21/03/23 18:14:04.87 MzfOWIoL.net
>>37
だいぶ端折ってしまいました。ご勘弁。
最初の式は tanθ > θ (0<θ<π/2) です。(*)
2番目以後は、tan の加法公式
tan(a+b) = sin(a+b)/cos(a+b)
= {sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)}/{cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)}
= {tan(a) + tan(b)}/{1 - tan(a)tan(b)},
で a=b とした「倍角公式」を使って算出しました。
分子･分母に大きな数が現れたので、便宜的に小さい分数と比べましたが、
必要というわけではありません。
tan(1/2) = t > 6/11 = 0.5454545
まで出れば、あとは
t > (1-tt)/(1+tt),
を示せば完成です。
(*) 簡単そうに見える tanθ > θ ですが、
意外に難しいのかも知れません。
単位円上に
A (cosθ, sinθ)
I (1, 0)
B (cosθ, -sinθ)
をとり、AおよびBで接線を曳いて、その交点をCとします。名著には
「弧ABの長さは、弧に内接する折れ線の長さの上限として定義されるから、････、折れ線ACBよりも小である。」
とアッサリ書いてありますが…
(中心角 dθ の微小部分どうしで比べれば、弧は線分の「正射影」になるので短い、と解釈しています)
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第１章 §9 ［例2] p.21-22