23/02/01 01:04:55.37 Jvs8LpXg.net
Auguste Chevallierがガロアからの手紙を棄てたり焼いたりしていたら
どうなっただろうか？あるいは自分にはちんぷんかんぷんで誰か
高名な数学者に判読を頼んだら、その人が自分の業績としてパクって
ガロアの名前には一切言及しなかったら、歴史は変わっていたか？
129:１３２人目の素数さん
23/02/01 06:15:05.79 H5dy1vFX.net
>>119-121
>単にチラシの裏にメモ書いただけですぜ、旦那
それを人は承認欲求という
130:１３２人目の素数さん
23/02/01 07:37:02.95 H5dy1vFX.net
>>122
みだりに野生動物にエサをあたえないでください
131:１３２人目の素数さん
23/02/01 10:18:42.70 sQMfVFbD.net
>>116 追加
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジョン・F・ケネディ 名前のイニシャルをとってJFK
大統領就任演説
日本では演説の最後に語られた次の一句がよく引用されている[注 40]。
”・・・我が同胞アメリカ国民よ、国が諸君のために何が出来るかを問うのではなく、諸君が国のために何が出来るかを問うてほしい。・・・世界の友人たちよ。アメリカが諸君のために何を為すかを問うのではなく、人類の自由のためにともに何が出来るかを問うてほしい。・・・最後に、アメリカ国民、そして世界の市民よ、私達が諸君に求めることと同じだけの高い水準の強さと犠牲を私達に求めて欲しい。[88]・・・”
(引用終り)
JFK：国が諸君のために何が出来るかを問うのではなく、諸君が国のために何が出来るかを問うてほしい
さて
このJFKの原理を、数学に当てはめれば
「他人が何をどれだけ理解しているかを問うのではなく、自分がどれだけ理解しているかを問い、そして数学のために何が出来るかを問うてほしい」
となるだろう
実際、他人が何を理解あるいは理解していないかよりも
自分が数学をどれだけ理解しているか
そして、それをどう生かしていくかが
一番重要なのだから
132:１３２人目の素数さん
23/02/01 11:45:56.27 sQMfVFbD.net
>>122
>Auguste Chevallierがガロアからの手紙を棄てたり焼いたりしていたら
>どうなっただろうか？あるいは自分にはちんぷんかんぷんで誰か
>高名な数学者に判読を頼んだら、その人が自分の業績としてパクって
>ガロアの名前には一切言及しなかったら、歴史は変わっていたか？
そうですね
考えたことなかったけど
１）Chevallier氏も苦労したみたい
下記、”シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)に「死者小伝」(Necrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。”
”リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathematique pures et appliquees)に掲載された。”
1846年まで、14年。
（なお、「複数の著名な数学者へ論文の写しを送った」も結構苦労したのでは？ そもそもコピー機ないよ、この時代ｗ
『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)の別刷を、何部か分けてもらったかも。国際、郵便制度もあやしいか。
その上、”You make a public request to Jacobi and Gauss to give their opinion, not as to the truth but as to the importance of these theorems. ”（>>110）
って、フランス語では通じないから、ドイツ語かラテン語の手紙がいるよね。簡単じゃない）
２）下記”デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[13]。”
1832年から23年だね。デーデキントは、体の拡大という視点を導入したという
（ガロア第一論文では、体の代わりにガロア分解式を使う）
３）お説の「高名な数学者に判読を頼んだら」は、「複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの」とあるから、あり得たかも
但し、1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)に「ガロアの論文等を掲載」とあるから、「自分の業績としてパクって」は不成立か
（なお、この時代は、いまのように参考文献を調査してしっかりつける習慣は確立されていなかったみたい。文献検索システムないしｗ。だから、パクリの意識が希薄かも）
つづく
133:１３２人目の素数さん
23/02/01 11:46:44.33 sQMfVFbD.net
>>126
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エヴァリスト・ガロア
エヴァリスト・ガロア（Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）
死後の動き
ガロアの死後、シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)に「死者小伝」(Necrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。
また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。
しかし、何らかのきっかけで、その写しがジョゼフ・リウヴィルの手元に渡った。
リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathematique pures et appliquees)に掲載された。
その際、ガロアが生前認められなかった理由を、簡潔にまとめようという意識が過剰であり、明快さに欠けたためと分析している。
リヒャルト・デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[13]。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された667ページに及ぶ著書『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
ジョルダンはその序文において、「本書はガロアの諸論文の注釈に過ぎない」と述べている。
1848年には『ル・マガザン・ピトレスク』（Magasin Pittoresque、挿絵付雑誌の意）に、ガロアに関する匿名[14]の短い伝�
134:Lが、弟のアルフレッドが記憶をたどって描いた肖像画と共に掲載されている。 1872年には、ガロアの母が84歳で亡くなっている[15]。 1897年には、エミール・ピカールの序文付きでリウヴィルの編集した『ガロア全集』が刊行されている。 (引用終り) 以上
135:１３２人目の素数さん
23/02/01 12:06:57.57 sQMfVFbD.net
>>119
>笠原乾吉 (津田塾大学)
笠原乾吉先生について
（参考）
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
更新日: 2022/11/08
新井 仁之
Hitoshi Arai
ディーバーな関数論．笠原乾吉著『複素解析』（ちくま学芸文庫）
投稿日時 : 2016/08/23
ちくま学芸文庫からさまざまな数学書が文庫化されていることは今更ここで言うまでもないことですが，今月，また新たに一冊加わりました．
笠原乾吉著『複素解析 1変数解析関数』．
今回も期待を裏切らない渋い選択です．本書はもともと実教出版から1978年に出版されたもので，私も学生時代お世話になりました．
【ヘルマンダリズムと本書】
かつて故倉田令二朗氏は数学セミナーでの伝説的な連載『多変数複素関数論を学ぶ』（1977-78）において，L. ヘルマンダーの多変数複素解析の方法を「ヘルマンダリズム」と呼びました．笠原著『複素解析』はそのヘルマンダリズムの雰囲気を醸し出している入門書と言えるでしょう．ヘルマンダリズムというのは，岡潔氏の仕事を非斉次コーシー・リーマン方程式という連立偏微分方程式を解くことに帰着させる主義を意味するものです．本書でも第5章では1変数のクザンの加法的問題が非斉次コーシー・リーマン方程式（後述）を解くことにより証明されています．クザンの加法的問題は，与えらえた極と主要部を有する有理型関数の存在を保証するミッタグ・レフラーの定理を一般化したものです．1変数複素解析の教科書でクザンの加法的問題を取り上げているものは極めて珍しいといえます．
ヘルマンダリズムといえば，創始者のヘルマンダー氏の本 "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables" （1966）があり，その第1章が1変数複素解析に充てられています．
つづく
136:１３２人目の素数さん
23/02/01 12:07:27.75 sQMfVFbD.net
>>128
つづき
【あなどれない付録】
本書を読むのに必要な予備知識は2変数の微分積分と平面上のベクトル解析ですが，それは付録に懇切丁寧に解説されています．
じつはこの付録，付録だからと言ってあなどることができません．これ自身読みごたえ十分で，存在感のある部分です．
【補遺】
倉田令二朗氏の数セミの連載は最近，単行本として出版されています．
倉田令二朗著（高瀬正仁解説）『多変数複素関数論を学ぶ』（日本評論社）．
ヘルマンダーの本は和訳
ヘルマンダー著（笠原乾吉訳）『多変数複素解析学入門』（東京図書）
もありましたが，今は出版されていないようです．図書館か運が良ければ古書店で見出せるかもしれません．
【蛇足】
このブログのタイトルですが，「ディーバー」は「ディーパー（deeper）」のタイプミスではありません．ただ，そちらにもひっかけてあります．念のため．
(引用終り)
以上
137:１３２人目の素数さん
23/02/01 12:38:11.40 MUCkhyke.net
>>125-129 承認欲求？
138:１３２人目の素数さん
23/02/01 13:59:57.40 sQMfVFbD.net
>>1
ガロア第一論文英訳見つけた！（下記）
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Where can I find Galois original paper?
asked Mar 25, 2016 at 17:00 uuuuuuuuuu
つづく
139:１３２人目の素数さん
23/02/01 14:03:39.56 sQMfVFbD.net
つづき
6 Answers
The best Galois full edition you will ever find is found here:
https://
（URLが通らないので改行）
uberty.org/wp-content/up
（URLが通らないので改行）
loads/2015/11/Peter_M._Neumann_The_Mathematical_Writings.pdf
answered Sep 22, 2018 at 4:47 roland5999
つづく
140:１３２人目の素数さん
23/02/01 14:04:35.71 sQMfVFbD.net
つづき
The best Galois full edition you will ever find is found here:
URLﾘﾝｸ(uberty.org)
（URLが通らないので改行）
loads/2015/11/Peter_M._Neumann_The_Mathematical_Writings.pdf
Heritage of European Mathematics
Peter M. Neumann
The mathematical
writings of
Evariste Galois
2011 European Mathematical Society
P119(内頁107)
Memoir on the conditions for solubility of equations by radicals
（いわゆるガロア第一論文）
This 16 January 1831.
E. Galois
なお
P97(内頁85)
Letter to Auguste Chevalier.
Paris, 29 May 1832
E. Galois
以上
141:１３２人目の素数さん
23/02/01 14:06:40.38 sQMfVFbD.net
>>132-133
uploads が、NGワードかな？ｗ
142:１３２人目の素数さん
23/02/01 15:29:15.16 UecUirTT.net
ガロア理論
ガロア第一論文
ガロア最後の手紙
全て理解出来ないのに
検索だけ出来たと
承認欲求？
143:１３２人目の素数さん
23/02/01 17:27:24.86 sQMfVFbD.net
>>75
>ガロアより以前に置換群論において正規部分群という概念を思いついた
>という人は居ないのだろうか？
戻る
下記が
多少参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Last Mathematical Testament of Galois Indian Academy of Sciences
Classics Volume 4 Issue 10 October 1999
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Theory of Equations and the Birth of Modern Group Theory - An Introduction to Galois Theory
B Sury
General Article Volume 4 Issue 10 October 1999 pp 47-60
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
144:１３２人目の素数さん
23/02/01 17:29:48.46 sQMfVFbD.net
>>135
ガロア理論
ガロア第一論文
ガロア最後の手紙
全て理解出来ないので
欲求不満？
しらんがな
くすり付けなよ
バカにつける薬を
145:１３２人目の素数さん
23/02/01 17:42:18.01 FK+j7Kvi.net
>>137
>欲求不満？
あなたが？
>くすり付けなよ
>バカにつける薬を
自分に？
146:１３２人目の素数さん
23/02/02 11:44:24.42 ctSDNTad.net
>>119-120
補足
モジュラス（modulus、複数形は moduli; モジュライ）
下記ね
いまの場合
・除法において割る数（除数）のこと。法
（関連して、レムニスケートなどの曲線のｎ等分）
・楕円函数の母数、率
・モジュライ空間の元
でしょう
そして、ガウスＤＡの合同 mod（含 円周等分）
↓
レムニスケートなどの曲線のｎ等分
↓
モジュラー方程式（等分 19世紀）
↓
モジュラー方程式（モジュライ空間 20世紀）
と意味が変わってきた気がする
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モジュラス（羅: modulus、複数形は moduli; モジュライ）、モジュール (仏: module) は、「測る単位」を意味する。
・絶対値の別名。モジュール、母数とも。
・除法において割る数（除数）のこと。法、法数、モジュールとも。合同式あるいは合同算術の項も参照。「n を法とする」は "モジュロ (modulo) n"
・モジュラスN（Nは数）は、合同式がNを法とすること。特に、その演算を利用したチェックディジット
・剰余演算子（C言語の%の類）
・楕円函数の母数、率
・ハール測度の母数、母数函数（モジュラー函数）、母数指標（モジュラス指標）
・モジュライ空間の元
・物理量の「～係数」、「～率」
・特に、ヤング率 (Young's modulus)
URLﾘﾝｸ(eow.alc)
147:.co.jp/search?q=%5Bmoduli%5D 英辞郎 modulus 名 《物理》係数、率 《数学》法、対数係数、絶対値◆【略】mod. 発音[US] m??d??l?s ｜ [UK] m??djul?s、カナ[US]モジュラス、[UK]モデュラス、変化《複》moduli、分節mod・u・lus
148:１３２人目の素数さん
23/02/02 13:00:28.69 QMkIXy2g.net
本日の承認欲求のお時間が参りました
149:１３２人目の素数さん
23/02/02 21:00:20.97 IR67z+yT.net
>>139
>モジュラス（modulus、複数形は moduli; モジュライ）
2023年のいま、モジュライと言えば、下記中島啓です！
ガウスやガロアのモジュラーにあらず！
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
こんにちは！ 中島啓です！
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
私が書いた記事
・下に書いてある数学セミナー１９９７年８月号の「弦双対性の示唆する22世紀の幾何学 母空間, 保型空間」の増補版です. 数学セミナーでは省略された数学の概念の説明を付け加え, より理解しやすくなりました.
・数学セミナー８月号に原稿が載ります！ タイトルは 「弦双対性の示唆する22世紀の幾何学 母空間, 保型空間」です. お楽しみに.
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
弦双対性の示唆する22世紀の幾何学: 母空間, 保型空間
(増補版: オリジナルは数学セミナー1997年8月号)
目次
1.序
2. 保型形式
3. ４次元多様体上のインスタントン
4.アファイン・リー環とその指標
5.母空間とは？
6.双対性を理解したい！
つづく
150:１３２人目の素数さん
23/02/02 21:00:46.46 IR67z+yT.net
>>141
つづき
1. 序
1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて, 頭を思いっきり殴られたような衝撃を受けたことを, つい昨日のように思い出します. そのメールの内容は次のようなものでした. ４次元多様体 X の上のインスタントン数が n のインスタントンのモジュライ空間 Mnのオイラー数をe(Mn)としたときに,
(1) Z(q) = Σn=0∞ e(Mn) qn
という関数を考えます.
ここで, q は不定元です. (収束の問題は考えず,単なる形式的べき級数と考えています.) このとき, ヴァッファとウィッテンは, 上の関数が保型性を持つという予想をしていて, ある多様体の例, 当時私が研究していたALE空間という４次元多様体の場合に成立しているかどうかを知りたい, と尋ねてきたのでした. (使っている専門用語はおいおい説明して行きます. また, 細かい技術的なことを省くために上の記述にはいろいろと嘘があります.)
このように, 数列(今の場合は e(Mn) (n=0,1,...)のこと)が与えられたときに,上と同じようにして不定元を導入して級数として定義される関数のこ とを母関数といいます. 数列を各項ごとに調べるよりも一度に扱った方が物事が見えてくることが多いので, 母関数を導入して, その性質を調べることは数学の常套手段です. その顕著な例である保型形式を次の章で説明します.
つづく
151:１３２人目の素数さん
23/02/02 21:01:06.85 IR67z+yT.net
>>142
つづき
ヴァッファの質問への答えはイエスであったのですが, 私が衝撃を受けた理由は, 次のものです.
通常は各インスタントン数 n ごとにモジュライ空間 Mn を個別に調べていた. 一つ一つのモジュライ空間 Mn のオイラー数でなく, それらを一度に取り扱った母関数を考えるという発想が新しかった.
その上, 保型性が成り立つことは, モジュライ空間のオイラー数の列を一度に取り扱うことによって初めて見える性質であり, モジュライ空間一つ一つを見ていてるだけでは出てこない性質である. だから保型性を持つというは誰も夢想だにしなかった, 突拍子もないものである.
第一の理由は衝撃的なものではありますが, 当時ドナルドソン不変量の母関数を考えるときれいな構造を持つというクロンハイマー-ムロフカの構造定理が証明されていましたので, その方面の研究者は, そのように考えるのがよいのかもしれないと``もやもや''と感じていました. その意味では, ヴァッファが母関数を考えたことは, 革新的に新しいかと問えばそうでなかったといっていいでしょう. クロンハイマー-ムロフカの構造定理(数学セミナー８月号の亀谷さんの記事に解説があリます)は, 違ったインスタントン数を持つ二つのモジュライ空間の間に関係をつけるような新しい空間(具体的には, ２次元部分多様 体に沿って特異性を持ったインスタントンのモジュライ空間)を導入することで証明されました.
一方, 第二の理由は有限個のモジュライ空間の間の関係として記述できるものではない, という意味で完全に新しいものでしたし, 保型性という数学者にとって親しみのあるものが, 今までまったく関連すると思われていなかった４次元のインスタントンの話題に現れたので驚いたのです. こちらが衝撃を受けた本当の理由です. 特に, 保型性の裏には２次元のトーラスが隠されていることが多いので, ４次元ゲージ理論の新しい広がりを感じさせました.
電子メールへの答えはイエスだったと書きましたが, その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群がアファイン・リー環の表現空間になっているという, ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
(引用終り)
以上
152:１３２人目の素数さん
23/02/02 23:16:03.44 IR67z+yT.net
>>142
> 1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて
ヴァッファさんは、下記ですね
”アンドリュー・ストロミンガーとともにブラックホールのエントロピーの表式を超弦理論におけるソリトンであるDブレーンを用いて統計力学的に導出した”
"2017年 - 基礎物理学ブレイクスルー賞"
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カムラン・ヴァッファ
カムラン・バッファ（Cumrun Vafa，1960年8月1日 - ）は、イラン出身の理論物理学者。専門は素粒子論。
マサチューセッツ工科大学（MIT）を卒業。1985年にプリンストン大学でPh.D.を取得。1990年からハーバード大学教授。
主要な業績
・アンドリュー・ストロミンガーとともにブラックホールのエントロピーの表式を超弦理論におけるソリトンであるDブレーンを用いて統計力学的に導出した。
・Gopakumarとともに3次元Calabi-Yau多様体とGromov-Witten不変量についての研究。
・Seiberg-Witten prepotentialをCalabi-Yau多様体の Gromov-Witten不変量によって定義した。これはMirror対称性予想にも貢献した。
・ロベルト・ダイクラーフとともにDijkgraaf-Vafa理論を提唱した。
受賞歴
・2008年 - ICTPのディラック賞
・2016年 - ハイネマン賞数理物理学部門
・2017年 - 基礎物理学ブレイクスルー賞
著書
「宇宙を解くパズル」大栗博司監訳、水谷淳訳、講談社ブルーバックス 2022年
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
基礎物理学ブレイクスルー賞
賞金は300万ドルと、ノーベル賞受賞者に与えられる金額の2倍以上であり[3][4]、2018年9月現在でこの賞は世界で最も収益性の高い学術賞となっている[5]。この賞を「21世紀のノーベル賞」と称するメディアも存在する[6]。
受賞者
2017年
場の量子論、ひも理論、量子重力理論の変革的進歩に対して[11]
ジョセフ・ポルチンスキー カリフォルニア大学サンタバーバラ校
アンドリュー・ストロミンジャー、カムラン・ヴァッファ ハーバード大学
153:１３２人目の素数さん
23/02/03 06:27:33.41 wWgl+Bdv.net
>>141-144
>2023年のいま、モジュライと言えば、中島啓です！
>ガウスやガロアのモジュラーにあらず！
承認欲求君はガウスもガロアも完全に諦めたらしい
数学全てを諦めるまであと一歩だね
154:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:00:35.42 wWgl+Bdv.net
>>141-144
>保型空間
>保型形式
.> ４次元多様体 X の上のインスタントン数が n のインスタントンのモジュライ空間 Mnのオイラー数をe(Mn)としたときに,
> (1) Z(q) = Σn=0∞ e(Mn) q^n
> という関数を考えます.(q は不定元です. (収束の問題は考えず,単なる形式的べき級数と考えています.) )
> このとき, ヴァッファとウィッテンは, 上の関数が保型性を持つという予想をしていて,
> ある多様体の例, 当時私が研究していたALE空間という４次元多様体の場合に成立しているかどうかを知りたい,
> と尋ねてきたのでした.
> 保型性が成り立つことは, モジュライ空間のオイラー数の列を一度に取り扱うことによって初めて見える性質であり,
> モジュライ空間一つ一つを見ていてるだけでは出てこない性質である.
> だから保型性を持つというは誰も夢想だにしなかった, 突拍子もないものである.
> (上記の)理由は有限個のモジュライ空間の間の関係として記述できるものではない,
> という意味で完全に新しいものでしたし,
> 保型性という数学者にとって親しみのあるものが,
> 今までまったく関連すると思われていなかった
> ４次元のインスタントンの話題に現れたので驚いたのです.
> こちらが衝撃を受けた本当の理由です.
> 特に, 保型性の裏には２次元のトーラスが隠されていることが多いので,
> ４次元ゲージ理論の新しい広がりを感じさせました.
> 電子メールへの答えはイエスだったと書きましたが,
> その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群が
> アファイン・リー環の表現空間になっているという,
> ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
三角関数もろくに扱えん人が、
保型形式とかいっても無駄よ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
155:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:04:02.72 wWgl+Bdv.net
>>146
モジュラ形式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アイゼンシュタイン係数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
な、全然わかわからんやろ
やめとき
156:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:09:56.31 wWgl+Bdv.net
>>147
アイゼンシュタイン級数に関連して
ベルヌーイ数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマンゼータ関数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
約数関数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テータ関数
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
E8格子
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ラマヌジャン
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
な、どれ一つ全然わからんやろ
やめとき
157:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:20:32.79 wWgl+Bdv.net
>>148
ベルヌーイ数に関連して
異種球面
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
球面のホモトピー群
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ヒルツェブルフの符号数定理とベルヌーイ数
な、何で球面の微分構造の数や安定ホモトピー群に
ベルヌーイ数が出てくるのか全然わけわからんやろ？
やめとき
158:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:24:06.84 wWgl+Bdv.net
>>149
最後に
ムーンシャイン理論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ああやばいやばいやばい
モジュラー函数も分からん素人が
月光浴びても発狂して死ぬで
やめとき
159:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:36:56.60 0QP90A6z.net
>>147-148
モジュラ形式
から
ラマヌジャン
まで
必死に検索
ごくろさんｗ
全て理解出来ないので
欲求不満？
しらんがな
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137
例えば、日本国憲法
全然わかわからんという人は少ないだろうが
憲法学者なみに分かっていて、講義できるほど理解できている人も少ない
（法律の刑法、民法も同じ。刑法、民法になると、全文読んだ人は少ないだろうが、部分的にはニュースで見たり聞たりしているだろう？ 強盗致傷とか、有罪だ無罪だとかね）
数学も同じだよ
日本国憲法や刑法、民法を、全く知らずに 日本で暮らすこともないだろう
と同様に、数学を全く知らずに 理系（物理学なども）の仕事をする人はいない
モジュラ形式
から
ラマヌジャン
まで
分かっているとは、いわないが
全然わかわからんでもない
今時の教養の一つでしょ？ｗ
全て理解出来ないので
欲求不満？
しらんがな
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137ｗｗｗ
160:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:58:12.42 0QP90A6z.net
>>141
モジュライ
向井 茂 先生の本があるね
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
モジュライ理論 I II
代数幾何学的なモジュライ概念を具体例とともに解説．幾何学的不変式論と代数関数論に焦点を絞って論じる．
著者 向井 茂 著
刊行日 2008/12/05
モジュライとは幾何学的対象をパラメータ付けている多様体であり，多様体の隠れた性質を解明する際にプリズムのような役割を果たす．代数幾何学におけるモジュライ概念を具体例とともに解説．とくに，もっとも直接的で大域的なモジュライ構成手法である幾何学的不変式論をくわしく紹介し，代数多様体のモジュライ問題を論じる．
モジュライとは幾何学的対象をパラメータ付けている多様体であり，多様体の隠れた性質を解明する際にプリズムのような役割を果たす．代数幾何学におけるモジュライ概念を具体例とともに解説．とくに，もっとも直接的で大域的なモジュライ構成手法
である幾何学的不変式論をくわしく紹介し，代数多様体のモジュライ問題を論じる．
岩波講座「現代数学の展開」からの単行本化．（全２冊）
■ モジュライ理論 I
第１章 不変式とモジュライ
第２章 環と多項式
第３章 代数多様体
第４章 代数群と不変式環
第５章 商多様体の構成
■ モジュライ理論 II
第６章 商多様体の大域的構成
第７章 Grassmann多様体とベクトル束
第８章 曲線とJacobi多様体
第９章 曲線上の安定ベクトル束
第10章 モジュライ関手
第11章 Verlinde公式と交点数公式
第12章 数値的判定法とその応用
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン オンデマンド
モジュライ理論I Paperback ? January 10, 2019
by 向井 茂
多様体の隠れた性質を解明する際に重要なモジュライ。代数幾何学におけるモジュライ概念を具体例とともに解説。特にモジュライ構成法である幾何学的不変式論とモジュライを用いた代数関数論を取り上げ詳しく論じる。(全2冊)
161:１３２人目の素数さん
23/02/03 08:50:57.05 k1w8ED4r.net
>>151
承認欲求さん
唯一の技「検索」を他人に真似されて拗ねる、と
検索なんて素人でも出来るって
それから保型形式=日本国憲法とか
保型形式なめてるね
理論物理ならともかく工学屋は
モジュラー形式とか一生縁ないよ
よかったな
162:１３２人目の素数さん
23/02/03 11:50:00.26 OOOXQ2PB.net
>>153
あたま、相当悪いなｗ
くすり付けなよ
バカにつける薬をｗ>>137
>>139に書いたけど
１）ガウスから始まり、アーベル・ヤコビ、ガロアと続いた (楕円関数) modular equation 論
(>>115 ガロア ”The last application of the theory of equations is related to the modular equation of elliptic functions.”)
２）下記 中島啓にあるように、これが 楕円曲線→複素トーラス(リーマン面)→(楕円曲線の)モジュライ空間（多様体）
という流れで
３）20世紀末 1997年頃には、モジュライ理論 向井 茂 著>>152
となってきたよってこと（この後の進展は、山下真由子に聞け(数学のみならず物理学との境界における場の理論の研究をしており) URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
４）>>93 笠原乾吉先生の
「モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている」これが、1990年
これ古いよね！！
いま、2023年で、上記１）～３）だね
類似のことが、Modular equation URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) >>117
にも書いてある
そういうことを、言っているんだよ！！ｗ
（参考） >>141 より
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
中島啓
弦双対性の示唆する22世紀の幾何学: 母空間, 保型空間
(増補版: オリジナルは数学セミナー1997年8月号)
このあと私も, 物理学者からいろいろと質問される機会もあり, また私自身も物理の論文を眺める(読む, 勉強するとは言えませんが)ことが多くなってきました. そのうちに, 双対性というものは非常に新しい発想であり, これを数学的に正当化するためにはおそらく, 現在の空間の概念を根底から覆すまったく新しい概念が導入される必要があるのではないだろうか, と強く感じるようになりました. 数学セミナー�
163:V月号の座談会の中で, 「ポスト多様体」とよばれているもののことですし, 個人的には, 「22世紀の幾何学の舞台」といっています. つづく
164:１３２人目の素数さん
23/02/03 11:50:29.71 OOOXQ2PB.net
>>154
つづき
別に, 22世紀と言う年号には意味はないのですが, 21世紀と言うとすぐ来てしまうので取り敢えずもう少し先に伸ばしておいたと言う程度の意味しかありません.
1997年の四月に日本数学会の幾何学分科会で講演をすることを依頼されました.
せっかく講演するのでしたら双対性の宣伝をしようと思いました. そして, それが数学に新しい枠組みを求めていることを伝えたいと思いました. 双対性は, 現在の数学の枠組みで捉えることのできる予想も提出しているのですが, それを話すことをやめて, 何か我々の感覚から見ると全く親しみがないものを話したい, その様に思いました. 新しいことが起こりつつあることを汲み取って欲しいと思いました. この記事の目的も同じで, 双対性が現在の我々の枠組みから出ていることを感じていただきたいと思います.
アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開もよく知られていて
Ek(z) = 2ζ(k) + 2 (-2πi)k / (k-1)! Σn=1∞ σk-1(n) qn
となります. ζ はリーマンのζ関数で, σk-1(n)は, n の約数の k-1乗の和です. σk-1(n)という初等整数論的な数をまとめると, 保型形式になるところが興味深いですね. σk-1(n)を各n ごとに見ていただけでは何も見えてきませんが, 全部まとめて母関 数を考えると, アイゼンシュタイン級数となって全く違うやり方で定義することが出来る様になる. そちらで見ると, 保型性が簡単に分かる. そういう筋道になっています. 母関数のありがたみは, そういうところにあります.
我々の４次元ゲージ理論のように他の分野と保型形式が思わずに繋がりを持つという話は, 他にもたくさんあると思いますが, 筆者に印象深いのは次の例です. モンスターとよばれる位数が最大の散発型単純群の既約表現の次元が, j 関数とよばれる保型形式(ウェイトは0 ですが)のフーリエ級数の展開の係数と関係があることをマッケイとトンプソンが観察しました.
つづく
165:１３２人目の素数さん
23/02/03 11:50:53.45 OOOXQ2PB.net
>>155
つづき
その後, 頂点代数と言う非常に大きな無限次元代数が存在して, その自己同型群がモンスターであり, 頂点代数の表現が次数を持っていて次元を並べたものが j関数になっていると言う説明がフレンケルやボーチャーズ達の仕事によって明らかにされました. モンスターと言う群は, 単純群の分類の仕事の途中で発見された群で, 複雑なものなのですが, それが一見何の繋がりもない j関数(こちらはよく知られた保型形式)と関連するところが興味深いところです. このように思わぬところに顔を出すところに, 保型形式の奥の深さを感じます.
次に, 保型形式と楕円曲線(トーラス)の関係を説明しましょう. 楕円曲線とは, 複素平面を 1と上半平面の点zで生成される格子で割ってできる1次元の複素多様体です. 実多様体としては, 2次元のトーラスです. 実は, zとz'が SL2(Z)で移りあっているときは, 対応する楕円曲線は複素多様体として同型であることが分かります. 楕円曲線の全体を考え, 同型なものを同じと見なしてできる空間を(楕円曲線の)モジュライ空間と言います. 従って, 重みが0の保型形式は, モジュライ空間上の正則関数に他なりません. 重みがkのものは, モジュライ空間上のある直線束の正則な切断です. このように見れば, 保型形式と楕円曲線が関係することは明らかです.
(引用終り)
以上
166:１３２人目の素数さん
23/02/03 12:03:39.71 mlSrcqaW.net
>>154-156
承認欲求さん、恒例のマウンティング
旧きを温ね新しきを知る
ってことなんですがね
母空間と母関数(アイゼンシュタイン級数)の比較がいい例
これで19世紀と21世紀は繋がった
167:１３２人目の素数さん
23/02/03 12:09:34.63 mlSrcqaW.net
幾何学版ムーンシャインなのよ
マッカイもビックリ
168:１３２人目の素数さん
23/02/03 15:19:47.62 vBQNBbX6.net
John K. S. McKay (18 November 1939 – 19 April 2022)[1][2] was a British-Canadian mathematician and academic who worked at Concordia University, known for his discovery of monstrous moonshine, his joint construction of some sporadic simple groups, for the McKay conjecture in representation theory, and for the McKay correspondence relating certain finite groups to Lie groups.
169:１３２人目の素数さん
23/02/03 17:12:14.46 OOOXQ2PB.net
>>159
>John K. S. McKay (18 November 1939 – 19 April 2022
ああ、McKay さん、昨年亡くなられていたのか。コロナかも、ご冥福をお祈りいたします
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematician)
John K. S. McKay (18 November 1939 ? 19 April 2022)
>>158
>幾何学版ムーンシャインなのよ
>マッカイもビックリ
それもある
それもあるけど、
IMU（国際数学連合）が、物理とか関連分野との関係を相当重視しているってことでしょ？
中島啓総裁は、その一例で、
モンストラス・ムーンシャインも弦理論や頂点作用素代数などを用いて証明された
なので、ボーチャーズ氏は、フィールズ賞
ミルザハニさん、下記エドワード・ウィッテンの推測に新たな証明を与え、「リーマン面とそのモジュライ空間の力学と幾何学に関する顕著な業績」を理由にフィールズ賞を受賞
ここらの視点は重要です
モジュライ空間：物理と隣接しているってこと
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モンストラス・ムーンシャイン
1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マリアム・ミルザハニ 1977年5月12日[1] - 2017年7月15日[8][2]
業績
ミルザハニはリーマン面のモジュライ空間の理論についていくつかの業績を上げている。
彼女は、モジュライ空間におけるトートロジー集合の交差数に関するエドワード・ウィッテンの推測に新たな証明を与え、またコンパクトな双曲面における単純な閉測地線の長さに関する漸近線の公式を導き出した。
2014年にミルザハニは「リーマン面とそのモジュライ空間の力学と幾何学に関する顕著な業績」を理由にフィールズ賞を受賞した[27]。
170:１３２人目の素数さん
23/02/03 19:36:40.51 wWgl+Bdv.net
>>160
数学だけじゃなく物理も承認欲求か
勉強大嫌いなのにね
中島啓は「微分幾何学の最先端」でも
「ディンキン図式をめぐって―数学におけるプラトン哲学」
とか書いてるくらいだから、ガチなムーンシャイナー
ていうか、ADE分類はプラトンの多面体以来だから
紀元前のギリシャ以来２０００年以上の伝統数学だよ
わかってる？
ガロアの最後の手紙もADEに関係してるし
グロタンディクの12のテーマの最後も
「正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究」
だからADEだね
171:１３２人目の素数さん
23/02/03 21:30:19.76 0QP90A6z.net
>>143
>その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群がアファイン・リー環の表現空間になっているという, ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
ALE：ALE（Asymptotically Locally Euclidean）空間
重力インスタントン
インスタントン
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
場の量子論 第25回 インスタントン
taku物理
2021/02/06
場の理論のトンネル効果に該当するインスタントンについて。
URLﾘﾝｸ(chuo-u.repo.nii.ac.jp)
中央大学
インスタントンの宇宙項への寄与 理工学研究科物理学専攻
小用晃 著 ・ 2012
インスタントン(インスタントン解) とは、有限なユークリッド作用から得られる局在解のことであり、ソリトン とは異なり、時間的にも局在している。
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
Yuji Tachikawa
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
日本語による解説記事
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
[pdf] ヤン=ミルス゛理論とインスタントン
数学セミナー増刊「ミレニアム賞問題」、2010年7月、6ページ。何かミレニアム賞問題について書けと言われたが、質量ギャップ問題は何も知らないので、自分の知っているインスタントンの話について書いた。
立川 裕二
2 インスタントンとは
式略 (6)
を解けば良い、
そのとき S[A] = 8π^2k となりま
す。k は物理ではインスタントン数、数学では第二
チャーン数と呼ばれる量です。
以上のような考察から、この方程式 (6) の解を調
べると、ヤン=ミルズ理論を理解する手がかりにな
るのではないかと考えられました。1970年代のこと
です。解のことをインスタントンと呼びます。
つづく
172:１３２人目の素数さん
23/02/03 21:30:56.98 0QP90A6z.net
>>162
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Instanton
An instanton (or pseudoparticle[1][2][3]) is a notion appearing in theoretical and mathematical physics. An instanton is a classical solution to equations of motion with a finite, non-zero action, either in quantum mechanics or in quantum field theory. More precisely, it is a solution to the equations of motion of the classical field theory on a Euclidean spacetime.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
重力インスタントン
重力インスタントン（じゅうりょく - ）とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体のことである。
1.リッチ平坦
2.自己双対（self-dual）なリーマン曲率テンソルをもつ
3.無限遠で局所的に平坦（asymptotically locally flat）である
（しかし実は、2. ならば 1. が言える。）
あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率が計量に比例している（いわゆる宇宙定数がある）ものを言う。
ヤン・ミルズ理論のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE（Asymptotically Locally Euclidean）空間とも呼ばれる。
性質
（4次元）重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。
1.リーマンの曲率テンソルが自己双対
2.リッチ平坦かつケーラー多様体（= カラビ・ヤウ多様体）
3.超ケーラー多様体
高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Gravitational instanton
Taxonomy
By specifying the 'boundary conditions', i.e. the asymptotics of the metric 'at infinity' on a noncompact Riemannian manifold, gravitational instantons are divided into a few classes, such as asymptotically locally Euclidean spaces (ALE spaces), asymptotically locally flat spaces (ALF spaces).
(引用終り)
以上
173:１３２人目の素数さん
23/02/03 22:21:29.88 0QP90A6z.net
>>162 参考
>Asymptotically
Asymptotically 漸近的
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
asymptoticallyとは
漸近線の方へ
URLﾘﾝｸ(educalingo.com)
educalingo
辞典
asymptotic
漸近線
解析幾何学において、曲線の漸近線は、曲線と線との間の距離が無限になるにつれてゼロに近づくような線である。 いくつかの情報源には、曲線が線を無限に越えないという要件が含まれていますが、これは現代の著者にとっては珍しいことです。
代数幾何学のようないくつかの状況では、漸近線は無限遠の曲線に接する線として定義される。
asymptoteという言葉は、?privから「一緒に落ちない」という意味のギリシャ語の?σ?μπτωτο?に由来します。
+σ?ν "一緒に" +πτωτ-?? "落ちる" この用語はPergaのApolloniusによって、円錐断面に関する彼の研究に導入されましたが、現代の意味とは対照的に、与えられた曲線と交差しない線を意味するために使用されました。
174:１３２人目の素数さん
23/02/03 23:38:36.13 0QP90A6z.net
>>163 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Instanton
4d supersymmetric gauge theories
For gauge theories with gauge group U(N) the Seiberg?Witten geometry has been derived from gauge theory using Nekrasov partition functions in 2003 by Nikita Nekrasov and Andrei Okounkov and independently by Hiraku Nakajima and Kota Yoshioka.
In N = 4 supersymmetric gauge theories the instantons do not lead to quantum corrections for the metric on the moduli space of vacua.
(引用終り)
１）”the moduli space of vacua”ね
２）”independently by Hiraku Nakajima and Kota Yoshioka”ね
３）”Andrei Okounkov ”は、フィールズ賞だったかな（下記）
（Gopakumar-Marino-Vafa公式のVafaは、カムラン・バッファ（Cumrun Vafa）>>144だね）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アンドレイ・オクンコフ
2006年、フィールズ賞受賞。
専門は組み合わせ論、表現論。業績としてWitten予想の別証明、Olshanski予想の解決、Baik-Deift-Johansson予想の解決、Gopakumar-Marino-Vafa公式の証明、曲線の局所Donaldson-Thomas理論、Nekrasov予想の解決。
175:１３２人目の素数さん
23/02/04 00:07:00.57 FXdrMrMW.net
>>165 関連
>Instanton
> 4d supersymmetric gauge theories
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
サイモン・ドナルドソン
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドナルドソン不変量
ドナルドソン理論 (Donaldson theory) は、インスタントン（英語版）を用いた滑らかな4次元多様体の研究である。この理論は、コンパクト単連結4次元多様体の2次コホモロジー群上の可能な二次形式を制限してドナルドソンの定理を証明したサイモン・ドナルドソン (1983) により始められた。
ドナルドソン理論の結果の多くは微分構造を持つ多様体に依存し、4次元位相多様体に対しては正しくない。
ドナルドソン理論の定理の多くは今ではサイバーグ・ウィッテン理論（英語版）を用いると容易に証明できる。
関連項目
クロンハイマー・ムロフカ基本類（英語版）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エキゾチ
176:ック R^4 エキゾチック R^4 とは、4次元ユークリッド空間 R^4 に同相であるが、微分同相ではない4次元可微分多様体のこと。 エキゾチック R^4 である最初の例は、1982 年にマイケル・フリードマン等により、位相的な4次元多様体に関するフリードマンの定理と、微分可能な4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンとの対比を使用して発見された。[1][2]クリフォード・タウベスにより、R^4の非微分同相な微分可能構造の連続体が存在することが示されている。[3] つづく
177:１３２人目の素数さん
23/02/04 00:07:19.69 FXdrMrMW.net
>>166
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドナルドソン・トーマス不変量
3-次元カラビ・ヤウ多様体上の層のコンパクトなモジュライ空間が与えられると、そのドナルドソン・トーマス不変量は、点の仮想数である。
モーリク(Maulik)、アンドレイ・オクンコフ(Andrei Okounkov)、ニキータ・ネクラソフ(Nikita Nekrasov)、ラフル・パンダハリパンデ（英語版）(Rahul Pandharipande)による深い予想があり、より一般性を持って代数的 3-多様体のグロモフ・ウィッテン不変量とドナルドソン・トーマス理論が実際、同値であることを証明した。より具体的には、それらの母函数はある適当な変数変換で等しくなる。3-次元カラビ・ヤウ多様体に対するドナルドソン・トーマス不変量は、モジュライ空間上のウェイト付きオイラー特性類として定式化することができる
(引用終り)
以上
178:１３２人目の素数さん
23/02/04 05:24:02.30 pd0mp3jW.net
承認欲求君 今日も検索で踊り狂う
ついた綽名が「森田検索」
179:１３２人目の素数さん
23/02/04 05:26:54.19 pd0mp3jW.net
>>168
と、いうことで
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
180:１３２人目の素数さん
23/02/04 07:22:56.42 pd0mp3jW.net
承認欲求君は、自分が検索してやったことで
みんなが知識を得たんだから感謝するのが当然
とか心の底から本気で思ってるみたいだけど
検索なんて自分で勝手にやるんだから要らないだろ
181:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:13:54.22 FXdrMrMW.net
>>167 関連
これいいね
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
中村 郁 北大
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
モジュライ空間, 数学セミナー, ''つぎの10年を占うキーワード", 2002年5月 (PDF FILE)
モジュライ空間 北海道大学 中村 郁
Fd に対する解(f1, ・・・ , fN ) 全体のなす空間を M(Fd, N) と表すこ
とにします. d = 2, n = N = 3, Fd = x2 + y2 + z2
の場合に「モジュライ空間」M(x2 + y2 + z2, 3) は
完全に分かります ([Mukai92]). これが典型的な「モジュライ空間」の例です.
平たく言えば, なにか面白そうなものをひとつ見
つけたとしましょう. そのとき似たものを残らず全
部探すというのが「モジュライの問題」です. 「似
たもの」を全部集めた集合 (空間) が「モジュライ空間」で,
「似たもの」ひとつ一つが「モジュライ空間」の一つの点になります.
話をもとに戻して問題を整理しておきます.
問題 1.3
(1) ひとつ面白そうなもの (数学的対象)
を見つけよ.
(2) それによく似たものはどれくらいあるか, その
全体のなす空間 (モジュライ空間) はどんな様子
をしているか.
つづく
182:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:14:32.79 FXdrMrMW.net
>>171
つづき
ここでモジュライ (moduli) という言葉の語源につ
いてすこし触れておきます. moduli はラテン語の
modulus の複数形で測定の標準単位を意味します.
ラテン語の modulus はギリシャ建築の柱の基底部の
半径を基準とした尺度であった, という説もありま
す. この語感にふさわしい「モジュライ理論」の代
表格は楕円曲線の理論です. その場合には, 基準の尺
度とも言うべきモジュライ不変量 j があります. 現
代的な理論にはそのような不変量を見つけるのが難
しくなりました.
モジュライ空間の別の例をあげます. V を長さ 5 の
横ベクトルのなす 5 次元複素ベクトル空間とします:
V = {(x1, x2, x3, x4, x5); xi ∈ C}.
この V の中の 2 次元複素部分ベクトル空間 (以後
2 次元部分空間と言う) をすべて集めて
Gr(5, 2) = {W ⊂ V ; W は 2 次元部分空間 }
と定義します. この空間をグラスマン多様体と呼び
ます. これは「モジュライ空間」のひとつの例を与
えます. つまり Gr(5, 2) は V の中の 2 次元部分空間
のなす「モジュライ空間」です.
4 安定性とモジュライ空間
定理 4.4 (Donaldson) コンパクトな複素 2 次元多様
体 X の (下部構造としての可微分実 4 次元多様体)
上の自己双対ヤン ・ ミルズ接続 (で表されるインスタ
ントンと呼ばれる場) のモジュライ空間は, X 上の階
数 2 の「GIT-安定な」ベクトル束のモジュライ空間
と一致する.
ソリトンが空間方向に粒子性を持った波を表すよ
うに、インスタントンとは時間方向に粒子性を持っ
た (2,2) 行列で表示された電磁場のようなものです。
Donaldson はさらに強く, X の単なるホモトピー不
変量ではない, 可微分多様体としての不変量 (Donaldson 多項式) を与えています.
この Donaldson 理論は, その後 Seiberg-Witten 理論によってさらに深
められ, 可微分実 4 次元多様体について大変深い研究が現在も進んでいます.
(引用終り)
以上
183:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:18:06.69 FXdrMrMW.net
>>160 関連
これいいね
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
論説箙多様体と量子アファイン環 中島啓 数学/52巻(2000)4号
1989年にKronheimerと筆者は,ALE空間と呼ばれる実4次元のhyper-Kahler多様体上の反
自己双対接続のモジュライ空間を,箙(quiver)1の表現を使つて記述した[29].もともと反自己双
対接続はある非線型偏微分方程式の解として定義されるが,quiverの記述では行列に関するある
代数方程式の解となる(図1)。したがつて,モジュライ空間を調べることはやさしくなるのではと
期待していた.しかし実際には,モジュライ牢間が空か否かを判定することさえも難しく,何か根
本的なアイデアが欠けていた。
そんな折り,1990年の京都のICMのLusztigの講演[32]で,彼のquiverを使つた量子展開環
の下三角部分環砺(9)の標準基底(canonicalbasis)の構成を聞く機会があつた.quiverが出てき
ているということ以外に,彼の講演で理解できたことはほとんど無かつたが,勉強しなくてはいけ
ない,と確信した。
量子展開環は,もともとは可解格子模型の研究からDrinfeld-神保によつて導入された非可換環
である.また,共形場理論のWess-Zumino-Witten模型と呼ばれるものとも深い関係がある.こ
れはRiemann面上のゲージ理論(接続を取り扱う理論)である.一方,ALE空間は4次元の多様
体であり,同じゲージ理論ではあるものの両者の間には何の関係もないように,当初は思われた.
そして暗中模索の日々,紆余曲折の道程を経て,1992年ごろからだんだんとLusztigの仕事と
ALE空間上の反自己双対接続のモジュライ空間の間の関係が見えてきた。
つづく
184:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:18:38.03 FXdrMrMW.net
>>173
つづき
もともとの[29]では,アファインADE型のquiverしか現れなかったが,行列に関する代数方程式自身は
より一般のqUiVerでも意味を持つ.そこで,一般のqUiVerに関する解の空間を簾多様体と名づけ
た。上のLusztigの仕事との関係は,一般のquiverに対して成立する.さらに1994年には,理論
物理におけるS一双対性との関連から私の研究が着目された.この関連に触発されて,一般の代数
曲面上の点のHilbert概型のコホモロジー群にHeisenbergLie環の表現が実現されることを示し
た([37,40]参照).現在では,ALE空間という特殊な4次元多様体だけでなく,より一般的な4次
元多様体のゲージ理論,あるいは,Calabi-Yau多様体のGromov-Witten理論においても同じよ
うに表現論との関係があるのではないか,と期待が見えてきている.
7.最高ウェイト加群と安定性
この節では,グラフはDynkinADE型であると仮定する.
Ringe1-Lusztigの構成を見ると,Vをいろいろと取り替えて初めて量子展開環が見えてくるは
ずである.一方,Wの方は固定しておく.
8.結晶基底(crystalbase)の幾何学的な実現
この節では,グラフは始点と終点が一致する辺がないものと仮定し,ADE型とは限らない.結
晶基底については,[20]を参照のこと.
10.箙多様体と量子アファイン環
以上の準備のもとに,いよいよ箙多様体を用いた量子アファイン環の幾何学的な構成を述べる.
グラフはDynkinADE型であると仮定する.
(引用終り)
以上
185:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:19:11.44 FXdrMrMW.net
>>174 追加
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
中島 啓
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
昔の記録
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
2000 10月24日～27日, 城崎代数幾何シンポジウム
報告集原稿, Introduction to Quiver varieties--箙多様体入門
中島 啓 (HIRAKU NAKAJIMA)
京都大学・大学院理学研究科
箙多様体は, 筆者が導入した hyper-K¨ahler 多様体である. そのホモロジー群や K 群に合成
積を用いて, 複素単純 Lie 環やそのループ Lie 環の量子展開環の表現を構成できることが分っ
ている. しかし表現論的な側面についてはすでに [7] に解説があるので, ここでは幾何学的な側
面, 箙多様体が持つさまざまな構造について解説したい. 原論文は, [8] である.
1. hyper-Kahler ¨ 商
まず, hyper-K¨ahler 多様体と, その代数幾何での対応概念である (正則) シンプレクテッィク多
様体について述べる.
186:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:19:44.41 FXdrMrMW.net
>>175 追加
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
2007年-2010年
箙多様体の幾何学と表現論
日本学術振興会科学研究費助成事業基盤研究(B) 中島啓
代数曲面を一点でブローアップした曲面を考える。このとき、その連接層の導来圏の中のアーベル圏として、偏屈連接層の圏と呼ぶものを、連携研究者の吉岡とともに定義し、そのモジュライ空間の研究を行った。応用として、ドナルドソン不変量とサイバーグ・ウィッテン不変量が等価である、というウィッテンの予想を、さらにGottscheを加えた共同研究で代数曲面の場合に肯定的に解決した。
URLﾘﾝｸ(kaken.nii.ac.jp)
科学研究費補助金研究成果報告書平成23年6月2日現在
１．研究開始当初の背景
(1)上で述べたウィッテン予想へのアプロ
ーチとして、望月によりヒルベルト概型上の
交叉形式を用いた公式が示されており、うま
くいくのではないかという期待があった。
２．研究の目的
(1)ウィッテン予想を、望月の研究と私が吉
岡と共同研究していたインスタントンの数
え上げと組み合わせることで解決する。
187:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:35:19.92 pd0mp3jW.net
>>171-176
承認欲求の塊、森田検索君
今日もムキになって検索結果の大量コピペ
そして「いいね！」と言ってもらえると勝手に夢想
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
188:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:39:36.36 FXdrMrMW.net
>>176
> (1)上で述べたウィッテン予想へのアプロ
>ーチとして、望月によりヒルベルト概型上の
>交叉形式を用いた公式が示されており、
>(1)ウィッテン予想を、望月の研究と私が吉
>岡と共同研究していたインスタントンの数
>え上げと組み合わせることで解決する。
この望月は、拓郎さんですね、たぶん
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
望月拓郎
（学位論文 『Gromov-Witten class and a perturbation theory in algebraic geometry』）
189:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:42:33.67 FXdrMrMW.net
>>177
>そして「いいね！」と言ってもらえると勝手に夢想
勝手に夢想は、あなただよ
このスレには、二人しかないよｗｗｗ
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137ｗｗｗ
190:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:47:43.73 FXdrMrMW.net
>>161
>中島啓は「微分幾何学の最先端」でも
>「ディンキン図式をめぐって―数学におけるプラトン哲学」
>とか書いてるくらいだから、ガチなムーンシャイナー
>ていうか、ADE分類はプラトンの多面体以来だから
>>174より引用
”もともとの[29]では,アファインADE型のquiverしか現れなかったが,行列に関する代数方程式自身は
より一般のqUiVerでも意味を持つ.そこで,一般のqUiVerに関する解の空間を簾多様体と名づけ
た。”
”現在では,ALE空間という特殊な4次元多様体だけでなく,より一般的な4次
元多様体のゲージ理論,あるいは,Calabi-Yau多様体のGromov-Witten理論においても同じよ
うに表現論との関係があるのではないか,と期待が見えてきている.”
”8.結晶基底(crystalbase)の幾何学的な実現
この節では,グラフは始点と終点が一致する辺がないものと仮定し,ADE型とは限らない.結
晶基底については,[20]を参照のこと.”
中島先生は
ADE型に限らないって
書いてあるよｗｗｗ
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137ｗｗｗ
191:１３２人目の素数さん
23/02/04 09:51:44.35 pd0mp3jW.net
森田検索君へ
>>180 その薬 自分につけたら
192:１３２人目の素数さん
23/02/04 10:44:57.72 FXdrMrMW.net
>>139 補正
モジュラス（modulus、複数形は moduli; モジュライ）
下記ね
・除法において割る数（除数）のこと。法
（関連して、レムニスケートなどの曲線のｎ等分）
・楕円函数の母数、率
・モジュライ空間の元
でしょう
そして、ガウスＤＡの合同 mod（含 円周等分）
↓
レムニスケートなどの曲線のｎ等分
↓
モジュラー方程式（等分 19世紀）
↓
モジュラー方程式（モジュライ空間 20世紀）
↓
モジュライ空間が主（21世紀 物理と数学の両方で 箙多様体など ）
と意味が変わってきた気がする
（ >>176 などご参照）
193:１３２人目の素数さん
23/02/04 11:03:00.71 pd0mp3jW.net
>>182
承認欲求君 数学と全く関係のない思索の結果を披露
194:１３２人目の素数さん
23/02/04 11:17:04.97 pd0mp3jW.net
承認欲求君
ついでに保形関数の「保形」の意味も
数学と無関係の思索で説明してくれたまえ
195:１３２人目の素数さん
23/02/04 13:54:35.27 FXdrMrMW.net
>>182 追加
弦理論は、ノーベル賞はまだだが
基礎物理学ブレークスルー賞は、多数ある
数学への影響も多大なものがあるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
基礎物理学ブレークスルー賞は、優れた基礎研究の業績を上げた物理学者に授与される学術賞であり、ブレイクスルー賞の一部門である。2012年7月にロシアの物理学者でありインターネット起業家であるユーリ・ミルナーが設立した非営利団体「基礎物理学賞財団 により毎年授与されている
賞金は300万ドルと ノーベル賞受賞者に与えられる金額の2倍以上
受賞者
2012年
マキシム・コンツェビッチ：ホモロジカルミラー対称性の開発、 壁越え現象の研究などの多くの貢献
アンドレイ・リンデ[8]：インフレーション宇宙論の発展、および弦理論における真空安定化メカニズムの発展への貢献
フアン・マルダセナ：時空の重力物理学と時空の境界での場の量子論に関連するゲージ/重力双対性への貢献
ネーサン・サイバーグ：場の量子論と弦理論の理解への貢献
アショク・セン：全ての弦理論が同じ基礎理論の異なる限界であるという認識への道を開いたこと
エドワード・ウィッテン：トポロジーの物理学への応用、非摂動的双対対称性、弦理論から導出された素粒子物理学のモデル、暗黒物質の検出、粒子散乱振幅へのツイスター弦アプローチ、および量子場理論の数学への多数の応用
196:2013年 アレクサンドル・ポリャコフ：共形ブートストラップ、磁気単極子、インスタントン、閉じ込め/非閉じ込め、非臨界次元での弦の量子化、ゲージ/弦の双対性など、場理論と弦理論での多くの発見。彼のアイデアは、過去数十年にわたってこれらの分野のシーンを支配してきた 2014年 マイケル・グリーン、ジョン・シュワルツ：量子重力と力の統一に関する新しい視点を開いたこと 2017年 ジョセフ・ポルチンスキー、アンドリュー・ストロミンジャー、カムラン・ヴァッファ：場の量子論、ひも理論、量子重力理論の変革的進歩に対して 2019年特別賞 セルヒオ・フェラーラ、ダニエル・Z・フリードマン、ピーター・ヴァン・ニーウェンホイゼン：量子変数が時空の幾何学の記述の一部である超重力の発明に対して
197:１３２人目の素数さん
23/02/04 14:16:10.00 FXdrMrMW.net
>>185 補足
アンチ 超弦理論 のwoit氏 （下記）
en.wikipediaでは [4][self-published source?]＝自費（あるいは勝手）出版？とされている
たぶん
完全に外れと思います
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超弦理論
超弦理論は、物質の基本的な構成要素を理解するためのモデルであり、物理学の理論、仮説の1つ。物質の基本的単位を、大きさが無限に小さな0次元の点粒子ではなく、1次元の拡がりをもつ弦であると考える弦理論に、超対称性という考えを加え、拡張したもの。超ひも理論、スーパーストリング理論とも呼ばれる。
第2次ストリング革命
ブラックホールのエントロピーの表式を統計力学的に導出する際にも用いられ、超弦理論が重力の量子論であることの傍証となった。また、マルダセナによるAdS/CFT対応は、まったく別の理論である超対称ゲージ理論と超重力理論が、ある極限のもとで等価となることを予想し、超弦理論や重力理論、ゲージ理論に対して新しい知見を与えることとなった。
『ストリング理論は科学か』[5]を執筆したピーター・ウォイト（英語版）、『迷走する物理学』[6]を執筆した物理学者リー・スモーリンのような反対派・懐疑派も存在している。スモーリンは、実験的確証がないにも関わらず超弦理論に予算や人的資源が集中することで、他の研究の可能性が狭められてしまうことを問題視している。
脚注
5.^ ピーター・ウォイト 著、松浦俊輔 訳 『ストリング理論は科学か』青土社、2007年。ISBN 978-4-7917-6369-6。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Superstring theory
Lack of experimental evidence
Superstring theory is based on supersymmetry. No supersymmetric particles have been discovered and recent research at the Large Hadron Collider (LHC) and Tevatron has excluded some of the ranges.[4][self-published source?][5][6][7]
References
[4]
Woit, Peter (February 22, 2011). "Implications of Initial LHC Searches for Supersymmetry".
URLﾘﾝｸ(www.math.columbia.edu)
Not Even Wrong
Implications of Initial LHC Searches for Supersymmetry
Posted on February 22, 2011 by woit
198:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:19:35.67 FXdrMrMW.net
>>173
> 1989年にKronheimerと筆者は,ALE空間と呼ばれる実4次元のhyper-Kahler多様体上の反
>自己双対接続のモジュライ空間を,箙(quiver)1の表現を使つて記述した[29].
Kronheimer下記
"He and Hiraku Nakajima gave a construction of instantons on ALE spaces generalizing the Atiyah?Hitchin?Drinfeld?Manin construction. This constructions identified thes
199:e moduli spaces as moduli spaces for certain quivers (see "Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons.")" Hiraku Nakajima氏は、私が思っていた以上に大物ですねｗ https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_B._Kronheimer Peter B. Kronheimer Peter Benedict Kronheimer (born 1963) is a British mathematician, known for his work on gauge theory and its applications to 3- and 4-dimensional topology. He is William Caspar Graustein Professor of Mathematics at Harvard University and former chair of the mathematics department.[1][2] Kronheimer's early work was on gravitational instantons, in particular the classification of hyperkahler 4-manifolds with asymptotical locally Euclidean geometry (ALE spaces), leading to the papers "The construction of ALE spaces as hyper-Kahler quotients" and "A Torelli-type theorem for gravitational instantons." He and Hiraku Nakajima gave a construction of instantons on ALE spaces generalizing the Atiyah?Hitchin?Drinfeld?Manin construction. This constructions identified these moduli spaces as moduli spaces for certain quivers (see "Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons.") He was the initial recipient of the Oberwolfach prize in 1998 on the basis of some of this work. つづく
200:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:20:11.86 FXdrMrMW.net
>>187
つづき
Kronheimer has frequently collaborated with Tomasz Mrowka from the Massachusetts Institute of Technology. Their collaboration began at the Mathematical Research Institute of Oberwolfach, and their first work developed analogues of Simon Donaldson's invariants for 4-manifolds with a distinguished surface. They used the tools developed to prove a conjecture of John Milnor, that the four-ball genus of a (p,q)-torus knot is (p-1)(q-1)/2. They then went on to develop these tools further and established a structure theorem for Donaldson's polynomial invariants using Kronheimer?Mrowka basic classes. After the arrival of Seiberg?Witten theory their work on embedded surfaces culminated in a proof of the Thom conjecture?which had been outstanding for several decades. Another of Kronheimer and Mrowka's results was a proof of the Property P conjecture for knots. They developed an instanton Floer invariant for knots which was used in their proof that Khovanov homology detects the unknot.
(引用終り)
以上
201:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:28:45.84 pd0mp3jW.net
承認欲求の検索コピペはやまず
もはや完全な病気
202:１３２人目の素数さん
23/02/04 15:31:42.04 FXdrMrMW.net
>>173 追加
文献
[29]P.B. Kronheimer and H. Nakajima, Yang Mills instantons on ALE gravitational instantons, Math. Ann.288(1990),263-307.
文献は、下記だね
URLﾘﾝｸ(eudml.org)
HomeAdvanced SearchBrowse by SubjectBrowse by JournalsRefs Lookup
Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons.
Peter B. Kronheimer; Hiraku Nakajima
Mathematische Annalen (1990)
Volume: 288, Issue: 2, page 263-308
ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e
Access Full Article
URLﾘﾝｸ(gdz.sub.uni-goettingen.de)
URLﾘﾝｸ(gdz.sub.uni-goettingen.de)
203:１３２人目の素数さん
23/02/04 16:38:34.62 pd0mp3jW.net
検索コピペで承認欲求満たそうとする○違い司書様に贈る曲
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
204:１３２人目の素数さん
23/02/04 17:54:29.17 FXdrMrMW.net
>>189
>承認欲求の検索コピペはやまず
>もはや完全な病気
いやねモジュライというキーワードで
ガウスからKronheimer～中島啓まで
円周等分から楕円曲線・楕円関数～超弦理論まで
繋がっているんだと
いまさら気付いたよ
へー
面白いな
205:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:31:51.24 pd0mp3jW.net
>>192
本当のキーワードは
保形形式 automorphic form
PSL(2､Z)
だけど
三角関数と巡回群が分かんない人には
まったく見えなかったか
206:１３２人目の素数さん
23/02/04 20:37:33.61 FXdrMrMW.net
>>192 補足
昔、ウィッテンの弦理論の記事で、「空間をツイストする」みたいな記述があったのを見て、ハテナ？と思った記憶があるけど
それ、下記の位相的場の理論/位相的弦理論だったんだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相的場の理論
位相的場の理論（いそうてきばのりろん）もしくは位相場理論（いそうばりろん）あるいはTQFTは、位相不変量を計算する場の量子論である。[1]
TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの 4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している
サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相的弦理論
理論物理学では、位相的弦理論（いそうてきげんりろん、英: topological string theory）は弦理論の単純化されたバージョンである。位相的弦理論の作用素は、ある個数の超対称性を保存する（物理的に）完全な弦理論の作用素の代数を表わす。位相的弦理論は通常の弦理論の世界面（英語版）を位相的にツイストすることで得られる。ツイストされると、作用素は異なるスピンを与えられる
この操作は関連する概念である位相場理論の構成の類似物である
結局、位相的弦理論は局所的な自由度を持たない
位相的弦理論には2つの主要なバージョンがあり、ひとつは位相的A-モデルであり、もうひとつは位相的B-モデルである。一般的に位相的弦理論の計算の結果は、完全な弦理論の時空の量の中の超対称性により保存される値、正則な量をエンコードしている．位相弦の様々な計算はチャーン・サイモンズ理論、グロモフ・ウィッテン不変量、ミラー対称性、ラングランズプログラムやその他、多くのトピックに密接に関連している
位相的弦理論は、エドワード・ウィッテンやカムラン・ヴァッファなどの物理学者により確立され研究されている
つづく
207:１３２人目の素数さん
23/02/04 20:38:33.88 FXdrMrMW.net
>>194
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Twistor theory
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ツイスター理論（ツイスターりろん、twistor theory）は、ロジャー・ペンローズによって1960年代後半に提唱された数学の理論の一つである。
概要
理論物理学および数理物理学において、ツイスター理論は、従来の3+1次元時空（ミンコフスキー時空）の幾何的対象を計量符号 (2,2) を持つ4 次元空間の幾何的対象へ写像する。この空間はツイスター空間であり、その複素数の値を持つ座標は"ツイスター"と呼ばれる。
ツイスター理論は、量子重力理論に至る可能な道としてロジャー・ペンローズによって1967年に提唱された[1]。ツイスターは特に、任意のスピンの質量を持たない場の運動方程式を解く自然な方法である。ヤン＝ミルズ理論やアインシュタイン方程式の解の構成などに用いられる他、量子重力理論との関係で研究されている。
2003年、エドワード・ウィッテンは弦理論の位相的Bモデルをツイスター空間に組み込むことによってツイスターと弦理論を統合することを提唱した[2]。彼の目的は、ある特定のヤン＝ミルズ振幅をモデル化することであった。結果として得られたモデルはツイスター弦理論として知られる（en:Twistor theory#Twistor string theoryを参照）。en:Simone Spezialeと共同研究者は、ツイスターをループ量子重力理論へ応用した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Twistor string theory
つづく
208:１３２人目の素数さん
23/02/04 20:39:00.04 FXdrMrMW.net
>>195
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ADHM construction
In mathematical physics and gauge theory, the ADHM construction or monad construction is the construction of all instantons using methods of linear algebra by Michael Atiyah, Vladimir Drinfeld, Nigel Hitchin, Yuri I. Manin in their paper "Construction of Instantons."
Generalizations
Noncommutative instantons
The noncommutative instantons were discovered by Nikita Nekrasov and Albert Schwarz in 1998.
Vortices
Setting B2 and J to zero, one obtains the classical moduli space of nonabelian vortices in a supersymmetric gauge theory with an equal number of colors and flavors, as was demonstrated in Vortices, instantons and branes. The generalization to greater numbers of flavors appeared in Solitons in the Higgs phase: The Moduli matrix approach. In both cases the Fayet?Iliopoulos term, which determines a squark condensate, plays the role of the noncommutativity parameter in the real moment map.
(引用終り)
以上
209:１３２人目の素数さん
23/02/04 21:31:10.72 FXdrMrMW.net
>>193
アホか？ｗ
１）下記 保型形式 歴史と
雪江明彦氏”用語は難しい”を読め！！ｗ
２）シッタカするならば、問う
a)環(ring)について、説明せよ！
b)層(sheaf)について、説明せよ！
c)圏(category)について、説明せよ！
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
保型形式
歴史
（1960年ごろに）この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群（英語版）である場合は、1900年よりも前に既に知られていた（後述）。 ヒルベルト・モジュラー形式（英語版）（あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある）がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式（英語版） は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー＝シャピロによって成された。 セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を（特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に）示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは（この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する）アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている
つづく
210:１３２人目の素数さん
23/02/04 21:32:30.35 FXdrMrMW.net
>>197
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦
代数の教科書について
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
教科書の 用語について (2012/7/7更新)
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで
書いておく.
1. 「単元群」
211:か「単数群」か「乗法群」か A が環のとき，乗法に関して逆元をもつ元の集合を A× と書くが，これを何と呼 ぼう? 論理的な結論はもちろん「単元群」である. しかしこれは都合が悪いことがあ る. それは整数論でいずれ「ディリクレの単数定理」が出てくるから. これを「ディ リクレの単元定理」と呼ぶ選択肢はない. これがあるので，A が代数体の整数環のと きには A× のことを「単数群」と呼びたくなる. ではなぜ「単数群」で統一しないの か? それは A が多項式環のとき A× の元を「単数」と呼ぶのに抵抗があるからであ る. 森田の代数概論では「単数群」で統一しているが，やはり多項式のことを考える と「単数群」と呼ぶ気にはなれなかった. そこで「乗法群」とした. 2. 「可除環」か「斜体」か 最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の 2 巻が出た後，3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて「ヴェーダーバーン の定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼 ぶことにしたが，3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1， 2 巻を増刷したときにここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第 1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが用語を変えることにした. つづく
212:１３２人目の素数さん
23/02/04 21:32:58.48 FXdrMrMW.net
>>198
つづき
さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが，この用語を
使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った. 永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした.
3. 「商体」か「分数体」か?
Q は Z の「商体」だろうか「分数体」だろうか? 論理的には「分数体」にすべき
ということは理解できる. しかし現時点では日本では「商体」と呼ぶ人が圧倒的に多
いのではないだろうか? さて，なぜ「分数体」と呼ぶのが論理的なのか? それはこ
れを商体といったら A/I (I はイデアル) は剰余環と呼ぶことになる. それなら G/N
(N は正規部分群) は剰余群ということになる. それでは集合 X を同値関係で割った
X/～ は? これは「商空間」. だから「剰余群，剰余環，商体」とすると，本当はこ
こで破綻する. だから論理的には「商空間，商群，商環，分数体」と呼ぶのが正解で
「松阪代数系入門」でもそう呼んでいる. でもあえて「商体」を使うことにした. それ
は逆写像と逆像におなじ f^-1 という記号を使って論理的にはおかしいけれど習慣と
なってしまってどうしようもないというように，論理的に正しくなくてもそれが定着
しているならそれにしたがったほうがよいと判断したから.
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
(引用終り)
以上
213:１３２人目の素数さん
23/02/05 00:17:40.68 XfMj3WNk.net
>>166 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エキゾチック R^4
球面上の非微分同形の滑らかな構造(エキゾチックな球体) が存在することが既に知られていたが、 4-球体 の特定のケースに対するそのような構造の存在の問題は未解決のままであった (2022 年現在も未解決のままである)。
関連するエキゾチックな構造
Casson ハンドルはフリードマンの定理により
D^2 Ｘ R^2と同相であるが、ドナルドソンの定理から、それらはすべて
D^2 Ｘ R^2と微分同相ではない。言い換えれば、一部の Casson ハンドルはエキゾチック
D^2 Ｘ R^2である。
en.wikipediaより
It is not known (as of 2022) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincare conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Exotic sphere
4-dimensional exotic spheres and Gluck twists
In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere. The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.
Some candidates proposed for exotic 4-spheres are the Cappell?Shaneson spheres (Sylvain Cappell and Julius Shaneson (1976)) and those derived by Gluck twists (Gluck 1962). Gluck twist spheres are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1. The result is always homeomorphic to S4. Many cases over the years were ruled out as possible counterexamples to the smooth 4 dimensional Poincare conjecture. For example, Cameron Gordon (1976), Jose Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017).
214:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:00:07.93 wVajbkib.net
>>197
>○○か？
いつも他人の罵倒からはじまる承認欲求君
>シッタカするならば
自分が他人にしていることを他人がしかえすと発○する承認欲求君
>問う
どうぞ御随意に 要するに分かってないんでしょ？
215:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:08:08.58 wVajbkib.net
>>201
>a)環(ring)について、説明せよ！
定義は以下の通り
環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、
加法 +: R × R → R および
乗法 ?: R × R → R
の組 (R,+,?) で、
「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う
（環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。
加法群
(R, +) はアーベル群である
1. 加法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ[注 2]。
2. 加法の結合性： 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。
3. 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。
4. 加法逆元（反元、マイナス元）の存在： 各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。
5. 加法の可換性： 任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。
乗法半群
(R,?) はモノイド（あるいは半群）である
1. 乗法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a ? b ∈ R が成り立つ[注 2]。
2. 乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a ? b)? c = a ?(b ? c) が成立する。
3. 乗法に関する単位元を持つ[注 1]。
分配律
乗法は加法の上に分配的である
1. 左分配律:
216: 任意の a, b, c ∈ R に対して a ?(b + c) = (a ? b) + (a ? c) が成り立つ。 2. 右分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b)? c = (a ? c) + (b ? c) が成り立つ。 が成り立つものをいう。 乗法演算の記号 ? は普通省略されて、a ? b は、ab と書かれる。
217:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:24:03.54 wVajbkib.net
>>202
>b)層(sheaf)について、説明せよ！
定義は以下の通り
前層の定義
組 (X,T)を X が集合、T が X の開集合系である位相空間とする。
X 上の（集合の）前層 F とは、次の条件を満たす
X の開集合から集合への対応規則である。
・X の開集合 U∈T に対して集合 F(U) が定まる。
開集合の包含関係 U⊂V に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像
ρUV： F(V)→F(U)
が定まり、さらに次の条件を満たす。
1. ρUU=id U（ここで、id U:F(U)→F(U)は恒等写像である）。
2. U⊂V⊂W⇒ρUW=ρUV・ρVW(・は写像の結合)。
各開集合 U に対して F(U) の元を前層 F の U 上の切断（せつだん、section）あるいは断面（だんめん）と呼ぶ。
層の定義
位相空間 X 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき層と呼ばれる。
218:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:31:04.37 wVajbkib.net
>>203
正確には X 上の層とは、前層 F = {F(U), ρUV} であって、
X の各開集合 U に対して開被覆
U = ∪{λ∈Λ} U_λ
が任意に与えられたとき、
F(U) の元 s, t が任意の λ に対して
s|U_λ = t|U_λ
を満たすならば常に s = t が成立（既約性条件）し、
さらに切断の族 (sλ ∈ Uλ)λ∈Λ が常に
s_λ|U_λ∪U_μ =s_μ|U_λ∪U_μ
を満たすものであるならば
常に、F(U) の元 s で
s|_U_λ = s_λ
をすべての λ に対して満たすものが存在する（閉条件）
ようなもののことをいう。
219:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:35:30.13 wVajbkib.net
>>204
>c)圏(category)について、説明せよ！
圏の定義は以下の通り
圏 C は以下のものからなる:
・対象の類 ob(C)
・対象の間の射の類 hom(C)
・各射 f ∈ hom(C) には
始域と呼ばれる対象 a ∈ ob(C) および
終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、
"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
・a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は
a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、
射の合成と呼ばれる二項演算
hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ? g ? f
が存在して以下の公理を満足する:
結合律:
f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ? (g ? f) = (h ? g) ? f が成り立つ。
単位律:
各対象 x ∈ ob(C) に対して
x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、
任意の射 f: a → x および g: x → b に対して
1x ? f = f and g ? 1x = g を満たす。
これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。
220:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:38:50.76 wVajbkib.net
>>205
圏論の言葉で言えば、
X の開集合系（これは包含関係に関する順序集合となる）T を圏と見なすとき、
X 上の前層とは
T から集合の圏への反変関手のこと
であるということができる。
また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は
T から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、
同様にして
T から適当な圏 C への反変関手として
C に値を持つ前層が定義される。
二つの前層を関手と見なして、
その間の自然変換となるものを
前層の射または前層の準同型とよぶ。
221:１３２人目の素数さん
23/02/05 06:43:29.85 wVajbkib.net
極論を云えば、
群論・環論・位相空間論・層理論・圏論
というのは数学における一種の修辞学である
修辞技法
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
222:１３２人目の素数さん
23/02/05 07:21:42.58 wVajbkib.net
さて、承認欲求君に問う
Q1. 群SL(2､Z)の定義は？
Q2. SL(2､Z)は実は有限表示可能だが
1)生成元は？
2)生成元が満たす関係式は？
以下三問にきっちり正確に答えてくれたまえ
(Q2の答えは一意でないが、題意を満たしていれば正解とする いわずもがなだが）
こんなもん院試どころか学部の試験だから
答えられないなら大学卒業はできんね
223:１３２人目の素数さん
23/02/05 07:30:47.29 wVajbkib.net
ガロアの悪夢
「SL(2, R) の Γ0(p) の正規化群 Γ0(p)+
から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、
p がモンスター群の位数の素因子、すなわち
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71
であることと同値である。」
224:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:13:15.57 XfMj3WNk.net
>>207
>極論を云えば、
>群論・環論・位相空間論・層理論・圏論
>というのは数学における一種の修辞学である
それに賛同する数学徒は、いないだろうねｗ
どちらかと言えば、
・プログラミング言語
・もっと言えば、数学的対象を扱う数理言語そのもの
（グラフィックを含む）
そう捉えた方が良いだろう
定義を作って、小さなプログラムとかサブルーチンや、関数プログラム
それらを組み合わせて、定理（大きなプログラム）ができる
225:１３２人目の素数さん
23/02/05 09:42:17.80 XfMj3WNk.net
>>202
分かってないねｗ
・環の定義では、可換と非可換の区別が定義されていないぞｗ
（後で、加法群の説明あるけど、順序が逆だよｗ）
・>>198-199 雪江明彦の
"2. 「可除環」か「斜体」か"
について言えば
そもそも、群、環、体と並べたとき
乗法については、一般的に非可換で貫徹するのが綺麗で
抽象代数学の初期は、これだった
（”永田の可換体論では体，可換体という用語”>>199）
しかし、用語 体 は、殆どの場合(教科書や論文で)、可換体しか扱わないんだ
だから、簡単に可換体→体と書いて、非可換は別の用語にという流れになった（これは よくある話）
・圏 category >>206について言えば、categoryの歴史は古代ギリシャのアリストテレス辺りまで遡る（下記）
多分、数学の”category”という用語は、下記”カントは人間認識を基礎付ける超越論的制約のひとつ、純粋悟性概念をカテゴリと呼び、その意味を認識論的意味へと転換した”あたりを意識していたのかもしれない
が、本音はキャッチーなだじゃれだったかも
圏論書いた人は、関西人では？ｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論 category theory
歴史
1945年の「General Theory of Natural Equivalences[3]」において圏（あるいは関手、自然変換）をその名前で定義した[4]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カテゴリ
カテゴリ（独: Kategorie、英: Category、仏: Categorie）は、事柄の性質を区分する上でのもっとも基本的な分類のことである。カテゴリーとも表記する。語源はギリシア語の κατηγορια。漢訳語では範疇（はんちゅう）であり、洪範九疇に由来する[1]。
概説
アリストテレスによって哲学用語として採用された。アリストテレスにおいてカテゴリは存在のもつ10の基本的性質をあらわし、存在論における基本概念のひとつであったが、イマヌエル・カントは人間認識を基礎付ける超越論的制約のひとつ、純粋悟性概念をカテゴリと呼び、その意味を認識論的意味へと転換した。
哲学用語としての「基本範疇」の意味から発展して、各種分類学などでもカテゴリの用語が用いられることがある
(引用終り)