21/04/24 13:56:33.08 3QgtzVYs.net
>>207
おサルは、前に（旧ガロアすれで）教えたのに、
また同じところで間違えるｗ（＾＾
>上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。
・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない
禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列
・例えば、もしあったとして、・・・X-4∈X-3∈X-2∈X-1みたい無限降下列
あるいは、・・・x∈x∈x∈x みたいな無限降下列
・しかし、空集合Φ＝{} からスタートして、∈を使って自然数を作るうえで、無限上昇列はできるが、それは良いのだ
例えば、下記ノイマン構成で
Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
これは可だ
・この上昇列”Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ”は、ｎが全ての自然数を渡るとき、無限上昇列になる（証明は思いつくだろう。背理法を使えば簡単。ある有限の長さＬに対して、常にＬ＋1の長さの上昇列が可能だ）
おサルは、基礎の公理が分かってない！
それに、基礎の公理を使わない公理系もあるよ（下記など）
基礎の公理は絶対ではない！！
基礎の公理を使えば、スッキリするのは確かだがね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数の公理
「ペアノの公理」も参照
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
つづく
229:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 13:57:28.01 3QgtzVYs.net
>>214
つづき
URLﾘﾝｸ(nipponkaigi.net)
Aczelの反基礎公理 - Aczel's anti-foundation axiom Wikipedia site:nipponkaigi.net
アクゼルの反基礎公理は公理Peter Aczel （1988 ）によって、ツェルメロフレ
230:ンケル集合理論の基礎の公理の代替として示されています。 https://en.wikipedia.org/wiki/Aczel%27s_anti-foundation_axiom Aczel's anti-foundation axiom A set theory obeying this axiom is necessarily a non-well-founded set theory. https://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory Non-well-founded set theory (引用終り) 以上
231:１３２人目の素数さん
21/04/24 14:03:16.47 pIXn4Z8N.net
>>214
>例えば、下記ノイマン構成で
>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>これは可だ
Nの一つ前の項を答えて下さい
232:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 15:12:42.58 3QgtzVYs.net
>>19 追加（遠隔レスご容赦）
(引用開始)
ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
ということを証明する理論としてしか認識されてないし
(引用終り)
話は逆だろうな
1．Ｆラン数学科の講義では、
”ガロア理論については、
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
という命題を最高到達点とするのが、精一杯だｗ（＾＾；
2．一方、世間一般の通俗本では、
”フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。
方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。”
ってことだけど、こんなことを、Ｆラン数学科では、講義できない！ｗｗ
そんな講義をできるＦランではない！！ｗ（＾＾
3．よって、冒頭の文の認識は、Ｆラン数学科で学んだ人の限界だろうｗｗｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン.co.jp/dp/B07916DQ98
方程式のガロア群 深遠な解の仕組みを理解する (ブルーバックス) Kindle Edition
by 金重明 (著)
内容（「BOOK」データベースより）
19世紀前半、フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、
その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。
方程式の解の関係性を表すガロア群。
具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。 -
Publisher : 講談社 (January 16, 2018)
233:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 15:28:28.74 3QgtzVYs.net
>>214 補足
>>上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。
>・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない
> 禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列
・建物に例えて言えば、”∈”を使って建物を建てるみたいな
・で、基礎の公理の「基礎」というのは、建物の基礎を意味する
・建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）で、それは当然無限を許容している。∵ そうしないと、無限集合の構成で困る
・一方、禁止されているのは地下深く伸ばすこと。地下深く無限に伸ばすのはダメだというのが、基礎の公理の意味（下記の”0”が最下層）
・詳しくは下記などご参照（＾＾
（参考：
特に「V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している」（0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス））
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理
定義
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
234:Mara Papiyas
21/04/24 16:29:39.05 dHO/i44V.net
>>214
> 前に（旧ガロアすれで）教えたのに、
> また同じところで間違える
それ、雑談君ねｗ
>>216
>>ノイマン構成で
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>>これは可だ
> Nの一つ前の項を答えて下さい
そう、それ！
前にも雑談君に言ったけど
ものの見事に無視したね
やっぱり誤り�
235:ｾと認識しないと いつまでも同じ誤りをおかすねえ Nをシングルトンだと決めつけた場合 x∈N となるxは存在しないんだよね だって{x}=Nになるから、x＝N-1になっちゃうけど それってNが極限順序数であることに反するからねえ どうしてそんな初歩的誤りから抜け出せないのかねえ やっぱり定義から物事を考える論理的思考を一切せずに 「カッコの数＝順序数！！！」とかいう 動物的な反射行動しかしない（できない）からなんだろうねえ 大阪大学卒が聞いて呆れるねえ （哀れな老人氏は無限を一切認めないけど、 思考は雑談君よりはるかに論理的だからねえ やっぱり京大卒は賢いんだねえ）
236:Mara Papiyas
21/04/24 16:40:44.44 dHO/i44V.net
>>217
>数学科の講義では、
>”ガロア理論については、
>「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
>（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
>という命題を最高到達点とするのが、精一杯だ
ふーん、工学部卒は、理学部数学科についてそういう妄想してるんだぁ
ガロア理論は、代数体の研究のために学ぶのであって
「五次以上の方程式の解の公式の非存在」とかいうのは
「定規とコンパスによる一般角の三等分の不能性」と同じく
付録に過ぎないんだよね
>方程式の解の関係性を表すガロア群。
>具体的な方程式のガロア群を計算することで
>複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。
なんか、いつもおんなじような文章を
飽きもせずにコピペしてるけど
意味、全然わかってないよね？
あのね、解によってはガロア群は対称群より小さくなるよ
それが「解の構造」ってやつね 意味、分かる？
＞金重明
この人、数学者じゃないよね
最近ガロア理論に関する一般人の著作を目にするけど
なんか目標がいつも判で押したように
「五次以上の方程式の解の公式の非存在」
なんで残念だなあと思ってる
そういう意味でいうと、巨大数論は面白い
証明論と全く無関係に構成的順序数が出てくるからねえ
素人なんだから、数学者の過去の戯言と一切無関係に
自分の興味のみから数学の理論を語ってほしいよね
そうでなければ、素人が語る意味、ゼロだよね ゼロ
237:Mara Papiyas
21/04/24 16:48:56.80 dHO/i44V.net
>>218
＞建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）
（超限回）がダメね。
どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
それが基礎の公理の真意。
＞（0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス）
これ、正確にはウソね
例えばV_ωは、
0(={})にベキ集合の演算を「無限回」繰り返して得られる集合
ではないよ
任意有限回繰り返して得られる集合の和だから
（上記の集合を得るには無限公理と置換公理が必要）
定義を一切読まずに、見た目だけで脊髄反射する
動物的な行動しかしないからいつまでたっても
人間（＝大学以上）の数学が理解できないんだよ
238:１３２人目の素数さん
21/04/24 16:51:32.12 pIXn4Z8N.net
>>218
屁理屈はいいから早く>>216に答えてもらえません？
239:Mara Papiyas
21/04/24 16:53:42.57 dHO/i44V.net
おまけ
＞神は「光あれ」と言われた。すると光があった。
ということでこの曲
四番目の光
www.youtube.com/watch?v=WQTshyuqz-w&ab_channel=%E4%B9%83%E6%9C%A8%E5%9D%8246OFFICIALYouTubeCHANNEL
240:Mara Papiyas
21/04/24 16:57:04.87 dHO/i44V.net
>>222
ちっ、ゾロ目とられたｗ
･･･想像だけど、雑談君は、ωは集合でなくてもいいと思ってるのかもｗ
ただその場合
0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・
の先にある「∈ω」の意味が全くなくなるけどねｗ
241:Mara Papiyas
21/04/24 16:59:48.69
242:dHO/i44V.net
243:Mara Papiyas
21/04/24 17:16:21.06 dHO/i44V.net
ガロアにばかり固執する雑談君に質問
「オイラーの等式 e^iπ+1=0 の現代数学における意味を答えよ」
個人的には「exp(2πi)=1」の方が意味が明確だと感じるけどね
244:１３２人目の素数さん
21/04/24 18:48:49.64 4D9jJp6f.net
こんなんでいいんじゃない
『ガロアに出会う』のんびり数学研究会 著（数学書房）
第I部 1章 プロローグ
2章 集合と写像
3章 群
4章 複素数と方程式
5章 多項式
第II部
1章 べき根で表わせるとはどういうことか
2章 代数性，最小多項式
3章 ガロア拡大とガロア群
他
245:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:00:26.93 4D9jJp6f.net
代数系入門 松坂和夫
群・環・体・ベクトル空間などの代数系は，集合・位相空間と並ぶ現代数学の基礎的概念．整数を素材として代数的手法のモデルをみることから始め，抽象的な代数系の一般論に進む．『集合・位相入門』に続き，高校数学を修めた初学者が無理なく現代数学の基礎を身につけられる．長年にわたって支持されてきたロングセラーの新装版．
内容
第1章 整数
第2章 群
第3章 環と多項式
第4章 ベクトル空間，加群
第5章 体論
第6章 実数，複素数
付 録 自然数
246:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:03:47.90 4D9jJp6f.net
代数学1 群と環 桂 利行 著
内容紹介
現代数学の基礎となる群と環．その初歩を，東京大学理学部数学科で行われている講義「代数学I」のシラバスに基づきつつ，具体例を交えてわかりやすく解説．テーマをしぼり，コンパクトにまとめる新しい教科書シリーズの第１冊目．演習問題も多数．
主要目次
はじめに
第1章 群の理論
群の定義／部分群／いろいろな群の例／剰余類と剰余群／準同型写像と
準同型定理／直積／共役類／可解群／シローの定理／章末問題
第2章 環の理論
環の定義／部分環と直積／多項式環／イデアルと剰余環／準同型写像／
一意分解整域／素イデアルと極大イデアル／単項イデアル整域／商体／
素体と標数／単項イデアル整域上の多項式環／章末問題
問題の略解／参考文献／索引
247:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:06:27.02 4D9jJp6f.net
代数学2 環上の加群 桂 利行著
内容紹介
ベクトル空間の一般化である環上の加群は，数学を学ぶ学生にとって必ず身につけておくべき基礎知識である．本書は，その理論について，具体例を交えていねいに解説．理解を確実にし，さらに進んだ内容を学びたい読者のために，演習問題も多数．
主要目次
第1章 環上の加群の基礎
環上の加群の定義／準同型写像と準同型定理／直和と自由加群／完全系列／単因子論／有限生成アーベル群の基本定理
第2章 テンソル積とテンソル代数
テンソル積の定義／テンソル積の性質／テンソル代数／交代代数と対称代数／射影加群
第3章 有限群の表現論
群の表現／完全可約／シューアの補題とマシュケの定理／指標／指標の第2直交関係
第4章 ネター加群
ネター加群の基礎／クルル・レ
248:マク・シュミットの定理／ウェッダーバーンの構造定理
249:Mara Papiyas
21/04/24 19:07:19.61 dHO/i44V.net
>>227
それ、書いてるの素人じゃないんだよなｗ
メンバーの一人であり松本幸夫氏は有名なトポロジスト
「４次元のトポロジー」は私も読みましたよ
「多様体の基礎」「Morse理論の基礎」もいい本です
URLﾘﾝｸ(www.gakushuin.ac.jp)
250:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:09:15.99 4D9jJp6f.net
代数学3 体とガロア理論 桂 利行著
内容紹介
5次以上の方程式には根の公式は存在しない―数学の基本理論であるガロア理論は，学部数学科で学ぶ最も美しい理論のひとつである．さらに現在，抽象幾何学や暗号理論など様々な分野にも応用されている．その基礎を，初学者のためにわかりやすく解説．
主要目次
第1章 体の理論
拡大体／代数的拡大／分解体／代数的閉体／分離拡大体，非分離拡大体／体の同型写像／ガロア拡大／超越的拡大／章末問題
第2章 ガロア理論
ガロアの基本定理／ガロア群の計算例／円分体／トレースとノルム／有限体／巡回クンマー拡大／方程式のべき根による解法／2次方程式，3次方程式，4次方程式／定規とコンパスによる作図／作図問題の具体例／章末問題
第3章 ガロア理論続論
代数学の基本定理／正規底／ガロア・コホモロジー／クンマー拡大／アルティン・シュライアー拡大とヴィットの理論／章末問題
参考文献／章末問題の解答／索引／人名表
251:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:10:58.00 4D9jJp6f.net
>>231
そうなんですか
252:ID:1lEWVa2s
21/04/24 19:12:56.92 C4yOdiFm.net
アイラブベビーメタルおならぷーさん。
253:Mara Papiyas
21/04/24 19:21:55.05 dHO/i44V.net
>>229-230 >>232
これらは、大学の代数学の教科書だよね
254:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 19:27:03.05 3QgtzVYs.net
>>19 遠隔レスすまん（＾＾
> ４．５次以上の対称群は可解性を有しない。
>アーベル-ルフィニの定理 - Wikipedia
> ５．したがって、５次以上の代数方程式は一般的にベキ根で解けない。
高木貞治『代数学講義』が手元にある
第7章 不可能の証明 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
この後に、高木貞治が書いている
Ｐ206「現今の体の論では一層広汎な定理の特別の場合として、きわめて手軽に出してしまう。
飛行機から登山の跡をみさせるようなものである。ここでは大掛かりの準備をしないで、最初の踏破者の足跡を追ってみたのである。
それは無用ではあるまいと思われる。」と
高木貞治では、わずか10数ページでこの定理を扱っている
確かに、ガロア理論で「飛行機から登山の跡をみさせる」のは良いとして、ガロア無しで16ページで処理できるアーベルの定理が
Ｆラン数学科では、ガロア理論の最高到達点で、終わっちゃったんだよね、多分ね。なんだかねぇ～、Ｆランはショボイな ｗ（＾＾；
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikisource.org)
『代数学講義』作者：高木貞治
目次
6 三次および四次方程式
7 不可能の証明
不可能の証明
五次以上の方程式の代数的解法の不可能
前節の続き，証明の根拠
つづき
255:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 19:27:35.50 3QgtzVYs.net
>>236
つづく
https://アマゾン/dp/4320010000
代数学講義 改訂新版 Tankobon Hardcover ? November 25, 1965
by 高木 貞治
Customer reviews
ido Reviewed in Japan on April 11, 2018
4.0 out of 5 stars 大学の[代数学]ヌキで5次方程式の*解けない*事情が分かる本。ただし大学の[代数学]という科目の教科書として使うのはムリかも
5次方程式の解の代数的構成(=いわゆる"根の公式")が存在しないことの説明を、現代の[代数学]にはいっさい触れないで(だからガロワの理論もナシで)聞くために使う、というのがいいと思います
現代の教科書や授業では、"ガロワ理論の基本定理によってS5は非可解。したがってただちに明らか(^_^；)"で(ほとんど一瞬で)導いてしまいます。でも、この本ではそうしないで、じかに方程式(正確にはその解)のコトバだけを使って説明してくれます(アーベルが使った方法によるものらしいです)
(現代の)代数学はなるべく避けて通りたいのなら、ふつうの(現代の)教科書(やもしかすると一般向けの解説書も)よりもこっちの本の方がありがたいのではないかと思います
当然話しは長くなりますが。とはいってもこの本なら大筋5ページ＋予備定理の証明6ページだけです。もし今風にガロワ理論の基本定理の説明と、S5が可解でない理由(っていうか可解って何よ)の説明をきちんと学んでいたら、たぶん数学科2年前期の単位が1科目取れちゃうぐらいの内容を学習してもらわなければならないでしょう
(引用終り)
以上
256:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:30:12.63 4D9jJp6f.net
代数学1 群論入門 雪江 明彦著
内容紹介
大学で学ぶ代数学シリーズの第１冊目。代数学の基礎である群論を、初学者に多い誤りに注意しながら親切に解説。
目次
第1章 集合論
1.1 集合と論理の復習
1.2 well-definedと自然な対象
1.3 選択公理とツォルンの補題
1.4 集合の濃度
第2章 群の基本
2.1 群の定義
2.2 環・体の定義
2.3 部分群と生成元
2.4 元の位数
2.5 準同型と同型
2.6 同値関係と剰余類
2.7 両側剰余類
2.8 正規部分群と剰余群
2.9 群の直積
2.10 準同型定理
第3章 群を学ぶ理由
3.1 3次方程式と4次方程式の解法
3.2 なぜ群を学ぶか
3.3 群のどのような性質を調べるか
第4章 群の作用とシローの定理
4.1 群の作用
4.2 対称群の共役類
4.3 交換子群と可解群
4.4 p群
4.5 シローの定理
4.6 生成元と関係式
4.7 位数12の群の分類
4.8 有限アーベル群
4.9 交代群
4.10 正多面体群
257:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:37:34.18 4D9jJp6f.net
代数学2 環と体とガロア理論
雪江 明彦著
内容紹介
大学で学ぶ代数学シリーズの第２冊目。環、加群、体からガロア理論までを、豊富な例と丁寧な解説で明快に解き明かす。
目次
第1章 環論の基本
1.1 環の定義と準同型
1.2 多項式環・整域
1.3 部分環とイデアル
1.4 剰余環
1.5 dual numberの環と微分
1.6 環の直積
1.7 素イデアル・極大イデアル
1.8 局所化
1.9 可換環と代数幾何
1.10 非可換環と表現論・整数論
1.11 一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド環
1.12 正規環・既約性の判定
1.13 ネーター環・アルティン環
第2章 環上の加群
2.1 行列と線形方程式
2.2 行列式
2.3 環上の加群とベクトル空間
2.4 部分加群と準同型
2.5 準同型と表現行列
2.6 GLn(Z/mZ)
2.7 有限性
2.8 組成列
2.9 ネーター環上の加群
2.10 テンソル積
2.11 双対加群
2.12 単項イデアル整域上の有限生成加群
2.13 完全系列と局所化
258:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:39:12.14 4D9jJp6f.net
第3章 体論の基本
3.1 体の拡大
3.2 代数閉包の存在
3.3 分離拡大
3.4 正規拡大
3.5 有限体
3.6 無限体上の多項式
3.7 単拡大
第4章 ガロア理論
4.1 ガロア拡大とガロアの基本定理
4.2 対称式と交代式
4.3 終結式・判定式
4.4 3次方程式と4次方程式
4.5 3次多項式のガロア群
4.6 ガロア拡大の推進定理
4.7 円分体
4.8 作図問題
4.9 クンマー理論
4.10 方程式の可解性
4.11 正規底
4.12 トレース・ノルム
4.13 ヒルベルトの定理90
4.14 クンマー理論再考
4.15 アルティン-シュライアー理論
4.16 4次多項式のガロア群
4.17 代数学の基本定理
259:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:45:02.60 4D9jJp6f.net
以上、代数入門の普通の教科書
260:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 19:52:48.56 3QgtzVYs.net
>>219
(引用開始)
>>216
>>ノイマン構成で
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>>これは可だ
> Nの一つ前の項を答えて下さい
そう、それ！
前にも雑談君に言ったけど
ものの見事に無視したね
(引用終り)
なんだかな～ｗｗｗ（＾＾
1．ペアノの公理、後者関数をもって、自然数全てを構成できる
2．自然数全て集めて、自然数の集合Ｎができる。これが最初の加算無限集合
3．ＺＦＣでは、標準的にノイマン構成を使う（>>214）
4．ノイマン構成に限らないが、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数ωは、繰り返すが極限順序数です。”後続順序数ではない！”順序数ですｗｗｗ（下記ご参照）
ωも、そしてＮにも、前者はないよね
カントール先生を読みましょう～！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
261:１３２人目の素数さん
21/04/24 19:53:21.39 4D9jJp6f.net
代数学Ⅱ 雪江
京大OCW
URLﾘﾝｸ(ocw.kyoto-u.ac.jp)
262:１３２人目の素数さん
21/04/24 20:12:12.42 pIXn4Z8N.net
>>242
>ωも、そしてＮにも、前者はないよね
じゃあ
>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
なる列は存在しないですね
263:１３２人目の素数さん
21/04/24 20:15:47.66 pIXn4Z8N.net
・・で誤魔化してるけど
Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈x∈Ｎ
としたとき x は存在しないんでしょ？そう言いましたよね？
x が存在しないなら
Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈x∈Ｎ
も存在しないよね？
はい、間違いを認めましょーね？
264:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 23:02:37.06 3QgtzVYs.net
>>208
>キミの考える「天地創造」では、有限集合しか定義できてない。
>つまり自然数の集合Ｎは存在しない
>これを存在させるには無限公理を設けるしかない
”無限公理を設けるしかない”は、”一階述語論理では”だな
（”レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる”（下記））
そして、基礎論ＺＦＣでは、一階述語論理を使う
だから、”無限公理を設けるしかない”
つまり空集合Φ＝{}から始めて、一階述語論理で無限集合をハッキリ証明するのは無理で（デデキントが失敗したらしい）、そのため無限公理が必要だと
でも、ちょっと思想が古い（20世紀）かな？
21世紀はＺＦＣマンセー！じゃないよ
人は普段の日常数学では、一階述語論理に制限されないし、圏論とかいろいろ
それに、（一階述語論理に制限されないからこそ）人類は古代ギリシャ時代から”無限”を考察してきた（ or できた）のだし
カントールの無限集合論には、無限公理は存在しない
（二階述語論理と無限公理を仮定しない理論については下記を）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二階述語論理
二階論理の表現能力
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。
ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。
ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。
一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。
つづく
265:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 23:03:12.66 3QgtzVYs.net
>>246
つづき
”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
266:ublished_papers/14775904/attachment_file.pdf 科学基礎論研究Vol.800, No.800 (2018) 数学と集合論 ?ゲーデルの加速定理の視点からの考察? 渕野昌 0. はじめに 以下で，ゲーデルの加速定理の数学に与えるインパ クトについて考察する． Ｐ803 2. 準備 ここでは，自然数の概念が(von Neumann の順序数 の定義の特別な場合として) 導入できる程度以上の強 さを持つ(弱い) 集合論の体系とその様々な拡張を扱か う(これらの拡張の中には通常の集合論の公理系ZFC やこれに更に様々な巨大基数の存在公理やMartin’s Maximum など知られている強い公理のいくつかを付 け加えて得られる体系なども含まれる)．無限公理を 仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である (引用終り) 以上
267:１３２人目の素数さん
21/04/24 23:10:24.71 pIXn4Z8N.net
>>246
じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて
268:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 23:49:03.55 3QgtzVYs.net
>>221
>＞建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）
>（超限回）がダメね。
>どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
>それが基礎の公理の真意。
あらら、恥ずかしいやつ
”どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
それが基礎の公理の真意。”
か、おサルはほんと基礎論弱いね～（＾＾
そんなこと書いている本とか、どこにも無いよ
例えば、下記の時枝 箱入り無数目より
「箱が可算無限個」
実数列の集合 R^N
s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N
これから、加算無限長の自然数列
(1，2，3 ，・・・)∈N^N
が出来る
ここに、ノイマンの自然数構成（>>214）を適用して
1，2，3 ，・・・
↓
1∈2∈3∈・・・∈N
となる∈の無限上昇列ができる
定義より、”1∈2∈3∈・・・”は
加算無限長ですよ（＾＾
これは、当然基礎の公理には反しない
∵降下列ではなく、上昇列 ｗ（＾＾
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-2
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
269:１３２人目の素数さん
21/04/24 23:55:28.46 4D9jJp6f.net
素朴集合論勉強したの？
270:現代数学の系譜 雑談
21/04/24 23:59:33.15 3QgtzVYs.net
>>248
>じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて
素数の集合をＰとする
Ｐは無限集合である ｂｙ ユークリッド (ユークリッドが無限公理なんて知るわけないわなｗ)
ほかにもあるらしいよ
無限公理なんか、関係ないよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
素数
4 素数の個数
4.1 ユークリッドによる証明
4.2 他の証明
素数の個数
詳細は「素数が無数に存在することの証明」を参照
素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』[10]の中で証明している。
271:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 00:02:04.62 x2gQxWeE.net
>>250
逆だろ？
基礎論以外のプロ数学者は、普段ＺＦＣなんて使ってないだろ？
だから、おサルは落ちこぼれたんじゃね？
普段の数学にＺＦＣ持ち込んだりしたのかな？（＾＾
272:１３２人目の素数さん
21/04/25 04:20:33.65 AklLPWy2.net
>>247
>”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ
じゃあ>>248に答えられるよね？
273:１３２人目の素数さん
21/04/25 04:20:55.10 AklLPWy2.net
>>249
>1∈2∈3∈・・・∈N
>となる∈の無限上昇列ができる
無限列には最後の項は存在しませんｗ 存在したら有限列ですｗ
実際あなたは「Nの直前は何？」から逃げ続けてますよね？
>定義より、”1∈2∈3∈・・・”は
>加算無限長ですよ（＾＾
その無限上昇列には最後の項が無いよね。
だから逆に辿って無限下降列とはできないよね。初項が無いんだからｗ
だから
>どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
>それが基礎の公理の真意。
に対するなんの反論にもなってないんだけどｗ
>箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
>実数列の集合 R^Nを考える.
>s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
はい、「・・・」で終わっており、最後の項が書かれてません�
274:ﾋ。 当たり前です、無限列に最後の項なんて無いのだからｗ
275:１３２人目の素数さん
21/04/25 04:21:07.83 AklLPWy2.net
>>251
>素数の集合をＰとする
>Ｐは無限集合である ｂｙ ユークリッド (ユークリッドが無限公理なんて知るわけないわなｗ)
>ほかにもあるらしいよ
>無限公理なんか、関係ないよ
え？？？
ZF公理系は素数どころか自然数すら、いや0ですらその存在を謳ってないんだけど。
素数pとは二つの自然数の積で表す方法が p×1、1×p に限られる0,1以外の自然数のことだから、
素数全体の集合を定義するには、最低限自然数全体の集合NとN上の積の定義が必要なんだけど。
で、Nを構成するには無限公理が必要って話をしてるんだけど。
頭だいじょうぶ？
276:１３２人目の素数さん
21/04/25 04:47:38.69 AklLPWy2.net
Nを自然数全体の集合としたとき、方程式 x∈N の解は自然数。
したがって、N∋x∋…∋1∋0 の形の列は有限列。
したがって、Nは正則性公理に適合する。
一方
>ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Ｎの全てを渡る)
なるωを仮に集合と見做すと、一番外側のカッコを外したものもω、つまりω={ω}だから、ω∋ω∋… なる無限下降列を持つ。
したがって正則性公理に違反する。
なんでこんな簡単なことが分からないの？ 脳に欠陥でもあるの？
277:Mara
21/04/25 05:36:27.87 l9rs+RQt.net
>>242
>>ωも、そしてＮにも、前者はないよね
ああ、私は初めからそういってるよ
一度も、ωやNに、前者があるとはいってない
>>244
>じゃあ
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>なる列は存在しないですね
そうなんだよ 最後の”∈N”はない
Nの前者が存在しないんだから
しかし、この簡単極まりないことを
どうしても、雑談君は理解したがらない
大学１年４月の挫折が、自分の不遜さにあることを決して認めようとしない
だからどうしても数学の定義を理解するという最初の壁が乗り越えられない
実に哀れとしかいいようがない
278:Mara
21/04/25 05:45:46.59 l9rs+RQt.net
>>249
>ノイマンの自然数構成（>>214）を適用して
>1，2，3 ，・・・
> ↓
>1∈2∈3∈・・・∈N
>となる∈の無限上昇列ができる
一か所重大な間違いがあるｗ
正しくは以下の通りだ
「ノイマンの自然数構成（>>214）を適用して
1，2，3 ，・・・
↓
1∈2∈3∈・・・
となる∈の無限上昇列ができる」
どこが違うか分かるかい？
そう！最後の ”∈Ｎ” がないね
ノイマンの自然数構成ｓ（ｘ）＝ｘ∪｛ｘ｝だけでは、
Ｎはできないんだな
>>254もそう書いてるだろう？
みんなわかることが、どうして雑談君には理解できないのかな？
279:Mara
21/04/25 05:54:07.37 l9rs+RQt.net
>>246
>カントールの無限集合論には、無限公理は存在しない
>（二階述語論理と無限公理を仮定しない理論・・・）
>>248
>無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて
>>251
>素数の集合をＰとする
>Ｐは無限集合である ｂｙ ユークリッド
をひ！
カントールの無限集合論、どうした？ｗｗｗ
二階論理、どうした？ｗｗｗ
自然数論は有限集合論で論じられる
つまり、”自然数全体の集合”は必要ない
その場合、素数の全体はクラスとなる
ユークリッドの証明もそういう形で理解される
ところで、これから雑談君を「二階クン」と呼んであげようかｗ
都合が悪くなると「二階論理ガー」と言い出す君にピッタリだろ？
な、二階クンｗ
280:Mara
21/04/25 06:04:38.50 l9rs+RQt.net
>>247
>”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ
雑談君、日本語読み間違ってるよ
フッチーノは、
「無限集合を仮定しない理論でも自然数全体の集合の存在が示せる」
なんていってない
「無限集合を仮定しない、つまり自然数全体の集合が存在しない理論でも、
同様に扱かうことも可能である」
といっている
日本語が読めないんじゃ、数学は無理だね（バッサリ）
281:Mara
21/04/25 06:13:59.81 l9rs+RQt.net
どうも雑談君あらため二階君は
「二階論理では、無限集合の存在が証明できる」（キリっ）
と思ってるらしいけど・・・それ誤解ｗ
有限と無限の区別を「確定」させるには二階論理が必要、といってるだけだよ
（「確定」というのは、非標準モデルを排除する、という意味）
ちなみに、二階論理は完全性（つまり任意のモデルで成立する命題が証明可能）
を有しないので、ありがたくない
一階論理は完全性を有するからありがたい
282: その性質を活用するために、「非標準モデル」を受け入れるのは仕方ない
283:Mara
21/04/25 06:18:44.90 l9rs+RQt.net
正則性公理に適合するようにツェルメロ構成でωを作るとすれば、やはり
１．{}∈ω
２．ｘ∈ωならば、｛ｘ｝∈ω
の２条件を満たすようなωにするしかない
必然的にωはシングルトンではなく無限集合になる
ここで、シングルトンか否かは、有限／無限の区別ではなく
後続順序数か否かの区別であることを理解すべき
例えばω＋１は｛ω｝だからシングルトン
一方ω＋１は有限順序数（つまり自然数）ではない
284:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 08:58:13.62 x2gQxWeE.net
>>257
>そうなんだよ 最後の”∈N”はない
>Nの前者が存在しないんだから
こいつら、ほんと学習しないね
旧ガロアすれでも書いてやったのに（＾＾
繰り返しだなｗ
下記「自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる」を味わって読んで下さい。ωを加える後も前もどちらも、Ｎは無限集合である（＾＾
複素平面の一点コンパクト化であるリーマン球面（下記）で、P (∞)で、あなた方のいう直前とか直後に類する点は存在しないよ
だが、球面と同相だよ！ 後述の実数直線のコンパクト化（円周 S1 と同相）に同じ（ここが分からんみたいだがｗ）
P (∞)の直前とか直後に類する点が存在しないから、”隙間”できるみたいにイメージしているようだね。それ間違いだよｗｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コンパクト化
コンパクト化（英: compactification）は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。
一点コンパクト化の例
・n次元ユークリッド空間 Ｒ^n の一点コンパクト化は、n次元球面S^nと同相である。特にリーマン球面^Cは複素平面Cの一点コンパクト化として与えられる。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である。
・自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる。
つづく
285:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 08:58:33.44 x2gQxWeE.net
>>263
つづき
無限および無限大の知識が貧弱だね（＾＾
下記「実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる」（同様の概念に、無限大を加える下記の拡大実数の概念がある。無限大±∞を加える後も前もどちらも、実数は無限集合である。）
直前とか直後に類する点は存在しないから、隙間ができる？
だったら、実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できて、円周 S1 と同相にできるが間違いになるよね。隙間できるから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数直線
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる。（円周 S1 と同相）
位相的な性質
位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である。
実数直線は明らかに一次元の位相多様体である。同相の違いを除いて、境界のない一次元多様体は二種類しかなく、実数直線 R1 のほかは円周 S1 である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real number; 拡大実数）あるいはより精確にアフィン拡張実数 (affinely extended real number) は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 -∞ の二つを加えた体系を言う。新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line; 拡張実数直線）と呼ばれ、R や [-∞, +∞] と書かれる。
つづく
286:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 08:58:54.38 x2gQxWeE.net
>>264
つづき
・要するに、あなた方の数学の知識が貧弱（中学レベル）
・ＺＦＣからさらに進んで、高い立場から無限を考えないと
（ＺＦＣを作った人たち、みんな19世紀から20世紀初頭のすでにある数学を念頭にＺＦＣを作っているんだよ。同じレベルに立たないと）
・その視点が欠落しているから、「ωの直前がない！」とかうろたえる
・リーマン球面のP (∞)（上記）に、直前直後あるいはすぐそばの点は存在しない。でもP (∞)ただ1点を加えることで、コンパクト化できて、球面と同相になるよ
（中学生レベルには難しいだろうが）
以上
287:１３２人目の素数さん
21/04/25 09:00:50.68 IgNykFEU.net
>>226
exp(0π・i) = 1 が更に明確だと思う
∵exp(0) = 1
虚数iに0をかけると実数0になる
という定義に上手く一致する。
i同士をかけても実数になるから、
i=0という意味でもありそうだ、モピロン
「愛は存在しない」という意味を
オイラに、オイラーは教えてくれた
by 👾の感想文
288:Mara
21/04/25 09:51:31.43 l9rs+RQt.net
>>242
>>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>257
>>最後の”∈N”はない
>>Nの前者が存在しないんだから
>>263
>こいつら、ほんと学習しないね
学習しないのは、雑談君、君だよ、キ・ミ
>「自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化は
> Ｎに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる」
>を味わって読んで下さい。
ん？なんで一点コンパクト化するの？
無限列は、R^Nだよ R^(N∪{ω})ではないよ
NとN∪{ω}が全く異なる集合であることは理解できてるかな？雑談君
>ωを加える後も前もどちらも、Ｎは無限集合である
濃度が同じだから同じ集合だと思ってる？
NとN∪{ω}は、整列順序集合としては全く異なりますよ
R^Nといってるんだから、R^Nでのみ考えてくださいね
R^(N∪{ω})とか捏造しないでくださいね
オボカタハルオじゃないんだからｗ
雑談君はどうも正真正銘の🐎🦌らしい・・・
289:Mara
21/04/25 09:55:26.11 l9rs+RQt.net
>>264
＞無限および無限大の知識が貧弱だね
無限および無限大の知識が間違ってるね 雑談君
なんで、なんでもかんでも１点コンパクト化するのかな？
コンパクト化しないと集合じゃないと思ってる？
コンパクト化が「数学の正義」だと思ってる？
コンパクト🐎🦌？
290:Mara
21/04/25 10:03:37.25 l9rs+RQt.net
>>265
＞高い立場から無限を考えないと
雑談君、高いところ大好きだねｗ おサルさん？ｗ
＞リーマン球面のP (∞)（上記）に、直前直後あるいはすぐそばの点は存在しない。
＞でもP (∞)ただ1点を加えることで、コンパクト化できて、球面と同相になるよ。
複素平面Cとリーマン球面Pが、異なることは理解してるかな？
ついでに言うと、複素平面Cと単位円盤Dも異なるよ
あのね、全部非可算無限だから同じ集合とかいったら
正真正銘の🐎🦌だよｗ
ついでにいうと、
複素平面Ｃと単位円盤Ｄは同相だけど、複素解析的には同値ではないよ
単位円盤Ｄと上半平面Ｈは複素解析的に同値だけどね
（複素解析的に同値、というのは両者間の複素解析的全単射が存在するという意味）
だから複素解析で、Ｃを勝手にＰとかＤとかＨとかにすり替えたらアウトだよ
わかるかな？雑談君ことオボカタハルオ君ｗｗｗ
291:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 10:07:50.83 x2gQxWeE.net
>>249 追加
時枝氏の可算無限個の箱（下記）で
実数列の集合 R^N
s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N
から、加算無限長の自然数列
(1，2，3 ，・・・)∈N^N
を使って、ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成（下記）（特に加算多重シングルトン（>>205））を考えてみよう
1．可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ （ n∈N） を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限
2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
3．両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる（間に {}を置いた）
4．左の箱を"{"で、右の箱を"}"で置換すると
・・{n,・・{2,{1 {} }1,}2,・・}n,・・ とできる
5．添え字と”,”（カンマ）を取ると
・・{・・{{{}}}・・}・・ とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
この場合、最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない
6．さらに、3項で左右の無限個の箱の列を入れ換える
□1,□2,・・□n,・・ {} ・・□n,・・□2,□1とできる
7．上記4，5と同様にして
{{・・{・・ {} ・・}・・}}とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
この場合、最外層{}なるものは存在するが、本質は上記6同様
（なお、最内層の{}が添え字 n・・を消す前の状態で「集積点」（下記）になっていると、考えることができる）
ということで、時枝氏の可算無限個の箱を使って、
加算無限多重シングルトンが上記二つの方法で構成できた
一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、どちらも加算無限多重シングルトンである
つづく
292:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 10:08:13.27 x2gQxWeE.net
>>270
つづき
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-2
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
（参考 ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
つづく
293:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 10:08:31.80 x2gQxWeE.net
>>271
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集積点
集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す。
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である（この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である）。
極限点の種類
x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。
x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。
X の点 x が点列 (xn)n∈N の密集点 (cluster point) であるとは、x の任意の近傍 V に対し xn ∈ V なる自然数nが無限に存在するときにいう。空間が列収束ならば、これは点列 (xn)n∈N の部分列で x を極限とするものがあることと同値である。
ネットの概念は点列の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じようにフィルターに対しても定義することができる。
点列の密集点全体の成す集合は、しばしば極限集合と呼ばれる。
(引用終り)
以上
294:Mara
21/04/25 10:08:40.08 l9rs+RQt.net
R^Nの尻尾の同値関係を、
勝手にR^(N∪{ω})にすり替えるのは
「定義のすり替え」という完全な不正行為です
雑談君は無意識に不正行為をやらかす
自己中心的サイコパスであることが
はっきりいたしました
まったくオボカタハルオというかコムロＫというか
どうしょうもない💩野郎ですね
295:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 10:15:59.16 x2gQxWeE.net
>>259
>自然数論は有限集合論で論じられる
>つまり、”自然数全体の集合”は必要ない
>その場合、素数の全体はクラスとなる
頭が腐ってない？
「素数の全体はクラスとなる」？
初耳だよ
完全にアホだよなｗ
そういう”アサッテ”の思考をするから
数学科で落ちこぼれたかな？ｗ（＾＾；
296:Mara
21/04/25 10:16:47.09 l9rs+RQt.net
>>270
＞・・{・・{{{}}}・・}・・
＞明らかに{}が、加算多重になっている
＞最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない
｛｝の数だけしか考えないって、論理が理解できないおサルさんかな？ｗ
・・{・・{{{}}}・・}・・ は、最外層の｛｝がないので集合ではありません
ということで、アトムになりますが、
そもそもこんなアトムが存在する根拠がありません
ざんね~んｗ
＞{{・・{・・ {} ・・}・・}}
＞明らかに{}が、加算多重になっている
＞この場合、最外層{}なるものは存在する
｛｝の数だけしか考えないって、論理が理解できないおサルさんかな？ｗ
{{・・{・・ {} ・・}・・}}は、外側に｛｝が無限個ある時点で
基礎の公理に真っ向から反するのでアウトですｗ
＞加算無限多重シングルトンが上記二つの方法で構成できた
＞一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、
＞どちらも加算無限多重シングルトンである
残念ですが、
前者は最外層｛｝は存在しないので、集合ではありません
後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません
どちらも、シングルトンではないですね
ざんね~ん
297:Mara
21/04/25 10:20:43.16 l9rs+RQt.net
>>272
｛｝の集積点ってなんすかｗｗｗ
Ｎは「ノンコンパクト」なので、
点列１，２，３，・・・
の集積点は存在しません
ざんね~ん
勝手に∞とかいう「集積点」を捏造して
Ｎにつっこんだりしないでくださいね 雑談君ｗ
298:Mara
21/04/25 10:23:25.03 l9rs+RQt.net
>>274
＞「素数の全体はクラスとなる」？
ええ、有限集合論ではね
＞初耳だよ
工学部卒の雑談君の見識がネコのヒタイ並みに狭いだけ
有限集合論知ってれば常識ｗ
299:Mara
21/04/25 10:39:19.21 l9rs+RQt.net
決定番号に関する、雑談君の姑息な「定義の改ざん」行為について追記
雑談君の誤り -無限に関して-
URLﾘﾝｸ(mara.hatenablog.jp)
300:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:00:07.37 x2gQxWeE.net
>>217 追加
(引用開始)
>ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
>「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
>（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
>ということを証明する理論としてしか認識されてないし
話は逆だろうな
1．Ｆラン数学科の講義では、
”ガロア理論については、
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
という命題を最高到達点とするのが、精一杯だｗ（＾＾；
2．一方、世間一般の通俗本では、
”フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。
方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。”
ってことだけど、こんなことを、Ｆラン数学科では、講義できない！ｗｗ
そんな講義をできるＦランではない！！ｗ（＾＾
3．よって、冒頭の文の認識は、Ｆラン数学科で学んだ人の限界だろうｗｗｗ（＾＾
(引用終り)
参考追加：
下記に、ガロアの遺稿を理解するために、現代数学につながる抽象代数学が整備されていった様子が記されている
それがよく分かる
ある大定理の証明に対して、定理そのものよりも、そこに使われた数学的諸概念の方が大事だという。ガロアの遺稿しかり
上記認識は、Ｆラン数学科落ちこぼれのおサルの限界だろうな
一方、世間一般の通俗本の方が、ここらはキッチリ記述されているよねｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
1513 巻 2006 年 46-51
代数学の基礎とデデキント*
赤堀庸子 (Yoko Akahori)
つづく
301:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:00:29.37 x2gQxWeE.net
>>279
つづき
1 序
筆者は、デデキント (Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916) の 1850 年代のガロア講
義 ([1]) の位置づけを試みようとしてきて、 こうした壁にぶつかってきた。 その中で、 次第に確信
するようにな,2 てきたことがある。 それは、 素朴ではあるが、集合論的思考に注目する、 というこ
とである。 19 世紀にはまだ集合論的思考は定着していないこと、代わりに彼らが依拠していたも
のは、 当時の数学の基礎であったこと、 この両方を常に念頭におくことが不可欠ではないかと考え
られるのである。 当たり前のようなこれらのことを、 うまく歴史叙述に取り入れていくのは簡単で
はないが、 ここでは、 いくつかの話題 (商群ないし剰余類分解、体論) について述べておきたいと
思う。
2 代数学の基礎
現代代数学の体系においては、体概念よりも群概念の方が、 より基本的な存在であるが、 19 世
紀の文献では、 しばしば体概念の方が、 より基本的な存在として捉えられていた。 しかも、 群概
念も体概念も普及してきたと思われる 19 世紀末以降にも、そうした傾向が見受けられる。 Weber
の “Lehrbuch der Algebra“ (1890 年代) では、体の理論が群の理論よりもはじめの方におかれてい
る。 Bourbaki- の “Elements” の草稿段階においてさえ、 体の理論の方が先にきていたといわれて
いる。 (Beaulieu [2],mathrm{p}.247.$ )
19 世紀末には、群は数学全体にとって重要であることが認識されてはいたが、演算をひとつし
かもたないがゆえにもっとも基本的なものであるとは認識されていなかったのではないか。
そもそも演算がひとつし
かないからもっとも基本的であるという思考法は、 現代代数学の思考法そのものである。
つづく
302:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:02:17.36 x2gQxWeE.net
>>280
つづき
2.1 商群の概念
群の概念が次第に定着してきたこの時期、商群 (な
いしは剰余類分解) の定式化が意外にうまくいっていないように見受けられるのである。
筆者が不思議に思ったのは、 このケイリーが晩年になって、ヘルダー (Otto Ludwig lmathrm{I}overline{mathrm{o}}mathrm{l}\mathrm{d}mathrm{e}mathrm{r},1859-1937) の論考にある G/H なる記号法を拒否していること、 のみならず、 1854 年論文の続きでも、
商群概念の理解についていちじるしく要領の悪いところをみせていることであった。
コーシーの著作の発表から 40 年が過ぎ、群概念も普及してきたと思われるこの時期に、 このよ
うな図式が書かれているのは少し意外である。 2 次元的な広がりをもつ概念を、そのまま理解する
ことが難しかったのだろうか。
これらと比べると、デデキントの仕事は (特に集合論的思考において) 優れたところを示してい
る。 1850 年代後半に行われた代数学講義 [1] を少しみてみよう。 内容は、置換論、 ラグランジュの
方程式論、 ガロアの方程式論について自らの解釈で再編集をほどこしたものである。
第 1 節が置換論であり、 まず置換の?般的な説明、 そして置換の積の定義の説明がなされる。
デデキントは、積の基本的な性質として、結合律、簡約律が成り立つことを述べる。 (簡約律は、
元の個数が有限の場合は、現在の単位元の存在および逆元の存在、 と論理
303:的に同値になる。) さら に興味深いことに、デデキントはこの二つの法則に公理的性格をもたせることができる旨の発言を している。 第 4 項において、群 (Gruppe) の語が現れる。 ここでは積で閉じた (置換の) 集まりが群である と定義される。 準備ののち、次の定理が証明される。 証明の方針はコーシーのものと同じである。デデキントは剰余類分解を次のように書き下してい る。 G=K+Ktheta_{1}+Ktheta_{2}+\cdots\cdots+Ktheta_{n-1} 剰余類分解の記述に、元たちを?括してとらえた記号を用いている点では、集合論的理解が非常 に進んでいるといってよいだろう。 (記号の説明もあらかじめきちんとしてある。) つづく
304:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:02:54.54 x2gQxWeE.net
>>281
つづき
ここでデデキントは、商群という新しい概念を得るにあたって、第 2 項のおわりにある公理的な
思考を利用した。 同時に、 第 2 項の終わりに書き記した公理的思考法が、商群の概念を得ることに
よって、 より確かなものとなったとみてよいだろう。 ここにあるのは、 まぎれもない集合論的思考
そのものであるといえる。
集合論の受容ということでしばしば話題にとりあげられるのは、無限をめぐる議論であろう。 も
ちろん無限の問題は重要であるが、集合論的思考の普及を阻んだものが無限だけではないようにみ
える。無限も含めて、集合 (かたまりで考えること ?2 次元的な思考法 ?) そのものを受け容れる
ことに蹄躇があったように思える。 (ここでもまた、 リーマンのデデキントへの影響の可能性が浮
かび上がる。)
2.2 体 (K\"orPer) について
体の概念の歴史に関する筆者なりの注意については既に述べたが、 ここでデデキントが定義した
体 (K\"orper) について簡単にみておこう。
体 $(\mathrm{K}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r})$ が定義されたのは、デデキント『ディリクレ整数論講義付録 (1871)』の第 159 節
においてである。
体, というのは無限個の実または複棄数の総体で, それ自身完結していて完全であ
るもの, すなわち任意の二数の加法, 減法, 乗法, 除法から同じ総体の数を生じるこ
とをいう.
このように、現在からみれば、数体よりも抽象的な対象が K\={o}rper の語に付与されていた。 しか
し、それらを公開されず、結局数体の意味に限定されたものが発表された。デデキントの意図を理
解するには、 こうした経過をふまえておく必要があるだろう。
結局、体は、群に代数学における基本的地位を明け渡すことによって、現代代数学の確立に貢献
することとなる。 K\"orper の元の意味合いを考えれば、 これはいささか皮肉なことであるのかもし
れない。
3 結び
歴史叙述がらみのコメントで終始してしまったが、大切なのは原典を読むことであるのはいうま
でもない。デデキントの著作は、革新的でありながら、その語り口は丁寧である。
(引用終り)
以上
305:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:30:06.95 x2gQxWeE.net
>>215
>前者は最外層｛｝は存在しないので、集合ではありません
>後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません
・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
（>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
・で、前者を{}に入れて｛前者｝とすれば、加算無限多重シングルトンになる
・なお、おサルの「基礎の公理」の理解不十分。「基礎の公理」は、ＺＦＣとして、基礎論の命題を証明するのに余計な集合を排除するためのもの（下記）です
・ＺＦＣの外では、つまり日常の数学では、必ずしも「基礎の公理」を必要としていないし、Aczelの反基礎公理（下記）などもある
・結局、ツェルメロの加算無限多重シングルトンの存在は否定できていないよ！（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ある命題がZF公理系と独立であることを証明する際にその効果を発揮することがある。
つづく
306:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:30:29.17 x2gQxWeE.net
>>283
つづき
(>>215より再録)
URLﾘﾝｸ(nipponkaigi.net)
Aczelの反基礎公理 - Aczel's anti-foundation axiom Wikipedia site:nipponkaigi.net
アクゼルの反基礎公理は公理Peter Aczel （1988 ）によって、ツェルメロフレンケル集合理論の基礎の公理の代替として示されています。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Aczel's anti-foundation axiom
A set theory obeying this axiom is necessarily a non-well-founded set theory.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Non-well-founded set theory
(引用終り)
以上
307:Mara
21/04/25 11:31:49.28 l9rs+RQt.net
>>279
＞赤堀庸子
あ、この人知ってる
大学の先輩だよｗ
308:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:38:06.63 x2gQxWeE.net
>>277
>＞「素数の全体はクラスとなる」？
>ええ、有限集合論ではね
意味わからん
素数の集合Ｐ（無限集合）をクラスする必要なんか、全くないよね
単に、無限集合として、有限集合論の外になるという理解で、
どんな不都合があるの？ｗｗｗ
それに、「有限集合論」ってなに？
確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど
（確かに、プログラミングでは、コンピュータ内部は有限だけど、無限を認めない有限主義の人とは多分違うよね）
ハッキリ言って、
あなたのレベル、哀れな素人氏に弄んでもらうのがいいんじゃないですか？ｗ（＾＾；
309:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 11:52:11.24 x2gQxWeE.net
>>285
ああ、そうなの？
じゃ、ガロア理論のブログを添削してもらったどうだ？（＾＾；
310:１３２人目の素数さん
21/04/25 12:06:58.05 AklLPWy2.net
>>263
Ｎ∪{ω}でも話は>>256と何ら変わらないですよ？
方程式 n∈N=ω の解nは自然数だから（これ、いいですよね？）
0∈1∈…∈n∈ω∈Ｎ∪{ω} の形の列は有限列ですよ？
これのどこがいったいそんなに難しいんですか？簡単過ぎるほど簡単だと思うんですけど。
311:１３２人目の素数さん
21/04/25 12:12:24.00 AklLPWy2.net
>>270
>2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
不可能です。
初項が無ければ列の定義を満たしません。定義を確認しましょう。
312:１３２人目の素数さん
21/04/25 12:17:01.95 AklLPWy2.net
>>270
>一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、どちらも加算無限多重シングルトンである
どちらも集合ではありません。
前者は言うに及ばず。
後者は>>256に示した通り正則性公理を満たさないので。
313:Mara
21/04/25 12:29:22.30 l9rs+RQt.net
>>286
>意味わからん
>それに、「有限集合論」ってなに？
無限公理がない集合論
雑談君 考えるのに必要な脳味噌、全然ないの？
314:Mara
21/04/25 12:33:50.48 l9rs+RQt.net
>>283
>>後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、
>>基礎の公理に反し、集合ではありません
>後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
{{{･･
315:･{}･･･}}}の場合、無限下降するからNG 無限上昇？なんだその幻聴はｗｗｗ >前者を{}に入れて｛前者｝とすれば、加算無限多重シングルトンになる 前者そのものは集合でもなんでもないただのアトム そんなんなら、別にただのアトムａのみを要素とする集合{a}でも同じ ああ、雑談君、それでset {a}なんだねｗｗｗｗｗｗｗ
316:１３２人目の素数さん
21/04/25 12:36:31.79 AklLPWy2.net
>>271
引用元は
>ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
>例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
の直前が
「他にも自然数の定義は無限にできる。これは」
となってますね。必要な部分を省かないで下さい。
0 := {}, suc(a) := {a} と定義した場合、任意の自然数すなわち有限順序数は定義可能ですが、極限順序数であるωを定義できるとは書いてませんね。
実際不可能です。理由は>>256。
317:Mara
21/04/25 12:37:53.31 l9rs+RQt.net
雑談君に問題
１．{{},{{}},{{{}}},…（任意有限重の{}によるシングルトン)･･･}
は基礎の公理と矛盾するか否か？
理由つきで回答されたし
２．上記の集合に関する∈下降列の長さに最大値はあるか否か？
理由つきで回答されたし
318:１３２人目の素数さん
21/04/25 12:42:01.54 AklLPWy2.net
>>274
>>自然数論は有限集合論で論じられる
>>つまり、”自然数全体の集合”は必要ない
>>その場合、素数の全体はクラスとなる
>頭が腐ってない？
>「素数の全体はクラスとなる」？
>初耳だよ
>完全にアホだよなｗ
恐らく「その場合」を読み落としてるだけと思われる。
相手の主張はしっかり読んで理解してから発言しましょう。
319:１３２人目の素数さん
21/04/25 12:56:38.41 AklLPWy2.net
>>271
ペアノの公理には自然数全体の集合N（=ω）の存在は規定されてません。
（ペアノシステムはペアノの公理を満たす集合（及び最小元と後者関数の三つ組）のことですから、混同しないよう気を付けて下さい。）
wikipediaより引用ここから
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
1.自然数 0 が存在する。←Nの存在を言ってない。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。←Nの存在を言ってない。
3.0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。←Nの存在を言ってない。
4.異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。←Nの存在を言ってない。
5.0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。←「すべての自然数は・・・」と言ってるが、「Nが存在する」とは言ってない。
引用ここまで
320:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:09:02.51 AklLPWy2.net
>>283
>・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
それが間違いであることはすでに述べた。
> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
相手の主張をよく理解してから発言しましょう。
誰も無限上昇列を禁止していない。実際 0∈1∈… が存在する。そうじゃなく「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている。
一方、無限下降列は正則性公理で禁止されている。
なーんにも難しいこと言ってないんだけどなあｗ
321:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:10:39.34 AklLPWy2.net
>赤堀庸子
一瞬赤唐辛子と読んでしまったｗ
322:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 13:11:20.49 x2gQxWeE.net
>>279
赤堀庸子さん、追加文献下記
赤堀庸子さん自身については、殆ど検索ヒットせず（京都数理研所属のときがあったようだが）
（参考）
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
デデキントの生涯(2)*
赤堀庸子 1
津田塾大学数学史 シンポジウム 2016109
1.3 18804手 代
クロネッカーの発言でもうひとつ 目を引くのは、『連続性 と無理数』について全 く言及
されていないことである。後述するパ リアカデミーで も似たような状況があ り、受け入れ
られるのに時間を要 したことが窺える。
ちなみに、他の数学者がアカデミーに受け入れられた時期は、次のようである。(?
p74)
リーマン(1859)、 クロネッカー (1861)、 ハイネ(1863)、 ザイデル (1863)、 クリス トフェ
ル (1868)、 クレプシュ(1868)、 リプシッツ (1872)、 シェリング (1875)。
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
デデキントの生涯 (1) *赤堀庸子1
*津田塾大学数学史シンポジウム. 2015.10.11
著作の出版の様子も変わっていて、まず 40代はじめに大部の「代数的整数論」(その他集合論関連の著作)が発表されて、それから後論文執筆活動が晩年まで続くといった形になっている。そのようにして一生をかけて集合概念に基づいた数学の構築に取り組んでいく。こうしたデデキントの人生について、一度振り返っておくことも無駄ではないと思われるので、本稿を起こした次第である。初めに、デデキントの生涯について、要点を振り返っておこう。1831 年にブラウンシュヴァイクに生まれる。ゲッティンゲン大学で 1850-58 年に数学を学ぶ。
つづく
323:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 13:12:02.38 x2gQxWeE.net
>>299
つづき
(1854年からは、私講師として講義も行っていた。)当時のゲッティンゲンにはガウス (1777-1855)もいたが教育活動にはあまり熱心ではなく、私講師時代のディリクレ(1805-1859)の指導、リーマン(1826-1866) との親交が重要な影響を及ぼした。1858 年チューリッヒ高等工業学校に就職。1862年にブラウンシュヴァイク高等工業学校に赴任。以後同地(生地)で生涯を送る。著作の発表は、主に人生の後半期に集中している。1871年には整数論講義の第2版の付録にて、集合論的な概念に基づいた代数的整数論が発表された。翌1872年に『連続性と無理数』出版。こうした大きな著作を発表したあとの1870 年代後半あたりから、論文執
筆量が増加してくる。また、若い数学者たちとの文通も始まる。(ウェーバー、カントル、リプシッツなど。)
ゲッティンゲン後期 (1854-58)1855年2月にガウスが亡くなり、後任としてディリクレが 1855年秋にゲッティンゲンに赴任する。これがデデキントに決定的な影響を与えた。回想 [7] によると、デデキントはすでにディリクレの著作を徹底的に読み込んでいたものの、強烈な口頭の講義に出席することに、大いなる喜びを感じたという。ディリクレの講義のすべて(数論、ポテンシャル、定積分、偏微分方程式)に出席した上、日々個人的にも親交を深めたことで、自分は全く新しい人間になった、とデデキントは述べている。またこの時期、デデキントはリーマンのアーベル関数、楕円関数の講義(1855-56年冬学期、1856年夏学期)に出席した。リーマンとの親交を深めるようになったのはこれがきっかけらしい。
1856/57 年冬学期と 1857/5年冬学期には、代数学講義が行われる。出席者は各2名で、前者は Hans Zincke (Sommer) (1837-1922), Paul Bachmann (1837-1920)。後者は EduardSelling , Arthur Auwers である。61854年から58年の4年間は、デデキントにとって、「先生や先輩に囲まれた充実した時間」であったといってよい。イデアルの着想もこの時期にさかのぼるようであるし、「切断」の発想もこの時期の直後であることを考えると、この時期はデデキントの数学思想にとってもっとも重要な時期であるといえる。
6 「後にウェーバーが『代数学』の序文で「ドイツで初めてのガロア理論の講義」と述べているものである。
(引用終り)
以上
324:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:17:59.62 AklLPWy2.net
>>286
>素数の集合Ｐ（無限集合）をクラスする必要なんか、全くないよね
え？？？
有限集合しか認めない立場の話をしてるのに無限集合を許容しちゃうの？？？
君、コンテクストをぜんぜん認知できてないね。
コンテクストって分かる？コンテクストを正しく認知しないとデタラメになるよ？
325:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 13:18:08.16 x2gQxWeE.net
>>289
(引用開始)
>2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
不可能です。
初項が無ければ列の定義を満たしません。定義を確認しましょう。
(引用終り)
ご冗談でしょ？（＾＾
単に箱の並
326:びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ □1から右に伸ばすのと 逆に、□1から左に伸ばすのと それだけの違いです ”不可能”？ なんか勘違いでしょ
327:現代数学の系譜 雑談
21/04/25 13:21:14.10 x2gQxWeE.net
>>301
>有限集合しか認めない立場の話をしてるのに無限集合を許容しちゃうの？？？
ご苦労さん
21世紀 2021年のいま、プロの数学者で、有限集合しか認めない立場の人いる？
あなたは別としてｗ
まあ、あなたも、哀れな素人氏に相手してもらうのが良さそうですねｗ（＾＾；
328:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:21:41.71 AklLPWy2.net
>>286
>それに、「有限集合論」ってなに？
>確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど
いや、君が suc(a)={a} の話を持ち出したのが発端なんだけどｗ
君、話の筋がぜんぜん認知できてないね。
329:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:29:45.84 AklLPWy2.net
>>303
>ご苦労さん
>21世紀 2021年のいま、プロの数学者で、有限集合しか認めない立場の人いる？
キレないで話の筋を正しく認知しましょう。
有限集合論でも自然数論を展開できるという話をしてるんですよ？
誰々がなになに主義であるとかないとか、そんな低俗な話じゃないですよ？ｗ
330:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:36:34.95 AklLPWy2.net
>>302
>ご冗談でしょ？（＾＾
列の定義の確認が未だのようですね。
定義の確認を疎かにするのはあなたの悪い癖です。
>単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
逆にする手順を具体的に構成できますか？
331:ID:1lEWVa2s
21/04/25 13:39:55.09 vWkmAyv0.net
よかったな。MITがこの世の責任を立方数の和で表すってよ。
因みにフェルマーの最終定理はnが幾つでも解がある。
因みに五次方程式以降も解の式は存在する。
332:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:45:51.67 AklLPWy2.net
>>294のような初歩の初歩に正答できないようでは公理的集合論を語る資格無しですね。
そういう自覚が無い人が何食わぬ顔で数学板に紛れ込んでるから困ります。
333:ID:1lEWVa2s
21/04/25 13:47:04.62 vWkmAyv0.net
-1’(a+b+c...)
’は乗。
反転因子と呼ぶ。
私が作った。
表し方の一つの対称的な意味をもつ方法。
334:ID:1lEWVa2s
21/04/25 13:50:02.73 vWkmAyv0.net
>>309
奇数偶数の話は言わなくていい。
いちいち言うな条件もわからないなら。
335:１３２人目の素数さん
21/04/25 13:55:27.02 AklLPWy2.net
スルーされそうなので念押しときます
>単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
逆にする手順を具体的に構成できますか？
まずはこれだけしっかり答えてもらえますか？
336:ID:1lEWVa2s
21/04/25 13:55:32.32 vWkmAyv0.net
山本義隆。
337:ID:1lEWVa2s
21/04/25 13:56:06.50 vWkmAyv0.net
大森荘蔵。
338:ID:1lEWVa2s
21/04/25 14:05:46.39 vWkmAyv0.net
>>309
因みに何か表したことは一度も無い。
そもそも使わない。使いたくもない。
339:１３２人目の素数さん
21/04/25 16:24:30.82 AklLPWy2.net
有限列なら φ:{0,1,…,n}→{0,1,…,n} を φ(x)=n-x と定義し、φを使って逆順に並べ替える手順を構成できる。自明。
さて、無限列を逆順に並べ替える手順はどうしたら構成できるでしょう？
逆順に並べ替えるだけって言いましたよね？ まさか何の考えも無しに言ったんですか？ だとしたらあなたに数学は到底無理なので諦めた方が良いでしょう。
340:現代数学の系譜 雑談
21/04/26 07:45:51.99 eT8TbUBw.net
>>283
>・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
ここの説明が、下記英 Axiom of regularity wikipwedia にあるよ
つまり、”called non-standard natural numbers”を含む列は、基礎の公理には反しないと説明されているよ
当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of regularity
No infinite descending sequence of sets exists
Since our supposition led to a contradiction, there must not be any such function, f.
Notice that this argument only applies to functions f that can be represented as sets as opposed to undefinable classes. The hereditarily finite sets, Vω, satisfy the axiom of regularity (and all other axioms of ZFC except the axiom of infinity). So if one forms a non-trivial ultrapower of Vω, then it will also satisfy the axiom of regularity. The resulting model will contain elements, called non-standard natural numbers, that satisfy the definition of natural numbers in that model but are not really natural numbers. They are fake natural numbers which are "larger" than any actual natural number. This model will contain infinite descending sequences of elements. For example, suppose n is a non-standard natural number, then (n-1)∈n and (n-2)∈(n-1), and so on. For any actual natural number k, (n-k-1)∈(n-k). This is an unending descending sequence of elements. But this sequence is not definable in the model and thus not a set. So no contradiction to regularity can be proved.
(引用終り)
以上
341:現代数学の系譜 雑談
21/04/26 07:53:49.61 eT8TbUBw.net
>>316 追加
さらに言えば、おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って「非可測集合は存在しない」（下記）と言っているようなもの
決定性公理ではなく、フルの選択公理を使えば、「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれる（下記）
仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
加算無限多重シングルトンの存在自身を否定したことに、はならんぜよっ！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
決定性公理
決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。 選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。
342:哀れな素人
21/04/26 07:54:26.14 DG2WYw0z.net
スレ主よ、サル石と質問少年は
0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由さえ説明できずに逃げている（笑
まさに正真正銘のバカである（笑
僕は毎日毎日こんなドアホの相手をしているのだ（笑
お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう（笑
本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか（笑
343:１３２人目の素数さん
21/04/26 08:44:42.91 q6VhgZw4.net
>>316
>”called non-standard natural numbers”を含む列は、
>基礎の公理には反しない
無限順序数は超準自然数（non-standard natural numbers）ではないよ
超準自然数を考えたとことで、最大の自然数は存在しないので
決定番号が超準自然数ｎｎだとしても、必ずｎｎの先の尻尾がとれる
つまり、箱入り無数目は成立する
いい加減、下から目線で吠えるのやめたら？ 雑談君
344:１３２人目の素数さん
21/04/26 08:51:21.85 q6VhgZw4.net
>>317
＞おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って
＞「非可測集合は存在しない」
＞と言っているようなもの
逆 野良イヌ雑談君の「絶対当たらない」という主張こそ、
選択公理を否定して
「同値類の代表元は取れない！」
と言ってるようなもの
なお、決定性公理が成り立つなら選択公理は否定される
それゆえ、非可測集合が構成できなくなる
「全ての集合がルベーグ可測」という命題が成立するといっても
決して非可測集合自体が可測集合に化けるわけではなく
非可測集合が集合として認められなくなるだけのこと
直感で感じるな 論理で考えろ
345:１３２人目の素数さん
21/04/26 08:53:34.03 q6VhgZw4.net
>>317
＞百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、
＞基礎の公理を使わない集合論もあるから、
＞加算無限多重シングルトンの存在自身を
＞否定したことにはならんぜよっ！
ZFCには基礎の公理があるから
可算無限多重シングルトンの存在自身否定される
｛｝の数、という直感で感じるな
公理からの推論、という論理で考えろ
346:１３２人目の素数さん
21/04/26 08:59:05.66 q6VhgZw4.net
>>318
雑談君は
0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由
を説明できないよ
347:なんたって論理ぬきの直感で生きてる野良犬だからな 気に入らないことがあると下から目線でワンワン吠え誰にでも噛みつく ほんと困ったもんだｗｗｗ
348:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:06:24.46 q6VhgZw4.net
{}からどんどん外側に{}をつけるとして
{}を、-(n-1)/nと(n-1)/n (n>=2 n∈N)
につけた場合
・－１と、１のところには｛｝は存在しない
・(-1,1)のいかなる点でも、その外側に{}が存在するから
一番外側の｛｝が存在しない
つまり、上記の「図形」は一番外側の｛｝を外して
その中身の要素を取り出すことができない
したがって、集合と考えることができない
349:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:09:46.77 q6VhgZw4.net
>>323
雑談君は直感🐎🦌だから、こう考えるだろう
「一番外側の｛｝がない？そんな🐎🦌なことはない
どこでもいいから｛｝の外側から
{}のあるほうに連続的に移動したときに
最初にあたる｛｝が一番外側だろうが！」
そんな雑談君に問う
「じゃ、２から０の方向に向かって進んだとき
一番最初にあたる｝の位置をズバリ答えよ」
350:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:37:35.71 s+ZlNnnk.net
>>316
>当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ
だから誰も禁止してないって言ってるのが分らん？
最後の項がある無限列（数列だろうが∈に関する上昇列だろうが）なんて存在しないと言ってるのが分らん？
阿呆は黙ってろよ。阿呆に発言権は無い。
351:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:40:09.91 s+ZlNnnk.net
>>317
>仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
譲らなくても違反。
基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。
352:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:51:46.82 s+ZlNnnk.net
で、案の定
>単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
逆にする手順を具体的に構成できますか？
はスルーした訳だが
何の考えも無く発言するのはバカの証拠。バカは数学板から去れ。
353:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:54:16.82 s+ZlNnnk.net
こっちもスルーしそうだなｗ
>基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。
354:１３２人目の素数さん
21/04/26 09:56:37.91 s+ZlNnnk.net
無責任に放言吐く癖をまず治せよ
治せないなら数学板から去れ
355:１３２人目の素数さん
21/04/26 10:54:17.98 mmDRpQxY.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
Netflixの屋台骨 「AIレコメンド」技術最前線 CBインサイツ 日経 2021年4月26日 2:00
ネットショッピングやコンテンツの視聴―。人工知能（AI）で好みの製品を推薦する「レコメンドシステム」は、いまやネットサービスに欠かせない存在だ。その精度は企業の競争力を左右する。米ネットフリックスや米ウーバーテクノロジーズなど主要企業の取り組みをCBインサイツがまとめた。
米動画配信大手のネットフリックスは2020年7～9月期に実施した決算発表で、視聴されたコンテンツの「大多数」（過去の決算発表によると75%前後）がレコメンドシステムをきっかけに選ばれていることを明らかにした。
この技術の人気は高まっている。新型コロナウイルスのパンデミック（世界的大流行）により消費者のオンライン活動が急拡大したことを背景に、決算発表でレコメンドシステムが話題に上った回数は過去最高に達した。米半導体大手エヌビディアは21年4～6月期に実施した決算発表で、レコメンドエンジンをここ数年の人工知能（AI）の「三大ブレークスルーの1つ」に挙げた。残りの2つにあたる「音声AI」「自然言語理解」も強力なレコメンドシステムの実現を支えるだろう。
今回のリポートでは、次世代のレコメンドシステムで使われるAI技術を取り上げる。
（1）グラフAI技術
（2）多腕バンディット、文脈バンディット、強化学習
「多腕バンディット」とは、「単腕バンディット」と呼ばれるカジノのスロットマシン（バンディット）にちなんで名づけられたAIのアプローチだ。
スロットマシンには「腕（レバー）」がついており、ギャンブラーはこれを引いて報酬を得られるかどうかを待つ。カジノでどのマシンが払戻金を得る可能性が最も高いかを解く問題を「多腕バンディット（MAB）問題」という。
各社は履歴がない新規ユーザーに何を薦めるかを判断する際、MABに基づくアプローチで何が適しているかを見極めることができる。
356:１３２人目の素数さん
21/04/26 10:59:34.41 mmDRpQxY.net
>>318
哀れな素人さん
どうも
スレ主です（＾＾
>お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう（笑
>本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか（笑
同意です。おサルは、哀れな素人さんのスレで
引き取って放し飼いをお願いします（＾＾；
357:１３２人目の素数さん
21/04/26 14:53:46.85 GUuP7ssb.net
基礎ができてないのにコピペでマウント合戦ｗ
358:１３２人目の素数さん
21/04/26 15:16:00.66 mmDRpQxY.net
>>332
>基礎ができてないのにコピペでマウント合戦ｗ
スレ主です
ありがとさん
「基礎の公理の”基礎”が理解できてないのに、マウント合戦」
が正しいんじゃね？
いい勝負だろ？ｗ（＾＾；
359:１３２人目の素数さん
21/04/26 15:34:29.17 mmDRpQxY.net
>>332
＞コピペでマウント合戦ｗ
補足すれば、
いま300字くらいの文を書く必要があるとする
検索して、200字くらいは同じ意見の文を見つけた
これをコピペして、残り100字を自分で書く
コピペには、URLと関連部分をコピーして貼っておく
コピー先が、権威ある大学教授などなら、ベスト
300字書くところが。100字で済むし
典拠があれば、正確で、説得力増すよ（＾＾
360:１３２人目の素数さん
21/04/26 15:40:16.71 q6VhgZw4.net
>>334
＞権威ある大学教授
数学わからん🐎🦌は大学教授の権威に騙される
だからもっちーのIUT詐欺に簡単に引っかかるんだよｗ
残念だけど、シングルトンの件は、雑談君の完敗
3歳児の幼稚なプライド捨てて、
自分が間違ってる、と認められるといいね
361:１３２人目の素数さん
21/04/26 15:45:29.67 q6VhgZw4.net
>>318
雑談君は、0.999…=1の理由わかってないから
今教育しなおせば、簡単に哀れな老人の支持者になるかもよｗ
ということで、雑談君は今すぐこの💩スレ捨てて0.999…スレに行きな
キミの心の師、安達弘志センセイが待ってるよ！！！
362:１３２人目の素数さん
21/04/26 16:59:41.91 yqhGfZhS.net
突然ですが、いつもの事ですが、
今日も、モピロン、ポク👾は
ガウス星人とロピタル星人から
ハイパでワンダな電波を受信した。
【超怪電波内容】
∞の定義はもうよい。で、モピロン、
素数は有限個を証明した。ギャオォォ
正確には、素数は存在しないのだ。
【証明詳細】
ガウス星人は、言った
x未満の素数の個数は、π(x)とする
π(x) ≒ x/log(x) ─★が成立する
π(∞) ≒ ∞/log(∞) = ∞ ∴
素数は無限個ありそう。
で、ロピタル星人が笑い転げた
∞/log(∞)は、分母も∞だ。で、
dπ(x) /dx = 1/log(x) - (1/log(x))^2 ☆
∵ネットに存在の微分電卓使用
☆より、
lim�
363:x→∞│dπ(x) /dx = 0 そして、モッピロン、ロピタル定理で π(x) /x = 0である。 無限に飛ばすと、 ドンドン大きくなるのに、0になる。 素数は、有限個、それも0個だ∴ 素数は、存在しないことを証明した。 by 👾が、🐴🦌なのを証明しちやった