21/05/08 10:27:00.99 27ekwIg+.net
ω＝N とナイーブに断言する雑談君に問題
Q1. ω⊂Z、となるように Zを定義せよ
Q2. その場合 2^Z ∩ Zはどうなる？
（注：ω⊂Q でも ω⊂R でもいいんだけど、QはともかくRの構成は、
無限が分からん雑談君には到底無理なんで、Zで勘弁してあげたｗ）
829:
21/05/08 10:29:56.60 27ekwIg+.net
>>741
>>{}はRの要素で良いでしょ
>じゃあ {}∈2^R ∩ R ≠ Φ じゃんｗ
>どうやって良問と判断したの？ｗ
決まってるじゃん
「自分�
830:ﾉは答えられないから！」（キリっ） ＃落ちこぼれあるある
831:哀れな素人
21/05/08 10:33:58.72 YvkmE/lz.net
スレ主よ、
ID:4CnMMyMC
ID:27ekwIg+
これはどちらもアホのサル石だ(笑
ID:4CnMMyMCがサル石であることは
「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」
を読めば分かる(笑
>肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ
そのお🐎🦌がお前だ、ドアホ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
レベルの高いスレには全然投稿できない中二の落ちこぼれ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
832:
21/05/08 10:47:03.07 27ekwIg+.net
>>703
>例題 4.3. X = {a, b, c} (a, b, c は互いに異なる）であるならば、
>P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
「だ・か・ら、いかなる集合も、X ∩ P(X) = {}！」
と、雑談君が答えたなら、まさに軽率なお🐎🦌ｗ
a=Φ,b={Φ},c={{Φ}}としましょう
そのとき
X = {a, b, c} ＝｛Φ, {Φ}, {{Φ}}}
P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
= {Φ, {Φ}, {{Φ}}, {{{Φ}}}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {{Φ}}}, {{Φ}, {{Φ}}}, {Φ, {Φ}, {{Φ}}}}
X ∩ P(X) = {Φ, {Φ}, {{Φ}}}
なんで？
そりゃ {}=a, {a}=b, {b}=c だからだよｗ
833:
21/05/08 10:49:42.38 27ekwIg+.net
>>747
>ID:4CnMMyMCがサル石であることは
>「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」
>を読めば分かる
一方、ID:27ekwIg+=私は、上記のアホスレには書き込んでいないｗ
したがって、私はサル石ではな~いｗ
834:哀れな素人
21/05/08 10:56:28.98 YvkmE/lz.net
スレ主よ、サル石が、
>「β」は存在し、「βという数」は存在しない。
>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではないｗ
と書いてきた(笑
「βという数」は存在しない、と書きながら、
「βという数」は存在するが、と書いている（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
ほとんど精神分裂病に近いドアホだ(笑
昔は本当に精神病だった男だが、精神分裂病だったに違いない（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
835:
21/05/08 11:01:53.13 27ekwIg+.net
>>742
>ボクの知り合いの大阪大卒も
>「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
>といってました（マジ）
これから雑談君のことを「コニシ」こと「こにっちゃん」とよぼうかな
参考動画
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
せ~らの地元（大阪）のお友達のコニシさんって誰や？
ゼッタイ、オトコやろ~ｗ
836:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:07:39.97 X3IvmoGN.net
>>747
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
(引用開始)
ID:4CnMMyMC
ID:27ekwIg+
これはどちらもアホのサル石だ(笑
(引用終り)
なるほど
どちらも
アホのサル石みたいですね
彼は、複数ＩＤを使いますからね（＾＾
837:
21/05/08 11:13:55.78 27ekwIg+.net
>>750
>>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではない
サル石のいう「ナンセンスな存在」がどんなものか
サル石でない私には理解しようもないが
βが実数だとすると矛盾するならば、実数としては存在しない
実数でない新たな数としてなら？無矛盾なら存在する
i^2=-1 となる（実数でない）虚数がいい例だが、その他にも
ε^2=0 となるε≠0が、「実数でない数」として追加しても無矛盾だ
というなら、存在するだろう
838:
21/05/08 11:16:09.05 27ekwIg+.net
>>752
＞彼は、複数ＩＤを使いますからね
じゃ、私は「彼」ではないね
私は、単一ＩＤしか使わんから
スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ
839:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:44:50.56 X3IvmoGN.net
>>740
>さて、本題
>{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}} なので 2^R ∩ R ≠ {} ではないですね
ようやく、自分のバカさ加減に気付いたの？（＾＾
おサルは（>>689より）
(引用開始)
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
(引用終り)
と書いたよね（特に「{}∈ω」にご注目）
ところで、下記「高校数学の美しい物語」”自然数Ｎに、0を含むという考え方もある”をご参照
表題”0を含む”と、下記ノイマン構成で、自然数Ｎ∋{}かどうかとは
それは別問題だよ
繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと
”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ
（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ）
山上滋先生の下記
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」
は、良問でした！ｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
自然数とは（0を含むこともあるよ）更新日時 2021/03/07
0を含むという考え方もある
流儀2．自然数とは 0 以上の整数である。
大学以降では自然数は 0 を含む場合もある（特に集合論の文脈）ので注意が必要です。
集合論では 0 を空集合に対応させ，S(a)=a∪{a} として以下のように自然数を構成することが多いです（フォンノイマンの構成法）：
0={}（空集合）
1=S(0)=0∪{0}={0}={{}}
2=S(1)=1∪{1}={1,0}={{{}},{}}
3=S(2)=2∪{2}={2,1,0}={{{{}},{}},{{}},{}}
カッコがたくさんあってキモいですが，これはちゃんとした集合です。
つづく
840:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:45:17.14 X3IvmoGN.net
>>755
つづき
（>>681より）
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ14
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上
841:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:47:50.51 X3IvmoGN.net
>>754
＞スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ
心配するな
おまえは、十分病気だよｗ（＾＾；
842:
21/05/08 11:49:01.68 27ekwIg+.net
>>755
いかん、>>740では逆にかいちった
正しくは、2^R ∩ R ≠ {} ですね
雑談君ことこにっちゃんは、ま～だ、自分の間違いに気づかんのか？ｗ
843:
21/05/08 11:52:14.57 27ekwIg+.net
>>755-756
>2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
>は、良問でした！
>>748読んだ？
2^ω ∩ ω=ωとなることは理解した？
愚問だよなｗ
844:
21/05/08 11:53:44.71 27ekwIg+.net
>>757
>おまえは、十分病気だよ
「自己愛性パーソナリティ障害」の変態である雑談君に比べたら全然大したことないよｗ
845:１３２人目の素数さん
21/05/08 13:01:41.33 4CnMMyMC.net
>>755
>特に「{}∈ω」にご注目
>繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと
>”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ
>（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ）
つまりキミは「{}∈ノイマンのω」は偽と言いたいの？
wikipedia「Ordinal number」より引用
This motivates the standard definition, suggested by John von Neumann, now called definition of von Neumann ordinals: "each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals."
First several von Neumann ordinals
0 = { } = ∅
1 = { 0 } = {∅}
2 = { 0, 1 } = { ∅, {∅} }
3 = { 0, 1, 2 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}} }
4 = { 0, 1, 2, 3 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }
さすがに大学1年4月でつまづいた人の言うことは違うねｗ
846:１３２人目の素数さん
21/05/08 13:11:35.04 4CnMMyMC.net
>>755
>特に「{}∈ω」にご注目
何を言い出すかと思えば愚にも付かぬことをドヤ顔でｗ
>「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」
>は、良問でした！ｗ（＾＾
え？？？
キミのRの定義だと2^R ∩ R ≠ Φなんだけどｗ
偉い先生に納得せよと言われたら納得するんだｗ そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ
847:１３２人目の素数さん
21/05/08 13:16:07.31 4CnMMyMC.net
>そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ
今年もまた大学新入生に追い抜かれた瀬田くんだったとさｗ
848:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 14:45:55.14 X3IvmoGN.net
>>761-762
なるほど、言いたいことが分かったよ
ノイマン構成では、新井先生などN＝ω （>>726）
一方、当然 N⊂R
べき集合でも、2^N⊂2^R 成立
さらにωには、y ∪{y} ∈ x（新井 >>726）
つまり、y と{y}が含まれる
自然数に直すと、n＝{n-1,・・,2,1,0}
Nには全てのnが含まれ
従って、2^Nには、全ての{n-1,・・,2,1,0}=nが含まれる
2^Nには、空集合Φ＝0も含まれる
よって、N⊂2^Nで、N∩2^N=N
N⊂2^N⊂2^R だから
2^R ∩ R = Mとおいて、N⊂M ≠Φ （おそらくは、M＝Nかな？（＾＾ ）
だから、修正
849: （>>681より） http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf 集合入門２０１８ 山上 滋 2018 年 11 月 7 日 Ｐ14 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。 ↓ 問 19. ノイマン構成で、2^R ∩ R = M, 自然数の集合N⊂M≠Φ であることを納得せよ。 とすべきかな 上記の後半「2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」では、 X中に、部分集合を先取りする元が存在すれば、”≠ Φ”が成立する つまり、ノイマン構成のように ”y と{y}が含まれる”みたいなこと （ノイマン構成Nは、y と{y}のチェインになっている） 今見直すと、>>755は山上先生の問 19に引きずられて(成り立つと思ってた)、変なこと書いちゃったね >>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」にも、脳波を狂わされてしまったよ まだまだ、修行が足りなかったな（＾＾；
850:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 14:47:53.09 X3IvmoGN.net
>>764 訂正
つまり、y と{y}が含まれる
↓
つまり、y と{y}との両方の要素が含まれる
だな（＾＾
851:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 14:58:20.41 X3IvmoGN.net
>>764
補足
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Natural number
Constructions based on set theory
Main article: Set-theoretic definition of natural numbers
See also: Ordinal number § Definitions
Von Neumann ordinals
0 = { },
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
n = n?1 ∪ {n?1} = {0, 1, ..., n?1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}, etc.
(引用終り)
ここで、Ｎの部分集合 {0, 1, ..., n?1}∈2^N を取ると、これがn∈Ｎとなっている
これが、全てのｎについて成り立つってことだね
852:１３２人目の素数さん
21/05/08 17:07:52.32 7pSA4dPj.net
問題
> ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
を証明せよ
853:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 19:38:43.85 X3IvmoGN.net
>>767
Axiom of regularity が、帰納法の公理と関係しているそうだよ
（下記）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
Induction axiom
The assertion of the validity for all x of some predicate P(x) defined on the set of all non-negative integers, if the following two conditions hold: 1) P(0) is valid; and 2) for any x, the truth of P(x) implies that of P(x+1).
The induction axiom is written in the form
P(0)&∀x(P(x)⊃P(x+1))⊃∀x P(x).
In applications of the induction axiom, P(x) is called the induction predicate, or the induction proposition, and x is called the induction variable,
This axiom is called the complete or recursive induction axiom. The principle of complete induction is equivalent to the principle of ordinary induction. See also Transfinite induction.
つづく
854:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 19:39:01.83 X3IvmoGN.net
>>768
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
In mathematics, {\displaystyle \in }\in -induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
Contents
1 Statement
1.1 Comparison with natural number induction
2 Independence
Comparison with natural number induction
The above can be compared with {\displaystyle \omega }\omega -induction over the natural numbers {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} for number properties Q.
Independence
In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulti
855:ng theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implies neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity. つづく
856:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 19:41:25.90 X3IvmoGN.net
>>769
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理型
公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。公理図式とも訳される。
公理型の例
公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。
・帰納型：ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。
・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
これらの型は除去できないことが証明されている（最初の証明はリチャード・モンタギューによる）。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。
高階論理において
一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。上で挙げた帰納法 と置換 の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。
(引用終り)
以上
857:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 10:57:38.63 6xnjRD2S.net
>>735 追加
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数
論理学における実数
ブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。
(引用終り)
下記だな
”Thus, for every topological space X, the topos Sh(X) has a Dedekind real numbers object R. Naively one might expect R to be isomorphic to the constant sheaf Δ(R), where R is the classical set of real numbers,
but this turns out not to be the case.
Instead, we have a rather more remarkable result:
Theorem 5.1.略”
（参考）
URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
Real numbers object
1. Idea
2. Definition
3. Properties
4. Constructions
In a topos with an NNO
In a Π-pretopos with WCC
In a Π-pretopos with an NNO and subset collection
5. Examples
In Set
In sheaves on a topological space
In sheaves on a gros site of topological spaces
In a general sheaf topos
6. Generalizations
Cauchy real numbers
Classical Dedekind real numbers
7. Related concepts
つづく
858:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 10:58:52.00 6xnjRD2S.net
>>771
つづき
1. Idea
Recall that it is possible to define an internalization of the set of natural numbers, called a natural numbers object (NNO), in any cartesian monoidal category (a category with finite products). In particular, the notion makes sense in a topos. But a topos supports intuitionistic higher-order logic, so once we have an NNO, it is also possible to repeat the usual construction of the integers, the rationals, and then finally the real numbers; we thus obtain an internalization of R in any topos with an NNO.
More generally, we can define a real numbers object (RNO) in any category with sufficient structure (somewhere between a cartesian monoidal category and a topos). Then we can prove that an RNO exists in any topos with an NNO (and in some other situations).
2. Definition
Let E be a Heyting category. (This means, in particular, that we can interpret full first-order intuitionistic logic using the stack semantics.)
5. Examples
In Set
The real numbers object in Set is the real line, the usual set of (located Dedekind) real numbers. Note that this is a theorem of constructive mathematics, as long as we assume that Set is an elementary topos with an NNO (or more generally a Π-pretopos with NNO and either WCC or subset collection).
In sheaves on a topological space
Thus, for every topological space X, the topos Sh(X) has a Dedekind real numbers object R. Naively one might expect R to be isomorphic to the constant sheaf Δ(R), where R is the classical set of real numbers, but this turns out not to be the case. Instead, we have a rather more remarkable result:
つづく
859:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 10:59:23.00 6xnjRD2S.net
>>772
つづき
Theorem 5.1. A Dedekind real numbers object R in the topos Sh(X) is isomorphic to the sheaf of real-valued continuous functions on X.
This is shown in (MacLane-Moerdijk, Chapter VI, §8, theorem 2); see also below.
Remark 5.2. Theorem 5.1 allows us to define various further constructions on X in internal terms in Sh(X); for example, a vector bundle over X is an internal projective R-module.
(引用終り)
以上
860:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 11:18:40.61 6xnjRD2S.net
>>742
余談だが
私は実名の議論はしない
全くの第三者に迷惑がかかる可能性があるからね
だが、実名が分かっても、なんの痛痒も感じない
正しいのは私側だから
さて、
>ボクの知り合いの大阪大卒も
>「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
おサルこと維新さんに、大阪大卒生の知り合いがいるという話の信憑性が薄いな
（大阪人は全て維新レベルだとか、さんざんこき下ろしていたよね。どんな顔して会っているか疑問だ）
で、阪大卒なら、時枝記事不成立が、言われれば理解できるだろう
時枝記事不成立が、言われて理解できない阪大卒生なら、それこそ黒歴史だよ
もし実在するなら、そいつにそう言っておいてくれ（＾＾
861:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 11:53:17.38 6xnjRD2S.net
>>710-717 もどる
(引用開始)
まだ「集合として同じ」と「同型」の区別がついてないね
Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！
ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが
Im(Ｎ)はＮと同じ集合ではない！
集合論では自然数を集合で定義するが、集合での定義が必須ではない。実際代数学でも解析学でも集合で定義していない。
その場合、2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合だから、当然 2^N∩N={}。
「N＝ω ∧ N⊂R と決めつけたのが間違い」
N＝ω ならば N⊂Rではない
N⊂R ならば N＝ωではない
ただ、Ｒは有理数列として実現するから
その部分集合としてのＮも当然有理数列であり
ωの要素とは異なる形式となる
したがって、ω⊂２＾ωだからといって
Ｎ⊂２＾Ｎとはいえない
集合論での話をしても、2^R∩R={}となることがある
ただ、これはRをどういう集合として実現するかに依存する
(引用終り)
おぬし、議論に勝ちたいための屁理屈としては、これは分からなくも無いがｗ（＾＾
やっぱ、屁理屈でしょｗｗ
下記のように、実数R中で、無理数を有理数Qを使って構成したいとき、コーシー列を使う
これは、当然無限列である
例
q1,q2,・・→α（q1,q2,・・∈Q(有理数)で、αは無理数）
で、下記英文のカントールの対角線論法で
わざと、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
みたく 書くことがある。s1 =0だけど
これは、あくまで、べき集合の濃度を考える便法だよ
一方で、代数学では、「Ｎ⊂Ｒではない！」あるいは「Q⊂Ｒではない！」
とかしたら、都合悪いよねｗ（＾＾；
Qの代数拡大の理論が、ヘンチクリンになるよ！（＾＾
で、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は、
あくまで便法で、日常では、有理数はコーシー列など使わずに、単に例えば”q”とか単純に書けば良い
それで、何の問題も無いでしょ（＾＾
つづく
862:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 11:53:47.21 6xnjRD2S.net
>>775
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数
コーシー列を用いた構成
詳細は「コーシー列#実数の構成」を�
863:Q照 実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。 有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a ? b| から定まる点の近さを考えることができる。これについてのコーシー列たちを適当な同値関係によって同一視した空間として R が得られる。こうして構成された実数の空間の中では、収束数列によって近似的に与えられる対象が実際に実数として存在している。また、Q 上の距離が代数構造と両立するようになっているので、R の上でも Q の代数構造を基にした代数構造を考えることができる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95 カントールの対角線論法 https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument Cantor's diagonal argument Uncountable set The proof starts with an enumeration of elements from T, for example: s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ... (引用終り) 以上
864:１３２人目の素数さん
21/05/09 13:13:50.67 FTT6X9Mi.net
>下記のように、実数R中で、無理数を有理数Qを使って構成したいとき、コーシー列を使う
>これは、当然無限列である
>例
>q1,q2,・・→α（q1,q2,・・∈Q(有理数)で、αは無理数）
>で、下記英文のカントールの対角線論法で
>わざと、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
>みたく 書くことがある。s1 =0だけど
>これは、あくまで、べき集合の濃度を考える便法だよ
これは酷い
865:１３２人目の素数さん
21/05/09 13:28:33.42 HUz+2MWa.net
>>777
ヤツは数列をどう集合として実現するか知らないんでしょう
御愁傷様
866:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 15:16:18.88 6xnjRD2S.net
>>778
クラトフスキーの定義が有名だが
それがどうしたの？ｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序対
目次
1 一般論
2 直観的な定義
3 集合論による順序対の定義
3.1 ウィーナーの定義
3.2 ハウスドルフの定義
3.3 クラトフスキーの定義
3.4 クワイン?ロッサーの定義
3.5 カントール?フレーゲの定義
3.6 モースの定義
4 圏論
クラトフスキーの定義
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4]
(a,b)_K:={{a},{a,b}}
を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも
p=(x,x)={{x},{x,x}}={{x},{x}}={{x}}
として有効な定義になっていることである。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序組
任意の長さ n に対する n-組は、順序対の構成を帰納的に用いて定義できる。順序組はふつう、要素をコンマで区切って書き並べたものを丸括弧 "()" で括る。例えば (2, 7, 4, 1, 7) は五つ組である。要素を括る約物は、ときどき角括弧 "[]" や山括弧 "??" や場合によっては 波括弧 "{}" を使うこともある。特に波括弧は（歴史的な経緯で、数列や点列を扱う文脈などではしばしば用いられるが）標準的な集合を表す記法と紛らわしいため注意すべきである。
目次
1 性質
2 定義
2.1 写像としての定義
2.2 順序対の入れ子としての定義
3 n-組の総数
4 型理論
順序対の入れ子としての定義
集合論における順序対のモデル化は順序対を用いても定義できる。ただし、順序対は既に定義されているものとする（そして、順序対は二つ組である）。
集合論において、順序対は集合として定義される（例えばクラトフスキーの定義）から、順序対による順序組の定義も集合によって定式化できる:
867:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 15:19:34.81 6xnjRD2S.net
>>777
酷いのはおまえだよ
代数学のガロア理論において
Qの代数拡大は、当然無理数たる代数的数を使うよね
で、代数的数αをいちいちコーシー列で定義するやつい�
868:驕H いや、それ以前に、有理数ｑ∈Qで、ｑを無限長なるコーシー列で書く教科書が 一冊でもあるかい？ 酷いのはおまえだよ
869:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 15:23:27.88 6xnjRD2S.net
それでなんだ？
ω＝Nなら
N⊂Q⊂R
が成り立たないだと！ｗ（＾＾；
（ここに、N：自然数の集合、Q：有理数の集合、R：実数の集合だけど）
どんな頭してんだ？
数学科出身を名乗らない方が
いいぞ、お主はｗｗ（＾＾
870:１３２人目の素数さん
21/05/09 16:42:11.85 whapzVrc.net
>>780
これは酷い
871:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 17:32:36.36 6xnjRD2S.net
>>782
酷いのはおまえだよ
１．いま有理数体Qがあるとして、一つの代数的数αがあり（無理数とする）、Qの代数拡大を考える
２．αをコーシー列で表現したとて、殆ど無意味（超越数と代数的数の区別が出来ないし、役に立たないよ。まして、有理数qをコーシー列にしても、代数学では混乱するだけじゃんかｗ（＾＾
３．勿論、下記のジーゲルやロスのディオファントス近似の話はあるけれども、コーシー列の話とは別だ（ディオファントス近似は、普通は代数学には入れないしね）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数的数
数論的性質
α を無理数とする。任意の正数 ε に対して、ある正定数 c = c(ε) が存在して、
q > c を満たす全ての有理数 p/q に対して成立するような、μ の下限 μ(α) を、α の無理数度 という。もし、このような数が存在しない場合、 μ(α)=∞とする。つまり、無理数度は、αを有理数で近似したとき、どのくらいの精度で近似できるかの指標を与える。たとえば任意の有理数の無理数度は 1 になる。
リウヴィルは、1844 年、α が n 次の実代数的数（実数である代数的数）のとき、μ(α) ≦ n であることを証明し、このことから、リウヴィルは超越数が存在することを初めて証明した。
実代数的数に対する μ(α) の評価は、その後、トゥエ (A. Thue)、ジーゲル、ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、ダイソンらにより改良され、最終的に ロスにより、μ(α) = 2 であることが証明された（ディオファントス近似を参照）。この功績によりロスは 1958 年フィールズ賞を受賞した。
上記のことから、無理数度が 2 よりも大きい実数は超越数となるが、超越数ならば無理数度が 2 よりも大きくなるわけではない。たとえば、自然対数の底 e の無理数度は、2 である。
ほとんど全ての実数に対して、無理数度は 2 であることが知られているが、無理数度が分かっていない数がほとんどである。たとえば、円周率 π の無理数度が 2 であるかは不明である。現状、8.0161 以下であることが証明されているにすぎない（畑 1992年）。
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Diophantus 近似 - J-Stage
平田典子 著 数学 2012 Volume 64 Issue 3 Pages 254-277
872:現代数学の系譜 雑談
21/05/09 20:08:08.06 6xnjRD2S.net
>>783 補足
要するに、適材適所
バカと ハサミは使いよう
コーシー列の長所短所を考えて
使わないと
自然数ｎや、有理数ｑも、ムリムリ無限長のコーシー列にして
実数Rの元を統一して扱う
それは、集合の濃度を、対角線論法で論じるときスッキリします
また、大学１年生に、”自然数ｎや、有理数ｑも、無限長のコーシー列”として扱うテクニック教育の意味もあるかも
だが、一方で、自然数ｎや、有理数ｑはコーシー列とせず
無理数のみコーシー列として扱うという方法もありだろう
というか、歴史的には、こちらの方が先だし
基礎論を離れたら、こちらでしょう？
（”自然数ｎや、有理数ｑも、無限長のコーシー列”としたら普段の数学では煩
873:わしいだけだし、 それに見合うメリットがないとだれも採用しないぞ） それにだ、コーシー列ではなかった扱いの有理数ｑが 突然 代数拡大で、代数的数α（無理数とする）を添加したら 有理数ｑをコーシー列にしなければ成らないってこともない コーシー列だなんだかんだは、不問にしておけ！ そうして、素直に有理数体Qにαを添加した代数拡大を考えるべし そのとき、当然N⊂Q⊂Q（α）⊂R N⊂Q⊂Rが成り立たないだと？？ なにバカなことを言っているんだ！！！ｗ（＾＾
874:１３２人目の素数さん
21/05/09 21:50:51.32 FTT6X9Mi.net
未だ分かってないのかｗ
875:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 07:17:02.13 LxbZqh9r.net
>>785
ごまかそうとしているのか、釣りか？（＾＾
まあいい
それでね、>>768を補足しておくよ
”Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.”
とあるよね
つまり、ノイマンが基礎の公理（the axiom of regularity）を導入した大きな意図が、ここにあるんだ
>>769から
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x).
This is a special case of well-founded induction.
(引用終り)
とあるよね。（なお、”∈”を、ε（Epsilon）と呼ぶってことな、念のため）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.
(引用終り)
ってこと
つまり、基礎の公理が、”not only allows induction”で、”but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }”
を意図しているってことです
基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾；
間違いだよ
だから、>>689 の「ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立」とかさ
何を考えているのか？ ノイマンの基礎の公理の意図が、分かってないね
ZFCの中で、基礎の公理が、”induction”を担保しているんだ
「ペアノの公理」ってｗ、ZFCにさらに「ペアノの公理」が必要とか、こいつ何考えているんだ？ っていうことです（＾＾；
以上
876:１３２人目の素数さん
21/05/10 10:56:12.73 0+1LBsZY.net
>>786
いや、コーシー列による有理数体Qの実数体Rへの完備化に対角線論法はいらないってこと。
瀬田君は、未だ実数論が分かっていないということ。
877:１３２人目の素数さん
21/05/10 11:07:48.49 0+1LBsZY.net
>>786
時枝記事の理解に超越数とか代数的数とかの実数または複素数の代数的な区別は全く関係ない。
878:１３２人目の素数さん
21/05/10 12:46:39.36 1UqueJ/F.net
>>786
>基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾；
誰がそんなこと言ったの？レス番号示して
ω∈ω+1∈ω+2∈…は無限上昇列ですけど？
879:１３２人目の素数さん
21/05/10 13:12:03.61 1UqueJ/F.net
>>786
>基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾；
何重にも間違ってる。
・基礎の公理は∈無限下降列を禁止している。∈無限上昇列を禁止していない。実際 ω∈ω+1∈ω+2∈… は無限上昇列。
・誰も基礎の公理は∈無限上昇列を禁止しているなんて言ってない。レス番号を示せ。
・基礎の公理と関係無く、最後の項のある無限列は存在しない。
・偽ω:={{…{}…}}を仮に集合と見做した場合、ω∋ω∋… なる無限下降列が存在するから基礎の公理に反する。
・偽ω:=…{{}}…は一番外側のカッコを持たないからその元を特定できない。よって集合ではない。
・真ωには無限下降列は存在しない。ωのどの元も有限順序数だから ω∋n∋n-1∋…∋1∋0 は∈有限下降列。
880:１３２人目の素数さん
21/05/10 13:38:11.95 1UqueJ/F.net
>>787
それなｗ
彼は有理コーシー列による実数の構成と対角線論法を混同してる。
対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ
無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法。
仮にsnを列と見做すと、ある項より先がすべて0または1でない限りコーシー列でないｗ
これほど酷いレスはなかなかお目にかかれないｗ
881:１３２人目の素数さん
21/05/10 15:17:24.25 1UqueJ/F.net
混同というより根本的に分かってないの方が正しいな。
実数の構成も対角線論法も根本的に分かってない。
大学一年4月で落ちこぼれたからだろう。
882:１３２人目の素数さん
21/05/10 18:19:06.01 waRwN1MV.net
>>789-790
では問う
Q1. ノイマンの自然数構成で
0∈1∈2・・∈N（＝ω）
なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
Y or N？ まさか、これが有限列だとでも？ 基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
（下記”Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).”ご参照）
どぞ、ご回答を。怖気づいて回答できないかもね？（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
Sources
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
訳本あるよ
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
集合論―独立性証明への案内 単行本 – 2008/1/1
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)
883:１３２人目の素数さん
21/05/10 18:46:33.64 1UqueJ/F.net
>>793
>>>789-790
>では問う
いやいやｗ 先にレス番号示せよ いつ誰が言ったんだよ また捏造か？
884:１３２人目の素数さん
21/05/10 19:12:59.94 1UqueJ/F.net
>>793
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。
>基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
有限列だから基礎の公理に反さない。
何遍言わせるんだよ おまえほんっと頭悪いなあ
885:１３２人目の素数さん
21/05/10 19:14:44.29 1UqueJ/F.net
>>793
極限順序数は後続順序数ではない。
これの意味がおまえはぜーーーーーーーーーーんぜん分かってない。
886:１３２人目の素数さん
21/05/10 19:22:14.71 1UqueJ/F.net
>>793
>Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
問いが曖昧。
xが公理系Xが規定するすべての要件を満たすなら、xはX内で存在するか？
という意味ならYES。当たり前だろｗ バカかｗ
887:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 20:39:04.16 LxbZqh9r.net
>>791
まず、こっちから
>対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ
無限小数展開は、下記で、「暗に対角線論法を使っている」とされているよ、”暗に”だ
元々のカントールの論文があるから見てみな。無限小数展開は使ってない
>無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法
では無いな。それは”For example”で、単なる一例にすぎない（下記英訳P2及び読めるなら独語原文ご参照）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントールの対角線論法
目次
1 対角線論法
1.1 集合による表現
1.2 関数による表現
1.3 行列による表現
2 自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い
自然数全体の集合 Nから[0, 1]区間(=0以上1以下の実数全体の集合)への全単射が存在しない事を以下のように証明できる。後で見るように、この証明は暗に対角線論法を使っている。
aiを二進数展開したときの j}j桁目をai,jとし[3]、biを￢ai,iとする。
そしてbを小数点展開が0.b1b2…となる実数とする。このとき、bは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なる。実際iを任意に取るとき、aiのi桁目はai,iであるのに対し、bのi桁目は￢ai,iであるので、aiとbは異なる。
仮定より[0, 1]区間の全ての元は a_1,a_2,・・・ と番号づけされているはずなのに、[0, 1]区間の元であるはずのbは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なるので、矛盾。 従って N から[0, 1]区間への全単射は存在しない。
以上の論法は、行列A={ai,j}i,jに対して対角線論法の「行列による表現」を使ってベクトル{bi}={￢ai,i}がAのいずれの行とも異なる事を証明したものであると解釈できる。従って以上の論法は暗に対角線論法を使っている。
つづく
888:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 20:39:38.19 LxbZqh9r.net
>>798
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cantor's diagonal argument
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti-diagonal argument, or the diagonal method, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers.[1]
References
[1] URLﾘﾝｸ(www.digizeitschriften.de)
Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75?78.
URLﾘﾝｸ(cs.maryvillecollege.edu)
A Translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der
Mannigfaltigkeitslehre”.
Google TranslateTM,1 DeepLTM,2 and Peter P. Jones?
1 https: // translate. google. com
2 https: // www. deepl. com
(Dated: August 23, 2019)
An English translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”[1]
article: “On an elementary question of the theory of manifolds.”
Translation Note: We have translated “Inbegriff” as collection, and “M¨achtigkeit” as power. Apart from these
adjustments and a few other specific edits the bulk of this English language text was obtained directly from the
machine translators acknowledged as the main authors.
(引用終り)
以上
889:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 20:52:44.96 LxbZqh9r.net
>>795
(引用開始)
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。
(引用終り)
だからぁ～、そっから認識が間違っていると思うよ（＾＾
「0∈1∈2・・∈n∈Nと書け」というけれど
ノイマンでは、”∈”は、大小の”＜”の意味でもある
だから
0＜1＜2・・＜n＜・・＜ω（＝N）
であり、ω＝∞ と書かれるべきもの
nより大きな自然数m1,m2,・・mn・・があって
0＜1＜2・・＜n＜m1＜m2＜・・＜mn＜・・・・＜ω（＝N）となるよ
有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾；
お主、そこから間違っているよ～（＾＾
890:１３２人目の素数さん
21/05/10 21:32:28.25 1UqueJ/F.net
>>800
>有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾；
>お主、そこから間違っているよ～（＾＾
そこから間違ってるのはおまえ
0∈1∈…∈n∈N なる列に自然数全部は登場しません。できません。
仮に自然数全部登場できたとしたらNの左は何？
ばーーーーーーーーーーーーーーーーーか
だから言ってるだろ？極限順序数は後続順序数ではないと。その意味がまったく分かってないバカｗ
891:１３２人目の素数さん
21/05/10 21:35:29.32 1UqueJ/F.net
極限順序数は後続順序数ではない。
たったこれだけの簡単なことがバカはいつまで経っても理解できない。
もうバカはいい加減数学諦めろよ。
892:１３２人目の素数さん
21/05/10 21:36:42.56 1UqueJ/F.net
はい、バカに数学は無理です。諦めて下さい。人間諦めが肝心です。
893:現代数学の系譜 雑談
21/05/10 23:23:58.56 LxbZqh9r.net
>>800 補足
無限小数 0.999… 有限の極限と考える
1. 小数1桁 0.9＝1-1/10^1
2. 小数2桁 0.99＝1-1/10^2
・
・
n. 小数n桁 0.99＝1-1/10^n
・
・
と、無限につづき全ての自然数を渡る
全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる
もし、ｎが有限で終われば、0.999…≠1
さて、上記の連番を横に並べる
1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列）
この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない
ここに不等号＜を入れる
1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
となる
不等号＜を∈に換える
1∈2∈・・∈n∈・・
この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾
余談だが、どっかのスレの議論とは
立場が逆転している気がするなｗ（＾＾
無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾；
894:１３２人目の素数さん
21/05/10 23:28:47.12 1UqueJ/F.net
>>800
Nの元はどれも自然数。
だから 0∈1∈…∈▢∈N の▢に入ることができるのは自然数だけ。
それがどんな自然数でも 0∈1∈…∈▢∈N は∈有限列。
たったこれだけの簡単なことがいつまで経っても理解できない阿呆に数学は無理なので諦めて下さい。
895:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:05:55.86 tve+0lLS.net
>>804
>と、無限につづき全ての自然数を渡る
>全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる
はい、0点で落第です。
0.9, 0.99, 0.999, … の極限が1であるとは、
任意の正数εに対し、ある自然数n0が存在して、n≧n0 ⇒ 1/10^n<ε が成立することである。
これ大学一年4月の課程ね。キミは大学数学に入門を拒否された落ちこぼれ。
>1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
>となる
なりません。
∞なる数は存在しません。
>この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
>1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾
あなたが落ちこぼれるのはあなたの勝手ですが、ノイマンがそんなこと言ったというのは捏造です。捏造はいけませんよ？
ωの元はどれも自然数なので∈ωの左は自然数。それがいかなる自然数であろうと有限列にしかなりません。
違うというなら∈ωの左が何なのか早く答えて下さいね。なぜ逃げ続けるのですか？
>無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾；
え？？？
ぜんぜん認めてますけど？
0.9, 0.99, 0.999, … のように一桁ずつ増える有限小数列は上に有界な単調増加列なので収束列。
その極限が無限小数の定義ですけど？
無限小数の定義に∞は不要。入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩が分かってないですね。
896:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:13:16.62 tve+0lLS.net
入門を拒否された落ちこぼれさんが何を言おうと
「∈ωの左は何か？」
に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。
∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿なｗ そんなん列じゃねーしｗ
897:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:33:09.96 tve+0lLS.net
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
項を一つ取り除いた 0∈1∈…∈n も無限列。
nが自然数である限り 0∈1∈…∈n が無限列になることはないので、nは自然数ではない。
一方、ωより小さい順序数は自然数だからnは自然数。
仮定から矛盾が導かれたので仮定は偽。
898:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 06:38:06.10 U9PlktVe.net
>>804 さらに補足（＾＾
数直線を考える
------------------------
↑ ↑ ↑ ・・→↑
0.9 0.99 0.999・・→ 1
数直線上に
0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
n→∞ でなければならない
数直線上には、1が存在するので
それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう
そもそもが、
1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
これが、実現できないならば
時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？
時枝の数列 (s1，s2，s3 ，・・・)は、可算無限長
ここから、sを取っても (1，2，3 ，・・・)は、可算無限長
1＜2＜3 ＜・・・（可算無限長）
↓
1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で）
となるよ（＾＾
それが、理解出来てないのか？
それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ
お主！！ｗｗ（＾＾；
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-2
箱がたくさん，可算無限個ある.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)
(引用終り)
以上
899:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 06:41:24.55 U9PlktVe.net
>>809
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけど
お主のあたま大丈夫か？
数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
900:１３２人目の素数さん
21/05/11 07:50:17.21 /Ud
901:ufGBx.net
902:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:07:43.23 tve+0lLS.net
>>810
キミの悪い癖ですね。
論理で反論できないと中傷に走る。
それ、早く治した方が良いぞ？
903:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:15:45.27 CfuEXmYl.net
>>804
>さて、連番を横に並べる
>1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列）
>この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない
ここまではOK
さて
>ここに不等号＜を入れる
>1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
>となる
これはNGね
もし
1＜2＜・・＜n＜・・
だったら、OKだったんだが
その後ろに、とってつけたように
<∞をつけた瞬間、NG
何がNGか、わかるかい？パクチー君
「<∞」の左の項が具体的に書けないだろ
数学ではそういう誤魔化しをしたらダメ
♪ダーメダメダメ、ダメ人間、ダーメニンゲーン
>不等号＜を∈に換える
>1∈2∈・・∈n∈・・
>この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
これはOKだが・・・
>1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である
これはNG
つまり安直に「∈ω」をつけたらダメなんだ
どうしてそんな簡単なことが分からないかな パクチー君はｗ
904:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:18:53.93 CfuEXmYl.net
>>807
＞落ちこぼれさんが何を言おうと
＞「∈ωの左は何か？」
＞に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。
＞∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿な
点の羅列と、＜列、∈列の違いがないと思う
パクチー◆yH25M02vWFhP君には
ホント困りましたね ┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ
905:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:21:23.40 T66wl5d3.net
>>810
>数直線上で全ての自然数に対応する 0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
>区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ
合っているよ。下記の極限順序数に記載の通り
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n（>>809より）で
この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
nは、すべての有限自然数を渡り、そして
極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
性質
極限順序数はこの種の手続きにおいてある種の「転換点」を表している（そこでは、それより前の順序数すべての合併をとるなどの極限操作が用いられなければならない）。原理的には、極限順序数において何かする際に、合併をとることは順序位相における連続写像であり、これはふつうは好ましい性質である。
906:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:25:47.59 CfuEXmYl.net
>>809
>数直線を考える
>------------------------
>↑ ↑ ↑ ・・→↑
>0.9 0.99 0.999・・→ 1
>数直線上に
>0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
>小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
>lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
ここまではOK
さて
>もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
実現しませんよ
>n→∞ でなければならない
意味不明
>数直線上には、1が存在するので
>それに対応するのは、n→∞ で、
正しくは
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
です
省略するから🐎🦌になるんだよ
パクチー君ｗｗｗ
>簡単にn＝∞と書いても良いだろう
ダーメｗ
∞という自然数は存在しません
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1 は
「1-1/10^nにｎに∞を代入したら１になる」
という意味ではありません
どうしてそういう🐎🦌読みするの？
あんた高校どこ？ 普通科じゃないだろ？ どこの工業高校？
907:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:29:42.93 CfuEXmYl.net
>数直線上で全ての自然数に対応する
>0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
>区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ
まったく、その通り
908:ですね U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] として U=∪(n∈N) U_n を考えたとき U＝[0,1) であって、 0.999･･･(無限個)は Uの要素ではありませ~ん パクチー◆yH25M02vWFhP君、ざんね~ん
909:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:36:14.86 CfuEXmYl.net
>>815
>小数n桁 0.99・・＝1-1/10^nで
然り
>この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
>nは、すべての有限自然数を渡り、そして
>極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです
あー、哀れな素人安達弘志クンの敵そのものズバリですね
数学者は上記のような🐎🦌発言は絶対にしませんがｗ
つまり
「０から１づつ加えるだけでωに至る」
というのが🐎🦌
数学者ならこういう
「０から１づつ加えてできたどんな自然数ｎもωより小さい」
もしパクチー君が
「ん？まったく同じじゃん！何がどう違うんだ？」
というなら、数学は無理だから即刻辞めてニュー速板で
「ニッポンバンザイ！！！オリンピック開催絶賛希望！！！」
とわめいてください 🐎🦌は数学板には要りませんから~ 残念！
910:１３２人目の素数さん
21/05/11 10:56:11.43 tve+0lLS.net
>>809
またまた0点で落第です。
大学数学に入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩も分かってませんね。
>0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
0.9, 0.99, 0.999,… のどの項も1より小さい。
>もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
実現しません。
>n→∞ でなければならない
極限が1であることは1-1/10^n＝1が実現することを意味 し ま せ ん。
極限の定義を理解しないからいつまでも何度でも間違える。
>数直線上には、1が存在するので
はい。
>それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう
ダメです。
極限の定義を理解しましょうね、落ちこぼれさん。
>そもそもが、
>1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
最大の自然数は存在しません。
>これが、実現できないならば
>時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？
無限列に最後の項＝最大の自然数番目の項が無いだけですね。
そのようなものの存在を仮定していないので何の問題もありません。
>1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で）
>となるよ（＾＾
だから∈無限上昇列は存在すると最初から言ってるじゃないですかｗ
>それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ
>お主！！ｗｗ（＾＾；
無限列に最後の項が存在すると思ってるキミがねｗ
911:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:18:39.49 tve+0lLS.net
>>815
>この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
なりません。nが自然数なら1-1/10^n<1。
>nは、すべての有限自然数を渡り、そして
>極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾
ωに到達する直前は何？
キミこの問いからずーーーーーーーーーーーーーーーーっと逃げ続けてるんだけど、そろそろ答えてもらえる？
ω以下の順序数を網羅した 0<1<…<ω なる<列が存在するとする限りこの問いから逃げられないよ？
トンデモさんの共通点：都合の悪い問いから逃げ続ける
912:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:24:33.68 tve+0lLS.net
>つまり
>「０から１づつ加えるだけでωに至る」
>というのが🐎🦌
落ちこぼれさんは「極限順序数は後続順序数ではない」がどうしても理解できないようですね
913:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:53:38.97 T66wl5d3.net
>>809 補足
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
で
0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
↓↑
1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を入れると
0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
↓↑
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
「1＜ 2＜ 3＜ ・・・＜ω」
も同じだよ
この話は、∞（＝ω）と同じでね
拡大実数とか射影の無限遠点とか、あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけどｗ
ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影幾何学
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。
つづく
914:１３２人目の素数さん
21/05/11 11:54:52.69 T66wl5d3.net
>>822
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影空間 とは、その次元が n
915:であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。 コンパクト性 体 K が実数体 R または複素数体 C であるとき、これらの位相から定まる位相（ユークリッド位相・古典位相）に関して、射影空間 KPn はコンパクトなハウスドルフ空間である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 コンパクト化 一点コンパクト化の例 ・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。 (引用終り) 以上
916:１３２人目の素数さん
21/05/11 12:05:11.98 tve+0lLS.net
>>822
>不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
できたなら早く＜ωの左を答えて
917:１３２人目の素数さん
21/05/11 12:16:01.55 tve+0lLS.net
>>823
>・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
最大元ωを付け加えようが、1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列は存在しない。
証明は>>808。
証明まで書いてやったのに理解できない落ちこぼれに数学は無理。
918:１３２人目の素数さん
21/05/11 16:39:46.85 CfuEXmYl.net
>>822
>0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
> ↓↑
>1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
これはOKとしても
>不等号＜を入れると
>0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
> ↓↑
>1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
これはNGな
＜をいれるときに、つねに左右が確定しているか見ような
何も見ずに漫然と＜いれたら🐎🦌だよ パクチー君ｗ
>不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
できねえよ ついでにいいかげん「加算」じゃなく「可算」だって気づけよ
この思考能力ゼロの🐒のパクチーがｗ
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
>「1＜ 2＜ 3＜ ・・・＜ω」
>も同じだよ
これまた同じく全面否定
「1＜ 2＜・・・＜n＜ω」（有限列）にしかなんねぇってｗ
>この話は、∞（＝ω）と同じでね
>拡大実数とか射影の無限遠点とか、
>あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ
パクチー、「コンパクト」を全然理解してねぇだろｗ
1,2,3,…,ω の開被覆が何で有限個か分かってないだろ
ωを覆うどんな「開集合」も、ωに近い無限個の自然数を覆うんだよ
それは１からωに至る＜や∈の列が有限列になる、というのと同じこと
パクチーの主張は、コンパクト化を全面否定する
「トンデモ数学」なんだよｗｗｗ
919:１３２人目の素数さん
21/05/11 16:44:22.51 CfuEXmYl.net
>>822
>・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は
> N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
>>825
>最大元ωを付け加えようが、1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列は存在しない。
つーか>>826にも書いたけど
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列 が存在したら
N ∪ {ω}の順序位相のコンパクト性が完全否定されるってｗｗｗ
パクチーは「コンパクト」もわからん人間失格の🐒ｗｗｗｗｗｗｗ
920:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:19:10.29 T66wl5d3.net
>>808
(引用開始)
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
(引用終り)
それ、まさに、下記 田畑 博敏氏にある
”P2 1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限”で論じられていることが当てはまると思うよ
つまり、「「有限性j は第一階論理の言語で表現できない」と論じられていること
「丁度 n個の対象が存在する」という話をしているだけ
言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている
即ち、「有限ｎ」を仮定して、「ｎ＋2個の列が有限」を導いただけのこと
なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ
（そもそも、nに上限が無い以上、レーベンハイム・スコーレム定理の上方部分が当てはまるだろう？（下記））
お主、数学科出身を名乗らない方が・・（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム–スコーレムの定理
正確な記述
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一
921:部とする場合もある。 https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/ja/search/p/162/item/3576?sort=id%3Ar 鳥取大学研究成果リポジトリ https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/3576/20180622154809831908/tuecb6_1.pdf 第一階論理の特徴 著者 田畑 博敏 鳥取大学教育センター KAKEN 鳥取大学教育センター紀要. 2009, 6, 1-14 フルテキストファイル つづく
922:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:19:48.66 T66wl5d3.net
>>828
つづき
P1
はじめに
第一階論理には表現できることとできないことがある（その代表的な例を第 1節で見る）。しか
し、制約があるとはいえ、第一階論理は、よく研究されている多くの数学的な構造を、公理と呼ば
れ構造を定義する有限個の文の集合を与えることで、充分よく表現する能力を持つ（第2節）。その
ような第一階論理には、これを形式的体系と見たとき、さまざまなメタ定理が成り立つ。このこと
も、第一階論理の特徴の一つで、ある。特に、コンパクト性定理は、第一階論理の言語としての表現
能力に関わり、例えば、「有限性j や「無限性j といった性質の公理化可能性（＝定義可能性）に直
結する（第 3節）。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理というメタ定理は第一階論理の表現力
の弱さ・欠点ともみなされる一方で、このメタ定理から帰結する非標準モデ、／レに関わる多様な結果
は、論理の方法が持つ有効性を実証するものである（第 4節）。以下では、このような形で、第一階
論理の著しい特徴のいくつかを取り上げ、それらの哲学的意義を考察する。
P2
1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限
以上の二つの数概念、すなわち、「少なくとも n個の対象が存在する」という概念と「たかだ、か n
個の対象しか存在しない」という概念を用いて、すなわち、それらの表現を連言で結合することに
より、 「丁度 n個の対象が存在する」という概念を、φn∧χnとして表現できる：
φn∧χnヨyIヨy2…ヨYn∧1≦i＜j≦n yi≠yj
∧∀x0∀x1…∀xn∨0≦i＜j≦n Xi=Xj
言い換えると、有限の個数についての概念を第一階論理は表現できる。「丁度 n個の対象の存在」
を表現するとき、具体的に数値を決定していないとはいえ、「n個Jの‘n’はあくまで一定の、固
定された有限の数が意図されている。従って、有限性そのもの（有限性一般）を表現している訳で
はない。
つづく
923:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:20:23.15 T66wl5d3.net
>>829
つづき
では、「有限性j は第一階論理の言語で表現できるのか。これはできないこと、たとえ無限
個の論理式を使ってもできないこと、が分かつている。さらに、「無限性」はどうか。 f無限個の多
くの対象が存在するj ということを、無限個の定項を援用し、無限個の論理式を用いれば表現でき
る。定項を援用しないで純粋に論理的な言語で無限性を表現する方法として、よく知られたデデキ
ントの定式化がある。すなわち、ある集合（領域） Aが無限である（無限の要素を含む）とは、 A
から A自身の真部分集合の上への（＝その部分集合全体をカヴァーする）単射（異なる要素を異な
る要素へと移す写像＝ 1価関数）が存在する、というのがその定義の仕方である。 Aが有限集合で
あれば、 Aの真部分集合の要素の個数は A自身の要素の個数より小さくなる�
924:ｩら、対応させる先の 要素の個数が少なくなってしまうのととろが、単射は定義域の要素の「多さかげんj をそのまま保 って対応させるから、有限集合の相手先の要素の数が足りず、重複せざるを得ない。よって、単射 は存在しえない。そういうことができるのは無限集合にかぎる。そこで、これが無限集合たること （「無限性J）の定義と見なされる。しかし、これを表現するには、一階の論理言語ではできない。 全称記号‘ V’を関数（または関係）記号にも作用させる二階の量化が必要があり、（少なくとも） 二階の論理言語に訴えざるを得ないからである。 P11 4.レーペンハイム・スコーレム定理 いくつかの理論は必ず無限モデルを持つ。すなわち、それらの理論は、領域の要素（＝個体、対 象）の個数が有限であるような構造では、真とならない（成り立たない）のである。ところが、レ ーベンハイム・スコーレム（Lowenheim-Skolem）定理によれば、無限モデルを持つ理論で、カテゴ リカル（範購的）であるような、そういう理論が存在しなくなる。理論がカテゴリカルであるとは、 それらのそデ、ルで、ある構造が同型で、ある（isomorphic：構造の領域の問に関係を保存するようなパ イジェクション＝全単射の写像が存在する）ということであるが、そのためには、構造の領域の基 数が等しくなければならない。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理によれば、無限モデ、ルを 持つ理論においては、異なる無限基数を持つ複数のモデルが必ず存在する。従って、それらのモデ ルの間に、同型写像は存在しえず、理論はカテゴリカルではありえない。 つづく
925:１３２人目の素数さん
21/05/11 17:20:53.80 T66wl5d3.net
>>830
つづき
実数の代数の分野で、そのような新しい非標準モデルを研究する分野として創始されたのが非標
準解析である。これは、ライプニッツの無限小解析の夢を実現したものと見なせる。従って、非標
準解析は、第一階論理の持つ柔軟性という長所がもたらした成果である。しかし、 s.シャピロの意
見では、上方および下方のレーベンハイム・スコーレム定理が成り立つことは、第一階論理の欠点
(defect）である（5）。なぜなら、任意の無限基数孟を持つモデルが文の集合に対して存在するが、
これらのモデルは文の集合の意味を確定することができないからである。
(引用終り)
以上
926:１３２人目の素数さん
21/05/11 18:26:08.73 tve+0lLS.net
>>828
>言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている
は？？？
>>808のどこにも「nは自然数であることを仮定」なんて書かれてないんですけど？
キミが勝手に「nは自然数」という先入観で誤読してるだけでは？ 大丈夫？ しっかりしてね
927:１３２人目の素数さん
21/05/11 18:28:32.30 tve+0lLS.net
>>828
>なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ
なんの指摘にもなってないよ？
当たり前、誤読しておいて指摘になるはずが無いよねｗ
928:１３２人目の素数さん
21/05/11 18:54:05.37 tve+0lLS.net
極限順序数は後続順序数ではない。
これに尽きるね。
ω以下の順序数をすべて並べようとしても、ωの前者は存在しません。
存在しなければ並べられませーーーーん 残念！
なんで落ちこぼれくんはこんな簡単なことが理解できないんでしょうね。サル並みの頭脳だから？
929:１３２人目の素数さん
21/05/11 19:11:38.63 tve+0lLS.net
>>830
>4.レーペンハイム・スコーレム定理
いや、キミ、レーペンハイム・スコーレム定理理解してないから。
レーペンハイム・スコーレム定理によって極限順序数が後続順序数になるとしたら数学は只のカオスだからｗ
930:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 21:08:42.60 U9PlktVe.net
>>826
(引用開始)
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
(引用終り)
なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
下記の有理数の稠密性（高校数学の美しい物語など）と
有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
それ知らないの？
お主は、数学科出身を名乗らない方がいいぞぉ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
有理数と無理数の稠密性
更新日時 2021/03/07
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931:C意の実数 a,b(a<b) に対して， a< q< b を満たす有理数 q が存在する（有理数の稠密性）。 a< x< b を満たす無理数 x が存在する（無理数の稠密性）。 目次 稠密性 有理数の稠密性の証明 無理数の稠密性の証明 稠密性と完備性 稠密性 「稠密」の読みは「ちゅうみつ」です。「どれだけ狭い幅の区間を取ってきてもその間に要素が存在する」「ギッシリ詰まっている」ということです。 この記事では有理数の稠密性と無理数の稠密性を証明します。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 有理数 基本性質 Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。 つづく
932:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 21:09:44.95 U9PlktVe.net
>>836
つづき
位相的性質
有理数の全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。
有理数の全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。
有理数の全体 Q は、差の絶対値
d(x,y):=|x-y|
を距離函数として距離空間となる。この距離により Q に位相が誘導されるが、それは R1 からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 (Q, d) は完全不連結である。また、完備距離空間とはならない。実は距離 d(x, y) := |x - y| による Q の完備化として、実数全体の集合 R が得られる。
この位相に関して有理数体 Q は位相体を成す。有理数全体の成す位相空間 Q は局所コンパクトではない空間の重要な例となっている。また唯一、孤立点を持たない可算な距離化可能空間となるものとして Q を特徴付けることができる。
一方、Q を位相体とするような Q 上の距離は、これだけではない。
p-進距離と呼ばれる Q 上の距離函数を定める。距離空間 (Q, dp) はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として p-進数体 Qp が得られる。
オストロフスキーの定理によれば、Q 上の非自明な絶対値は同値の違いを除いて通常の絶対値か p-進絶対値で尽くされる。
つづく
933:現代数学の系譜 雑談
21/05/11 21:10:06.02 U9PlktVe.net
>>837
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。
極限点の種類
・x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。
・x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。
(引用終り)
以上
934:１３２人目の素数さん
21/05/11 21:27:23.56 tve+0lLS.net
>>836
>有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
>可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
じゃあQの元をすべて並べて＜列を作った時、0の次の元は何？
935:１３２人目の素数さん
21/05/11 21:50:53.20 CfuEXmYl.net
>>836-838
見当違いなコピペで誤魔化したら🐎🦌だよ
ピンポイントで順序位相でサーチできないパクチー君ｗ
順序位相
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全順序集合 A に対し、無限半開区間全体の集合を準開基とする位相を
順序位相 (order topology) という。
もし、パクチー君のいう無限列が存在するなら、
N∪{ω}で、決して有限被覆がとれない開被覆が存在することになり
コンパクト性が否定されるｗｗｗｗｗｗｗ
936:１３２人目の素数さん
21/05/11 22:04:41.68 tve+0lLS.net
>>836
ω以下の順序数をすべて並べて＜列を作った時ωのひとつ前は何？
Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
逃げずに答えて下さいねー
>なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
>屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
それがキミだよ落ちこぼれクンｗ
937:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 00:06:52.38 4O3CktwN.net
>>836 補足
おサルは数理のセンスが、悪すぎ なさ過ぎ（＾＾
「有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）」くらい
当たり前というか、しっかり把握かつ理解できていないとね、まずいでしょうね
それ出来てないと、代数学も解析学も集合論も、ちょっと怪しいんじゃね？ あなたの理解度は（＾＾；
数学科出身を名乗らない方が良いよ
さて
高校数学の美しい物語に倣って、
命題（有理数の稠密性について）：
任意の有理数 a,b(a<b) で、区間(a,b)内に可算無限個の有理数が存在する
（証明）
背理法による
・もし、区間(a,b)内に有限m個の有理数 q1<q2<・・<qi<qi+1<・・<qm しかないとする
・しかし、qiとqi+1の中間の(qi+ qi+1)/2 は、有理数であり、qi<(qi+ qi+1)/2<qi+1となるから矛盾
「有限m個しかない」は否定され、可算無限存在することがわかる（可算は、Qが可算であることから従う）
QED（＾＾
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
上記は、有理数 a,b(a<b)だったが、実数 a,b(a<b)でも同様にできる
以上
938:１３２人目の素数さん
21/05/12 00:19:14.75 lS6zXTU5.net
>>842
>>841への回答になってないぞｗ 掠りもしてないぞｗ
落ちこぼれクン、またまた0点で落第でーすｗ
939:１３２人目の素数さん
21/05/12 00:33:20.62 lS6zXTU5.net
>>842
>区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
>よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
じゃあ不等号＜による可算無限列を、区間(-1,1)内に作って、0の次の有理数を答えて下さい。
不等号＜による可算無限列を任意の区間内に作ることができるんでしょ？当然答えられますよね？0の次の有理数。
940:１３２人目の素数さん
21/05/12 00:34:38.79 lS6zXTU5.net
>>842
ωの前者も忘れずに答えてね
ゴマカシ、逃亡は勘弁して下さいね
941:現代数学の系譜 雑談
21/05/12 08:22:15.86 4O3CktwN.net
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけどｗ （無限を認める派と、認めない派（＾＾ ）
ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
942:１３２人目の素数さん
21/05/12 08:40:25.27 WinvL7W0.net
>>846
>ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、
このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。
工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw
943:１３２人目の素数さん
21/05/12 08:49:02.23 WinvL7W0.net
教育のプロポーションにこだわって有理点 by 瀬田君
944:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:18:29.84 WinvL7W0.net
>>846
>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>逃げずに答えて下さいねー
この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
Qの元をすべて並べて＜列を作ったとき、0の次の有理点 a∈Q が存在するとする。
有理数体 Q∋0、a の標数は0として考えているから、＜は有理数の大小関係を表す不等号の記号で 0＜a。
体Qは小学校で習う乗法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → ab∈Q と
加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q について群をなすことに注意すれば、a/2∈Q。
有理数の大小関係から 0＜a/2＜a。よって、aは0の次の有理点ではなく矛盾が生じる。
だから、0の次の有理点aは存在しない。
945:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:22:07.88 WinvL7W0.net
>>846
>>84
946:9について 加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q → 加法の二項演算 +：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q
947:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:48:33.50 lS6zXTU5.net
>>846
いみふｗ
無限ぜんぜん認めてますけど？
最後の項が有る無限列なんてものは存在しないと言ってるだけですけど？
いいから早く>>841に答えて下さいねー
948:１３２人目の素数さん
21/05/12 09:57:30.57 lS6zXTU5.net
ある特定の項が何であるか答えられないのに列を作ったと言えるんですか？
じゃキミの言う列って何？
答えてね、落ちこぼれクンｗ
949:１３２人目の素数さん
21/05/12 10:28:47.86 my4JLb74.net
URLﾘﾝｸ(www.ningenkankeitukare.com)
950:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:31:43.51 empbdNTV.net
>>849
スレ主です
私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
だが、実名が知れても何ら痛痒を感じない。正しいのは私ですから
ところで
>>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
「＜列」を、一般の順序に拡張すれば、直積集合 NｘNに順序を入れられるよ
（詳しくは、wikipediaや、東北大 尾畑研をご参照）
下記高校数学の美しい物語
に倣えば
Q +’を、0又は正の有理数として
0→0
1→f(1/1)=1
とすれば、0の次は1に出来るぞ！ｗｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
集合の濃度と可算無限・非可算無限 更新日時 2021/03/07
・正の整数全体の集合と有理数全体の集合の濃度は等しい。
直感的には有理数の方が圧倒的にたくさんありますが，濃度という観点から見ると両者は同じなのです！
大雑把な証明
正の有理数全体の集合 Q + と N の濃度が等しいことを言えばよい。
正の有理数 p/q を p+q を小さい順に並べて既約分数のみ残して番号を振っていけば，
Q+ から N への全単射が構成できる：
f(1/1)=1,f(1/2)=2,f(2/1)=3,f(13)=4,
f(3/1)=5,f(1/4)=6,f(2/3)=7,・・・
補足（図による説明）
URLﾘﾝｸ(res.cloudinary.com)
・正の有理数全体は図の黒い点全体
・黒い点には（全ての黒い点に何らかの番号が対応するように）11 から順番に番号をつけていける
→「正の有理数全体」と「正の整数全体」の間には一対一対応がある
つづく
951:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:32:24.46 empbdNTV.net
>>854
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
尾畑研 東北大 数学概論 2018
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第7章 可算集合 GAIRON-book : 2018/4/30(12:55)
7.4 可算集合の直積
定 理 7.14 直積 N × N は可算集合である.
証 明 補題 7.13 より明らか.
別証明 直積 N × N の元に通し番号を振ればよい. N × N の元 (x, y) を図 7.1
のように配列して, 矢印に沿って番号付けすることができる.
(7.3) をカントルの対関数という.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
直積集合上の順序
2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。
・辞書式順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a<c∧ (a=c∨ b≦ d)
・積順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a≦ c∨ b≦ d
・ (a,b)≦ (c,d)⇔ (a<c∨ b<d)∧ (a=c∨ b=d)
最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の半順序は、いずれも3個以上の半順序集合の直積に対しても同様に定義される。
体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれも再び順序線型空間となる。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
N × N 上の直積狭義順序の反射閉包
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
N × N 上の積順序
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
N × N 上の辞書式順序
(引用終り)
以上
952:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:48:11.33 lS6zXTU5.net
>>854
>それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
じゃあキミ、シッタカしないで0の次の有理数答えてねｗ
どーして逃げ続けるの？
953:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:51:27.99 lS6zXTU5.net
>>854
キミさあ
訊いてることに答えず、訊いてないことばかり言うのやめてくれない？
有理数Qが全順序だとか稠密だとか、そんなのみんな知ってるからドヤ顔で言わないでいいよｗ
954:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:54:59.84 lS6zXTU5.net
落ちこぼれクンは勝手に他人が馬鹿で自分が利口って妄想してるようだね
その独善性はもう病気の域だね
訊いてないことばかり言って訊いてることに答えないのがその証拠
955:１３２人目の素数さん
21/05/12 11:59:28.13 lS6zXTU5.net
こちらが訊いてもいないことを嬉々として語り、訊いてることはスルー
落ちこぼれクンは言葉のキャッチボールができないコミュニケーション障害者かな？
956:１３２人目の素数さん
21/05/12 12:10:00.49 empbdNTV.net
>>854 補足
追加資料
（参考）
URLﾘﾝｸ(ysserve.wakasato.jp)
Yasunari SHIDAMA 師玉康成
整列可能定理
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合$E$上に整列順序が存在する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列集合
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
例と反例
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。