21/05/05 04:09:28.72 y5eNPUM/.net
>>643
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
（>>496より）
URLﾘﾝｸ(ipsj.ixsq.nii.ac.jp)
数理論理学（2） 小野 寛晰
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 ｋ について大きさ ｋ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
冒頭の簡単な言明の場合、理論の無限のモデルとは、ここでいう M である。定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Lowenheim-Skolem theorem
In mathematical logic, the Lowenheim-Skolem theorem is a theorem on the existence and cardinality of models, named after Leopold Lowenheim and Thoralf Skolem.
つづく
716:現代数学の系譜 雑談
21/05/05 04:11:17.80 y5eNPUM/.net
>>644
つづき
The precise formulation is given below. It implies that if a countable first-order theory has an infinite model, then for every infinite cardinal number ｋ it has a model of size ｋ, and that no first-order theory with an infinite model can have a unique model up to isomorphism. As a consequence, first-order theories are un
717:able to control the cardinality of their infinite models. In general, the Lowenheim-Skolem theorem does not hold in stronger logics such as second-order logic. Consequences The statement given in the introduction follows immediately by taking M to be an infinite model of the theory. The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem. Proof sketch Upward part First, one extends the signature by adding a new constant symbol for every element of M. The complete theory of M for the extended signature σ' is called the elementary diagram of M. In the next step one adds ｋ many new constant symbols to the signature and adds to the elementary diagram of M the sentences c ≠ c' for any two distinct new constant symbols c and c'. Using the compactness theorem, the resulting theory is easily seen to be consistent. Since its models must have cardinality at least ｋ, the downward part of this theorem guarantees the existence of a model N which has cardinality exactly ｋ. It contains an isomorphic copy of M as an elementary substructure.[3][4]:100-102 In other logics Main article: Lowenheim number Although the (classical) Lowenheim-Skolem theorem is tied very closely to first-order logic, variants hold for other logics. For example, every consistent theory in second-order logic has a model smaller than the first supercompact cardinal (assuming one exists). つづく
718:現代数学の系譜 雑談
21/05/05 04:11:44.74 y5eNPUM/.net
>>645
つづき
The minimum size at which a (downward) Lowenheim-Skolem-type theorem applies in a logic is known as the Lowenheim number, and can be used to characterize that logic's strength.
Moreover, if we go beyond first-order logic, we must give up one of three things: countable compactness, the Downward Lowenheim-Skolem Theorem, or the properties of an abstract logic.[5]:134
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Lowenheim number
In mathematical logic the Lowenheim number of an abstract logic is the smallest cardinal number for which a weak downward Lowenheim-Skolem theorem holds.[1] They are named after Leopold Lowenheim, who proved that these exist for a very broad class of logics.
Examples
・The Lowenheim-Skolem theorem shows that the Lowenheim-Skolem-Tarski number of first-order logic is ?0. This means, in particular, that if a sentence of first-order logic is satisfiable, then the sentence is satisfiable in a countable model.
・It is known that the Lowenheim-Skolem number of second-order logic is larger than the first measurable cardinal, if there is a measurable cardinal.[3] (And the same holds for its Hanf number.) The Lowenheim number of the universal (fragment of) second-order logic however is less than the first supercompact cardinal (assuming it exists).
つづく
719:現代数学の系譜 雑談
21/05/05 04:12:05.87 y5eNPUM/.net
>>646
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Measurable cardinal
In mathematics, a measurable cardinal is a certain kind of large cardinal number. In order to define the concept, one introduces a two-valued measure on a cardinal ｋ, or more generally on any set. For a cardinal ｋ, it can be described as a subdivision of all of its subsets into large and small sets such that ｋ itself is large, Φ and all singletons {α}, α ∈ ｋ are small, complements of small sets are large and vice versa. The intersection of fewer than ｋ large sets is again large.[1]
It turns out that uncountable cardinals endowed with a two-valued measure are large cardinals whose existence cannot be proved from ZFC.[2]
The concept of a measurable cardinal was introduced by Stanislaw Ulam in 1930.[3]
Properties
Although it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible (and is ineffable, Ramsey, etc.), it is consistent with ZF that a measurable cardinal can be a successor cardinal. It follows from ZF + axiom of determinacy that ω1 is measurable, and that every subset of ω1 contains or is disjoint from a closed and unbounded subset.
(引用終り)
以上
720:１３２人目の素数さん
21/05/05 05:59:53.81 GobuUR0h.net
>>636
>例えば、オイラーの定数γは、当然実数として表せる
これは、正確には「当然次数である」だな。
微積分のテキストに載っていると思うが、
γは自然対数を用いた数列の極限 γ＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|) として定義される。
だから、「表される」という表現を使いたければ、
>γは自然対数を用いた数列の極限 γ＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|) として表される
となる。
721:１３２人目の素数さん
21/05/05 06:09:04.58 GobuUR0h.net
>>636
>>648の「当然次数である」は「当然実数である」ね。
722:
21/05/05 07:56:08.17 ZHm6+4XC.net
>>634
>一番外側のカッコがついたら集合で
>無かったら、集合ではないとかさ
>>639
>反例 x:={x}は正則性公理を満たさないので集合ではない。
ID:7Unf1eow氏の指摘は正しい
雑談君は、「PならばQ」を「PとQは同値」と読み違える悪い癖があるね
「一番外側の｛｝がなければ集合ではない」からは
「集合ならば一番外側の｛｝がある」は導けるが
「一番外側の｛｝があれば集合である」は導けない
「集合でないならば一番外側の｛｝がない」も同じく導けない
例えば、集合の全体は集合ではなくクラスである
一方、クラスについても要素の全体を｛｝でくくって表せるから
もちろん一番外側の｛｝は存在する
723:
21/05/05 08:06:14.35 ZHm6+4XC.net
>>640
>>>但し、その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
>>集合表現からわかるのは、有理数の列、ということまで
>だから、外側の｛｝とか｛｝の中の元がどうこうってのは
>複雑な無限集合については明示的に書けないってことだろ？
実数を表す集合の形式は明らかだが？ 知らんのか？
個々の実数は有理コーシー列だから、
自然数と有理数の組からなる無限集合となる
（注：実数は有理コーシー列の同値類として定義されるが
選択公理など全く使わずに同値類の代表元として
有限小数の列である無限小数が選べるので、
有理コーシー列そのものとしても全く問題ない）
自然数は数列の項の位置をあらわし
有理数は数列の項の内容をあらわす
超越数の集合は、実数の集合の部分集合
ああ、実に下らん
雑談君はどんだけ底抜けの🐎🦌なんだ？ｗｗｗ
724:
21/05/05 08:19:34.82 ZHm6+4XC.net
>>642
>おサルは、基礎論弱いね
雑談君は、論理弱いねｗ
>下記小野先生Ｐ821 右欄に、
>Lowenheim-Skolem とコンパクト性定理の話が書いてあるだろ？
>（一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、
> いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない）
また、「ＰならばＱ」を「ＰとＱは同値」と読み違えたねｗ
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」から
「無限のモデルを持つ理論は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ」なんて書いてないよｗ
例えば自然数には有限モデルはないｗ
>ここが理解できないみたいだね
雑談君こそ「逆は真ならず」が全く理解できないね
だから、ナニワのド阿呆変態パクチー野郎っていわれるんだよｗｗｗ
一階の自然数論から「超準自然数」をいくら構築したところで
どの「超準自然数」を表す集合も「自然数の全体」にはならない
というのは「超準自然数」を表す集合は必ず最大元をもつから
例えば「標準自然数のみを含む集合」は、超準自然数ではない
ザンネンでしたｗｗｗｗｗｗｗ
ウソだと思うなら、藤田博司氏でもほかのロジシャンでも
誰でもtwitterで聞いてみ？
725:
21/05/05 08:29:45.53 ZHm6+4XC.net
>>642
>集合Sn={0,1,2,・・,n}で、
>自然数の集合N=lim ｎ→∞ Sn (={0,1,2,・・,n})={0,1,2,・・,n,・・}
>（nは全ての自然数を渡る）
>とできるよ（出来なきゃおかしいでしょｗ）
それ、ｎ→∞で自然数の集合を前提してるよ。
全然自覚ないの？ｗｗｗｗｗｗｗ
>{0,1,2,・・,n,・・}に、最後の元は無い！
>自然数Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
構わんよ
だ・か・ら、無限列の尻尾の同値類で決定番号が「最後の元」∞になることはない
別に構わんだろ！！！（ああ、ブーメラン、決まったなｗｗｗ）
>同様に
>ｎ重シングルトンS'n={・・{}・・}（n重）で、
>N重シングルトンS'N=lim ｎ→∞ S'n (={・・{}・・})={・・{・・{}・・}・・}（nは全ての自然数を渡る）
ん？
726:limの取り方変わってるぞ 気づかんのか？ナニワのド阿呆 雑談君ｗ lim ｎ→∞ Sn (={0,1,2,・・,n})=∪Sn={0,1,2,・・,n,・・} なら lim ｎ→∞ S'n (={・・{}・・})=∪S’n={{},{{}},{{{}}},・・・} だろが！ >上記同様に、N重シングルトンS'Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ そもそも雑談君の取り方では、S’Nの要素がないだろ？ ある？あるというなら書いてみせろ 唯一なんだろ？ 書けよ！今！！ここで！！！
727:
21/05/05 08:48:55.79 ZHm6+4XC.net
>>643
>>（定義で）示された表式が成立しない場合、well-definedであるとは言えない。
>> 例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など。
>> まさにこれそのものじゃんｗ
>数学では、そういう場合でも、拡大実数として∞を導入することはできるぜ。
>定義の問題じゃん！
「極限がなければ、定義すればいいのに」と
マリー・アントワネットのようなセリフをほざく
雑談君に尋ねる
Q. ∞をリーマン球面上の無限遠点とする
さて、lim(z→∞)exp(z)を定義せよｗ
定義の問題なんだよね？
ちなみ複素平面上ではexpは0と∞以外の任意の値をとり得ます
で、
実部が＋方向で∞に近づくといくらでも値の絶対値が大きくなり
実部が－方向で∞に近づくといくらでも値の絶対値が０に近づきます
lim(z→∞)exp(z) 定義できるのかなｗｗｗｗｗｗｗ
＃俺を数学板のロベスピエールと呼んでくれｗｗｗ
728:
21/05/05 08:57:07.14 ZHm6+4XC.net
>>643
>カッコなんて、単なる形式で良いんだよ、現代数学ではｗ
>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
>例えば、超越数の集合Ｔｒ＝{x｜x∈R＼(R∩A)、Rは実数の集合、Aは代数的数の集合}
>と書けば形式的に、カッコが付く。
>だが、そんなものは形式的なこと。単に日常用語で書いても、同じだよ
>形式的にカッコを付けることが出来ることは、上記の記述でもそうだし、
「カッコつければいいんだろ！」と
ナニワのヤンキーのようなセリフをほざく
雑談君に尋ねる
Ｑ. ・・{・・{{{}}}・・}・・が
シングルトン（つまり唯一の要素を持つ集合）として
その唯一の要素って、ズバリ何？
ちっとも答えませんね
まさか、要素が何なのかもわからずに
「{}が重なってるだけだからシングルトン」
と非論理的な脊髄反射発言してたんじゃないよねｗｗｗｗｗｗｗ
#こんなイジワルな発言をするボクは、決して
＃警察庁にいるＴ大Ｈ学部卒の官僚様じゃないですよ
729:
21/05/05 08:58:52.45 ZHm6+4XC.net
>>644-647
まいど恒例の下痢💩コピペは要らないんでトイレで流しますね
ジャー！！！
730:１３２人目の素数さん
21/05/05 09:24:58.54 vWmMwn9L.net
>>642
>おサルは、基礎論弱いね
結局>>631に答えられなかったね
瀬田くんは数学弱いね
731:
21/05/05 09:28:04.71 ZHm6+4XC.net
>>648-649
>γは自然対数を用いた数列の極限
>γ＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|)
>として定義される。
別に間違ってはいないが、
そのままだとなぜ収束するのか分かりにくい
γ
＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|)
＝lim{n→+∞}((1-(log(2)-log(1)))+(1/2-(log(3)-log(2))+･･･(1/(n-1)-(log(n)-log(n-1)))
＝lim{n→+∞}((1-∫[1,2]1/xdx)+(1/2-∫[2,3]1/xdx)+･･･(1/(n-1)-∫[n-1,n]1/xdx))
で、
1/n-1 > ∫[n-1,n]1/xdx) > 1/n だから
1/n-1-1/n > 1/n-∫[n-1,n]1/xdx) > 0 であり、
1>γ>0 となる
数列
(1-(log(2)-log(1)))+(1/2-(log(3)-log(2))+･･･(1/(n-1)-(log(n)-log(n-1))
は、単調減少で上記の通り有界だから、収束する
732:
21/05/05 09:43:09.82 ZHm6+4XC.net
>>657
>(雑談君は)結局>>631に答えられなかったね
さすが大学1年の4月で落ちこぼれただけのことはあるね
>Q1. 0.999･･･(自然数で位置が表せる全ての桁の値が9)は、Uの要素か？
NO
0.999･･･はいかなるU_nの要素でもない
したがってその和集合であるUの要素ではない 明解！！！
>Q2. 0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は、Uの要素か？
YES
0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は
必ずある有限小数0.9･･･9以下となるから、あるU_nの要素となる
したがってその和集合であるUの要素である これまた明解！！！
0.999･･･<1とかほざく人は、まずQ1が分かってない
で、1より小さい小数がUに属するとは思っていても
実は0.999･･･もQ2の通り、同じ構造を有することが分かってない
なぜか？見た目で感じてるだけで、論理で考えてないから
数学は動物の刺激反射行動ではない
論理で理解する人間様の理性的行動
733:１３２人目の素数さん
21/05/05 09:51:18.01 GobuUR0h.net
>>658
nを正整数として第n項が
a_n＝1+1/2+…+1/n-log|n|
の数列は n→+∞ のとき収束して極限
lim{n→+∞}(a_n)
が存在することは、リーマン積分を持ち出さなくても証明出来る。
分かりにくいって、これ大学1年の微分積分でやるだろ。
734:１３２人目の素数さん
21/05/05 10:02:29.67 Aeoj6udo.net
そのγは有理数byおっちゃん
735:１３２人目の素数さん
21/05/05 10:06:42.55 vWmMwn9L.net
>0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は
>必ずある有限小数0.9･･･9以下となるから、あるU_nの要素となる
0.999･･･以外の0.***･･･型小数の最小は0.000…=0、最大は0.888…（0.9を超えない実数）だから、いずれもU_1=[0,0.9]の元ですね～
736:
21/05/05 10:31:09.48 ZHm6+4XC.net
>>662
>0.999･･･以外の0.***･･･型小数の最小は0.000…=0、最大は0.888…（0.9を超えない実数）だから
いや、別に*のところに9が入ってもいいよ
ただ、全部が9でなければいいだけ
当然ながら最大値は存在しない
要するに9が続いた後に初めて8が現れる箇所がどれだけ後ろの桁でもいいから
その時点で、ある0.9･･･9以下であると示せる
737:
21/05/05 11:00:09.19 ZHm6+4XC.net
0.999･･･に関する質問に対して
１．ナニワのド阿呆 雑談君はダンマリ
（答えられないときの典型的反応ｗ）
２．哀れな老人は、おまえが先に答えろと逆ギレ
（答えられないときの典型的反応ｗ）
738:
21/05/05 15:47:23.02 ZHm6+4XC.net
黙示録の獣
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
雑談君のことかｗ
739:
21/05/05 15:48:18.03 ZHm6+4XC.net
獣の数字
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
雑談君に捧ぐｗｗｗ
740:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:06:05.80 7p5uf5fw.net
>>643 補足
>カッコなんて、単なる形式で良いんだよ、現代数学ではｗ
>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
下記（山上滋 名大）「（ノイマン 自然数）しかし、これは、落ち着いて考えてみると、Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。」
同様下記（Axiom of infinity）" The count of elements in each set, at the top level, is the same as the represented natural number, and the nesting depth of the most deeply nested empty set {}, including its nesting in the set that represents the number of which it is a part,"
要するに、ノイマンの自然数の集合Ｎが出来上がったとき
Ｎは無限集合だが、同時に「Φ の記号を取り囲む括弧の数」（山上滋）
（あるいは”the nesting depth of the most deeply nested empty set {}”（Axiom of infinity））
は、可算無限である
下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、この列は有限であってはならない！
可算無限である。よって、「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンが存在する
これは、無限公理から従う
それを、{・・{Φ}・・}と表現するか、・・{Φ}・・、あるいは{・・Φ・・}か
そんなことは、どうでも良いこと！ 幼稚な話にすぎない！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ14
注意 7. プログラミング方式コンピュータの創始者としても知られている数学者のフォン・ノイマン (John
von Neumann, 1903?1957) は、「無」から自然数を作り出すと称してつぎのような構成方法を提案した。集
合 2Φ = {Φ} は、空集合を唯一の要素とする集合であり、したがって空集合ではない。そこで、
2{Φ} = {Φ, {Φ}}
の要素（{Φ} の部分集合）として、{Φ}≠ Φ を得る。以下、同様の構成法を繰り返して、
Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
なる互いに異なる要素の列を得る。
つづく
741:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:07:20.1
742:1 ID:7p5uf5fw.net
743:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:08:56.57 7p5uf5fw.net
>>668
つづき
and so on:
3 = {0,1,2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };
4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.
A consequence of this definition is that every natural number is equal to the set of all preceding natural numbers.
The count of elements in each set, at the top level, is the same as the represented natural number, and the nesting depth of the most deeply nested empty set {}, including its nesting in the set that represents the number of which it is a part, is also equal to the natural number that the set represents.
つづく
744:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:09:23.74 7p5uf5fw.net
>>669
つづき
Thus the essence of the axiom is:
There is a set, I, that includes all the natural numbers.
The axiom of infinity is also one of the von Neumann?Bernays?Godel axioms.
Extracting the natural numbers from the infinite set
The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.
To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way which does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction?a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says:
略
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If I⊆ω is inductive, then also ω ⊆I, so that I=ω.
Both these methods produce systems which satisfy the axioms of second-order arithmetic, since the axiom of power set allows us to quantify over the power set of ω , as in second-order logic. Thus they both completely determine isomorphic systems, and since they are isomorphic under the identity map, they must in fact be equal.
(引用終り)
以上
745:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:33:34.88 7p5uf5fw.net
>>668 追加
>Axiom of infinity
>In the formal language of the Zermelo?Fraenkel axioms, the axiom reads:
>∃ Ｉ (Φ ∈ Ｉ ∧ ∀x∈ Ｉ ((x∪{x})∈ Ｉ )).
>In words, there is a set I (the set which is postulated to be infinite), such that the empty set is in I, and such that whenever any x is a member of I, the set formed by taking the union of x with its singleton {x} is also a member of I. >Such a set is sometimes called an inductive set.
下記もja.wikipedia同様だが、
上記集合Ｉ、あるいは下記集合Ａ
746:に、カッコ｛｝があるとか無いとか 幼稚でおろかな議論にすぎない 集合Ｉ、Ａの要素を書き"尽くすことはできない"(by 哀れな素人氏ふうｗ)（＾＾ （無限集合に対しては、そんな議論は不要だよ（＾＾； ） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86 無限公理 定義 ZF公理系における公式な定義は次の通りである。 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪{x} を要素に持つ集合が存在する： ∃ A(Φ ∈ A∧∀x∈ A(x∪{x}∈ A)) 解釈と帰結 各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ },{Φ ,{Φ }},・・・ } とおくと、 B は A の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠ Bである。 なぜならば定義により B∪{B}∈ Aであるが、 B∪{B}not∈ B となるからである。 一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。 従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。 上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合） (引用終り)
747:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:49:14.21 7p5uf5fw.net
（参考）
突然ですが、Zermelo set theory がヒットしたので貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Zermelo set theory
Zermelo set theory (sometimes denoted by Z-), as set out in an important paper in 1908 by Ernst Zermelo, is the ancestor of modern Zermelo-Fraenkel set theory (ZF) and its extensions, such as von Neumann?Bernays?Godel set theory (NBG). It bears certain differences from its descendants, which are not always understood, and are frequently misquoted. This article sets out the original axioms, with the original text (translated into English) and original numbering.
Contents
1 The axioms of Zermelo set theory
2 Connection with standard set theory
3 Mac Lane set theory
4 The aim of Zermelo's paper
5 The axiom of separation
6 Cantor's theorem
The axioms of Zermelo set theory
AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
Connection with standard set theory
The axiom of infinity is usually now modified to assert the existence of the first infinite von Neumann ordinal ω; the original Zermelo axioms cannot prove the existence of this set, nor can the modified Zermelo axioms prove Zermelo's axiom of infinity. Zermelo's axioms (original or modified) cannot prove the existence of V_{ω} as a set nor of any rank of the cumulative hierarchy of sets with infinite index.
Zermelo allowed for the existence of urelements that are not sets and contain no elements; these are now usually omitted from set theories.
つづく
748:現代数学の系譜 雑談
21/05/06 07:49:34.87 7p5uf5fw.net
>>672
つづき
Mac Lane set theory
Mac Lane set theory, introduced by Mac Lane (1986), is Zermelo set theory with the axiom of separation restricted to first-order formulas in which every quantifier is bounded. Mac Lane set theory is similar in strength to topos theory with a natural number object, or to the system in Principia mathematica. It is strong enough to carry out almost all ordinary mathematics not directly connected with set theory or logic.
The aim of Zermelo's paper
The introduction states that the very existence of the discipline of set theory "seems to be threatened by certain contradictions or "
749:antinomies", that can be derived from its principles ? principles necessarily governing our thinking, it seems ? and to which no entirely satisfactory solution has yet been found". Zermelo is of course referring to the "Russell antinomy". Cantor's theorem Zermelo's paper may be the first to mention the name "Cantor's theorem". （ついで） https://en.wikipedia.org/wiki/S_(set_theory) S (set theory) S is an axiomatic set theory set out by George Boolos in his 1989 article, "Iteration Again". S, a first-order theory, is two-sorted because its ontology includes “stages” as well as sets. (引用終り) 以上
750:１３２人目の素数さん
21/05/06 08:44:45.42 O4xY6m5B.net
>>667
>>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
無限の要素をすべて列挙する必要は無いが、シングルトンって要素一つなんですけど。
一つでも具体的に書けないの？それインチキでは？
現代数学うんぬんは関係無いですね。
751:１３２人目の素数さん
21/05/06 09:01:34.52 O4xY6m5B.net
>>667
>下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、この列は有限であってはならない！
じゃあ「ωはシングルトン」は間違いですね。
シングルトンの要素は一つ、つまり有限ですから。
>可算無限である。よって、「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンが存在する
いいえ、存在しません。
Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
のどの項も有限重カッコですよ？ 無限重カッコの項なんてどこにも現れません。
>これは、無限公理から従う
無限公理は無限集合の存在を主張しますが、無限重カッコの存在なんて主張してません。
752:１３２人目の素数さん
21/05/06 09:06:54.02 O4xY6m5B.net
>>667
>以下、同様の構成法を繰り返して、
>Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
>なる互いに異なる要素の列を得る。
じゃあω={Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .}じゃないですかｗ ω=・・{Φ}・・は大間違いですね。
で、ωのどの要素も・・{Φ}・・ではなく{・・{Φ}・・}つまり有限重カッコですね。
753:１３２人目の素数さん
21/05/06 10:16:03.98 NkLe7K9y.net
>>667
>山上滋
URLﾘﾝｸ(nrid.nii.ac.jp)
集合論の研究者ではないね
>「（ノイマン 自然数）しかし、これは、落ち着いて考えてみると、
> Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、
> 当然といえば当然のことである。」
これ、個々の自然数に対するコメントであって
自然数全体の集合に関するコメントではないね
>要するに、ノイマンの自然数の集合Ｎが出来上がったとき、Ｎは無限集合だが、
当然だねｗ
>同時に「Φ の記号を取り囲む括弧の数」（山上滋）は、可算無限である
そんなこと、山上滋はいってないけどねｗ
Ｎからどんな要素をとったとしても、その要素の括弧の数は有限個
当然でしょ 自然数なんだから
>下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、
>この列は有限であってはならない！可算無限である。
これまた、当然 Ｎは無限集合だからね
>よって、「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンが存在する
>これは、無限公理から従う
従わないよ
素人が論理抜きで口から出まかせいったらたらあかんよ
>それを、{・・{Φ}・・}と表現するか、
>・・{Φ}・・、あるいは{・・Φ・・}か
>そんなことは、どうでも良いこと！ 幼稚な話にすぎない！
そもそも集合でないものをどう書こうが無意味だけどな
だからMara Papiyasにパクチーっていわれるんだよｗ
754:１３２人目の素数さん
21/05/06 10:22:51.52 NkLe7K9y.net
>>674
>シングルトンって要素一つなんですけど。
>一つでも具体的に書けないの？それインチキでは？
>現代数学うんぬんは関係無いですね。
おっしゃる通り
>>675
>じゃあ「ωはシングルトン」は間違いですね。
>シングルトンの要素は一つ、つまり有限ですから。
>（「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンは）存在しません。
>Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
>のどの項も有限重カッコですよ？ 無限重カッコの項なんてどこにも現れません。
>無限公理は無限集合の存在を主張しますが、無限重カッコの存在なんて主張してません。
いちいち、おっしゃる通り
>>676
>じゃあω={Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .}じゃないですかｗ
>ω=・・{Φ}・・は大間違いですね。
>で、ωのどの要素も・・{Φ}・・ではなく
>{・・{Φ}・・}つまり有限重カッコですね。
まったく、おっしゃる通り
そもそも
「{}を可算個つければ、ωができる」
という思い込みが間違ってるんだよね
いいかげん気づけよ・・・
755:１３２人目の素数さん
21/05/06 10:40:27.10 O4xY6m5B.net
>>677
>そんなこと、山上滋はいってないけどねｗ
どうも瀬田くんには幻覚、幻聴の症状があるようです。
瀬田くんへ
精神病院へ行った方が良いと思います。数学板にいては拗らせるだけですよ。
756:１３２人目の素数さん
21/05/06 10:56:30.72 O4xY6m5B.net
>>671
>上記集合Ｉ、あるいは下記集合Ａに、カッコ｛｝があるとか無いとか
>幼稚でおろかな議論にすぎない
集合とは要素の集まりです。カッコはその集合がどんな要素の集まりかを書き表す際の記法です。記法とは書き方の約束事であって幼稚でも愚かでもありません。
>集合Ｉ、Ａの要素を書き"尽くすことはできない"(by 哀れな素人氏ふうｗ)（＾＾
>（無限集合に対しては、そんな議論は不要だよ（＾＾； ）
誰一人として無限集合の要素すべてを書き尽くせなんて言ってませんよ？
シングルトンの唯一の要素を書いて下さいと言ってるだけです。
集合とは要素の集まりなのに、要素一つすら書けないんじゃ集合とは言えないのでは？
757:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:21:01.71 lpTNl9Nr.net
>>667 補足
山上 滋先生（名大）下記問 19が面白いと思った（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ13-14
集合 X に対して、そのすべての部分集合から成る集合を X の冪集合 (power set) と言い、P(X) あるい
は 2^X という記号で表わす。
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上
758:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:22:42.70 lpTNl9Nr.net
バカなおサルが二匹
必死だなｗ（＾＾；
759:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:32:56.38 O4xY6m5B.net
とうとう中傷しかできなくなったか
760:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:45:57.09 NkLe7K9y.net
>>681
>問 19が面白いと思った
まーた、理解できなかったのかい？
>問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。
で、Rがどんな集合だか分からないから、納得できなかったのかい？
>また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
いくらでも存在するよ
例1 X={{}}とする
2^X={{},{{}}}
したがって、2^X ∩ X={{}}=X
例2 X={{},{{}}}とする
2^X={{},{{}},{{{}}},{{}.{{}}}}
したがって 2^X ∩ X={{},{{}}}=X
例3 X={{},{{}},{{{}}},{{}.{{}}}}とする
2^X∩X=X
つまりいくらでも同様の例が作れる
――
Xが空集合を要素として持てば、
2^Xは必ず空集合を要素として持つので
2^X ∩ X≠{} ではない
761:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:47:05.40 NkLe7K9y.net
>>682
おサルは一匹だけだよ・・・ID:lpTNl9Nrのことだけどな
762:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:53:05.02 NkLe7K9y.net
>>683
まあ、ID:lpTNl9Nrに･･･{{{}}}･･･の要素が書けないのは当然だよね
だって集合じゃないもの
シングルトンって｛ｘ｝って形以外あり得ないでしょ
･･･{{{}}}･･･はどうみても｛ｘ｝って形じゃない
つまり、シングルトンじゃな~い
そもそも集合じゃな~い
逆に｛ｘ｝って形なら集合か？
実はそうはいえない
ｘ＝｛ｘ｝だったら、基礎の公理に反するから集合じゃない
可算個の{}の重なりとして{{{･･･}}}みたいなものを考えたら
どうみてもｘ＝｛ｘ｝になっちゃうから、基礎の公理に反する
つまり、やっぱり集合じゃな~い
763:１３２人目の素数さん
21/05/06 17:56:30.72 NkLe7K9y.net
>>684
＞2^X ∩ X≠{} ではない
誤り
2^X ∩ X≠{} である が正しい
764:１３２人目の素数さん
21/05/06 18:01:07.08 NkLe7K9y.net
質問
・ノイマンのωについて
２^ω ∩ ω は 何になるか？
・ツェルメロのωを{{},{{}},{{{}}},…}と定義したとき
２^ω ∩ ω は 何になるか？
765:１３２人目の素数さん
21/05/07 02:10:37.55 WstQquuB.net
>・ノイマンのωについて
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
と
{}⊂ω ∴{}∈2^ω
から
{}∈2^ω∩ω
step2
ωの{}以外のいずれかの元nにつきn∈2^ω∩ωを仮定。
n+1∈ω
と
n+1={0,1,…,n}⊂ω ∴n+1∈2^ω
から
n+1∈2^ω∩ω
step1,2から、∀n∈ωに対しn∈2^ω∩ω
よって2^ω∩ω=ω
>・ツェルメロのωを{{},{{}},{{{}}},…}と定義したとき
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
[証明]
ノイマンのωについての証明における
n+1={0,1,…,n}⊂ω
を
n+1={n}⊂ω
に置き換えればよい。
766:１３２人目の素数さん
21/05/07 02:17:36.83 WstQquuB.net
とても簡単な基本問題ですが、数学的帰納法はおろか∈と⊂の区別も付かない瀬田くんには到底無理でしょう。
瀬田くんは背伸びせず、中学数学・高校数学の復習から始めると良い。
767:１３２人目の素数さん
21/05/07 02:24:26.67 WstQquuB.net
大学一年の4月に落ちこぼれたということは、高校までの数学が履修できていなかったからに他ならない。
よって瀬田くんは背伸びせず、中学数学・高校数学の復習から始めるべし。
嫌なら数学を諦めるべし。
768:１３２人目の素数さん
21/05/07 02:38:18.03 WstQquuB.net
>step1,2から、∀n∈ωに対しn∈2^ω∩ω
>よって2^ω∩ω=ω
ここ、行間を埋めるなら
step1,2から、∀n∈ωに対しn∈2^ω∩ω ∴ω⊂2^ω∩ω
一方、2^ω∩ω⊂ω であるから結局 2^ω∩ω=ω
行間は埋めだすとキリが無い。
769:１３２人目の素数さん
21/05/07 06:10:49.40 Y/ho//XE.net
>>689 >>692
回答 ５９６３
�
770:ﾆころで・・・ω⊂2^ω なんだよね？ だから2^ω∩ω=ωなんだよね？ 確認 ４６４９
771:１３２人目の素数さん
21/05/07 06:30:51.00 Y/ho//XE.net
>>691
>大学一年の4月に落ちこぼれたということは
実数の定義でつまづいたんでしょ
デデキントの切断か、カントールの有理コーシー列かは知らんけど
実はそういう人珍しくないよ
高校までの数学は論理的に考えずに
計算方法だけ漫然と習熟すればできちゃうから
で、実数の定義でつまづく人に限って
「こんな衒学的なことやるのは大学１年だけだ
もっと上にいけば、高校と同じ
「身体で会得する」数学に戻る筈」
とわけのわからない妄想を抱いて難しい数学に挑戦し挫折する
実数の定義で衒学的とかいってる人が、
はるかに衒学的な現代数学とかわかるわけないって
772:現代数学の系譜 雑談
21/05/07 08:17:46.34 eZNKvfJj.net
>>642
>{0,1,2,・・,n,・・}に、最後の元は無い！ 自然数Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
>上記同様に、N重シングルトンS'Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
この話は、下記ゼノンのパラドックス 飛んでいる矢は止まっているの話に近いかも
バートランド・ラッセル「私たちは、矢が飛んでいる時には次の瞬間に矢が占める次の位置があるという想定を避けることは難しいと考えるのであるが、実際は、次の位置も次の瞬間も存在しないのである。[27]」
おサルの一匹は、数学科出身という触れ込みだが
数学科出身と言わない方が良いと思う
数学科出身の人たちが、恥ずかしいレベルだと思うよｗ（＾＾
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゼノンのパラドックス
2.3 飛んでいる矢は止まっている
「もしどんなものもそれ自身と等しいものに対応しているときには常に静止しており、移動するものは今において常にそれ自身と等しいものに対応しているならば、移動する矢は動かない、とかれは言うのである。[12]」
アリストテレスは続けて、「この議論は、時間が今から成ると仮定することから生ずる」と述べている。この言から、ゼノンも「時間が瞬間より成る」を前提としていると解される。瞬間においては矢は静止している。どの瞬間においてもそうである。という事は位置を変える瞬間はないのだから、矢は位置を変えることはなく、そこに静止したままである。ゼノンの意が単純にこうであったのかは確定的な事ではない。
つづく
773:現代数学の系譜 雑談
21/05/07 08:18:27.66 eZNKvfJj.net
>>695
つづき
バートランド・ラッセル
数学上の問題が一段落したのち、新たな見解がいくつか提案された。その一人、ラッセルは、
「したがって、ゼノンの議論は空間と時間とが点と瞬間で構成されているという見解に向けられているのであって、空間と時間の有限のひろがりは、有限の数の点と瞬間からなっているという意見に対する反論と同じように、ゼノンの論証は詭弁ではなく、まったく正しいのである、と私たちは結論することが出来る。[17]」
と言う。
飛ぶ矢については、
「私たちは、矢が飛んでいる時には次の瞬間に矢が占める次の位置があるという想定を避けることは難しいと考えるのであるが、実際は、次の位置も次の瞬間も存在しないのである。[27]」
ゼノンの指摘の通り、矢はある時刻にある位置にいる。だからといって動かないのではなく、「運動とは、時間と場所とに相関があって、異なった時点において異なった位置を占めること[28]」に過ぎない、とラッセルは言う。
(引用終り)
以上
774:哀れな素人
21/05/07 08:30:19.37 MbhNoJrw.net
スレ主よ、サル石に
βとは最大の負の実数である。
と定義したら、βという数は存在するのか、と質問してやったら、
βを定義したらβは存在する。
ナンセンスな存在に過ぎないが存在する。
ナンセンスだが存在する。
と答えた（笑
最初は、βという数は存在しない、と答えたが、
ナンセンスな存在に過ぎない、とか、名ばかり数である、
と曖昧なことを書いたので、確認のために、
ナンセンスな存在に過ぎないが存在するのか、
名ばかり数だが存在するのか、と質問したら、上のように答えた（笑
定義すれば存在するそうだ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
正真正銘のドアホである（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
775:１３２人目の素数さん
21/05/07 09:32:45.61 WstQquuB.net
安達弘志はナンセンスだが存在する
人間の知性を持たぬ名ばかり人間（非人）だが存在する
776:１３２人目の素数さん
21/05/07 09:43:14.47 WstQquuB.net
>ところで・・・ω⊂2^ω なんだよね？
結局同じでしょ。
ω⊂2^ωを言うためには、∀n∈ω ⇒ n∈2^ω を言わないといけない。
この式が∀n∈ωについて成立することを言うには数学的帰納法が必要。
あるn∈ωについて成立することを示し、特定のnに限定していないから∀n∈ωについて成立するなどという論法はイカサマ。
777:１３２人目の素数さん
21/05/07 10:03:27.29 Y/ho//XE.net
>>699
>>ところで・・・ω⊂2^ω なんだよね？
>結局同じでしょ。
ええ、だからω⊂2^ωとかいたほうが簡単かと思いまして
>ω⊂2^ωを言うためには、∀n∈ω ⇒ n∈2^ω を言わないといけない。
その通り そういう定義ですからね
778:１３２人目の素数さん
21/05/07 10:07:13.18 Y/ho//XE.net
>>697
>サル石に
>βとは最大の負の実数である。
>と定義したら、βという数は存在するのか、と質問してやったら、
>βを定義したらβは存在する。
>ナンセンスな存在に過ぎないが存在する。
>ナンセンスだが存在する。
>と答えた
安達氏は味噌も糞も一緒くたにして「サル石」といってるけど
「ナンセンスだが存在する」といってる「ナンセンス君」と
「矛盾するから存在しない」といってる「矛盾君」は別人かと
779:１３２人目の素数さん
21/05/07 10:16:58.51 Y/ho//XE.net
>>695-696
雑談 ◆yH25M02vWFhPは、後者関数さえ定義すれば
「自動的に」極限が定義されると思ってるみたいだけど
全然違うよ
例えば
V_0={}
V_1=P(V_0)
･･･
V_(n+1)=P(V_n)
と定義しただけでV_ωが
「可算無限回の繰り返し」として
「自動的に」定義できると思い込んでるでしょ？
全然違うよ
V_ω=U(n∈ω)V_n
として「別途」定義するんだよ
そういう「初歩的」「基本的」なこと全然知らなかったでしょ
勉強嫌い数学興味ないなら、数学板書かなくていい読まなくていいよ
780:１３２人目の素数さん
21/05/07 10:56:57.55 fxp4/vEr.net
>>689
(引用開始)
>・ノイマンのωについて
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
(引用終り)
違うと思うよ
ノイマンのω＝Ｎ（自然数の集合）
だろ？
そして、Ｎ⊂Ｒ（実数）だろ？
（>>681より）
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ13-14
集合 X に対して、そのすべての部分集合から成る集合を X の冪集合 (power set) と言い、P(X) あるい
は 2^X という記号で表わす。
例題 4.3. X = {a, b, c} (a, b, c は互いに異なる）であるならば、
P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
フォン・ノイマン (John von Neumann, 1903–1957) は、「無」から自然数を作り出すと称してつぎのような構成方法を提案した。
集合 2^Φ = {Φ} は、空集合を唯一の要素とする集合であり、したがって空集合ではない。そこで、
2^{Φ} = {Φ, {Φ}}
の要素（{Φ} の部分集合）として、{Φ} ̸= Φ を得る。以下、同様の構成法を繰り返して、
Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
なる互いに異なる要素の列を得る。これらを順次自然数 0, 1, 2, . . . に対応させることで、
無（空集合）から自然数が構成できるとした。が、しかし、これは、落ち着いて考えてみると、
Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
ここで、「2^R ∩ R = Φ 」が導けないよ
∵ Ｎ⊂Ｒだから
ノイマンの自然数Nに対しては
2^N ∩ N = Φ
だよ（＾＾
山上滋先生のノイマン構成は、簡略化して書かれているから、お主の読み違いだろう
（べき集合が分かってないのか、∈と⊂の違いか、ノイマン構成などに無理解か？ ともかく、数学科出身を名乗らない方がいいぞ（＾＾； ）
781:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:18:48.26 WstQquuB.net
>>703
>ノイマンの自然数Nに対しては
>2^N ∩ N = Φ
>だよ（＾＾
はい、大間違い。
反例 {}∈2^N ∩ N ∵{}⊂N だから {}∈2^N
やはりキミは中学数学・高校数学から復習が必要。背伸びしちゃだめだよ。
782:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:20:43.86 fxp4/vEr.net
>>697
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
(引用開始)
スレ主よ、サル石に
βとは最大の負の実数である。
と定義したら、βという数は存在するのか、と質問してやったら、
βを定義したらβは存在する。
ナンセンスな存在に過ぎないが存在する。
ナンセンスだが存在する。
(引用終り)
１．定義したら、即存在するというものではないですね
そもそも、実数の定義と合わないので、実数概念を拡張すべきで、そこから始まります
２．一番有名なのが、下記のロビンソンの方法ですね
３．正の無限小を導入して、いかなる正の実数より小とする
その上で、負の無限小を導入すれば、いかなる負の実数より大とできます
４．数学は、純粋な思念の産物ですから、数学で「存在」とは「他の数学的対�
783:ﾛと矛盾せず考えられ、おそらく有用で意味がある」くらいの意味です その意味で、”無限小”は、概念として意味があり有用です（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F 無限小 ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア＝レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された（ロビンソンは1948年にエドウィン・ヒューイット（英語版）が、および1955年にイェジー・ウォッシュ（英語版）が成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した）。 無限小を含む数体系 超実数体 無限小を扱う上でもっとも広く知られたやり方は、アブラハム・ロビンソンが1960年代に開発した超実数 (hyperreal number)[* 4]であろう。超実数は前掲の分類 3 に該当し、実数に基づく古典的な解析学の全てをその上で展開できるよう意図して作られた。この「任意の関係を自然な方法でこの体系に引き写すことができる」という性質は移行原理（英語版）と呼ばれ、1955年にイェジー・ウォシュ（英語版）が証明した。 (引用終り) 以上
784:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:31:36.16 fxp4/vEr.net
>>704
(引用開始)
>ノイマンの自然数Nに対しては
>2^N ∩ N = Φ
>だよ（＾＾
はい、大間違い。
反例 {}∈2^N ∩ N ∵{}⊂N だから {}∈2^N
(引用終り)
それ面白いけど
繰り返すが、それなら山上滋先生の>>703より
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。」
で、”2^R ∩ R = Φ ”が、不成立じゃんｗ（＾＾
さて、お主の論法のどこが間違っているのか？ｗｗ
おサルさん、やっぱ数学科出身を名乗らない方が・・ｗｗｗ（＾＾；
785:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:49:29.13 WstQquuB.net
>>706
Rって実数全体の集合じゃないの？
2^Rの元はどれも集合だから、Rの元を集合で定義しない限り2^R ∩ R = Φは当たり前ｗ
山上がー山上がーってキミ山上全然読めてないじゃんｗ バカ丸出しｗ
786:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:51:12.05 WstQquuB.net
>>706
>それ面白いけど
キミの「面白い」＝「分らん」ｗ
簡単な反例すら理解できない阿呆ｗ
787:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:53:24.18 WstQquuB.net
一方ノイマンのNの元はすべて集合。
何の話してるか分かってる？キミｗ 阿呆だねえｗ
788:１３２人目の素数さん
21/05/07 11:58:38.63 Y/ho//XE.net
>>703
>>> ・ノイマンのωについて
>>> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
>> ω
> 違うと思うよ
> ノイマンのω＝Ｎ（自然数の集合）だろ？
> そして、Ｎ⊂Ｒ（実数）だろ？
はい、誤り
まだ「集合として同じ」と「同型」の区別がついてないね
Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！
ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが
Im(Ｎ)はＮと同じ集合ではない！
789:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:01:15.75 WstQquuB.net
集合論では自然数を集合で定義するが、集合での定義が必須ではない。実際代数学でも解析学でも集合で定義していない。
その場合、2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合だから、当然 2^N∩N={}。
どういう話をしてるのか分らずに闇雲に検索コピペしても無意味ｗ
それしか能の無いキミに数学は無理ｗ
790:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:02:24.02 Y/ho//XE.net
>>706
＞さて、お主の論法のどこが間違っているのか？
さて、ID:fxp4/vErの論法のどこが間違ってるのか？
「N＝ω ∧ N⊂R と決めつけたのが間違い」
N＝ω ならば N⊂Rではない
N⊂R ならば N＝ωではない
791:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:04:53.07 WstQquuB.net
>ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが
Ｎからωへの代数構造を保つ全単射が存在するが
の間違い？
792:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:12:25.73 Y/ho//XE.net
>>713
いや
「ωからＲへの代数構造を保つ”単射”が存在するが
Im（ω）としてのNは、ωと同じ集合ではない」
の誤り
793:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:16:31.77 Y/ho//XE.net
>>711
>2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合
いや、集合論の中で数を実現するなら、Nの元もみな集合
�
794:ｽだ、Ｒは有理数列として実現するから その部分集合としてのＮも当然有理数列であり ωの要素とは異なる形式となる したがって、ω⊂２＾ωだからといって Ｎ⊂２＾Ｎとはいえない
795:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:18:58.03 WstQquuB.net
>>715
だから集合論じゃない話をしてるんだけど文盲？
796:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:24:57.90 Y/ho//XE.net
>>716
集合論での話をしても、2^R∩R={}となることがある
ただ、これはRをどういう集合として実現するかに依存する
797:１３２人目の素数さん
21/05/07 12:38:05.48 Y/ho//XE.net
ちなみにRを2^ωとした場合は
2^(2^ω) ∩ 2^ω ＝ 2^ω
798:１３２人目の素数さん
21/05/07 14:13:34.57 KB+bvjRA.net
> 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。
Rの定義を示していない時点で愚問だね。いくらでも解釈の余地がある。
この問いへつながる前部分をざっと見た解釈が>>707。著者はRを集合の集合と考えてるとは思えない。
799:１３２人目の素数さん
21/05/07 15:21:17.83 Y/ho//XE.net
>>719
>著者はRを集合の集合と考えてるとは思えない。
もし、そうなら、困ったもんだね。
800:１３２人目の素数さん
21/05/07 18:35:37.18 fxp4/vEr.net
良問だと思うよ
おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
ωやNが分かってない？
そりゃ、時枝が分からないはず（＾＾
山上滋先生のテキストにケチつけるとは、大した度胸だよね
おサルの一匹は、数学科出身というが、数学科出身を名乗らない方が良いぞ
801:１３２人目の素数さん
21/05/07 18:43:55.15 2EoPJpNL.net
>>721
早く中学・高校の復習をやりなさい。
何も分からない落ちこぼれが遠吠えしても惨めなだけですよ？
802:１３２人目の素数さん
21/05/07 18:54:38.82 Y/ho//XE.net
>>721
>ωやNが分かってない？
そりゃ ID:fxp4/vEr あんただろ
時枝も山上滋も誤読しまくりじゃ、数学は無理だな
803:１３２人目の素数さん
21/05/07 18:57:04.83 2EoPJpNL.net
>>721
> 山上滋先生のテキストにケチつけるとは、大した度胸だよね
だからキミは大学一年の4月に落ちこぼれて以来進歩が無いんだよ。
誰が書いたテキストだろうが駄目なものは駄目。
まあ内容がちんぷんかんのキミには著者名で判断するしかないんだろうけどさ。惨めだねえ。
804:１３２人目の素数さん
21/05/07 19:04:37.92 2EoPJpNL.net
>>721
> おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
そーかそーか、キミには難し過ぎてちんぷんかんだったか
だから言ってるだろ？∈と⊂の区別もつかないキミは中学・高校数学の復習から始めなさいと。背伸びしちゃダメだよ？
805:現代数学の系譜 雑談
21/05/07 20:23:03.66 eZNKvfJj.net
>>721 補足
>良問だと思うよ
>おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
>ωやNが分かってない？
>そりゃ、時枝が分からないはず（＾＾
何が間違っているのか？
何が理解出来ていないのか？ｗ
全部分かってないのかもな？？ｗｗ
だが、教えてはやらん！！ｗｗｗ
おサル二匹のうち、一匹は数学科出身を名乗るが
こいつが、議論に勝ちたいがために、屁理屈をこねくり回すやつだ
で、墓穴を掘って、さらに、墓穴を大きくしているんだ
笑えるよ
典型例が、>>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」
なにそれ？ｗ（＾＾；
例えば、下記 新井 敏康先生 「数学基礎論・数理科学続論D」
Ｐ13 「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
（参考）
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
新井 敏康 Toshiyasu Arai
資料公開
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
資料公開
タイトル 集中講義資料2013
カテゴリ 講義資料
概要 東京大学数理科学研究科「数学基礎論・数理科学続論D」の講義資料
ダウンロード sugakukisoron2013.pdf
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
Ｐ
806:9 2 Zermelo-Fraenkel set theory ZF Ｐ12 定義2.2 1. 順序数α のsuccessor α + 1 := α ∪ {α} は順序数でしかも α < α + 1 ∧ ∀β(β < α + 1 ? β ? α). 4. 順序数α が自然数であるとは、∀β ? α[(β = 0)∨(β is a successor ordinal)]. 無限集合の存在は要請されなければならない： ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity) つまりω =∩{x : 0 ∈ x∧∀y ∈ x(y ∪{y} ∈ x)} で、かつ最小のlimit ordinal である。 最後のZF の公理として、集合x のベキ集合P(x) = {y : y ⊂ x} は集合である ∀x∃z∀y ⊂ x(y ∈ z) (Axiom of Power set) (引用終り) 以上
807:現代数学の系譜 雑談
21/05/07 20:43:32.21 eZNKvfJj.net
おサルの一匹は、数学科出身というが、数学科出身を名乗らない方が良いぞ
>>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」
なにそれ？ｗ（＾＾；
>>726 新井 敏康先生 「数学基礎論・数理科学続論D」
Ｐ13 「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
新井 敏康先生に教えてやれよ
新井先生、「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」ってな
新井 敏康先生も
きっと喜んでくれるかもよ、良いことを教えてくれたと・・、そんなわけ無いだろう？
おサルの一匹は、数学科出身というが、
数学科出身を名乗らない方が良いぞ
808:現代数学の系譜 雑談
21/05/07 23:06:53.51 eZNKvfJj.net
>>726 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
新井 敏康
東京大学数理科学研究科「数学基礎論・数理科学続論D」の講義資料
無限集合の存在は要請されなければならない：
ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)
つまりω =∩{x : 0 ∈ x∧∀y ∈ x(y ∪{y} ∈ x)} で、かつ最小のlimit ordinal である。
(引用終り)
なるほど
これは、オリジナルの無限公理よりも良いかも
つまり、オリジナルの無限公理は、自然数の集合Ｎを含むもっと大きな集合が出来てしまう
そこから、自然数の集合Ｎに絞り込むのに、二階述語論理を使うが（下記en.wikipedia）、できれば一階で済ませたい
よって、新井流で、「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
とズバリ書いてしまう
（ちょっと、記述が汚なくなりそうだけどね。”natural number”の定義をどう書くかの工夫がいりそうだし
そもそも自然数の集合Ｎを定義するのに、”n is a natural number”とか、”最小のlimit ordinal”とか、そんなんあり？
みたいな
でも、二階述語論理を使うのとどっちがどうか？ どうせ不完全性定理があるから、記述の汚さは多少妥協した新井流もありかな（＾＾ ）
なるほどねぇ（＾＾；
参考
(>>668-670より)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Both these methods produce systems which satisfy the axioms of second-order arithmetic, since the axiom of power set allows us to quantify over the power set of ω , as in second-order logic. Thus they both completely determine isomorphic systems, and since they are isomorphic under the identity map, they must in fact be equal.
809:１３２人目の素数さん
21/05/07 23:16:14.95 WstQquuB.net
↑
バカ丸出し
810:
21/05/08 05:11:23.19 27ekwIg+.net
>>726-728
まーた、変態数学の狂祖 雑談君が、思いあがって🐎🦌発言しとるなｗ
ω={{},{{}},{{},{{}}},…} だったら ω⊂2^ωだぞｗ
ωのどの要素ｘも、ｘの要素がωの要素だからな
811:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 07:38:18.56 X3IvmoGN.net
>>730
おぬし、”地頭”悪すぎ
数学科出身というが、
数学科出身を名乗らない方が良いぞ（＾＾；
812:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 07:50:11.44 X3IvmoGN.net
>>728-729 補足
下記”レーヴェンハイム-スコーレム”
「一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの
813:定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する」 だったら、新井流で「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」 みたく 自然数の集合Ｎを公理として入れてしまえて、そして公理の外では一階述語論理で通せれば、それはそれで綺麗だろ 一方、ツェルメロやノイマンたちは、あくまで公理はシンプルであるべしと考えていた （公理に使う用語や概念は、極小にしたい。{}とか∪,∩,∀,∃とかね。余計な用語は公理には極力入れたくない） それで、通せると思っていた。当時の全数学を構築できると で、ゲーデルの不完全性定理が出て、結局公理は追加される運命にあると分かったんだ だったら、新井流で最初からNを公理中で与えるやり方もありかもと思った。多少公理が複雑になってもね（＾＾ （>>456-459より） http://www.cs-study.com/koga/set/lowenheimSkolem.html 形式的論理体系の定義から レーベンハイム・スコーレムの定理までの大急ぎのまとめ (Rapid Summary from Syntax of Logic to Lowenheim-Skolem Theorem) by Akihiko Koga 27th Mar. 2020 (Update) レーベンハイム・スコーレムの定理（レーベンハイム発表 1915年，スコーレムによる厳密な証明 1920年）は，一階の記号論理体系（一階述語論理）の「モデル（その体系の公理系を 満たす数学的な実例）」のサイズに関する定理である． レーベンハイム・スコーレムの定理は，このときの記号を解釈するための「実体の集合 M」の 大きさに関する命題である．より詳しく言うと， 記号論理の体系がモデルを持つと 分かったとき，そのモデルを非常に巨大な大きさにしたり，またはその逆に， 非常に小さくしたりできると いう定理である． http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/Lowenheim00.png 一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する． (引用終り) 以上
814:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 08:31:22.26 X3IvmoGN.net
>>703 補足
>集合入門２０１８
>山上 滋
下記の2005 年前期の茨大の講義テキストが元みたいだね（多分1年生向け）
そのころから、
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X ≠ Φ となる集合 X は存在するか」
と書いてあるね。良問じゃね？ｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
Shigeru's Scratchy Shelf Last modified: 2009/10/05
URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
授業記録
URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
集合入門（２００５年前期）
集合入門授業日誌
URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
講義ノート 集合入門
ノートでは、できるだけ、こういった形式の話を具体的で意味のある話題と 結びつけて、よく言えば「ゆったりと」、 悪くいえば「だらだらと」書いてあります。
URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
集合入門
山上 滋
2005 年 4 月 1 日
Ｐ11
4 積集合と冪集合
Ｐ14
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X ≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上
815:１３２人目の素数さん
21/05/08 08:43:09.35 4CnMMyMC.net
>>733
じゃあRの定義を書いてみて
良問と判断したってことは当然書けるよね？
816:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 09:14:54.65 X3IvmoGN.net
>>734
地頭の悪い おぬしに教える義理はない
問答無用
下記でも嫁め（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数
実数（じっすう、 仏: nombre reel, 独: reelle Zahl, 英: real number）とは連続な量を表すために、有理数を拡張した「数」の体系である。
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[1]。実数体の元（＝要素）を実数という。
これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というもの�
817:ｪ存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[2]。 実数の表示 現代数学の体系において実数が構成されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは ?1.13 や 3.14159... のような（有限とは限らない）小数表示がよく用いられる。 また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。 実数の様々な構成 コーシー列を用いた構成 デデキント切断による構成 超準解析に基づく構成 論理学における実数 実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数全体の集合は有理数全体の集合からはっきりと区別されるべき大きさ（濃度）を持っていること（実数の集合は可算でないこと）を示した。 ブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。 つづく
818:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 09:15:24.70 X3IvmoGN.net
>>735
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Real number
Contents
1 History
2 Definition
2.1 Axiomatic approach
2.2 Construction from the rational numbers
Axiomatic approach
Let {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} denote the set of all real numbers, then:
The set {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} is a field, meaning that addition and multiplication are defined and have the usual properties.
The order is Dedekind-complete, meaning that every non-empty subset S of {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} with an upper bound in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} has a least upper bound (a.k.a., supremum) in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} .
For another axiomatization of {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} , see Tarski's axiomatization of the reals.
Construction from the rational numbers
The real numbers can be constructed as a completion of the rational numbers, in such a way that a sequence defined by a decimal or binary expansion like (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converges to a unique real number?in this case π. For details and other constructions of real numbers, see construction of the real numbers.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Construction of the real numbers
Contents
1 Synthetic approach
1.1 Axioms
1.1.1 On the least upper bound property
1.1.2 On models
1.2 Tarski's axiomatization of the reals
2 Explicit constructions of models
2.1 Construction from Cauchy sequences
2.2 Construction by Dedekind cuts
2.3 Construction using hyperreal numbers
2.4 Construction from surreal numbers
2.5 Construction from integers (Eudoxus reals)
2.6 Other constructions
(引用終り)
以上
819:１３２人目の素数さん
21/05/08 09:37:38.79 4CnMMyMC.net
>>735
{}はRの要素？ Y/N
820:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 09:56:04.72 X3IvmoGN.net
>>737
地頭の悪い おぬしに教える義理はないが
簡単に
ゼロ０を、空集合Φ＝{}を当てるのがスタンダード（つまり 0＝Φ）だから
{}はRの要素で良いでしょ
（0≠Φ}の立場
821:なら、話は別）
822:
21/05/08 09:56:38.74 27ekwIg+.net
>>735
雑談君のセリフ 解説
> 教える義理はない
→教える能力はない（自分がわかってないから）
> 問答無用
→問答不能（問われても答えられない）
> 下記でも嫁め
→下記読んでオチコボレのボクにもわかるように教えて
ちなみにアホな関西人は妻を「嫁」と間違えて言う悪癖があるけど
嫁といった場合、息子の妻を指しますから~ 残念
（注：アホでない関西人はそのような間違いはしない）
さて、本題
コーシー列を用いた構成 でも
デデキント切断による構成 でも
どっちでもいいけど、上記の構成による集合としての実数が
実数の集合と全く異なれば 2^R ∩ R = {}となる
つまり「アトムでなければいけないっ！」と
🐎🦌丸出しで発●する必要はないｗ
823:
21/05/08 10:02:09.46 27ekwIg+.net
>>738
>ゼロ０を、空集合Φ＝{}を当てるのがスタンダード（つまり 0＝Φ）だから
>{}はRの要素で良いでしょ
この瞬間、ID:4CnMMyMC は、きっとこう絶叫した筈
” I have a win!!!"
ま~た、雑談君、考えもなしに書き込み、即自爆かｗｗｗ
さて、本題
{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}} なので 2^R ∩ R ≠ {} ではないですね
ホント、雑談君は集合が初歩から全然わかってないでちゅねｗｗｗ
824:１３２人目の素数さん
21/05/08 10:02:19.33 4CnMMyMC.net
>>738
>{}はRの要素で良いでしょ
じゃあ {}∈2^R ∩ R ≠ Φ じゃんｗ
どうやって良問と判断したの？ｗ
825:
21/05/08 10:06:54.68 27ekwIg+.net
>>731
雑談君は論理的思考力ゼロなので
工学部卒、いや、大卒、と名乗らないほうがいい
大阪大卒？いや、それ大阪大の恥ですからｗｗｗ
ボクの知り合いの大阪大卒も
「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
といってました（マジ）
URLﾘﾝｸ(aikru.com)
ていうか、まさか、おーにっちゃん＝雑談、じゃないよな？（疑）
826:
21/05/08 10:14:09.68 27ekwIg+.net
>>732
>新井流で
>「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
>みたく 自然数の集合Ｎを公理として入れてしまえて
新井敏康氏の「数学基礎論 増補版」p145
「自然数の集合は
N:＝ω:=∩{z:0∈z ∧ ∀x∈z (S(x)∈z) }
となる。これが集合となることは無限公理（と分出公理）が保証する」
一階述語論理上の理論であるZFCで定式化できますが何か？
（注：Nの一意性については、一階述語論理ではもちろん示せない
しかしここでは別に一意性を求めてないので無視してよい
二階クンはさっさとオリンピック中止させてくださいｗ）
827:
21/05/08 10:20:22.00 27ekwIg+.net
>>732
>ゲーデルの不完全性定理が出て、結局公理は追加される運命にあると分かったんだ
なんか雑談君は不完全性定理が根本的に分かってないねえ
あのね、単にペアノの自然数論が不完全といってるんじゃなくて
帰納的公理化可能な形での自然数論の拡張はみな不完全なの
だから、二階論理による自然数論が完全（つまり決定可能）だとした場合
肝心の二階論理が、帰納的公理化不能（つまり人間様に判別可能な形で
公理を定義し切ることが不可能）ってこと わかる？
二階バンザイとかいってるのは、数学でも政治でも、
肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ
828:
21/05/08 10:27:00.99 27ekwIg+.net
ω＝N とナイーブに断言する雑談君に問題
Q1. ω⊂Z、となるように Zを定義せよ
Q2. その場合 2^Z ∩ Zはどうなる？
（注：ω⊂Q でも ω⊂R でもいいんだけど、QはともかくRの構成は、
無限が分からん雑談君には到底無理なんで、Zで勘弁してあげたｗ）
829:
21/05/08 10:29:56.60 27ekwIg+.net
>>741
>>{}はRの要素で良いでしょ
>じゃあ {}∈2^R ∩ R ≠ Φ じゃんｗ
>どうやって良問と判断したの？ｗ
決まってるじゃん
「自分�
830:ﾉは答えられないから！」（キリっ） ＃落ちこぼれあるある
831:哀れな素人
21/05/08 10:33:58.72 YvkmE/lz.net
スレ主よ、
ID:4CnMMyMC
ID:27ekwIg+
これはどちらもアホのサル石だ(笑
ID:4CnMMyMCがサル石であることは
「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」
を読めば分かる(笑
>肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ
そのお🐎🦌がお前だ、ドアホ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
レベルの高いスレには全然投稿できない中二の落ちこぼれ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
832:
21/05/08 10:47:03.07 27ekwIg+.net
>>703
>例題 4.3. X = {a, b, c} (a, b, c は互いに異なる）であるならば、
>P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
「だ・か・ら、いかなる集合も、X ∩ P(X) = {}！」
と、雑談君が答えたなら、まさに軽率なお🐎🦌ｗ
a=Φ,b={Φ},c={{Φ}}としましょう
そのとき
X = {a, b, c} ＝｛Φ, {Φ}, {{Φ}}}
P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
= {Φ, {Φ}, {{Φ}}, {{{Φ}}}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {{Φ}}}, {{Φ}, {{Φ}}}, {Φ, {Φ}, {{Φ}}}}
X ∩ P(X) = {Φ, {Φ}, {{Φ}}}
なんで？
そりゃ {}=a, {a}=b, {b}=c だからだよｗ
833:
21/05/08 10:49:42.38 27ekwIg+.net
>>747
>ID:4CnMMyMCがサル石であることは
>「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」
>を読めば分かる
一方、ID:27ekwIg+=私は、上記のアホスレには書き込んでいないｗ
したがって、私はサル石ではな~いｗ
834:哀れな素人
21/05/08 10:56:28.98 YvkmE/lz.net
スレ主よ、サル石が、
>「β」は存在し、「βという数」は存在しない。
>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではないｗ
と書いてきた(笑
「βという数」は存在しない、と書きながら、
「βという数」は存在するが、と書いている（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
ほとんど精神分裂病に近いドアホだ(笑
昔は本当に精神病だった男だが、精神分裂病だったに違いない（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
835:
21/05/08 11:01:53.13 27ekwIg+.net
>>742
>ボクの知り合いの大阪大卒も
>「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
>といってました（マジ）
これから雑談君のことを「コニシ」こと「こにっちゃん」とよぼうかな
参考動画
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
せ~らの地元（大阪）のお友達のコニシさんって誰や？
ゼッタイ、オトコやろ~ｗ
836:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:07:39.97 X3IvmoGN.net
>>747
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
(引用開始)
ID:4CnMMyMC
ID:27ekwIg+
これはどちらもアホのサル石だ(笑
(引用終り)
なるほど
どちらも
アホのサル石みたいですね
彼は、複数ＩＤを使いますからね（＾＾
837:
21/05/08 11:13:55.78 27ekwIg+.net
>>750
>>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではない
サル石のいう「ナンセンスな存在」がどんなものか
サル石でない私には理解しようもないが
βが実数だとすると矛盾するならば、実数としては存在しない
実数でない新たな数としてなら？無矛盾なら存在する
i^2=-1 となる（実数でない）虚数がいい例だが、その他にも
ε^2=0 となるε≠0が、「実数でない数」として追加しても無矛盾だ
というなら、存在するだろう
838:
21/05/08 11:16:09.05 27ekwIg+.net
>>752
＞彼は、複数ＩＤを使いますからね
じゃ、私は「彼」ではないね
私は、単一ＩＤしか使わんから
スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ
839:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:44:50.56 X3IvmoGN.net
>>740
>さて、本題
>{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}} なので 2^R ∩ R ≠ {} ではないですね
ようやく、自分のバカさ加減に気付いたの？（＾＾
おサルは（>>689より）
(引用開始)
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
(引用終り)
と書いたよね（特に「{}∈ω」にご注目）
ところで、下記「高校数学の美しい物語」”自然数Ｎに、0を含むという考え方もある”をご参照
表題”0を含む”と、下記ノイマン構成で、自然数Ｎ∋{}かどうかとは
それは別問題だよ
繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと
”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ
（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ）
山上滋先生の下記
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」
は、良問でした！ｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
自然数とは（0を含むこともあるよ）更新日時 2021/03/07
0を含むという考え方もある
流儀2．自然数とは 0 以上の整数である。
大学以降では自然数は 0 を含む場合もある（特に集合論の文脈）ので注意が必要です。
集合論では 0 を空集合に対応させ，S(a)=a∪{a} として以下のように自然数を構成することが多いです（フォンノイマンの構成法）：
0={}（空集合）
1=S(0)=0∪{0}={0}={{}}
2=S(1)=1∪{1}={1,0}={{{}},{}}
3=S(2)=2∪{2}={2,1,0}={{{{}},{}},{{}},{}}
カッコがたくさんあってキモいですが，これはちゃんとした集合です。
つづく
840:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:45:17.14 X3IvmoGN.net
>>755
つづき
（>>681より）
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ14
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上
841:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 11:47:50.51 X3IvmoGN.net
>>754
＞スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ
心配するな
おまえは、十分病気だよｗ（＾＾；
842:
21/05/08 11:49:01.68 27ekwIg+.net
>>755
いかん、>>740では逆にかいちった
正しくは、2^R ∩ R ≠ {} ですね
雑談君ことこにっちゃんは、ま～だ、自分の間違いに気づかんのか？ｗ
843:
21/05/08 11:52:14.57 27ekwIg+.net
>>755-756
>2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
>は、良問でした！
>>748読んだ？
2^ω ∩ ω=ωとなることは理解した？
愚問だよなｗ
844:
21/05/08 11:53:44.71 27ekwIg+.net
>>757
>おまえは、十分病気だよ
「自己愛性パーソナリティ障害」の変態である雑談君に比べたら全然大したことないよｗ
845:１３２人目の素数さん
21/05/08 13:01:41.33 4CnMMyMC.net
>>755
>特に「{}∈ω」にご注目
>繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと
>”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ
>（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ）
つまりキミは「{}∈ノイマンのω」は偽と言いたいの？
wikipedia「Ordinal number」より引用
This motivates the standard definition, suggested by John von Neumann, now called definition of von Neumann ordinals: "each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals."
First several von Neumann ordinals
0 = { } = ∅
1 = { 0 } = {∅}
2 = { 0, 1 } = { ∅, {∅} }
3 = { 0, 1, 2 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}} }
4 = { 0, 1, 2, 3 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }
さすがに大学1年4月でつまづいた人の言うことは違うねｗ
846:１３２人目の素数さん
21/05/08 13:11:35.04 4CnMMyMC.net
>>755
>特に「{}∈ω」にご注目
何を言い出すかと思えば愚にも付かぬことをドヤ顔でｗ
>「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」
>は、良問でした！ｗ（＾＾
え？？？
キミのRの定義だと2^R ∩ R ≠ Φなんだけどｗ
偉い先生に納得せよと言われたら納得するんだｗ そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ
847:１３２人目の素数さん
21/05/08 13:16:07.31 4CnMMyMC.net
>そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ
今年もまた大学新入生に追い抜かれた瀬田くんだったとさｗ
848:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 14:45:55.14 X3IvmoGN.net
>>761-762
なるほど、言いたいことが分かったよ
ノイマン構成では、新井先生などN＝ω （>>726）
一方、当然 N⊂R
べき集合でも、2^N⊂2^R 成立
さらにωには、y ∪{y} ∈ x（新井 >>726）
つまり、y と{y}が含まれる
自然数に直すと、n＝{n-1,・・,2,1,0}
Nには全てのnが含まれ
従って、2^Nには、全ての{n-1,・・,2,1,0}=nが含まれる
2^Nには、空集合Φ＝0も含まれる
よって、N⊂2^Nで、N∩2^N=N
N⊂2^N⊂2^R だから
2^R ∩ R = Mとおいて、N⊂M ≠Φ （おそらくは、M＝Nかな？（＾＾ ）
だから、修正
849: （>>681より） http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf 集合入門２０１８ 山上 滋 2018 年 11 月 7 日 Ｐ14 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。 ↓ 問 19. ノイマン構成で、2^R ∩ R = M, 自然数の集合N⊂M≠Φ であることを納得せよ。 とすべきかな 上記の後半「2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」では、 X中に、部分集合を先取りする元が存在すれば、”≠ Φ”が成立する つまり、ノイマン構成のように ”y と{y}が含まれる”みたいなこと （ノイマン構成Nは、y と{y}のチェインになっている） 今見直すと、>>755は山上先生の問 19に引きずられて(成り立つと思ってた)、変なこと書いちゃったね >>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」にも、脳波を狂わされてしまったよ まだまだ、修行が足りなかったな（＾＾；
850:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 14:47:53.09 X3IvmoGN.net
>>764 訂正
つまり、y と{y}が含まれる
↓
つまり、y と{y}との両方の要素が含まれる
だな（＾＾
851:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 14:58:20.41 X3IvmoGN.net
>>764
補足
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Natural number
Constructions based on set theory
Main article: Set-theoretic definition of natural numbers
See also: Ordinal number § Definitions
Von Neumann ordinals
0 = { },
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
n = n?1 ∪ {n?1} = {0, 1, ..., n?1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}, etc.
(引用終り)
ここで、Ｎの部分集合 {0, 1, ..., n?1}∈2^N を取ると、これがn∈Ｎとなっている
これが、全てのｎについて成り立つってことだね
852:１３２人目の素数さん
21/05/08 17:07:52.32 7pSA4dPj.net
問題
> ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
を証明せよ
853:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 19:38:43.85 X3IvmoGN.net
>>767
Axiom of regularity が、帰納法の公理と関係しているそうだよ
（下記）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
Induction axiom
The assertion of the validity for all x of some predicate P(x) defined on the set of all non-negative integers, if the following two conditions hold: 1) P(0) is valid; and 2) for any x, the truth of P(x) implies that of P(x+1).
The induction axiom is written in the form
P(0)&∀x(P(x)⊃P(x+1))⊃∀x P(x).
In applications of the induction axiom, P(x) is called the induction predicate, or the induction proposition, and x is called the induction variable,
This axiom is called the complete or recursive induction axiom. The principle of complete induction is equivalent to the principle of ordinary induction. See also Transfinite induction.
つづく
854:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 19:39:01.83 X3IvmoGN.net
>>768
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
In mathematics, {\displaystyle \in }\in -induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
Contents
1 Statement
1.1 Comparison with natural number induction
2 Independence
Comparison with natural number induction
The above can be compared with {\displaystyle \omega }\omega -induction over the natural numbers {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} for number properties Q.
Independence
In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulti
855:ng theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implies neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity. つづく
856:現代数学の系譜 雑談
21/05/08 19:41:25.90 X3IvmoGN.net
>>769
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理型
公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。公理図式とも訳される。
公理型の例
公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。
・帰納型：ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。
・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
これらの型は除去できないことが証明されている（最初の証明はリチャード・モンタギューによる）。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。
高階論理において
一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。上で挙げた帰納法 と置換 の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。
(引用終り)
以上