23/02/04 09:14:32.79 FXdrMrMW.net
>>171
つづき
ここでモジュライ (moduli) という言葉の語源につ
いてすこし触れておきます. moduli はラテン語の
modulus の複数形で測定の標準単位を意味します.
ラテン語の modulus はギリシャ建築の柱の基底部の
半径を基準とした尺度であった, という説もありま
す. この語感にふさわしい「モジュライ理論」の代
表格は楕円曲線の理論です. その場合には, 基準の尺
度とも言うべきモジュライ不変量 j があります. 現
代的な理論にはそのような不変量を見つけるのが難
しくなりました.
モジュライ空間の別の例をあげます. V を長さ 5 の
横ベクトルのなす 5 次元複素ベクトル空間とします:
V = {(x1, x2, x3, x4, x5); xi ∈ C}.
この V の中の 2 次元複素部分ベクトル空間 (以後
2 次元部分空間と言う) をすべて集めて
Gr(5, 2) = {W ⊂ V ; W は 2 次元部分空間 }
と定義します. この空間をグラスマン多様体と呼び
ます. これは「モジュライ空間」のひとつの例を与
えます. つまり Gr(5, 2) は V の中の 2 次元部分空間
のなす「モジュライ空間」です.
4 安定性とモジュライ空間
定理 4.4 (Donaldson) コンパクトな複素 2 次元多様
体 X の (下部構造としての可微分実 4 次元多様体)
上の自己双対ヤン ・ ミルズ接続 (で表されるインスタ
ントンと呼ばれる場) のモジュライ空間は, X 上の階
数 2 の「GIT-安定な」ベクトル束のモジュライ空間
と一致する.
ソリトンが空間方向に粒子性を持った波を表すよ
うに、インスタントンとは時間方向に粒子性を持っ
た (2,2) 行列で表示された電磁場のようなものです。
Donaldson はさらに強く, X の単なるホモトピー不
変量ではない, 可微分多様体としての不変量 (Donaldson 多項式) を与えています.
この Donaldson 理論は, その後 Seiberg-Witten 理論によってさらに深
められ, 可微分実 4 次元多様体について大変深い研究が現在も進んでいます.
(引用終り)
以上