23/02/26 16:13:39.52 ZAlHQVD3.net
>>823
つづき
この考え方は、代数曲線（次元が 2 の多様体）に対しては完全に成り立つ。現代のことばでは、1890年から1910年までの代数幾何学のイタリア学派（英語版）の一つの中心的な結果は、曲面の分類の一部とあわせ、すべての曲面 X は、ある曲線 C が存在して積 P1 × C か、もしくは極小曲面 Y のどちらかに双有理同値である。[2] 2つの場合は互いに排他的であり、Y は存在するとしたら一意である。Y が存在すると、X の極小モデルと呼ばれる。
双有理不変量
詳細は「小平次元」を参照
「双有理不変量」も参照
まず、どのようにして有理的でない代数多様体が存在するかを示す方法が明らかではない。これを証明するためには、代数多様体の何らかの双有理不変量を作ることが必要である。
より高次元の極小モデル
詳細は「極小モデル」を参照
射影多様体 X が極小とは、標準バンドル KX がネフ（英語版）であることを言う。2次元の多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。
少なくとも次元が 3 の場合には、KX がうまく振舞うようなあるマイルドな特異点を持つ極小多様体を持つはずである。これらの（特異点のこと）を標準特異点(canonical singularities)という。
すべての多様体 X は有理曲線(rational curve)で被覆されるか、もしくは極小多様体 Y に双有理同値であるろうということを、極小モデル予想と言う。Y が存在するときに、Y を X の 極小モデル という。
極小モデルは少なくとも 3 次元では一意に定まらないが、任意の双有理である 2つの極小多様体は非常に近い存在である。例えば、極小モデルは、少なくとも余次元が 2 の部分集合の外側で同型で、さらに詳しくはフロップ(flops)の列によって関連している。従って、極小モデル予想は、代数多様体の双有理分類について強い情報を与えていることになる。
予想は次元が 3 の場合には、Mori (1988) で証明された。一般次元の問題としては未解決であるが、大きな前進があった。特に、Birkar, Cascini, Hacon と McKernan (2010) は、標数が 0 の体の上の一般型の代数多様体はすべて極小モデルを持つことを証明した。
つづく
901:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:14:04.23 ZAlHQVD3.net
>>824
つづき
＜一般型の説明＞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数幾何学では、小平次元 (Kodaira dimension)（標準次元 (canonical dimension) とも呼ばれる） κ(X) で射影多様体 X の標準モデル (canonical model) の大きさを測る。
これを d-標準写像と言う。多様体 X の標準環 R(KX) は次数付き環で
略
である。
脚注の算術種数[1]と幾何種数[2]、不正則数[3]も参照のこと。
任意次元
有理多様体（射影空間に有理同値な多様体）は小平次元 ?∞ である。アーベル多様体（射影的なコンパクト複素トーラス)は小平次元が 0 である。より一般的に、カラビ-ヤウ多様体（次元 1 では楕円曲線、次元 2 ではアーベル曲面やK3曲面であり、有限群でそれらの多様体を割った商）は小平次元が 0 である。次元 1 では楕円曲線が小平次元ゼロであり、次元 2 では複素トーラスとK3曲面が小平次元がゼロである（各々平坦な計量であること、リッチ計量が平坦であることに対応）。
有理曲線により被覆される任意の標数 0 の多様体（P1 からの非定数写像で得られる）を単線織多様体と言い、小平次元 ?∞ を持つ。逆に、極小モデル理論の主予想（アバンダンス予想として有名）は、全ての小平次元が ?∞ の多様体は単線織的ではないだろうかと予想している。この逆問題は、多様体の次元が 3 の場合のみ知られている。
Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、変形の下での多重種数の不変性を証明した。特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
つづく
902:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:14:24.77 ZAlHQVD3.net
>>825
つづき
一般型
一般型 の多様体 X は最大の小平次元を持つ（小平次元は多様体の次元に等しい）。
この等号という条件は、ラインバンドル KX が大きなラインバンドルであるか、もしくは、d-標準写像が十分大きな d に対し単射である（つまり、像への双有理写像である）。
例えば、豊富な標準バンドルは一般型である。
ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな超曲面が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。
一般型の多様体は、たとえ曲面の場合であっても、明確に分類することが極めて困難なように見える。にもかかわらず、一般型の多様体に対し強い正しい結果が存在する。例えば、ボンビエリ(Bombieri)は1973年に、任意の一般型の複素曲面の d-標準写像は、全ての d >= 5 に対して双有理であることを示した。
さらに一般には、ハーコン・マッカナン(Hacon-McKernan)、高山、辻は、2006年に全ての正の n に対し定数 c(n) が存在し、任意の n-次元の一般型複素多様体の d-標準写像が存在し d >= c(n) のとき、双有理同値となることを示した。
一般型の代数多様体の双有理自己同型群は有限群である。
つづく
903:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:15:32.33 ZAlHQVD3.net
>>826
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
標準環
数学では、（非特異な）代数多様体や複素多様体 V の 多重標準環(pluricanonical ring)は、次の標準バンドル K のベキの切断の次数付き環である。
R(V,K)＝R(V,Kv)
0 番目の次数の要素 R_{0} は自明なバンドルの切断で、V が射影的なときは 1 次元である。この次数付き環により定義された射影多様体を V の 標準モデル(canonical model)といい、標準モデル の次元を小平次元と言う。
V 上のラインバンドル L に似たような環を定義することができ、この類似な次元を 飯高次元 と言う。もし飯高次元が多様体の次元に等しいときに、ラインバンドルは 大きい と言う。
性質
双有理不変性
従って、標準環は小平次元のように双有理不変量であり、コンパクトで滑らかな複素多様体の間の任意の双有理写像は、それぞれの標準環の間の同型を導く。結論として、特異点のある空間の小平次元を特異点解消した（多様体の）小平次元として定義することができる。双有理性のおかげで、これはWell-definedで、つまり、特異点の解消方法の選択とは独立している。
双有理幾何学の基本予想
双有理幾何学の基本予想とは、多重標準環は有限生成（英語版）であろうという予想である。このことは森プログラム（英語版）の大きな一つのステップと考えられている。 Caucher Birkar, Paolo Cascini, and Christopher D. Hacon et al. (2010) Yum-Tong Siu (2006) はこの証明をしたことをアナウンスした。
多重種数
(引用終り)
以上
904:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:49:06.99 ZAlHQVD3.net
>>826
>一般型 の多様体 X は最大の小平次元を持つ（小平次元は多様体の次元に等しい）。
>ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな超曲面が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。
代数幾何
一般型 の多様体
は、3次元ポアンカレ予想からみの 双曲幾何（Hyperbolization theorem）に相当する部分かな
双曲幾何構造が、最も一般的とか書いてあった記憶がある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何化予想（きかかよそう、英: geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
概説
2次元多様体では3種類の幾何構造（ユークリッド構造、ロバチェフスキー構造、リーマン構造）が考えられ、全ての2次元多様体はこの内1つを自然な幾何構造として持つというのは良く知られた事実であった[1]が3次元多様体は自由度が高すぎるため一般には自然な幾何構造は持たせることはできないと考えられていた（実際これは正しい）。
これに対しウィリアム・サーストンは3次元の多様体上の自然な幾何構造というものを新たに定義しそれに基づけば8種類の幾何構造を考えられることを示した。これらには2次元にも存在する3種類の幾何構造と2次元の円筒に対応する球面及び双曲面と線分の積空間のもつ構造（円周と線分の積空間である2次元多様体、円筒は2次元ユークリッド構造をもつ。また、平面と線分の積空間は3次元ユークリッド構造を持つ）、及び2次の実特殊線形群(双曲平面の変換群）の普遍被覆空間（なお、球面の変換群の普遍被覆空間は3次元球面）及びニル (Nil) とソル (Sol) と呼ばれる、合わせて3つの、2次元と1次元の多様体の単純な積では構成できない特殊な幾何構造がある。サーストンの幾何化予想とは全ての3次元多様体はこれらのいずれかの幾何構造を持つ幾つかの部分多様体に分解できるというものである[2]。
つづく
905:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:49:34.45 ZAlHQVD3.net
>>828
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Hyperbolization theorem
For Perelman's generalization of Thurston's geometrization theorem to all 3-manifolds, see Geometrization conjecture.
In geometry, Thurston's geometrization theorem or hyperbolization theorem implies that closed atoroidal Haken manifolds are hyperbolic, and in particular satisfy the Thurston conjecture.
Statement
One form of Thurston's geometrization theorem states: If M is a compact irreducible atoroidal Haken manifold whose boundary has zero Euler characteristic, then the interior of M has a complete hyperbolic structure of finite volume.
The Mostow rigidity theorem implies that if a manifold of dimension at least 3 has a hyperbolic structure of finite volume, then it is essentially unique.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Atoroidal
In mathematics, an atoroidal 3-manifold is one that does not contain an essential torus. There are two major variations in this terminology: an essential torus may be defined geometrically, as an embedded, non-boundary parallel, incompressible torus, or it may be defined algebraically, as a subgroup
Z ｘ Z of its fundamental group that is not conjugate to a peripheral subgroup (i.e., the image of the map on fundamental group induced by an inclusion of a boundary component). The terminology is not standardized, and different authors require atoroidal 3-manifolds to satisfy certain additional restrictions. For instance:
略
A 3-manifold that is not atoroidal is called toroidal.
(引用終り)
以上
906:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:08:08.73 HNnDjHCG.net
>>818
> ・・・の意味は・・・という意味だね
こんな馬鹿日本語を平然と書ける
馬鹿に説明できるわけがないだろ
数痴は失せろ
907:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:09:38.88 HNnDjHCG.net
>>820
数学はギリシャ語より遥かに難しいだろ？
わかったら失せろ馬鹿
908:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:11:33.17 WynaOdwW.net
>>825
>>Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、
>>変形の下での多重種数の不変性を証明した。
>>特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
代数多様体の話の中に突然(コンパクトな)複素多様体の話が紛れ込んだが
「全ての滑らかな複素多様体」は
「全ての滑らかな射影的代数多様体」でなければ
命題は偽である。(中村郁氏の反例がある。)
この部分を
「全てのケーラー多様体」に置き換えてもよいかどうかは
複素幾何の大きな未解決問題の一つ。
909:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:13:30.79 HNnDjHCG.net
>>817
ワカランチンのトンチンカンコピペは要らない
馬鹿が承認
910:欲求昂じさせると 貴様のような正真正銘の狂人になる >>819 東大に入れなかった時点で 学歴で負けたと悟って 利口ぶるのは諦めろ馬鹿 >>822 大阪の馬鹿は黙って焼かれて食われて死ね
911:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:14:17.09 HNnDjHCG.net
>>823-829
馬鹿はコピペやめて失せろ
912:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:16:46.01 HNnDjHCG.net
>>832 無理すんな
913:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:21:34.92 HNnDjHCG.net
>>825
>>Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、
>>変形の下での多重種数の不変性を証明した。
>>特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
ここは下記の英語の翻訳らしい
Siu (2002) proved the invariance of plurigenera under deformations for all smooth complex projective varieties.
In particular, the Kodaira dimension does not change when the complex structure of the manifold is changed continuously.
もちろんsmooth complex projective varietiesは
「滑らかな複素射影（代数）多様体」
と翻訳すべきである
914:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:24:16.72 ZAlHQVD3.net
>>788
>VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE
LOG？か
下記”Kawamata log terminal singularities”辺りに由来しているような
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Abundance conjecture
In algebraic geometry, the abundance conjecture is a conjecture in birational geometry, more precisely in the minimal model program, stating that for every projective variety
X with Kawamata log terminal singularities over a field
k if the canonical bundle
K_{X} is nef, then
K_{X} is semi-ample.
Important cases of the abundance conjecture have been proven by Caucher Birkar.[1]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Canonical singularity
They were introduced by Reid (1980). Terminal singularities are important in the minimal model program because smooth minimal models do not always exist, and thus one must allow certain singularities, namely the terminal singularities.
Pairs
・klt (Kawamata log terminal) if Discrep(X,Δ)>?1 and [Δ]<= 0
915:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:26:32.18 HNnDjHCG.net
＞最初の10ページくらい斜めに読んだ
意味も分からず文字だけ目で追っても
数学は全く理解できるわけないと気づけ馬鹿
916:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:27:31.42 HNnDjHCG.net
大体定義を読まず証明を読まず計算を全くしない馬鹿が
数学をどうやって理解しようというのだ？
馬鹿は一体数学を何だと思ってるのか？
917:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:29:54.13 HNnDjHCG.net
何度も書くが
馬鹿であること自体は恥でもなんでもない
馬鹿であるにもかかわらず一から勉強せず
平文だけ読んで頭のなかで妄想だけして
数学を分かったウソをつく根性が恥ずかしい
そんなサイコパスはここから失せろ
918:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:30:19.55 ZAlHQVD3.net
>>832
>「全ての滑らかな複素多様体」は
>「全ての滑らかな射影的代数多様体」でなければ
>命題は偽である。(中村郁氏の反例がある。)
>この部分を
>「全てのケーラー多様体」に置き換えてもよいかどうかは
>複素幾何の大きな未解決問題の一つ。
ありがとうございます
へー、そうなんだ
919:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:30:57.72 WynaOdwW.net
>>836
>>複素射影（代数）多様体
この言葉を理解しているようなのに
「クロネッカーの(青春の)夢」の内容を知らないとは
ずいぶん偏った勉強をしてきたんだね
920:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:32:00.37 HNnDjHCG.net
最先端に立つことだけが誇りとかいう
○違いは数学を冒涜している
いかなるレベルであれ理解することが数学である
理解もせずに分かったというのは数学の否定だ
反数学テロリストは失せろ
921:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:35:43.66 HNnDjHCG.net
>>842
「整係数アーベル方程式が円分方程式によって尽くされるのと同様に、
有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式が特異母数を持つ楕円函数の変換方程式で尽くされる」
クロネッカーがそういったのは知ってるが、
なんでそんなことを思
922:いついたのか知らん そういう意味 検索野郎のように検索結果だけ読んで 「全てを理解した！」と絶叫するほど 誇大妄想狂ではない そんなもの数学を分かった内に入るか馬鹿
923:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:35:54.46 ZAlHQVD3.net
>>836
ありがとう
おれも、英wikipedeia をチェックしようと思ったけど
先を急ぐので、手抜きしたんだｗ
924:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:38:55.43 HNnDjHCG.net
>>845
急ぐな馬鹿
貴様はそんなにレスがほしいのか
精神病んでるぞ
今すぐ病院に入院しろ
もちろん隔離病棟
ネットのアクセスは全面禁止
１年頭を冷やせ馬鹿
925:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:40:38.11 ZAlHQVD3.net
>>844
>クロネッカーがそういったのは知ってるが、
>なんでそんなことを思いついたのか知らん
楕円函数うんぬんは別として
クロネッカー・ウェーバーを、何らかの形で一般化できないかと考える
これ、数学者の普通の思考でしょ
で、多分半分は経験と勘で、”楕円函数使えるかも”として
もう半分はお試し計算で確認して「反例ないね」と思ったんだろうね
これ、数学者の普通の思考でしょ
926:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:41:41.69 HNnDjHCG.net
志村五郎氏は数学を、使えるか否か、で区別するらしい
実にごもっともな考えだ
自分は数学を、遊べるか否か、で区別する
最先端かどうかなんてどうでもいい
他人にマウントするために数学やってるわけじゃない
マウント○違いはここから失せろ 目障りだ
927:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:42:30.93 HNnDjHCG.net
>>847 ｎ×ｎ行列の行列式も知らん馬鹿は黙れ
928:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:52:42.29 WynaOdwW.net
>>「整係数アーベル方程式が円分方程式によって尽くされるのと同様に、
>> 有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式が特異母数を持つ
>>楕円函数の変換方程式で尽くされる」
>>クロネッカーがそういったのは知ってるが、
>>なんでそんなことを思いついたのか知らん
ならちょっと説明してみたい。(コピペじゃないよ)
「整係数アーベル方程式」は、解によるQの拡大体がアーベル拡大になるものを言い、「円分方程式で尽くされる」は次の主張を言う。
クロネッカー・ウェーバーの定理: Qの任意のアーベル拡大体Kに対し、ある自然数Nが存在してKはQ(ζN)の部分体となる。ただしζNは１の原始N乗根を表す。
「特異母数を持つ楕円函数の変換方程式」はひとまず円分方程式をやや一般化したものと思っておこう。
さて、これに続けてクロネッカーが上で予想しているのは、2次体についても上と同様にアーベル拡大を考えたとき、それらが円分体の一般化にあたる特殊な方程式による拡大体に含まれるかということである。別の言い方をすれば、円分体は指数関数の有理点における値をQに添加して得られることから、2次体の場合にはそれに応じた関数があって、その特殊値を付け加えることによって円分体に相当する「任意のアーベル拡大の入れ物」が作れるだろうということ。(クロネッカーはこの関数として楕円関数を想定しているので、2次体は虚2次体でなければならない。)
ここで特に注目すべきことは、特殊なアーベル拡大の具体的な構成を問題にすることにより、複素関数論のテーマである楕円関数が、代数的な体の拡大の理論に指数関数と同じ仕方で関わりだしたことである。ヒルベルトは1900年のICMでやや一般化して提出したが、そこでもこの視点が強調されている。
ヒルベルトの第12問題：クロネッカーの定理を、有理数体または虚2次体の代わりに、任意の代数体を取った場合に拡張すること。私はこの問題を、数および関数の、すべての理論の中で最も深く最も重要なものの一つと考える。この問題は、多くの側面から近づき得るように見える。
ヒルベルト 「数学の諸問題」より
929:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:54:38.86 HNnDjHCG.net
馬鹿に質問
「内積を保つ行列の必要十分条件を記せ」
930:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:00:29.21 HNnDjHCG.net
>>850
大して説明できてない
なぜ
整係数アーベル多項式での指数関数の役割を
有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式では
特異母数を持つ楕円函数が果たすと考えたのか？
そのアイデアの源泉
931:は何か？ それが説明だろう ガロアの遺書 知ってるか？ 知らないんだろう
932:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:19:06.75 6m7/7Yyv.net
定期的に腰窓から外に出て室外機置場をする掃除をする必要があって、
狭くて外に出にくく窓の前に読み書きする机がある腰窓の部屋で
Evansのようなサイズの本やムック本を読むときは
どのようにして保管するのがベストか？ という問題は自己解決した
今まで通り床に横積みして保管すると読む度に置き場所から取り出すとき面倒だが、
腰窓の前の読み書きする場所に立てて保管しても
読み書きするとき保管場所から出し入れする必要があって
定期的な掃除のときに書籍が水に濡れないように移動させる必要が生じるから、
今までのようにサイズが特別デカいEvansのような本は床に横積みにして保管するのがいい
ムック本はさほど重くはなくそのまま普通の書籍と同じように扱ってでいい
結局、狭い部屋をかなり掃除することになった
それにしても、マンションに住んでいる場合定期的に腰窓から外に出て室外機置場を掃除をしなかったらどうなるんだろうか？
マンションの部屋の腰窓から外に出て室外機置場を掃除をしなくてもよいのであれば、
読み書きする場所にEvansのような分厚くサイズが特別デカい本を立てて保管しても特別大きな問題はない
933:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:30:06.81 WynaOdwW.net
>>852
>>整係数アーベル多項式での指数関数の役割を
>>有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式では
>>特異母数を持つ楕円函数が果たすと考えたのか？
>>そのアイデアの源泉は何か？
円周の等分からレムニスケートの等分へと
話が展開したことは知っているようだね。
がロアの遺書は何度も目を通したが
解説はできない。
たいして説明できていなくて申し訳ない。
では少し補足させてもらおう。
代数体KがQのアーベル拡大であるとき、Q(ζN)がKを含むような最小の自然数NをとればKにおける素数pの素イデアルへの分解が重複因子を持つための条件は Nがpで割り切れることである。これを含むガウスの理論の一般化が、今日では類体論の主定理の系として知られている。(ソースは加藤・黒川・斎藤の本)
しかし若き日のクロネッカーの構想はもっとスケールの大きいものだった。デデキントへの手紙に書かれていたのは次の文章である。
それは我が愛する青春の夢です。つまり、整係数アーベル方程式が円分方程式で尽くされるのと同様に、有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式が特異母数を持つ楕円函数の変換方程式で尽くされることの証明です
(レオポルト・クロネッカー、クロネッカー全集 第5巻, p. 455; リヒャルト・デーデキントへの手紙 (1880年) より)
934:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:48:48.22 WynaOdwW.net
青春の夢だけでなく
極限公式を見ても
クロネッカーの数学のスタイルが
緻密で大量の計算に裏付けられたものであろうと
推測される
これはクンマーの影響かもしれない
935:１３２人目の素数さん
23/02/26 19:54:21.13 ZAlHQVD3.net
>>788
>VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE
LOGの意味調査：
・log terminal if ai > -1 for all i （下記 標準特異点関連）
・log resolution of D (e.g., Hironaka's resolution)
・下記FUJINOより log terminal singularities is divisorial log terminal (dlt, for short) Shokurov
（Hironaka’s desingularization theorem suitably）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
標準特異点
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Canonical singularity
In mathematics, canonical singularities appear as singularities of the canonical model of a projective variety, and terminal singularities are special cases that appear as singularities of minimal models. They were introduced by Reid (1980).
Terminal singularities are important in the minimal model program because smooth minimal models do not always exist, and thus one must allow certain singularities, namely the terminal singularities.
Definition
Then the singularities of Y are called:
terminal if ai > 0 for all i
canonical if ai >= 0 for all i
log terminal if ai > -1 for all i
log canonical if ai >= -1 for all i.
See also: multiplier ideal (algebraic geometry)
つづく
936:１３２人目の素数さん
23/02/26 19:55:38.72 ZAlHQVD3.net
>>856
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Multiplier ideal
Algebraic geometry
In algebraic geometry, the multiplier ideal of an effective
Q
937:-divisor measures singularities coming from the fractional parts of D. Multiplier ideals are often applied in tandem with vanishing theorems such as the Kodaira vanishing theorem and the Kawamata?Viehweg vanishing theorem. Let X be a smooth complex variety and D an effective Q -divisor on it. Let μ :X'→ X be a log resolution of D (e.g., Hironaka's resolution). 下記FUJINOより抜粋 P6 5. Resolution Lemma We think that one of the most useful log terminal singularities is divisorial log terminal (dlt, for short), which was introduced by Shokurov (see [FA, (2.13.3)]). We defined it in Definition 4.1 above. By Szab´o’s work [Sz], the notion of dlt coincides with that of weakly Kawamata log terminal (wklt, for short). P7 By combining Theorem 5.1 with the usual desingularization arguments, we can recover the original Resolution Lemma without any difficulties. This means that, first, we use Hironaka’s desingularization theorem suitably, next, we apply Theorem 5.1 below, then we can recover Szab´o’s results. つづく
938:１３２人目の素数さん
23/02/26 19:55:59.27 ZAlHQVD3.net
>>857
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
WHAT IS LOG TERMINAL ?
2004/4/23
OSAMU FUJINO
Abstract. In this paper, we explain the subtleties of various
kinds of log terminal singularities. We focus on the notion of
divisorial log terminal singularities, which seems to be the most
useful one. We explain Szab´o’s resolution lemma, the notion of
log resolution, adjunction formula for divisorial log terminal pairs,
and so on. We also collect miscellaneous results and examples on
singularities of pairs in the log MMP that help us understand log
terminal singularities.
Contents
1. What is log terminal? 1
2. Preliminaries on Q-divisors 3
3. Singularities of pairs 5
4. Divisorial log terminal 6
5. Resolution Lemma 6
6. Whitney umbrella 8
7. What is a log resolution? 10
8. Examples 12
9. Adjunction for dlt pairs 14
10. Miscellaneous comments 15
References 16
(引用終り)
以上
939:１３２人目の素数さん
23/02/26 21:12:08.55 lKvrLaqy.net
119１３２人目の素数さん2023/02/22(水) 22:12:37.65ID:EQcdNkCP>>120
乗数イデアル層の解明が進んだこの10年であった
120１３２人目の素数さん2023/02/22(水) 22:38:25.70ID:qwe91WcY>>122
>>119
何か面白い事は判明したのけ？
122１３２人目の素数さん2023/02/23(木) 07:01:43.49ID:fP7IBK5f
>>120
2013年にDemaillyの予想であったopenness conjectureが解けたのを
皮切りに、そのeffective versionを求める過程で
negligible weightつきのL2拡張定理が一般化され
その結果、Bergman核に対する米谷・山口の変分公式(2004)や
関・周による吹田予想の解決(2012)も
Green関数に付随する凹性定理(2017)の系になってしまった。
この凹性定理の正体が多くの論文で解明されつつある。
940:１３２人目の素数さん
23/02/26 21:37:35.11 lKvrLaqy.net
代数幾何の人たちは解析が嫌いだから
乗数イデアルについての
この手の話はスルーされる
941:１３２人目の素数さん
23/02/26 22:37:44.59 ZAlHQVD3.net
>>859
>乗数イデアル層の解明が進んだこの10年であった
ああ、ありがとう
乗数イデアル層が、重要キーワードなのか
「Siu による乗数イデアルを用いた巧妙な拡張定理の手法 [Si1] 」>>792 藤野
から、
942:下記PDFがヒットしたので貼る Y.-T. Siu, Invariance of plurigenera, Invent.Math. 134 (1998), no. 3, 661?673. https://people.math.harvard.edu/~siu/siu_reprints/siu_plurigenera_invent1998.pdf Invent. math. 134, 661-673 (1998) DOI 10.1007/s002229800870 Invariance of plurigenera Yum-Tong Siu* Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA 02138, USA P2 multiplier ideal sheaf >>857再録 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal In commutative algebra, the multiplier ideal associated to a sheaf of ideals over a complex variety and a real number c consists (locally) of the functions h such that |h|^2/Σ|fi^2|^c is locally integrable, where the fi are a finite set of local generators of the ideal. Multiplier ideals were independently introduced by Nadel (1989) (who worked with sheaves over complex manifolds rather than ideals) and Lipman (1993), who called them adjoint ideals. Multiplier ideals are discussed in the survey articles Blickle & Lazarsfeld (2004), Siu (2005), and Lazarsfeld (2009). Algebraic geometry In algebraic geometry, the multiplier ideal of an effective Q -divisor measures singularities coming from the fractional parts of D. Multiplier ideals are often applied in tandem with vanishing theorems such as the Kodaira vanishing theorem and the Kawamata?Viehweg vanishing theorem. Let X be a smooth complex variety and D an effective Q -divisor on it. Let μu :X'→ X be a log resolution of D (e.g., Hironaka's resolution). (引用終り) 以上
943:１３２人目の素数さん
23/02/26 23:14:06.75 lKvrLaqy.net
Extension of Twisted Pluricanonical Sections with Plurisubharmonic Weight and Invariance of Semipositively Twisted Plurigenera for Manifolds Not Necessarily of General Type
January 2002
DOI: 10.1007/978-3-642-56202-0_15
Yum-Tong SiuYum-Tong Siu
944:１３２人目の素数さん
23/02/26 23:50:10.96 ZAlHQVD3.net
>>862
ありがとうございます
追加貼ります
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
学位論文要旨
乗数イデアルの局所的性質の研究
高木 俊輔 2004.03.25
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
論文要旨
略
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
審査要旨
乗法イデアルの概念はDemailly、Nadal、Siu等の仕事において、複素解析の分野において登場した概念であるが、まもなく代数幾何の概念として再定式化され、双有理幾何学における有用な道具として用いられるようになった。高木俊輔はこの概念を正標数における可換環の理論と結び付け、その局所的性質の解明を行ない、次のような結果を得た。
乗数イデアルの劣加法性の研究
Demailly-Ein-Lazarsfeld は、非特異な多様体の上で乗数イデアルの劣加法性が成り立つことを証明した。特異点を有する多様体の場合に一般化することが次に問題となるが、高木は渡辺との共同研究として、(R, m)を2次元のエクセレント Q-Gorenstein 正規局所環とするとき、Spec Rが高々ログ端末特異点しか持たないことと、乗法イデアルの劣加法性が成り立つことが同値であることを証明した。
つづく
945:１３２人目の素数さん
23/02/26 23:50:30.30 ZAlHQVD3.net
>>863
つづき
判定イデアルの一般化の振る舞いの研究
原-吉田は判定イデアルの概念を一般化し、それが乗数イデアルと対応することを証明した。高木は原との共同研究として、この判定イデアルの一般化の性質を研究し、判定イデアルに対し、乗数イデアルにおける Lipman-Skoda の定理の類似と和公式を証明した。
ログ標準特異点の逆同伴の研究
Ein-Mustata-安田は、超曲面の場合にログ標準特異点の逆同伴を証明した。高木は判定イデアルの一般化と乗数イデアルの対応を利用し、密着閉包の理論を用いて、彼らの結果を、非特異な多様体に埋め込まれている任意余次元の多様体の場合に拡張した。正確に一は、Xを標数0の体上定義された非特異代数多様体と
946:し、Y=Σk i=1 tiYi をXの真の閉部分スキームYiと実数ti>0の形式和とし、Xの真の閉部分スキームZをZ〓Uk i=1 Yiをみたす正規 Gorenstein 閉部分多様体とする。このとき、もし対(Z, Y|z)がKLT (resp. LC)ならば、対(X, Y+Z)はZの近傍でPLT (resp. LC)になることを示した。 F-純閾値 渡辺との共同の研究によって、乗法イデアルと関連して定義されるLC閾値の類似として、正標数の可換環に対しF-純閾値の概念を定義し、その基本的な性質を解明した。また、その2つの閾値の関係をあきらかにした。たとえば、たとえば、標数0のログ端末特異点の場合には、LC閾値と、十分大きな素数pに対し標数pに還元して得られるF-純閾値は一致することを示した。 (引用終り) 以上
947:１３２人目の素数さん
23/02/27 06:24:15.44 e17cGgkr.net
>>乗法イデアルの概念は
>>Demailly、Nadal、Siu等の仕事において、
>>複素解析の分野において登場した概念であるが、
multiplier idealは乗数イデアルという訳が定着している。
multiplication idealなら乗法イデアルなのだろうが。
「Demailly, Nadal(正しくはNadel), Siu等の仕事」を補足するなら
複素境界値問題いおいて微分方程式の解の滑らかさを判定するために
Kohnによって導入されたものを、Siu, Nadel, Demaillyらが
L^2理論の分脈に広げることにより
Kahler-Einstein計量の存在問題やコホモロジー消滅定理などの
複素幾何の問題へと応用した仕事
ちなみにNadelはSiuの弟子だが若くして数学を去った。
Demaillyは昨年3月に世を去った。
Siuは現在79歳で、Harvard大学に健在である。
948:１３２人目の素数さん
23/02/27 06:26:35.44 e17cGgkr.net
訂正
複素境界値問題いおいてー－－＞複素境界値問題において
949:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:21:07.06 OSjRvgs6.net
>>865-866
あんた何者？
数学者？（否の場合、具体的な職業を記載）
専門何？（具体的に記載）
950:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:23:07.03 OSjRvgs6.net
>>859 乙？
951:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:26:10.38 OSjRvgs6.net
> LOGの意味調査
こいつは肝心の定義を読まない（というか読んでもわからない）から
いつまでたっても数学が理解できない
一般の行列の行列式の定義すら理解できず
正則行列の定義も理解できない
大学１年の線型代数で落ちこぼれた大バカ野郎
こんなやつが国立大の工学部卒とか日本は完全に終わったな
952:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:29:50.25 OSjRvgs6.net
・大阪の馬鹿はコピペやめて失せろ
・乙はわけもわからず内容ゼロの
数学ネタ書くのやめて失せろ
・「第三の男」さんはどうぞ
数学ネタ書いてください
ただし大阪馬鹿と乙は
完全に無視というか
黙殺しちゃってください
ウザいから
953:１３２人目の素数さん
23/02/27 08:13:50.01 e17cGgkr.net
>>867
数学者でないわけがないと
思ってもらえないのが悲しい
954:１３２人目の素数さん
23/02/27 08:18:18.39 k+s6pKPe.net
>>869-870
あんた、
完全に浮いたねｗ
LOGの意味調査は、>>858とかね。VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE>>788とあるけど
関数logが、陽に使われていないから、由来を調べていたんだ
（Hironaka’s desingularization theorem suitably）>>856
と分かった
つまり、裏で広中先生の特異点解消のlogと繋がっているところまで分かった
広中先生の特異点解消の中を調べるのは、断念して将来の課題にしたんだ(時間がかかるため)
ここまで調べれば、関数logが陽に使われていない理由が分かったからね
955:１３２人目の素数さん
23/02/27 08:22:00.08 k+s6pKPe.net
>>871
>>871
>数学者でないわけがないと
>思ってもらえないのが悲しい
なるほど
しかし、笑えるけど
大喜利なら、ザブトン一枚かな？
蛇足だが、相手による
956: 小学生には、分からないだろうが 落ちこぼれとは言え、数学科出身者だからね https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
957:１３２人目の素数さん
23/02/27 09:13:51.89 TuSMx/Zd.net
>>871
「ない」が３つも現れるのが胡散臭いw
書くなら以下のどちらか
1.数学者と思われないのが残念
2.数学者でないと思われるのが残念
ただいずれにしても
数学者は5chの匿名の書き込みでも
数学者だと思われたいものだろうか？
大いに疑問
958:１３２人目の素数さん
23/02/27 09:20:07.15 TuSMx/Zd.net
>>872
>関数logが、陽に使われていないから、
>由来を調べていたんだ
>裏で広中先生の特異点解消のlogと
>繋がっているところまで分かった
相変わらず訳わからん文章書いてるな
特異点解消のlogは関数logと違うんか？
調べ方が全然浅いんちゃう？
959:１３２人目の素数さん
23/02/27 09:24:19.20 TuSMx/Zd.net
>>873
あんたは座布団三枚没収
ところで
「私は正直者です」
の否定文は何か？
わかるかな？
960:１３２人目の素数さん
23/02/27 11:03:05.62 SbnoCAdL.net
>>859-860
ありがとう
あなたが来て、数学板のスレらしくなった
いままで、コウモリしかいない里に本物の鳥がきたようだね >> ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
>代数幾何の人たちは解析が嫌いだから
>乗数イデアルについての
>この手の話はスルーされる
嫌いというよりも
思考を乱されるのがいやなんでしょう
そも、乗数イデアルとは、なんぞや？
解析（＊）と代数幾何の特異点の両方で、大活躍
なんで？ 両方を統一する視点を提供できれば良い
というか、いま”乗数イデアル”を検索しても、あまり情報がヒットしないから、そういう視点はほしいよね
多分、大学の学生たちも
＊）
”微分方程式の解の滑らかさを判定”>>865
とあるから、これも特異点からみかな
961:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:12:50.73 O8A01jqZ.net
>>877
>コウモリしかいない里に本物の鳥がきたようだね
三歩歩くと全部忘れるニワトリがなんか言っとる
962:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:18:20.37 O8A01jqZ.net
ところで
>>851にはお手上げかい？
情けないねぇ
963:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:24:56.32 MGx5FJPo.net
>>877
>>いま”乗数イデアル”を検索しても、あまり情報がヒットしない
↓ブレイクスルー賞に値する論文がこの二つ
Guan, Qi'an; Zhou, Xiangyu A proof of Demailly's strong openness conjecture. Ann. of Math. (2) 182 (2015), no. 2, 605–616.
Guan, Qi'an; Zhou, Xiangyu Effectiveness of Demailly's strong openness conjecture and related problems. Invent. Math. 202 (2015), no. 2, 635–676.
964:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:31:15.95 MGx5FJPo.net
>>851
ユークリッド内積なら直交行列
エルミート内積ならユニタリ行列
これらがなす群は
コンパクトなリー群の典型例
965:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:54:18.71 WUlqy6Pv.net
>>881
直交行列、ユニタリ行列の定義は？
そして内積が不変となることを定義から導け
最後に、大阪の馬鹿爺だけ答えろ
こんな問題大学の理系学部出たやつなら
答えられて当たり前 自慢にもならん
966:１３２人目の素数さん
23/02/27 14:07:05.27 SbnoCAdL.net
>>881
なるほど
おーい、>>851のおサルさん、なんか反応しなよｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
あんたの考えていた解答を書いてみなよ！ｗｗ
967:１３２人目の素数さん
23/02/27 14:12:36.84 SbnoCAdL.net
>>882
ばかサルがｗｗ ｗｗｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
そもそも、あんたの出題>>851が不備不完全だろ？ｗｗｗｗ
院試じゃ、こんな出題はダメダメだよ
そっから直せ！ｗｗ
968:１３２人目の素数さん
23/02/27 14:15:05.40 SbnoCAdL.net
>>880
情報ありがとう
参考にさせて頂きます！
969:１３２人目の素数さん
23/02/27 15:25
970::29.93 ID:m6ruGQ69.net
971:１３２人目の素数さん
23/02/27 15:33:58.63 m6ruGQ69.net
対数的の定義すら理解できん
大阪馬鹿爺が何をコピペしても
消化できずに下痢するだけ
やめとけやめとけ
972:１３２人目の素数さん
23/02/27 15:39:37.12 m6ruGQ69.net
自称数学者氏は
一般人にもわかる説明を書くか
諦めて研究に戻るか
どっちか決断する時
前者を希望するが
数学者は身勝手な幼児ばかりだから
到底無理だろう
数学の能力と人格の成熟度は無関係
973:１３２人目の素数さん
23/02/27 15:49:52.85 MGx5FJPo.net
>>888
>>前者を希望するが
>数学者は身勝手な幼児ばかりだから
>>到底無理だろう
リクエストをありがとう
何か考えておきたい
974:１３２人目の素数さん
23/02/27 17:19:57.76 7wiAdeCA.net
>>868
>>870
おっちゃんが書いたのは>>853だよ
普段から根拠のない予想は止めとけといっているのに、また予想は的中せず外れたな
まあ、サイズがデカく分厚い本を多く持っている人が
マンションの狭い部屋にサイズがデカく分厚い本を収納するとき、
>>853のような事態は起こり得るとは思う
というか現実に起きている
小さいバルコニーのような室外機置き場を定期的に掃除しないと、
小さいバルコニーのような室外機置き場ににゴミがたまる一方だからな
975:１３２人目の素数さん
23/02/27 17:36:22.73 7wiAdeCA.net
全く、狭い部屋から小さいバルコニーのような室外機置き場に出るにあたり、
掃き出し窓かドアで出れるように狭い部屋を設計すればいいのに、
何でわざわざ外に出にくい腰高窓に狭い部屋を取り付けて設計したのか理解に苦しむ
976:１３２人目の素数さん
23/02/27 17:42:34.91 V7uPpKjX.net
>>889
貴方のことは三男君とお呼びしとこう
977:１３２人目の素数さん
23/02/27 17:43:44.40 7wiAdeCA.net
腰高窓に狭い部屋を取り付けて設計したのか理解に苦しむ
→ 腰高窓を狭い部屋に取り付けて狭い部屋を設計したのか理解に苦しむ
978:１３２人目の素数さん
23/02/27 19:18:53.61 MGx5FJPo.net
>>892
長男なんだけどな
まあ呼び名は何でもよい
適当な話題があるかどうかわからないが
一般人にもわかるように説明できることが出てきたら
登場させてもらうことにする
979:１３２人目の素数さん
23/02/27 21:41:15.74 k+s6pKPe.net
>>880
下記は、論文でなく
”A short course on multiplier ideals”のレクチャーらしい
ざっと読んだけど、ほとんど分からなかったｗ
けど、Introduction読むと、
”The revolutionary work of Hacon-McKernan, Takayama and Birkar-Cascini-Hacon-McKernan ([14], [15], [28], [3]) ”
とあるから、流れは合っているね
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
[Submitted on 6 Jan 2009]
A short course on multiplier ideals
Robert Lazarsfeld
These notes are the write-up of my 2008 PCMI lectures on multiplier ideals. They aim to give an introduction to the algebro-geometric side of the theory, with an emphasis on its global aspects. The focus is on concrete examples and applications. The lectures take into account a number of recent perspectives, including adjoint ideals and the resulting simplifications in Siu's theorem on plurigenera in the general type case. While the notes refer to my book [PAG] and other sources for some technical points, the conscientious reader should arrive at a reasonable grasp of the machinery after working through these lectures.
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
980:.pdf Introduction These notes are the write-up of my 2008 PCMI lectures on multiplier ideals. They aim to give an introduction to the algebro-geometric side of the theory, with an emphasis on its global aspects. Besides serving as warm-up for the lectures of Hacon, my hope was to convey to the audience a feeling for the sorts of problems for which multiplier ideals have proved useful. Thus I have focused on concrete examples and applications at the expense of general theory. While referring to [21] and other sources for some technical points, I have tried to include sufficient detail here so that the conscientious reader can arrive at a reasonable grasp of the machinery by working through these lectures. つづく
981:１３２人目の素数さん
23/02/27 21:41:38.76 k+s6pKPe.net
>>895
つづき
The revolutionary work of Hacon-McKernan, Takayama and Birkar-Cascini-Hacon-
McKernan ([14], [15], [28], [3]) appeared shortly after the publication of [21], and these
papers have led to some changes of perspectives on multiplier ideals. In particular, the first
three made clear the importance of adjoint ideals as a tool in proving extension theorems;
these were not so clearly in focus at the time [21] was written. I have taken this new viewpoint
into account in discussing the restriction theorem in Lecture 3. Adjoint ideals also open the
door to an extremely transparent presentation of Siu’s theorem on deformation-invariance
of plurigenera of varieties of general type, which appears in Lecture 5.
(引用終り)
以上
982:１３２人目の素数さん
23/02/27 23:44:35.91 k+s6pKPe.net
>>896 追加
1. Construction and Examples of Multiplier Ideals
This preliminary lecture is devoted to the construction and first properties of multiplier ideals.
We start by discussing the algebraic and analytic incarnations of these ideals.
After giving the example of monomial ideals, we survey briefly some of the invariants of singularities that can be defined via multiplier ideals.
＜google訳 一部手直し＞
1. 乗法イデアルの構成と例
この予備講義は、乗法イデアルの構築と最初の特性に専念しています。
これらのイデアルの代数的および解析的な具体化について議論することから始めます。
monomial idealsの例を示した後、乗法イデアルを介して定義できる特異点の不変量のいくつかを簡単に調べます。
（monomial ideal）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Monomial ideal
In abstract algebra, a monomial ideal is an ideal generated by monomials in a multivariate polynomial ring over a field.
A toric ideal is an ideal generated by differences of monomials (provided the ideal is a prime ideal). An affine or projective algebraic variety defined by a toric ideal or a homogeneous toric ideal is an affine or projective toric variety, possibly non-normal.
983:１３２人目の素数さん
23/02/27 23:48:27.38 k+s6pKPe.net
>>897 追加
>monomial idealsの例を示した後、乗法イデアルを介して定義できる特異点の不変量のいくつかを簡単に調べます。
なるほど
細かいことは別として、”乗法イデアルを介して定義できる特異点の不変量”がキモなんだろうね
つまり、乗法イデアルと特異点の不変量とは、相性が良いのかな？
984:１３２人目の素数さん
23/02/28 06:29:57.63 w9+O4k9n.net
e1^2=e^2=1 e1e2=-e2e1 とする
e1e2e1e2=-e1e1e2e2=-1となる
a,b∈Rとして
(cosθ-sinθe1e2)(ae1+be2)(cosθ+sinθe1e2)
=((acosθ-bsinθ)e1+(asinθ+bcosθ)e2)(cosθ+sinθe1e2)
=((acos^2θ-bcosθsinθ)e1+(acosθsinθ+bcos^2θ)e2
+(acosθsinθ-bsin^2θ)e2+(-asin^2θ-bcosθsinθ)e2
=((a(cos^2θ-sin^2θ)-b(2cosθsinθ))e1+(b(cos^2+sin^2θ)+a(2cosθsinθ))e2
=(acos2θ-bsin2θ)e1+(bcos2θ+asin2θ)e2
で、ベクトルae1+be2の角度2θの回転が実現できる
びっくりするほどクリフォード！
985:１３２人目の素数さん
23/02/28 06:51:41.37 w9+O4k9n.net
e1e2=iとすれば、a+be1e2は複素数とみなせる
a+be1e2+ce2e3+de3e1は四元数となる
で、a^2+b^2+c^2+d^2=1とすれば
(a-be1e2-ce2e3-de3e1)(fe1+ge2+he3)(a+be1e2+ce2e3+de3e1)
で、ベクトルfe1+ge2+he3の回転が実現できる
（暇な人は確かめ
986:てみて） びっくりするほどクリフォード！
987:１３２人目の素数さん
23/02/28 07:15:27.05 Lp1W0+I5.net
>>896
Takayamaはこの人
高 山 茂 晴 (TAKAYAMA Shigeharu)
東京大学
数理解析学大講座 教授
研究分野 複素幾何学
研究テーマ
多重標準束と乗数イデアル層
研究概要
複素代数多様体を解析的な手法を用いて研究している.直線束の特異エルミート計量,
乗数イデアル層, 小平型コホモロジー消滅定理を応用することで多様体の様々な
代数的・幾何的な性質を研究している.最近は特に多重標準束,
およびその相対版に付随したホッジ計量に興味を持っている.
あと、乗法イデアルじゃなく、正しく乗数イデアルと書いてほしい。
論文
Heier G. and Takayama S.: Effective degree bounds for generalized Gauss
map images, Advanced Studies in Pure Math., Math. Soc. Japan.
他多数
988:１３２人目の素数さん
23/02/28 08:12:29.60 P4XFllxB.net
>>901
ありがとう
>あと、乗法イデアルじゃなく、正しく乗数イデアルと書いてほしい。
了解です
素人なもので、>>863の乗法イデアルにミスリードされてました
確かに、題目は ”乗数イデアルの局所的性質の研究”だからね
用語の混乱に気づかなかった
多分初期に、若干の訳語に混乱があったのでしょう
で、
乗数イデアルで検索しないと、情報がヒットしませんね
>高 山 茂 晴
>東京大学 数理解析学大講座 教授
なるほど、都立大から東大の教授か
高山先生、才能あったんだ
学部で5年かかったのは、病気で休学かな
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
高山 茂晴
学歴
- 1995年東京都立大学 理学研究科 数学
- 1990年東京都立大学 理学部 数学
989:１３２人目の素数さん
23/02/28 08:19:21.62 P4XFllxB.net
>>902
>乗数イデアルで検索しないと、情報がヒットしませんね
追加
検索すると、下記ヒット
うーん、川又 雄二郎先生はすごいね
この人、ノーベル賞基準だと、森重文先生より、こちらが受賞だったかも
ただ、数学では「最後のギャップを埋めた人がえらい」みたいな基準で、それまでの基礎部分が軽視されがちです
ちょっと、この本を図書館に頼んで、眺めてみようと思う
そうそう下記”3次元フリップ定理の証明が非常に難しかったことを思い出すと感慨の深いものがある。ログを使った問題の定式化の勝利であるともいえる」（本書232頁）”
とあるから、logの由来は、川又先生かな。広中の特異点解を見たけど、logの由来は見つからなかったから
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
高次元代数多様体論 (岩波数学叢書)
by川又 雄二郎
レビュー
susumukuni
5.0 out of 5 stars 極小モデル理論における近年の新展開を大家が解説する素敵な書
Reviewed in Japan on April 19, 2015
今世紀に入ってから得られた高次元代数多様体論の最高成果の一つに、「非特異射影的複素代数多様体の標準環は有限生成である」という定理があるが、この結果は「KLT対（X,B）に対し、その対数的標準因子（Kx+B）が巨大ならば、（X,B）には極小モデルが存在する」（ビルカー-カシーニ-ヘーコン-マッカーナン。以下BCHMと略記する）という極小モデル理論の素晴らしい定理の系として導かれている。本書はこの「標準環有限生成
990:定理」の証明を最終目標とし、その目標に向け極小モデル理論の誕生からの進展とブレークスルーをこの分野の大家である川又先生が解説される待望の書である。 つづく
991:１３２人目の素数さん
23/02/28 08:21:09.99 P4XFllxB.net
>>903
つづき
本書は三つの章からなる。第1章では「極小モデルプログラム」（MMP）を定式化するための準備として、「広中の特異点解消定理」、小平の消滅定理の拡張である「川又-フィーベックの消滅定理」、境界付き代数多様体でMMPにおける考察の対象となるログ対であるKLT（川又ログ末端的）、DLT（因子ログ末端的）、LC（ログ標準的）などのクラスが解説されている。第2章ではMMPを定式化するための二つの基礎定理である「固定点自由化定理」と「錐定理」の証明が与えられ、MMPの実行プロセスが解説されている。この章の後半ではMMPの高次元（特に4次元以上）での実行に有効な手段を提供する「スケール付きMMP」（本書では「直線的MMP」）、「端射線の長さの評価」、「因子的ザリスキー分解」、「ショクロフ多面体」、乗数イデアル層を使った「多重対数的標準形式の拡張定理」が述べられている。第3章では上記のBCHMの主定理と有限生成定理の証明が与えられ、最後に「今後の課題」（アバンダンス予想＝LC対の対数的標準因子がネフならば半豊富であるという予想、フリップの終結予想、正標数への拡張、など）と「関連する話題」に触れられている。
本書を通読して印象に残った事を以下に述べてみたい。
第1章で解説されている「広中の特異点解消定理」（「強い意味でのログ特異点解消」を保証する）と「川又-フィーベックの消滅定理」が、極小モデル理論において極めて重要な役割を果たしている事が良く分かる。また、境界付き代数多様体において、KLTとLCというクラスの中間に、DLTというクラスを導入した事で、（劣同伴公式を使った）次元に関する帰納的な議論が可能になり、対数的MMP（LMMP）の近年の新展開の大きな成功要因だったのではないかという印象を持った。
つづく
992:１３２人目の素数さん
23/02/28 08:21:27.83 P4XFllxB.net
>>904
つづき
第2章の前半は、MMPの現代的な定式化に関する最大の功労者の一人である著者自身による基礎定理たちの解説であるので、とても面白く精読に値すると思う。良く知られている様に、対数的標準因子が負となる端射線には収縮写像が付随し、それが双有理写像になるのは「因子収縮写像」、「小さな収縮写像」の何れかである。後者の場合、収縮後の対数的標準因子はR-カルティエにならず（対数的標準因子の比較ができず）都合が悪い、そこで考案されたのが「フリップ」という操作である。因子収縮写像でも、フリップでも、対数的標準因子を減少させる操作であるため、双有理同値類から対数的標準因子が極小となる「極小モデル」を抽出するMMPにうまく適合している事が分かる。MMPの成功の基を質すと、フリップという素晴らしいアイディアにある事に思い当たる。これを初めて考案した研究者は誰（森先生？）なのか評者は知らない（歴史に詳しい専門家の方々からご教示頂けると嬉しい）。
第3章は、ショクロフ、シウ（Siu）、ヘーコンとマッカーナン、BCHM、などの素晴らしい着想と成果が協奏する本書のハイライトといえる。ここで活用される重要なテクニックに、「スケール付きMMP」と「PLフリップへの還元」の二つがある。またフリップの存在をPLフリップの存在に還元する「PLフリップの存在定理」の証明には、シウに始まる「乗数イデアルを用いる拡張定理」とショクロフによる「漸近的充満条件」が活用されており素晴らしい。ここでは「PLフリップの存在定理」、「特殊終結定理」、境界が相対的に巨大であるという条件下での「極小モデルの存在定理」と
993:「非消滅定理」（対数的標準因子が擬有効ならば、弱有効（＝有効因子と数値的同値）という定理）などが次元による大掛かりな帰納法によって証明されており、その素晴らしさに読者は感銘を覚えられることと思う。 この分野の大家である著者による的を射た言明が本書を更に魅力あるものにしている。 そのような例を以下に二つほど紹介して、このレビューを終わりたい。「このようにしてフリップ定理が一般次元で証明されることになった。3次元フリップ定理の証明が非常に難しかったことを思い出すと感慨の深いものがある。ログを使った問題の定式化の勝利であるともいえる」（本書232頁）。 (引用終り) 以上
994:１３２人目の素数さん
23/02/28 10:09:30.62 pbmbC7sl.net
>>903 タイポ訂正
logの由来は、川又先生かな。広中の特異点解を見たけど、logの由来は見つからなかったから
↓
logの由来は、川又先生かな。広中の特異点解消を見たけど、logの由来は見つからなかったから
995:１３２人目の素数さん
23/02/28 13:34:16.84 0tKKYx/f.net
>Siu
漢字で書くと「蕭」
996:１３２人目の素数さん
23/02/28 14:55:36.82 MErIDKOL.net
Chinese: 蕭蔭堂; born May 6, 1943 in Guangzhou, China
997:１３２人目の素数さん
23/02/28 14:58:17.19 MErIDKOL.net
Guangzhou=広州
998:１３２人目の素数さん
23/02/28 15:21:33.06 ZsY/Fvm2.net
六祖恵能の寺がある
999:１３２人目の素数さん
23/02/28 15:42:54.69 pbmbC7sl.net
>>907-909
ありがとう
University of Hong Kongか
ヤウ先生と同じか・・
1943生まれだと、ヤウ先生の先輩なんだ！
知らなかったな、素人なので（苦笑）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Yum-Tong Siu
Yum-Tong Siu (Chinese: 蕭蔭堂; born May 6, 1943 in Guangzhou, China) is the William Elwood Byerly Professor of Mathematics at Harvard University.
Siu is a prominent figure in the study of functions of several complex variables. His research interests involve the intersection of complex variables, differential geometry, and algebraic geometry. He has resolved various conjectures by applying estimates of the complex Neumann problem and the theory of multiplier ideal sheaves to algebraic geometry.[1][2]
Education and career
Siu obtained his B.A. in mathematics from the University of Hong Kong in 1963, his M.A. from the University of Minnesota, and his Ph.D. from Princeton University in 1966.[3]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シン＝トゥン・ヤウ（Shing-Tung Yau）、中国名丘 成桐（きゅう せいとう, 1949年4月4日 - ）は、香港出身のアメリカ人の数学者。ハーバード大学教授。
1969年に香港中文大学を卒業。カリフォルニア大学バークレー校で陳省身に学び、1971年に博士号を取得。同年プリンストン高等研究所でポスドクとなる。
1982年 - フィールズ賞
1000:１３２人目の素数さん
23/02/28 17:55:39.40 ZsY/Fvm2.net
Semi-continuity of complex singularity exponents and Kähler-Einstein metrics on Fano orbifolds
Jean-Pierre Demailly, János Kollár
URLﾘﾝｸ(doi.org)
§4. Multiplier ideal sheaves and holomorphic approximations of psh singularities
The most important concept relating psh functions to holomorphic objects is
the concept of multiplier ideal sheaf, which was already considered implicitly in
the work of Bombieri [Bom70], Skoda [Sko72] and Siu [Siu74]. The precise final
formalization has been fixed by Nadel [Nad89].
1001:１３２人目の素数さん
23/02/28 19:51:00.98 w9+O4k9n.net
>>900
Euler's formula
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
�
1002:S元数を用いた３次元空間の回転を表す拡張版の公式 Euler?Rodrigues formula https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Rodrigues_formula
1003:１３２人目の素数さん
23/02/28 19:55:16.43 w9+O4k9n.net
Eulerは複素数だけでなく四元数も知っていた！
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1004:１３２人目の素数さん
23/02/28 21:04:22.87 P4XFllxB.net
>>903
>高次元代数多様体論 (岩波数学叢書) by川又 雄二郎
これ、下記の試し読みPDFで、かなり読める
特に、下記”あらすじ”が秀逸だ
これは、絶対一読の価値あるね！
なお、誤植見つけ！ｗ、下記のP4で
”特に(小平)消滅定理は，標数 0 では成立しない
ことが知られているので，この本の内容は基本的に標数 0 に限った結果となっている．”
は、ヘンです。
標数 0 では成立しない
↓
標数 0以外 では成立しない
ですね（下記wikipediaご参照）
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波 高次元代数多様体論 川又 雄二郎 2014
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
試し読み 目次 まえがき
あらすじ
P4
標数 0 に特有の二つの大定理（広中の特異点解消
定理と小平の消滅定理）を解説する．特に消滅定理は，標数 0 では成立しない
ことが知られているので，この本の内容は基本的に標数 0 に限った結果とな
っている．
P5
（2）基礎体 k は複素数体 C であるとして話を進めてきたが，k は標数が 0
の代数的閉体でさえあれば，どんな体でも同じ証明が通用する．さらに，代数
的閉体でなくても，わずかの修正で一般の体の場合に拡張ができる．一方，k
が正標数の体である場合には，同様の結論（極小モデル理論の各種の定理や標
準環有限生成定理）が期待されてはいるが，この本における証明は次の 2 点で
破綻する．まず，証明の各所で特異点解消定理が使われているが，この定理は
正標数では未解決問題である．さらに，消滅定理が証明の重要なポイントで使
われるが，この定理は正標数では反例がある．そのため，基礎体の標数が正で
ある場合の議論は，ほとんど進んでいない．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
小平消滅定理
Raynaud (1978) は標数が p > 0 の体上では上式が必ずしも成立しないことを示した。特に、レノー曲面（英語版）に対して成立しないことを示した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Kodaira vanishing theorem
(引用終り)
以上
1005:１３２人目の素数さん
23/02/28 21:27:08.16 Lp1W0+I5.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) vanishing theorem
1006:１３２人目の素数さん
23/02/28 21:29:32.02 Lp1W0+I5.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
1007:１３２人目の素数さん
23/02/28 21:33:44.61 Lp1W0+I5.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
1008:１３２人目の素数さん
23/02/28 21:36:13.64 Lp1W0+I5.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
1009:１３２人目の素数さん
23/02/28 21:41:26.04 Lp1W0+I5.net
Advances in Mathematics
Volume 409, Part A, 19 November 2022, 108640
Advances in Mathematics
Bogomolov-Sommese vanishing and liftability for surface pairs in positive characteristic
Tatsuro Kawakami
1010:１３２人目の素数さん
23/03/01 05:21:39.05 Mim5K/GS.net
高山の弟子の論文↓
Bogomolov-Sommese type vanishing theorem for holomorphic vector bundles equipped with positive singular Hermitian metrics
Yuta Watanabe
1011:１３２人目の素数さん
23/03/01 07:56:56.14 WuF
1012:VYFkU.net
1013:１３２人目の素数さん
23/03/01 08:25:30.45 WuFVYFkU.net
>>922 追加
>L^2-methods in complex differential geometry 辻 元 2003. 11
下記ですね
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
Surveys in Geometry, Special Edition
落合卓四郎先生還暦記念
2003年10月29日(水)～11月1日(土)
東京大学数理科学研究科(駒場)
11:15 -- 12:15 辻元 (上智大理工) $L^2$ methods in complex differential geometry
予稿集原稿
辻 gzipped ps, pdf,
1014:１３２人目の素数さん
23/03/01 08:39:46.94 Mim5K/GS.net
辻の原稿の文献の最後はこれ
[24] H. Tsuji, Finite generation of canonical ring, in preparation.
2003年にはすでにBCHMを予見していたようだ。
1015:１３２人目の素数さん
23/03/01 11:38:49.04 Ad/XWAWT.net
>>924
>[24] H. Tsuji, Finite generation of canonical ring, in preparation.
> 2003年にはすでにBCHMを予見していたようだ。
おお、ありがとう
その文献部分は、下記ですね
「標準環の構造」からアプローチしているのか
Theorem 6.2 ([24]) は、 AZD を仮定している
つまり、エルミート計量を必要とする？
それがネックかな？
”Conjecture 2 非特異代数多様体の標準環は有限生成である”は、あったんだね
MMPのためには、特異点を扱う必要はあるのだが URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（正直、細部の数学はほとんどお経ですがｗ）
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
P8
6 標準環の構造
X を非特異代数多様体 KX
R(X, KX) := 〇+∞ m=0 H^0(X, OX(mKX))
を標準環という。
標準環に関しては次の予想が重要である。
Conjecture 2 非特異代数多様体の標準環は有限生成である�
1016:B この予想については、次の事実が Wilson により指摘されている。 Theorem 6.1 X を非特異代数多様体とする。 R(X, KX)が有限生成であ ることとある整数 m >= 1 が存在して、μ : Y -→ X を | mKX |≠ 0 の底点解 消とするとき、μ*| mKX | の固定成分は全てブローダウンされることは同値 である。 これに関連して、次の定理が得られる。 Theorem 6.2 ([24]) X を一般型代数多様体とする。 h を KX の AZD と する。このとき、| mKX | の安定固定成分は (KX, h) に関する自明でない数 値的自明ファイブレーションを持つ。 注 P4 AZD(解析的 Zariski 分解) 実は、直線束が擬正であることと AZD を持つことは同値である。このよう な AZD の構成は、例えば次のようになされる。 X, L を定理のものとする。 さて A を十分正な直線束とする。 h0 を L の滑らかなエルミート計量とする。 また hA を A の正の曲率をもつ滑らか なエルミート計量とする。X にケーラー計量 g を定めておく。このとき 略 h∞ := (lim sup m→∞ m√Km)^-1 とおくとこれが、AZD である。
1017:１３２人目の素数さん
23/03/01 11:47:57.50 Ad/XWAWT.net
>>925 補足
> 6 標準環の構造
>標準環に関しては次の予想が重要である。
>Conjecture 2 非特異代数多様体の標準環は有限生成である。
ここ、下記ですね
>>915より
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波 高次元代数多様体論 川又 雄二郎 2014
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
試し読み 目次 まえがき
あらすじ
P6
この本の主定理は，ビルカー（Birkar），カシーニ（Cascini），ヘーコン（Hacon），マッカーナン（McKernan）によって証明された次の定理である（［15］）：
定理 0. 0. 1（標準環の有限生成定理） 任意の滑らかで射影的な複素代数多
様体 X に対して，標準環 R(X, KX) は C 上有限生成な次数付き環になる．
証明には極小モデル・プログラム（minimal model program = MMP）を使
う．この本の主要な部分は，極小モデル・プログラムの基礎を解説すること
で占められる．
1018:１３２人目の素数さん
23/03/01 12:10:28.70 Ad/XWAWT.net
>>906
>logの由来は、川又先生かな。広中の特異点解消を見たけど、logの由来は見つからなかったから
下記ここらがlogの淵源か
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vyacheslav Shokurov born 18 May 1950
Work on birational geometry
Log flips
in 1985, Shokurov published a paper titled The nonvanishing theorem, which became a cornerstone for the whole MMP as it was used in the proofs of such fundamental theorems as the Cone theorem and the Semi-ampleness theorem. Also in this paper, Shokurov proved the termination of three-dimensional flips. And even though he proved this only for three-dimensional varieties, most of his techniques were later generalized by Yujiro Kawamata to obtain similar results for varieties of any dimension.
One of Shokurov's ideas formed a basis for a paper titled 3-fold log flips where the existence of three-dimensional flips (first proved by Shigefumi Mori) was established in a more general log setting. The inductive method and the singularity theory of log pairs developed in the framework of that paper allowed most of the paper's results to be later generalized to arbitrary-dimensional varieties. Later on, in 2001, Shokurov announced the proof of the existence of 4-dimensional log flips, whose complete version appeared in two books: Flips for 3-folds and 4-folds and Birational geometry: linear systems and finitely-generated algebras. An application of Shokurov's ideas concerning the existence of log flips has led to the paper Existence of minimal models for varieties of log general type by Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon and James McKernan.
つづく
1019:１３２人目の素数さん
23/03/01 12:11:08.85 Ad/XWAWT.net
>>927
つづき
（google訳 一部手直し）
この
1020:論文では、Shokurov が 3 次元フリップの終了を証明しました。そして、彼がこれを証明したのは 3 次元多様体だけでしたが、彼の技法のほとんどは後に川又雄二郎によって一般化され、あらゆる次元の多様体に対して同様の結果が得られました。 Shokurov のアイデアの 1 つは、 3-fold log Flipsというタイトルの論文の基礎を形成し、 3 次元フリップの存在 (森重文によって最初に証明された) が、より一般的なログ設定で確立されました。その論文の枠組みの中で開発された帰納法と対数対の特異点理論により、論文の結果のほとんどを後に任意次元の多様体に一般化することができました。その後、2001 年に Shokurov は 4 次元対数フリップの存在の証明を発表し、その完全なバージョンは 2 冊の本に掲載されました: Flips for 3-folds and 4-foldsとBirational geometry: linear systems and 有限生成代数. log flipsの存在に関するショクロフの考えを応用すると、Caucher Birkar、Paolo Cascini、Christopher Hacon、James McKernanによる対数一般型の多様体の極小モデルの存在になる。 (引用終り) 以上
1021:１３２人目の素数さん
23/03/01 12:26:19.94 Ad/XWAWT.net
>>926 追加
下記 ”歴史的な経緯から，これをログ組（log pair）と呼び”
か ”in 1985,”>>927かね？
森先生のフィールズ賞の解説を読んだ記憶があるが
そのときに、ログの話があったような・・、忘却のかなたですが
まあ、ここらが、ログ（log）の起源か
”岩波 高次元代数多様体論 川又 雄二郎”を、そのうちながめてみよう
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波 高次元代数多様体論 川又 雄二郎 2014
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
試し読み 目次 まえがき
あらすじ
P6
極小モデル理論における証明は，次元やピカール数などの整数値不変量をう
まく使った数学的帰納法を使う．これがうまく機能するためには，考える対象
のカテゴリーを広くとることが必要になる．これが，ログ版（log version）と
相対版（relative version）への拡張である．
ログ版においては，単独の代数多様体 X の代わりに，X とその上の R-因
子 B の組 (X, B) を考える．歴史的な経緯から，これをログ組（log pair）と呼
び，B を境界因子（boundary divisor）と呼ぶ．ここで，R-因子（R-divisor）B
= bjBj は，余次元 1 の部分多様体 Bj たちの実数 bj を係数とする形式的有
限一次結合である．bj たちが有理数の場合には，Q-因子（Q-divisor）と呼ぶ．
標準因子 KX の代わりに，対数的標準因子（log canonical divisor）KX + B が
主役になる．
1022:１３２人目の素数さん
23/03/01 12:33:18.53 Emk+WQGo.net
>>925
>（正直、細部の数学はほとんどお経ですが）
「まったくお経」の誤りだろ
一つでも理解できたことあったか？
何処だ 具体的に書いてみろ
嘘つきは焼かれて食われるぞ
1023:１３２人目の素数さん
23/03/01 12:37:14.42 Emk+WQGo.net
何がlogicかも分からんのに
何だか分かったと嘘つくゴキブリは
粉末にされて食われちまえ
1024:１３２人目の素数さん
23/03/01 12:43:14.36 Emk+WQGo.net
>>931
誤 logic
正 log
1025:１３２人目の素数さん
23/03/01 13:27:38.23 ErsTZhIh.net
>>ログ版においては，単独の代数多様体 X の代わりに，X とその上の R-因
>>子 B の組 (X, B) を考える．歴史的な経緯から，
>>これをログ組（log pair）と呼び，
>>B を境界因子（boundary divisor）と呼ぶ．
こういうものを考えるきっかけは
小平先生の東大での講義
Nevanlinna理論 小平邦彦述 ; 酒井文雄記
（東大数学教室セミナリー・ノート, 34）
であったと、飯高先生から頂いた葉書に書いてありました。
1026:１３２人目の素数さん
23/03/01 14:35:00.58 ErsTZhIh.net
Multiplier ideal sheaves and analytic methods in algebraic geometry
by J.-P. Demailly
in School on vanishing theorems and effective results in algebraic geometry
25 April-12 May 2000
URLﾘﾝｸ(www.ictp.trieste.it)
1027:１３２人目の素数さん
23/03/01 14:36:56.94 ErsTZhIh.net
URLﾘﾝｸ(www.ictp.trieste.it)
1028:１３２人目の素数さん
23/03/01 14:43:13.88 ErsTZhIh.net
URLﾘﾝｸ(www.semanticscholar.org)
1029:１３２人目の素数さん
23/03/01 15:16:52.73 Ad/XWAWT.net
>>933
>であったと、飯高先生から頂いた葉書に書いてありました。
ありがとう
なるほど
やっぱ飯高先生か
下記の[12]
”logの理論は,[12]ではコンパクト多様体の理論を非コンパクトなものへ拡張する
ためのものだつたが,この論説では,[K9]でも述べたように,逆にこれを再びコンパクトなもの
へ応用することを考える”だね
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/45巻(1993)4号/書誌
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
極小モデル理論の最近の発展について
川又雄二郎(1993年4月28日提出)
[K6]で述べたように,3次元代数多様体に対する極小モデルの存在定理は森[Mo2]によつて
証明が完結したが,残つていたいわゆるアバンダンス予想(良性予想)についても[K11]で最終
的に解決された.こうして,代数曲面のイタリア式分類定理と同様の結果が3次元でも成り立つこ
とが分かつた.この論説では,logの理論の応用という点を中心にしてその事情の解説を試みる。
アバンダンス定理の証明の最終段階で,Shokurov[S2]によるlogフリップの存在定理が有効
に使われた.logの理論は,[12]ではコンパクト多様体の理論を非コンパクトなものへ拡張する
ためのものだつたが,この論説では,[K9]でも述べたように,逆にこれを再びコンパクトなもの
へ応用することを考える．コンパクト多様体上に境界を設定することによってlog化して考えるの
である.§1ではその例として,Q一因子に対する小平消滅定理について述べる.この定理は高次元
代数多様体論の基本的な道具になつた.§2では対数的極小モデルの存在定理を,そして§3ではア
バンダンス定理を解説する.
つづく
1030:１３２人目の素数さん
23/03/01 15:17:32.66 Ad/XWAWT.net
>>937
つづき
§1.logの理論
幾何学では普通コンパクトな多様体を考える.例}ば,射影的多様体とは射影空間の部分多様体
のことでコンパクトである.滑らかでコンパクトな代数多様体Xの代りに,Xとその上の正規交
差因子Bの対(X,B)を考えるのがlogの理論の出発点である.ここでBは境界に対応する.
飯高[12]によれば,X上の正則微分形式の代りに高々Bに極を持つ対数的微分形式を用いれば,
コンパクトなXに対する理論と平行に開いた多様体X＼Bの理論が構成できる.例えば,滑らか
なアフィン多様体Xに対しては,広中の特異点解消定理を使つてXを滑らかな射影的多様体X
にB=X＼Xが正規交差因子になるように埋めこみ,高々Bに極を持つ対数的微分形式を考察する.
文献
[Ⅰ2]飯高茂,代数と幾何一代数多様体の種数と分類Ⅱ一,数学,29(1977),334-349。
(引用終り)
以上
1031:１３２人目の素数さん
23/03/01 16:13:26.43 To6Gmf1w.net
やれ川又だ飯高だと人名ばかり声高に叫ぶばかりで
肝心のlogがちっとも出てこねえなこのウマシカ野郎
対数（微分）形式てえのは
d log z/dz=dz/z の一般化だろう
そんなことも思いつかねえ
ど素人が数学なんぞ興味持つな
やめちまえこのウマシカ野郎
1032:１３２人目の素数さん
23/03/01 16:18:20.22 To6Gmf1w.net
>>939
ついでにいっとくが
対数形式を導入したのは日本人じゃねぇ
ドリーニュだ 覚えとけ
俺もたった今知ったばかりだがな
今の今まで気が付かねぇ
浪速の高卒ウマシカ野郎より
全然賢いってもんだぜ
どうだ参ったか このウマシカ野郎
1033:１３２人目の素数さん
23/03/01 16:51:36.84 ErsTZhIh.net
>>940
>>ログ版においては，単独の代数多様体 X の代わりに，X とその上の R-因
>>子 B の組 (X, B) を考える．歴史的な経緯から，
>>これをログ組（log pair）と呼び，
>>B を境界因子（boundary divisor）と呼ぶ．
こういうものを考えるきっかけは
小平先生の東大での講義
Nevanlinna理論 小平邦彦述 ; 酒井文雄記
（東大数学教室セミナリー・ノート, 34）
であったと、飯高先生から頂いた葉書に書いてありました。
1034:１３２人目の素数さん
23/03/01 17:10:04.10 Ad/XWAWT.net
>>938
>[I2]飯高茂,代数と幾何一代数多様体の種数と分類II一,数学,29(1977),334-349。
なるほど。これが”ログ(log)”の起源ですね。納得です
これ、格調高いね
なお、飯高先生は最後の方で、”川又の対数変形[13]”に言及している
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
代数多様体の種数と分類II 飯高茂 1977年29巻4号p.334-349
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
序論
代数と幾何は密接に関連している.それを明確
にはじめて打ち出したのはR.Descartesの解析幾
何であろう。その後R.Dedekind,1,.Kronecker
らのイデアル論の発展をへて,A.Grothendieckに
よるスキームの理論が誕生し,可換環と代数多様
体はスキームとして美しく統一され,両者の相互
関係は余すところなく解明された.図表化すると,
解析幾何
↓
イデアル論
↓
スキームの理論
↓
？
？にあたるものはいろいろあるに違いない。こ
こでは,そこに入るべき1つの見方を提出して,
読者の批判を受けてみたい。
スキームによる可換環と代数多様体の統合は,
必ずしも幸福をもたらさなかった.両者にある興
味深い性質,重要な理論を捨てて,形式上の統一
を成就させた感が残るのは否めない.さてひとま
ず,可換環と代数多様体の構造的類似を書きつら
ねてみよう.以下k=C'と仮定する.
P4
§2.対数形式.
(V,V,D)を非特異3対としよう。高々Dにの
み極を許す有理1型式の芽の層を91(*D)とかく。
さてV上の層Ω^1(logD)をP.Deligne[1]にした
がつて定義する
つづく
1035:１３２人目の素数さん
23/03/01 17:10:34.38 Ad/XWAWT.net
>>942
つづき
P5
さらにi>0に対し,Ω^i(logD)=∧^iΩ^i(logD)
とおき,Dに沿って対数的極をもつVの有理a
型式,略して,Vの対数Z型式の芽の層とよぶ
この大域切断の空間170(V,2(1ogD))はDeligne
のHodge理論[1]において詳しく研究され,たと
えば,これらの元はd閉型式であることが示され
た。
対数微分すると,
略
P7
すなわち,Dに対数的極を許すことによりふえる
1型式の次元はbl(V)bl(V)という位相幾何的不
変量である。これこそ第3種微分の基本定理なの
であった。これをきっかけにVの準Albanese写
像が定義される.
P12
略
は固有双有理正則写像であり,
これに対数的公岐公式を適用する:
略
ところで,
A^2-V(x^p(1十α1x十…十σm-p-1x^m-p-1十x^m-py)+b)
は、A＾2-V(xmy・+1)の川又の対数変形であり
[13],極めて簡単なものといってよい
(引用終り)
以上
1036:１３２人目の素数さん
23/03/01 17:34:25.69 Ad/XWAWT.net
>>940
なんだ？オチコボレが、この話にいっちょカミしたいの？ｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
>対数形式を導入したのは日本人じゃねぇ
>ドリーニュだ 覚えとけ
違うな
ドリーニュと飯高の差分を取るべし
下記のように、DeligneのHodge理論[1]そのままではなく
それをテンソル積を使って拡張していますよ
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
代数多様体の種数と分類II飯高茂1977年29巻4号p.334-349
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
P4
§2.対数形式.
P5
略はDeligneのHodge理論[1]において詳しく研究され,たと
えば,これらの元はd閉型式であることが示され
た。さて,われわれの双有理幾何では,もう少し
一般な層を考察する方がよい.すなわち,M=
(m1,…,m%)を非負整数の組とし,Ω^1(1ogD)のm1
回Ov上テンソル積,Ω^2(logD)のm2回テンソル
積,…,…mn.回テンソル積を考え,これらのす
べてのテンソル積をΩ(logD)^Mとかき,
略
文 献
[1 ] P. Deligne, Theorie de 1-lodge II, Publ. Math.
de I. H. P. S. N., 40 (1973), 5-57.
1037:１３２人目の素数さん
23/03/01 17:44:01.77 gDA28FZb.net
>>944
>この話にいっちょカミしたいの？
高卒は歯がないから全然噛めてねぇじゃん
>ドリーニュと飯高の差分を取るべし
最初はドリーニュ
貴様の負け 日本の大敗北
1038:１３２人目の素数さん
23/03/01 19:06:16.28 ErsTZhIh.net
Logarithmic vanishing theorems on compact K¨ahler manifolds I
Chunle Huang, Kefeng Liu, Xueyuan Wan, and Xiaokui Yang
この論文によれば
The basic properties of the sheaf of logarithmic differential forms and of the sheaves with logarithmic integrable connections on smooth projective manifolds were developed by Deligne in [5].
[5] Deligne, P. Equations differentielles `a points singuliers
reguliers. Springer Lect. Notes Math. 163
(1970).
URLﾘﾝｸ(doi.org)
1039:１３２人目の素数さん
23/03/01 20:53:45.03 WuFVYFkU.net
次スレ立てた
スレタイとテンプレに、”乗数イデアル”を含めましたｗ
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1040:１３２人目の素数さん
23/03/01 22:54:17.03 WuFVYFkU.net
>>947
ありがとう
wikipediaに記事がある
特に英文では、The concept was introduced by Pierre Deligne.[1]
とあるので、符合しますね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対数的微分形式
複素多様体論や代数多様体論では、対数的(logarithmic)微分形式は、ある種類の極をもつ有理型微分形式である。
X を複素多様体とし、D ⊂ X を因子、ω を X?D 上の正則 p-形式とする。ω と dω が D に沿って大きくとも 1 の位数の極を持つとき、ω を D に沿って対数的極を持つという。ω は対数的 p-形式とも呼ばれる。対数的 p-形式はD に沿った X 上の有理 p-形式の層をなし、次のように書く。
Ω^p X(log D).
リーマン面の理論では、次の局所表現を持つ対数的 1-形式が存在する。
ここに g は 0 で正則で 0 とはならなく、m は f の 0 でのオーダーである。すなわち、ある開被覆が存在し、この微分形式の対数微分としての局所表現が存在する（通常の微分作用素 d/dz の中の外微分 d を少し変形する）。ω が整数の留数の単純極を持つだけであることに注意する。高次元の複素多様体では、ポアンカレ留数（英語版）(Poincare residue)は、極に沿った対数的微分形式の振る舞いを記述することに使われる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Logarithmic form
In algebraic geometry and the theory of complex manifolds, a logarithmic differential form is a differential form with poles of a certain kind. The concept was introduced by Pierre Deligne.[1]
In short, logarithmic differentials have the mildest possible singularities needed in order to give information about an open submanifold (the complement of the divisor of poles). (This idea is made precise by several versions of de Rham's theorem discussed below.)
Logarithmic differentials in algebraic geometry
つづく
1041:１３２人目の素数さん
23/03/01 22:54:51.39 WuFVYFkU.net
>>948
つづき
Historical terminology
In the 19th-century theory of elliptic functions, 1-forms with logarithmic poles were sometimes called integrals of the second kind (and, with an unfortunate inconsistency, sometimes differentials of the third kind).
For example, the Weierstrass zeta function associated to a lattice
Λ in C was called an "integral of the second kind" to mean that it could be written
ζ(z)=σ '(z)/σ(z)
In modern terms, it follows that
ζ(z)dz=σ(z)/σ is a 1-form on C with logarithmic poles on Λ , since Λ is the zero set of the Weierstrass sigma function σ(z).
Mixed Hodge theory for smooth varieties
Over the complex numbers, Deligne proved a strengthening of Alexander Grothendieck's algebraic de Rham theorem, relating coherent sheaf cohomology with singular cohomology.
Notes
[1] Deligne (1970), section II.3.
References
Deligne, Pierre (1970), Equations differentielles a points singuliers reguliers, Lecture Notes in Mathematics, vol. 163, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0061194, ISBN 3540051902, MR 0417174, OCLC 169357
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
対数微分法のやり方と例題～x^x の微分 2021/03/07
(引用終り)
以上
1042:１３２人目の素数さん
23/03/01 23:14:50.61 WuFVYFkU.net
>>939
>対数（微分）形式てえのは
>d log z/dz=dz/z の一般化だろう
あんたの言い方ならば、下記
>>948-949 Logarithmic form
Historical terminology
In the 19th-century theory of elliptic functions, 略
ζ(z)=σ '(z)/σ(z)
In modern terms, it follows that
ζ(z)dz=σ(z)/σ is a 1-form on C with logarithmic poles on Λ , since Λ is the zero set of the Weierstrass sigma function σ(z).
などとあるから
19世紀のWeierstrassまで遡るぜよｗｗｗ
そこまで行けば、URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
対数微分法のやり方と例題
そのものじゃんかｗ
だから、19世紀のWeierstrassに対して、Deligne氏のオリジナルな部分があるんだろ？
そして、Deligne氏に対して、MMPでは飯高氏のオリジナルな工夫があるってことよ
おっさん、>>945の 日本の大敗北ってなに？ｗ
あのな
数学は生き物です
20世紀のDeligne氏から、2023年のいま、なにがしかの進歩はしているんだよ
それだけでなく、Deligne氏の理論を喰って、MMPに貢献した日本人が居たことは事実だろう
あと、ビルカー（Birkar），カシーニ（Cascini），ヘーコン（Hacon），マッカーナン（McKernan）で全て終わったわけじゃない
オープンも残っているだろう？
岩波 高次元代数多様体論 川又 雄二郎 2014 >>926 に書いてあるみたいだな
1043:１３２人目の素数さん
23/03/02 02:32:32.17 VrkpXNWd.net
体論を使わずにガロアの理論を平易に説明する本はあるか？
1044:１３２人目の素数さん
23/03/02 07:19:03.13 um/GF8z8.net
>>951
13歳の娘に語る ガロアの数学 – 2011/7/29
金 重明 (著)
1045:１３２人目の素数さん
23/03/02 08:22:43.95 FptXa6Ac.net
>>951
＞体論を使わずにガロアの理論を平易に説明する本はあるか？
ガロアの第一論文です
ガロアが第一論文を書いたとき、体論はなかった
代わりに、Galois resolvent 下記 を、使いました
あとは、下記 松田 修など
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
Matsuda’s Web Page
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
・ ガロア理論入門ノート ＝＞ ガロア理論を理解しよう
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
数学の魅力をイメージする
ガロア理論のストーリー
（19 世紀のフランスの少年が作った理論）
松田 修
2022 年 11 月 14 日
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(Galois_theory)
Resolvent (Galois theory)
Terminology
・A Galois resolvent is a resolvent such that the resolvent invariant is linear in the roots.