21/05/10 13:38:11.95 1UqueJ/F.net
>>787
それなｗ
彼は有理コーシー列による実数の構成と対角線論法を混同してる。
対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ
無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法。
仮にsnを列と見做すと、ある項より先がすべて0または1でない限りコーシー列でないｗ
これほど酷いレスはなかなかお目にかかれないｗ
881:１３２人目の素数さん
21/05/10 15:17:24.25 1UqueJ/F.net
混同というより根本的に分かってないの方が正しいな。
実数の構成も対角線論法も根本的に分かってない。
大学一年4月で落ちこぼれたからだろう。
882:１３２人目の素数さん
21/05/10 18:19:06.01 waRwN1MV.net
>>789-790
では問う
Q1. ノイマンの自然数構成で
0∈1∈2・・∈N（＝ω）
なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
Y or N？ まさか、これが有限列だとでも？ 基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
（下記”Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).”ご参照）
どぞ、ご回答を。怖気づいて回答できないかもね？（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
Sources
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
訳本あるよ
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
集合論―独立性証明への案内 単行本 – 2008/1/1
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)
883:１３２人目の素数さん
21/05/10 18:46:33.64 1UqueJ/F.net
>>793
>>>789-790
>では問う
いやいやｗ 先にレス番号示せよ いつ誰が言ったんだよ また捏造か？
884:１３２人目の素数さん
21/05/10 19:12:59.94 1UqueJ/F.net
>>793
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。
>基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
有限列だから基礎の公理に反さない。
何遍言わせるんだよ おまえほんっと頭悪いなあ
885:１３２人目の素数さん
21/05/10 19:14:44.29 1UqueJ/F.net
>>793
極限順序数は後続順序数ではない。
これの意味がおまえはぜーーーーーーーーーーんぜん分かってない。
886:１３２人目の素数さん
21/05/10 19:22:14.71 1UqueJ/F.net
>>793
>Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
問いが曖昧。
xが公理系Xが規定するすべての要件を満たすなら、xはX内で存在するか？
という意味ならYES。当たり前だろｗ バカかｗ
887:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 20:39:04.16 LxbZqh9r.net
>>791
まず、こっちから
>対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ
無限小数展開は、下記で、「暗に対角線論法を使っている」とされているよ、”暗に”だ
元々のカントールの論文があるから見てみな。無限小数展開は使ってない
>無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法
では無いな。それは”For example”で、単なる一例にすぎない（下記英訳P2及び読めるなら独語原文ご参照）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントールの対角線論法
目次
1 対角線論法
1.1 集合による表現
1.2 関数による表現
1.3 行列による表現
2 自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い
自然数全体の集合 Nから[0, 1]区間(=0以上1以下の実数全体の集合)への全単射が存在しない事を以下のように証明できる。後で見るように、この証明は暗に対角線論法を使っている。
aiを二進数展開したときの j}j桁目をai,jとし[3]、biを￢ai,iとする。
そしてbを小数点展開が0.b1b2…となる実数とする。このとき、bは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なる。実際iを任意に取るとき、aiのi桁目はai,iであるのに対し、bのi桁目は￢ai,iであるので、aiとbは異なる。
仮定より[0, 1]区間の全ての元は a_1,a_2,・・・ と番号づけされているはずなのに、[0, 1]区間の元であるはずのbは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なるので、矛盾。 従って N から[0, 1]区間への全単射は存在しない。
以上の論法は、行列A={ai,j}i,jに対して対角線論法の「行列による表現」を使ってベクトル{bi}={￢ai,i}がAのいずれの行とも異なる事を証明したものであると解釈できる。従って以上の論法は暗に対角線論法を使っている。
つづく
888:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 20:39:38.19 LxbZqh9r.net
>>798
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cantor's diagonal argument
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti-diagonal argument, or the diagonal method, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers.[1]
References
[1] URLﾘﾝｸ(www.digizeitschriften.de)
Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75?78.
URLﾘﾝｸ(cs.maryvillecollege.edu)
A Translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der
Mannigfaltigkeitslehre”.
Google TranslateTM,1 DeepLTM,2 and Peter P. Jones?
1 https: // translate. google. com
2 https: // www. deepl. com
(Dated: August 23, 2019)
An English translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”[1]
article: “On an elementary question of the theory of manifolds.”
Translation Note: We have translated “Inbegriff” as collection, and “M¨achtigkeit” as power. Apart from these
adjustments and a few other specific edits the bulk of this English language text was obtained directly from the
machine translators acknowledged as the main authors.
(引用終り)
以上
889:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 20:52:44.96 LxbZqh9r.net
>>795
(引用開始)
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。
(引用終り)
だからぁ～、そっから認識が間違っていると思うよ（＾＾
「0∈1∈2・・∈n∈Nと書け」というけれど
ノイマンでは、”∈”は、大小の”＜”の意味でもある
だから
0＜1＜2・・＜n＜・・＜ω（＝N）
であり、ω＝∞ と書かれるべきもの
nより大きな自然数m1,m2,・・mn・・があって
0＜1＜2・・＜n＜m1＜m2＜・・＜mn＜・・・・＜ω（＝N）となるよ
有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾；
お主、そこから間違っているよ～（＾＾
890:１３２人目の素数さん
21/05/10 21:32:28.25 1UqueJ/F.net
>>800
>有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾；
>お主、そこから間違っているよ～（＾＾
そこから間違ってるのはおまえ
0∈1∈…∈n∈N なる列に自然数全部は登場しません。できません。
仮に自然数全部登場できたとしたらNの左は何？
ばーーーーーーーーーーーーーーーーーか
だから言ってるだろ？極限順序数は後続順序数ではないと。その意味がまったく分かってないバカｗ
891:１３２人目の素数さん
21/05/10 21:35:29.32 1UqueJ/F.net
極限順序数は後続順序数ではない。
たったこれだけの簡単なことがバカはいつまで経っても理解できない。
もうバカはいい加減数学諦めろよ。
892:１３２人目の素数さん
21/05/10 21:36:42.56 1UqueJ/F.net
はい、バカに数学は無理です。諦めて下さい。人間諦めが肝心です。
893:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 23:23:58.56 LxbZqh9r.net
>>800 補足
無限小数 0.999… 有限の極限と考える
1. 小数1桁 0.9＝1-1/10^1
2. 小数2桁 0.99＝1-1/10^2
・
・
n. 小数n桁 0.99＝1-1/10^n
・
・
と、無限につづき全ての自然数を渡る
全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる
もし、ｎが有限で終われば、0.999…≠1
さて、上記の連番を横に並べる
1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列）
この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない
ここに不等号＜を入れる
1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
となる
不等号＜を∈に換える
1∈2∈・・∈n∈・・
この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾
余談だが、どっかのスレの議論とは
立場が逆転している気がするなｗ（＾＾
無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾；
894:１３２人目の素数さん
21/05/10 23:28:47.12 1UqueJ/F.net
>>800
Nの元はどれも自然数。
だから 0∈1∈…∈▢∈N の▢に入ることができるのは自然数だけ。
それがどんな自然数でも 0∈1∈…∈▢∈N は∈有限列。
たったこれだけの簡単なことがいつまで経っても理解できない阿呆に数学は無理なので諦めて下さい。
895:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:05:55.86 tve+0lLS.net
>>804
>と、無限につづき全ての自然数を渡る
>全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる
はい、0点で落第です。
0.9, 0.99, 0.999, … の極限が1であるとは、
任意の正数εに対し、ある自然数n0が存在して、n≧n0 ⇒ 1/10^n<ε が成立することである。
これ大学一年4月の課程ね。キミは大学数学に入門を拒否された落ちこぼれ。
>1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
>となる
なりません。
∞なる数は存在しません。
>この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
>1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾
あなたが落ちこぼれるのはあなたの勝手ですが、ノイマンがそんなこと言ったというのは捏造です。捏造はいけませんよ？
ωの元はどれも自然数なので∈ωの左は自然数。それがいかなる自然数であろうと有限列にしかなりません。
違うというなら∈ωの左が何なのか早く答えて下さいね。なぜ逃げ続けるのですか？
>無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾；
え？？？
ぜんぜん認めてますけど？
0.9, 0.99, 0.999, … のように一桁ずつ増える有限小数列は上に有界な単調増加列なので収束列。
その極限が無限小数の定義ですけど？
無限小数の定義に∞は不要。入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩が分かってないですね。
896:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:13:16.62 tve+0lLS.net
入門を拒否された落ちこぼれさんが何を言おうと
「∈ωの左は何か？」
に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。
∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿なｗ そんなん列じゃねーしｗ
897:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:33:09.96 tve+0lLS.net
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
項を一つ取り除いた 0∈1∈…∈n も無限列。
nが自然数である限り 0∈1∈…∈n が無限列になることはないので、nは自然数ではない。
一方、ωより小さい順序数は自然数だからnは自然数。
仮定から矛盾が導かれたので仮定は偽。
898:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 06:38:06.10 U9PlktVe.net
>>804 さらに補足（＾＾
数直線を考える
------------------------
↑ ↑ ↑ ・・→↑
0.9 0.99 0.999・・→ 1
数直線上に
0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
n→∞ でなければならない
数直線上には、1が存在するので
それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう
そもそもが、
1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
これが、実現できないならば
時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？
時枝の数列 (s1，s2，s3 ，・・・)は、可算無限長
ここから、sを取っても (1，2，3 ，・・・)は、可算無限長
1＜2＜3 ＜・・・（可算無限長）
↓
1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で）
となるよ（＾＾
それが、理解出来てないのか？
それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ
お主！！ｗｗ（＾＾；
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-2
箱がたくさん，可算無限個ある.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)
(引用終り)
以上
899:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 06:41:24.55 U9PlktVe.net
>>809
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけど
お主のあたま大丈夫か？
数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
900:１３２人目の素数さん
21/05/11 07:50:17.21 /Ud
901:ufGBx.net
902:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:07:43.23 tve+0lLS.net
>>810
キミの悪い癖ですね。
論理で反論できないと中傷に走る。
それ、早く治した方が良いぞ？
903:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:15:45.27 CfuEXmYl.net
>>804
>さて、連番を横に並べる
>1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列）
>この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない
ここまではOK
さて
>ここに不等号＜を入れる
>1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
>となる
これはNGね
もし
1＜2＜・・＜n＜・・
だったら、OKだったんだが
その後ろに、とってつけたように
<∞をつけた瞬間、NG
何がNGか、わかるかい？パクチー君
「<∞」の左の項が具体的に書けないだろ
数学ではそういう誤魔化しをしたらダメ
♪ダーメダメダメ、ダメ人間、ダーメニンゲーン
>不等号＜を∈に換える
>1∈2∈・・∈n∈・・
>この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
これはOKだが・・・
>1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である
これはNG
つまり安直に「∈ω」をつけたらダメなんだ
どうしてそんな簡単なことが分からないかな パクチー君はｗ
904:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:18:53.93 CfuEXmYl.net
>>807
＞落ちこぼれさんが何を言おうと
＞「∈ωの左は何か？」
＞に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。
＞∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿な
点の羅列と、＜列、∈列の違いがないと思う
パクチー◆yH25M02vWFhP君には
ホント困りましたね ┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
905:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:21:23.40 T66wl5d3.net
>>810
>数直線上で全ての自然数に対応する 0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
>区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ
合っているよ。下記の極限順序数に記載の通り
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n（>>809より）で
この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
nは、すべての有限自然数を渡り、そして
極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
性質
極限順序数はこの種の手続きにおいてある種の「転換点」を表している（そこでは、それより前の順序数すべての合併をとるなどの極限操作が用いられなければならない）。原理的には、極限順序数において何かする際に、合併をとることは順序位相における連続写像であり、これはふつうは好ましい性質である。
906:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:25:47.59 CfuEXmYl.net
>>809
>数直線を考える
>------------------------
>↑ ↑ ↑ ・・→↑
>0.9 0.99 0.999・・→ 1
>数直線上に
>0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
>小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
>lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
ここまではOK
さて
>もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
実現しませんよ
>n→∞ でなければならない
意味不明
>数直線上には、1が存在するので
>それに対応するのは、n→∞ で、
正しくは
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
です
省略するから🐎🦌になるんだよ
パクチー君ｗｗｗ
>簡単にn＝∞と書いても良いだろう
ダーメｗ
∞という自然数は存在しません
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1 は
「1-1/10^nにｎに∞を代入したら１になる」
という意味ではありません
どうしてそういう🐎🦌読みするの？
あんた高校どこ？ 普通科じゃないだろ？ どこの工業高校？
907:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:29:42.93 CfuEXmYl.net
>数直線上で全ての自然数に対応する
>0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
>区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ
まったく、その通り
908:ですね U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] として U=∪(n∈N) U_n を考えたとき U＝[0,1) であって、 0.999･･･(無限個)は Uの要素ではありませ~ん パクチー◆yH25M02vWFhP君、ざんね~ん
909:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:36:14.86 CfuEXmYl.net
>>815
>小数n桁 0.99・・＝1-1/10^nで
然り
>この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
>nは、すべての有限自然数を渡り、そして
>極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです
あー、哀れな素人安達弘志クンの敵そのものズバリですね
数学者は上記のような🐎🦌発言は絶対にしませんがｗ
つまり
「０から１づつ加えるだけでωに至る」
というのが🐎🦌
数学者ならこういう
「０から１づつ加えてできたどんな自然数ｎもωより小さい」
もしパクチー君が
「ん？まったく同じじゃん！何がどう違うんだ？」
というなら、数学は無理だから即刻辞めてニュー速板で
「ニッポンバンザイ！！！オリンピック開催絶賛希望！！！」
とわめいてください 🐎🦌は数学板には要りませんから~ 残念！
910:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:56:11.43 tve+0lLS.net
>>809
またまた0点で落第です。
大学数学に入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩も分かってませんね。
>0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
0.9, 0.99, 0.999,… のどの項も1より小さい。
>もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
実現しません。
>n→∞ でなければならない
極限が1であることは1-1/10^n＝1が実現することを意味 し ま せ ん。
極限の定義を理解しないからいつまでも何度でも間違える。
>数直線上には、1が存在するので
はい。
>それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう
ダメです。
極限の定義を理解しましょうね、落ちこぼれさん。
>そもそもが、
>1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
最大の自然数は存在しません。
>これが、実現できないならば
>時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？
無限列に最後の項＝最大の自然数番目の項が無いだけですね。
そのようなものの存在を仮定していないので何の問題もありません。
>1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で）
>となるよ（＾＾
だから∈無限上昇列は存在すると最初から言ってるじゃないですかｗ
>それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ
>お主！！ｗｗ（＾＾；
無限列に最後の項が存在すると思ってるキミがねｗ
911:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:18:39.49 tve+0lLS.net
>>815
>この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
なりません。nが自然数なら1-1/10^n<1。
>nは、すべての有限自然数を渡り、そして
>極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾
ωに到達する直前は何？
キミこの問いからずーーーーーーーーーーーーーーーーっと逃げ続けてるんだけど、そろそろ答えてもらえる？
ω以下の順序数を網羅した 0<1<…<ω なる<列が存在するとする限りこの問いから逃げられないよ？
トンデモさんの共通点：都合の悪い問いから逃げ続ける
912:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:24:33.68 tve+0lLS.net
>つまり
>「０から１づつ加えるだけでωに至る」
>というのが🐎🦌
落ちこぼれさんは「極限順序数は後続順序数ではない」がどうしても理解できないようですね
913:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:53:38.97 T66wl5d3.net
>>809 補足
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
で
0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
↓↑
1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を入れると
0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
↓↑
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
「1＜ 2＜ 3＜ ・・・＜ω」
も同じだよ
この話は、∞（＝ω）と同じでね
拡大実数とか射影の無限遠点とか、あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけどｗ
ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影幾何学
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。
つづく
914:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:54:52.69 T66wl5d3.net
>>822
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影空間 とは、その次元が n
915:であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。 コンパクト性 体 K が実数体 R または複素数体 C であるとき、これらの位相から定まる位相（ユークリッド位相・古典位相）に関して、射影空間 KPn はコンパクトなハウスドルフ空間である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 コンパクト化 一点コンパクト化の例 ・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。 (引用終り) 以上
916:１３２人目の素数さん
21/05/11 12:05:11.98 tve+0lLS.net
>>822
>不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
できたなら早く＜ωの左を答えて
917:１３２人目の素数さん
21/05/11 12:16:01.55 tve+0lLS.net
>>823
>・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
最大元ωを付け加えようが、1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列は存在しない。
証明は>>808。
証明まで書いてやったのに理解できない落ちこぼれに数学は無理。
918:１３２人目の素数さん
21/05/11 16:39:46.85 CfuEXmYl.net
>>822
>0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
> ↓↑
>1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
これはOKとしても
>不等号＜を入れると
>0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
> ↓↑
>1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
これはNGな
＜をいれるときに、つねに左右が確定しているか見ような
何も見ずに漫然と＜いれたら🐎🦌だよ パクチー君ｗ
>不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
できねえよ ついでにいいかげん「加算」じゃなく「可算」だって気づけよ
この思考能力ゼロの🐒のパクチーがｗ
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
>「1＜ 2＜ 3＜ ・・・＜ω」
>も同じだよ
これまた同じく全面否定
「1＜ 2＜・・・＜n＜ω」（有限列）にしかなんねぇってｗ
>この話は、∞（＝ω）と同じでね
>拡大実数とか射影の無限遠点とか、
>あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ
パクチー、「コンパクト」を全然理解してねぇだろｗ
1,2,3,…,ω の開被覆が何で有限個か分かってないだろ
ωを覆うどんな「開集合」も、ωに近い無限個の自然数を覆うんだよ
それは１からωに至る＜や∈の列が有限列になる、というのと同じこと
パクチーの主張は、コンパクト化を全面否定する
「トンデモ数学」なんだよｗｗｗ
919:１３２人目の素数さん
21/05/11 16:44:22.51 CfuEXmYl.net
>>822
>・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は
> N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
>>825
>最大元ωを付け加えようが、1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列は存在しない。
つーか>>826にも書いたけど
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列 が存在したら
N ∪ {ω}の順序位相のコンパクト性が完全否定されるってｗｗｗ
パクチーは「コンパクト」もわからん人間失格の🐒ｗｗｗｗｗｗｗ
920:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:19:10.29 T66wl5d3.net
>>808
(引用開始)
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
(引用終り)
それ、まさに、下記 田畑 博敏氏にある
”P2 1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限”で論じられていることが当てはまると思うよ
つまり、「「有限性j は第一階論理の言語で表現できない」と論じられていること
「丁度 n個の対象が存在する」という話をしているだけ
言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている
即ち、「有限ｎ」を仮定して、「ｎ＋2個の列が有限」を導いただけのこと
なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ
（そもそも、nに上限が無い以上、レーベンハイム・スコーレム定理の上方部分が当てはまるだろう？（下記））
お主、数学科出身を名乗らない方が・・（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム–スコーレムの定理
正確な記述
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一
921:部とする場合もある。 https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/ja/search/p/162/item/3576?sort=id%3Ar 鳥取大学研究成果リポジトリ https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/3576/20180622154809831908/tuecb6_1.pdf 第一階論理の特徴 著者 田畑 博敏 鳥取大学教育センター KAKEN 鳥取大学教育センター紀要. 2009, 6, 1-14 フルテキストファイル つづく
922:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:19:48.66 T66wl5d3.net
>>828
つづき
P1
はじめに
第一階論理には表現できることとできないことがある（その代表的な例を第 1節で見る）。しか
し、制約があるとはいえ、第一階論理は、よく研究されている多くの数学的な構造を、公理と呼ば
れ構造を定義する有限個の文の集合を与えることで、充分よく表現する能力を持つ（第2節）。その
ような第一階論理には、これを形式的体系と見たとき、さまざまなメタ定理が成り立つ。このこと
も、第一階論理の特徴の一つで、ある。特に、コンパクト性定理は、第一階論理の言語としての表現
能力に関わり、例えば、「有限性j や「無限性j といった性質の公理化可能性（＝定義可能性）に直
結する（第 3節）。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理というメタ定理は第一階論理の表現力
の弱さ・欠点ともみなされる一方で、このメタ定理から帰結する非標準モデ、／レに関わる多様な結果
は、論理の方法が持つ有効性を実証するものである（第 4節）。以下では、このような形で、第一階
論理の著しい特徴のいくつかを取り上げ、それらの哲学的意義を考察する。
P2
1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限
以上の二つの数概念、すなわち、「少なくとも n個の対象が存在する」という概念と「たかだ、か n
個の対象しか存在しない」という概念を用いて、すなわち、それらの表現を連言で結合することに
より、 「丁度 n個の対象が存在する」という概念を、φn∧χnとして表現できる：
φn∧χnヨyIヨy2…ヨYn∧1≦i＜j≦n yi≠yj
∧∀x0∀x1…∀xn∨0≦i＜j≦n Xi=Xj
言い換えると、有限の個数についての概念を第一階論理は表現できる。「丁度 n個の対象の存在」
を表現するとき、具体的に数値を決定していないとはいえ、「n個Jの‘n’はあくまで一定の、固
定された有限の数が意図されている。従って、有限性そのもの（有限性一般）を表現している訳で
はない。
つづく
923:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:20:23.15 T66wl5d3.net
>>829
つづき
では、「有限性j は第一階論理の言語で表現できるのか。これはできないこと、たとえ無限
個の論理式を使ってもできないこと、が分かつている。さらに、「無限性」はどうか。 f無限個の多
くの対象が存在するj ということを、無限個の定項を援用し、無限個の論理式を用いれば表現でき
る。定項を援用しないで純粋に論理的な言語で無限性を表現する方法として、よく知られたデデキ
ントの定式化がある。すなわち、ある集合（領域） Aが無限である（無限の要素を含む）とは、 A
から A自身の真部分集合の上への（＝その部分集合全体をカヴァーする）単射（異なる要素を異な
る要素へと移す写像＝ 1価関数）が存在する、というのがその定義の仕方である。 Aが有限集合で
あれば、 Aの真部分集合の要素の個数は A自身の要素の個数より小さくなる�
924:ｩら、対応させる先の 要素の個数が少なくなってしまうのととろが、単射は定義域の要素の「多さかげんj をそのまま保 って対応させるから、有限集合の相手先の要素の数が足りず、重複せざるを得ない。よって、単射 は存在しえない。そういうことができるのは無限集合にかぎる。そこで、これが無限集合たること （「無限性J）の定義と見なされる。しかし、これを表現するには、一階の論理言語ではできない。 全称記号‘ V’を関数（または関係）記号にも作用させる二階の量化が必要があり、（少なくとも） 二階の論理言語に訴えざるを得ないからである。 P11 4.レーペンハイム・スコーレム定理 いくつかの理論は必ず無限モデルを持つ。すなわち、それらの理論は、領域の要素（＝個体、対 象）の個数が有限であるような構造では、真とならない（成り立たない）のである。ところが、レ ーベンハイム・スコーレム（Lowenheim-Skolem）定理によれば、無限モデルを持つ理論で、カテゴ リカル（範購的）であるような、そういう理論が存在しなくなる。理論がカテゴリカルであるとは、 それらのそデ、ルで、ある構造が同型で、ある（isomorphic：構造の領域の問に関係を保存するようなパ イジェクション＝全単射の写像が存在する）ということであるが、そのためには、構造の領域の基 数が等しくなければならない。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理によれば、無限モデ、ルを 持つ理論においては、異なる無限基数を持つ複数のモデルが必ず存在する。従って、それらのモデ ルの間に、同型写像は存在しえず、理論はカテゴリカルではありえない。 つづく
925:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:20:53.80 T66wl5d3.net
>>830
つづき
実数の代数の分野で、そのような新しい非標準モデルを研究する分野として創始されたのが非標
準解析である。これは、ライプニッツの無限小解析の夢を実現したものと見なせる。従って、非標
準解析は、第一階論理の持つ柔軟性という長所がもたらした成果である。しかし、 s.シャピロの意
見では、上方および下方のレーベンハイム・スコーレム定理が成り立つことは、第一階論理の欠点
(defect）である（5）。なぜなら、任意の無限基数孟を持つモデルが文の集合に対して存在するが、
これらのモデルは文の集合の意味を確定することができないからである。
(引用終り)
以上
926:１３２人目の素数さん
21/05/11 18:26:08.73 tve+0lLS.net
>>828
>言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている
は？？？
>>808のどこにも「nは自然数であることを仮定」なんて書かれてないんですけど？
キミが勝手に「nは自然数」という先入観で誤読してるだけでは？ 大丈夫？ しっかりしてね
927:１３２人目の素数さん
21/05/11 18:28:32.30 tve+0lLS.net
>>828
>なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ
なんの指摘にもなってないよ？
当たり前、誤読しておいて指摘になるはずが無いよねｗ
928:１３２人目の素数さん
21/05/11 18:54:05.37 tve+0lLS.net
極限順序数は後続順序数ではない。
これに尽きるね。
ω以下の順序数をすべて並べようとしても、ωの前者は存在しません。
存在しなければ並べられませーーーーん 残念！
なんで落ちこぼれくんはこんな簡単なことが理解できないんでしょうね。サル並みの頭脳だから？
929:１３２人目の素数さん
21/05/11 19:11:38.63 tve+0lLS.net
>>830
>4.レーペンハイム・スコーレム定理
いや、キミ、レーペンハイム・スコーレム定理理解してないから。
レーペンハイム・スコーレム定理によって極限順序数が後続順序数になるとしたら数学は只のカオスだからｗ
930:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 21:08:42.60 U9PlktVe.net
>>826
(引用開始)
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
(引用終り)
なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
下記の有理数の稠密性（高校数学の美しい物語など）と
有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
それ知らないの？
お主は、数学科出身を名乗らない方がいいぞぉ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
有理数と無理数の稠密性
更新日時 2021/03/07
�
931:C意の実数 a,b(a<b) に対して， a< q< b を満たす有理数 q が存在する（有理数の稠密性）。 a< x< b を満たす無理数 x が存在する（無理数の稠密性）。 目次 稠密性 有理数の稠密性の証明 無理数の稠密性の証明 稠密性と完備性 稠密性 「稠密」の読みは「ちゅうみつ」です。「どれだけ狭い幅の区間を取ってきてもその間に要素が存在する」「ギッシリ詰まっている」ということです。 この記事では有理数の稠密性と無理数の稠密性を証明します。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 有理数 基本性質 Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。 つづく
932:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 21:09:44.95 U9PlktVe.net
>>836
つづき
位相的性質
有理数の全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。
有理数の全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。
有理数の全体 Q は、差の絶対値
d(x,y):=|x-y|
を距離函数として距離空間となる。この距離により Q に位相が誘導されるが、それは R1 からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 (Q, d) は完全不連結である。また、完備距離空間とはならない。実は距離 d(x, y) := |x - y| による Q の完備化として、実数全体の集合 R が得られる。
この位相に関して有理数体 Q は位相体を成す。有理数全体の成す位相空間 Q は局所コンパクトではない空間の重要な例となっている。また唯一、孤立点を持たない可算な距離化可能空間となるものとして Q を特徴付けることができる。
一方、Q を位相体とするような Q 上の距離は、これだけではない。
p-進距離と呼ばれる Q 上の距離函数を定める。距離空間 (Q, dp) はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として p-進数体 Qp が得られる。
オストロフスキーの定理によれば、Q 上の非自明な絶対値は同値の違いを除いて通常の絶対値か p-進絶対値で尽くされる。
つづく
933:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 21:10:06.02 U9PlktVe.net
>>837
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。
極限点の種類
・x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。
・x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。
(引用終り)
以上
934:１３２人目の素数さん
21/05/11 21:27:23.56 tve+0lLS.net
>>836
>有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
>可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
じゃあQの元をすべて並べて＜列を作った時、0の次の元は何？
935:１３２人目の素数さん
21/05/11 21:50:53.20 CfuEXmYl.net
>>836-838
見当違いなコピペで誤魔化したら🐎🦌だよ
ピンポイントで順序位相でサーチできないパクチー君ｗ
順序位相
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全順序集合 A に対し、無限半開区間全体の集合を準開基とする位相を
順序位相 (order topology) という。
もし、パクチー君のいう無限列が存在するなら、
N∪{ω}で、決して有限被覆がとれない開被覆が存在することになり
コンパクト性が否定されるｗｗｗｗｗｗｗ
936:１３２人目の素数さん
21/05/11 22:04:41.68 tve+0lLS.net
>>836
ω以下の順序数をすべて並べて＜列を作った時ωのひとつ前は何？
Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
逃げずに答えて下さいねー
>なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
>屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
それがキミだよ落ちこぼれクンｗ
937:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 00:06:52.38 4O3CktwN.net
>>836 補足
おサルは数理のセンスが、悪すぎ なさ過ぎ（＾＾
「有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）」くらい
当たり前というか、しっかり把握かつ理解できていないとね、まずいでしょうね
それ出来てないと、代数学も解析学も集合論も、ちょっと怪しいんじゃね？ あなたの理解度は（＾＾；
数学科出身を名乗らない方が良いよ
さて
高校数学の美しい物語に倣って、
命題（有理数の稠密性について）：
任意の有理数 a,b(a<b) で、区間(a,b)内に可算無限個の有理数が存在する
（証明）
背理法による
・もし、区間(a,b)内に有限m個の有理数 q1<q2<・・<qi<qi+1<・・<qm しかないとする
・しかし、qiとqi+1の中間の(qi+ qi+1)/2 は、有理数であり、qi<(qi+ qi+1)/2<qi+1となるから矛盾
「有限m個しかない」は否定され、可算無限存在することがわかる（可算は、Qが可算であることから従う）
QED（＾＾
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
上記は、有理数 a,b(a<b)だったが、実数 a,b(a<b)でも同様にできる
以上
938:１３２人目の素数さん
21/05/12 00:19:14.75 lS6zXTU5.net
>>842
>>841への回答になってないぞｗ 掠りもしてないぞｗ
落ちこぼれクン、またまた0点で落第でーすｗ
939:１３２人目の素数さん
21/05/12 00:33:20.62 lS6zXTU5.net
>>842
>区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
>よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
じゃあ不等号＜による可算無限列を、区間(-1,1)内に作って、0の次の有理数を答えて下さい。
不等号＜による可算無限列を任意の区間内に作ることができるんでしょ？当然答えられますよね？0の次の有理数。
940:１３２人目の素数さん
21/05/12 00:34:38.79 lS6zXTU5.net
>>842
ωの前者も忘れずに答えてね
ゴマカシ、逃亡は勘弁して下さいね
941:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 08:22:15.86 4O3CktwN.net
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけどｗ （無限を認める派と、認めない派（＾＾ ）
ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
942:１３２人目の素数さん
21/05/12 08:40:25.27 WinvL7W0.net
>>846
>ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、
このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。
工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw
943:１３２人目の素数さん
21/05/12 08:49:02.23 WinvL7W0.net
教育のプロポーションにこだわって有理点 by 瀬田君
944:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:18:29.84 WinvL7W0.net
>>846
>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>逃げずに答えて下さいねー
この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
Qの元をすべて並べて＜列を作ったとき、0の次の有理点 a∈Q が存在するとする。
有理数体 Q∋0、a の標数は0として考えているから、＜は有理数の大小関係を表す不等号の記号で 0＜a。
体Qは小学校で習う乗法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → ab∈Q と
加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q について群をなすことに注意すれば、a/2∈Q。
有理数の大小関係から 0＜a/2＜a。よって、aは0の次の有理点ではなく矛盾が生じる。
だから、0の次の有理点aは存在しない。
945:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:22:07.88 WinvL7W0.net
>>846
>>84
946:9について 加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q → 加法の二項演算 +：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q
947:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:48:33.50 lS6zXTU5.net
>>846
いみふｗ
無限ぜんぜん認めてますけど？
最後の項が有る無限列なんてものは存在しないと言ってるだけですけど？
いいから早く>>841に答えて下さいねー
948:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:57:30.57 lS6zXTU5.net
ある特定の項が何であるか答えられないのに列を作ったと言えるんですか？
じゃキミの言う列って何？
答えてね、落ちこぼれクンｗ
949:１３２人目の素数さん
21/05/12 10:28:47.86 my4JLb74.net
URLﾘﾝｸ(www.ningenkankeitukare.com)
950:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:31:43.51 empbdNTV.net
>>849
スレ主です
私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
だが、実名が知れても何ら痛痒を感じない。正しいのは私ですから
ところで
>>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
「＜列」を、一般の順序に拡張すれば、直積集合 NｘNに順序を入れられるよ
（詳しくは、wikipediaや、東北大 尾畑研をご参照）
下記高校数学の美しい物語
に倣えば
Q +’を、0又は正の有理数として
0→0
1→f(1/1)=1
とすれば、0の次は1に出来るぞ！ｗｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
集合の濃度と可算無限・非可算無限 更新日時 2021/03/07
・正の整数全体の集合と有理数全体の集合の濃度は等しい。
直感的には有理数の方が圧倒的にたくさんありますが，濃度という観点から見ると両者は同じなのです！
大雑把な証明
正の有理数全体の集合 Q + と N の濃度が等しいことを言えばよい。
正の有理数 p/q を p+q を小さい順に並べて既約分数のみ残して番号を振っていけば，
Q+ から N への全単射が構成できる：
f(1/1)=1,f(1/2)=2,f(2/1)=3,f(13)=4,
f(3/1)=5,f(1/4)=6,f(2/3)=7,・・・
補足（図による説明）
URLﾘﾝｸ(res.cloudinary.com)
・正の有理数全体は図の黒い点全体
・黒い点には（全ての黒い点に何らかの番号が対応するように）11 から順番に番号をつけていける
→「正の有理数全体」と「正の整数全体」の間には一対一対応がある
つづく
951:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:32:24.46 empbdNTV.net
>>854
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
尾畑研 東北大 数学概論 2018
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第7章 可算集合 GAIRON-book : 2018/4/30(12:55)
7.4 可算集合の直積
定 理 7.14 直積 N × N は可算集合である.
証 明 補題 7.13 より明らか.
別証明 直積 N × N の元に通し番号を振ればよい. N × N の元 (x, y) を図 7.1
のように配列して, 矢印に沿って番号付けすることができる.
(7.3) をカントルの対関数という.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
直積集合上の順序
2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。
・辞書式順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a<c∧ (a=c∨ b≦ d)
・積順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a≦ c∨ b≦ d
・ (a,b)≦ (c,d)⇔ (a<c∨ b<d)∧ (a=c∨ b=d)
最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の半順序は、いずれも3個以上の半順序集合の直積に対しても同様に定義される。
体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれも再び順序線型空間となる。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
N × N 上の直積狭義順序の反射閉包
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
N × N 上の積順序
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
N × N 上の辞書式順序
(引用終り)
以上
952:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:48:11.33 lS6zXTU5.net
>>854
>それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
じゃあキミ、シッタカしないで0の次の有理数答えてねｗ
どーして逃げ続けるの？
953:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:51:27.99 lS6zXTU5.net
>>854
キミさあ
訊いてることに答えず、訊いてないことばかり言うのやめてくれない？
有理数Qが全順序だとか稠密だとか、そんなのみんな知ってるからドヤ顔で言わないでいいよｗ
954:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:54:59.84 lS6zXTU5.net
落ちこぼれクンは勝手に他人が馬鹿で自分が利口って妄想してるようだね
その独善性はもう病気の域だね
訊いてないことばかり言って訊いてることに答えないのがその証拠
955:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:59:28.13 lS6zXTU5.net
こちらが訊いてもいないことを嬉々として語り、訊いてることはスルー
落ちこぼれクンは言葉のキャッチボールができないコミュニケーション障害者かな？
956:１３２人目の素数さん
21/05/12 12:10:00.49 empbdNTV.net
>>854 補足
追加資料
（参考）
URLﾘﾝｸ(ysserve.wakasato.jp)
Yasunari SHIDAMA 師玉康成
整列可能定理
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合$E$上に整列順序が存在する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列集合
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
例と反例
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。
957:１３２人目の素数さん
21/05/12 12:38:02.76 hLYu4hOk.net
>>860
キミも分からん人やねえ。
キミが示すべきは0の次の有理数であって、誰も理屈を捏ねてくれなんて求めてない。
そのコミュ障早く治しなさい。治すまで書き込みは遠慮してもらえます？
958:１３２人目の素数さん
21/05/12 12:46:18.69 hLYu4hOk.net
私が間違ってました。有理数すべてを並べた<列を作ることは不可能でした。
と、素直に認めれば良いのに、なんで間違いを認められないんでしょうね。発達障害で精神が幼稚なまま大人になってしまったのかな？
959:１３２人目の素数さん
21/05/12 13:39:57.25 hLYu4hOk.net
0の次の有理数pが存在すると仮定。
p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。
こんな簡単なことが何故分からないの？
池沼？
960:１３２人目の素数さん
21/05/12 14:20:49.79 empbdNTV.net
>>860 補足
追加資料
"実数の整列化について"
と選択公理（＝整列可能定理）
（参考）
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
教えてgoo
実数の整列化について
質問者：kurororo質問日時：2006/07/02 04:29回答数：2件
大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は
「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」
という内容でした。
さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。
それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。
No.2ベストアンサー
回答者： adinat 回答日時：2006/07/03 02:32
連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます。
整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね））
たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです。
数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！）
つづく
961:１３２人目の素数さん
21/05/12 14:21:28.83 empbdNTV.net
>>864
つづき
No.1
回答者： kabaokaba 回答日時：2006/07/02 14:51
「存在が証明される」のと
「具体的に構成する」というのは
別のものです
後者ならば前者は成立しますが
逆は成立しません．
ぶっちゃけた話，物理なんかでも
「理論的に予言されたものを
みんなで必死に探す」なんてことはよくありますね
＃逆のパターンも当然ありますが．
小柴先生のカミオカンデだって，
素粒子の質量の話だって，
古くは湯川先生の中間子だってそーいう流れでしょう
962:． 相対論もそーいう流れのはず． 数学だと，正65537角形は作図可能ですけど この作図の工程を具体的に示すのは できないでしょう（もしかすると もう誰かが具体的な書き方を見つけてるかも） そもそも整列可能定理は選択公理と同値なわけで 整列可能な順番を目に見える形で 構成できたとすれば それは選択公理を「構成」したこと すなわち「証明」したことになりませんか？ この整列可能定理は選択公理の一種の 異質さというか危うさというかを 際立たせる意味合いもあると解釈すべきだと 思いますがどうでしょうか (引用終り) 以上
963:１３２人目の素数さん
21/05/12 14:49:49.17 hLYu4hOk.net
>>864
そんな屁理屈は通りませんよ？
何故ならあなたは
> よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
と言いました。
列が存在する ではなく 列を作れる と。
しかし列は存在しないし作れない。
証明は>>863
こんな簡単極まりない証明が理解できない池沼に数学は無理なので諦めましょう。
964:１３２人目の素数さん
21/05/12 14:58:35.10 hLYu4hOk.net
有理数をすべて並べた<列は存在しない。
存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。
こんなん大学数学の初歩の初歩の初歩。入門レベルですらない。
さすがに大学一年4月に落ちこぼれた落ちこぼれクンは違いますねw
965:１３２人目の素数さん
21/05/12 15:02:19.63 hLYu4hOk.net
まあ落ちこぼれクンが阿呆なのは周知の事実ですが、彼の異常性は間違いを決して認められないこと。精神の発達が止まってしまう発達障害なんでしょう。
966:１３２人目の素数さん
21/05/12 15:23:38.30 yt2Vo9CC.net
>>854
>私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
意味がよく分からないが、もし>>848のことを指していっているなら、
>教育のプロポーションにこだわって有理点
というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、
というような感じで熱心に講義するときの姿勢にこだわっている人がいる。
まあ、君がコピペしたことがある人の中にいる。
そのようなことを知っている人はかなりいると思う。
967:１３２人目の素数さん
21/05/12 16:47:24.08 empbdNTV.net
>>869
どうも、スレ主です
>>教育のプロポーションにこだわって有理点
>というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、
言っている意味が分からない
「教育のプロポーション」の定義は？
有理数の稠密性とか、実数の連続とか
昔の高校では普通だった気がするよ
（最近のゆとりは知らんけどね）
大学への数学にも、普通に書いてあったと思ったけど
それでないと、高校で微積やれんでしょう？
勿論、大学での扱いは別としてもね（＾＾
968:１３２人目の素数さん
21/05/12 17:04:04.22 empbdNTV.net
>>867
>有理数をすべて並べた<列は存在しない。
>存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。
そんなバナナｗ（＾＾
全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全順序
全順序（total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。
例
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在する
969:ことを言う。 ・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。 ・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合（wellordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。 (引用終り) 以上
970:１３２人目の素数さん
21/05/12 17:16:48.02 empbdNTV.net
>>860 補足
追加の追加
（参考：英語版）（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-order
Examples and counterexamples
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wacław Sierpiński proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
つづく
971:１３２人目の素数さん
21/05/12 17:17:28.14 empbdNTV.net
>>872
つづき
An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example,
・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦.
・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦.
Examples of well orders:
・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω.
・The set of numbers { - 2^-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points.
・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not.
(引用終り)
以上
972:１３２人目の素数さん
21/05/12 18:03:22.00 +hpbejsk.net
>>871
> そんなバナナｗ（＾＾
バカは整列順序も全順序も全く分かってないキミだよ落ちこぼれクン。
>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw
極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w
これ理解出来ないようじゃ人間辞めた方が良いよ。
973:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 18:35:19.29 empbdNTV.net
>>874
>>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
>いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw
>極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w
あやや？
「完璧な証明>>863」？
（>>863より）
0の次の有理数pが存在すると仮定。
p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。
(引用終り)
これで
「0の次の有理数pが存在すると仮定」って
そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
わざわざ証明するまでもないよねｗ
なんか証明した気になっているのかね？ おぬし
はてさて、
意味不明だな（＾＾
974:１３２人目の素数さん
21/05/12 18:36:57.11 +hpbejsk.net
> キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。
これ、キミにはどういうことかちんぷんかんだろうね。
「整列集合Xの元すべてを含む<列が存在する」
これがキミの主張だろ？
じゃあ自力でもコピペでもいいから証明してごらん。
絶対無理だと思うけど。偽だからw
975:１３２人目の素数さん
21/05/12 18:42:42.17 +hpbejsk.net
>>875
> そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
じゃ全ての有理数を含む<列は存在しないねw
キミ、自分が何言ってるか分かってる？w
間違いを認めたって事でおk？
976:１３２人目の素数さん
21/05/12 19:44:43.72 +hpbejsk.net
キミ自分の投稿忘れたの？
>>836
>有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
>可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
これが間違いと認めるの？ y/n
977:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 21:06:07.23 4O3CktwN.net
>>875 補足
なんか、分かってないね
（下記より）
・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう
つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの
・全順序：線型順序、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である
「集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである」
”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列集合（well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全順序
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである：
反対称律：a ≦ b かつ b ≦ a ならば a = b
推移律：a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c
完全律（比較可能）：a ≦ b または b ≦ a の何れかが必ず成り立つ
反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能（英語版）であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。また完全性から反射性 (a ≦ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。
(引用終り)
978:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 21:12:02.37 4O3CktwN.net
>>879 補足
>”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
>任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して"
成り立つってことは
つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと
それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾
集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
979:１３２人目の素数さん
21/05/12 21:55:44.55 lS6zXTU5.net
だからいいんだけど
０の次の有理数を早く答えてよｗ
980:１３２人目の素数さん
21/05/12 22:49:21.42 lS6zXTU5.net
>>880
>集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
と
> そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
は矛盾じゃないの？ｗ
馬鹿だから分からない？ｗ
馬鹿は楽でいいねーｗ
981:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 07:39:56.93 0t/ScuZ1.net
>>842 補足
(引用開始)
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
(引用終り)
＜ガロアすれ流の有理数Qの稠密性定理＞
定理：上記の区間(a,b)をp等分してできる集合を、Ap＝{a+Δ,a+2Δ,・・,a+(p-1)Δ}とする
A：＝∪Ap 但し、p∈N(0と1を除く(2等分以上を考える))
とすると
集合Aは、区間(a,b)に含まれる有理数を表す
区間(a,b)は任意であり、
この区間にAなる無限の有理数の集合を含む（有理数Qの稠密性）
(証明)
1．区間(a,b)は、平行移動できるので、計算の簡単のためにaを原点に移して、区間(0,e)で考える
e＝b-aである
2．区間(0,e)に含まれる有理数をA’と書く
A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
3．区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A’を考える
c＝c1/c2と表す。また、e＝e1/e2と表す
4．そこで、p=c2・e1 ととれば、c∈Apとなることを示す
区間(0,e1/e2)をp(＝c2・e1) 等分するので、
区間の長さの分割単位Δ＝(e1/e2)/p＝1/(c2・e2)となる
とすると、c＝c1/c2は、c：＝c1・e2Δと表すことができる
即ち、c1・e2Δ＝c1・e2(1/(c2・e2))＝c1/c2＝c を導くことが出来る
5．よって、区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A示せたので
A’⊂Aであり、A’⊃Aであった(上記2項)から、A’＝A成立！
QED
この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
以上
982:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 07:44:27.98 0t/ScuZ1.net
>>883 訂正
A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
↓
A’＝Aであることを、示す。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
分かると思うが念のため（＾＾；
983:１３２人目の素数さん
21/05/13 08:49:15.21 7a7PbqY8.net
>>879
>なんか、分かってないね
それは雑談君、君だよキミ
>・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、
>S 上の全順序関係 "≦" であって、
>S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう
>つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの
上記は、「任意の元にかならず後者が存在する」と同じ
但し、整列順序に「必ず ≦ に関する最大元をもつ」という条件はない
つまり、「任意の元にかならず前者が存在する」とはいえない
たとえば、ωに前者は存在しない
したがって、ω＞ｎとなるいかなるｎも
ω＞ｍ＞ｎとなるｍが、必ず存在する（しかも無限に）
そしてωから０にいたる＞降下列はかならず有限である
（一方で、いくらでも長い（有限の）長さの＞降下列が存在する）
いっとくけど、Ｑに関する通常の順序は全順序だけど整列順序ではないよ
Ｎと同値な整列順序構造を新たに導入することはできるけど
その場合、Ｑのいかなる要素もあるＮの要素に対応するので
キミがいうωにあたる元はない
ま、むりやり作ってもいいけど、そうしたところで無限降下列はできないよ
984:１３２人目の素数さん
21/05/13 08:56:06.90 7a7PbqY8.net
>>883
＞有理数Qの稠密性定理
もしかして
「Qは整列順序です！！！」
とかドヤ顔で語ってる？
雑談君はパクチー🐎🦌野郎かな？
985:１３２人目の素数さん
21/05/13 11:07:42.22 F3DpW0Ek.net
>>883
なんで>>882から逃げるの？
間違いを認めるのがそんなに嫌？
986:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 11:50:31.70 uhdqO0QU.net
>>871 補足
＜整列順序と全順序の意味分かってない！＞（＾＾
１．整列順序とは、全順序であって、任意の部分集合が極小元を持つ
２．従属選択公理（選択公理でも）を使えば、「関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる」
３．全順序とは、「元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である」
４．実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる
従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる
５．当然、R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって、無限降下列も、あるいは無限上昇列も持つ
なお、有理数全体の成す集合 Qは、可算無限に限られる
６．自然数全体の成す集合 Nは、整列順序であり、最小限を持ち、降下列は有限である
７．しかし、N∪ωを考えると（wiki/Well-founded_relationより）”Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.”
つまり、N∪ωでは、「∀降下列は、有限」が不成立（詳しくは下記英文嫁め）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
つづく
987:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 11:52:00.30 uhdqO0QU.net
>>888
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二項関係が整礎（well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R).
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
整礎でない関係の例
・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
（上記「∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R)」関連は英文で分かり易く加筆されているね ）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
つづく
988:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 11:52:55.24 uhdqO0QU.net
>>889
つづき
In other words, a relation is well founded if
(∀S⊆ X)[S≠ Φ ⇒ (∃m∈ S)(∀s∈ S)￢(sRm)].
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
つづく
989:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 11:53:21.57 uhdqO0QU.net
>>890
つづき
（>>871より再録）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全順序（ぜんじゅんじょ、英: total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。
例
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。
・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
(引用終り)
以上
990:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 12:06:04.31 uhdqO0QU.net
>>879-880 補足
(引用開始)
>”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
>任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して"
成り立つってことは
つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと
それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾
集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
(引用終り)
下記、コンパクト性定理
「有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理」
「応用例 ・任意の順序集合が全順序に拡大できること」
なるほど、厳密にはコンパクト性定理を使うか
991:X の任意の3つ組→任意の有限部分集合→元の集合X全体（それは当然無限集合）で成立 という証明の筋でしょうかね？（＾＾ コンパクト性定理ね なるほど、確かに便利だな（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86 コンパクト性定理 コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである。 歴史 1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。 応用例 コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。 ・上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理 ・任意の順序集合が全順序に拡大できること [3] 証明 コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。 (引用終り) 以上
992:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:08:00.62 F3DpW0Ek.net
屁理屈はいいから早く0の次の有理数を答えてくれない？
無理筋だと言うなら有理数をすべて並べた＜列は存在しないことを認めるの？
どっち？
逃げてないで答えて
993:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:11:27.22 7a7PbqY8.net
>>888
> Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
> Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
翻訳は以下のとおり
「次のような例を考えてみましょう。Xを正の整数と、任意の整数よりも大きい新要素ωとの和とする。
このとき、Xはwell-foundedな集合であるが、ωから始まる任意の大きな（有限の）長さの下降鎖があり、その鎖はω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 は任意の n に対して長さ n を持つ。」
どこにも、無限列がある、なんて🐎🦌なウソは書いてないが
994:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:23:32.37 F3DpW0Ek.net
嘘はいけませんね
数学どうこう以前に人格が破綻してます
995:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:32:08.31 F3DpW0Ek.net
ω以下の順序数をすべて並べた∈下降列は存在しない。
理由は超簡単。ωは後続順序数でないから並べようにもωの前者が存在しない。
ωから始まる∈下降列は有限列。
理由は超簡単。ωの元はどれも自然数だから、ω∋▢∋…∋1∋0 の▢=自然数n。よってこの列の長さはn+2。
こんな超簡単なことも分からない落ちこぼれクンに数学は無理なので諦めましょう。
996:現代数学の系譜 雑談
21/05/13 12:36:16.19 uhdqO0QU.net
>>847
(引用開始)
>ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、
このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。
工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw
(引用終り)
意味分からんけど、レスしておく
1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても）
2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？
数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生
3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち
彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ
（ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった）
4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら
世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、
「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、
大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾
私？ 私のことではございません。私は、底辺も底辺です
でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
珍しいものを発見したとｗ（＾＾；
997:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:46:41.39 F3DpW0Ek.net
>私？ 私のことではございません。私は、底辺も底辺です
自惚れでしょう。
あなたは大学数学から入門を拒否された落ちこぼれです。
底辺とは大学課程修了者の中で最低レベルという意味です。あなたはそこまで達してません。
998:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:49:00.32 F3DpW0Ek.net
>>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
何重にも間違ってるｗ 馬鹿丸出しｗ
999:１３２人目の素数さん
21/05/13 12:51:26.22 F3DpW0Ek.net
さすがに入門を拒否された落ちこぼれだけのことはありますねｗ
何重にも間違ったことをドヤ顔で書きこむその度胸だけは褒めてあげますｗ
しかし根拠の無い度胸なんて糞の役にも立ちませんよ？ｗ
1000:１３２人目の素数さん
21/05/13 13:01:21.69 F3DpW0Ek.net
>>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ