21/05/02 13:31:55.01 MBut/U2K.net
[2] 主な公式と記載例
(a±b)^2 = a^2 ±2ab +b^2
(a±b)^3 = a^3 ±3a^2b +3ab^2 ±b^3
a^3±b^3 = (a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b = √(ab), √a/√b = √(a/b), √(a^2b) = a√b [a>0, b>0]
√((a+b)±2√(ab)) = √a±√b [a>b>0]
ax^2+bx+c = a(x-α)(x-β) = 0 [a≠0, α+β=-b/a, αβ=c/a]
(α,β) = (-b±√(b^2-4ac))/2a [2次方程式の解の公式]
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R [正弦定理]
a = b cos(C) + c cos(B) [第一余弦定理]
a^2 = b^2 + c^2 -2bc cos(A) [第二余弦定理]
sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b) [加法公式]
cos(a±b) = cos(a)cos(b) 干 sin(a)sin(b)
log_{a}(xy) = log_{a}(x) + log_{a}(y)
log_{a}(x/y) = log_{a}(x) - log_{a}(y)
log_{a}(x^n) = n(log_{a}(x))
log_{a}(x) = (log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換公式]
f '(x) = lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g) ' = f ' ± g '、(fg) ' = f 'g + fg ',
(f/g) ' = (f 'g-fg ')/(g^2) [和差積商の微分]
3:１３２人目の素数さん
21/05/02 13:33:20.98 MBut/U2K.net
[3] 基本的な記号の使い方は以下を参照してください。
その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b (足し算) a-b → a 引く b (引き算)
a*b → a 掛ける b (掛け算) a/b → a 割る b (割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 (a の b乗) 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。
括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n] a_(k) → 数列の和
■ 積分
"∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ。
(環境によって異なる。) ∮は高校では使わない。
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1, cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ヴェクトル
AB↑ a↑
ヴェクトル：V = [V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
(混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい。通常は縦ヴェクトルとして扱う。)
■行列
（全成分表示）：M = [[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I = [[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行 (または列) ごとに表示する． 例）M = [[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k] = nＰk, C[n.k] = nＣk, H[n,k] = nＨk,
■共役複素数
z = x + iy (x,yは実数) に対し z~ = x - iy
4:１３２人目の素数さん
21/05/02 13:33:30.93 MBut/U2K.net
[4] 単純計算は質問の前に URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com) などで確認
入力例
・因数分解
factor x^2+3x+2
・定積分
integral[2/(3-sin(2x)), {x,0,2pi}]
・極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
・無限級数
sum (n^2)/(n!), n=1 to infinity
・極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
・FunctionView for Windows
URLﾘﾝｸ(hp.vector.co.jp)
・GRAPES for Windows
URLﾘﾝｸ(tomodak.com)
・GRAPES-light for i-Pad
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-shoseki.co.jp)
・GeoGebra for Windows / Mac OS X
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
入試問題集
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp) (入試数学 電子図書館)
URLﾘﾝｸ(www.watana.be) (京大入試問題数学解答集)
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com) (東進 過去問DB)
5:１３２人目の素数さん
21/05/02 14:58:18.04 2ZpzXQqh.net
問:時計の短針と長針が3時と4時の間に重なる時刻を求めよ。
ちんぷんかんです。
どう考えればいいのでしょうか...泣
6:１３２人目の素数さん
21/05/02 15:00:31.84 Q4JF5Jo8.net
小学校の算数の教科書に載ってたかな
7:１３２人目の素数さん
21/05/02 15:20:14.07 dBMyW8hF.net
～このスレの皆さんへ～
現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣｢害悪プログラムおじさん｣は医療・医者板にいる通称ウリュウという荒らしです
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板)
数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずに
わざわざプログラムで解くような人物です
二項分布の期待値npすら知らないレベルです
すぐにマウントを取りに来ます
下ネタが大好きです
発達障害があると思われ説得しても無駄だと思われます
皆さん、一切関わらずに無視を貫きましょう
8:１３２人目の素数さん
21/05/02 15:34:55.30 MBut/U2K.net
>>5
0≦x＜60
長針＝x
短針＝(x/12)＋18
とでもして
重なる時間をx分とすれば
x＝(x/12)＋18
11x＝216･･･①
x＝216/11＝19＋(7/11)
∴3時19分台
もう少し正確にいくなら
7/11＝420/660＝(420/11)/60
420/11＝38＋(2/11)
x＝19＋(38＋(2/11))/60
∴3時19分38秒台
9:１３２人目の素数さん
21/05/02 16:00:01.24 MBut/U2K.net
>>5
間違えた
18じゃなくて15だな
0≦x＜60
長針＝x
短針＝(x/12)＋15
とでもして
重なる時間をx分とすれば
x＝(x/12)＋15
11x＝180･･･①
x＝180/11＝16＋(4/11)
∴3時16分台
もう少し正確にいくなら
4/11＝240/660＝(240/11)/60
240/11＝21＋(9/11)
x＝16＋(21＋(9/11))/60
∴3時16分21秒台
10:１３２人目の素数さん
21/05/02 16:03:44.35 I0WlvN4U.net
t=1/4 + t/12
t=3/11
3時16分36.3636...秒だろ
11:イナ
21/05/02 18:48:49.95 BxtCU2B9.net
>>5
短針と長針が3時x分に重なるとすると、
長針は正午の方向から、
360°×(x/60)=6x°の方向。
短針は、
90°+(360°/12)(x/60)=(90+x/2)°
これらが等しいから、
6x=90+x/2
11x=180
x=180/11
=16+4/11
∴短針と長針が重なる時刻は、
3時16分(4/11)×60秒 →(4/11)×60=240/11=21+9/11
すなわち3時16分21秒(端数の9/11秒は秒針が動く前だから切り捨てる)
12:１３２人目の素数さん
21/05/02 20:33:23.10 8QO/I/fC.net
マウントとか言うのは猿並みの頭脳だろうな。
ボノボまで進化すればマウントをとって喜ぶとかしない。
13:１３２人目の素数さん
21/05/02 22:38:40.94 bzAwi4JE.net
実数a,b,cに対して(3+a^2)(3+b^2)(3+c^2)≧4(a+b+c+1)^2
これは、左辺－右辺＝・・・が≧0の形で示せますか？
たとえばaについてついて整理すると2次関数になるので
14:１３２人目の素数さん
21/05/02 22:43:15.37 id/ZmDay.net
なんで他人を貶すことに必死になれるんだろう？
15:１３２人目の素数さん
21/05/02 23:58:08.60 tug8LYDY.net
>>13
a+b+c＝k
ab+bc+ca＝l
abc＝m
とかにして計算してみたけどうまくいかないな
3(l－3)²＋(5k＋m－2)(k＋m＋2)＋27≧0
となる
16:１３２人目の素数さん
21/05/03 01:21:09.07 DAYS1l9h.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
真ん中あたりの右のほう、
-mx^m-1 / x^2m -> -m / x^2m
の変形のやり方がよくわかりません
詳しく教えてくだし
17:１３２人目の素数さん
21/05/03 05:43:46.35 4NJIlPfh.net
ピタゴラス数を無理矢理等差数列の和の差で表してみました。
1/2(a-b)(2a-1+2b+1)=1/2c(1+2c-1)
そこで質問です。任意の奇数を初項として、公差2の等差数列の和を足し続けて平方数になったとき、そこから自動的に?ピタゴラス数が得られると考えて差支えないですか?
18:１３２人目の素数さん
21/05/03 06:30:33.39 uUv2YGQM.net
大小のサイコロを振って
大の目はx座標、小の目はy座標として3点の座標を選ぶ
この3点を結んで形成される図形（点から三角形までありうる）の面積をSとする。
Sは0,0.5,1,1.5,.....,12.5の値をとる。この中から数字を選んでSの値を当てる賭けをする。
いくつに賭けるのが最も不利か？
19:１３２人目の素数さん
21/05/03 08:22:01.41 oJOkmGUs.net
>>13
(3+a^2)(3+b^2)(3+c^2)-4(a+b+c+1)^2=x(a-1)^2+y(b-1)^2+z(c-1)^2
に変形できる予感
20:１３２人目の素数さん
21/05/03 08:34:23.95 oJOkmGUs.net
>>13
(3+a^2)(3+b^2)(3+c^2)-4(a+b+c+1)^2=x(a-1)^2+y(b-1)^2+z(c-1)^2+w
が恒等式になるように係数を決めればいいのか？
21:１３２人目の素数さん
21/05/03 10:08:56.79 j3ME8JjK.net
>>13
安藤哲哉「不等式」数学書房 (2012)
例題2.5.2 (1) p.98～99
にある。。。
22:１３２人目の素数さん
21/05/03 10:23:50.42 j3ME8JjK.net
>>13
概略は
f(a,b,c) := (3+aa)(3+bb)(3+cc) - 4(a+b+c+1)^2 とおく。
f(1,0,0) = 20 > 0,
f(a,1,1) = 12(a-1)^2 ≧ 0,
>>15 のようにおくとき
f(a,b,c) = mm - (6k)m + (5kk + 3LL -8k -18L +23),
これはmの2次式だから「6次対称不等式の基本定理」を使う。
(非斉次のときも使えるのかな？)
f(1,0,0) = 20 > 0,
f(a,1,1) = 12(a-1)^2 ≧ 0,
判別式は
D(k,L) = (-6k)^2 - 4(5kk + 3LL -8k -18L +23)
= 4(4kk -3LL +8k +18L -23),
D(s+2,2s+1) = - 8(ss-6s-1) > 0,
∴ 3 - √10 < s ≦ 1,
t = (1+2s)/(4-s) により
√10 - 3 < t ≦ 1,
h_2(t) = 2tt - 6(2t+1) = 2(tt-6t-3) < 0,
よって成立。
なお、h_2(t) < 0 となるtの範囲は
3 - 2√3 < t < 3 + 2√3,
- 0.4641 < t < 6.464
なので
「-1/2 ≦ t ≦ 1 のとき h_2(t) < 0 であるので」は誤り？
23:１３２人目の素数さん
21/05/03 11:25:42.11 w6f3SohO.net
>>13
(3+a^2)(3+b^2)(3+c^2)-4(a+b+c+1)^2
=((abc-1)^2+3((ab+(c-10)/9)^2+(bc+(a-10)/9)^2+(ca+(b-10)/9)^2)+(2/3)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)+(98/27)((a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2))
24:１３２人目の素数さん
21/05/03 13:43:51.40 SWYgsE8Q.net
f(a)=(3+a^2)(3+b^2)(3+c^2)-4(a+b+c+1)^2
左辺ー右辺をaの二次関数とみなすと
a = (4*(b+c+1))/(b^2*(c^2+3)+3*c^2+5)のとき
最小値：((b^2+3)*(c^2+3)*(b^2*(3*c^2+5)-8*b*(c+1)+c*(5*c-8)+11))/(b^2*(c^2+3)+3*c^2+5)
をとる。
25:１３２人目の素数さん
21/05/03 13:50:50.76 SWYgsE8Q.net
>>24
変数がひとつ減らせたのでグラフ化して
左辺 - 右辺 >= 0 を体感
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
26:１３２人目の素数さん
21/05/03 15:03:09.62 6ehQteOQ.net
>>23で解決したのでお引き取りください
27:１３２人目の素数さん
21/05/04 02:14:08.20 f0HZWUs4.net
(3+aa)(3+bb)(3+cc) - 4(a+b+c+1)^2
= {2(abc)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 - 2abc(a+b+c) + 1}/2
+ (7/6)(ab+bc+ca - 3)^2
+ (2/3){aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2 + cc(a-b)^2}
+ (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
+ 4{(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
≧ {(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(abc)^2 + 1 - 2abc(a+b+c)}/2
= {pp + qq + rr + 2pqr + 1 -2(pq+qr+rp)}/2
〔問題1.90〕(ii)
p,q,rを非負実数とする。このとき
pp + qq + rr + 2pqr + 1 - 2(pq+qr+rp) ≧ 0,
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
演習問題1.90 (ii) p.41-42
28:１３２人目の素数さん
21/05/04 02:38:31.49 f0HZWUs4.net
問題1.90 (ii) の略解
P = p^(2/3), Q = q^(2/3), R = r^(2/3) とおく。
pp + qq + rr + 2pqr + 1 - 2(pq+qr+rp)
= pp + qq + rr + 3(pqr)^(2/3) - (ppq)^(2/3) - (pqq)^(2/3) - cyclic
+ {2pqr + 1 - 3(pqr)^(2/3)}
+ {(ppq)^(2/3) + (pqq)^(2/3) - 2pq} + cyclic
= P^3 + Q^3 + R^3 + 3PQR - PP(Q+R) - QQ(R+P) - RR(P+Q)
+ {2(PQR)^(3/2) + 1 - 3PQR}
+ PQ(√P-√Q)^2 + QR(√Q-√R)^2 + RP(√R-√P)^2
≧ P^3 + Q^3 + R^3 + 3PQR - PP(Q+R) - QQ(R+P) - RR(P+Q)
= P(P-Q)(P-R) + Q(Q-R)(Q-P) + R(R-P)(R-Q)
≧ 0, (← シューア, n=1)
29:１３２人目の素数さん
21/05/04 03:26:33.87 f0HZWUs4.net
〔問題3.85〕
任意の正の実数p,q,rに対して
(2+pp)(2+qq)(2+rr) ≧ 3(p+q+r)^2,
APMO-2004 A5.
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
問題3.85 p.140
Inequalitybot [20] ☆8
(略解)
(2+pp)(2+qq)(2+rr) - 3(p+q+r)^2,
= pp + qq + rr + 2pqr + 1 - 2(pq+qr+rp)
+ (pqr-1)^2
+ 2(pq-1)^2 + 2(qr-1)^2 + 2(rp-1)^2,
≧ pp + qq + rr + 2pqr + 1 - 2(pq+qr+rp),
となり 演習問題1.90 (ii) に帰着する。
30:１３２人目の素数さん
21/05/04 05:40:01.62 GETvs+Bu.net
>>13は非負に限定してないから>>27の回答では不足
31:１３２人目の素数さん
21/05/04 09:08:19.36 f0HZWUs4.net
三角不等式で…
(3+aa)(3+bb)(3+cc) ≧ 4(|a|+|b|+|c|+1)^2 ≧ 4 |a+b+c+1|^2
32:１３２人目の素数さん
21/05/04 09:43:09.91 GETvs+Bu.net
補足おつ。
もっとも>>23のほうが明らかに分かりやすいのに何故こちらを教科書に載せないんだろうか
33:１３２人目の素数さん
21/05/04 10:36:39.37 iLe0DyhM.net
>>32
導出過程がわからんな
34:１３２人目の素数さん
21/05/04 10:57:57.74 f0HZWUs4.net
>>21-22 も分かりにくかった....orz
35:１３２人目の素数さん
21/05/04 11:29:48.06 C/eNJ8KM.net
>>33
大先生は正しいと言ってくれるけど、これを導出しろといわれると難しい。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
36:１３２人目の素数さん
21/05/04 12:36:47.61 mrgIaYoV.net
>>29
(2+pp)(2+qq)(2+rr)-3(p+q+r)^2=(1/3)((pqr-p)^2+(pqr-q)^2+(pqr-r)^2+(pq+qr-2)^2+(qr+rp-2)^2+(rp+pq-2)^2+(2pq-2)^2+(2qr-2)^2+(2rp-2)^2+(p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2)≧0
37:１３２人目の素数さん
21/05/04 20:18:02.87 jggQkV5e.net
23がわかりやすい？
キチガイみたいに頭いいのか
38:１３２人目の素数さん
21/05/04 21:36:06.59 Fw86LE7M.net
※勉強し直し中のため、基本的なルールがわかってない可能性があります…。
鋭角の三角比に関してAが鋭角、Cが直角。AC=√2、BC=1。
cosAを求めよ、という問題。
tanAは1/√2なので、cosAは√2/√3になるかと思ったんですが、cosAの答えは√6/3でした。
ルート同士の分数は答えとしてはまずいのでどちらかが整数になるようにすると言ったルールがあるのでしょうか？
その場合、分母だけがルート、もしくは分子だけがルートとの違いは何なんでしょうか？
39:１３２人目の素数さん
21/05/04 22:05:46.47 GETvs+Bu.net
>>38
有理化ね
分母が無理数でも解として間違ってはいないが
高校の課程ではたいてい有理化を求められるんじゃないの？
40:１３２人目の素数さん
21/05/05 03:10:57.27 iUKCguXa.net
>>38
まずは、答えの表し方が一通りしかないという思い込みを排除するところからスタートだ。
1/10が答えだからといって0.1が間違えになる訳ではない。
41:１３２人目の素数さん
21/05/05 05:08:02.34 16g2LNeV.net
>>36
ﾁｮﾄ変えてみた....
(2+pp)(2+qq)(2+rr) - 3(p+q+r)^2
= (1/3){(5+pp)(qr-1)^2 + (5+qq)(rp-1)^2 + (5+rr)(pq-1)^2
+ (pq+qr+rp-3)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
≧ 0.
42:１３２人目の素数さん
21/05/05 05:52:58.70 1Arv4WOm.net
>>40
ありがとうございます。
今後は有理化を意識します。
43:１３２人目の素数さん
21/05/05 06:02:41.81 oTXYjsyU.net
(3 b^2 c^2 + 5 b^2 - 8 b c - 8 b + 5 c^2 - 8 c + 11) = 0