。 (引用終り) 以上
296:１３２人目の素数さん
21/05/21 16:48:51.36 /m1DW3z3.net
>>266
>１．任意のある実数 r∈R を取って、残りはR’＝R＼r (注：Rからrを取り除いた集合)とする
>２．R’を整列可能定理で整列させる
おまえの主張「ωの∈無限降下列 ω∋・・・∋1∋0 が存在する。」の∈に対応する順序関係は通常の大小関係。
一方整列可能定理は通常の大小関係で整列集合にできると謳ってないｗ
よって無意味ｗ
>３．rを最小と定義し、それより大きい整列集合として、R’の整列集合をつなぐ
ダメ。
2.のR'の整列順序をRに適用したときにrがRの最小元でなければならない。
おまえのは上記整列順序と無関係にrを最小と定義しているためそうなってない。
馬鹿過ぎｗ
>４．こうすれば、「任意のある実数 r∈R を取って、rを最小とする実数Rの整列順序が可能」
大間違い。
>QED
何の証明にもなってない。
>簡単でしょ？（＾＾；
はい、簡単に間違いと分りますｗ
297:１３２人目の素数さん
21/05/21 16:52:51.76 /m1DW3z3.net
>>266
>これを拡張して、R中のお好みの整列部分集合Sを先に取り出して、残り R＼Sを整列させることで
>R中のお好みの整列部分集合Sと、残りのR＼Sを整列させた整列集合とをつないだ 整列集合が構成可能
妄想ｗ
>トリビアだが面白いでしょ
つまらん初歩的間違い
>この程度の頭の体操ができないようじゃ
>地頭悪いよね、サル二匹（＾＾；
こんなのが間違いと即座に分らないようではこのサル地頭悪いにも程がある
298:１３２人目の素数さん
21/05/21 19:30:34.87 /m1DW3z3.net
実際サルは>>187の質問から逃げた。
トンデモの共通点 持論を語るに多弁だが、急所を突く質問には沈黙ｗ
299:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 20:55:06.17 21czZX5k.net
>>266 補足
順序には、いろんな流儀がある
下記、整数Zで「0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...」とすれば、整列にできる
あるいは「例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる 要は,. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.」
あるいは、「例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合になる. 」って
（>>161）
URLﾘﾝｸ(paiotunoowari.hatenadiary.jp)
整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記
ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です.
(抜粋)
Nは普通の大小関係で整列集合になってます.
Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<-1<1<-2<2<...<-n<n<...と並べ直したら整列集合になってます.
こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします.
(引用終り)
（>>163-164）
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第13章 整列集合 : 2018/6/21 東北大 尾畑研
例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序
集合 (N, ≦') が得られる要は,
. . . 4 3 2 1
のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N
が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない.
例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に
なる.
(引用終り)
以上
300:１３２人目の素数さん
21/05/21 21:05:47.66 /m1DW3z3.net
>>273
>例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
>え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
>に関して自然数を書き並べれば,
>1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
>のような配列が得られる.
得られません。
得られると言うなら2の前者を答えて下さい。
301:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 23:29:41.60 21czZX5k.net
あらら、サルが東北大 尾畑研の資料を否定するかね
勿論、数学だから、それもありだけど
よく考えた方が良いと思うぞ
302:現代数学の系譜 雑談
21/05/21 23:54:30.30 21czZX5k.net
>>273 補足
（>>163-164）
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第13章 整列集合 : 2018/6/21 東北大 尾畑研
13.1 整列集合
順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう.
例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考
え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序
に関して自然数を書き並べれば,
1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2)
のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合になる.
(引用終り)
この例 13.4 に倣って、実数Rを集合AとBに分ける
R＝A∪B、A∩B＝Φ（空集合、つまり重なり無し）とする
集合AとB、それぞれに整列可能定理を適用して、二つの順序列を得る
書き並べれば,
a1,a2,a3・・・b1,b2,b3・・・
のような配列が得られる.
上記同様に、集合A同士, 集合B同士ではそれぞれの順序を考え,
集合Aと集合Bでは、集合Aの方が小さいとする順序関係 ≦’ を導入したことに相当する
これで、「空でない部分集合が、必ず最小元をもつ」を満たせる
さて、>>266の話は、上記の系として
集合Aを1点 r∈Rとしたり
あるいは、
集合Aを”R中のお好みの整列部分集合S”と置いたことに相当する
トリビアだが面白いでしょ（＾＾；
以上
303:１３２人目の素数さん
21/05/22 00:23:31.34 Mf0eNrWh.net
>>275
なになに大学とかなになに研とかどーでもいーから、早く２の前者を答えて下さいね
コピペしただけ？コピペしたのはあなたですよね？他者に責任を擦り付けないで下さいね
304:１３２人目の素数さん
21/05/22 00:26:01.97 Mf0eNrWh.net
>>275
>よく考えた方が良いと思うぞ
よく考えて２の前者を答えて下さいね
配列が得られるんでしょ？なら２の前者が定まってるんですよね？
305:１３２人目の素数さん
21/05/22 00:28:37.00 Mf0eNrWh.net
>>276
>この例 13.4 に倣って、実数Rを集合AとBに分ける
倣うならまず２の前者を答えないとｗ
答えられないなら倣っちゃダメだろｗ
なにすっとぼけてんだかｗ
306:１３２人目の素数さん
21/05/22 00:28:53.85 Mf0eNrWh.net
コピペサルに数学は無理なので諦めましょうね
307:１３２人目の素数さん
21/05/22 00:32:13.88 Mf0eNrWh.net
>>276
>書き並べれば,
>a1,a2,a3・・・b1,b2,b3・・・
>のような配列が得られる.
じゃあ0の次の実数を答えて下さい。
配列が得られるんですよね？なら0の次も定まってるんですよね？
308:１３２人目の素数さん
21/05/22 00:57:16.65 Mf0eNrWh.net
まーた法則発動ですかあー？
トンデモの共通点 持論を語るに多弁だが、急所を突く質問には沈黙ｗ
309:１３２人目の素数さん
21/05/22 01:53:41.11 Mf0eNrWh.net
>>276
>トリビアだが面白いでしょ（＾＾；
つまらん初歩的間違い
310:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 07:56:45.31 C9f8fwMK.net
>>276 訂正
順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
↓
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
文字化けしている
原文を見れば分かる話だが
なお、≦は本当は、ちょっと違う順序記号なのです
この板では、数学記号の多くが文字化けするのです（＾＾；
だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
それでは、無限列車編が理解できないぞ、てへ ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
『劇場版「鬼滅の刃」無限列車編』（げきじょうばん きめつのやいば むげんれっしゃへん）は、2020年に公開された日本の長編アニメーション映画。現在、日本歴代興行収入第1位[1]。2020年の年間興行収入世界第1位[2]。
311:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 08:02:13.05 C9f8fwMK.net
>>284 補足
>だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
無限列が理解できていないってことは
コーシー列も理解できていないし
時枝（不成立 >>255）も理解できないだろうね
それで、数学科修士卒を自慢するんだ（＾＾
すごいね
まあ、5ｃｈではなんでもありだよねｗ（＾＾；
312:１３２人目の素数さん
21/05/22 08:03:57.24 Mf0eNrWh.net
>>284
>だけど、サルは無限列が理解できていないぞ
はい、その通り。
理解できてるなら２の前者から逃げ続ける必要無いですからね。
313:１３２人目の素数さん
21/05/22 08:12:23.98 Mf0eNrWh.net
>>285
>無限列が理解できていないってことは
>コーシー列も理解できていないし
>時枝（不成立 >>255）も理解できないだろうね
はい、時枝理解できてないですね。
無限列にも最後の項があると妄想してる間は理解できないでしょう。
>まあ、5ｃｈではなんでもありだよねｗ（＾＾；
ですね。
大学一年4月で落ちこぼれた落ちこぼれが数学語っちゃうん
314:ですから。
315:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 08:43:09.59 C9f8fwMK.net
>>276
追加参考
URLﾘﾝｸ(www.aoni.waseda.jp)
小島 定吉（こじまさだよし）
URLﾘﾝｸ(www.aoni.waseda.jp)
最終訂正日 4/26/2018
過去の担当講義
URLﾘﾝｸ(www.aoni.waseda.jp)
最終訂正日 7/23/09
集合と位相第一
講義担当者
教授 : 小島 定吉
講義ノート
1.1 PDF
1.2 PDF
1.3 PDF
1.4 PDF（← これ）
2.1 PDF
URLﾘﾝｸ(www.aoni.waseda.jp)
1.4 整列集合とツォルンの補題 小島 定吉 2009 早稲田
1.4.3 ツォルンの補題
4. 定理 1.10（ツェルメロの整列定理）：X を任意の集合とするとき，その上にある順
序 ≦ を定義して (X, ≦) が整列集合になるようにすることができる．
5. 証明：X の部分集合 A と，その上の整列順序 o の対の全体のなす集合
O = {(A, o) ; A ⊂ X, (A, o) は整列集合 }
(A, o),(B, p) ∈ O に対し，前者が後者の切片であるとき
(A, o) < (B, p)
により順序を定める．任意の全順序部分集合 S ⊂ O に対して
(So, po) = ∪(S,p)∈S(S, p)
とおけば，(So, po) ∈ O かつ (So.po) = sup S となる．したがってツォルンの補題か
らある極大元 (Ao, oo) が存在する．
あとは Ao = X を示せばよい．x ∈ X - Ao に対して
A?o = Ao ∪ {x}, 任意の a ∈ Aoに対し a < x
とすると，(A?o, ?o) は整列集合で (Ao, o) < (A?o, ?o)．これは矛盾．
6. 定理 1.11：整列定理を仮定すると選択公理が成立する．
7. 証明：{Aλ}λ∈Λ を Λ によって添え字付けられた集合族で，すべての λ に対して
Aλ ≠ Φ であるとする．
X =∪λ∈ΛAλ
とおくと，すべて λ に対して Aλ ⊂ X．そこで X に一つ整列順序を指定し，
aλ =min Aλ とおけば，(aλ)λ∈Λ は
?λ∈Λ Aλ の元．
(引用終り)
以上
316:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 09:30:45.35 C9f8fwMK.net
>>288
追加 （上記もそうだが、数学記号がしばしば文字化けする。適当に改変しているが、しきれてない場合が多い。原文を見るのが一番です（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
Akito Tsuboi's Home Page
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
大学院（数学専攻）関連
講義ノート12年版（１学期）←これ
講義ノート12年版（２学期）
講義ノート12年版（３学期）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)(12).pdf
数理論理学Ｉ
Mathematical Logic I
12 年 講義ノート（１学期）
1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．
注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．
注意 5
1. 整列順序集合と整列順序集合の和は再び整列順序集合とな
る．このことから順序数と順序数の和が定義される．
2. 1 + ω は 1 個の点の後ろに自然数のなす順序集合を並べた順序の順
序型．よってそれは順序型としては ω になる．1 + ω = ω.
3. ω + 1 は自然数の後に１点（無限遠点）を付け足した順序の順序型．
これは ω と異なる．
4. 順序数の和は非可換であるが，結合律は成立する．
つづく
317:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 09:31:17.13 C9f8fwMK.net
>>289
つづき
1.2 濃度と基数
A を集合とする．このとき整列可能性定理により，適当な順序 < を A
上に定義することにより，A = (A, <) を整列順序集合とできる．このこ
とを別の角度で見ると，ある順序数 α によって
A = {ai: i < α}
と番号付けられることを意味している．A = {ai: i < α} とできる順序数
α の中で最小のものが存在する．これを A の濃度といい |A| で表す．ある
集合の濃度となる順序数（|A| の形の順序数）を基数という．基数は集合
の大きさを測る指標となる．基数は κ, λ などで表す．
定義 8 κ と λ を基数とする．A, B を κ = |A|, λ = |B|, A ∩ B = Φ なる
集合とする．このとき，
1. κ + λ = |A ∪ B|,
2. κ ・ λ = |A × B|
で基数の和と積を定義する．
注意 11
1. 上の定義は A, B の取り方に依存しない．
2. 有限の順序数（自然数）は基数であり，これらの間の和と積は自然
数の和と積に一致する．
3. 順序数の和と基数の和は異なる．例えば基数の和として，1 + ω =ω + 1 = ω である．
4. κ, λ のいずれか一方が無限のとき，κ + λ = κ ・ λ = max{κ, λ}.
(引用終り)
以上
318:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 09:46:30.99 C9f8fwMK.net
>>289
(引用開始)
1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．
注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．
(引用終り)
＜補足＞
サルは勘違いしているらしいが
「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
が先にあって、まず、ここを理解しないと（＾＾
で、「注意 2
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．」
が出るのです
無限上昇列があっても、
それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
の二つの条件を満たせば、
それは”整列 (well-ordered) ”なのです（＾＾；
以上
319:１３２人目の素数さん
21/05/22 09:49:48.57 hzsDhSSu.net
>>252
チャット君 🐎🦌の一つ覚えのリーマン球面ｗｗｗ
実数論もわからん🐎🦌のチャット君に
複素関数論が理解できるわけないだろｗｗｗ
320:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 09:51:31.49 C9f8fwMK.net
>>291 補足
「それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”」
（補足）
”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
ことから
「全順序」を示せる
（どっかに書いてあって、過去レスで引用している）
なので、「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；
321:１３２人目の素数さん
21/05/22 09:51:51.02 Mf0eNrWh.net
>>291
>サルは勘違いしているらしいが
>「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
>が先にあって、まず、ここを理解しないと（＾＾
>で、「注意 2
>2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
>(a) X が全順序集合である．
>(b) X は無限下降列を持たない．」
>が出るのです
>無限上昇列があっても、
>それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
>の二つの条件を満たせば、
>それは”整列 (well-ordered) ”なのです（＾＾；
サルはいったい誰と会話してるの？ｗ
妄想障害？
322:１３２人目の素数さん
21/05/22 09:52:46.84 Mf0eNrWh.net
>>291
サルは質問に答えられず発狂してるの？
妄想が酷いよ？
323:１３２人目の素数さん
21/05/22 09:55:55.69 hzsDhSSu.net
>>291
チャット君こそ勘違いしてるが
「無限上昇列」があっても、その列のどの要素も
有限回の降下で最小元に行きつくなら
無限下降列を持ちえない
ついでにいうと
「定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，
任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．」
の「最小元」はNでいうところの０のことだと思ってるなら大誤解
Ｎのどんな部分集合も最小元を持つ、という意味
たとえばＮの２より大きな部分集合なら最小元は３だ
ＱやＲで同じことやったら確実に失敗する
２より大きな部分集合に最小元はないからなｗ
ついでにいうと、Ｎでも、Ｎ∪{ω｝でも
＜を＞にひっくり返した場合、整列集合でなくなる
０＞１＞２＞・・・ は無限降下列になるから
324:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 09:56:57.82 C9f8fwMK.net
>>291 >>293 追加
ここの理解がおぼつかないようじゃ
時枝記事（>>255）の理解もおぼつかない
飛行機に乗って、北極点へ行けｗｗ（＾＾；
325:１３２人目の素数さん
21/05/22 09:59:38.77 hzsDhSSu.net
>>293
＞”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
＞ことから「全順序」を示せる
示せねぇよ、🐎🦌ｗｗｗ
整礎関係
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、
X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう。」
「全順序でない」整礎関係の例ｗｗｗｗｗｗｗ
・正整数全体 {1, 2, 3, ...} に a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b] となる順序を入れたもの。
・固定された文字集合上の
326:有限文字列全体に s < t ⇔ s は t の真の部分文字列である、で定まる順序。 ・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。 ・固定された文字集合上の正規表現全体の成す集合に、s < t ⇔ s は t の真の部分表現であるとして定義される関係。 ・集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。 ・任意の有限有向非輪状グラフのノード全体の、a R b ⇔ a から b へいく辺があるとして定義される関係。
327:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:03:18.43 hzsDhSSu.net
>>297
整礎関係と整列順序がおぼつかない🐎🦌は
チャット、貴様だよキ・サ・マｗｗｗｗｗｗｗ
全順序と整礎関係は、全然独立
そして
全順序 かつ 整礎関係 であるとき
そのときに限り 整列順序 という
覚えとけ！！！ 🐎🦌チャットｗｗｗｗｗｗｗ
328:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:06:23.92 Mf0eNrWh.net
サルが逃げ続けてる問いのレス番号
41
62
64
69
78
114
191
223
257
274
281
こりゃ酷いね。よく数学板に居られるね。恥ずかしくないのかな？サルだから恥の概念が無いのか。
329:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:07:28.53 hzsDhSSu.net
＞正整数全体 {1, 2, 3, ...} に
＞a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b]
＞となる（半）順序を入れたもの。
上記の半順序で
１２＞６＞３＞１
１２＞４＞２＞１
一方 ６は４で割り切れず ４も６で割り切れないから
上記の半順序では６＞４でも４＞６でもない！
つまり、全順序ではない！！！
♪負けた 負けた また負けた
お🐎🦌のチャットが また負けた
330:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:09:41.63 hzsDhSSu.net
>>293
＞「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；
>>298 >>301で 小学生にもわかる例でロンパ―スしましたが、なにか？ｗ
331:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:11:12.82 Mf0eNrWh.net
結局サルはコミュニケーションができないんだな
こちらの問いを無視し続け一方的に独善主張するだけのオナニーマシン
一度オナニーを覚えると死ぬまでやめられないサルｗ
332:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:12:09.05 hzsDhSSu.net
チャット君は、ホントに変態数学の宝庫だなｗｗｗｗｗｗｗ
次から次へと初歩的な誤りをやらかしてくれるｗｗｗｗｗｗｗ
大阪大学卒の秀才じゃなく大阪朝鮮学校卒のヤンキーだからしゃあないな
さっさと鶴橋の焼肉屋「高麗」は閉めて、ピョンヤンに帰れ
333:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:14:51.58 hzsDhSSu.net
>>303
そもそも我々 列島人は半島人と同じコミューンに属してないからなｗ
334:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:24:59.71 Mf0eNrWh.net
>>298 >>301
サルの妄想と違い具体例を示す、流石です。
具体例を出されたらサルまた発狂して妄想連発するでしょうね
335:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 10:32:02.68 C9f8fwMK.net
>>291 補足の補足
(引用開始)
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．
注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
2. 順序集合 X が整列なることは次の条件 (a)+(b) と同値：
(a) X が全順序集合である．
(b) X は無限下降列を持たない．
(引用終り)
坪井先生も、「無限下降列」の定義をしていない。定義が面倒なんだろうねｗ（＾＾
下記の長澤まさみ「虫コナーズ」風に言えば
「この世界には、真の”無限下降列”と真の”無限下降列”やない”無限下降列”的なもんがあんねん」ｗ
さていま、全順序の無限列Xがあるとする
Xの任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つとき
それは、真の”無限下降列”やない”無限下降列”的なもんですやんｗ
Xの任意の空でない A ⊂ X で、最小元を持たないAが存在するときこそ
真の”無限下降列”なんですよｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(xtrend.nikkei.com)
売れる！CMキャラクター探偵団 第28回
長澤まさみの関西弁は、CMを邪魔者にしないKINCHOの決意
2020年07月10日 読了時間：5分
北川 聖恵 ライター
URLﾘﾝｸ(cdn-xtrend.nikkei.com)
部屋の窓につり下げられた「虫コナーズ」を見上げながらおもむろに、「この世界には、虫コナーズと虫コナーズやない虫コナーズ的なもんがあんねん」と弟（仲野太賀）に関西弁で話しかける、蚊取り線香のような色のワンピースを着た長澤まさみ。
「浜田さんのお宅はずーっと虫コナーズ的なもんをぶらさげてた」と続ける長澤に、「ふーん」と先を促す弟。「でも今年初めて虫コナーズをぶら下げた」と語気を荒らげる長澤。「ほう！」と弟が応えれば、少し間を置き、「勝った……」と長澤は満足げな表情を見せる。思わず「何に？」と弟。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
(1分) 長澤まさみ キンチョー 虫コナーズ 「初めてぶらさげた人」篇 & 「無防備」篇 TVCM
57,633 回視聴?2020/05/22 taku iwai チャンネル登録者数 631人
(引用終り)
以上
336:１３２人目の素数さん
21/05/22 10:37:34.12 Mf0eNrWh.net
サルは「すべての」をナイーブに使い過ぎ。実はサルの根本的誤解がこの言葉遣いに表れている。
数学書を読めば分かるが、ほぼ「任意の」が使われている。
この二つの違いが分るか？サルには無理だろうな。だってサルだもの。（みつを）
337:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 10:52:52.17 C9f8fwMK.net
>>293
(引用開始)
「それが全順序、かつ”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”」
（補足）
”任意の空でない A ⊂ X が最小元を持つ”
ことから
「全順序」を示せる
（どっかに書いてあって、過去レスで引用している）
なので、「全順序、かつ」は本当はいらないのです（＾＾；
(引用終り)
バカな おサルが騒いでいるな
証明は下記な（＾＾
院試答案なら意識しようね
一言書いてもいい。「整列順序集合 X は全順序集合である」とか
（>>163より）
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
13.1 整列集合
順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる.
これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる.
(引用終り)
ご丁寧に証明を付けてある（多分学部用だから）（＾＾
一方、坪井先生
(>>289より)
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
Akito Tsuboi's Home Page
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
大学院（数学専攻）関連
講義ノート12年版（１学期）←これ
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)(12).pdf
数理論理学Ｉ
Mathematical Logic I
12 年 講義ノート（１学期）
1 基礎知識
1.1 順序数
定義 1 順序集合 X = (X, <) が整列 (well-ordered) であるとは，任意の
空でない A ⊂ X が最小元を持つことである．
注意 2
1. 整列順序集合 X は全順序集合である．
(引用終り)
と、一言のご注意で済ませている。大学院だからか
以上
338:１３２人目の素数さん
21/05/22 11:13:23.12 hzsDhSSu.net
>>307 >>309
チャット君
順序集合の定義知らずに
漫然とコピペしても
🐎🦌になるだけだよｗｗｗ
339:１３２人目の素数さん
21/05/22 13:15:49.80 hzsDhSSu.net
チャットは●ねばいいのに
生きてても意味ないだろ
340:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 15:01:52.25 C9f8fwMK.net
>>309 補足
下記ja.wikipedia 冒頭の「二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである」
が良くない
en.wikipediaでは”a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related
341:by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.” と、”has a minimal element”を主に書いてある。これが正解だね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。 定義 集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。） つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば ∀ S⊆ X (S≠Φ → ∃ m∈ S ∀ s∈ S(s,m)not∈ R). X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。 順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。 つづく
342:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 15:02:13.59 C9f8fwMK.net
>>312
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-founded relation
"Noetherian induction" redirects here. For the use in topology, see Noetherian topological space.
Binary relations
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀S⊆ X)[S≠ Φ ⇒ (∃ m∈ S)(∀ s∈ S)￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R?1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
(引用終り)
以上
343:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 15:03:45.71 C9f8fwMK.net
>>312 補足
なお、
順序で、極小、最小の差、よく認識しましょうね
下記は、極大と最大の差ですが、双対です（＾＾
「極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まず x が A の極大元であるとは、A の元は「x 以下である」か、もしくは「x とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方 x が A の最大元であるとは A の元は常に x 以下である事を意味する（このとき x は A の任意の元と比較が可能である）。したがって最大元は必ず極大元であるが、極大元は必ずしも最大元であるとは限らない。」
おサルには、難しいのかな？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
ハッセ図
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
三元集合 {x, y, z} の部分集合の全体を包含関係を順序とする順序集合と見たときのハッセ図
具体例
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
三元集合の冪集合のハッセ図から最大元と最小元を取り除いたもの。この図の一番上の行にある各元がこの半順序の極大元であり、一番下の行の各元は極小元である。最大元と最小元はない。集合 {x, y} は元の族 {{x}, {y}} に対する上界を与える。
上界、最大、極大、上限、上方集合
P を半順序集合とし、A をその部分集合とし、x を P の元とする。このとき上界、上限、最大、極大の概念、およびこれらの双対概念である下界（かかい）、下限、最小、極小は以下のように定義される：
つづく
344:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 15:04:07.54 C9f8fwMK.net
>>314
つづき
定義
・x が A の下界 (lower bound) であるとは、A の任意の元 y に対して y ? x となること。
・x が A の下限 (infimum) あるいは最大下界 (greatest lower bound) であるとは、x が A の下界全体の集合の最大元となること。これは存在すれば一意的に決まり、inf A あるいは glb A と表される。
・x が A の最小元 (minimum element) であるとは、x は A の元であり、かつ x は A の下界であること。これは存在すれば一意的に決まり、min A で表される。
・x が A の極小元 (minimal element) であるとは、x は A の元であり、かつ y < x を満たす y ∈ A が存在しないこと。
上界および上限の定義において、 x が必ずしも A の元であるとは限らない、ことには注意が必要である。
極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まず x が A の極大元であるとは、A の元は「x 以下である」か、もしくは「x とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方 x が A の最大元であるとは A の元は常に x 以下である事を意味する（このとき x は A の任意の元と比較が可能である）。したがって最大元は必ず極大元であるが、極大元は必ずしも最大元であるとは限らない。
(引用終り)
以上
345:１３２人目の素数さん
21/05/22 15:19:30.08 Mf0eNrWh.net
屁理屈はいいから
ωの∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在すると言うならωのすぐ右は何？
さっさと答えようね？
なんで逃げ続けるの？
346:１３２人目の素数さん
21/05/22 15:25:09.74 Mf0eNrWh.net
さっさと答えろ、愚図るな、おまえは三歳児か
347:１３２人目の素数さん
21/05/22 15:37:42.59 hzsDhSSu.net
>>312-315
整礎なら全順序、とか、口からデマカセいって
間違いだと指摘されても理解できないサルは●ねよ
生きる価値ねえだろ クソが
348:１３２人目の素数さん
21/05/22 15:40:02.15 hzsDhSSu.net
>>316
＞ωの∈無限下降列 ω∋…∋1∋0 が存在すると言うならωのすぐ右は何？
只の点列を無限降下列だといいはって
違いすら理解できない🐎🦌のチャットは●ねよ
生きる価値ねえだろ クソが
349:１３２人目の素数さん
21/05/22 15:41:18.60 hzsDhSSu.net
>>317
>おまえは三歳児か
チャットは赤ん坊以下
ほんと●んでくんねぇかな 思考能力ゼロの畜生は
350:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 20:20:06.94 C9f8fwMK.net
メモ 集積点（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集積点
集積点（英: accumulation point）あるいは極限点（英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。
任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば最少で一つの集積点を含む必要がある。しかし、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し
351:、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す。 この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である（この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である）。 あるいは空間 X がフレシェ・ウリゾーン空間の場合には、x ∈ X が S の集積点であるための必要十分条件は、x を極限に持つような S ? {x} の可算列が存在することである。それゆえ x は極限点と呼ばれる。 ネットの概念は点列の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じようにフィルターに対しても定義することができる。 点列の密集点全体の成す集合は、しばしば極限集合と呼ばれる。 (引用終り) 以上
352:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 20:44:52.50 C9f8fwMK.net
>>321 追加
>たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。
>集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。
x：{1/n|n∈N}={ 0 ,1 , 2 , 3 ・・ n ・・ ω }（自然数）
(y=1/x) ↓↑(x=1/y)
y：{1/n|n∈N}={ ω,1/1,1/2,1/3・・1/n・・1/ω=0}（自然数の逆数）
＜補足＞
y（自然数の逆数）R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点
逆に
（あるいは”同様”に）
x（自然数）R の部分集合 S’ = { n | n ∈ N } を考えたとき点 ω は S’ の（唯一の）集積点
以上
353:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 20:46:30.58 C9f8fwMK.net
>>322
おっと、ωは自然数じゃないから
拡張自然数N’とでも書いた方が
分かり易かったかな？（＾＾；
354:１３２人目の素数さん
21/05/22 23:14:04.37 Mf0eNrWh.net
それでいつになったらωの次を答えるの？
早く答えろ、愚図るな、三歳児かおまえは
355:現代数学の系譜 雑談
21/05/22 23:17:00.56 C9f8fwMK.net
>>237 補足
(引用開始)
簡単な例で補足説明するよ（＾＾
1．自然対数の底e は、超越数で、下記のように 「e=exp 1=Σn=0～∞ {1/n!}」という簡単な級数の表現を持つ
2．極限を使って書くと、lim n→∞ (Σn=0～n {1/n!})=exp 1=e である
3．いま、ノイマンの自然数構成を認めて、N＝ω（最小の極限順序数）としよう
4．集合Nは、全ての自然数を含む。つまりN={0,1,2・・n・・}であり、繰り返すが全ての自然数を含む
5．上記の集積点：「極限の概念を適切に一般化したもの」に倣って説明する
6．eは超越数だから、上記 (Σn=0～n{1/n!})は、有限で終わっては有理数にしかならない
つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、e= 2.718281828… なる超越数が得られる
ここらの微妙な話があって
同じことは、無限小数 0.999・・・にも言えるのです
(引用終り)
＜補足説明＞
e=exp 1=Σn=0～∞ {1/n!}を丁寧に書く
(mまでの和 em=Σn=0～m {1/n!}、mまでの集合 Sm={0,1,2・・m}とする)
下記のような対応表になる
0 e0=1 S0={0}
1 e1=1+1/1! S1={0,1}
2 e2=1+1/1!+1/2! S2={0,1,2}
・
・
m em=1+1/1!+1/2!・・1/m! Sm={0,1,2・・m}
・
・
ω e=eω=1+1/1!+1/2!・・1/m!・・ N=Sω={0,1,2・・m・・}(全ての自然数の集合)
この表で、最後ωの項では、0=1/ω!なので
e=eω=1+1/1!+1/2!・・1/m!・・+1/ω! とも書けて
こちらが分かり易いかも
同様に、無限小数 0.999・・・で
9/10,99/100,999/1000,・・,(1-1/10^m),・・と書けて
qm＝(1-1/10^m)として
qω＝0.999・・・＝lim m→∞ (1-1/10^m)＝1
だが、0=1/10^ωと書けて qω＝1-1/10^ω＝1
こちらが分かり易いかもね
何が分かり易いかは
人によるだろう（＾＾；
以上
356:１３２人目の素数さん
21/05/23 04:27:37.43 uztBnDg0.net
>>325
>つまり lim n→∞ で、nが集積点 ∞ ＝N＝ω に到達したときに、
>e= 2.718281828… なる超越数が得られる
そんな🐎🦌なこといってるから
大学１年の４月に数学で落ちこぼれるんだよ
チミ�
357:ﾍｗｗｗ >ここらの微妙な話があって 有理数の切断でも、有理数の基本列（コーシー列）でも実数は定義できる 別に切断点が有理数である必要はないし 基本列が有理数に収束する必要もない キミはそこが全然分かってない だから大学１年の４月の実数論で落ちこぼれた 0={} 1={0} 2=(0,1} ･･･ これをいくらつづけてもωには到達しない ωはすべてのｎの和集合、∪ｎとして定義されるが 無限和なんていきなりとれないから、 ・0∈ω ・n∈ωならばn+1∈ω （注：したがって後続順序数でない！） なる最小の集合として定義する で、0からωに至る上昇列は、自然数ｎを用いて 0∈1∈･･･∈n∈ω となるが、全て有限長であって、無限長にはならない これ豆な ここ乗り越えないと現代数学は決して理解できないぞ！
358:１３２人目の素数さん
21/05/23 04:37:31.77 uztBnDg0.net
>>326の続き
いいかい、「鉄道」ではωに行けないんだ
だから、「飛行機」で行くんだよ
鉄道： 後続関数
飛行機；無限公理
「ｘ∈ωなら、ｘ＋１∈ω」といいきった瞬間、
鉄道ではいけないと示される
ｘ＋１＝ωとなるｘがないのだからね
0∈1
0∈1∈2
0∈1∈2∈3
･･･
これらの有限列全てに「∈ω」がつけられる、というのが
飛行機路線の開設だ
決して
0∈1∈2∈3∈･･･
という無限列に「∈ω」がつけられる、ということではない！
359:１３２人目の素数さん
21/05/23 07:46:10.04 4SwrBGpI.net
「ωから始まる∈無限下降列は存在しない」
こんな簡単なことが未だに理解できないのは単に頭が悪いとかそんなレベルじゃなく脳が我々と違うとしか考えられない。
やはりサルなんだろう。
360:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 07:53:16.52 v1UiZ3zv.net
>>325 補足の補足
ちょっと考えたが、ωを加えた拡張自然数N’と、
超準（ノンスタンダード）解析とを、併用するのが分かり易いかな
1．超越数 自然対数の底e＝2.71828182845904? (鮒一羽二羽一羽二羽しごく惜しい（下記）)
2．この超越数を一桁ずつ伸ばす有理コーシー列を考える
小数0桁 2
小数1桁 2.7
小数2桁 2.71
・
・
小数14桁 2.71828 18284 5904
・
・
小数ω桁 2.71828 18284 5904?＝e（無限小数）
3．拡張自然数N’で考えると、小数ω桁つまり無限桁で超越数eが得られる
4．一方で、有理コーシー列で超越数eを定義する立場だと
小数ω桁手前の全ての自然数を尽くすところで、超越数eが定義できるとするのだ
5．この機微を合理化するのに、超準解析（下記）の無限小、仮に*Δとして（enを小数n桁のeの有限小数表現として）
n→∞ en は、超越数eに無限小*Δだけ不足する有理数と考えることもできる
6．この立場は、下記のテレンスタオの「（超極限で）0.999...は、・・1 より無限小だけ小さい」
と同じ
7．つまり、
1）あくまで有理コーシー列（自然数Nの内側の小数n桁の極限）
2）ωを加えた拡張自然数N’で、小数ω桁の超越数eになる（有理数の外）
3）有理コーシー列は、超準解析の無限小だけ小さい（超極限で）（と考えることができる）
この３つを知っておくのが良いと思う（＾＾
つづく
361:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 07:53:44.22 v1UiZ3zv.net
>>329
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(qiita.com)
Qiita @yaju
が2021年03月27日に更新
自然対数の底(ネイピア数) e は何に使うのか
ネイピア数とは
ネイピア数 e=2.71828182845904?e=2.71828182845904?(鮒一羽二羽一羽二羽しごく惜しい)
e は自然数の階乗の逆数を合計したものでもあります。どうしてこの式になるかは微分・積分の項目で説明
e=１+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+?
362: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90 超準解析 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf 平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日～8月3日開催 超準解析入門 －超実数と無限大の数学－ 磯野優介＊ https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... 0.999... 超実数 超準解析によって、無限小（およびその逆数）の完全な系列を含んだ数体系が提供される[注釈 5]。 テレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。 このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。 イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。 (引用終り) 以上
363:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 08:01:31.64 v1UiZ3zv.net
>>329 訂正 2つ
2.71828182845904?
↓
2.71828182845904… （>>330も含めて、複数箇所あり)
6．この立場は、下記のテレンスタオの「（超極限で）0.999...は、・・1 より無限小だけ小さい」
↓
6．この立場は、下記のテレンスタオの「（超極限で）0.999...は、（略）1 より無限小だけ小さい」
分かると思うが（＾＾；
364:１３２人目の素数さん
21/05/23 08:12:10.97 4SwrBGpI.net
補題「n∈ω ⇒ nは自然数」
証明
ωが自然数以外の元を持つなら、ωの定義
>・0∈ω
>・n∈ωならばn+1∈ω
>なる最小の集合
と矛盾。
命題「ωから始まる∈下降列は有限長」
証明
補題より、ωから始まる∈下降列におけるωの次の項は自然数。
自然数から始まる∈下降列は有限長。
よってωから始まる∈下降列は有限長。
はい、サルの主張が間違いであることを証明しますた。
365:１３２人目の素数さん
21/05/23 08:18:39.47 uztBnDg0.net
>>333
パーフェクト！！！
こんな簡単なことも分からないヤツが大阪大学卒？
学歴詐称すんなよｗ 大阪朝鮮高級学校のヤンキー🐎🦌が
ピョンヤンに帰れよｗｗｗｗｗｗｗ
366:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 09:54:05.39 v1UiZ3zv.net
列の長さ：項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という
順序数：整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である
「長さ」を定義せずに、何かを証明した気になるサル二匹
あわれ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
列 (数学)
列（sequence）とは、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」は３つのものからなる列である。狭義にはこの例のように一列に並べるものを列と呼ぶが、広義にはそうでない場合（すなわち半順序に並べる場合）も列という場合がある（例：有向点列）。集合との違いは順番が決まっている事で、順番を変更したものは別の列であるとみなされる。たとえば列「Ａ，Ｂ，Ｃ」と列「Ｂ，Ｃ，Ａ」は異なる列である。
数を並べた列を数列、（何らかの空間上の）点を並べた列を点列、文字を並べた列を文字列（あるいは語）という。このように同種の性質○○を満たすもののみを並べた場合にはその列を「○○列」という言い方をするが、異なる種類のものを並べた列も許容されている。
列の構成要素は、列の要素あるいは項（こう、term）と呼ばれ、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」には３つの項がある。項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という。項数が有限である列を有限列（ゆうげんれつ、finite sequence）と、そうでないものを無限列（むげんれつ、infinite sequence）と呼ぶ。（例えば正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6, ...) ）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
順序数（ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる�
367:F 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。 (引用終り) 以上
368:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 10:09:10.38 v1UiZ3zv.net
>>330 追加
下記”自然対数の底(ネイピア数) e”の話が面白い（＾＾
URLﾘﾝｸ(qiita.com)
Qiita @yaju
が2021年03月27日に更新
自然対数の底(ネイピア数) e は何に使うのか
ネイピア数とは
起源
まず、いつ、誰によって作られたのか、という点ですが、これがはっきりしません。
最古の痕跡としては、メソポタミア文明のころにはその存在は知られていたそうです。
しかし、その真の価値については微分が誕生してから再認識されたようです。
ネイピア数に初めて言及したのはイギリスの数学者ウィリアム・オートレッド(1575-1660)です。オートレッドは計算尺を発明した人で、これは対数の原理で機能する道具でした。しかし、オートレッドは実際には名前を付けたりネイピア数の値を計算したりしませんでしたが、最初の自然対数表を書きました。ちなみに乗法の記号である × や、三角関数を sin や cosと表記する方法もオートレッドの考案です。
初めてネイピア数そのものを計算したのはスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705)だとされ金利計算の複利を調べて発見しました。
eという文字を初めて使ったのはスイスの数学者レインハルト・オイラー(1707-1783)で、1727年ごろ使い始めたようです。出版物では、1736年の『力学 (Mechanica)』が初出です。
ジョン・ネイピア(John Napier)については以前に記事「ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について」を書きました。
つづく
369:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 10:09:41.18 v1UiZ3zv.net
>>335
つづき
URLﾘﾝｸ(qiita.com)
qiita.com @yaju が2019年08月10日に更新
ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について
対数の研究開始
大航海時代の航海術にはサインやコサインの三角法が必須で、三角法も有効数字が10桁以上もある精密なものが作られていましたが、その計算、特にかけ算と割り算が困難を極めたのです。
1576年にヴィテッヒがネイヒ゜アの友人(ジョン・クレイグ)と出会い、ヴィテッヒから三角法の式を利用して積を和に直す方法(積和の公式)を知り、後にエディンバラに帰郷した際にネイピアに伝えたところ、彼はこの話に刺激されて対数の研究を始めたそうです。
対数の概念
かけ算を足し算に変えることに対する需要が大きいと感じたネイピアは、もっと直接的な方法で、積を和に変えることができると考え、その工夫を始めた。
対数の誕生
2^n の整数指数の表だけでは、あまりにも値がとびとびで実用の計算には適さない。そのため、あらゆる数のかけ算ができるようにネイピアは考えをめぐらせた。
「分数の指数を使うか」、「底として十分小さな数を選び累乗がゆっくり増えていくようにするか」の 2通りの方法がある。
公比を 1 よりわずかに小さくあまりに 1 に近い数のため、かけても数値の変化が 1 以内であるものを考えた。
具体的には、半径が 10^7の円を考え、初項を 10^7とし、公比 r
底 0.9999999 を作
370:って、かけ算をほぼ足し算のみで計算できるようにした。 現代の人が 10^7 って何だろうと思うのですが、一貫した形での小数表現がまだなかった時代で、三角法の表などは、円の半径を1ではなく例えば 10^7 としてそれに対する弦の長さを表示していました(半径を 10^7 に取った場合、表を7桁の精度で書ける)。 対数(logarithm)の名前の由来は、logos (比、神の言葉)とギリシャ語のarithmos (数) を合わせて logarithms(ロガリズム) という造語でネイピアが考案しました。 (引用終り) 以上
371:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 10:25:33.17 v1UiZ3zv.net
”1620年、対数尺（ガンター尺、 Gunter's scale）が作成された。対数尺は、対数の原理を用いた計算尺のはしりである”
か。昔、学習雑誌の付録に計算尺が付いてきたことがあってね
思い出したよ。かけ算や割り算が、計算尺で出来るんだ
当時は不思議だった。懐かしいね・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジョン・ネイピア（John Napier, 1550年 - 1617年4月4日）はスコットランドのバロン。数学者、物理学者、天文学者、占星術師としても知られる。
業績
対数
天文学の膨大な計算を簡単に行えるようにした対数について、
ラプラスは、対数は天文学者の寿命を 2 倍にしたと賞賛している。
ネイピアが考えた対数は、現代的な
loga(x)
の形のものではない。
この p のことを ネイピアの対数(Napierian logarithm)という。
ネイピアは 1594年にこの対数の概念に到達し、この定義を用い 20年間計算を続け 7桁の数の対数表を作成し1614年に発表した。
ネイピアの時代には、まだ小数は一般に広まっていなかったため、ネイピアの対数表では、なるべく小数が現れないように工夫されており、 x も p も整数として表されている。
こういった現代の対数との違いは些末なことである。
1620年、エドムント・ガンター（Edmund Gunter, 1581年 - 1626年）によって対数尺（ガンター尺、 Gunter's scale）が作成された。対数尺は、対数の原理を用いた計算尺のはしりである。
ネイピアの骨
ネイピアの骨は様々に改良されるが、特に1623年のウィルヘルム・シッカード（Wilhelm Schickard,1592年 - 1635年）による改良が重要である。
このシッカードの計算機は、世界初の歯車式計算機としても知られ、その後のコンピュータの歴史へ繋がる一歩でもあった。
(引用終り)
以上
372:現代数学の系譜 雑談
21/05/23 10:35:10.39 v1UiZ3zv.net
>>337
追加
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Logarithm
History
Main article: History of logarithms URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
The history of logarithms in seventeenth-century Europe is the discovery of a new function that extended the realm of analysis beyond the scope of algebraic methods. The method of logarithms was publicly propounded by John Napier in 1614, in a book titled Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Description of the Wonderful Rule of Logarithms).[22][23] Prior to Napier's invention, there had been other techniques of similar scopes, such as the prosthaphaeresis or the use of tables of progressions, extensively developed by Jost Burgi around 1600.[24][25] Napier coined the term for logarithm in Middle Latin, “logarithmus,” derived from the Greek, literally mean
373:ing, “ratio-number,” from logos “proportion, ratio, word” + arithmos “number”. efore Euler developed his modern conception of complex natural logarithms, Roger Cotes had a nearly equivalent result when he showed in 1714 that[30] log(cos θ +isin θ )=iθ (引用終り) 以上
374:１３２人目の素数さん
21/05/23 11:08:09.44 uztBnDg0.net
>>334
大阪朝鮮高級学校のヤンキー🐎🦌に無限は無理
あきらめてピョンヤンに帰れｗｗｗｗｗｗｗ
375:１３２人目の素数さん
21/05/23 11:09:40.26 uztBnDg0.net
>>335-338
あらあら、大学数学が無理なんで、高校数学の復習ですか？ｗｗｗ
で、朝鮮高校のヤンキー🐎🦌君に自然対数が定義できるのかな？ｗｗｗ