23/02/07 23:49:24.07 e3tL3RCy.net
>>257
>>オイラーの式 e^iθ＝cosθ +isinθ
>>これから、簡単に倍角公式が出る
> (cos(θ+φ)+i*sin(θ+φ))
>=(cosθ+i*sinθ)*(cosφ+i*cosφ)
>と定義すればいいだけ
延々と長文で、「自分はアホ」と自慢したいのか？
”(cos(θ+φ)+i*sin(θ+φ))
=(cosθ+i*sinθ)*(cosφ+i*cosφ)
と定義すればいいだけ”？
あれ？、ミスタイプ見つけたぞｗ
”(cos(θ+φ)+i*sin(θ+φ))
=(cosθ+i*sinθ)*(cosφ+i*sinφ)”
だな
これって、定義ではなく定理だろ？
つまり
(cosθ+i*sinθ)*(cosφ+i*sinφ)
＝cosθcosφ-sinθsinφ+i(sinθcosφ+cosθsinφ)
（となるが、下記の三角関数の「加法定理」を適用して）
＝cos(θ+φ)+i*sin(θ+φ)
が成立する
繰り返すが、三角関数の「加法定理」を適用して
証明するべき定理であって、定義ではないぞ！ｗ
やれやれ、定理と定義との区別がつかないのかな？ｗ
これで、数学科卒を名乗るかね？ｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(goukaku-suppli.com)
合格サプリ
2021.12.14
【3分で分かる！】三角関数の重要公式「加法定理」の語呂合わせ・覚え方まとめ
咲いた コスモス コスモス咲いた
sin(α+β)＝sinα cosβ + cosα sinβ
今年は コスモス コスモス 咲かない 咲かない
cos(α+β) ＝ cosα cosβ － sinα sinβ
符号がマイナスなので「咲かない」としました。
299:１３２人目の素数さん
23/02/08 00:04:19.16 IfFd6N6h.net
>>274
>全部旧ガロアすれで扱っているよ
>「扱っている」ってコピペしてるだけやんｗｗｗ
あんた、この数学板で、大学レベルの高等数学の内容を投稿したことないね
やってみれば分かるが、5ｃｈ数学板では まともに数学記号使えない
Σの上下の添え字使えない
同様にＸiと書いて、2乗は(Ｘi)^2とか面倒だし 見にくいし
行列は書けないし
ともかく不自由なうえに
Ａ４で2枚ほどでも書けば、多分5～6スレ以上に渡るし
そもそも、ここは学会でもなければ
論文を投稿するところでもない！
コピペも本来必要ない！（つーか、正確なコピーは不可能ですよｗ）
URLと表題や出典だけで足りるが
要点のコピペがあると、後でキーワード検索に便利だからコピペしているのです（コピー見るよりリンク先の方がよほど視認性が良いし全文が読めるしｗ）
コピペ以外で、スクラッチ（手書き）で一から数学理論を書き起こせと？ｗ
それって あんた、この数学板で、大学レベルの高等数学の内容を投稿したことないって、自白しているだけだぞｗ
300:１３２人目の素数さん
23/02/08 02:50:04.11 QPnDWgeK.net
TeXぐらいすら知らんのか。
301:１３２人目の素数さん
23/02/08 06:12:27.30 vv+GVmuk.net
>>273 >悪いけど全部旧ガロアすれで扱っているよ
>>274 >「扱っている」ってコピペしてるだけやんｗｗｗ
>>276 (長々と「言い訳」の後)
>コピペも本来必要ない！（つーか、正確なコピーは不可能ですよｗ）
じゃ、コピペしなくていいよ 承認欲求君
>URLと表題や出典だけで足りるが
それも要らんよ 誰でも検索できるから
>要点のコピペがあると、
>後でキーワード検索に便利だから
>コピペしているのです
>（コピー見るよりリンク先の方がよほど視認性が良いし全文が読めるしｗ）
５ｃｈで無内容な書き込みされると
キーワード検索でそれがみつかって
無駄な時間を浪費するからコピペは迷惑
百害あって一利もないな（バッサリ）
>スクラッチ（手書き）で一から数学理論を書き起こせと？
そもそも数学が分からん素人は書き込みしないでほしい
大学１年の線型代数も理解できずに
落ちこぼれて文学部に転部した君に
数学の書き込みしてくれなんて
誰も頼んでないよ
スシローで他人の寿司にワサビ混ぜるような犯罪行為
ほんと迷惑 やめて
検索コピペで
「ボクちゃん賢いでしょ、褒めて褒めて」
って他人の承認求めないで
そんな幼稚園児でもできることで
ここの数学科卒が感心することなんて
10000％ないから
なんでわかんないかな 愉快犯君
302:１３２人目の素数さん
23/02/08 06:30:41.98 vv+GVmuk.net
>>275
>あれ？、ミスタイプ見つけたぞ
>”(cos(θ+φ)+i*sin(θ+φ))=(cosθ+i*sinθ)*(cosφ+i*sinφ)”
>だな
おめでとう
>これって、定義ではなく定理だろ？
>三角関数の「加法定理」を適用して証明するべき
>定理であって、定義ではないぞ！ｗ
どっかの承認欲求君が253で
「e^iθの実部と虚部としてcosθ、sinθを定義すればいい」
と論点先取したのに対して257で
「別にe^iθじゃなくても
絶対値１の複素数(c+is) (c^2+s^2=1)を底とする指数関数
の実部と虚部としてcosθ、sinθを定義すれば
角度の単位を弧度法に固定しない一般化した形で
加法公式が自然に出せるだろ」
と、より賢い”論点先取”の仕方を指摘したまで
加法定理の式は、多項式の乗法とi^2=-1による
複素数の乗法計算から導ける「算数」なんだって
高校数学なんて算数なんだよ
算数が得意でも大学で落ちこぼれる奴は沢山いるんだよ
論理的思考能力がゼロってこと
そういう奴は数学なんて無理だから諦めろ
無理したって、理解できずに下痢便コピペするだけ
いいかげん自分がやってることの虚しさに気づけよ
人生不幸なまま終わりたいのかい？
>やれやれ、定理と定義との区別がつかないのかな？
それ253でオイラーの式を定義とした自分にいいなよ
数学力ゼロなのに「ボクは数学わかってる」と
他人に認めてもらいたいためにわけもわからず
キーワード検索した結果をコピペする承認欲求君
303:１３２人目の素数さん
23/02/08 06:58:51.20 vv+GVmuk.net
>>261でも述べてるが
オイラーがやったこと
1. exp z=lim(n→∞) (1+z/n)^n と定義する
2. xが実数とする、
e=lim(n→∞) (1+1/n)^n と定義したとき
exp x=ｅ＾ｘであることを証明した
3. 純虚数ixについて
exp ix=lim(n→∞) (1+ix/n)^n=cos x+i*sin x
とできることを示した
(ここでcos、sinは、角度を弧度法で表した場合の三角関数）
4. したがってzが複素数の場合のe^zを
exp z=lim(n→∞) (1+z/n)^n
と再定義すれば
e^z=exp z=exp(x+iy)=exp x exp iy=e^x(cos y+i*sin y)
となる
そういう細かい論理を全く辿らずただ漫然と
「e^iyは”直接”計算できて、その結果cos y+i*sin yとなる
どういう魔術を使ったのか全く知らんけど」
とほざくのは、高い立場に立ったのではなく
結果を「万引き」しただけのただの阿呆である
304:１３２人目の素数さん
23/02/08 08:17:53.09 IfFd6N6h.net
>>277
>TeXぐらいすら知らんのか。
この板でTeX使えるか？
305:１３２人目の素数さん
23/02/08 08:20:29.88 IfFd6N6h.net
>>278
>>URLと表題や出典だけで足りるが
> それも要らんよ 誰でも検索できるから
アホが
君のために、URLと表題や出典が必要だｗｗｗ
306:１３２人目の素数さん
23/02/08 08:31:50.15 IfFd6N6h.net
>>279
>>三角関数の「加法定理」を適用して証明するべき
>>定理であって、定義ではないぞ！ｗ
> どっかの承認欲求君が253で
> 「e^iθの実部と虚部としてcosθ、sinθを定義すればいい」
> と論点先取したのに対して257で
> それ253でオイラーの式を定義とした自分にいいなよ
アホは分かってないね
いま、三角関数の「加法定理」は数IIかな？
下記の「咲いた コスモス コスモス咲いた」を、暗記するくらいならば
e^iθ＝cosθ+isinθ
を一つ覚えておけば
これを水源地として、いろんな公式が導ける
これぞ、高校数学の水道方式よ
公式 e^iθ＝cosθ+isinθ が、数IIの範囲で証明できないだろうから
”定義”として、数IIIか大学でやるとすればいい
繰り返すが、「咲いた コスモス コスモス咲いた」の丸暗記より
よほど教育的だろ？ｗ
そういうことが、昔大学への数学誌にあった
それを使わせて貰って、受験の三角関数は苦労しなくなった
(参考)
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2021.12.14
【3分で分かる！】三角関数の重要公式「加法定理」の語呂合わせ・覚え方まとめ
咲いた コスモス コスモス咲いた
sin(α+β)＝sinα cosβ + cosα sinβ
今年は コスモス コスモス 咲かない 咲かない
cos(α+β) ＝ cosα cosβ － sinα sinβ
符号がマイナスなので「咲かない」としました。
307:１３２人目の素数さん
23/02/08 10:53:15.06 L6Sk2qWm.net
>>283
>🤪は分かってないね
いきなり罵倒から入る承認欲求氏
>e^iθ＝cosθ+isinθ を一つ覚えておけば
>これを水源地として、いろんな公式が導ける
それが前提として強すぎるって指摘じゃね？
そこから分かってないのか？
結局、絶対値1の複素数を底とする指数関数の
実部と虚部としてcosとsinを定義すればいい
e^ixは上記の関数の微分を考えた場合の話
分けて考えるのが教育的配慮な
>公式 e^iθ＝cosθ+isinθ が、
>数IIの範囲で証明できないだろうから
>”定義”として、数IIIか大学でやるとすればいい
数IIIでも無理じゃね？
君、どう証明するつもり
まさか、ノーアイデア？
>よほど教育的だろ？
オイラーの式をカンニングしただけなら教育失敗じゃん
そら大学数学で落ちこぼれるわな
308:１３２人目の素数さん
23/02/08 15:46:00.96 3CVtXAp9.net
>>284
>>公式 e^iθ＝cosθ+isinθ が、
>>数IIの範囲で証明できないだろうから
>>”定義”として、数IIIか大学でやるとすればいい
> 数IIIでも無理じゃね？
うん？ 下記かｗ
テイラー
309:展開・マクローリン展開 今は、数IIIでもやらんの？ レベル下がってない？ ゆとり数学か？ｗ しかし、”受験のミカタ”には、たまに学校の教科書にも載っているとかあるし ばっちり、大学受験数学サイトには、解説あるぞｗ そんなに難しい話じゃないよ 「オイラーの公式 e^ix=cosx+isinx」の説明もあるね 中高一貫校なら、常識じゃね？ｗ （参考） https://examist.jp/mathematics/derivation2/maclaurin/ 受験の月 マクローリン展開(関数の多項式近似)とオイラーの公式 e^ix=cosx+isinx https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/taylor-maclaurin.html 受験のミカタ 高校生も納得！テイラー展開・マクローリン展開の証明と使い方 2022.12.26 みなさんはテイラー展開(級数)・マクローリン展開（級数）という言葉を聞いたことありますか？ 理系の学生であれば大学1年生で習うことなので大学受験に出ることはないですが高校生で習う微分の知識だけで証明することができ、物理などの近似式でも使えるとても便利な公式です。 たまに学校の教科書にも載っているので確かめてみてください。 これらを使いこなせば、√2、sin1、e（自然対数）のような無理数の近似値を手計算で求めることができます。 ぜひ、この記事を読んで実際に無理数を計算してみましょう！ 【目次】 1.テイラー展開とは？ 2.テイラー展開の証明 3.テイラー展開とマクローリン展開の違い 4.マクローリン展開のよく使う公式と求め方 4-1.公式一覧 4-2.求め方 5.マクローリン展開の練習問題
310:１３２人目の素数さん
23/02/08 15:59:18.39 u8Rutndb.net
>>285
e^xのマクローリン展開に対して
実数であるxに純虚数iθを入れても良いことを
高校数学に過ぎない数IIIで正当化出来る？
高卒文系 質問の意味分かる？
分かんないなら、どこがどう分かんないか訊いてな
311:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:11:12.30 u8Rutndb.net
そもそも級数の収束とか全く考えずに
展開の計算方法を覚えるだけでは
数学分かったことにならんけど
ただ数学の結果を盲信してるだけだな
もしかして小学校の算数のつもりで
大学数学を理解しようとしてる？
312:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:13:33.13 3CVtXAp9.net
>>284
> オイラーの式をカンニングしただけなら教育失敗じゃん
> そら大学数学で落ちこぼれるわな
逆だろ？
下記”「加法定理」の語呂合わせ
咲いた コスモス コスモス咲いた
sin(α+β)＝sinα cosβ + cosα sinβ”
こんなものを覚えるよりも、オイラーの式
e^iθ＝cosθ+isinθ を一つ覚えておけば、三角関数では、勝ち組だよ
要するに、遠山啓氏と同じで、”教科書がよくない”から
”咲いた コスモス コスモス咲いた”みたいな
幼稚園レベルの数学になる
で、政治家の麻生さんだっけ？ 「三角関数はクソ」みたいに言われるｗ
(参考)
http://セルフ塾のブログ blog28.fc2.com/blog-entry-2309.html?sp
セルフ塾のブログ
遠山啓氏の水道方式開発のきっかけは、娘が算数に苦しむ姿を見たこと 20110507
遠山がこの問題に取り組むきっかけになったのは、娘さんが算数に苦しむ姿を見たことだった
悩む娘さんに手を貸そうとした遠山は、彼女が算数を理解できないのは、彼女の頭が悪いせいではなく教科書がよくないからだ、と気づいた。
URLﾘﾝｸ(goukaku-suppli.com)
合格サプリ 2021.12.14
【3分で分かる！】三角関数の重要公式「加法定理」の語呂合わせ・覚え方まとめ
咲いた コスモス コスモス咲いた
sin(α+β)＝sinα cosβ + cosα sinβ
URLﾘﾝｸ(gokaku-oentai.com)
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【国公立・早慶】文系の大学受験で数学を選択するメリットとは？ 20180530
国立文系は数学が必要不可欠
ほとんどの国立大学の文系学部では、センター試験で「外国語、国語、理科、数学、地理、歴史、公民」が課されるのが一般的です。
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313:ticles/b86e1949eb7665992f54878c0e6c9b6be5f03e0c 高校数学の三角関数「社会に出ると役に立たない」とやり玉にあがるけど… “新たな視点”を提供する作家のツイートが話題 2022/11/29 まいどなニュース 「麻生議員が生きるだけなら小学生の学力で問題ない。と発言された事がありますね
314:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:14:36.75 u8Rutndb.net
ついでだから訊ねるけど
tanθの級数展開
どうやって計算するつもり？
315:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:23:25.75 u8Rutndb.net
>>288
>オイラーの式 e^iθ＝cosθ+isinθ
>を一つ覚えておけば、三角関数では、勝ち組だよ
だから大学の数学で落ちこぼれたんだな
いきなり実数の定義とか言って
デデキント切断とか基本列とか出てきて
なんじゃこりゃ～とか言って休学
そんなやつがたくさんいたよ
小手先の知恵で入試乗り切った田舎秀才に多いんだ
大学合格がゴールで燃え尽きる典型
316:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:28:56.46 u8Rutndb.net
三角関数を幾何学的に定義するのがいいとは思わんが
だからといっていきなり
e^iθ＝cosθ+isinθ
とかいうヘロインを打っちゃうと癈人になる
まずはモルヒネから始めないと😏
317:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:32:38.38 3CVtXAp9.net
>>286
>e^xのマクローリン展開に対して
>実数であるxに純虚数iθを入れても良いことを
>高校数学に過ぎない数IIIで正当化出来る？
そもそも、いまの数IIIでは、マクローリン展開もテーラー展開も扱わないらしいけど
昔はあった
なお 下記より
e^xのマクローリン展開に限れば、展開係数の分母がn！（つまり係数自身は1/n！）
これは、xの全範囲で絶対収束することが、分かる
（xの絶対値を考えれば良い。係数 1/n！だから、収束はほぼ自明）
そもそも
高校で数学で何を教えるか？
ここに戻るでしょ？
いまの高校数学教程も、いろいろ批判されています
URLﾘﾝｸ(univ-study.net)
理系大学生の数学駆け込み寺
超がつくほど簡単！ex のマクローリン展開【公式・証明といろいろ】
2018年3月17日2022年5月8日
e^x のマクローリン展開は e^x=1+1/1!x+1/2!x^2+? と表される
318:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:40:34.86 3CVtXAp9.net
>>289
ほいよ
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
tanxの高階微分とマクローリン展開 更新日時 2022/10/05
tanx のマクローリン展開（x=0 におけるテイラー展開）は
tan=x+1/3 x^3+2/15x^5+17/315 x^7+・・・
tanx の n 階微分をn=5 くらいまで計算してみましょう。いくつか面白い性質が発見できます。
目次
tanxの高階微分
ベルヌーイ数を用いた表現
319:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:40:35.71 u8Rutndb.net
>>292
>e^xのマクローリン展開に限れば、
>展開係数の分母がn！（つまり係数自身は1/n！）
>これは、xの全範囲で絶対収束することが、分かる
なぜ、分かる？
>（xの絶対値を考えれば良い。
> 係数 1/n！だから、収束はほぼ自明）
なぜ、自明？
収束の定義、知ってる？
今いったことから収束すると示してくれる？
高校数学の数学IIIで
320:１３２人目の素数さん
23/02/08 16:42:03.71 u8Rutndb.net
>>293
カンニング？
それじゃ大学で落ちこぼれるわな
321:１３２人目の素数さん
23/02/08 19:23:58.42 vv+GVmuk.net
大学数学科での数学。
URLﾘﾝｸ(avgdr60221367.)はてなブログ.com/entry/2019/05/15/052945
322:１３２人目の素数さん
23/02/08 19:36:43.76 vv+GVmuk.net
>”咲いた コスモス コスモス咲いた”
覚える必要がない
(c1+i*s1)(c2+i*s2)
=(c1c2+i*(s1c2+c1s2)+i^2*s1s2
=(c1c2-s1s2)+i*(s1c2+c1s2)
だからいってるじゃん
複素数の掛け算でしかないって
オイラーの式のはるか手前
323:１３２人目の素数さん
23/02/08 23:32:06.78 IfFd6N6h.net
>>265
>深谷圏
下記のFukaya category 見たけど、分からなかったｗ
けど、Kaoru Ono (小野 薫）って人が、共同研究者なんね
小野 薫氏、望月IUTの
324:論文審査の編集委員の一人だったことを思い出した いま、RIMSの長だね https://en.wikipedia.org/wiki/Fukaya_category Fukaya category Bibliography ・Fukaya, Kenji; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part I, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 46, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4836-4, MR 2553465 ・Fukaya, Kenji; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part II, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 46, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4837-1, MR 2548482 https://mathoverflow.net/questions/2905/is-the-fukaya-category-defined Is the Fukaya category "defined"? asked Oct 27, 2009 Kevin H. Lin https://en.wikipedia.org/wiki/Kaoru_Ono Kaoru Ono (小野 薫, Ono Kaoru, born 1962) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E9%87%8E%E8%96%AB 小野 薫（おの かおる、1962年 - ） 2022年4月より京都大学数理解析研究所所長。
325:１３２人目の素数さん
23/02/09 00:28:01.09 w492Wd/Q.net
>>294
指数関数の級数展開
e^x＝1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・+1/n! x^n+・・
で、xを複素数iθに拡張する e^iθ だね
あとは、下記の通りだな（収束は下記の[注 1]にも詳しい）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの公式
e^iz=cos z+isin z
指数関数と三角関数
実関数としての指数関数 ex, 三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すると
e^x＝1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・+1/n! x^n+・・
略
これらの冪級数の収束半径が ∞ であることは、ダランベールの収束判定法によって確認することができる[鋳 1]。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
chiebukuro.yahoo
nis********さん
2009/6/3 14:43
1回答
e^xの収束半径は無限大らしいのですが、どのように証明すればよいですか??
わかる方解説お願いしますm(__)
ベストアンサー
このベストアンサーは投票で選ばれました
pgs********さん
2009/6/3 15:45
べき級数Σ〔ｎ=０→∞〕（Ｃｎ）ｘ＾ｎとすれば、収束半径ｒは
ｒ=1/ρ
（ただし、ρ=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕｜Ｃｎ+1/Ｃｎ｜）
で与えられます。
この問題では、Ｃｎ=1/ｎ！、Ｃｎ+1=1/（ｎ+1）！ですから、
ρ=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕｜（1/（ｎ+1）！）/（1/ｎ！）｜
=ｌｉｍ〔ｎ→∞〕1/（ｎ+1）=0
したがって、ｒ=∞です。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
階乗
n の階乗（かいじょう、英: factorial）n?!
階乗の増大度
「スターリングの近似」も参照
n が増えるにつれて、階乗 n?! は n を変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する（ただし、二重指数関数よりは遅い）。
326:１３２人目の素数さん
23/02/09 05:58:22.79 H8W/78mR.net
>>298
>Fukaya category 見たけど、分からなかった
だって category の定義が分からないんだろ 当然じゃん
無理だからきれいさっぱり諦めな
数学書も全部売り払いな
1ページどころか1行も理解できないから
反論の余地 全くないだろ
自分にできない�
327:ｱとをやろうとしない 賢い人の最も重要な知恵 >>299 理解せずに他人の文章コピペしても 数学は全く理解できないよ 例えばなんでダランベールの判定法で収束が判定できるか分かる？ 分からずに盲信するのは数学という学問じゃなく算数という技能 学問には頭が必要だが、算数には必要ない 君は算数を数学だと誤解してるんだよ
328:１３２人目の素数さん
23/02/09 08:14:31.02 w492Wd/Q.net
>>300
> category の定義が分からない
そうだよね
数学科で落ちこぼれて35年 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
代数系は全滅のあなた
”category の定義が分からない”
のだねｗｗ
うんうんｗｗｗ
329:１３２人目の素数さん
23/02/09 08:17:42.05 w492Wd/Q.net
>>300
> 例えばなんでダランベールの判定法で収束が判定できるか分かる？
引用している部分は、全体の数分の一だ
全文読みなよ、引用部分だけじゃなく
例えば、chiebukuro.yahooの証明の前段とか
[注 1]にも詳しいよ
そして、”ダランベールの判定法”が理解できないならば
自分で検索しなよ
アホ丸出し
330:１３２人目の素数さん
23/02/09 09:00:12.81 lqFsfOvJ.net
>>301
>あなた
>”category の定義が分からない”
>のだね
それ自分だろ
勉強嫌いのくせに承認欲求だけ人一倍強い
病んでるな
>>302
軽率にオイラーの式に飛びつく奴に限って
収束の定義知らないし知る気もないんだよな
数学は算数だと思ってるみたい
331:１３２人目の素数さん
23/02/09 09:13:53.36 lqFsfOvJ.net
そもそも高い立場の例とその説明がお粗末
要は加法定理の公式すら覚えられんから
覚えなくても済む方法があればすがりつきたい
とかいう実にお粗末な動機なんだろうが
そうだとしても
「三角関数を幾何学的に定義するのではなく
絶対値1の複素数を底とする指数関数の
実部、虚部として定義する」
といえば格好がつくと言うもんだ
332:１３２人目の素数さん
23/02/09 09:18:32.12 lqFsfOvJ.net
>>304
大学数学で同様の例を出すとすれば
行列式について置換の偶奇による定義ではなく
交代多重線形形式という定義を用いるというのがある
333:１３２人目の素数さん
23/02/09 23:47:55.10 w492Wd/Q.net
>>160
>モンストラス・ムーンシャイン
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モンストラス・ムーンシャイン
歴史
1980年、オリバー・アトキン（英語版）(A. Oliver L. Atkin)とポール・フォング(Paul Fong)とステファン・スミス(Stephen D. Smith)は、そのような次数付き表現が存在し、計算機での計算することで、トンプソンの発見した境界の差異を無視すると(upto) M の表現の（次元の）中へ j の係数が分解することを示した。イーゴル・フレンケル（英語版）(Igor Frenkel)とジェームズ・レポウスキー（英語版）(James Lepowsky)は、明確に、表現を構成し、マッカイ・トンプソン予想が有効であるという答えを与えた。さらに彼らは、構成したムーンシャイン加群
V^＃ と呼ばれるベクトル空間が、頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)の加法構造を持ち、その自己同型群が正確に M に一致することを示した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Igor Frenkel
Mathematical work
In collaboration with James Lepowsky and Arne Meurman, he constructed the monster vertex algebra, a vertex algebra which provides a representation of the monster group.[3][4]
Around 1990, as a member of the School of Mathematics at the Institute for Advanced Study, Frenkel worked on the mathematical theory of knots, hoping to develop a theory in which the knot would be seen as a physical object. He continued to develop the idea with his student Mikhail Khovanov, and their collaboration ultimately led to the discovery of Khovanov homology, a refinement of the Jones polynomial, in 2002.[5]
A detailed description of Igor Frenkel's research over the years can be found in "Perspectives in Representation Theory".
つづく
334:１３２人目の素数さん
23/02/09 23:48:19.95 w492Wd/Q.net
>>306
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Edward Frenkel
Edward Vladimirovich Frenkel 1968
Russian-American mathematician working in representation theory, algebraic geometry, and mathematical physics. He is a professor of mathematics at University of California, Berkeley, a member of the American Academy of Arts and Sciences,[1] and author of the bestselling book Love and Math.[2]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エドワード・フレンケル
1968年5月2日 -
ベストセラーの書籍『Love and Math』(日本語版：『数学の大統一に挑む』)の著者である[2]。
数学上の業績
ニコライ・レシェーツキン（英語版）と共に、フレンケルはW-代数と量子アフィン代数（英語版）の表現のq指標を導入した。 フレンケルの最近の業績は、ラングランズ・プログラムと表現論、可積分系、幾何学そして物理学とのつながりに集中している。デニス・ゲイツゴリとカリ・ヴィロネン（英語版）と共に、フレンケルは一般線型群GL(n)に対する幾何学的ラングランズ予想を証明した。ロバート・ラングランズとゴ・バオ・チャウとの共同研究により、保形表現の関手性と跡公式への新たなアプローチを提案した。フレンケルはまた、(特にエドワード・ウィッテンとの共同研究により)、幾何学的ラングランズ対応と場の量子論における双対性の間の関係性を追求している。
(引用終り)
以上
335:１３２人目の素数さん
23/02/10 08:21:36.41 t24JvS7F.net
>>299
>ダランベールの収束判定法
これ面白ね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ダランベールの収束判定法
ダランベールの収束判定法（ratio test）とは、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。級数における、前後の項の比を考える。もし、この比の極限が 1 未満であれば、級数は絶対収束する。
この判定法は、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発表された。
判定法
厳密には、ダランベールの収束判定法は、次のように述べられる。
lim _n→ ∞ |a_n+1/a_n|<1
であれば、級数
Σ _n=1～∞ a_n
は絶対収束する。また、
lim _→ ∞ | a_n+1/a_n|>1
であれば、級数は発散する。
もし、極限がちょうど 1 であれば、級数は収束する場合もあるし、発散する場合もある。従って、この場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジャン・ル・ロン・ダランベール（Jean Le Rond d'Alembert、1717年11月16日 - 1783年10月29日）は、18世紀フランスの哲学者、数学者、物理学者
1743年に『動力学論』を刊行し、全ヨーロッパで脚光を浴びる。次いで「流体の釣�
336:闕№｢と運動論」「風の一般的原因に関する研究」などの物理学的研究を次々に発表した。その研究はパリ社交界でも注目され、科学関係者だけでなくディドロ、ルソー、コンディヤックらの哲学者と知り合い、関心分野を広げた。その知名度と関心の広さを見込まれ、ディドロとともに『百科全書』の責任編集者となり、その刊行（1751年）にあたっては序論を執筆した。 『百科全書』には、他に「力学」「原因」「加速的」など150の項目を執筆、それらをとおし「力学は単なる実験科学ではなく、混合応用数学の第一部門である」との説を主張した。ダランベール力学の大きな功績は、ニュートン力学を肯定しながらも、そのなかにみられた神の影響を払拭した点にある。また「動力学」の項目では「ダランベールの原理」を明らかにしている。
337:１３２人目の素数さん
23/02/10 09:42:18.90 Gw+Md1wQ.net
ダランベールの収束判定法は
a_{n+1}/a_n の極限値が確定しない場合にはどうなるのかということに
対する説明がたいていの安物の図書には書かれていない。
数列a_nはいつも都合良くa_{n+1}/a_n の極限値が確定するもの
ばかりではないことに注意。
338:１３２人目の素数さん
23/02/10 09:51:17.52 MuqAkn5N.net
>>309
ダランベールの判定法≠収束の定義
って分かってるか？
339:１３２人目の素数さん
23/02/10 09:53:29.17 MuqAkn5N.net
なんか定義も理解せずに
生半可に方法だけに頼る
算数馬鹿っているよな
340:１３２人目の素数さん
23/02/10 12:39:45.54 M7xNz7ND.net
>>311
それは自分の事だと分かっている人は
そういうことを言って人を非難しない
341:１３２人目の素数さん
23/02/10 13:09:24.03 6XP++niM.net
>>312
自分はそうじゃないから
他人の残念な行為を非難する
そらそうよ
342:１３２人目の素数さん
23/02/10 13:15:26.24 lOmsdjBt.net
>>309-311
ほいよ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ratio test
The test was first published by Jean le Rond d'Alembert and is sometimes known as d'Alembert's ratio test or as the Cauchy ratio test.[1]
Proof
略
Extensions for L = 1
略
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
収束級数
URLﾘﾝｸ(mathlandscape.com)
数学の景色
級数の収束・発散判定法13個まとめ
2021.09.112021.08.02
目次
【必須知識】級数の収束・発散判定法まとめ1
各項が0に収束するかどうか
絶対収束すれば収束する
交代級数の収束性（ライプニッツ）
比較判定法
広義積分による収束判定法
ダランベールの収束判定法
コーシーの収束判定法
【知っておくとよい】 収束・発散判定法まとめ2
アーベルの収束判定法
ディリクレの収束判定法
Cauchy Condensation Test
ラーベの収束判定法
ガウスの収束判定法
Bertrandの収束判定法
343:１３２人目の素数さん
23/02/10 13:26:57.69 6XP++niM.net
>>314
収束の定義、説明できる？
344:１３２人目の素数さん
23/02/10 13:34:57.83 6XP++niM.net
質問
1. 無限小数が実数を表すと言える根拠を示せ
2. 1=0.999…と言える根拠を示せ
345:１３２人目の素数さん
23/02/10 17:44:21.69 sabvD+5c.net
>>313
>>自分はそうじゃないから
自分はそうじゃないと勘違いしているから
346:１３２人目の素数さん
23/02/10 21:11:28.36 t24JvS7F.net
>>306 追加
>頂点作用素代数（英語版）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科・教授
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
河東泰之の雑文リスト
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
347:f [37] 共形場理論と作用素環，頂点作用素代数, 日本数学会2005年年会企画特別講演，2005年3月． 河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科 前置き 場の量子論はもちろん物理学の理論である．そこに現れる数学的構造が数学の立場からも 大変興味深いものであるため，多くの数学者がそれに興味を持っている．ここで取り上げ るのは，共形場理論と呼ばれる，特に高い対称性を持つ場合の理論である．この理論を， 無限次元代数系を用いて数学的に研究しようとする流儀が二つある．一つは，作用素環の 族を用いる，代数的場の量子論と呼ばれるもの，もう一つは頂点作用素代数の理論であ る．この二つの理論の関係，相互に与えた影響について説明することがこの講演の目的で ある．一般に「量子何とか」と呼ばれる数学に興味はあるが，これら二つの理論について はどちらもよく知らない，という人を主なターゲットにして話をしたい．ここでは，物理 的なことはあまり表に出さず，代数系とその表現という見方を中心に説明していく．なお この二つは，日本数学会の分科会で分けるとそれぞれ函数解析学と代数学に属しており， 一見まったく別の分野のようだが，もともと同じ対象を数学的に公理付けする際に違う流 儀を取っているというだけのことで，とてもよく似たものであることを強調しておきた い．(これは当然のことであり，似ていなかったら，少なくともどちらかの考え方が誤っ ているのである．)， つづく
348:１３２人目の素数さん
23/02/10 21:13:08.03 t24JvS7F.net
>>318
つづき
これら二つの理論の説明に入る前に，両者の背後にある伝統的な場の量子論の Wightman による数学的な公理化について簡単に説明しておこう．これは古くからあって，た
とえば [31] に出ている標準的なものであるが，ここでは正確な形は述べず，あとの考え
方に必要なことだけを述べる．基本的な数学的対象は，Minkowski 空間上の作用素値超
関数の族である．ここで作用素値超関数とは，試験関数にほどこすと，（一般に非有界な）
作用素を与えるもので，これらの作用素は「真空ベクトル」と呼ばれる特別なベクトル
を持つ共通の Hilbert 空間に作用している．また，この Hilbert 空間上には「時空の対称
性を表す群」のユニタリ表現が存在して，しかるべき「共変性の公理」を満たす．今考え
ている時空は Minkowski 空間なので，「時空の対称性を表す群」として自然なものは制限
Poincar´e 群の普遍被覆であるが，あとではもっと大きな群，すなわち高い対称性を考え
る．この表現に関する，スペクトル条件も重要な公理であるが，概念的な理解にはそれほ
ど重要ではないのでここでは省略する．また相対論的因果律によって，互いに空間的な二
つの時空領域の間には影響は及ばないので，このことを表す局所性の公理が大変重要であ
る．この公理についてはあとで，作用素環のネットの場合と，頂点作用素代数の場合につ
いて説明する．
(引用終り)
以上
349:１３２人目の素数さん
23/02/11 07:01:16.80 ofdtus3O.net
>>318-319
鵜の真似をする烏
数学者のふりをする承認欲求
♪読んでもらえぬコピペ文
寒さこらえて貼ってます
男心の未練でしょう
栄光恋しい北新地
350:１３２人目の素数さん
23/02/11 08:12:41.31 cDdl8Z4s.net
>>320
・"承認欲求"って、ここは基本、二人しかいないぞｗ（最底辺のきみ とｗ）
・”読んでもらえぬコピペ文”ってｗ、
”文”自身は河東泰之 のだぞｗ
URLのリンク貼ってあるから、そちらから読めば良いｗ
・コピペ文があると、一般のネット検索キーワードで、結構ヒットするよ
５ｃｈは、google検索で結構上位に来る
だから、過去ログになっても有効で、過去ログ読む人も（つーか、自分が過去ログ検索で重宝している）
・頂点作用素代数を知ったのは、20世紀だった
南部さんの記事で、物理系だった
弦理論（ひも理論）の基礎として、頂点作用素代数やビラソロ代数(下記)が発展して、ムーンシャインと結びついた
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィラソロ代数
ヴィラソロ代数（Virasoro algebra）は、円周上定義される多項式ベクトル場全体の成すリー環の複素化（ヴィット代数）の中心拡大として与えられる無限次元複素リー環で、共形場理論や弦理論において広く用いられる。名称は物理学者のミゲル・ヴィラソロ（英語版）に由来する。
定義
略
ここでの中心元 C はセントラルチャージと呼ばれる
つづく
351:１３２人目の素数さん
23/02/11 08:13:22.81 cDdl8Z4s.net
>>321
つづき
歴史
ヴィット環（ヴィラソロ代数から中心拡大を除いたもの）は Cartan (1909) によって発見された。その有限体上の類似物が1930年代にエルンスト・ヴィットによって研究される。ヴィラソロ代数を与えるヴィット環の中心拡大が（正標数の場合に）初めて Block (1966, p. 381) によって発見され、それと独立に Gel'fand & Fuks (1968) によって（標数0の場合が）再発見された。ヴィラソロは1970年、双対共鳴モデルの研究の中でヴィラソロ代数を生成する演算子のいくつかを書き下ろしているが、中心拡大の発見には到っていない。Brower & Thorn (1971, p. 167) によれば、中心拡大がヴィラソロ代数を与えることの物理学における再発見は程なく J. H. Weis によって成されている。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
南部 陽一郎（なんぶ よういちろう、英語: Yoichiro Nambu、1921年1月18日 - 2015年7月5日[1][2][3]）は、日系アメリカ人の理論物理学者。
人物
日系アメリカ人（一世）の理論物理学者で1952年に渡米、1960年代に量子色力学と自発的対称性の破れの分野において先駆的な研究を行ったほか、弦理論の創始者のひとり[6]としても知られ、現在の素粒子物理学の基礎をなす様々な領域に多大な貢献をなした。特に、自発的対称性の破れの発見により、2008年にノーベル物理学賞を受賞した[7]。シカゴ在住だったが、晩年は大阪府豊中市の自宅で暮らしていた。
研究
1970年にハドロンの性質を記述する模型として弦理論（ひも理論）の提案を行った（同時期にレオナルド・サスキンド、ホルガー・ニールセンが独立に提唱）。しかし弦理論は、ハドロンの理論としては問題点があることが明らかになった。一方でゲージ理論としての量子色力学が確立していった時期でもあり、多くの研究者は弦理論から離れていった。弦理論はその後、ジョン・シュワルツらにより、ハドロンではなく重力を含む統一理論として研究が続けられた（超弦理論）[16]。
(引用終り)
以上
352:１３２人目の素数さん
23/02/11 09:06:05.02 cDdl8Z4s.net
>>315
>無限小数が実数を表す
URLﾘﾝｸ(jp.indeed.com)
Indeed
キャリア開発
実数と整数の定義とその違いとは？
著者Indeed キャリアガイド編集部
更新：2022年12月20日
投稿：2021年10月29日
Indeed キャリアガイド編集部は、さまざまな分野の知識を持つ才能豊かなライター、研究者、専門家のメンバーで構成されています。Indeed のデータと知見を駆使して、あなたのキャリア形成に役立つ情報をお届けします。
実数と整数の違いはご存じでしょうか。似たような数だと思われているかもしれませんが、実は大きく異なります。
無理数
・オイラーが発見したネイピア数（e）は、規則性や終わりのない小数です。
・黄金比に現れる黄金数（φ）もまた、終わりがなく、規則性を見出すことのできない小数です
(引用終り)
ああ、引用したけど、ひどいね
”オイラーが発見したネイピア数（e）”は、形容矛盾でしょ？ｗ 下記のネイピア数 歴史ご参照（英文も）
黄金比で、”規則性を見出すことのできない小数”は、ちょっとね。黄金比は下記だが、連分数表示は規則性を持つ。だから、「循環小数ではない」としないと
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである
1：(1+√5)/2
以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質で
連分数表示
黄金数は次のような連分数表示を持つ
つづく
353:１３２人目の素数さん
23/02/11 09:06:54.92 cDdl8Z4s.net
>>323
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ネイピア数
歴史
ネイピア数の近似値と言えるものが記された最も古い文献は、1618年、ジョン・ネイピアによって発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体はウィリアム・アウトレッドによって書かれたとされている。
厳密にネイピア数そのものを見い出したのはヤコブ・ベルヌーイと言われており、複利の計算で
lim n→∞ (1+1/n)^n.
を求めようとした。これは e に等しくなる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematical_constant)
e (mathematical constant)
History
The first references to the constant were published in 1618 in the table of an appendix of a work on logarithms by John Napier. However, this did not contain the constant itself, but simply a list of logarithms to the base e. It is assumed that the table was written by William Oughtred.[3]
The discovery of the constant itself is credited to Jacob Bernoulli in 1683,[8][9] the following expression (which is equal to e):
lim n→∞ (1+1/n)^n.
The first known use of the constant, represented by the letter b, was in correspondence from Gottfried Leibniz to Christiaan Huygens in 1690 and 1691.[10] Leonhard Euler introduced the letter e as the base for natural logarithms, writing in a letter to Christian Goldbach on 25 November 1731.[11][12] Euler started to use the letter e for the constant in 1727 or 1728, in an unpublished paper on explosive forces in cannons,[13] while the first appearance of e in publication was in Euler's Mechanica (1736).[14]
Although some researchers used the letter c in the subsequent years, the letter e was more common and eventually became standard.
(引用終り)
以上
354:１３２人目の素数さん
23/02/11 09:10:33.47 cDdl8Z4s.net
>>323
補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という。
また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう：非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる（アルキメデス的順序群に関するHolderの定理による）。これを実数体と呼ぶ。実数体の元（＝要素）を実数という。
これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]。
実数の表示
現代数学の体系において実数が構成されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは ?1.13 や 3.14159... のような（有限とは限らない）小数表示がよく用いられる。
また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。
実数の様々な構成
詳細は「:en:Construction of the real numbers」を参照
コーシー列を用いた構成
以下略
355:１３２人目の素数さん
23/02/11 09:50:39.64 cDdl8Z4s.net
>>325
>コーシー列を用いた構成
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先の方で殆ど値が変化しなくなるものをいう。基本列（きほんれつ、fundamental sequence）、正則列（せいそくれつ、regular sequence）[1]、自己漸近列（じこぜんきんれつ）[2]などとも呼ばれる。実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。
コーシー数列
無限数列 (xn) について
lim_n,m→∞ |x_n-x_m|=0
が成り立つとき、数列 (xn) はコーシ－列である（あるいはコーシー的である、コーシー性を持つ）という。有限数列 (x1 ,x2, …, xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。
数学史における位置付け
18世紀、オイラーらによって大きな進歩を遂げた解析学は、19世紀にはより厳密性が求められるようになった。そこでボルツァーノやコーシーらによって連続や収束がはっきりと捉えられるようになったものの、未だに実数とは何であるのか不明瞭であった。19世紀後半には実数を算術的に定義する方法が盛んに研究され、その中で現在コーシー列と呼ばれる概念を導入したのがカントールである。
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, …) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。
この同値関係 ～ で割った[注 3]商環 X/～ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/～ を R と書き、実数体とよぶ。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cauchy sequence
356:１３２人目の素数さん
23/02/11 09:54:33.43 cDdl8Z4s.net
>>315
ほいよ
URLﾘﾝｸ(math-note.com)
数学ノート
数列が収束するとは？数列の収束の計算方法について解説（解析学 第I章 実数と連続３）
2019年9月7日 / YUYU /
数の厳密な定義ができたところで,次は高校数学でも学んだ数列の収束について定義したいと思います.高校数学ではだんだんとその値に近くことと定義しましたが,ε-N論法を用いて定義を行い,数列の収束問題の計算方法について定義から導かれる結論を解説します.
目次【本記事の内容】
数列の収束
数列の極限の計算方法
まとめ
なお,「東京大学出版 杉浦光夫著 解析入門１」を参考としております.
357:１３２人目の素数さん
23/02/11 09:56:22.19 cDdl8Z4s.net
>>323
リンク訂正
>>315
>無限小数が実数を表す
↓
>>316
>無限小数が実数を表す
358:１３２人目の素数さん
23/02/11 10:04:37.58 cDdl8Z4s.net
>>316
> 2. 1=0.999…と言える根拠を示せ
ほいよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
0.999...
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
0.999...
359:１３２人目の素数さん
23/02/11 10:20:23.67 ofdtus3O.net
>>321-322
>ここは基本、二人しかいないぞ
それは正しいかもしらんが
>最底辺のきみ
それは誤りだな どん底にいるのは君
いまだに分かってなかったのか？
で、言い訳はカットした上で
>頂点作用素代数を知ったのは、20世紀だった
「・・・という言葉だけを知ったのは」だな
定義すら理解してないんだから 知ったといえない
>(参考)
読まずにコピペしても誰も褒めないからやめな
君が褒められるのはここに書き込まないことだけ
360:１３２人目の素数さん
23/02/11 10:25:19.71 ofdtus3O.net
>>327-329
>ほいよ
君は、自分が全く理解できなかったとき
読まずにコピペで丸投げする
みんなにバレてるよ いい加減気づきな
さて、本題
>(数列の収束は）高校数学では
>だんだんとその値に近くことと定義しましたが
なぜその定義では「いかん」のか示せ
そこがわかってないなら
大学数学は根本から全くわかってない
ま、頑張って
361:１３２人目の素数さん
23/02/11 16:14:32.66 cDdl8Z4s.net
>>321 追加
Lie群 SO(n, F) 下記Hは4元数
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
Lie群とLie代数 小玉 英雄
LastUpdate: 2007.5.20
目次
古典群 42
4.1 古典群の定義 ............................... 43
4.1.3 O(n, F), SO(n, F), O(p, q; F), SO(p, q; F), SO?(2n) ....... 45
F = R, C, H に対して，Ip,q を (p, q) 型の単位対角行列として，(p, q) 型直交群を
O(p, q; F) = {X ∈ GL(p + q, F)| X?T Ip,qX = Ip,q}, (4.35a)
SO(p, q; F) = O(p, q; F) ∩ SL(p + q, F), (4.35b)
O(n, F) = O(n, 0; F), SO(n, F) = SO(n, 0; F) (4.35c)
により定義する．ただし，x = x0 + ix1 + jx2 + kx3 ∈ H に対して，x? = x0 + ix1 ?jx2 + kx3 である．
特に，F = C に対して，
O(p, q; C) = O(p + q, C), SO(p, q; C) = SO(p + q, C) (4.36)
で，SO(n, C)(n ? 3, ≠4) は単純かつ半単純な複素 Lie 群である．また，F = H に対しては，
O(p, q; H) = SO(p, q; H) = SO(p + q, H) (4.37)
となる（SL の定義の特殊性により）．
一方，F = R に対しては，
O(p, q; R) = O(p, q), SO(p, q; R) = SO(p, q), O(n, R) = O(n), SO(n, R) = SO(n)
(4.38)
と表記する．SO(p, q)(p + q > 2) は半単純な実 Lie 群である．また，SO(n) はコンパクトとなる．
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
小玉 英雄 京都大学 基礎物理学研究所 教授
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
Kodama, Hideo (小玉 英雄)
2007/4/1 - 2016/3/31
Full professor of the Institute of Particles and Nuclear Study, the High Energy Accelerator Research Organization (KEK) (高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所教授)
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
362:１３２人目の素数さん
23/02/11 16:15:47.24 cDdl8Z4s.net
>>332 追加
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
トポロジー 小玉 英雄
LastUpdate: 2003.4.12
目 次
1 ホモロジーとコホモロジー 5
6.2 ベクトルバンドル ....................... 71
6.2.5 Chern 類 ........................ 81
6.2.8 スピン構造 ...................... 86
6.2.8 スピン構造
【定義 6.43 (スピン構造)】 ξ を CW 複体 X 上の n 次元ベクトルバ
ンドルとするとき，ξ のスピン構造を次のいずれかで定義する．3 つ
の定義は同等である．
7 Knots and Links 87
7.4.2 Jones 多項式 ...................... 94
7.5 抽象テンソルと Yang-Baxter 方程式 ............. 98
363:１３２人目の素数さん
23/02/11 16:35:48.27 cDdl8Z4s.net
>>333 追加
わずか30ページで物理用の代数が終わる
Clifford 代数が入っているのが、物理用らしいね
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
代数 小玉 英雄 LastUpdate: 2006.10.20
目 次
1 加群 3
1.1 基本事項 .............. 3
1.1.1 自由加群 ............ 3
1.1.2 移入的加群 ........... 3
1.1.3 射影的加群 ........... 4
1.2 半単純加群 ............. 5
1.3 半単純環 .............. 9
1.4 Hom と ○x .............. 12
1.4.1 完全系列への作用 .......... 12
2 可換環 14
2.1 基礎事項 .............. 14
2.1.1 イデアル ............ 14
2.2 整拡大 ............... 16
2.3 Artin 環 .............. 16
2.3.1 例 .............. 16
2.3.2 性質 ............. 17
2.4 Noether 環 .............. 17
2.4.1 例 .............. 17
2.4.2 性質 ............. 17
2.5 正規環 ............... 18
2.5.1 例 .............. 18
2.5.2 性質 ............. 18
2.6 局所環 ............... 19
2.6.1 Noether 局所環 .......... 19
3 代数 20
3.1 外積代数 .............. 20
3.2 Clifford 代数 ............. 24
3.2.1 定義と一般的性質 .......... 24
3.2.2 構造 ............. 25
3.2.3 分類と相互関係 .......... 27
3.2.4 表現 ............. 28
4 体 30
4.1 諸定義 ............... 30
4.2 拡大体 ............... 30
4.2.1 基礎事項 ............ 30
4.3 有限体 ............... 31
P32
参考文献
[1] 山崎圭次郎：環と加群 (岩波書店, 1990).
[2] 横田一郎：群と位相 （裳華房，1973）.
[3] A.O. Barut and R. Raczka: Theory of group representations and applications.
[4] 竹内外史： リー代数と素粒子論（裳華房，1983）．
[5] H.B. Lawson, Jr. and M-L. Michelsohn: Spin Geometry (Princeton Univ. Press, 1989).
364:１３２人目の素数さん
23/02/11 17:04:18.74 ofdtus3O.net
>>332-334
承認欲求は物理板逝けよ
物理屋は数学用語の定義とか定理の証明とか
突っ込んでこないから
でも計算できないんなら無能扱いされるけどな
365:１３２人目の素数さん
23/02/11 17:05:49.83 cDdl8Z4s.net
>>333 追加
物理用Geometry
Sheaf、Algebraic Geometryもあるね
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
Geometry LastUpdate: 2006.9.26 小玉 英雄
目 次
1 Differential Geometry 7
1.1 History ........
1.1.6 Thurston 予想，Hamiton フロー，3 次元 Poincare予想 .......................... 9
1.6 Einstein 空間 ......................... 31
1.6.4 モジュライ空間 E (M) ................ 32
2 Sheaf 50
2.3 Cohomology .......................... 57
2.3.1 層係数コホモロジー ................. 57
2.3.2 Ceck コホモロジー .................. 60
2.3.3 高次順像 ........................ 61
4 Algebraic Geometry 115
4.1 スキーム代数多様体 ..................... 115
4.1.1 代数的局所モデル ................... 115
4.1.1.1 アフィン代数多様体 ............ 115
4.1.1.2 アフィンスキーム ............. 116
4.1.2 スキーム ........................ 118
4.1.2.1 基本定義 .................. 118
4.1.2.2 ファイバー積 ................ 119
4.1.2.3 有限射と固有射 ............... 119
4.1.2.4 局所自由層と準連接層 ........... 120
4.1.3 代数的スキーム .................... 121
4.1.3.1 定義 ..................... 121
4.5 特異点 ............................. 155
4.5.2 特異点解消 ...................... 165
4.5.3 広中の定理 ...................... 166
5 Gauge Field Theories 196
5.1 Fundamentals ......................... 196
6 Noncommutative Geometry 199
6.1 超幾何学 ............................ 199
6.1.1 教科書とレビュー ................... 199
6.2 History ............................. 200
参考文献
366:１３２人目の素数さん
23/02/11 17:09:32.62 cDdl8Z4s.net
>>335
ここは、君と私の二人しかいない
無能は君だよ
読まずにコピペで丸投げする>>331
というけれど
それは、各人が判断すれば良い
賢い人は、一を聞いて十を知る
普通は、一を聞いて一を知る
君は、十を聞いて一を知るｗ
367:１３２人目の素数さん
23/02/11 17:34:02.01 cDdl8Z4s.net
>>318
>[37] 共形場理論と作用素環，頂点作用素代数
共形変換＝conformal transformation＝等角写像
だったのかｗ
リー群SO(d,2) >>332
なるほど
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
共形変換
共形変換（conformal transformation）とは、空間のある1点で交わった2曲線の接線のなす角度が保存される変換、等角写像とも。 並進、回転、スケール変換などはその最も簡単な例。 特に、2次元では無限個の変換が存在することが示され、複素平面上の解析関数で表現できる。場の理論において、共形変換のもとで不変となっている物理系を記述する理論を共形場理論と呼ぶ。
共形対称性
物理学において、場の理論の共形対称性は、ポアンカレ変換（時空の並進＋ローレンツ変換）、スケール変換（ディラテーション）、そして特殊共形変換のもとでの対称性によって構成される。これらの対称性から成る群を共形群、あるいは共形変換群と呼ぶ。
座標変換
ミンコフスキー時空上の座標xμに対する並進、ローレンツ変換、スケール変換、特殊共形変換は以下のようになる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
等角写像
等角写像（英: conformal transformation）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
共形場理論
共形場理論（Conformal Field Theory, CFT）とは、共形変換に対して作用が不変な場の理論である。特に、1+1次元系では複素平面をはじめとするリーマン面上での理論として記述される。
共形変換に対する不変性はWard-Takahashi恒等式を要請し、これをもとにエネルギー-運動量テンソル（あるいはストレステンソル）に関する保存量が導出される。また1+1次元系においては、エネルギー-運動量テンソルを展開したものは、Virasoro代数と呼ばれる無限次元リー代数をなし、理論の中心的役割を果たす。
共形変換群は、時空間の対称性であるポアンカレ群の自然な拡張になっており、空間d-1次元＋時間1次元のd次元時空間ではリー群SO(d,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+2)(d+1)/2個あり、その内訳は以下のとおり。
368:１３２人目の素数さん
23/02/11 17:53:07.42 ofdtus3O.net
>>337
> 無能は君だよ
ということにしたいんだね？
自分が有能だというつもりは毛頭ないが
そんな自分から見ても承認欲求君は残念すぎる
べつに数学を理解しなくても結構なのだが
君がそんな現実を受けいれずに
「数学が分かる自分」という妄想
に逃避したがるのでそれは有害無益だと
教えてあげている
君は１０年という時間を空費した
数学に興味がなければ学ばなくていいが
代わりに何か得たのか？ 何も得なかっただろう？
自分で馬鹿なことをしたと思わないか？
> 君は、十を聞いて一を知る
そういう君は百聞いても一も残らなかった
反論の余地は全くないはず
はっきりいって消化できないものを食いすぎなんだよ
まずは離乳食から始めよう
369:１３２人目の素数さん
23/02/11 17:59:45.50 ofdtus3O.net
私が知った一を君は知ったかい？
知ることができなかったよな？
なぜ知ることができなかった？
それは文章を読まず計算もしなかったからだよな？
なぜ文章を読まなかった？なぜ計算しなかった？
それはそもそも数学に何の興味もなかったからだよな？
なぜ興味もないのにここに書いている？
それは聞きかじりの知識をコピペすれば皆が感心すると
思い込んだからだよな？
なぜその思い込みが外れた？
それはそんなおめでたい奴が一人もいなかったからだよな？
いいかげん自分の甘い考えによる失敗に気付いたら
君は数学に全く興味がないし
他人をたぶらかすことにも失敗した
もうここでコピペ文を書く意味なんかないんだよ
書けば書くほど嘲り笑われる 決して認められないどころか
かえって君が馬鹿にされる それが望みか？
そんなわけないだろう
目を覚ませよ
370:１３２人目の素数さん
23/02/11 19:54:15.27 cDdl8Z4s.net
>>338 追加
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
EMANの物理学 > 物理数学 >
リー群は群論の一部
これから「リー群」または「リー代数」と呼ばれる分野について説明したいと思う.リー群は「群論」と呼ばれる数学の一部分ではあるが,独立した一分野のような広がりを持っている.群論の教科書を開いてみても「リー群」の話は紹介程度にしか載っていないことが多い.
群論の軽い説明
リー群とは何か
リー群とは何かということを書いておこう.今話しても少しも分からないかも知れないが,書かないで先延ばしにすると気になって仕方ないと思うので早めに書いておくのである.なんとなくでも覚えておくとその内に関連した話が出てくるのに気付くと思う.
リー群とは群の要素が
略
という形を持った群である.このT_kというのは行列であり,その要素は複素数である.指数関数の肩に行列を載せている辺りでもう何を言っているのかさっぱりわけが分からないかと思うが,その意味はこれから説明してゆくので安心して欲しい.
方針
数学の教科書でやっているような抽象的な議論では何のことを話しているのか分かりにくいので,まずは具体例を幾つか挙げて,それを後で数学の教科書のような形に一般化したいと思う.
白状すれば,そこまでできるかどうかは自信がない.というのも,リー群について詳しいところまで説明しようとすれば,やはり群についての基礎知識があれこれと必要であり,そこから説明するほどの気力はないからである.必要になれば説明する気になるかも知れないし,できるところまでやってみようと思う.
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
ユニタリ行列の性質
ユニタリ行列とエルミート行列の奇妙な関係。
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
SU(2)
電子のスピンに関係している。
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
SO(3)
3 次の特殊直交群。 球の回転を意味する。
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
U(1)
ゆっくりしていってね！ 2016/1/22
つづく
371:１３２人目の素数さん
23/02/11 19:54:45.34 cDdl8Z4s.net
>>341
つづき
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
SU(3)
ゲルマン行列の紹介
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
EMANの物理学 > 物理数学
リー群論
群論の軽い説明
ユニタリ行列の性質
UとHは一対一対応か
SU(2)
SO(2)
SO(3)
2l+1次元表現
交換関係の秘密
SO(3)とSU(2)の関係
直積表現と既約分解
U(1)
SU(3)
行列の規格直交化の意味
ゲルマン行列は特別なのか
8 次元表現
ウェイト図を描く
ルートベクトルの性質
(引用終り)
以上
372:１３２人目の素数さん
23/02/11 21:02:47.13 ofdtus3O.net
>>341-342
しれっと書く衝撃の事実
0．U(1)=SO(2)=S^1 （円)
「そんなん いわれんでも知っとるわ！」という方には
こちら！！！
1．SU(2)=Sp(1)=S^3 （三次元球面）
さらに
2．SO(3)=RP^3 （三次元実射影空間）
Q. 上記1．と2．を証明せよ
♪でっきるかな でっきるかな はてさて ｍｍ～
373:１３２人目の素数さん
23/02/11 21:04:46.90 ofdtus3O.net
>>343
さらに追加
・S^3がS^2のS^1束であることを示せ
・上記の束は自明束（つまりS^2×S^1）ではないことを示せ
♪でっきるかな でっきるかな はてさて ｍｍ～
374:１３２人目の素数さん
23/02/11 21:38:28.73 cDdl8Z4s.net
>>318
>[37] 共形場理論と作用素環，頂点作用素代数
”二重共鳴理論における「頂点」”（下記）か
そういえば、ありましたね。そういうの
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
encyclopediaofmath
Vertex operator
The term "vertex operator" in mathematics refers mainly to certain operators (in a generalized sense of the term) used in physics to describe interactions of physical states at a "vertex" in string theory [a9] and its precursor, dual resonance theory; the term refers more specifically to the closely related operators used in mathematics as a powerful tool in many applications, notably, constructing certain representations of affine Kac?Moody algebras (cf. also Kac?Moody algebra) and other infinite-dimensional Lie algebras, addre
375:ssing the problems of the "Monstrous Moonshine" phenomena for the Monster finite simple group, and studying soliton equations (cf. also Moonshine conjectures). The term "vertex operator" also refers, more abstractly, to any operator corresponding to an element of a vertex operator algebra or a related operator. (google訳一部手直し) 数学における「頂点.作用素」という用語は、主に、ストリング理論[a9]およびその前身である二重共鳴理論における「頂点」での物理的状態の相互作用を記述するために物理学で使用される特定の.作用素 (用語の一般化された意味で) を指します。この用語は、特に、アフィン Kac-Moody 代数 ( Kac-Moody 代数も参照) および他の無限次元リー代数の特定の表現を構築するために、多くのアプリケーションで強力なツールとして数学で使用される密接に関連する.作用素を指します。モンスター有限単純群の「巨大なムーンシャイン」現象の問題、およびソリトン方程式の研究 (ムーンシャイン予想も参照)）。「頂点.作用素」という用語は、より抽象的には、頂点.作用素代数または関連する.作用素の要素に対応する任意の.作用素も指す。 つづく
376:１３２人目の素数さん
23/02/11 21:38:54.88 cDdl8Z4s.net
>>345
つづき
URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
ncatlab
vertex operator algebra
Contents
1. Idea
2. Standard definition
3. Properties
Category of vertex operator algebras
Modular category of modules over a VOA
Goddard-Thorn theorem
Relation to conformal nets
URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
ncatlab
functorial field theory
Redirected from "FQFT".
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
FQFT
Die finite Quantenfeldtheorie (FQFT)
独→日訳
有限量子場理論(FQFT) は、量子場理論(QFT) の古典的な困難に対処する試みです。
(引用終り)
377:１３２人目の素数さん
23/02/11 21:40:53.03 cDdl8Z4s.net
>>343-344
それ、みんな
引用しなかった部分にあるよ
無知を自慢したいのか？ｗｗ
378:１３２人目の素数さん
23/02/11 21:42:44.01 cDdl8Z4s.net
>>347
まあ、特筆すべきこととして
挙げたと思えば
思えるけど
皆さんも、知っている気もするね
379:１３２人目の素数さん
23/02/11 23:40:45.59 cDdl8Z4s.net
>>345
>”二重共鳴理論 dual resonance theory
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Monstrous moonshine
In mathematics, monstrous moonshine, or moonshine theory, is the unexpected connection between the monster group M and modular functions, in particular, the j function. The term was coined by John Conway and Simon P. Norton in 1979.[1][2][3]
The monstrous moonshine is now known to be underlain by a vertex operator algebra called the moonshine module (or monster vertex algebra) constructed by Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman in 1988, which has the monster group as its group of symmetries. This vertex operator algebra is commonly interpreted as a structure underlying a two-dimensional conformal field theory, allowing physics to form a bridge between two mathematical areas.
これに関連して
"vertex" dual resonance theory Kac Moody algebra
で検索すると、Frenkel 1985 があり、上記1988より早い
”Representations of Kac-Moody Algebras and Dual Resonance Models”がヒット
”j(q) = θL(q)/η(q)^24 =q^-1 + 24 + 196884q +・・ (4.21)”（下記）に言及しているね
ここらが発端だろう
URLﾘﾝｸ(cpb-us-w2.wpmucdn.com)
Volume 21, 1985 American Mathematical Society
Representations of Kac-Moody Algebras and Dual Resonance Models
I. B. Frenkel
Introduction. The theories of Kac-Moody algebras and dual resonance
models were born at approximately the same time (1968). The second
theory underwent enormous development until 1974 (see reviews [25, 26])
followed by years of decliae, while the first theory moved slowly until the
work of Kac [14] in 1974 followed by accelerated progress.
つづく
380:１３２人目の素数さん
23/02/11 23:42:17.80 cDdl8Z4s.net
>>349
つづき
Now both
theories have gamed considerable interest in their respective fields,
mathematics and physics. Despite the fact that these theories have no
common motivations, goals or problems, their formal similarity goes
remarkably far. In this paper we discuss primarily the mathematical
theory. For a review of the physical theory see the paper of J. Schwarz in
this volume [27]
Then in [9, 28] the "vertex construction" was found for the whole class of affine Lie algebras and the similarity became
a precise correspondence.
つづく
381:１３２人目の素数さん
23/02/11 23:42:38.02 cDdl8Z4s.net
>>350
つづき
Let us fix a light-cone element c ∈ Δ such that there are no real roots
orthogonal to it. Such a vector exists and the set L = [a ∈ ΔR: (a, c) =1} is isomorphic to the unique even unimodular lattice of rank 24, which
does not contain elements of length √2 [2]. We denote by V1,c, the space
Σα∈L V1,c,α. Then the character of V1,c, is
j(q) = θL(q)/η(q)^24 =q^-1 + 24 + 196884q +・・ (4.21)
It was noticed by McKay that the number 196884 exceeds by only one
the dimension of the minunal representation of F1. Conway and Norton
[3] conjectured that there is a natural graded representation of F] with the
character (4.21) minus 24. First Garland [12] and Kac [17] independently
tried to construct i7i in a space isomorphic to ^ . The first problem was
to obtain a representation of one important subgroup C=2^+l
' ・(・0)/±1, where -0 is the automorphism group of the Leech lattice. It is
easy to construct another group C' = 224 ・ (-0) (= (2M+1/±1) ・ (-0)).
Using one observation of Griess, Kac [18] succeeded in passing from C'
to C. The last question is: Where is the whole group F\1 Recently,
important progress has been made in answer to this question [10].
Turning again to the dual resonance models gives a hint as to the answer.
Physicists know that m the contmuous version of F; ^ the obvious action
of the group 0(24) can be extended to the bigger group 0(25). This
extension becomes apparent only if we return to the bigger space V1+.
Whether this unusual phenomenon corresponds to the extension of C to
F1 will become clear in the future.
(引用終り)
以上
382:１３２人目の素数さん
23/02/12 00:07:21.00 d0d29vIc.net
>>347-348
あんたが知らんと思われたんでしょ
正方行列の群とか言っちゃう人だからね
引用すればいいのにしないのは理解できないから？
さすが大学１年の線形代数も理解できずに
文転しただけあって底抜けに頭悪いね
s∈SU(2)
s=
(α -β*)
(β α*) (1)
|α|^2+|β|^2=1 (2)
α=a+bi
β=c+di
と表すと(2)は以下のように表される
a^2+b^2+c^2+d^2=1
はいできました
なんでこんなの書けないの？君
383:１３２人目の素数さん
23/02/12 00:15:32.19 d0d29vIc.net
そして問題
群準同型 SU(2)→SO(3) を具体的に示してごらん
384:１３２人目の素数さん
23/02/12 09:50:37.91 t5GdbcIg.net
>>349 関連
>"vertex" dual resonance theory Kac Moody algebra
Kac?Moody Lie algebra（下記）
”E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa,(1983)
The vertex operator constructions were, quite unexpectedly, applied to the theory of soliton equations. This was based on the observation (see [DaJiKaMi])
The vertex operators were introduced in string theory around 1969, but the vertex operator construction entered string theory only at its revival in the mid 1980s. Thus, the representation theory of affine algebras became an important ingredient of string theory (see [GrScWi]).(1987)
The vertex operators turned out to be useful even in the theory of finite simple groups. Namely, a twist of the homogeneous vertex operator construction based on the Leech lattice produced the 196883-dimensional Griess algebra and its automorphism group, the famous finite simple Monster group (see Sporadic simple group) [FrLeMe].(1989)”
そうなんだ。Kac?Moody Lie algebraだったね
(参考)
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
15 November 2017
Kac-Moody algebra
A Kac-Moody algebra (also Kac?Moody Lie algebra) is defined as follows:
Let A=(aij)ni,j=1 be an (n×n)
-matrix satisfying conditions (see Cartan matrix)
aii=2;aij?0 aij=0 and aij∈Z for i≠j,⇒ aji=0.}(a1)
The associated Kac?Moody algebra g(A) is a Lie algebra over C on 3ngenerators ei, fi, hi
(called the Chevalley generators) and the following defining relations:
略
つづく
385:１３２人目の素数さん
23/02/12 09:51:32.23 t5GdbcIg.net
>>354
つづき
A systematic study of Kac-Moody algebras was started independently by V.G. Kac [Ka] and R.V. Moody [Mo], and subsequently many results of the theory of finite-dimensional semi-simple Lie algebras have been carried over to Kac-Moody algebras. The main technical tool of the theory is the generalized Casimir operator (cf. Casimir element), which can be constructed provided that the matrix A
is symmetrizable, i.e. A=DB
for some invertible diagonal matrix D
and symmetric matrix B
[Ka2]. In the non-symmetrizable case more sophisticated geometric methods are required [Ku], [Ma].
One of the most important ingredients of the theory of Kac-Moody algebras are integrable highest-weight representations (cf. also Representation with a highest weight vector).
The numerous applications of Kac-Moody algebras are mainly related to the fact that the Kac-Moody algebras associated to positive semi-definite indecomposable Cartan matrices (called affine matrices) admit a very explicit construction. (A matrix is called indecomposable if it does not become block-diagonal after arbitrary permutation of the index set.)
These Kac-Moody algebras are called affine algebras.
This observation leads to geometric applications of affine algebras and the corresponding groups, called the loop groups (see [PrSe]).
つづく
386:１３２人目の素数さん
23/02/12 09:51:54.00 t5GdbcIg.net
>>355
つづき
The basic representation of g(A(1))
is then defined on V
by the following formulas [FrKa]:
π(u(n))=u(n),u∈h
π(E(n)α)=Xn(α)cα,π(k)=1;
This is called the homogeneous vertex operator construction of the basic representation.
The vertex operators were introduced in string theory around 1969, but the vertex operator construction entered string theory only at its revival in the mid 1980s. Thus, the representation theory of affine algebras became an important ingredient of string theory (see [GrScWi]).
The vertex operators turned out to be useful even in the theory of finite simple groups. Namely, a twist of the homogeneous vertex operator construction based on the Leech lattice produced the 196883-dimensional Griess algebra and its automorphism group, the famous finite simple Monster group (see Sporadic simple group) [FrLeMe].
The vertex operator constructions were, quite unexpectedly, applied to the theory of soliton equations. This was based on the observation (see [DaJiKaMi]) that the orbit of the vector vΛ0
of the basic representation under the loop group satisfies an infinite hierarchy of partial differential equations, the simplest of them being classical soliton equations, like the Korteweg-de Vries equation.
つづく
387:１３２人目の素数さん
23/02/12 09:52:10.05 t5GdbcIg.net
つづき
Moreover, the linear span of the functions χΛ(τ,0)
for Λ
of fixed level k
is invariant under the modular transformations
This turned out to be a key fact in the representation theory of affine algebras, as well as its applications to conformal field theory (see [Ve]), to 2
-dimensional lattice models [DaJiKuMiOk], and even to knot theory[YaGe].
References
[DaJiKaMi] E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa, "Transformation groups for soliton equations" M. Jimbo (ed.) T. Miwa (ed.), Proc. RIMS Symp., World Sci. (1983) pp. 39-120
[DaJiKuMiOk] E. Date, M. Jimbo, A. Kuniba, T. Miwa, M. Okado, "Exactly solvable SOS models" Nucl. Phys., B290 (1987) pp. 231-273 MR0910849 Zbl 0679.17010
[FrKa] I.B. Frenkel, V.G. Kac, "Basic representations of affine Lie algebras and dual resonance models" Invent. Math., 62 (1980) pp. 23-66 MR0595581 Zbl 0493.17010
[FrLeMe] I. Frenkel, J. Lepowsky, A. Meurman, "Vertex operator algebras and the Monster", Acad. Press (1989) MR1167718 MR0996026 Zbl 0674.17001
[GrScWi] M.B. Green, J.H. Schwarz, E. Witten, "Superstring theory", Cambridge Univ. Press (1987) MR0922731 MR0915347 MR0878144 MR0878143 Zbl 0637.53111 Zbl 0619.53002
[Ka] V.G. Kac, "Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth" Math. USSR Izv., 2 (1968) pp. 1271-1311 Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., 32 (1968) pp. 1923-1967 MR0259961 Zbl 0222.17007
[Mo] R.V. Moody, "A new class of Lie algebras" J. of Algebra, 10 (1968) pp. 211-230 MR0229687 Zbl 0191.03005
[YaGe] C.N. Yang (ed.) M.L. Ge (ed.), Braid group, knot theory and statistical mechanics, World Sci. (1989) MR1062420 Zbl 0716.00010
(引用終り)
以上
388:１３２人目の素数さん
23/02/12 09:58:31.44 d0d29vIc.net
>>354-357
承認欲求コピペの嵐
389:１３２人目の素数さん
23/02/12 11:58:00.76 t5GdbcIg.net
Vertex operatorの"vertex" の由来を調べていた
はっきりしなかったが
Regge theory(1960年代)→"Triple Pomeron Vertex"(Ramamurti Rajaraman)(1970年代)→string theory(1970年代)
という流れで、だれかが、"Vertex operator（algebra）"を命名したようだ
"vertex" の元々の意味も判然としないが、レッジェ・ポールあるいはレッジェ極（特異点）と関連しているのだろう
取りあえず、調べたところまで貼る
(参考)
URLﾘﾝｸ(handwiki.org)
Physics:History of string theory
Contents
1 1943?1959: S-matrix theory
2 1959?1968: Regge theory and bootstrap models
3 1968?1974: Dual resonance model
4 1974?1984: Bosonic string theory and superstring theory
5 1984?1994: First superstring revolution
6 1994?2003: Second superstring revolution
7 2003?present
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Regge theory
In quantum physics, Regge theory (/?r?d?e?/) is the study of the analytic properties of scattering as a function of angular momentum, where the angular momentum is not restricted to be an integer multiple of ? but is allowed to take any complex value. The nonrelativistic theory was developed by Tullio Regge in 1959.[1]
つづく
390:１３２人目の素数さん
23/02/12 11:58:26.95 t5GdbcIg.net
>>359
つづき
History and implications
This observation turned Regge theory from a mathematical curiosity into a physical theory: it demands that the function that determines the falloff rate of the scattering amplitude for particle-particle scattering at large energies is the same as the function that determines the bound state energies for a particle-antiparticle system as a function of angular momentum.[5]
After many false starts, Richard Dolen, David Horn, and Christoph Schmid understood a crucial property that led Gabriele Veneziano to formulate a self-consistent scattering amplitude, the first string theory.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レッジェ理論（レッジェりろん）は、1960年にイタリアの物理学者トゥーリオ・レッジェが発見した理論。レッジェ・ポール理論ともいう。高エネルギーの素粒子反応に関する理論であり、角運動量を複素数平面に解析接続することによって散乱振幅を表す[1]。これを使うと、ポメロンとレッジェ極（特異点）の交換により回折散乱を表現できる[2]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ramamurti Rajaraman (born 11 March 1939)
Regge poles and particle phenomenology
At that time, high energy hadron scattering was being analysed using S-matrix and Regge pole techniques.
Rajaraman gave the first determination from experimental data of the value of the "Triple Pomeron Vertex" as a function of momentum transfer[12] and also derived the consequences of the vanishing of this vertex on high energy hadron scattering.[13] With Finkelstein, he analysed Exchange Degeneracy in inclusive reactions involving the triple-Reggeon vertex[14][15]
つづく
391:１３２人目の素数さん
23/02/12 11:58:54.85 t5GdbcIg.net
>>360
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vertex function
In quantum electrodynamics, the vertex function describes the coupling between a photon and an electron beyond the leading order of perturbation theory. In particular, it is the one particle irreducible correlation function involving the fermion ψ,the antifermion ψ^-, and the vector pot
392:ential A. https://ja.wikipedia.org/wiki/S%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96 S行列の理論 概要 ハミルトニアンが与えられれば、原理的にはS行列を求めることが可能である。しかし結合定数のべき級数で展開する摂動論の方法は強い相互作用の場合には近似が悪く不適当である。そこでローレンツ不変性のほかに場の理論から抽出されたいくつかの基本的な原理(たとえばS行列の解析性とユニタリー性)をつかって観測量だけからS行列を求めようという理論をS行列の理論という。 初期の段階では、マンデルスタム表示とユニタリー性を使ってS行列を求めようとする試みが多かったが、その後発展してレッジェ極理論、双対性の理論などが生まれた。 (引用終り) 以上
393:１３２人目の素数さん
23/02/12 12:20:53.94 d0d29vIc.net
>>359
> Vertex operatorの"vertex" の由来を調べていた
数学とは全く無関係の無意味な調査
見当違いな承認欲求による書き込みは迷惑な荒らし行為
394:１３２人目の素数さん
23/02/12 13:04:12.84 t5GdbcIg.net
>>359 補足
Vertex operator ←→ string theory
↓↑ ↓↑
Kac-Moody Lie algebra>>354
・ソリトン（佐藤幹夫） Kac-Moody Lie algebra： [DaJiKaMi] E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa,>>357
・Monstrous moonshine >>349
・ミラー対称性 深谷圏(小野 薫>>298) 箙多様体 中島啓>>173 加藤 文元 ミラー対称性とリジッド幾何学(下記)
20世紀から2000年代はじめは、バラバラに見えたものが
2023年から振り返ると、みんな繋がりがあるんだね
(参考)
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
ミラー対称性とリジッド幾何学 加藤 文元 2005 代数幾何学シンポジューム記録
395:１３２人目の素数さん
23/02/12 15:08:56.29 d0d29vIc.net
>>363
>･･･から･･･は、バラバラに見えたものが
>今から振り返ると、みんな繋がりがあるんだね
「繋がってても繋がってなくても
どれ一つ理解してないおまえの人生
全然かわんねーよ」
「大事なことは 検索コピペに頼るな」
by 齋藤飛鳥
参考動画
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
396:１３２人目の素数さん
23/02/12 20:04:19.85 t5GdbcIg.net
>>359
>Vertex operatorの"vertex" の由来を調べていた
"vertex"→”頂点”が誤訳かも
ラテン語では、頂点以外に、渦(うず)や（地理学）極、交点という意味があるらしい。こちらの意味が、ふさわしそうだ
渦の英訳、vortex（流体が作る）とある
URLﾘﾝｸ(ja.wiktionary.org)
vertex
英語 語源 ラテン語 vertex < vertere
vertex 名詞(複数 vertices 又は vertexes)
1.頂いただき。頂上。頂点。
2.(解剖学) 頭蓋頂点。
3.(幾何学) 頂点。
4.(物理学) （レンズの）頂点。
5.(占星術) 天頂。
ラテン語 語源 vortex < vertere
発音
(古典ラテン語) IPA(?): /?wer.teks/, [?w?r.t?ks]
vertex 名詞 男性（属格: verticis）, 第3変化
1.渦(うず)。渦巻(うずまき)。
2.頂(いただき)。頂上。頂点。
3.頭頂。
4.（地理学）極。
URLﾘﾝｸ(gogengo.me)
英単語 vertex の語源と意味 - Gogengo!
vertex
verse「向きを変える」
線の向きを変えるもの
【名】頂点、交点
URLﾘﾝｸ(eigogen.com)
語源から
397:学ぶ英単語 ~ 英・語・源 ~ vertex 意味(日本語) 頂点、天頂、頂(上昇したものが下方に向きを変える点)◇L.vertex（回転の頂点） ◇L.vertere（回る、向く）から 語源 vert-, vort-, vers-, vors- : L.vertere = to turn(回る、変える、向く) https://eow.alc.co.jp/search?q=%E6%B8%A6 英辞郎 - アルク 渦の英訳 curl（木目の） eddy gyre spire swirl vortex（流体が作る） vortex（周囲を巻き込む状況としての） whirl whirlpool
398:１３２人目の素数さん
23/02/12 20:27:46.24 t5GdbcIg.net
>>365 補足
>"vertex"→”頂点”が誤訳かも
>ラテン語では、頂点以外に、渦(うず)や（地理学）極、交点という意味があるらしい。こちらの意味が、ふさわしそうだ
下記のPhysicsの3例を見ると、”交点”が適当かもしれない
特に、”PV (physics) Primary Vertex (i.e. the interaction point)”とあるし
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vertex
Science and technology
Physics
・Vertex (physics), the reconstructed location of an individual particle collision
・Vertex (optics), a point where the optical axis crosses an optical surface
・Vertex function, describing the interaction between a photon and an electron
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Interaction point
(Redirected from Vertex (physics))
In particle physics, an interaction point (IP) is the place where particles collide in an accelerator experiment. The nominal interaction point is the design position, which may differ from the real or physics interaction point, where the particles actually collide. A related, but distinct, concept is the primary vertex: the reconstructed location of an individual particle collision.
URLﾘﾝｸ(twiki.cern.ch)
TWiki> CMSPublic Web>SWGuide>WorkBook>WorkBookGlossary (2022-12-16, TamasAlmosVami)
Glossary and Index
PV
(physics) Primary Vertex (i.e. the interaction point)
399:１３２人目の素数さん
23/02/12 20:44:13.69 d0d29vIc.net
>>365-366
数学用語の意味を普通の辞書で調べても
全く意味ないって分かんないか？
さすが文学部！
400:１３２人目の素数さん
23/02/12 22:07:41.38 t5GdbcIg.net
>>366 補足
下記P15”In terms of Q we introduce the vertex operator corresponding to the external leg with momentum p:”
とある。交点の方がイメージわくよね
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
The birth of string theory
Paolo Di Vecchia1 [v1] Sun, 1 Apr 2007 Copenhagen, Denmark
Summary. In this contribution we go through the developments that in the years
from 1968 to about 1974 led from the Veneziano model to the bosonic string theory.
They include the construction of the N-point amplitude for scalar particles, its
factorization through the introduction of an infinite number of oscillators and the
proof that the physical subspace was a positive definite Hilbert space. We also discuss
the zero slope limit and the calculation of loop diagrams. Lastly, we describe how
it finally was recognized that a quantum relativistic string theory was the theory
underlying the Veneziano model.
P15
In terms of Q we introduce the vertex operator corresponding to the external leg with momentum p:
URLﾘﾝｸ(academic.oup.com)
（PDFあり）
Nambu, A Foreteller of Modern Physics I
The birth of string theory
H. Itoyama 2016
This is a brief summary of an introductory lecture for students and scholars in general given
by the author at the Nambu Memorial Symposium which was held at Osaka City University
on 29 September 2015. We review the invention of string theory by Professor Yoichiro Nambu
following the discovery of the Veneziano amplitude. We also discuss Professor Nambu’s proposal on string theory in the Schild gauge in 1976, which is related to the matrix model of Yang?Mills type.
（こちらは本格的な本）
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
The Birth of String Theory Hardcover ? April 12, 2012 636 ページ
English Edition by Andrea Cappelli (編集), Elena Castellani (編集), & 2 more