純粋・応用数学（含むガロア理論）7

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純粋・応用数学（含むガロア理論）7 - 暇つぶし2ch90:m binary relations Suppose X and Y are arbitrary sets and a binary relation R over X and Y is given. For any subset M of X, we define F(M) = {y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M}. Similarly, for any subset N of Y, define G(N) = {x ∈ X | xRn ∀n ∈ N}. Then F and G yield an antitone Galois connection between the power sets of X and Y, both ordered by inclusion ⊆. Up to isomorphism all antitone Galois connections between power sets arise in this way. This follows from the "Basic Theorem on Concept Lattices". Theory and applications of Galois connections arising from binary relations are studied in formal concept analysis. That field uses Galois connections for mathematical data analysis. 二項関係から生じる冪集合の接続 X、Yを任意の集合とし、X、Y上の二項関係Rが与えられたとする。Xの任意の部分集合Mに対して、F(M)={y∈Y｜mRy ∀m∈M}を定義する。同様に、Yの任意の部分集合Nに対して、G（N）＝｛x∈X｜xRn ∀n ∈N｝と定義する。そうすると、FとGは、XとYの冪集合の間に、包含⊆で順序付けられたアンチトーンのガロア接続をもたらす。同型化までは、冪集合間のすべてのアンチトーン・ガロア接続はこのようにして生じる。これは、「概念格子に関する基本定理」から導かれる。二項関係から生じるガロア接続の理論と応用は、形式概念分析で研究されています。この分野では、ガロア接続を数学的なデータ解析に利用します。

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