21/05/19 16:36:22.92 F1LMOWa6.net
>>183
つづき
つまり，整列すべき集合 A が与えられたら，適当に元をとって次々に並べていく． それをずっと繰り返して，集合 A の元が尽きれば，それでよいが．ちょっと前にみた 偶数が尽きた後，奇数を並べた整列集合を思い起こしてほしい．例えば，自然数の 集合を整列しようとして，元を取っていくとき，偶数だけをとっていってしまうと このプロセスだけで自然数をすべて尽くすことはできない．こうやって無限に 並べていったあと，尽きなければ いままで繰り返したその上に１つ元を置き，そこからまた次々に上に元を置いて いくというプロセスが必要である．これを繰り返すことで，集合 A の上に整列順序を構築する．
ここではすごく直観的に集合 A を整列集合にする方法を述べたが，これは 実は Zorn の補題の状況にすごく似ている．
つまり，A の任意の部分集合 C が A と等しくないときは集合 A - C は空でないので 選択公理から，C に対して A - C の元を一つ選ぶ関数 f が存在する．この f が すでに作ったチェイン C の上の元を A から選ぶ，次の図の人の行為に該当する．
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
この C は元を選んだ順に順番付ければ整列集合になる．こうして作成した 整列集合は皆包含関係があるから，次の図のように全部の交わりを取ることにより， それらのどの整列集合以上の整列集合を作ることができる．
URLﾘﾝｸ(www.cs-study.com)
これは Zorn の補題の条件，すなわち，今考えている順序集合の「任意のチェインに 上限があれば」という条件に対応する．Zorn の補題の帰結部では，「その順序集合には 極大元がある」となっている．我々の例では，「こうやって決めたAの部分集合を整列 したものには集合の包含関係 ⊆ について極大元がある」ということになる． 実はこれが A になる．
今，ここで直観的に話した内容を一応次の節「Zorn の補題を使った証明」で きちんと証明の形にしておこう．
Zorn の補題を使った証明
略
(引用終り)
以上