23/02/03 22:21:29.88 0QP90A6z.net
>>162 参考
>Asymptotically
Asymptotically 漸近的
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
asymptoticallyとは
漸近線の方へ
URLﾘﾝｸ(educalingo.com)
educalingo
辞典
asymptotic
漸近線
解析幾何学において、曲線の漸近線は、曲線と線との間の距離が無限になるにつれてゼロに近づくような線である。 いくつかの情報源には、曲線が線を無限に越えないという要件が含まれていますが、これは現代の著者にとっては珍しいことです。
代数幾何学のようないくつかの状況では、漸近線は無限遠の曲線に接する線として定義される。
asymptoteという言葉は、?privから「一緒に落ちない」という意味のギリシャ語の?σ?μπτωτο?に由来します。
+σ?ν "一緒に" +πτωτ-?? "落ちる" この用語はPergaのApolloniusによって、円錐断面に関する彼の研究に導入されましたが、現代の意味とは対照的に、与えられた曲線と交差しない線を意味するために使用されました。
174:１３２人目の素数さん
23/02/03 23:38:36.13 0QP90A6z.net
>>163 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Instanton
4d supersymmetric gauge theories
For gauge theories with gauge group U(N) the Seiberg?Witten geometry has been derived from gauge theory using Nekrasov partition functions in 2003 by Nikita Nekrasov and Andrei Okounkov and independently by Hiraku Nakajima and Kota Yoshioka.
In N = 4 supersymmetric gauge theories the instantons do not lead to quantum corrections for the metric on the moduli space of vacua.
(引用終り)
１）”the moduli space of vacua”ね
２）”independently by Hiraku Nakajima and Kota Yoshioka”ね
３）”Andrei Okounkov ”は、フィールズ賞だったかな（下記）
（Gopakumar-Marino-Vafa公式のVafaは、カムラン・バッファ（Cumrun Vafa）>>144だね）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アンドレイ・オクンコフ
2006年、フィールズ賞受賞。
専門は組み合わせ論、表現論。業績としてWitten予想の別証明、Olshanski予想の解決、Baik-Deift-Johansson予想の解決、Gopakumar-Marino-Vafa公式の証明、曲線の局所Donaldson-Thomas理論、Nekrasov予想の解決。
175:１３２人目の素数さん
23/02/04 00:07:00.57 FXdrMrMW.net
>>165 関連
>Instanton
> 4d supersymmetric gauge theories
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
サイモン・ドナルドソン
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドナルドソン不変量
ドナルドソン理論 (Donaldson theory) は、インスタントン（英語版）を用いた滑らかな4次元多様体の研究である。この理論は、コンパクト単連結4次元多様体の2次コホモロジー群上の可能な二次形式を制限してドナルドソンの定理を証明したサイモン・ドナルドソン (1983) により始められた。
ドナルドソン理論の結果の多くは微分構造を持つ多様体に依存し、4次元位相多様体に対しては正しくない。
ドナルドソン理論の定理の多くは今ではサイバーグ・ウィッテン理論（英語版）を用いると容易に証明できる。
関連項目
クロンハイマー・ムロフカ基本類（英語版）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エキゾチ
176:ック R^4 エキゾチック R^4 とは、4次元ユークリッド空間 R^4 に同相であるが、微分同相ではない4次元可微分多様体のこと。 エキゾチック R^4 である最初の例は、1982 年にマイケル・フリードマン等により、位相的な4次元多様体に関するフリードマンの定理と、微分可能な4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンとの対比を使用して発見された。[1][2]クリフォード・タウベスにより、R^4の非微分同相な微分可能構造の連続体が存在することが示されている。[3] つづく
177:１３２人目の素数さん
23/02/04 00:07:19.69 FXdrMrMW.net
>>166
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドナルドソン・トーマス不変量
3-次元カラビ・ヤウ多様体上の層のコンパクトなモジュライ空間が与えられると、そのドナルドソン・トーマス不変量は、点の仮想数である。
モーリク(Maulik)、アンドレイ・オクンコフ(Andrei Okounkov)、ニキータ・ネクラソフ(Nikita Nekrasov)、ラフル・パンダハリパンデ（英語版）(Rahul Pandharipande)による深い予想があり、より一般性を持って代数的 3-多様体のグロモフ・ウィッテン不変量とドナルドソン・トーマス理論が実際、同値であることを証明した。より具体的には、それらの母函数はある適当な変数変換で等しくなる。3-次元カラビ・ヤウ多様体に対するドナルドソン・トーマス不変量は、モジュライ空間上のウェイト付きオイラー特性類として定式化することができる
(引用終り)
以上
178:１３２人目の素数さん
23/02/04 05:24:02.30 pd0mp3jW.net
承認欲求君 今日も検索で踊り狂う
ついた綽名が「森田検索」
179:１３２人目の素数さん
23/02/04 05:26:54.19 pd0mp3jW.net
>>168
と、いうことで
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
180:１３２人目の素数さん
23/02/04 07:22:56.42 pd0mp3jW.net
承認欲求君は、自分が検索してやったことで
みんなが知識を得たんだから感謝するのが当然
とか心の底から本気で思ってるみたいだけど
検索なんて自分で勝手にやるんだから要らないだろ
181:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:13:54.22 FXdrMrMW.net
>>167 関連
これいいね
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
中村 郁 北大
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
モジュライ空間, 数学セミナー, ''つぎの10年を占うキーワード", 2002年5月 (PDF FILE)
モジュライ空間 北海道大学 中村 郁
Fd に対する解(f1, ・・・ , fN ) 全体のなす空間を M(Fd, N) と表すこ
とにします. d = 2, n = N = 3, Fd = x2 + y2 + z2
の場合に「モジュライ空間」M(x2 + y2 + z2, 3) は
完全に分かります ([Mukai92]). これが典型的な「モジュライ空間」の例です.
平たく言えば, なにか面白そうなものをひとつ見
つけたとしましょう. そのとき似たものを残らず全
部探すというのが「モジュライの問題」です. 「似
たもの」を全部集めた集合 (空間) が「モジュライ空間」で,
「似たもの」ひとつ一つが「モジュライ空間」の一つの点になります.
話をもとに戻して問題を整理しておきます.
問題 1.3
(1) ひとつ面白そうなもの (数学的対象)
を見つけよ.
(2) それによく似たものはどれくらいあるか, その
全体のなす空間 (モジュライ空間) はどんな様子
をしているか.
つづく
182:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:14:32.79 FXdrMrMW.net
>>171
つづき
ここでモジュライ (moduli) という言葉の語源につ
いてすこし触れておきます. moduli はラテン語の
modulus の複数形で測定の標準単位を意味します.
ラテン語の modulus はギリシャ建築の柱の基底部の
半径を基準とした尺度であった, という説もありま
す. この語感にふさわしい「モジュライ理論」の代
表格は楕円曲線の理論です. その場合には, 基準の尺
度とも言うべきモジュライ不変量 j があります. 現
代的な理論にはそのような不変量を見つけるのが難
しくなりました.
モジュライ空間の別の例をあげます. V を長さ 5 の
横ベクトルのなす 5 次元複素ベクトル空間とします:
V = {(x1, x2, x3, x4, x5); xi ∈ C}.
この V の中の 2 次元複素部分ベクトル空間 (以後
2 次元部分空間と言う) をすべて集めて
Gr(5, 2) = {W ⊂ V ; W は 2 次元部分空間 }
と定義します. この空間をグラスマン多様体と呼び
ます. これは「モジュライ空間」のひとつの例を与
えます. つまり Gr(5, 2) は V の中の 2 次元部分空間
のなす「モジュライ空間」です.
4 安定性とモジュライ空間
定理 4.4 (Donaldson) コンパクトな複素 2 次元多様
体 X の (下部構造としての可微分実 4 次元多様体)
上の自己双対ヤン ・ ミルズ接続 (で表されるインスタ
ントンと呼ばれる場) のモジュライ空間は, X 上の階
数 2 の「GIT-安定な」ベクトル束のモジュライ空間
と一致する.
ソリトンが空間方向に粒子性を持った波を表すよ
うに、インスタントンとは時間方向に粒子性を持っ
た (2,2) 行列で表示された電磁場のようなものです。
Donaldson はさらに強く, X の単なるホモトピー不
変量ではない, 可微分多様体としての不変量 (Donaldson 多項式) を与えています.
この Donaldson 理論は, その後 Seiberg-Witten 理論によってさらに深
められ, 可微分実 4 次元多様体について大変深い研究が現在も進んでいます.
(引用終り)
以上
183:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:18:06.69 FXdrMrMW.net
>>160 関連
これいいね
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
論説箙多様体と量子アファイン環 中島啓 数学/52巻(2000)4号
1989年にKronheimerと筆者は,ALE空間と呼ばれる実4次元のhyper-Kahler多様体上の反
自己双対接続のモジュライ空間を,箙(quiver)1の表現を使つて記述した[29].もともと反自己双
対接続はある非線型偏微分方程式の解として定義されるが,quiverの記述では行列に関するある
代数方程式の解となる(図1)。したがつて,モジュライ空間を調べることはやさしくなるのではと
期待していた.しかし実際には,モジュライ牢間が空か否かを判定することさえも難しく,何か根
本的なアイデアが欠けていた。
そんな折り,1990年の京都のICMのLusztigの講演[32]で,彼のquiverを使つた量子展開環
の下三角部分環砺(9)の標準基底(canonicalbasis)の構成を聞く機会があつた.quiverが出てき
ているということ以外に,彼の講演で理解できたことはほとんど無かつたが,勉強しなくてはいけ
ない,と確信した。
量子展開環は,もともとは可解格子模型の研究からDrinfeld-神保によつて導入された非可換環
である.また,共形場理論のWess-Zumino-Witten模型と呼ばれるものとも深い関係がある.こ
れはRiemann面上のゲージ理論(接続を取り扱う理論)である.一方,ALE空間は4次元の多様
体であり,同じゲージ理論ではあるものの両者の間には何の関係もないように,当初は思われた.
そして暗中模索の日々,紆余曲折の道程を経て,1992年ごろからだんだんとLusztigの仕事と
ALE空間上の反自己双対接続のモジュライ空間の間の関係が見えてきた。
つづく
184:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:18:38.03 FXdrMrMW.net
>>173
つづき
もともとの[29]では,アファインADE型のquiverしか現れなかったが,行列に関する代数方程式自身は
より一般のqUiVerでも意味を持つ.そこで,一般のqUiVerに関する解の空間を簾多様体と名づけ
た。上のLusztigの仕事との関係は,一般のquiverに対して成立する.さらに1994年には,理論
物理におけるS一双対性との関連から私の研究が着目された.この関連に触発されて,一般の代数
曲面上の点のHilbert概型のコホモロジー群にHeisenbergLie環の表現が実現されることを示し
た([37,40]参照).現在では,ALE空間という特殊な4次元多様体だけでなく,より一般的な4次
元多様体のゲージ理論,あるいは,Calabi-Yau多様体のGromov-Witten理論においても同じよ
うに表現論との関係があるのではないか,と期待が見えてきている.
7.最高ウェイト加群と安定性
この節では,グラフはDynkinADE型であると仮定する.
Ringe1-Lusztigの構成を見ると,Vをいろいろと取り替えて初めて量子展開環が見えてくるは
ずである.一方,Wの方は固定しておく.
8.結晶基底(crystalbase)の幾何学的な実現
この節では,グラフは始点と終点が一致する辺がないものと仮定し,ADE型とは限らない.結
晶基底については,[20]を参照のこと.
10.箙多様体と量子アファイン環
以上の準備のもとに,いよいよ箙多様体を用いた量子アファイン環の幾何学的な構成を述べる.
グラフはDynkinADE型であると仮定する.
(引用終り)
以上
185:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:19:11.44 FXdrMrMW.net
>>174 追加
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
中島 啓
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
昔の記録
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
2000 10月24日～27日, 城崎代数幾何シンポジウム
報告集原稿, Introduction to Quiver varieties--箙多様体入門
中島 啓 (HIRAKU NAKAJIMA)
京都大学・大学院理学研究科
箙多様体は, 筆者が導入した hyper-K¨ahler 多様体である. そのホモロジー群や K 群に合成
積を用いて, 複素単純 Lie 環やそのループ Lie 環の量子展開環の表現を構成できることが分っ
ている. しかし表現論的な側面についてはすでに [7] に解説があるので, ここでは幾何学的な側
面, 箙多様体が持つさまざまな構造について解説したい. 原論文は, [8] である.
1. hyper-Kahler ¨ 商
まず, hyper-K¨ahler 多様体と, その代数幾何での対応概念である (正則) シンプレクテッィク多
様体について述べる.
186:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:19:44.41 FXdrMrMW.net
>>175 追加
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
2007年-2010年
箙多様体の幾何学と表現論
日本学術振興会科学研究費助成事業基盤研究(B) 中島啓
代数曲面を一点でブローアップした曲面を考える。このとき、その連接層の導来圏の中のアーベル圏として、偏屈連接層の圏と呼ぶものを、連携研究者の吉岡とともに定義し、そのモジュライ空間の研究を行った。応用として、ドナルドソン不変量とサイバーグ・ウィッテン不変量が等価である、というウィッテンの予想を、さらにGottscheを加えた共同研究で代数曲面の場合に肯定的に解決した。
URLﾘﾝｸ(kaken.nii.ac.jp)
科学研究費補助金研究成果報告書平成23年6月2日現在
１．研究開始当初の背景
(1)上で述べたウィッテン予想へのアプロ
ーチとして、望月によりヒルベルト概型上の
交叉形式を用いた公式が示されており、うま
くいくのではないかという期待があった。
２．研究の目的
(1)ウィッテン予想を、望月の研究と私が吉
岡と共同研究していたインスタントンの数
え上げと組み合わせることで解決する。
187:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:35:19.92 pd0mp3jW.net
>>171-176
承認欲求の塊、森田検索君
今日もムキになって検索結果の大量コピペ
そして「いいね！」と言ってもらえると勝手に夢想
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
188:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:39:36.36 FXdrMrMW.net
>>176
> (1)上で述べたウィッテン予想へのアプロ
>ーチとして、望月によりヒルベルト概型上の
>交叉形式を用いた公式が示されており、
>(1)ウィッテン予想を、望月の研究と私が吉
>岡と共同研究していたインスタントンの数
>え上げと組み合わせることで解決する。
この望月は、拓郎さんですね、たぶん
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
望月拓郎
（学位論文 『Gromov-Witten class and a perturbation theory in algebraic geometry』）
189:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:42:33.67 FXdrMrMW.net
>>177
>そして「いいね！」と言ってもらえると勝手に夢想
勝手に夢想は、あなただよ
このスレには、二人しかないよｗｗｗ
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137ｗｗｗ
190:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:47:43.73 FXdrMrMW.net
>>161
>中島啓は「微分幾何学の最先端」でも
>「ディンキン図式をめぐって―数学におけるプラトン哲学」
>とか書いてるくらいだから、ガチなムーンシャイナー
>ていうか、ADE分類はプラトンの多面体以来だから
>>174より引用
”もともとの[29]では,アファインADE型のquiverしか現れなかったが,行列に関する代数方程式自身は
より一般のqUiVerでも意味を持つ.そこで,一般のqUiVerに関する解の空間を簾多様体と名づけ
た。”
”現在では,ALE空間という特殊な4次元多様体だけでなく,より一般的な4次
元多様体のゲージ理論,あるいは,Calabi-Yau多様体のGromov-Witten理論においても同じよ
うに表現論との関係があるのではないか,と期待が見えてきている.”
”8.結晶基底(crystalbase)の幾何学的な実現
この節では,グラフは始点と終点が一致する辺がないものと仮定し,ADE型とは限らない.結
晶基底については,[20]を参照のこと.”
中島先生は
ADE型に限らないって
書いてあるよｗｗｗ
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137ｗｗｗ
191:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:51:44.35 pd0mp3jW.net
森田検索君へ
>>180 その薬 自分につけたら
192:１３２人目の素数さん
23/02/04 10:44:57.72 FXdrMrMW.net
>>139 補正
モジュラス（modulus、複数形は moduli; モジュライ）
下記ね
・除法において割る数（除数）のこと。法
（関連して、レムニスケートなどの曲線のｎ等分）
・楕円函数の母数、率
・モジュライ空間の元
でしょう
そして、ガウスＤＡの合同 mod（含 円周等分）
↓
レムニスケートなどの曲線のｎ等分
↓
モジュラー方程式（等分 19世紀）
↓
モジュラー方程式（モジュライ空間 20世紀）
↓
モジュライ空間が主（21世紀 物理と数学の両方で 箙多様体など ）
と意味が変わってきた気がする
（ >>176 などご参照）
193:１３２人目の素数さん
23/02/04 11:03:00.71 pd0mp3jW.net
>>182
承認欲求君 数学と全く関係のない思索の結果を披露
194:１３２人目の素数さん
23/02/04 11:17:04.97 pd0mp3jW.net
承認欲求君
ついでに保形関数の「保形」の意味も
数学と無関係の思索で説明してくれたまえ
195:１３２人目の素数さん
23/02/04 13:54:35.27 FXdrMrMW.net
>>182 追加
弦理論は、ノーベル賞はまだだが
基礎物理学ブレークスルー賞は、多数ある
数学への影響も多大なものがあるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
基礎物理学ブレークスルー賞は、優れた基礎研究の業績を上げた物理学者に授与される学術賞であり、ブレイクスルー賞の一部門である。2012年7月にロシアの物理学者でありインターネット起業家であるユーリ・ミルナーが設立した非営利団体「基礎物理学賞財団 により毎年授与されている
賞金は300万ドルと ノーベル賞受賞者に与えられる金額の2倍以上
受賞者
2012年
マキシム・コンツェビッチ：ホモロジカルミラー対称性の開発、 壁越え現象の研究などの多くの貢献
アンドレイ・リンデ[8]：インフレーション宇宙論の発展、および弦理論における真空安定化メカニズムの発展への貢献
フアン・マルダセナ：時空の重力物理学と時空の境界での場の量子論に関連するゲージ/重力双対性への貢献
ネーサン・サイバーグ：場の量子論と弦理論の理解への貢献
アショク・セン：全ての弦理論が同じ基礎理論の異なる限界であるという認識への道を開いたこと
エドワード・ウィッテン：トポロジーの物理学への応用、非摂動的双対対称性、弦理論から導出された素粒子物理学のモデル、暗黒物質の検出、粒子散乱振幅へのツイスター弦アプローチ、および量子場理論の数学への多数の応用
196:2013年 アレクサンドル・ポリャコフ：共形ブートストラップ、磁気単極子、インスタントン、閉じ込め/非閉じ込め、非臨界次元での弦の量子化、ゲージ/弦の双対性など、場理論と弦理論での多くの発見。彼のアイデアは、過去数十年にわたってこれらの分野のシーンを支配してきた 2014年 マイケル・グリーン、ジョン・シュワルツ：量子重力と力の統一に関する新しい視点を開いたこと 2017年 ジョセフ・ポルチンスキー、アンドリュー・ストロミンジャー、カムラン・ヴァッファ：場の量子論、ひも理論、量子重力理論の変革的進歩に対して 2019年特別賞 セルヒオ・フェラーラ、ダニエル・Z・フリードマン、ピーター・ヴァン・ニーウェンホイゼン：量子変数が時空の幾何学の記述の一部である超重力の発明に対して
197:１３２人目の素数さん
23/02/04 14:16:10.00 FXdrMrMW.net
>>185 補足
アンチ 超弦理論 のwoit氏 （下記）
en.wikipediaでは [4][self-published source?]＝自費（あるいは勝手）出版？とされている
たぶん
完全に外れと思います
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超弦理論
超弦理論は、物質の基本的な構成要素を理解するためのモデルであり、物理学の理論、仮説の1つ。物質の基本的単位を、大きさが無限に小さな0次元の点粒子ではなく、1次元の拡がりをもつ弦であると考える弦理論に、超対称性という考えを加え、拡張したもの。超ひも理論、スーパーストリング理論とも呼ばれる。
第2次ストリング革命
ブラックホールのエントロピーの表式を統計力学的に導出する際にも用いられ、超弦理論が重力の量子論であることの傍証となった。また、マルダセナによるAdS/CFT対応は、まったく別の理論である超対称ゲージ理論と超重力理論が、ある極限のもとで等価となることを予想し、超弦理論や重力理論、ゲージ理論に対して新しい知見を与えることとなった。
『ストリング理論は科学か』[5]を執筆したピーター・ウォイト（英語版）、『迷走する物理学』[6]を執筆した物理学者リー・スモーリンのような反対派・懐疑派も存在している。スモーリンは、実験的確証がないにも関わらず超弦理論に予算や人的資源が集中することで、他の研究の可能性が狭められてしまうことを問題視している。
脚注
5.^ ピーター・ウォイト 著、松浦俊輔 訳 『ストリング理論は科学か』青土社、2007年。ISBN 978-4-7917-6369-6。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Superstring theory
Lack of experimental evidence
Superstring theory is based on supersymmetry. No supersymmetric particles have been discovered and recent research at the Large Hadron Collider (LHC) and Tevatron has excluded some of the ranges.[4][self-published source?][5][6][7]
References
[4]
Woit, Peter (February 22, 2011). "Implications of Initial LHC Searches for Supersymmetry".
URLﾘﾝｸ(www.math.columbia.edu)
Not Even Wrong
Implications of Initial LHC Searches for Supersymmetry
Posted on February 22, 2011 by woit
198:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:19:35.67 FXdrMrMW.net
>>173
> 1989年にKronheimerと筆者は,ALE空間と呼ばれる実4次元のhyper-Kahler多様体上の反
>自己双対接続のモジュライ空間を,箙(quiver)1の表現を使つて記述した[29].
Kronheimer下記
"He and Hiraku Nakajima gave a construction of instantons on ALE spaces generalizing the Atiyah?Hitchin?Drinfeld?Manin construction. This constructions identified thes
199:e moduli spaces as moduli spaces for certain quivers (see "Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons.")" Hiraku Nakajima氏は、私が思っていた以上に大物ですねｗ https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_B._Kronheimer Peter B. Kronheimer Peter Benedict Kronheimer (born 1963) is a British mathematician, known for his work on gauge theory and its applications to 3- and 4-dimensional topology. He is William Caspar Graustein Professor of Mathematics at Harvard University and former chair of the mathematics department.[1][2] Kronheimer's early work was on gravitational instantons, in particular the classification of hyperkahler 4-manifolds with asymptotical locally Euclidean geometry (ALE spaces), leading to the papers "The construction of ALE spaces as hyper-Kahler quotients" and "A Torelli-type theorem for gravitational instantons." He and Hiraku Nakajima gave a construction of instantons on ALE spaces generalizing the Atiyah?Hitchin?Drinfeld?Manin construction. This constructions identified these moduli spaces as moduli spaces for certain quivers (see "Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons.") He was the initial recipient of the Oberwolfach prize in 1998 on the basis of some of this work. つづく
200:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:20:11.86 FXdrMrMW.net
>>187
つづき
Kronheimer has frequently collaborated with Tomasz Mrowka from the Massachusetts Institute of Technology. Their collaboration began at the Mathematical Research Institute of Oberwolfach, and their first work developed analogues of Simon Donaldson's invariants for 4-manifolds with a distinguished surface. They used the tools developed to prove a conjecture of John Milnor, that the four-ball genus of a (p,q)-torus knot is (p-1)(q-1)/2. They then went on to develop these tools further and established a structure theorem for Donaldson's polynomial invariants using Kronheimer?Mrowka basic classes. After the arrival of Seiberg?Witten theory their work on embedded surfaces culminated in a proof of the Thom conjecture?which had been outstanding for several decades. Another of Kronheimer and Mrowka's results was a proof of the Property P conjecture for knots. They developed an instanton Floer invariant for knots which was used in their proof that Khovanov homology detects the unknot.
(引用終り)
以上
201:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:28:45.84 pd0mp3jW.net
承認欲求の検索コピペはやまず
もはや完全な病気
202:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:31:42.04 FXdrMrMW.net
>>173 追加
文献
[29]P.B. Kronheimer and H. Nakajima, Yang Mills instantons on ALE gravitational instantons, Math. Ann.288(1990),263-307.
文献は、下記だね
URLﾘﾝｸ(eudml.org)
HomeAdvanced SearchBrowse by SubjectBrowse by JournalsRefs Lookup
Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons.
Peter B. Kronheimer; Hiraku Nakajima
Mathematische Annalen (1990)
Volume: 288, Issue: 2, page 263-308
ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e
Access Full Article
URLﾘﾝｸ(gdz.sub.uni-goettingen.de)
URLﾘﾝｸ(gdz.sub.uni-goettingen.de)
203:１３２人目の素数さん
23/02/04 16:38:34.62 pd0mp3jW.net
検索コピペで承認欲求満たそうとする○違い司書様に贈る曲
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
204:１３２人目の素数さん
23/02/04 17:54:29.17 FXdrMrMW.net
>>189
>承認欲求の検索コピペはやまず
>もはや完全な病気
いやねモジュライというキーワードで
ガウスからKronheimer～中島啓まで
円周等分から楕円曲線・楕円関数～超弦理論まで
繋がっているんだと
いまさら気付いたよ
へー
面白いな
205:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:31:51.24 pd0mp3jW.net
>>192
本当のキーワードは
保形形式 automorphic form
PSL(2､Z)
だけど
三角関数と巡回群が分かんない人には
まったく見えなかったか
206:１３２人目の素数さん
23/02/04 20:37:33.61 FXdrMrMW.net
>>192 補足
昔、ウィッテンの弦理論の記事で、「空間をツイストする」みたいな記述があったのを見て、ハテナ？と思った記憶があるけど
それ、下記の位相的場の理論/位相的弦理論だったんだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相的場の理論
位相的場の理論（いそうてきばのりろん）もしくは位相場理論（いそうばりろん）あるいはTQFTは、位相不変量を計算する場の量子論である。[1]
TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの 4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している
サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相的弦理論
理論物理学では、位相的弦理論（いそうてきげんりろん、英: topological string theory）は弦理論の単純化されたバージョンである。位相的弦理論の作用素は、ある個数の超対称性を保存する（物理的に）完全な弦理論の作用素の代数を表わす。位相的弦理論は通常の弦理論の世界面（英語版）を位相的にツイストすることで得られる。ツイストされると、作用素は異なるスピンを与えられる
この操作は関連する概念である位相場理論の構成の類似物である
結局、位相的弦理論は局所的な自由度を持たない
位相的弦理論には2つの主要なバージョンがあり、ひとつは位相的A-モデルであり、もうひとつは位相的B-モデルである。一般的に位相的弦理論の計算の結果は、完全な弦理論の時空の量の中の超対称性により保存される値、正則な量をエンコードしている．位相弦の様々な計算はチャーン・サイモンズ理論、グロモフ・ウィッテン不変量、ミラー対称性、ラングランズプログラムやその他、多くのトピックに密接に関連している
位相的弦理論は、エドワード・ウィッテンやカムラン・ヴァッファなどの物理学者により確立され研究されている
つづく
207:１３２人目の素数さん
23/02/04 20:38:33.88 FXdrMrMW.net
>>194
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Twistor theory
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ツイスター理論（ツイスターりろん、twistor theory）は、ロジャー・ペンローズによって1960年代後半に提唱された数学の理論の一つである。
概要
理論物理学および数理物理学において、ツイスター理論は、従来の3+1次元時空（ミンコフスキー時空）の幾何的対象を計量符号 (2,2) を持つ4 次元空間の幾何的対象へ写像する。この空間はツイスター空間であり、その複素数の値を持つ座標は"ツイスター"と呼ばれる。
ツイスター理論は、量子重力理論に至る可能な道としてロジャー・ペンローズによって1967年に提唱された[1]。ツイスターは特に、任意のスピンの質量を持たない場の運動方程式を解く自然な方法である。ヤン＝ミルズ理論やアインシュタイン方程式の解の構成などに用いられる他、量子重力理論との関係で研究されている。
2003年、エドワード・ウィッテンは弦理論の位相的Bモデルをツイスター空間に組み込むことによってツイスターと弦理論を統合することを提唱した[2]。彼の目的は、ある特定のヤン＝ミルズ振幅をモデル化することであった。結果として得られたモデルはツイスター弦理論として知られる（en:Twistor theory#Twistor string theoryを参照）。en:Simone Spezialeと共同研究者は、ツイスターをループ量子重力理論へ応用した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Twistor string theory
つづく
208:１３２人目の素数さん
23/02/04 20:39:00.04 FXdrMrMW.net
>>195
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ADHM construction
In mathematical physics and gauge theory, the ADHM construction or monad construction is the construction of all instantons using methods of linear algebra by Michael Atiyah, Vladimir Drinfeld, Nigel Hitchin, Yuri I. Manin in their paper "Construction of Instantons."
Generalizations
Noncommutative instantons
The noncommutative instantons were discovered by Nikita Nekrasov and Albert Schwarz in 1998.
Vortices
Setting B2 and J to zero, one obtains the classical moduli space of nonabelian vortices in a supersymmetric gauge theory with an equal number of colors and flavors, as was demonstrated in Vortices, instantons and branes. The generalization to greater numbers of flavors appeared in Solitons in the Higgs phase: The Moduli matrix approach. In both cases the Fayet?Iliopoulos term, which determines a squark condensate, plays the role of the noncommutativity parameter in the real moment map.
(引用終り)
以上
209:１３２人目の素数さん
23/02/04 21:31:10.72 FXdrMrMW.net
>>193
アホか？ｗ
１）下記 保型形式 歴史と
雪江明彦氏”用語は難しい”を読め！！ｗ
２）シッタカするならば、問う
a)環(ring)について、説明せよ！
b)層(sheaf)について、説明せよ！
c)圏(category)について、説明せよ！
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
保型形式
歴史
（1960年ごろに）この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群（英語版）である場合は、1900年よりも前に既に知られていた（後述）。 ヒルベルト・モジュラー形式（英語版）（あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある）がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式（英語版） は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー＝シャピロによって成された。 セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を（特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に）示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは（この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する）アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている
つづく
210:１３２人目の素数さん
23/02/04 21:32:30.35 FXdrMrMW.net
>>197
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦
代数の教科書について
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
教科書の 用語について (2012/7/7更新)
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで
書いておく.
1. 「単元群」
211:か「単数群」か「乗法群」か A が環のとき，乗法に関して逆元をもつ元の集合を A× と書くが，これを何と呼 ぼう? 論理的な結論はもちろん「単元群」である. しかしこれは都合が悪いことがあ る. それは整数論でいずれ「ディリクレの単数定理」が出てくるから. これを「ディ リクレの単元定理」と呼ぶ選択肢はない. これがあるので，A が代数体の整数環のと きには A× のことを「単数群」と呼びたくなる. ではなぜ「単数群」で統一しないの か? それは A が多項式環のとき A× の元を「単数」と呼ぶのに抵抗があるからであ る. 森田の代数概論では「単数群」で統一しているが，やはり多項式のことを考える と「単数群」と呼ぶ気にはなれなかった. そこで「乗法群」とした. 2. 「可除環」か「斜体」か 最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の 2 巻が出た後，3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて「ヴェーダーバーン の定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼 ぶことにしたが，3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1， 2 巻を増刷したときにここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第 1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが用語を変えることにした. つづく
212:１３２人目の素数さん
23/02/04 21:32:58.48 FXdrMrMW.net
>>198
つづき
さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが，この用語を
使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った. 永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした.
3. 「商体」か「分数体」か?
Q は Z の「商体」だろうか「分数体」だろうか? 論理的には「分数体」にすべき
ということは理解できる. しかし現時点では日本では「商体」と呼ぶ人が圧倒的に多
いのではないだろうか? さて，なぜ「分数体」と呼ぶのが論理的なのか? それはこ
れを商体といったら A/I (I はイデアル) は剰余環と呼ぶことになる. それなら G/N
(N は正規部分群) は剰余群ということになる. それでは集合 X を同値関係で割った
X/～ は? これは「商空間」. だから「剰余群，剰余環，商体」とすると，本当はこ
こで破綻する. だから論理的には「商空間，商群，商環，分数体」と呼ぶのが正解で
「松阪代数系入門」でもそう呼んでいる. でもあえて「商体」を使うことにした. それ
は逆写像と逆像におなじ f^-1 という記号を使って論理的にはおかしいけれど習慣と
なってしまってどうしようもないというように，論理的に正しくなくてもそれが定着
しているならそれにしたがったほうがよいと判断したから.
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
(引用終り)
以上
213:１３２人目の素数さん
23/02/05 00:17:40.68 XfMj3WNk.net
>>166 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エキゾチック R^4
球面上の非微分同形の滑らかな構造(エキゾチックな球体) が存在することが既に知られていたが、 4-球体 の特定のケースに対するそのような構造の存在の問題は未解決のままであった (2022 年現在も未解決のままである)。
関連するエキゾチックな構造
Casson ハンドルはフリードマンの定理により
D^2 Ｘ R^2と同相であるが、ドナルドソンの定理から、それらはすべて
D^2 Ｘ R^2と微分同相ではない。言い換えれば、一部の Casson ハンドルはエキゾチック
D^2 Ｘ R^2である。
en.wikipediaより
It is not known (as of 2022) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincare conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Exotic sphere
4-dimensional exotic spheres and Gluck twists
In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere. The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.
Some candidates proposed for exotic 4-spheres are the Cappell?Shaneson spheres (Sylvain Cappell and Julius Shaneson (1976)) and those derived by Gluck twists (Gluck 1962). Gluck twist spheres are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1. The result is always homeomorphic to S4. Many cases over the years were ruled out as possible counterexamples to the smooth 4 dimensional Poincare conjecture. For example, Cameron Gordon (1976), Jose Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017).
214:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:00:07.93 wVajbkib.net
>>197
>○○か？
いつも他人の罵倒からはじまる承認欲求君
>シッタカするならば
自分が他人にしていることを他人がしかえすと発○する承認欲求君
>問う
どうぞ御随意に 要するに分かってないんでしょ？
215:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:08:08.58 wVajbkib.net
>>201
>a)環(ring)について、説明せよ！
定義は以下の通り
環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、
加法 +: R × R → R および
乗法 ?: R × R → R
の組 (R,+,?) で、
「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う
（環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。
加法群
(R, +) はアーベル群である
1. 加法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ[注 2]。
2. 加法の結合性： 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。
3. 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。
4. 加法逆元（反元、マイナス元）の存在： 各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。
5. 加法の可換性： 任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。
乗法半群
(R,?) はモノイド（あるいは半群）である
1. 乗法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a ? b ∈ R が成り立つ[注 2]。
2. 乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a ? b)? c = a ?(b ? c) が成立する。
3. 乗法に関する単位元を持つ[注 1]。
分配律
乗法は加法の上に分配的である
1. 左分配律:
216: 任意の a, b, c ∈ R に対して a ?(b + c) = (a ? b) + (a ? c) が成り立つ。 2. 右分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b)? c = (a ? c) + (b ? c) が成り立つ。 が成り立つものをいう。 乗法演算の記号 ? は普通省略されて、a ? b は、ab と書かれる。
217:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:24:03.54 wVajbkib.net
>>202
>b)層(sheaf)について、説明せよ！
定義は以下の通り
前層の定義
組 (X,T)を X が集合、T が X の開集合系である位相空間とする。
X 上の（集合の）前層 F とは、次の条件を満たす
X の開集合から集合への対応規則である。
・X の開集合 U∈T に対して集合 F(U) が定まる。
開集合の包含関係 U⊂V に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像
ρUV： F(V)→F(U)
が定まり、さらに次の条件を満たす。
1. ρUU=id U（ここで、id U:F(U)→F(U)は恒等写像である）。
2. U⊂V⊂W⇒ρUW=ρUV・ρVW(・は写像の結合)。
各開集合 U に対して F(U) の元を前層 F の U 上の切断（せつだん、section）あるいは断面（だんめん）と呼ぶ。
層の定義
位相空間 X 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき層と呼ばれる。
218:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:31:04.37 wVajbkib.net
>>203
正確には X 上の層とは、前層 F = {F(U), ρUV} であって、
X の各開集合 U に対して開被覆
U = ∪{λ∈Λ} U_λ
が任意に与えられたとき、
F(U) の元 s, t が任意の λ に対して
s|U_λ = t|U_λ
を満たすならば常に s = t が成立（既約性条件）し、
さらに切断の族 (sλ ∈ Uλ)λ∈Λ が常に
s_λ|U_λ∪U_μ =s_μ|U_λ∪U_μ
を満たすものであるならば
常に、F(U) の元 s で
s|_U_λ = s_λ
をすべての λ に対して満たすものが存在する（閉条件）
ようなもののことをいう。
219:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:35:30.13 wVajbkib.net
>>204
>c)圏(category)について、説明せよ！
圏の定義は以下の通り
圏 C は以下のものからなる:
・対象の類 ob(C)
・対象の間の射の類 hom(C)
・各射 f ∈ hom(C) には
始域と呼ばれる対象 a ∈ ob(C) および
終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、
"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
・a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は
a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、
射の合成と呼ばれる二項演算
hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ? g ? f
が存在して以下の公理を満足する:
結合律:
f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ? (g ? f) = (h ? g) ? f が成り立つ。
単位律:
各対象 x ∈ ob(C) に対して
x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、
任意の射 f: a → x および g: x → b に対して
1x ? f = f and g ? 1x = g を満たす。
これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。
220:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:38:50.76 wVajbkib.net
>>205
圏論の言葉で言えば、
X の開集合系（これは包含関係に関する順序集合となる）T を圏と見なすとき、
X 上の前層とは
T から集合の圏への反変関手のこと
であるということができる。
また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は
T から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、
同様にして
T から適当な圏 C への反変関手として
C に値を持つ前層が定義される。
二つの前層を関手と見なして、
その間の自然変換となるものを
前層の射または前層の準同型とよぶ。
221:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:43:29.85 wVajbkib.net
極論を云えば、
群論・環論・位相空間論・層理論・圏論
というのは数学における一種の修辞学である
修辞技法
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
222:１３２人目の素数さん
23/02/05 07:21:42.58 wVajbkib.net
さて、承認欲求君に問う
Q1. 群SL(2､Z)の定義は？
Q2. SL(2､Z)は実は有限表示可能だが
1)生成元は？
2)生成元が満たす関係式は？
以下三問にきっちり正確に答えてくれたまえ
(Q2の答えは一意でないが、題意を満たしていれば正解とする いわずもがなだが）
こんなもん院試どころか学部の試験だから
答えられないなら大学卒業はできんね
223:１３２人目の素数さん
23/02/05 07:30:47.29 wVajbkib.net
ガロアの悪夢
「SL(2, R) の Γ0(p) の正規化群 Γ0(p)+
から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、
p がモンスター群の位数の素因子、すなわち
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71
であることと同値である。」
224:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:13:15.57 XfMj3WNk.net
>>207
>極論を云えば、
>群論・環論・位相空間論・層理論・圏論
>というのは数学における一種の修辞学である
それに賛同する数学徒は、いないだろうねｗ
どちらかと言えば、
・プログラミング言語
・もっと言えば、数学的対象を扱う数理言語そのもの
（グラフィックを含む）
そう捉えた方が良いだろう
定義を作って、小さなプログラムとかサブルーチンや、関数プログラム
それらを組み合わせて、定理（大きなプログラム）ができる
225:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:42:17.80 XfMj3WNk.net
>>202
分かってないねｗ
・環の定義では、可換と非可換の区別が定義されていないぞｗ
（後で、加法群の説明あるけど、順序が逆だよｗ）
・>>198-199 雪江明彦の
"2. 「可除環」か「斜体」か"
について言えば
そもそも、群、環、体と並べたとき
乗法については、一般的に非可換で貫徹するのが綺麗で
抽象代数学の初期は、これだった
（”永田の可換体論では体，可換体という用語”>>199）
しかし、用語 体 は、殆どの場合(教科書や論文で)、可換体しか扱わないんだ
だから、簡単に可換体→体と書いて、非可換は別の用語にという流れになった（これは よくある話）
・圏 category >>206について言えば、categoryの歴史は古代ギリシャのアリストテレス辺りまで遡る（下記）
多分、数学の”category”という用語は、下記”カントは人間認識を基礎付ける超越論的制約のひとつ、純粋悟性概念をカテゴリと呼び、その意味を認識論的意味へと転換した”あたりを意識していたのかもしれない
が、本音はキャッチーなだじゃれだったかも
圏論書いた人は、関西人では？ｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論 category theory
歴史
1945年の「General Theory of Natural Equivalences[3]」において圏（あるいは関手、自然変換）をその名前で定義した[4]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カテゴリ
カテゴリ（独: Kategorie、英: Category、仏: Categorie）は、事柄の性質を区分する上でのもっとも基本的な分類のことである。カテゴリーとも表記する。語源はギリシア語の κατηγορια。漢訳語では範疇（はんちゅう）であり、洪範九疇に由来する[1]。
概説
アリストテレスによって哲学用語として採用された。アリストテレスにおいてカテゴリは存在のもつ10の基本的性質をあらわし、存在論における基本概念のひとつであったが、イマヌエル・カントは人間認識を基礎付ける超越論的制約のひとつ、純粋悟性概念をカテゴリと呼び、その意味を認識論的意味へと転換した。
哲学用語としての「基本範疇」の意味から発展して、各種分類学などでもカテゴリの用語が用いられることがある
(引用終り)
226:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:44:49.00 wVajbkib.net
>>210
数学における言語は論理学
数学的構造は言語の上部構造だから修辞学
プログラミング言語が論理なら
オブジェクトのクラスが代数的もしくは位相的構造
論理があれば証明は書けるが
構造を用いれば再利用ができる
修辞学の意図の一つもそこにある
227:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:51:27.49 wVajbkib.net
>>211
＞・環の定義では、可換と非可換の区別が定義されていないぞ
必要なら記述を付け加えてくれたまえ
大した問題ではない（バッサリ）
＞・そもそも、群、環、体と並べたとき・・・
そもそも、その並べ方に特段の意味はない
意味があるというなら、述べてくれたまえ
＞・圏 category について言えば
圏の名前の歴史的由来については全く興味ない
数学とは全く関係ないから
＞圏論書いた人は、関西人では？
つまらんな（バッサリ）
もしかして、認知症？
228:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:59:17.59 wVajbkib.net
数学における SL(2､Z)と j-invariant は
ライトモティーフとよんでもいいものだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
229:１３２人目の素数さん
23/02/05 10:14:55.46 XfMj3WNk.net
>>212 つづき
・圏 category で、明治のころからの伝統で
数学用語は、漢字一文字を当てるという（暗黙の）規則がある
例：群、環、体
・そこで、categoryは哲学では範疇という訳語があるけれども
category→範疇は、かえって分かりづらいし
漢字一文字で、圏にしたのでしょうね（発案者は知らず）
・ああ、いま検索すると、ベールの範疇定理とかあって、この点からも”範疇”は、まずいね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
範疇 (数学)
数学において、範疇（はんちゅう）とは位相空間の部分集合を 2 通りに分類する方法のことである。カテゴリーと呼ぶことも多いが、同様にカテゴリーと呼ばれる圏とは全く異なるものである。
定義
X を位相空間とし、A をその部分集合とする。
A の閉包の内部が空であるとき、A は疎であるという。A が可算個の疎な集合の和集合で表せるとき A は第 1 類であるといい、そうでないとき A は第 2 類であるという。第 1 類の集合をやせた集合ともいう。
第 1 類の集合の部分集合は第 1 類であり、可算個の第 1 類の集合の和集合は第 1 類である。
ベールの範疇定理
完備距離空間の空でない開部分集合は第 2 類である。これをベールの範疇定理と呼ぶ。この定理は特に関数解析などで有用である。
230:１３２人目の素数さん
23/02/05 10:54:31.31 XfMj3WNk.net
>>215 つづき
＜層について＞
・数学の層も、漢字一文字原則で、誤訳に近くなった例と思う
・層は、下記 英sheafでは 麦類の穂束であって、層の茎とか芽 (germ) と整合するけれども、
層→sheafの変換を頭の中でしないと、ワケワカでしょう
・本来は、下記 秋月(康夫)氏が書いているように、「(仏語)Faisceau の元来の意味は束 (タバ) 」なので、”束 (タバ) ”が一つの候補
しかし、すでに束は、束論で使われているので、漢字一文字原則を優先して、層にしたのでしょう
・いま思うと、漢字二～三文字で、別の分かり易い用語にすべきだったと思う（例えば関数の束で、”関数束”とか”関束”とかｗ）
・なお、下記[注 2]斎藤毅氏の説明のように、層は関数を一点に潰さずに、位相空間の開集合ベースで局所→大域を扱う概念
それを、(仏語)Faisceau 英sheaf 麦類の穂束 という用語にこめた ジャン・ルレイ氏（岡先生の不定域イデアル類似）
・層コホモロジー（下記）まで行かないと、ありがたみが分からないらしい。勉強する人は、そこまで頑張りましょう！
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
231:5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) 数学における層（そう、英: sheaf[注 1], 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。 層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。 例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。 さらに、局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば、その関数は連続関数である。層の定義は、この2つの性質を抽象化したものである[注 2],。 より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層（ぜんそう、presheaf）とよばれる[注 3]。 つづく
232:１３２人目の素数さん
23/02/05 10:54:54.85 XfMj3WNk.net
>>216
つづき
層の茎
詳細は「茎 (層)」を参照
層
Ｆの茎 (stalk) Fx は、点 x ∈ X の「まわり」の層の性質を捕らえる。ここに、「まわり」の意味は、概念的に言うと、その点のいくらでも小さい近傍を見るということであるが、もちろん、単独の近傍では十分小さくないので、ある種の極限をとらなければならない。
自然な射 F(U) → Fx は F(U) の切断 s をその芽 (germ) へ写す。
歴史
層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中のジャン・ルレイによる偏微分方程式の研究だと言われている。その後、アンリ・カルタンのセミナーで形式的な整備が進められた。
なお、アンリ・カルタンをはじめとするフランスの数学者達の層の解明は、岡潔が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている。岡の複素関数論のイデアの不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが連接層の内容とされる。
さらに任意の係数体上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、1955年にジャン＝ピエール・セールによって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。アレクサンドル・グロタンディークによりこの考えが推し進められ、スキーム上有意義な「層」を表現しうるトポスの概念が得られた。ほかに層が決定的に用いられる理論として佐藤幹夫らに端を発する偏微分方程式系の解析（D-加群の理論）があげられる。
脚注
1.^ 英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する (sheaf - Wiktionary)。
2.^ P191 第7章 層 数学原論 斎藤毅著 東京大学出版会 2020年4月10日 ISBN 978-4-13-063904-0
3.^ 層という訳語の由来は仏語 Faisceau のあとの方の 'ソー' をとったというのが一つの根拠である。
Faisceau の元来の意味は束 (タバ) である。'群の束' (X 上に配置された) の意である。
ところで、これを横に見ると地層のような層になる。
そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。
この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。(秋月 1970, p. 176)
つづく
233:１３２人目の素数さん
23/02/05 10:55:14.99 XfMj3WNk.net
>>217
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
層係数コホモロジー
数学において、層コホモロジー (sheaf cohomology) は、アーベル群の層に関連する層の理論の一面であり、ホモロジー代数を用いて、層 F の大域切断の具体的な計算を可能とする
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%9D%9F%E8%AB%96)
束 (束論
234:) 数学における束（そく、英語: lattice）は、任意の二元集合が一意的な上限（最小上界、二元の結びとも呼ばれる）および下限（最大下界、二元の交わりとも呼ばれる）を持つ半順序集合である。それと同時に、ある種の公理的恒等式を満足する代数的構造としても定義できる。 (引用終り) 以上
235:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:09:16.65 wVajbkib.net
>>215
> 明治のころからの伝統で
> 数学用語は、漢字一文字を当てる
> という（暗黙の）規則がある
数学と無関係の話になると
とたんに饒舌になる承認欲求君
集合は二文字ですが？
多様体は三文字ですが？
イデアルに至っては翻訳すらされてませんが
そもそも翻訳必要ですか？実は要らないよね
236:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:10:36.87 XfMj3WNk.net
>>201
＜環（かん、英: ring）について＞
１）環（ring）は、下記 デデキントが考えて、ヒルベルトにより紹介されたそうな
２）下記”リングという名前は、視覚的にリング状のものを指すのではなく、要素が組織化されて全体にマージされることを指します。それ以外の場合、この単語の意味はドイツ語ではほとんど失われています”とある
いまでいう、”サークル（活動）”のような意味で使ったのでしょうね
３）環（ring）→”サークル（活動）”の意味は、デデキントやヒルベルトは、当然分かっていた
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
環（かん、英: ring）
（上記からドイツ語へ）
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)(Algebra)
Ring (Algebra)
（google訳を一部手直し）
リングは代数構造です。
足し算と掛け算が定義されており、括弧に関して相互に互換性があります。環論は、環の性質を扱う 代数の一分野です。
目次
1 ネーミング
リングという名前は、視覚的にリング状のものを指すのではなく、要素が組織化されて全体にマージされることを指します。
それ以外の場合、この単語の意味はドイツ語ではほとんど失われています。
一部の古いクラブ名(例: Deutscher Ring、Weiser Ring、Maschinenring ) や、「犯罪者リング」、「物々交換リング」、「リング講義」などの表現は、今でもこの意味を参照しています。
Ringのコンセプトはリチャード・デデキントにまでさかのぼります。ただし、die Bezeichnung Ringは、David Hilbertにより紹介された。[1] [2]
237:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:12:59.90 wVajbkib.net
>>216-219
208の質問に答えられない事実を
無闇に検索結果をコピペして
なかったことにしたい承認欲求君
承認欲求君が答えられなかった質問は以下の通り
Q1. 群SL(2､Z)の定義は？
Q2. SL(2､Z)は実は有限表示可能だが
1)生成元は？
2)生成元が満たす関係式は？
(Q2の答えは一意でないが、題意を満たしていれば正解とする いわずもがなだが）
こんなもん院試どころか学部の試験だから
答えられないなら大学卒業はできんね
ま、実質「専門学校」の工学部は知らんけど
238:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:14:29.08 wVajbkib.net
>>220
命名に拘るのは数学が分からん「文系」の典型的症状
239:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:28:15.18 XfMj3WNk.net
>>219
> 集合は二文字ですが？
> 多様体は三文字ですが？
アホは教養がないな
西 周（にし あまね） 下記
”「哲学」という言葉を創った[9]ほか、「藝術（芸術）」「理性」「科學（科学）」「技術」「心理学」「意識」「知識」「概念」「帰納」「演繹」「定義」「命題」「分解」など多くの哲学・科学関係の言葉は西の考案した訳語である”
全体の中で、バランスを考えながら、訳をするんだよ
明治時代、先人は苦労したんだよ！
数学用語も同じだ
”数学用語は、漢字一文字を当てるという（暗黙の）規則がある”>>215
これは、常識です。否定しても仕方ないよｗ
落ちこぼれには、分からないかもｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%95%93%E8%92%99%E5%AE%B6)
西 周（にし あまね、（文政12年2月3日（1829年3月7日） - 明治30年（1897年）1月31日） は、日本の啓蒙思想
240:家、西洋哲学者[1]。獨逸学協会学校（現：獨協中学校・高等学校）初代校長、貴族院議員、男爵、錦鶏間祗候。西 周助とも[2]。 人物 西洋語の「philosophy」を音訳でなく翻訳語（和製漢語）として「哲学」という言葉を創った[9]ほか、「藝術（芸術）」「理性」「科學（科学）」「技術」「心理学」「意識」「知識」「概念」「帰納」「演繹」「定義」「命題」「分解」など多くの哲学・科学関係の言葉は西の考案した訳語である。
241:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:39:35.51 XfMj3WNk.net
>>223
> 多様体は三文字ですが？
トリビアですが
数学で、多様体は、
日→英訳のとき、
manifoldとvarietyと訳し分けが必要です
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
manifold
研究社 新英和中辞典での「variety」の意味
名詞可算名詞
【機械】 (内燃機関の吸排気をする)マニホールド，多岐管.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数多様体（だいすうたようたい、algebraic variety）
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
variety
研究社 新英和中辞典での「variety」の意味
名詞
1不可算名詞 変化(に富むこと), 多様(性).
a life full of variety 変化に富んだ人生.
2[a variety of…で] さまざま(の), いろいろ(な) 《★【用法】 of の次の名詞に複数形または集合名詞がくる》.
a variety of opinions 種々さまざまの意見.
242:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:43:32.02 wVajbkib.net
>>223
>教養がないな
>全体の中で、バランスを考えながら、訳をするんだよ
>明治時代、先人は苦労したんだよ！
文学部卒がなんか吠えとる
君はカント「純粋理性批判」でも読んでなさい
１８世紀人の君には、１９世紀以降の数学は無理
243:１３２人目の素数さん
23/02/05 11:49:44.34 wVajbkib.net
>>224
>トリビアですが
>数学で、多様体は、
>manifoldとvarietyと
>訳し分けが必要
英文学科卒がなんか吠えとる
君はシェークスピア「ハムレット」でも読んでなさい
To do or not to do, That is a question.
「やるかやらないか、それが問題だ」
244:１３２人目の素数さん
23/02/05 12:01:28.28 wVajbkib.net
文学部卒？の承認欲求君は
文学書・歴史書・哲学書
を読むつもりで数学書を読んだのが誤り
数学書は論理が分って計算が出来る人でないと読めないよ
245:１３２人目の素数さん
23/02/05 13:06:07.26 XfMj3WNk.net
>>225-227
>文学部卒？の承認欲求君は
>文学書・歴史書・哲学書
>を読むつもりで数学書を読んだのが誤り
>数学書は論理が分って計算が出来る人でないと読めないよ
違うと思うよ
・>>142 中島啓”1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて, 頭を思いっきり殴られたような衝撃を受けたことを, つい昨日のように思い出します. そのメールの内容は次のようなものでした. ４次元多様体 X の上のインスタントン数が n のインスタントンのモジュライ空間 Mnのオイラー数をe(Mn)としたときに,”
略
”このとき, ヴァッファとウィッテンは, 上の関数が保型性を持つという予想をしていて, ある多様体の例, 当時私が研究していたALE空間という４次元多様体の場合に成立しているかどうかを知りたい, と尋ねてきたのでした”
・ここの登場人物3人、中島啓、ヴァッファとウィッテン。3人とも、細かい話はネグって
Ｑ「どうなの」Ａ「Yes」(中島)というやりとり
・本になんか、なってない話だよ！
それで、ヴァッファ氏は物理屋で証明は求めていない！ Ｙ or N を求めている
中島氏は数学屋で、端的にＹ！
そして、ヴァッファ氏は答えを得て、中島氏は論文ネタを得た�
246:Bwin & winの関係 要するに、大学を卒業したら、こういうやり取りが出来る人が勝ちなんだ ヴァッファさん、カンニングですよ！、それ！！。知っていそうな人に聞くってｗ 聞かれた中島さんは、「お、それ論文ネタ！ ありがとう！」だったね そして、これが出来るには 中島啓氏なみに、自分が学び研究したことを、消化し吸収しておく必要があるのです 単なる記号の羅列から、人としての深い理解へね 数学科学部で落ちこぼれたキミは、 それが出来なかった。 また、出来てないのです！！ 私？ 私は、聞く方です ヴァッファさんの側ですよ！！ｗ
247:１３２人目の素数さん
23/02/05 15:40:57.97 wVajbkib.net
>>228
>>数学書は論理が分って計算が出来る人でないと読めないよ
>違うと思うよ
違わんよ 実際 全く読めなかったでしょ
還暦過ぎたオツムではどうあがいても無駄
さっさと数学書全部売って楽になりなよ
文学部卒の承認欲求君
>ヴァッファ氏は物理屋で証明は求めていない！
>ヴァッファさん、カンニングですよ！
もしかしてヴァッファはただの物理屋だとカン違いしてる？
やれやれ英文学科卒のくせに英語も読めないんだね
経歴を見れば実際は数学屋だと分かるよ
ウィッテンの弟子だからね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
カムランヴァファ; 1960 年 8 月 1 日生まれ は、イラン系アメリカ人の理論物理学者であり、
ハーバード大学の数学と自然哲学のホリス教授です。
Cumrun Vafa は1960 年 8 月 1 日にイランのテヘランで生まれました。
数学が物体の動きを予測する方法に魅了されました。
彼はテヘランのアルボルズ高校を卒業し、1977 年に大学で勉強するために渡米しました。
彼は1981 年にマサチューセッツ工科大学(MIT)から数学と物理学の学士号を取得しました。
エドワード・ウィッテンの監督の下、「対称性、不等式、指数定理」というタイトルの博士論文を完成させた後、
1985 年にプリンストン大学で物理学の博士号を取得しました。
博士号を取得した後、Vafa はハーバード大学のハーバード ソサエティ オブフェローを通じて
ジュニア フェローになり、後にジュニア ファカルティの職に就きました。
1989 年に上級教員職のオファーがあり、それ以来ずっとそこにいます。
Vafa は、1994 年にプリンストン大学の高等研究所、自然科学部、数学部で働いていました。
248:１３２人目の素数さん
23/02/05 15:54:43.95 wVajbkib.net
>>228
>大学を卒業したら、こういうやり取りが出来る人が勝ちなんだ
>知っていそうな人に聞くって そして、これが出来るには
>自分が学び研究したことを、消化し吸収しておく必要があるのです
>単なる記号の羅列から、人としての深い理解へね
>私？ 私は、聞く方です ヴァッファさんの側ですよ！！
なんかカッコイイこといってるけど
自分は大学１年の数学で、記号の羅列を理解できず
理系を諦めて文転したんでしょ
で、数学板でもラグランジュの分解式を使って
円分多項式の根のベキ根表示を得る方法が理解できず
さりとて何をどう質問すればいいかすら思いつかず
実は石井氏の「頂を踏む」に書いてあるのに読みこなせず
あげくのはてにこの板の読者に思いっきり先越されたと
ボロ負けじゃん 質問もできず他人の言葉を消化吸収できない
要するに君には数学というセルロースが分解できないってことよ
しかたないので今日も訳も分からず検索した結果をコピペ
ヒトのすることじゃないね サルのオナニーだよ そりゃ
君はここではもう承認欲求満たされないから
別のことで承認欲求満たしたほうがいいよ 文学部卒君
249:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:09:12.64 wVajbkib.net
人間が草を消化できないのはなぜ？
URLﾘﾝｸ(logmi.jp)
端的にいえば
「セルロースを分解するのに必要な酵素を生産する微生物がいないから」
では、微生物を住まわせればいいのか？
著者がいうには、おそらくうまくいかない
なぜなら、人間の胃はセルロースを消化する過程が起こるには
あまりにも酸性が強いから
承認欲求が数学というセルロースを消化するのも無理だろう
証明から個々の論理の繋がりの形に分解する「微生物」がいないから
そしてそのような「微生物」が働くにはあまりにも承認欲が強いから
肉食動物が草食動物のマネしようとしても無駄ってことですよ
セルロースの消化は自慢するような派手なパフォーマンスじゃなくて
草を反芻して噛み続ける実に地味な作業だということに気付きましょう
そして本棚の肥やしになってる数学書を全部うっぱらって
数学とは全然無縁の、消化可能な肉でも食ってください
嫌がらせで云ってるんじゃないんですよ
どうみても貴方が数学を楽しめてないのが明らかだから
貴方の苦痛を取り除くためにいってあげてるんです
250:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:27:07.85 wVajbkib.net
人って食物連鎖の頂点とかいってるけど
はっきりいって何も生産してなくてただ消費してるだけ
生産者といっていいのは植物だけ
草食動物が加工業者で
肉食動物は消費者
自然界における人って
人類社会における富裕層
みたいなもんです
金は有り余るほど持ってるけどちっとも働いてない
こりゃ滅びるな
251:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:28:40.77 XfMj3WNk.net
>>197 追加
保形形式：automorphic form
形式：form は、良いでしょう
（例 cusp form 数論では、カスプ形式(cusp form)、もしくは尖点形式とは、フーリエ級数展開の定数項が 0 である特別なモジュラー形式のことを言う。
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp) ）
automorphic：ja.wikipedia 保型因子より、群 G が複素解析多様体 X に作用しているとき
”群 G の作用に関して
f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
なる関係を満たすことを言う。ただし、jg(x) は至る所零でない正則函数とする。”
automorphicとは、辞書では「自形」
（接頭辞 auto- は、「自身」を意味する）
f(x)という関数形が、右辺に残る意味（保形ね）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
automorphic
日英・英日専門用語辞書での「automorphic」の意味
automorphic
自形の，自形
URLﾘﾝｸ(gogengo.me)
接頭辞 auto- Gogengo! - 英単語は語源でたのしく
「自身」を意味します。
ギリシャ語 autos が由来です。
Wiktionary英語版での「automorphic」の意味
automorphic
形容詞
automorphic (not comparable)
3.(mathematics) Of or pertaining to automorphy or an automorphism
「automorphic」の意味に関連した用語
1 保形函数 (英和専門語辞典) automorphic function
2 保形形式 (英和専門語辞典) automorphic form
4 保形関数 (英和専門語辞典) automorphic function
7 自形の (日英・英日専門用語) euhedral，automorphic，idiomorphic
10 モジュラー形式の保型因子 (英和対訳) Automorphic factor
つづく
252:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:29:09.14 XfMj3WNk.net
>>233
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Automorphic function
In mathematics, an automorphic function is a function on a space that is invariant und
253:er the action of some group, in other words a function on the quotient space. Often the space is a complex manifold and the group is a discrete group. Factor of automorphy A function f is termed an automorphic form if the following holds: f(g.x)=j_{g}(x)f(x) j_{g}(x) is an everywhere nonzero holomorphic function. Equivalently, an automorphic form is a function whose divisor is invariant under the action of G. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%BF%9D%E5%9E%8B%E5%9B%A0%E5%AD%90 モジュラー形式の保型因子 モジュラー形式論に現れる保型因子（ほけいいんし、英: automorphic factor）は SL(2, R) 上で定義されるある種の解析函数である。さらに一般の群に対する議論は保型因子の項に譲る。 以下略 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D%E5%9E%8B%E5%9B%A0%E5%AD%90 保型因子 定義 群 G が複素解析多様体 X に作用しているものとすると、この群 G は X 上の複素数値正則函数全体の成す空間にも作用する。このような函数 f が保型形式であるとは、群 G の作用に関して f(g.x)=j_{g}(x)f(x) なる関係を満たすことを言う。ただし、jg(x) は至る所零でない正則函数とする。これは、保型形式は G の作用のもとで不変となる成分 (divisor) を持つような函数であるというように述べることもできる。 保型形式 f の保型因子とはこのような函数 j のことである。また、保型函数 (automorphic function) とは、その保型因子 j が常に 1 であるような保型形式をいう。 つづく
254:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:29:39.59 XfMj3WNk.net
>>234
つづき
性質
保型因子に関していくつかの事実が成り立つ。
・任意の保型因子は、至る所零でない正則函数全体の成す乗法群への G の作用に関する 1-双対輪体である。
・保型因子が双対境界輪体となることと、それが至る所零でない保型形式の保型因子として得られることとは同値である。
・与えられた保型因子に対して、それを保型因子に持つ保型形式の全体はベクトル空間を成す。
・二つの保型形式の点ごとの積は、それら二つの保型形式の保型因子の積を保型因子として持つ保型形式となる。
関連する概念
保型因子とその他の概念の間の関係として、以下のようなものが挙げられる。
・Γ がリー群 G 内の格子群であるとき、Γ に対する保型因子は、商リー群 G/Γ 上の直線束に対応する。さらに、与えられた保型因子に対する保型形式は対応する直線束の切断に対応する。
・Γ が SL(2, R) の部分群で上半平面に作用している場合に特殊化した議論はモジュラー形式の保型因子の項に譲る。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
保型形式
調和解析や数論において、保型形式（ほけいけいしき、英: automorphic form）は、位相群 G 上で定義された複素数（あるいは複素ベクトル空間）値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ G の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数（これは離散位相群としての 1 次元トーラス上の函数と見なされる）を、一般の位相群に対して一般化したものである。
モジュラー形式は、モジュラー群あるいは合同部分群（英語版）のひとつを離散部分群として持つ SL2(R)（特殊線型群）や PSL2(R)（射影特殊線型群）の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。
つづく
255:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:30:01.46 XfMj3WNk.net
>>235
つづき
アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincare) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす[1]。
定式化
保型形式の定式化に当たっては、Γ に対する一般的な意味での保型因子（群コホモロジーの言葉で言えば 1-コサイクルの一種）j が必要である。j は複素数値（あるいは一般にベクトル値の保型形式を考える場合にはそれに応じて複素正方行列値）の函数である。保型因子に課されるコサイクル条件は、j がヤコビ行列から導かれる場合には連鎖律を用いて機械的に確認することができる。
歴史
（1960年ごろに）この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群（英語版）である場合は、1900年よりも前に既に知られていた（後述）。 ヒルベルト・モジュラー形式（英語版）（あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある）がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式（英語版） は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー＝シャピロによって成された。 セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を（特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に）示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは（この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する）アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている。
(引用終り)
以上
256:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:53:05.24 wVajbkib.net
>>233-236
>f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
>jg(x) は至る所零でない正則函数
>保型形式 f の保型因子とはこのような函数 j
>任意の保型因子は、至る所零でない正則函数全体の成す乗法群への G の作用に関する 1-双対輪体。
>保型因子が双対境界輪体となることと、それが至る所零でない保型形式の保型因子として得られることとは同値。
>与えられた保型因子を持つ保型形式の全体はベクトル空間。
>二つの保型形式の点ごとの積は、それら二つの保型形式の保型因子の積を保型因子として持つ保型形式。
>Γ がリー群 G 内の格子群であるとき、Γ に対する保型因子は、商リー群 G/Γ 上の直線束に対応。
>さらに、与えられた保型因子に対する保型形式は対応する直線束の切断に対応。
>保型形式の定式化に当たって
>Γ に対する一般的な意味での保型因子
>（群コホモロジーの言葉で言えば 1-コサイクルの一種）
>j が必要。
>j は複素数値の函数。
>（あるいは一般にベクトル値の保型形式を考える場合にはそれに応じて複素正方行列値の函数）
>保型因子に課されるコサイクル条件は、
>j がヤコビ行列から導かれる場合には
>連鎖律を用いて機械的に確認可能。
なるほど(ニヤリ)
257:１３２人目の素数さん
23/02/05 16:54:16.45 XfMj3WNk.net
>>229
ヴァファさん、数学と物理学の学士号を取得だね
ウィッテンさん、歴史と言語学
時枝正さん、古典文献学者で、上智大学も数学専攻じゃなかった
彼らは、才能だね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Edward Witten is an American mathematical and theoretical physicist.
（google 訳）
初期の人生と教育
ウィッテンは 1951 年 8 月 26 日、メリーランド州ボルチモアでユダヤ人の家庭に生まれました。[8]彼は、ロレーヌ (旧姓ウォラッハ) ウィッテンと、重力と一般相対性理論を専門とする理論物理学者のルイス ウィッテンの息子です
ウィッテンはボルチモアのパーク スクールに通い('68 年のクラス)、1971 年にブランダ??イス大学で歴史を専攻し、言語学を副専攻として学士号を取得しました
彼はジャーナリズムと政治に熱望し、1960 年代後半にニュー リパブリックとネイションの両方で記事を発表しました。[11] [12] 1972 年、彼はジョージ マクガバンの大統領選挙運動に 6 か月間携わった
ウィッテンは中退する前に経済学の大学院生としてミシガン大学に 1 学期だけ通いました。[14]彼は学界に戻り、1973 年にプリンストン大学で応用数学に入学し、1976 年に学部を変えて物理学の博士号を取得し、博士論文「ゲージ理論の短距離分析におけるいくつかの問題」を監督の下で完成させました。デビッド・グロスの。[15]彼はハーバード大学(1976?77) でフェローシップを開催し、オックスフォード大学(1977?78)を訪問した[3] [16]。ハーバード フェロー協会のジュニア フェロー (1977 ～ 1980 年) であり、マッカーサー財団のフェローシップ (1982 年) を開催しました
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
258:kieda 時枝正 （google 訳） 人生とキャリア 時枝は東京に生まれ、画家として育ちました その後、フランスのリセ サント マリー グラン ルブラン[1]で古典文献学者として学んだ。彼の個人的なホームページによると、彼はロシアの問題集から基礎的な数学を独学で学んだという。 彼は 1989 年に東京の上智大学[1]を卒業し、1991 年にオックスフォードで数学の学士号を取得しています (そこでブリティッシュ カウンシル フェローとして学びました)。彼はウィリアム ブラウダーの指導の下、プリンストン大学で博士号を取得しました
259:１３２人目の素数さん
23/02/05 17:08:22.62 wVajbkib.net
>>238
誰にも才能があるわけではない
才能がなくても死にゃしない
ｗｉｋｉの文章をコピペしても理解できなきゃ無意味
人生楽しむなら自分にとって意味あることしよう
260:１３２人目の素数さん
23/02/05 17:34:50.13 wVajbkib.net
さて問題
Q1. SL(2､Z)の部分群として
(1 b)
(0 1)
なる形の行列からなる群を考える
(1 a)(1 b)
(0 1)(0 1)
=
(1 a+b)
(0 1)
さて上記の群の保形関数f(x+b)=f(x)は何か？
Q2. SL(2､Z)の部分群として
(1 0)
(c 1)
なる形の行列からなる群を考える
(1 0)(1 0)
(c 1)(d 1)
=
(1 0)
(c+d 1)
さて上記の群の保形関数f(x/(cx+1))=f(1/c-1/c(cx-1))=(cz+1)^kf(x)は何か？
Q1はアホでも分かる
Q2は? 知らん
261:１３２人目の素数さん
23/02/05 17:37:00.22 XfMj3WNk.net
>>233 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラングランズ・プログラムは、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である
問題の背景
ハリッシュ＝チャンドラの仕事において、半単純（あるいは簡約）リー群に対してできることは、任意の代数群に対してできるはずであるという原理を見ることができる。従って、その手法というのは、既に知られていたモジュラ形式論における GL(2) や、後から認識されるようになった類体論における GL(1) などの、ある種の低次元リー群が果たす役割を、少なくとも一般に n > 2 に対する GL(n) についての考察を明らかにすることであるということができる
モジュラー形式の側からは、例えばヒルベルトモジュラー形式（英語版）、ジーゲルモジュラー形式（英語版）、テータ級数などの例があった
ラングランズ予想
保型形式論
エーリッヒ・ヘッケは既に、ディリクレ L-函数を保型形式（C の上半平面上で定義される正則函数である種の函数等式を満たすもの）に関連付けていたが、ラングランズはそれを（有理数体 Q のアデール環 A 上で定義される一般線型群 GL(n, A) の無限次元既約表現の一種である）保型尖点表現に対して一般化した。（Q のアデール環というのは、Q の任意の完備化を一斉に扱ったようなものである）
ラングランズは、保型 L-函数をその保型表現に対応させ「任意のアルティンのL-函数が、代数体のガロワ群の有限次元表現から生じることと、保型尖点表現から生じることとは等しい」と予想した
つづく
262:１３２人目の素数さん
23/02/05 17:37:27.52 XfMj3WNk.net
>>241
つづき
現在の状況
・GL(1, K) に対するラングランズ予想は類体論から従う（というよりは本質的には同じものである）
・ワイルズによる、有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一部と見做すことができるが、ワイルズの方法を任意の数体上に拡張することはできない
基本補題
詳細は「ラングランズプログラムの基本補題（英語版） 」を参照
2008年にゴ・バオ・チャウ(Ngo B?o Chau)は、所謂「基本補題（英語版）」と称される補助的だが非常に難しい主張を示した。基本補題はもともとラングランズ自身によって1983年に述べられたものである
(引用終り)
以上
263:１３２人目の素数さん
23/02/05 18:06:23.53 wVajbkib.net
>>241-242
承認欲求君 またも問題から逃避
240のQ2も簡単だった
264: Q1の答えを変換すればいいだけ
265:１３２人目の素数さん
23/02/05 18:08:11.15 wVajbkib.net
>>243
240のQ2はk=0で答えがある
つまりf(x/(cx+1))=f(x)
266:１３２人目の素数さん
23/02/05 18:38:03.01 XfMj3WNk.net
>>215 リンクタイポ訂正
>>212 つづき
↓
>>211 つづき
（いまさらですが、念のため）
267:１３２人目の素数さん
23/02/05 19:13:50.37 wVajbkib.net
あーぬるいぬるいよ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
268:１３２人目の素数さん
23/02/06 07:51:47.09 nxkRm8+k.net
藤原松三郎の代数学の本を読んだ方がいいかな？
269:１３２人目の素数さん
23/02/06 08:11:41.33 kZXmsEGT.net
>>247
>藤原松三郎の代数学の本を読んだ方がいいかな？
現代数学を学んでからの方が良いと思う
270:１３２人目の素数さん
23/02/06 08:19:58.67 kZXmsEGT.net
>>230
> 自分は大学１年の数学で、記号の羅列を理解できず
数学を、記号の羅列と理解しているアホがいる
あなた、遠山啓を読んだんでしょ？ 彼の水道方式（下記）
要するに、一つ高い立場に立てば、それより下のレベルの理解が容易になる
これは、現代数学を含む全ての数学に通じる
数学を”記号の羅列”と捉えるのとは、真逆の思考だ
”記号の羅列”で終わるから、あなたは数学科で落ちこぼれたんじゃないの？
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
水道方式
水道方式の語源は最も基本的な「計算の素過程」を練習した後、最も一般的な型を「水源地」にして、一般から特殊へと型分けによるドリルを教えていく流れを「水道管の分岐や流れ」に模して遠山らが名付けた[7][注 2]
271:１３２人目の素数さん
23/02/06 08:24:40.20 kZXmsEGT.net
>>248
>>藤原松三郎の代数学の本を読んだ方がいいかな？
>現代数学を学んでからの方が良いと思う
補足
要するに、現代数学と藤原松三郎とを、対比しながら読むべしってことです
272:１３２人目の素数さん
23/02/06 09:14:01.95 lA1TcTQr.net
>>249
>一つ高い立場に立てば
立ててないやん
>数学を、記号の羅列と理解しているアホがいる
それが君
サールの「中国語の部屋」の中の人ってこと
273:１３２人目の素数さん
23/02/06 10:14:45.61 lA1TcTQr.net
群やら層やら圏やらに対して
なぜそういう定義になっているのか？
というのは当然の質問だが
その答えは定理の証明でそれらが
どう使われるか知ることに尽きるので
まずそういうものだと受け入れるしかない
そもそもその定式化が適切かどうかも
わからないのだから
あくまで先人が考えたプランでしかない
274:１３２人目の素数さん
23/02/06 21:03:49.76 kZXmsEGT.net
>>251
あんたは、いつも詭弁と論点ずらしに終始しているね
だから、ダメなんだよ。そして、その詭弁と論点ずらしが数学にも影響してくるんだ
結局、あんた数学も出来なくなったんだね
１）”一つ高い立場に立てば”は、目指すべき地点を言っている
対してあんたの”立ててないやん”は、個人の一場面だけ
詭弁と論点ずらしだよ
２）一つ例を挙げよう
オイラーの式 e^iθ＝cosθ +isinθ
これから、簡単に倍角公式が出る
e^i2θ＝cos2θ +isin2θ＝(cosθ +isinθ)^2＝(cosθ)^2-(sinθ)^2+i2sinθcosθ
実部と虚部の比較で
cos2θ＝(cosθ)^2-(sinθ)^2
sin2θ＝2sinθcosθ
となる
下記のαとβ「加法定理」も簡単です
３）私も、高2では下記”咲いた コスモス コスモス咲いた”やりましたｗ
高3で、当時の大学への数学誌で紹介された、上記のオイラーの式使って三角関数の公式が出ることを読んで、こちらにしましたｗ
４）要するに、「オイラーの式 e^iθ＝cosθ +isinθ」一つを覚えておけば、
三角関数の公式を覚えるのも容易だし、たとえ忘れても、「加法定理のαとβ」くらい瞬時に再現できるのです
５）”一つ高い立場に立てば”は、こういうことですよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(goukaku-suppli.com)
合格サプリ
2021.12.14
【3分で分かる！】三角関数の重要公式「加法定理」の語呂合わせ・覚え方まとめ
咲いた コスモス コスモス咲いた
sin(α+β)＝sinα cosβ + cosα sinβ
最も有名な覚え方です。
サインプラスは、『咲いた コスモス コスモス咲いた』と覚えましょう。
275:１３２人目の素数さん
23/02/06 21:22:38.08 kZXmsEGT.net
>>252
>なぜそういう定義になっているのか？
>というのは当然の質問だが
>その答えは定理の証明でそれらが
>どう使われるか知ることに尽きるので
違うだろ！
例えば、下記 深谷賢治氏の考えた 深谷圏
解くべき物理学の対象があった
それを解くために、深谷圏を考えた（定義も考えた）んでしょ？
あんたみたいな考えじゃ、深谷圏には到達できないよね、深谷賢治氏はｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
深谷賢治
深谷 賢治（ふかや けんじ、1959年3月12日 - ）は、日本の数学者[1]。専門は幾何学で、リーマン多様体の崩壊、アーノルド予想の解決、ミラー対称性予想への貢献、深谷圏(A∞圏)の定義等の業績がある。学位は博士（1986年）。
専門は、最初の頃は大域リーマン幾何学（空間の「曲がり方」を調べる分野）、その後、ゲージ理論（数学的側面は近年位相幾何学にも応用されている）も研究し、現在の専門はシンプレクティック幾何学（解析力学の数学的基礎でその大域的な側面を研究）。
URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp)
深谷賢治教授に聞く - Kavli IPMU _Interview 聞き手：斎藤恭司 2013/06/22
70年代はまだ夢だった?現代幾何と物理の関わり
斎藤?お伺いしたいことは、どういうふうに数学を始めたかというところから始まって、やはり今日、深谷圏と呼ばれている幾何構造に到達した流れ、その後の発展や今後の展望、物理と数学との関係について。
深谷?私は、もともと物理との関係はいろいろやりたいと思っていました。
つづく
276:１３２人目の素数さん
23/02/06 21:23:12.67 kZXmsEGT.net
>>254
つづき
深谷?表現論でも、量子力学と群論の関係などは昔からありました。私が今やっている幾何学では、特に20世紀になってから発達した次元の高い大域的な幾何学は、物理に使われるということは、ずうっと余りありませんでした。
深谷?物理だけでなく、ほとんどどこにも使われてなかったですね。
斎藤?アティヤ・ドナルドソンのゲージ理論やtopologicalfield theory（位相的場の理論）が出てきて、一時代を築きますね。深谷?そうですね。ですから、あの頃、何かもうそういうことをやってもいいんじゃないかと思い始めた。
斎藤?では深谷さんは、やはりそれを意識しながらやってきたのですか?
トポロジーが物理の言葉になる時代が来ることを期待
深谷?トポロジーが物理の言葉になる時代が来てほしいな、とは多分、思っていました。それは、今でもそこまでは行ってないと思います。一方、本当にそこまで行くかもしれないという雰囲気は現れてきています。斎藤?モダンなものとは違うけれども、例えばアーノルドの古典力学。［『古典力学の数学的方法』（ウラジミール・イーゴレヴィッチ・アーノルド）］?アーノルドはトポロジーというものを非常に積極的に力学研究に取り入れた人でしょう。ああいう流れは確かにあの頃既にあった
(引用終り)
以上