21/06/11 00:08:21.94 KPR0sRUj.net
>>692 追加
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Montgomery's pair correlation conjecture is a conjecture made by Hugh Montgomery (1973) that the pair correlation between pairs of zeros of the Riemann zeta function (normalized to have unit average spacing) is
1-(sin(π u))/(π u))^2+δ (u),
which, as Freeman Dyson pointed out to him, is the same as the pair correlation function of random Hermitian matrices.
Explanation
Andrew Odlyzko (1987) showed that the conjecture was supported by large-scale computer calculations of the zeros.
The conjecture has been extended to correlations of more than 2 zeros, and also to zeta functions of automorphic representations (Rudnick & Sarnak 1996).
The connection with random unitary matrices could lead to a proof of the Riemann hypothesis. The Hilbert?Polya conjecture asserts that the zeros of the Riemann Zeta function correspond to the eigenvalues of a linear operator, and implies RH. Some people think this is a promising approach (Andrew Odlyzko (1987)).
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リーマン予想
作用素理論
ヒルベルトとポリヤはリーマン予想を導出する1つの方法は自己共役作用素を見つけることであると提案した。その存在から ζ(s) の零点の実部に関する例の主張が、実固有値に主張を適用すると従うのである。
有限体上の多様体のゼータ関数の零点はエタールコホモロジー群上のフロベニウス元の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点はリーマン面のラプラス作用素の固有値であり、p 進ゼータ関数の零点はイデール類群へのガロワ作用の固有ベクトルに対応する。
Odlyzko (1987) は、リーマンゼータ関数の零点の分布はガウスのユニタリアンサンブル（英語版）から来るランダム行列の固有値といくつかの統計学的性質を共有していることを示した。これはヒルベルト?ポリヤ予想にいくらかの根拠を与える。
Schumayer & Hutchinson (2011) はリーマンゼータ関数に関連した適切な物理模型を構成する試みのいくつかをサーベイした