23/02/25 08:41:54.48 6s04KzyG.net
>>762
みんな君の方が異常だと気付いている
860:１３２人目の素数さん
23/02/25 08:56:24.46 ZowC59iz.net
>>763 補足
>>709より 金子晃氏が、有限要素法による偏微分方程式の解法の広義をしている
有限要素法で扱う行列は、いまどきは軽く数万ｘ数万を超えるんじゃない？
（例えば、3Dで各100分割なら100^3＝100万になる）
手計算やったら、何十年でも 終わらんぞ！ｗｗｗ
このクラスになると、エクセルではなく、専用ソフト使うけど
だからさ、数学科で落ちこぼれたアホは、世間を知らない
金子晃氏は、世間を知っている
URLﾘﾝｸ(www.kanenko.com)
ようこそ, アレクセイカーネンコ応用数理研究室へ!
Welcome to Alexei KANENKO's Web Site! （金子晃）
URLﾘﾝｸ(www.kanenko.com)
平成９年度(1997)の開講講義
応用微分方程式論(大学院・前期) 有限要素法の入門講義をしました.
URLﾘﾝｸ(www.kanenko.com)
応用微分方程式論(大学院・前期)(1997)
本講義は微分方程式の実用的側面を毎年テーマを選んで解説するものであり, 本年度のテーマは有限要素法とする.
有限要素法とは，一言でいえば領域を三角形など簡単な形状を持った要素に分割して， 区分一次函数などの初等的な基底を用いた線型代数の計算で，難しい偏微分方程式の 問題をすいすい解いてしまおうというものである.
本講義ではおおむね C. Johnson 著 『Numerical solution of partial differential equations by the finite element method』(Cambridge University Press) に基づき, この理論の基礎的部分を解説する.
だいたい同書の第７章くらいまでを目標とし, 楕円型の境界値問題については ほぼ一通りの知識を得ることを目指す.
これに実際のプログラミングの解説を補って実習もしてもらう予定である.
第１２回(７月９日)：補間誤差と有限要素法の解の誤差評価の話を終え, 巨大行列の解法に入った.
861:１３２人目の素数さん
23/02/25 08:58:03.76 ZowC59iz.net
>>764
ホイよ
>>765より
"だからさ、数学科で落ちこぼれたアホは、世間を知らない
金子晃氏は、世間を知っている"
862:１３２人目の素数さん
23/02/25 09:42:01.09 ZowC59iz.net
>>765
追加
下記などを
2013年の「京」100万×100万の密行列
今は、富岳ですしね
あと、河村知記氏 博士論文とか
3x3の行列の計算を手でできるうんぬんを問うセンスがね
世間しらずだよ
アホとしか言いようがないな
https:スラド/13/12/06/1957243/
スラド
理研、100万×100万の巨大行列の固有値計算を1時間で達成
ストーリー by headless 2013年12月07日
理化学研究所がスーパーコンピューター「京」を使い
863:、100万×100万の密行列の固有値を1時間で計算することに成功したそうだ( 報道発表資料、 60秒でわかるプレスリリース)。 https: //dspace.jaist.ac.jp /dspace/bitstream /10119/17001/5/ paper.pdf 博士論文 GPGPUによる超大規模連立一次方程式の 求解高速化に向けた省メモリ指向疎行列格納方式 に関する研究 河村 知記 主指導教員 井口 寧 北陸先端科学技術大学院大学 情報科学研究科 令和 2 年 9 月 概 要 近年，自組織内の小規模な計算資源を使用するオンサイト環境での大規模かつ高精度 な数値シミュレーションの需要が拡大している．数値シミュレーションで度々用いられる Finite Different Method (FDM) や Finite Element Method (FEM) は，最終的に大規模な 連立一次方程式を解く必要があり，膨大な計算量となる．
864:１３２人目の素数さん
23/02/25 09:44:44.10 ZowC59iz.net
>>767
なんかURLが通らない
必要ならば
適当に検索たのむ
865:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:14:13.19 Bp7ZbkYv.net
>>763
> もっと大きくなると、下記のようなソフトがあるよ
そんなもん使わなくても
866:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:15:58.36 Bp7ZbkYv.net
>>769
EXCELでも計算できるだろ
ま、自分で数式入れる必要はあるけど
一回やれば何度でも使えるから
867:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:17:33.58 Bp7ZbkYv.net
>>764
そして君も異常仲間 よかったな
868:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:19:25.11 Bp7ZbkYv.net
>>765
でも、君、そもそも有限要素法知らないんでしょ？
正則行列も知らないくらいだから
終わってるな 人として
サルは数学なんか諦めて別のことしなよ
869:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:20:58.85 Bp7ZbkYv.net
>>766
>>数学科で落ちこぼれたアホは、世間を知らない
一般教養の数学で落ちこぼれたドアホは、ただの人に成り下がる
ま、もともとただの人だったんだから成り下がったわけじゃないか
870:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:23:53.95 Bp7ZbkYv.net
>>768
> なんかURLが通らない
へんな日本語
> 必要ならば
そもそも君はこの板に全く必要ない
他所いっていいよ
ここには君の友だちのサルは一匹もいないから
871:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:36:40.32 ZowC59iz.net
>>752 追加
>・そもそも行列式は、何を表しているのか？
行列式とは
貴田 研司
・定理（線形変換）
n 行列 A が線形変換の表現行列のとき
① det Aの絶対値は，この線形変換による体積の拡大率を表す．
・行列式とは本質的には，交代・多重線形写像である（行列式の一意性）
https:
//www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/12/2021/03/PP92-99.pdf
東海大学紀要情報通信学部
Vol.10,No.1,2017,pp.92-99
大学初年次における数学教材の提案（その 9）
～行列式の定義～
貴田 研司
あらまし
まず，行列式を平行多面体の体積として幾何学な定義をしたのち，線形変換の表現行列の行列式の意味について解
説する．さらに，行列式の公理を紹介し，行列式は，本質的には交代性と多重線形性をもつ写像であり，一意性をも
つことについて述べる．
2. 行列式の幾何学的定義
定理（線形変換）
n 行列 A が線形変換の表現行列のとき
① det Aの絶対値は，この線形変換による体積の拡大率を表す．
② det Aの符号は，この線形変換が空間の向きを保つか，それとも逆転するかを表す．
3. 行列式の公理
行列式とは本質的には，交代・多重線形写像である．この章では，行列式の第 1 定義（implicit な定義）に
ついて述べる．
定理（行列式の一意性）
上記の行列式関数 F は，ただ一つだけ存在する．
まず具体的に，2 次行列の場合について証明する．
4. おわりに
本論文では，最初に行列式の定義ありきの解説とした．もっと遡ると，行列式の起源は，連立一次方程式の一
般的解法にあり，1678 年のライプニッツの書簡が初出と言われている．今現在よく知られている行列式の定義
が，どのようにして導き出されたのかについては，髙木貞治著「代数学講義 改訂新版」4 )を参照されたい．
参考文
872:献 1) 小寺平治「明解演習 線形代数」共立出版，1982 2）齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会，1966 3）金子晃「線形代数講義」サイエンス社，2004 4）髙木貞治「代数学講義 改訂新版」共立出版，1965
873:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:39:52.11 ZowC59iz.net
>>775
> 3）金子晃「線形代数講義」サイエンス社，2004
おお！
アレクセイカーネンコ！！>>765
874:１３２人目の素数さん
23/02/25 10:57:20.90 ZowC59iz.net
>>775 追加
検索ヒットしたので、ついでに貼る
（こんな話ありましたね。昔聞いた）
https:
//www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/12/2021/03/PP24-30.pdf
東海大学紀要情報通信学部
Vol.9,No.1,2016,pp.24-30
大学初年次における数学教材の提案（その２）
～微分方程式と行列の指数関数～
貴田 研司
あらまし
大学初年次の数学科目において，微分積分と線形代数が別々に講じられる．ところがこの2科目の共通領域について
触れる機会が少なすぎるのが現状である．そこで応用例として，連立微分方程式を行列の指数関数を用いて解く方法
についての詳しい解説をしてみたい．
参考文献
1） 石原繁・浅野重初「理工系入門微分積分」裳華房,1999
2） 柴田正憲・貴田研司「情報科学のための線形代数」コロナ社,2009
3） 齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会,1966
4） 横山雄一「線形代数」昭晃堂,1975
5） 渡辺昌昭「わかりやすい微分方程式」共立出版,1997
6） 三宅敏恒「微分方程式―やさしい解き方―」培風館,2007
7） 松坂和夫「線型代数入門」岩波書店,1980
8） 韓太舜・伊理正夫「ジョルダン標準形」東京大学出版会,1982
875:１３２人目の素数さん
23/02/25 11:12:09.22 ZowC59iz.net
>>777 追加
行列とか何か？
その存在はあまりにも巨大です
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列
数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。
歴史
線型方程式の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。紀元前10世紀から紀元前2世紀の間に書かれた中国の書物『九章算術』は連立方程式の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ[3]、それには行列式の概念が含まれていた。
行列の抽象代数的側面と一般化
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の（可換とは限らない）体や環としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソルは、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである[29]。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群を成す。
応用
行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。例えば、ゲーム理論や経済学における利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Matrix (mathematics)
History
Matrices have a long history of application in solving linear equations but they were known as arrays until the 1800s. The Chinese text The Nine Chapters on the Mathematical Art written in 10th?2nd century BCE is the first example of the use of array methods to solve simultaneous equations,[103] including the concept of determinants. In 1545 Italian mathematician Gerolamo Cardano introduced the method to Europe when he published Ars Magna.[104] The Japanese mathematician Seki used the same array methods to solve simultaneous equations in 1683.[105]
876:１３２人目の素数さん
23/02/25 13:42:33.92 ZowC59iz.net
>>703 猪瀬氏の追加
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
Academia e-Network Project
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
数学雑記帳 (by 猪瀬博司)2012-05-07
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
内容見出
1 No 17 数学雑記帳 IV (1965.3)
・ p10 行列式の性質
・ p37 クラメールの公式の証明
3 No 21 数学雑記帳 VI
・1966.4.20 行列式の特有性質
? p8 アンドレフスチルエルの公式グラム行列 (fi, fj ) の行列式
? p24 行列式についての定理・公理
4 No 23 数学雑記帳 VI （p58 1967年計画 p78 セミナー 67.5 1.より）
・p47 12 月 19 日現在
? 現代代数学 冬休み 現代代数学 & スミルノフ
? 行列
? スミルノフ
(引用終り)
現代代数学 本で検索すると、下記2点
スミルノフと並べて書いてあるし
ファン・デル・ヴェルデン 現代代数学 だろう
（服部昭 現代代数学は、昭和43年（1968）だし（下記）、このノートは1967年頃だからね）
追記：
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
P59 来年度計画で”4 行列と行列式征服”とある（これ1967年度の時なら猪瀬さん高2ですね）
記
ファン・デル・ヴェルデン 現代代数学1 単行本 ? 2018/11/8
アマゾン
URLﾘﾝｸ(www.)<)アマゾン.co.jp ? 現代代数学-近代数学講...
この本には、演習書、現代代数学演習もあり、解答もきちんとついているので、ある程度、代数学に慣れた方が身を入れて勉強するのには好適だと思います。
URLﾘﾝｸ(www.kosho.or.jp)
日本の古本屋
現代代数学 ＜近代数学講座 1＞
著者
服部昭 著
出版社
朝倉書店
刊行年
昭和43年2月初版
877:１３２人目の素数さん
23/02/25 14:19:12.85 ZowC59iz.net
>>703 猪瀬氏の追加
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
Academia e-Network Project
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
数学雑記帳 (by 猪瀬博司)2012-05-07
URLﾘﾝｸ(www.ac-net.org)
No 23 数学雑記帳 VI （p58 1967年計画 p78 セミナー 67.5 1.より）
・p72 数学セミナー 61 エレガントな解答を求む
（三角形の平面幾何問題の解答をノートしている）
(引用終り)
数学セミナーの創刊が下記 1962.4だから、No 61だと1967.4 か
数学セミナーは、大学に入ってから読んだけど、”エレガントな解答を求む”のページは難しかったので、眺めていただけだったｗ
猪瀬さん、すごいわ
ノート表紙に洛北とあるから、洛北高校かな？（下記）
1969年 東大入試が無かった年、京都大学も選択肢だったろうに
東大数学科修士を見据えた、東工大進学だったかもね
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナーバックナンバー 60年代
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー 1962.4
本号の詳細
巻頭言 数学と現代文化 創刊のことば 遠山啓 1
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
京都府立洛北高等学校・附属中学校
概要
1870年に日本最古の旧制中学校として創立された京一中（京都一中）を前身とする公立の高等学校。戦前から戦後にかけて京都大学へ多数の進学者を送り出す位置にあったが[1]、京都府は高校三原則の模範例となり、トップ校であった本校は1948年に廃校とされる。1950年に再発足するも総合選抜など入試制度等改定の影響もあり、進学実績に関しては振るわないようになっていった。
878:１３２人目の素数さん
23/02/25 14:37:25.43 ZowC59iz.net
>>780 補足
なるほどね
森重文氏は、大学数学の先取りはしていなかったというが
猪瀬氏は、高校時代にすでに、大学の数学を先取りしていたんだね
もし、ご長命ならば、森さんと比較される存在だったかも
879:１３２人目の素数さん
23/02/25 15:07:29.59 ZowC59iz.net
>>729 追加
森重文氏の”極小モデルの存在を3次元の場合に示すことに成功し、1990年に京都で開かれた国際数学者会議でフィールズ賞を受けた”
では、下記 1988年 日本数学会秋季賞 - 代数多様体の極小モデル理論（川又雄二郎との共同受賞）とある
>>702より
”数学にかけし若き命 数学者・猪瀬博司
遺稿集発行有志会編集（飯高茂）”
で、猪瀬博司氏と飯高茂氏とが同じ研究室だとしたら、彼も代数多様体の研究をしていたかも
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森重文
1988年 日本数学会秋季賞 - 代数多様体の極小モデル理論（川又雄二郎との共同受賞）[20]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
川又 雄二郎（1952年9月29日 -）は、日本の数学者、東京大学大学院数理科学研究科名誉教授
専門は代数幾何学、特に高次元代数多様体。対数的代数多様体の研究、代数的ファイバー空間の半正値性（アーベル多様体の双有理的特徴づけ）、消滅定理とその応用、極小モデルの存在と性質、双有理変換（3次元での存在と有界性）、多重微分形式の延長、連接層の導来圏との関係などを研究。
人物
東京都生まれ。1971年、東京教育大学附属高等学校（現：筑波大学附属高等学校）卒業
1977年、東京大学大学院修士課程修了。理学博士
ICM招待講演 (1990)、日本学士院賞 (1990)、日本数学会秋季賞 (1988)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
飯高茂
飯高 茂（1942年5月29日 -）
1967年東京大学理学部数学教室助手、専任講師、助教授を経る。
1971年から72年まで米国プリンストン高等研究所（I.A.S.）研究員。1985年から学習院大学理学部数学科教授。2013年名誉教授[2]。
代数幾何学のリーダーとして世界的に知られるフィールズ賞受賞者小平邦彦の正統な後継者の一人であり、代数多様体の研究で重要となる双有理変換に着目し、その性質を研究するために『小平次元』の理論を構築して、代数幾何学研究の一つのパラダイムを提唱し、研究を牽引してきた。1970年頃、飯高予想と呼ばれる予想を提起した。現在も未解決である[3][4]。なお、飯高予想の6次元以下については、2018年度フィールズ賞受賞者のコーチェル・ビルカー (Caucher Birkar) が証明している
880:１３２人目の素数さん
23/02/25 15:24:25.79 ZowC59iz.net
>>782
蛇足だが追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーチェル・ビルカー（博士課程 イヴァン・フェセンコ�
881:j ビルカーは現代双有理幾何学への重要な貢献者の一人である[6]。 2018年、ビルカーに、「ファノ多様体の境界性の証明と極小モデルプログラムへの貢献」に対して、フィールズ賞が授与された[9]。
882:１３２人目の素数さん
23/02/25 15:26:20.06 ZowC59iz.net
>>778 タイポ訂正
行列とか何か？
↓
行列とは何か？
883:１３２人目の素数さん
23/02/25 16:12:49.52 6s04KzyG.net
2006年の
Birkar-Cascini-Hacon-McKernanは
衝撃的であった
884:１３２人目の素数さん
23/02/25 18:16:00.11 ZowC59iz.net
>>771
>>>764
>そして君も異常仲間 よかったな
>>764の彼が、異常かどうかは別問題として
>>764「みんな君の方が異常だと気付いている」
の彼は
>>653の”東大の一年生向けのセミナーの教材がこれだったが
いきなり原書講読だったのでたまげた”の人
つまり 多分 >>452の
”東大数学科 日銀の次期総裁・植田和男氏と知り合い”
だと思う
おれは、「みんな君の方が異常だと気付いている」！
は、正しいと思うぞ
885:１３２人目の素数さん
23/02/25 19:00:55.77 ZowC59iz.net
>>785
> 2006年の
>Birkar-Cascini-Hacon-McKernanは
>衝撃的であった
ありがとう
こういうときは、英文版かな(下記)
2006年 arxiv投稿で、2010年 jamsなのか
さすがに、内容は素人には読めないね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Caucher Birkar 1978 生まれ
英国に移住すると、彼はクルド語で「移民数学者」を意味する Caucher Birkar に名前を変更した
2018 年に「ファノ多様体の有界性の証明と最小モデル プログラムへの貢献に対して」フィールズ賞を受賞
(google訳)
Paolo Cascini、 Christopher Hacon、James McKernanとともに、Birkar は、Vyacheslav Shokurovと Haconの初期の研究に基づいて、対数反転の存在、対数正準環の有限生成、対数一般型の多様体の極小モデルの存在など、いくつかの予想を解決しました。[18]
対数正準特異点の設定において、彼は対数反転の存在を極小モデルと存在量予想の重要なケースとともに証明しました。(これは、Hacon とChenyang Xuによっても独立して証明されました)
References
18 C. Birkar, P. Cascini, C. Hacon, J. McKernan Existence of minimal models for varieties of log general type, J. Amer. Math. Soc. 23 (2010)
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
[Submitted on 5 Oct 2006 (v1), last revised 14 Aug 2008 (this version, v2)]
Existence of minimal models for varieties of log general type
Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher D. Hacon, James McKernan
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
JOURNAL OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 23, Number 2, April 2010, Pages 405?468
EXISTENCE OF MINIMAL MODELS FOR VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE
CAUCHER BIRKAR, PAOLO CASCINI, CHRISTOPHER D. HACON,AND JAMES MCKERNAN
Contents
1. Introduction
1.1. Minimal models
1.3. Fano varieties
1.4. Birational geometry
2. Description of the proof
2.2. Standard conjectures of the MMP
3. Preliminary results
4. Special finiteness
5. Log terminal models
886:１３２人目の素数さん
23/02/25 19:19:00.66 ZowC59iz.net
>>787 追加
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
JOURNAL OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 23, Number 2, April 2010, Pages 405?468
EXISTENCE OF MINIMAL MODELS FOR VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE
CAUCHER BIRKAR, PAOLO CASCINI, CHRISTOPHER D. HACON,AND JAMES MCKERNAN
P2
1. Introduction
The purpose of this paper is to prove the following result in birational algebraic geometry:
Theorem 1.1. Let (X, Δ) be a projective Kawamata log terminal pair.
(引用終り)
最初の10ページくらい斜めに読んだ
”projective Kawamata log terminal pair”みたく
”Kawamata”が沢山出てくるね
”Kawamata”＝川又 雄二郎氏 >>782 だね
川又さんの仕事が、ベースなんだ
2018 年 Caucher Birkar 氏 フィールズ賞で、このとき森重文氏はIMUの総裁だったから、彼に賞推薦の1票を入れたろうね
887:１３２人目の素数さん
23/02/25 19:32:27.57 ZowC59iz.net
>>788 追加
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
J-STAGEトップ/数学/72 巻 (2020) 1 号/書誌
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
フィールズ賞受賞者紹介
Caucher Birkar氏の業績
??数学的帰納法のオンパレード??
權業 善範
1 導入
最初に曲面論の復習から始める．S を非特異複素射影曲面とする．このとき，古典的な Castelnuovo
の収縮定理により (?1)-曲線1) を見つけると何か新しい非特異射影複素曲面 S が取れて S → S は
一点爆発となる．これを繰り返して，(?1)-曲線がない非特異射影複素曲面を構成するのが古典的な極
小モデル理論である．今回の Birkar 氏の仕事はこの古典理論の高次元化の延長線上にある．
高次元の極小モデル理論とは，フリップと因子的収縮のいくつかの双有理写像の合成 (極小モデル
プログラム，略して MMP) を用いることで，代数多様体を次の三種類に双有理的に分ける分類論で
ある：(1) ファノ多様体によるファイバー空間 (特に森ファイバー空間と呼ばれるファノファイバー
空間の特別なもの)，(2) カラビ・ヤウ多様体によるファイバー空間2)，(3) 標準モデル．一般次元に
おいては，まだ未解決であり，双有理幾何学の大きな問題として残っている．最初の代数多様体が非
特異多様体であったとしても，MMP のアウトプットとして得られる上記三種類の多様体が特異点を
持ちうることは，1970 年頃より上野氏の例 [23, 16 章] として知られている．したがって我々はその
アウトプットは常に特異点を許して理論を構築しなければならない．幸運にも考えるべきその特異点
は，端末特異点と呼ばれる特異点論においては非常に良い性質を持つ特異点であることが，この極小
モデル理論を動機に後々に知られるようになった．また次元による帰納法，分岐被覆による帰着など
のテクニカルな要請により，飯高プログラムにおける対の特異点および，対数的標準特異点 (LC)，ま
たは川又対数的端末特異点 (KLT) で考えることが最近では主流である．MMP はそういうクラスで
もうまくいくことが知られるようになった (cf. [10])．
つづく
888:１３２人目の素数さん
23/02/25 19:32:57.66 ZowC59iz.net
>>789
つづき
さらに，極小モデル理論の動機は代数多様体の分類論にある．分類論において，モジュライ空間を
構成することは非常に重要である．極小モデルプログラムのアウトプットに現れる多様体を次元など
の適切な不変量を固定して全て集めたときに，その有界性を示すことは極めて重要であり，そのクラ
スのモジュライ理論の幕開けであるといっても過言ではない．今回 Birkar 氏の功績はこのようなス
トーリーの上にあるといってよい．Birkar 氏のフィールズ賞の授賞理由は ‘極小モデル理論への貢献
とファノ多様体の有界性’ であり，‘極小モデル理論への貢献’ というのはいわゆる論文 BCHM3) の
ことであると思う．すでにこれについては藤
889:野修氏が [9] で詳しく解説していたので，詳細はそちら を参照してもらいたい．今回この小論では ‘ファノ多様体の有界性’ にフォーカスを当てて詳しく解 説していきたい． (引用終り) 以上
890:１３２人目の素数さん
23/02/25 19:46:00.75 ZowC59iz.net
>>790
>藤野修氏が [9] で
これか、なるほど
[9] 藤野修, 極小モデル理論の新展開, 数学, 61 (2009),162?186.
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
論 説 極小モデル理論の新展開 藤 野 修
1 はじめに
代数多様体の双有理分類論は代数幾何学の中心問題のひとつである. 19 世紀の Riemann による曲
線論, 20 世紀初頭のイタリア学派による曲面論などに始まり, 小平の複素解析曲面の分類論やロシア
の Shafarevich 学派の研究などを経て, 低次元の代数多様体に関してはほぼ満足のいく分類が得られ
ている. 3 次元以上の代数多様体の双有理分類を初めて組織的におこなったのは飯高 [ I1 ] であろう.
70 年代初め, 一般の代数多様体に対して小平次元なる概念を導入し, 双有理分類論への第一歩を踏み
出した. 対数的小平次元の定義, 小平次元に関する飯高加法予想など, 様々な貢献があった ([ I2 ]). こ
れらを総称して飯高計画と呼ぶ. 80 年代に入ると森による森理論 (ここでは極小モデル理論と呼ぶこ
とにする) が双有理分類論の標準理論になる. Hartshorne 予想の解決 [M1] の際にあみ出した手法を
駆使し, 代数多様体の双有理写像の情報を凝縮した錐定理 [M2] を証明したのである. これによって双
有理分類論の進むべき道が明らかになったという画期的な仕事であった ([M5] 参照). その後, 極小モ
デル理論は, 広中の特異点解消定理と川又?Viehweg 消滅定理 (小平の消滅定理の一般化, 定理 28 参
照) を基礎とするコホモロジー論的な一般論と, 森による非常に精密な特異点の分類結果を積み上げ
ていくことになる. 80 年代後半には 3 次元で極小モデルの構成に成功し ([M4]), 森は 90 年に京都で
フィールズ賞を受賞する. 90 年代前半には極小モデル理論関連の予想は 3 次元でほぼすべて満足な形
で解決されてしまった.
次に考えるべき問題としては, 極小モデル理論の高次元化であった. ところが, 森による 3 次元の
結果は特異点の詳細な分類結果 ([M3], [M4]) に大きく依存しており, 3 次元の手法をそのまま高次元
化するのは不可能であった. 大発展の後の停滞期が続いたのである.
つづく
891:１３２人目の素数さん
23/02/25 19:46:26.79 ZowC59iz.net
>>791
つづき
極小モデル理論の初期段階から
たくさんのアイデアを出し続けていた Shokurov が 4 次元の極小モデルの構成を完成させたと主張し
たのは 2000 年頃であったと思う ([Sh4]). Shokurov の論文 ([Sh2], [Sh3], [Sh4]) はアイデアの宝庫
であるが, その難解さも格別である. ケンブリッジのニュートン研究所での Shokurov の論文 [Sh4] の
解読セミナー [BOOK]1) を経て, ここ数年, Hacon と McKernan を中心に急激な発展が再び始まっ
た ([HM3], [BCHM]). 数年前までは当分解決不能と思われていた大予想が次々に陥落しているので
ある.
今回はその大発展の一端を紹介したいと思う. この 20 年間の Shokurov のアイデアと, Siu に
よる乗数イデアルを用いた巧妙な拡張定理の手法 [Si1] の出会いが, 今回の大発展の切っ掛けである.
手っ取り早く大結果のひとつを述べておく.
定理 1 ([BCHM]) X を複素数体上定義された非特異射影代数多様体とする. このとき, 標準環
Lm>=0 H0 (X, OX(mKX)) は有限生成次数付き C-代数である.
もちろん X の次元は任意である. 代数幾何学を少し勉強したことのある人なら, 上の定理の強力さ
が分かると思う. 以下すべて複素数体 C 上で考えることにする. 特異点解消定理とコホモロジーの消
滅定理を自由に使うには, 基礎体の標数が零である必要があるからである. 1 章の残りでは [BCHM]
の主定理と主な系を述べる. 2 章では古典的な極小モデル理論, 対数的極小モデル理論, そしてスケー
ル付き極小モデル理論を解説する. 2.2 に必要な用語をまとめてある. 3 章では pl フリップと呼ばれ
る特別なフリップの存在問題について解説する. このフリップの存在定理が [HM3] の主結果である.
4 章は少し話題を変えて, 乗数イデアルとその応用として得られた結果のいくつかを説明する. 最近の
極小モデル理論の発展の背後にある話題である. 5 章で [BCHM] の証明のからくりについて論じる. 6
章に [BCHM] で実際に証明されたことを集めておいた. 最後の 7 章では, 今後の課題と極小モデル理
論関連の最近の結果のいくつかを述べる.
(引用終り)
以上
892:１３２人目の素数さん
23/02/25 20:17:53.34 ZowC59iz.net
>>791
藤野先生、追加
これ、面白い
私でも読めたｗ
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
飯高予想について
大阪大学大学院理学研究科数学専攻 藤野 修 令和 2 年 6 月 3 日
概 要
飯高予想に関して色々述べる。ほぼ雑談である
目 次
1 はじめに 2
2 飯高予想とは？ 2
3 飯高プログラムとその時代背景 2
4 1970 年代の飯高プログラム 3
5 1980 年代の飯高プログラム 4
6 飯高プログラム冬の時代 5
7 1990 年代 5
8 飯高予想との出会い 7
9 私の個人的な不満 7
10 私の本の歴史 8
11 今回の集中講義で扱った話題の記録 10
12 さいごに 12
1 はじめに
2020 年の 5 月に名古屋大学の多元数理科学研究科で飯高予想に関する
集中講義をする予定であった。残念ながら新型コロナの影響で集中講義
はメディア授業となってしまい、なんとなく中途半端な欲求不満の残る
集中講義になりそうである。通常の形での集中講義なら、思い出話や研
究の裏話などを盛り込む予定であった。そのような話のいくつかをここ
に書き残しておきたい。
2 飯高予想とは？
つづく
893:１３２人目の素数さん
23/02/25 20:18:23.69 ZowC59iz.net
>>793
つづき
1996 年から 1997 年にかけて数理研はミラー対称性や高次
元代数多様体論のスペシャルイヤーであったと思う。数学教室の廊下の
掲示板に数理研のプロジェクト関連の来日予定数学者一覧というような
紙が貼ってあった。当時の私はその貼り紙を見て、数理研の大学院に進
学して一般次元の代数多様体を分類してしまおう！と軽く考えたのかも
しれない。若者は自分の能力を理解していないので、全部解決しちゃえ
ばいいのだ！と思って数理研に進学することを決めたように思う。1997
年に大学院に進学し、そこから私の高次元代数多様体論の修業生活が始
まるのであるが、当時は高次元代数多様体論は冬の時代だったと思う。3
次元極小モデル理論は 1980 年頃から 1990 年代初め頃で主要な問題はほ
ぼ全て解決されていた。4 次元以上の多様体についての極小モデル理論は
まだまだわからないことだらけであった。1980 年代に 3 次元極小モデル
理論のブームに乗った比較的若い人たちは新たな研究対象を見つけ、様々
な方向に研究を展開していっている感じであった。当時の森脇先生は私
がいるところで山木さん (私の同級生で森脇先生の学生) に向かって「も
う双有理幾何学はやることないよ」
894:と言っていた。いずれにせよ、私が 高次元代数多様体の双有理分類を目指して大学院に進学した当時は、飯 高プログラムはおろか極小モデル理論も冬の時代だったような気がする。 ちなみに、最近聞いたフィールズ賞受賞者である Caucher Birkar の講演 では、1990 年代初めに 3 次元極小モデル理論関連の問題がほぼ全て完成 したあと 2000 年過ぎの Shokurov の仕事までの間を drought(干ばつ) と表 現していた。 (引用終り) 以上
895:１３２人目の素数さん
23/02/25 23:32:13.67 ZowC59iz.net
>>785
> 2006年の
>Birkar-Cascini-Hacon-McKernanは
>衝撃的であった
戻る
藤野修, 「極小モデル理論の新展開」 >>791
を読むと
・「衝撃的」は、もちろん ”Birkar-Cascini-Hacon-McKernan”が、
予想以上に広範囲で強力であったこともあるが
・”森の結果は特異点の詳細な分類結果 ([M3], [M4]) に大きく依存しており, 3 次元の手法をそのまま高次元化するのは不可能”で
4次元も、特異点の分析が必要と思っていたし、さらには、5次元ｂ燗ｯ様・・と思ｂﾁていた
＝Eところが、Shokurov のアイデアを発展させると、多数の次元を一気に解決できてしまった（次元に依存しない形で？）
それが、Birkar-Cascini-Hacon-McKernanだったってことか
896:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:34:21.25 HNnDjHCG.net
>>786
> ”東大の一年生向けのセミナーの教材がこれだったが
> いきなり原書講読だったのでたまげた”
> ”東大数学科 日銀の次期総裁・植田和男氏と知り合い”
東大入りたかったけど入れなかった
大阪の負け犬がなんか吠えとる
ま、東大理Ⅰいっても工学部のクソ学科じゃ意味無いがな
897:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:37:05.23 HNnDjHCG.net
>>787-795
負け犬が毎度恒例の
「わけもわからずコピペ」
で吠えまくってるな
哀れ
898:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:37:46.70 lKvrLaqy.net
工学部の冶金出身の人と
大学院のセミナーで一緒だった。
精密機械出身の人には
志村理論のさわりを
聞かせてもらった。
899:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:42:11.06 HNnDjHCG.net
>これ、面白い 私でも読めた
数式なしの平文読んで
面白いと吠える
実質高卒の素人
900:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:43:07.19 HNnDjHCG.net
>>798
さわりでおわり
それが工学部の実力
901:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:45:37.66 HNnDjHCG.net
工学部の連中が数学に憧れるのは分からなくもない
工学は学問じゃなくただの知恵だからな
しかも職人の身体的な技とくらべたら
鼻糞ほどの価値もない
そりゃ自慢にもなんにもならんだろ
ま、でも、数学が理解できるほど根性あるとはおもえんし
万が一理解したところで、自尊心なんか回復せんよ
数学はそんな大層なもんじゃない
902:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:48:18.55 lKvrLaqy.net
>>800
肥田晴三は工学部出身の
世界的に高名な数論研究者だよ
903:１３２人目の素数さん
23/02/26 09:56:03.25 lKvrLaqy.net
>>800
記憶違いがあった。
肥田さんはいったん工学部に進学してから
理学部に転学したのだった。
志村理論のさわりを聞かせてもらったのは
東大の数学科の院に進んだ人。
話を聞いたのはこちらが教養部の時、保形形式の入門的な論説を
読んだ後だった。
志村先生の名著が出版されたころ。
904:１３２人目の素数さん
23/02/26 10:11:17.63 HNnDjHCG.net
>>803
あんた誰？
905:１３２人目の素数さん
23/02/26 10:14:28.41 HNnDjHCG.net
>>804
基本的に数学の中身の話を一切せず
他人の名前と経歴ばかりズラズラと話すヤツは無能
有能な人間なら名前とか経歴とか一切抜きに
中身の話をズバッとする
できない奴は黙れ
無意味な戯言を面白がるのは
大阪のコピペ爺のような無能だけ
906:１３２人目の素数さん
23/02/26 10:19:01.51 HNnDjHCG.net
５ｃｈでは
「数学わかってる奴」
を偽装する畜生がいるが
焼かれて食われちまえ
ブタ
907:１３２人目の素数さん
23/02/26 10:19:56.07 HNnDjHCG.net
ウソツキに生きる価値はない
908:１３２人目の素数さん
23/02/26 10:43:23.37 ZAlHQVD3.net
>>795 追加
下記、有馬研一郎氏いい
分かり易い
4.3 高次元への拡張で、2004年時点でショクロフ 氏に言及して、大きく高次元へと向かうと予言している
URLﾘﾝｸ(eprints.lib.hokudai.ac.jp)
極小モデルプログラムの入門およびその正標数への拡張
北海道大学大学院理学研究科数学専攻
COE研究員 有馬研一郎
平成16 年6月 （2004）
概 要
この講演の目的は，代数幾何学の導入部を学び始めたばかりの学生
に，森理論の雰囲気を味わってもらおうというものである．したがって
厳密な議論はもちろん不可能であるし，解説にしても直観的な，比喩を
用いた話しかできない．その分通常の講義とは異なる，より楽しめる話
題を選択し，紹介することになる．
代数多様体の構造を調べる為には，極小モデルプログラム（ＭＭＰ）
を動かすと良い．このプログラムの出だしは以下のようになっている：
ある双有理同値類の中からひとつ良いモデルを選べ．そのモデルの性質
を調べよ．こうすることで最初の代数多様体の性質も解る．
講演では２次元と３次元のＭＭＰの概要を述べる．２次元の場合は古
典的に知られていたが，３次元には多くの困難な問題があった．それら
を２次元と比較しつつ紹介する．特異点の分類もそのような問題の一つ
である．この視点でＭＭＰを見ることも試みる．
もう一つの話題はＭＭＰの拡張である．その中から対数的ＭＭＰと，
正標数の場合の現状を述べる．最後にそれに関する筆者の結果を紹介する
目 次
1. 代数幾何学とは
代数多様体
幾何学
双有理同値
代数幾何学究極の目標
2.極小モデルプログラムへの準備
極小モデル
プログラム
1次元，2次元の場合
特異点とその「悪さ」
有理２重点
３次元の特異点
指数１被覆
特異点解消定理
つづく
909:１３２人目の素数さん
23/02/26 10:43:50.57 ZAlHQVD3.net
>>808
つづき
1. 代数多様体
代数多様体とは，大まかに言うと代数方程式の共通零点で定義された「図形」である．
定義
被約かつ既約で分離的な代数的スキームを 代数多様体 という
射影空間に閉部分スキームとして埋め込めるものを射影スキームという．代
数多様体であるような射影スキームを射影多様体という．本講義では断らな
い限りこれが対象である．
分離性については詳細を省略する．直観的には ハウスドルフ 空間の分離性の
スキーム版である．
4.1 対数的極小モデルプログラム
4.3 高次元への拡張
３次元の次は４次元ということになるが，やはり最後の問題はフリップの
存在である．森氏による３次元フリップの存在証明には，特異点の分類が関
わってくる．これは４次元以上では非常に困難であり，従ってそのままの手
法での高次元化は行き詰まる．そこへ特異点の分類に依らない別証明が
年，ショクロフ 氏によって与えられた．厳密に言うとこの証明は３次元対
数的フリップの存在証明 (§4.1) である．それを境界のない場合に帰着させる
ことで別証になっている。
2000 年，やはり ショクロフ 氏によって 4 次元のフリップの存在が証明され
た．これにより今後の代数多様体の研究は，大きく高次元へと向かうことに
なる。
(引用終り)
以上
910:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:00:36.03 J9bcxZd1.net
>>808-809
911:耄碌爺 今日も無意味コピペ 哀れ
912:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:07:43.29 WynaOdwW.net
>>805
クロネッカーの夢くらいは知っているよね。
志村先生の話が出たのは
高木の学位論文のレムニスケートの話をどう展開するかというときで
虚数乗法を持つアーベル多様体に絡めてだった。
ジーゲルのTopicsの第三巻を読んだのはそれからかなり後だった。
その時すでに肥田氏が目覚ましい活躍を始めていたから
数論はあきらめた。
913:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:12:28.80 WynaOdwW.net
>>810
コピペだから文章自体には多くの情報が含まれている。
飯高・森・川又以後の展開において
ショクロフ氏のアイディアが決定的だったことが
明確に書かれており
興味深い
914:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:21:55.96 ZAlHQVD3.net
>>802-803 >>798
ありがとう
志村理論は、不勉強で分からない
(志村五郎先生は、いろんな志村理論ありそう。多分>>798だと、谷山-志村か。全く詳しくないが)
肥田 晴三先生は下記か。「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明には、肥田理論が使用」のくだりは、有名ですね
話は飛ぶけど、望月拓郎先生は、院試で数学へ転向したみたい
（下記 京大で他学科（多分物理？）から、修士は数学科へ。肥田先生のころは、飛び入学なかったかも）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
肥田 晴三（はるぞう 1952年8月6日）は、日本の数学者で、数論・代数幾何学・モジュラー形式の研究で著名
経歴
肥田は、京都大学から1975年学士号を、1977年修士号を、1980年「志村曲線のヤコビアンの因子としての虚数乗法を持つアーベル多様体」(On Abelian Varieties with Complex Multiplication as Factors of the Jacobians of Shimura Curves)の論文により博士号を得た[1]。1987年からカリフォルニア大学ロサンゼルス校で教授を務めている。1979年から1981年までプリンストン高等研究所の訪問研究者だった。
1986年肥田は、バークレーの国際数学者会議の招待講演者だった。1991年、肥田はグッゲンハイム・フェローシップを受賞した[2]。1992年、代数群のp進L-関数とp進ヘッケ環に関する研究に対して、日本数学会の春季賞を肥田は受賞した。[3]
アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明には、肥田理論が使用されている。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
望月 拓郎（1972年8月28日）
来歴
生い立ち
長野県長野市出身[2]。長野県長野高等学校を卒業し、京都大学に進学した[1]。理学部にて学んでいたが[1]、在学中にトポロジーの本を読み[3]、「計算で答えを出す高校までの数学からガラッと変わった」[3] と述懐している。大学院の理学研究科に飛び入学で進学するため、1994年（平成6年）に理学部を中途退学した[1]。1996年（平成8年）、京都大学の大学院における修士課程を修了した[1]。それに伴い、修士（理学）の学位を取得した。大学院在学中に「Gromov-Witten class and a perturbation theory in algebraic geometry」[4] と題した博士論文を執筆した
915:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:22:48.94 0R4EMt25.net
>>811
>クロネッカーの夢くらいは知っているよね。
言葉だけ 中身は知らん
(完了)
916:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:24:56.10 0R4EMt25.net
>>812
ここにコピペする必要がない
知りたきゃ自分で調べる
917: 馬鹿は一切口出すな
918:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:27:07.10 0R4EMt25.net
経歴詐称野郎も無理解コピペ野郎も一切書き込むな
919:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:38:37.93 ZAlHQVD3.net
>>814-816
おサルさんｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
それって、論旨破綻してないか？
あんたが、数学板に居る意味こそ無いと思うぞ！ｗ
920:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:55:21.78 WynaOdwW.net
>>814
(完了)の意味は
「クロネッカーの夢」の内容を知りたいと思わない
という意味だね
念のため
>>815
ここを読むのが君だけではないことは
理解していますか？
>>816
死ねといわれても
それを真に受けて本当に死んでしまう人が
非常に少ないことはわかるよね
921:１３２人目の素数さん
23/02/26 11:56:06.22 ZAlHQVD3.net
>>798
>工学部の冶金出身の人と
>大学院のセミナーで一緒だった。
>精密機械出身の人には
>志村理論のさわりを
>聞かせてもらった。
東大ね>>786
その話は、東大クラスだと分かるよ
東大工学部だと、自分たちで工学の新分野、新理論を切り開こうという意識が高いんだ
だから、既存の学部の数学講義だけじゃ、満足しない
あと、>>743に書いたけど 例えば相互律>>484 約20種 一つ一つを学ぶより、
一段上の共通原理を学べれば、効率的だし、理解が深まる
そういう意識はあるんだ
超関数・デルタ関数、普通に工学部で使って良い
というか、デルタ関数やグリーン関数は、応用分野で先に使われて
あとから数学の裏付け理論ができた。その数学理論を学んでおいて損はないよね
工学部だからと
学問に垣根はない
それは、肥田先生や望月先生みれば分かるし
佐藤幹夫先生も、一時物理に惹かれて、放浪して朝永先生の研究室へいったそうな
物理への放浪が、後のイジング理論やソリトン理論に生きていると思う
922:１３２人目の素数さん
23/02/26 12:03:37.73 WynaOdwW.net
真理を古代のギリシャ語ではアレーテイアと言うが
プラトンはこの語源が「神の放浪」であると
洒落ている。(クラテュロス)
923:１３２人目の素数さん
23/02/26 13:23:51.61 ZAlHQVD3.net
>>820
ありがとう
924:１３２人目の素数さん
23/02/26 13:24:52.40 ZAlHQVD3.net
>>815
おサルさん ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
あんたのかなう相手じゃないよ
925:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:13:06.55 ZAlHQVD3.net
>>808
下記の双有理幾何学wikipediaが便利だな
ここから、いろんなリンクがあるのでよく分かる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双有理幾何学
代数幾何学では、双有理幾何学(birational geometry)の目標は、2つの代数多様体が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、有理函数により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が極を持つところでは(写像を）定義できないことがある。
双有理写像
極小モデルと特異点の解消
全ての代数多様体は射影多様体に双有理であるので、双有理分類の目的のためには、射影多様体のみに専念すれば良く、このことは普通は最も便利な設定である。
広中平祐の1964年の特異点解消定理は非常に深く、（複素数のような）標数が 0 の体の上の全ての多様体は、滑らかな射影多様体に双有理的である。このことが与えられると、滑らかな射影多様体を双有理同値を除外して分類することに集中することができる。
次元 1 では、2つの滑らかな射影曲線が双有理であれば、それらは同型である。しかし少なくとも次元が 2 でこのことはブローアップ(en:blowing up)の構成により成立しない。ブローアップにより、
926:少なくとも次元 2 の全ての滑らかな射影多様体は、例えば、より大きなベッチ数を持つ、無限に多くの「より大きな」多様体に双有理同値である。 このことは、極小モデルの考え方を導く。各々の双有理同値類の中に一意に最も小さい代数多様体を見つけることは可能か？ 現代の定義は、射影的多様体 X が極小とは、標準ラインバンドル KX が X のすべての曲線で非負な次数を持つことである。言い換えると、KX はネフ（数値的正という意味だが、通常使用しているので、本文ではネフという用語を使用する。）[1]である。ブローアップした多様体が決して極小ではありえないことは、容易にチェックできる。 つづく
927:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:13:39.52 ZAlHQVD3.net
>>823
つづき
この考え方は、代数曲線（次元が 2 の多様体）に対しては完全に成り立つ。現代のことばでは、1890年から1910年までの代数幾何学のイタリア学派（英語版）の一つの中心的な結果は、曲面の分類の一部とあわせ、すべての曲面 X は、ある曲線 C が存在して積 P1 × C か、もしくは極小曲面 Y のどちらかに双有理同値である。[2] 2つの場合は互いに排他的であり、Y は存在するとしたら一意である。Y が存在すると、X の極小モデルと呼ばれる。
双有理不変量
詳細は「小平次元」を参照
「双有理不変量」も参照
まず、どのようにして有理的でない代数多様体が存在するかを示す方法が明らかではない。これを証明するためには、代数多様体の何らかの双有理不変量を作ることが必要である。
より高次元の極小モデル
詳細は「極小モデル」を参照
射影多様体 X が極小とは、標準バンドル KX がネフ（英語版）であることを言う。2次元の多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。
少なくとも次元が 3 の場合には、KX がうまく振舞うようなあるマイルドな特異点を持つ極小多様体を持つはずである。これらの（特異点のこと）を標準特異点(canonical singularities)という。
すべての多様体 X は有理曲線(rational curve)で被覆されるか、もしくは極小多様体 Y に双有理同値であるろうということを、極小モデル予想と言う。Y が存在するときに、Y を X の 極小モデル という。
極小モデルは少なくとも 3 次元では一意に定まらないが、任意の双有理である 2つの極小多様体は非常に近い存在である。例えば、極小モデルは、少なくとも余次元が 2 の部分集合の外側で同型で、さらに詳しくはフロップ(flops)の列によって関連している。従って、極小モデル予想は、代数多様体の双有理分類について強い情報を与えていることになる。
予想は次元が 3 の場合には、Mori (1988) で証明された。一般次元の問題としては未解決であるが、大きな前進があった。特に、Birkar, Cascini, Hacon と McKernan (2010) は、標数が 0 の体の上の一般型の代数多様体はすべて極小モデルを持つことを証明した。
つづく
928:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:14:04.23 ZAlHQVD3.net
>>824
つづき
＜一般型の説明＞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数幾何学では、小平次元 (Kodaira dimension)（標準次元 (canonical dimension) とも呼ばれる） κ(X) で射影多様体 X の標準モデル (canonical model) の大きさを測る。
これを d-標準写像と言う。多様体 X の標準環 R(KX) は次数付き環で
略
である。
脚注の算術種数[1]と幾何種数[2]、不正則数[3]も参照のこと。
任意次元
有理多様体（射影空間に有理同値な多様体）は小平次元 ?∞ である。アーベル多様体（射影的なコンパクト複素トーラス)は小平次元が 0 である。より一般的に、カラビ-ヤウ多様体（次元 1 では楕円曲線、次元 2 ではアーベル曲面やK3曲面であり、有限群でそれらの多様体を割った商）は小平次元が 0 である。次元 1 では楕円曲線が小平次元ゼロであり、次元 2 では複素トーラスとK3曲面が小平次元がゼロである（各々平坦な計量であること、リッチ計量が平坦であることに対応）。
有理曲線により被覆される任意の標数 0 の多様体（P1 からの非定数写像で得られる）を単線織多様体と言い、小平次元 ?∞ を持つ。逆に、極小モデル理論の主予想（アバンダンス予想として有名）は、全ての小平次元が ?∞ の多様体は単線織的ではないだろうかと予想している。この逆問題は、多様体の次元が 3 の場合のみ知られている。
Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、変形の下での多重種数の不変性を証明した。特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
つづく
929:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:14:24.77 ZAlHQVD3.net
>>825
つづき
一般型
一般型 の多様体 X は最大の小平次元を持つ（小平次元は多様体の次元に等しい）。
この等号という条件は、ラインバンドル KX が大きなラインバンドルであるか、もしくは、d-標準写像が十分大きな d に対し単射である（つまり、像への双有理写像である）。
例えば、豊富な標準バンドルは一般型である。
ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな超曲面が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。
一般型の多様体は、たとえ曲面の場合であっても、明確に分類することが極めて困難なように見える。にもかかわらず、一般型の多様体に対し強い正しい結果が存在する。例えば、ボンビエリ(Bombieri)は1973年に、任意の一般型の複素曲面の d-標準写像は、全ての d >= 5 に対して双有理であることを示した。
さらに一般には、ハーコン・マッカナン(Hacon-McKernan)、高山、辻は、2006年に全ての正の n に対し定数 c(n) が存在し、任意の n-次元の一般型複素多様体の d-標準写像が存在し d >= c(n) のとき、双有理同値となることを示した。
一般型の代数多様体の双有理自己同型群は有限群である。
つづく
930:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:15:32.33 ZAlHQVD3.net
>>826
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
標準環
数学では、（非特異な）代数多様体や複素多様体 V の 多重標準環(pluricanonical ring)は、次の標準バンドル K のベキの切断の次数付き環である。
R(V,K)＝R(V,Kv)
0 番目の次数の要素 R_{0} は自明なバンドルの切断で、V が射影的なときは 1 次元である。この次数付き環により定義された射影多様体を V の 標準モデル(canonical model)といい、標準モデル の次元を小平次元と言う。
V 上のラインバンドル L に似たような環を定義することができ、この類似な次元を 飯高次元 と言う。もし飯高次元が多様体の次元に等しいときに、ラインバンドルは 大きい と言う。
性質
双有理不変性
従って、標準環は小平次元のように双有理不変量であり、コンパクトで滑らかな複素多様体の間の任意の双有理写像は、それぞれの標準環の間の同型を導く。結論として、特異点のある空間の小平次元を特異点解消した（多様体の）小平次元として定義することができる。双有理性のおかげで、これはWell-definedで、つまり、特異点の解消方法の選択とは独立している。
双有理幾何学の基本予想
双有理幾何学の基本予想とは、多重標準環は有限生成（英語版）であろうという予想である。このことは森プログラム（英語版）の大きな一つのステップと考えられている。 Caucher Birkar, Paolo Cascini, and Christopher D. Hacon et al. (2010) Yum-Tong Siu (2006) はこの証明をしたことをアナウンスした。
多重種数
(引用終り)
以上
931:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:49:06.99 ZAlHQVD3.net
>>826
>一般型 の多様体 X は最大の小平次元を持つ（小平次元は多様体の次元に等しい）。
>ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな超曲面が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。
代数幾何
一般型 の多様体
は、3次元ポアンカレ予想からみの 双曲幾何（Hyperbolization theorem）に相当する部分かな
双曲幾何構造が、最も一般的とか書いてあった記憶がある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何化予想（きかかよそう、英: geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
概説
2次元多様体では3種類の幾何構造（ユークリッド構造、ロバチェフスキー構造、リーマン構造）が考えられ、全ての2次元多様体はこの内1つを自然な幾何構造�
932:ﾆして持つというのは良く知られた事実であった[1]が3次元多様体は自由度が高すぎるため一般には自然な幾何構造は持たせることはできないと考えられていた（実際これは正しい）。 これに対しウィリアム・サーストンは3次元の多様体上の自然な幾何構造というものを新たに定義しそれに基づけば8種類の幾何構造を考えられることを示した。これらには2次元にも存在する3種類の幾何構造と2次元の円筒に対応する球面及び双曲面と線分の積空間のもつ構造（円周と線分の積空間である2次元多様体、円筒は2次元ユークリッド構造をもつ。また、平面と線分の積空間は3次元ユークリッド構造を持つ）、及び2次の実特殊線形群(双曲平面の変換群）の普遍被覆空間（なお、球面の変換群の普遍被覆空間は3次元球面）及びニル (Nil) とソル (Sol) と呼ばれる、合わせて3つの、2次元と1次元の多様体の単純な積では構成できない特殊な幾何構造がある。サーストンの幾何化予想とは全ての3次元多様体はこれらのいずれかの幾何構造を持つ幾つかの部分多様体に分解できるというものである[2]。 つづく
933:１３２人目の素数さん
23/02/26 16:49:34.45 ZAlHQVD3.net
>>828
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Hyperbolization theorem
For Perelman's generalization of Thurston's geometrization theorem to all 3-manifolds, see Geometrization conjecture.
In geometry, Thurston's geometrization theorem or hyperbolization theorem implies that closed atoroidal Haken manifolds are hyperbolic, and in particular satisfy the Thurston conjecture.
Statement
One form of Thurston's geometrization theorem states: If M is a compact irreducible atoroidal Haken manifold whose boundary has zero Euler characteristic, then the interior of M has a complete hyperbolic structure of finite volume.
The Mostow rigidity theorem implies that if a manifold of dimension at least 3 has a hyperbolic structure of finite volume, then it is essentially unique.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Atoroidal
In mathematics, an atoroidal 3-manifold is one that does not contain an essential torus. There are two major variations in this terminology: an essential torus may be defined geometrically, as an embedded, non-boundary parallel, incompressible torus, or it may be defined algebraically, as a subgroup
Z ｘ Z of its fundamental group that is not conjugate to a peripheral subgroup (i.e., the image of the map on fundamental group induced by an inclusion of a boundary component). The terminology is not standardized, and different authors require atoroidal 3-manifolds to satisfy certain additional restrictions. For instance:
略
A 3-manifold that is not atoroidal is called toroidal.
(引用終り)
以上
934:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:08:08.73 HNnDjHCG.net
>>818
> ・・・の意味は・・・という意味だね
こんな馬鹿日本語を平然と書ける
馬鹿に説明できるわけがないだろ
数痴は失せろ
935:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:09:38.88 HNnDjHCG.net
>>820
数学はギリシャ語より遥かに難しいだろ？
わかったら失せろ馬鹿
936:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:11:33.17 WynaOdwW.net
>>825
>>Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、
>>変形の下での多重種数の不変性を証明した。
>>特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
代数多様体の話の中に突然(コンパクトな)複素多様体の話が紛れ込んだが
「全ての滑らかな複素多様体」は
「全ての滑らかな射影的代数多様体」でなければ
命題は偽である。(中村郁氏の反例がある。)
この部分を
「全てのケーラー多様体」に置き換えてもよいかどうかは
複素幾何の大きな未解決問題の一つ。
937:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:13:30.79 HNnDjHCG.net
>>817
ワカランチンのトンチンカンコピペは要らない
馬鹿が承認欲求昂じさせると
貴様のような正真正銘の狂人になる
>>819
東大に入れなかった時点で
学歴で負けたと悟って
利口ぶるのは諦めろ馬鹿
>>822
大阪の馬鹿は黙って焼かれて食われて死ね
938:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:14:17.09 HNnDjHCG.net
>>823-829
馬鹿はコピペやめて失せろ
939:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:16:46.01 HNnDjHCG.net
>>832 無理すんな
940:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:21:34.92 HNnDjHCG.net
>>825
>>Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、
>>変形の下での多重種数の不変性を証明した。
>>特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
ここは下記の英語の翻訳らしい
Siu (2002) proved the invariance of plurigenera under deformations for all smooth complex projective varieties.
In particular, the Kodaira dimension does not change when the complex structure of the manifold is changed continuously.
もちろんsmooth complex projective varietiesは
「滑らかな複素射影（代数）多様体」
と翻訳すべきである
941:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:24:16.72 ZAlHQVD3.net
>>788
>VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE
LOG？か
下記”Kawamata log terminal singularities”辺りに由来しているような
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Abundance conjecture
In algebraic geometry, the abundance conjecture is a conjecture in birational geometry, more precisely in the minimal model program, stating that for every projective variety
X with Kawamata log terminal singularities over a field
k if the canonical bundle
K_{X} is nef, then
K_{X} is semi-ample.
Important cases of the abundance conjecture have been proven by Caucher Birkar.[1]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Canonical singularity
They were introduced by Reid (1980). Terminal singularities are important in the minimal model program because smooth minimal models do not always exist, and thus one must allow certain singularities, namely the terminal singularities.
Pairs
・klt (Kawamata log terminal) if Discrep(X,Δ)>?1 and [Δ]<= 0
942:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:26:32.18 HNnDjHCG.net
＞最初の10ページくらい斜めに読んだ
意味も分からず文字だけ目で追っても
数学は全く理解できるわけないと気づけ馬鹿
943:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:27:31.42 HNnDjHCG.net
大体定義を読まず証明を読まず計算を全くしない馬鹿が
数学をどうやって理解しようというのだ？
馬鹿は一体数学を何だと思ってるのか？
944:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:29:54.13 HNnDjHCG.net
何度も書くが
馬鹿であること自体は恥でもなんでもない
馬鹿であるにもかかわらず一から勉強せず
平文だけ読んで頭のなかで妄想だけして
数学を分かったウソをつく根性が恥ずかしい
そんなサイコパスはここから失せろ
945:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:30:19.55 ZAlHQVD3.net
>>832
>「全ての滑らかな複素多様体」は
>「全ての滑らかな射影的代数多様体」でなければ
>命題は偽である。(中村郁氏の反例がある。)
>この部分を
>「全てのケーラー多様体」に置き換えてもよいかどうかは
>複素幾何の大きな未解決問題の一つ。
ありがとうございます
へー、そうなんだ
946:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:30:57.72 WynaOdwW.net
>>836
>>複素射影（代数）多様体
この言葉を理解しているようなのに
「クロネッカーの(青春の)夢」の内容を知らないとは
ずいぶん偏った勉強をしてきたんだね
947:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:32:00.37 HNnDjHCG.net
最先端に立つことだけが誇りとかいう
○違いは数学を冒涜している
いかなるレベルであれ理解することが数学である
理解もせずに分かったというのは数学の否定だ
反数学テロリストは失せろ
948:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:35:43.66 HNnDjHCG.net
>>842
「整係数アーベル方程式が円分方程式によって尽くされるのと同様に、
有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式が特異母数を持つ楕円函数の変換方程式で尽くされる」
クロネッカーがそういったのは知ってるが、
なんでそんなことを思
949:いついたのか知らん そういう意味 検索野郎のように検索結果だけ読んで 「全てを理解した！」と絶叫するほど 誇大妄想狂ではない そんなもの数学を分かった内に入るか馬鹿
950:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:35:54.46 ZAlHQVD3.net
>>836
ありがとう
おれも、英wikipedeia をチェックしようと思ったけど
先を急ぐので、手抜きしたんだｗ
951:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:38:55.43 HNnDjHCG.net
>>845
急ぐな馬鹿
貴様はそんなにレスがほしいのか
精神病んでるぞ
今すぐ病院に入院しろ
もちろん隔離病棟
ネットのアクセスは全面禁止
１年頭を冷やせ馬鹿
952:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:40:38.11 ZAlHQVD3.net
>>844
>クロネッカーがそういったのは知ってるが、
>なんでそんなことを思いついたのか知らん
楕円函数うんぬんは別として
クロネッカー・ウェーバーを、何らかの形で一般化できないかと考える
これ、数学者の普通の思考でしょ
で、多分半分は経験と勘で、”楕円函数使えるかも”として
もう半分はお試し計算で確認して「反例ないね」と思ったんだろうね
これ、数学者の普通の思考でしょ
953:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:41:41.69 HNnDjHCG.net
志村五郎氏は数学を、使えるか否か、で区別するらしい
実にごもっともな考えだ
自分は数学を、遊べるか否か、で区別する
最先端かどうかなんてどうでもいい
他人にマウントするために数学やってるわけじゃない
マウント○違いはここから失せろ 目障りだ
954:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:42:30.93 HNnDjHCG.net
>>847 ｎ×ｎ行列の行列式も知らん馬鹿は黙れ
955:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:52:42.29 WynaOdwW.net
>>「整係数アーベル方程式が円分方程式によって尽くされるのと同様に、
>> 有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式が特異母数を持つ
>>楕円函数の変換方程式で尽くされる」
>>クロネッカーがそういったのは知ってるが、
>>なんでそんなことを思いついたのか知らん
ならちょっと説明してみたい。(コピペじゃないよ)
「整係数アーベル方程式」は、解によるQの拡大体がアーベル拡大になるものを言い、「円分方程式で尽くされる」は次の主張を言う。
クロネッカー・ウェーバーの定理: Qの任意のアーベル拡大体Kに対し、ある自然数Nが存在してKはQ(ζN)の部分体となる。ただしζNは１の原始N乗根を表す。
「特異母数を持つ楕円函数の変換方程式」はひとまず円分方程式をやや一般化したものと思っておこう。
さて、これに続けてクロネッカーが上で予想しているのは、2次体についても上と同様にアーベル拡大を考えたとき、それらが円分体の一般化にあたる特殊な方程式による拡大体に含まれるかということである。別の言い方をすれば、円分体は指数関数の有理点における値をQに添加して得られることから、2次体の場合にはそれに応じた関数があって、その特殊値を付け加えることによって円分体に相当する「任意のアーベル拡大の入れ物」が作れるだろうということ。(クロネッカーはこの関数として楕円関数を想定しているので、2次体は虚2次体でなければならない。)
ここで特に注目すべきことは、特殊なアーベル拡大の具体的な構成を問題にすることにより、複素関数論のテーマである楕円関数が、代数的な体の拡大の理論に指数関数と同じ仕方で関わりだしたことである。ヒルベルトは1900年のICMでやや一般化して提出したが、そこでもこの視点が強調されている。
ヒルベルトの第12問題：クロネッカーの定理を、有理数体または虚2次体の代わりに、任意の代数体を取った場合に拡張すること。私はこの問題を、数および関数の、すべての理論の中で最も深く最も重要なものの一つと考える。この問題は、多くの側面から近づき得るように見える。
ヒルベルト 「数学の諸問題」より
956:１３２人目の素数さん
23/02/26 17:54:38.86 HNnDjHCG.net
馬鹿に質問
「内積を保つ行列の必要十分条件を記せ」
957:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:00:29.21 HNnDjHCG.net
>>850
大して説明できてない
なぜ
整係数アーベル多項式での指数関数の役割を
有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式では
特異母数を持つ楕円函数が果たすと考えたのか？
そのアイデアの源泉は何か？
それが説明だろう
ガロアの遺書 知ってるか？
知らないんだろう
958:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:19:06.75 6m7/7Yyv.net
定期的に腰窓から外に出て室外機置場をする掃除をする必要があって、
狭くて外に出にくく窓の前に読み書きする机がある腰窓の部屋で
Evansのようなサイズの本やムック本を読むときは
どのようにして保管するのがベストか？ という問題は自己解決した
今まで通り床に横積みして保管すると読む度に置き場所から取り出すとき面倒だが、
腰窓の前の読み書きする場所に立てて保管しても
読み書きするとき保管場所から出し入れする必要があって
定期的な掃除のときに書籍が水に濡れないように移動させる必要が生じるから、
今までのようにサイズが特別デカいEvansのような本は床に横積みにして保管するのがいい
ムック本はさほど重くはなくそのまま普通の書籍と同じように扱ってでいい
結局、狭い部屋をかなり掃除することになった
それにしても、マンションに住んでいる場合定期的に腰窓から外に出て室外機置場を掃除をしなかったらどうなるんだろうか？
マンションの部屋の腰窓から外に出て室外機置場を掃除をしなくてもよいのであれば、
読み書きする場所にEvansのような分厚くサイズが特別デカい本を立てて保管しても特別大きな問題はない
959:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:30:06.81 WynaOdwW.net
>>852
>>整係数アーベル多項式での指数関数の役割を
>>有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式では
>>特異母数を持つ楕円函数が果たすと考えたのか？
>>そのアイデアの源泉は何か？
円周の等分からレムニスケートの等分へと
話が展開したことは知っているようだね。
がロアの遺書は何度も目を通したが
解説はできない。
たいして説明できていなくて申し訳ない。
では少し補足させてもらおう。
代数体KがQのアーベル拡大であるとき、Q(ζN)がKを含むような最小の自然数NをとればKにおける素数pの素イデアルへの分解が重複因子を持つための条件は Nがpで割り切れることである。これを含むガウスの理論の一般化が、今日では類体論の主定理の系として知られている。(ソースは加藤・黒川・斎藤の本)
しかし若き日のクロネッカーの構想はもっとスケールの大きいものだった。デデキントへの手紙に書かれていたのは次の文章である。
それは我が愛する青春の夢です。つまり、整係数アーベル方程式が円分方程式で尽くされるのと同様に、有理数の平方根を係数に含むアーベル方程式が特異母数を持つ楕円函数の変換方程式で尽くされることの証明です
(レオポルト・クロネッカー、クロネッカー全集 第5巻, p. 455; リヒャルト・デーデキントへの手紙 (1880年) より)
960:１３２人目の素数さん
23/02/26 18:48:48.22 WynaOdwW.net
青春の夢だけでなく
極限公式を見ても
クロネッカーの数学のスタイルが
緻密で大量の計算に裏付けられたものであろうと
推測される
これはクンマーの影響かもしれない
961:１３２人目の素数さん
23/02/26 19:54:21.13 ZAlHQVD3.net
>>788
>VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE
LOGの意味調査：
・log terminal if ai > -1 for all i （下記 標準特異点関連）
・log resolution of D (e.g., Hironaka's resolution)
・下記FUJINOより log terminal singularities is divisorial log terminal (dlt, for short) Shokurov
（Hironaka’s desingularization theorem suitably）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
標準特異点
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Canonical singularity
In mathematics, canonical singularities appear as singularities of the canonical model of a projective variety, and terminal singularities are special cases that appear as singularities of minimal models. They were introduced by Reid (1980).
Terminal singularities are important in the minimal model program because smooth minimal models do not always exist, and thus one must allow certain singularities, namely the terminal singularities.
Definition
Then the singularities of Y are called:
terminal if ai > 0 for all i
canonical if ai >= 0 for all i
log terminal if ai > -1 for all i
log canonical if ai >= -1 for all i.
See also: multiplier ideal (algebraic geometry)
つづく
962:１３２人目の素数さん
23/02/26 19:55:38.72 ZAlHQVD3.net
>>856
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Multiplier ideal
Algebraic geometry
In algebraic geometry, the multiplier ideal of an effective
Q -divisor measures singularities coming from the fractional parts of D. Multiplier ideals are often applied in tandem with vanishing theorems such as the Kodaira vanishing theorem and the Kawamata?Viehweg vanishing theorem.
Let X be a smooth complex variety and D an effective
Q -divisor on it.
Let μ :X'→ X be a log resolution of D (e.g., Hironaka's resolution).
下記FUJINOより抜粋
P6 5. Resolution Lemma We think that one of the most useful log terminal singularities is divisorial log terminal (dlt, for short), which was introduced by Shokurov (see [FA, (2.13.3)]). We defined it in Definition 4.1 above. By Szab´o’s work [Sz], the notion of dlt coincides with that of weakly Kawamata log terminal (wklt, for short).
P7 By combining Theorem 5.1 with the usual desingularization arguments, we can recover the original Resolution Lemma without any difficulties. This means that, first, we use Hironaka’s desingularization theorem suitably, next, we apply Theorem 5.1 below, then we can recover Szab´o’s results.
つづく
963:１３２人目の素数さん
23/02/26 19:55:59.27 ZAlHQVD3.net
>>857
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
WHAT IS LOG TERMINAL ?
2004/4/23
OSAMU FUJINO
Abstract. In this paper, we explain the subtleties of various
kinds of log terminal singularities. We focus on the notion of
divisorial log terminal singularities, which seems to be the most
useful one. We explain Szab´o’s resolution lemma, the notion of
log resolution, adjunction formula for divisorial log terminal pairs,
and so on. We also collect miscellaneous results and examples on
singularities of pairs in the log MMP that help us understand log
terminal singularities.
Contents
1. What is log terminal? 1
2. Preliminaries on Q-divisors 3
3. Singularities of pairs 5
4. Divisorial log terminal 6
5. Resolution Lemma 6
6. Whitney umbrella 8
7. What is a log resolution? 10
8. Examples 12
9. Adjunction for dlt pairs 14
10. Miscellaneous comments 15
References 16
(引用終り)
以上
964:１３２人目の素数さん
23/02/26 21:12:08.55 lKvrLaqy.net
119１３２人目の素数さん2023/02/22(水) 22:12:37.65ID:EQcdNkCP>>120
乗数イデアル層の解明が進んだこの10年であった
120１３２人目の素数さん2023/02/22(水) 22:38:25.70ID:qwe91WcY>>122
>>119
何か面白い事は判明したのけ？
122１３２人目の素数さん2023/02/23(木) 07:01:43.49ID:fP7IBK5f
>>120
2013年にDemaillyの予想であったopenness conjectureが解けたのを
皮切りに、そのeffective versionを求める過程で
negligible weightつきのL2拡張定理が一般化され
その結果、Bergman核に対する米谷・山口の変分公式(2004)や
関・周による吹田予想の解決(2012)も
Green関数に付随する凹性定理(2017)の系になってしまった。
この凹性定理の正体が多くの論文で解明されつつある。
965:１３２人目の素数さん
23/02/26 21:37:35.11 lKvrLaqy.net
代数幾何の人たちは解析が嫌いだから
乗数イデアルについての
この手の話はスルーされる
966:１３２人目の素数さん
23/02/26 22:37:44.59 ZAlHQVD3.net
>>859
>乗数イデアル層の解明が進んだこの10年であった
ああ、ありがとう
乗数イデアル層が、重要キーワードなのか
「Siu による乗数イデアルを用いた巧妙な拡張定理の手法 [Si1] 」>>792 藤野
から、
967:下記PDFがヒットしたので貼る Y.-T. Siu, Invariance of plurigenera, Invent.Math. 134 (1998), no. 3, 661?673. https://people.math.harvard.edu/~siu/siu_reprints/siu_plurigenera_invent1998.pdf Invent. math. 134, 661-673 (1998) DOI 10.1007/s002229800870 Invariance of plurigenera Yum-Tong Siu* Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA 02138, USA P2 multiplier ideal sheaf >>857再録 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal In commutative algebra, the multiplier ideal associated to a sheaf of ideals over a complex variety and a real number c consists (locally) of the functions h such that |h|^2/Σ|fi^2|^c is locally integrable, where the fi are a finite set of local generators of the ideal. Multiplier ideals were independently introduced by Nadel (1989) (who worked with sheaves over complex manifolds rather than ideals) and Lipman (1993), who called them adjoint ideals. Multiplier ideals are discussed in the survey articles Blickle & Lazarsfeld (2004), Siu (2005), and Lazarsfeld (2009). Algebraic geometry In algebraic geometry, the multiplier ideal of an effective Q -divisor measures singularities coming from the fractional parts of D. Multiplier ideals are often applied in tandem with vanishing theorems such as the Kodaira vanishing theorem and the Kawamata?Viehweg vanishing theorem. Let X be a smooth complex variety and D an effective Q -divisor on it. Let μu :X'→ X be a log resolution of D (e.g., Hironaka's resolution). (引用終り) 以上
968:１３２人目の素数さん
23/02/26 23:14:06.75 lKvrLaqy.net
Extension of Twisted Pluricanonical Sections with Plurisubharmonic Weight and Invariance of Semipositively Twisted Plurigenera for Manifolds Not Necessarily of General Type
January 2002
DOI: 10.1007/978-3-642-56202-0_15
Yum-Tong SiuYum-Tong Siu
969:１３２人目の素数さん
23/02/26 23:50:10.96 ZAlHQVD3.net
>>862
ありがとうございます
追加貼ります
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
学位論文要旨
乗数イデアルの局所的性質の研究
高木 俊輔 2004.03.25
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
論文要旨
略
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
審査要旨
乗法イデアルの概念はDemailly、Nadal、Siu等の仕事において、複素解析の分野において登場した概念であるが、まもなく代数幾何の概念として再定式化され、双有理幾何学における有用な道具として用いられるようになった。高木俊輔はこの概念を正標数における可換環の理論と結び付け、その局所的性質の解明を行ない、次のような結果を得た。
乗数イデアルの劣加法性の研究
Demailly-Ein-Lazarsfeld は、非特異な多様体の上で乗数イデアルの劣加法性が成り立つことを証明した。特異点を有する多様体の場合に一般化することが次に問題となるが、高木は渡辺との共同研究として、(R, m)を2次元のエクセレント Q-Gorenstein 正規局所環とするとき、Spec Rが高々ログ端末特異点しか持たないことと、乗法イデアルの劣加法性が成り立つことが同値であることを証明した。
つづく
970:１３２人目の素数さん
23/02/26 23:50:30.30 ZAlHQVD3.net
>>863
つづき
判定イデアルの一般化の振る舞いの研究
原-吉田は判定イデアルの概念を一般化し、それが乗数イデアルと対応することを証明した。高木は原との共同研究として、この判定イデアルの一般化の性質を研究し、判定イデアルに対し、乗数イデアルにおける Lipman-Skoda の定理の類似と和公式を証明した。
ログ標準特異点の逆同伴の研究
Ein-Mustata-安田は、超曲面の場合にログ標準特異点の逆同伴を証明した。高木は判定イデアルの一般化と乗数イデアルの対応を利用し、密着閉包の理論を用いて、彼らの結果を、非特異な多様体に埋め込まれている任意余次元の多様体の場合に拡張した。正確に一は、Xを標数0の体上定義された非特異代数多様体と
971:し、Y=Σk i=1 tiYi をXの真の閉部分スキームYiと実数ti>0の形式和とし、Xの真の閉部分スキームZをZ〓Uk i=1 Yiをみたす正規 Gorenstein 閉部分多様体とする。このとき、もし対(Z, Y|z)がKLT (resp. LC)ならば、対(X, Y+Z)はZの近傍でPLT (resp. LC)になることを示した。 F-純閾値 渡辺との共同の研究によって、乗法イデアルと関連して定義されるLC閾値の類似として、正標数の可換環に対しF-純閾値の概念を定義し、その基本的な性質を解明した。また、その2つの閾値の関係をあきらかにした。たとえば、たとえば、標数0のログ端末特異点の場合には、LC閾値と、十分大きな素数pに対し標数pに還元して得られるF-純閾値は一致することを示した。 (引用終り) 以上
972:１３２人目の素数さん
23/02/27 06:24:15.44 e17cGgkr.net
>>乗法イデアルの概念は
>>Demailly、Nadal、Siu等の仕事において、
>>複素解析の分野において登場した概念であるが、
multiplier idealは乗数イデアルという訳が定着している。
multiplication idealなら乗法イデアルなのだろうが。
「Demailly, Nadal(正しくはNadel), Siu等の仕事」を補足するなら
複素境界値問題いおいて微分方程式の解の滑らかさを判定するために
Kohnによって導入されたものを、Siu, Nadel, Demaillyらが
L^2理論の分脈に広げることにより
Kahler-Einstein計量の存在問題やコホモロジー消滅定理などの
複素幾何の問題へと応用した仕事
ちなみにNadelはSiuの弟子だが若くして数学を去った。
Demaillyは昨年3月に世を去った。
Siuは現在79歳で、Harvard大学に健在である。
973:１３２人目の素数さん
23/02/27 06:26:35.44 e17cGgkr.net
訂正
複素境界値問題いおいてー－－＞複素境界値問題において
974:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:21:07.06 OSjRvgs6.net
>>865-866
あんた何者？
数学者？（否の場合、具体的な職業を記載）
専門何？（具体的に記載）
975:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:23:07.03 OSjRvgs6.net
>>859 乙？
976:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:26:10.38 OSjRvgs6.net
> LOGの意味調査
こいつは肝心の定義を読まない（というか読んでもわからない）から
いつまでたっても数学が理解できない
一般の行列の行列式の定義すら理解できず
正則行列の定義も理解できない
大学１年の線型代数で落ちこぼれた大バカ野郎
こんなやつが国立大の工学部卒とか日本は完全に終わったな
977:１３２人目の素数さん
23/02/27 07:29:50.25 OSjRvgs6.net
・大阪の馬鹿はコピペやめて失せろ
・乙はわけもわからず内容ゼロの
数学ネタ書くのやめて失せろ
・「第三の男」さんはどうぞ
数学ネタ書いてください
ただし大阪馬鹿と乙は
完全に無視というか
黙殺しちゃってください
ウザいから
978:１３２人目の素数さん
23/02/27 08:13:50.01 e17cGgkr.net
>>867
数学者でないわけがないと
思ってもらえないのが悲しい
979:１３２人目の素数さん
23/02/27 08:18:18.39 k+s6pKPe.net
>>869-870
あんた、
完全に浮いたねｗ
LOGの意味調査は、>>858とかね。VARIETIES OF LOG GENERAL TYPE>>788とあるけど
関数logが、陽に使われていないから、由来を調べていたんだ
（Hironaka’s desingularization theorem suitably）>>856
と分かった
つまり、裏で広中先生の特異点解消のlogと繋がっているところまで分かった
広中先生の特異点解消の中を調べるのは、断念して将来の課題にしたんだ(時間がかかるため)
ここまで調べれば、関数logが陽に使われていない理由が分かったからね
980:１３２人目の素数さん
23/02/27 08:22:00.08 k+s6pKPe.net
>>871
>>871
>数学者でないわけがないと
>思ってもらえないのが悲しい
なるほど
しかし、笑えるけど
大喜利なら、ザブトン一枚かな？
蛇足だが、相手による
小学生には、分からないだろうが
落ちこぼれとは言え、数学科出身者だからね ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
981:１３２人目の素数さん
23/02/27 09:13:51.89 TuSMx/Zd.net
>>871
「ない」が３つも現れるのが胡散臭いw
書くなら以下のどちらか
1.数学者と思われないのが残念
2.数学者でないと思われるのが残念
ただいずれにしても
数学者は5chの匿名の書き込みでも
数学者だと思われたいものだろうか？
大いに疑問
982:１３２人目の素数さん
23/02/27 09:20:07.15 TuSMx/Zd.net
>>872
>関数logが、陽に使われていないから、
>由来を調べていたんだ
>裏で広中先生の特異点解消のlogと
>繋がっているところまで分かった
相変わらず訳わからん文章書いてるな
特異点解消のlogは関数logと違うんか？
調べ方が全然浅いんちゃう？
983:１３２人目の素数さん
23/02/27 09:24:19.20 TuSMx/Zd.net
>>873
あんたは座布団三枚没収
ところで
「私は正直者です」
の否定文は何か？
わかるかな？
984:１３２人目の素数さん
23/02/27 11:03:05.62 SbnoCAdL.net
>>859-860
ありがとう
あなたが来て、数学板のスレらしくなった
いままで、コウモリしかいない里に本物の鳥がきたようだね >> ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
>代数幾何の人たちは解析が嫌いだから
>乗数イデアルについての
>この手の話はスルーされる
嫌いというよりも
思考を乱されるのがいやなんでしょう
そも、乗数イデアルとは、なんぞや？
解析（＊）と代数幾何の特異点の両方で、大活躍
なんで？ 両方を統一する視点を提供できれば良い
というか、いま”乗数イデアル”を検索しても、あまり情報がヒットしないから、そういう視点はほしいよね
多分、大学の学生たちも
＊）
”微分方程式の解の滑らかさを判定”>>865
とあるから、これも特異点からみかな
985:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:12:50.73 O8A01jqZ.net
>>877
>コウモリしかいない里に本物の鳥がきたようだね
三歩歩くと全部忘れるニワトリがなんか言っとる
986:１３２人目の素数さん
23/02/27 13:18:20.37 O8A01jqZ.net
ところで
>>851にはお手上げかい？
情けないねぇ