22/10/09 20:42:20.80 xl/BNd5m.net
最近出た本です。
ガロア理論12講 概念と直観でとらえる現代数学入門
著者: 加藤 文元
出版社名: KADOKAWA
定価： 2,420円（本体2,200円＋税）
発売日：2022年07月21日
判型：Ａ５判
商品形態：単行本
ページ数：240
ISBN：978-4-04-400682-2
URLﾘﾝｸ(www.kadokawa.co.jp)
51:１３２人目の素数さん
22/10/10 20:08:16.28 EBzEjr+/.net
>>48
スレ主です
ありがとうございます！
52:１３２人目の素数さん
22/11/08 01:39:16.05 V1DsVoDc.net
整数係数の5次方程式で、係数の絶対値が10を越えないもののうちで、
しかも整数上（有理数体上）既約な5方程式であるときに、
根が巾根によって表せるものはどの程度存在するか？
53:１３２人目の素数さん
22/11/08 06:29:21.76 Mb93uGhw.net
整数係数の5次方程式で、係数の絶対値が1を越えないもののうちで、
しかも整数上（有理数体上）既約な5方程式であるときに、
根が巾根によって表せるものはどの程度存在するか？
54:１３２人目の素数さん
22/11/15 17:23:51.78 RUmep2sH.net
>>50-51
ありがとうございます。
スレ主です
下記などをば
いまどきのコンピュータパワーならば
組合せ全部を当たるしらみつぶし法でやれそうかも
（参考）
URLﾘﾝｸ(peng225.)<)
数理解析研究所講究録
第 848 巻 1993 年 1-5
5 次方程式の可解性の高速判定法
電子技術総合研究所 元吉文男 (Fumio MOTOYOSHI)
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
五次方程式の解の公式の存在条件
研究者 小垣外蘭南 下村晴喜
佐々木裕太郎 松葉文吾
指導者 宮崎一彦
１ 研究動機
五次以上の方程式の一般解が存在しないことは知られている。しかし、ある条件下ならば五
次方程式を代数的に解くことができるのではないかと考え、その条件と解を求めることを研究
テーマにした。
４ 五次方程式を解く
55:１３２人目の素数さん
22/12/17 14:30:22.08 EhW0UvWQ.net
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
Masao Ishikawa 岡山大
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
2016 年度前期講義資料
2016 年度 第 1,2 クォータ 「代数学」 (PDF ファイル)
「代数学」 講義ノート未完成版 (2016/07/22)
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
代数学講義ノート (体とガロア理論)
作成者 : 石川雅雄
平成 28 年 7 月 22 日
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
石川 雅雄
イシカワ マサオ (Masao Ishikawa)
学歴
1988年4月 - 1992年3月東京大学 大学院理学系研究科博士課程 数学専攻
1986年4月 - 1988年3月東京大学 大学院理学系研究科修士課程 数学専攻
56:１３２人目の素数さん
22/12/19 08:24:07.78 KRlSoN+A.net
下記について調べた
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Galois extension very irreducible polynomial in {\displaystyle F[x]}F[x] with at least one root in {\displaystyle E}E splits over {\displaystyle E}E and is separable.
(参考)
URLﾘﾝｸ(sites.pitt.edu)
Gregory M. Constantine: Home Page
Professor of Mathematics
Department of Mathematics, The University of Pittsburgh
URLﾘﾝｸ(sites.pitt.edu)
Greg Constantine: Fields
Final exam -- Autumn 2007
The course has four major themes:
1. The Tower Law, algebraic extensions, and constructions by straightedge and compass
2. The fundamental theorem of Galois theory.
3. The primitive element theorem and the fundamental theorem of algebra.
4. Insolvability by radicals of polynomial equations.
Resources used for Field Theory, are:
Kaplansky's "Fields and Rings", Chicago lectures in mathematics, The University of Chicago Press, 1972 [This is the main resource, by far.]
David Cox's "Galois Theory", Wiley, New York, 2004
Mark Dickinson's notes "Galois theory: The proofs, the whole proofs, and nothing but the proofs"
つづく
57:１３２人目の素数さん
22/12/19 08:24:45.57 KRlSoN+A.net
>>54
つづき
・Galois theory notes （下記PDF）
・Field theory: homework sets
（下記PDFに冒頭の定理の証明がある）
URLﾘﾝｸ(sites.pitt.edu)
GALOIS THEORY: THE PROOFS, THE WHOLE PROOFS, AND
NOTHING BUT THE PROOFS
MARK DICKINSON
Contents
1. Notation and conventions 1
2. Field extensions 1
3. Algebraic extensions 4
4. Splitting fields 6
5. Normality 7
6. Separability 7
7. Galois extensions 8
8. Linear independence of characters 10
9. Fixed fields 13
10. The Fundamental Theorem 14
I’ve adopted a slightly different method of proof from the textbook for many of
the Galois theory results. For your reference, here’s a summary of the main results
and their proofs, without any of that pesky history and motivation?or distracting
examples?to get in the way. Just the proofs1
. Almost all of the hard work lies
in three main theorems: Corollary 7.9 (a splitting field of a separable polynomial
is Galois), Theorem 8.1 (linear independence of characters), and Theorem 9.1 (the
degree of K over KH is bounded by the order of H).
1 and the occasional definition or two. Not to mention the theorems, lemmas and so forth.
(引用終り)
以上
58:１３２人目の素数さん
22/12/22 06:30:42.98 CT6RQiGn.net
1はガロア理論だけじゃなく数学全般無理だから
数学を完全に諦めたほうがいいよ
59:１３２人目の素数さん
22/12/22 06:35:03.67 CT6RQiGn.net
ガロア理論はともかくとしてラグランジュの分解式を使った
円分方程式の解法が理解できないっては、知的怠慢だね
読むべき文章を読み、為すべき計算を為せば、分かることだからね
文章も読まず、計算もしないんなら、数学板を見る意味もないし書く資格もない
60:１３２人目の素数さん
22/12/22 06:36:48.58 CT6RQiGn.net
1は見ただけで分かるプレゼンテーションを望んでるみたいだけど
数学でそれはまず無理
61:現代数学の彼岸
22/12/22 06:57:23.68 CT6RQiGn.net
1への問題
Q1. 任意の２次方程式は巡回方程式であることを示せ
具体的には２次方程式の解をα、βで表したとして
β＝f(α)、α=f(β)となる、解の巡回関数fを
方程式の係数だけを用いて構成せよ
Q2. 任意の３次方程式はQにある数を追加すれば巡回方程式となることを示せ
具体的には３次方程式の解をα、β、γで表したとして
β＝f(α)、γ＝f(β)、α=f(γ)となる、解の巡回関数fを
方程式の係数および追加されたある数を用いて構成せよ
62:現代数学の彼岸
22/12/22 07:00:41.10 CT6RQiGn.net
Q1は簡単ですね
Q2は２次方程式が解ける原理が分かっていれば思いつけますね
もちろん、ただ漫然と根の公式を使ってるだけでは、分かっているとは言えません
63:１３２人目の素数さん
22/12/24 21:56:34.94 WMwnzEw8.net
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
Matsuda’s Web Page
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
卒業研究 （松田研究室）
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
２０２０年度 卒業研究 総合理工学科 松田修 研究室
P89
卒業研究報告書
群????5をもつ５次方程式の研究
指導教員
松田修
津山工業高等専門学校
総合理工学科
情報システム系
稲垣佑都
令和３年２月３日
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
津山高専数学クラブ活動記録
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
ガロア群??5をもつ５次方程式
稲垣佑都
津山工業高等専門学校総合理工学科（４年）[サイエンス・インカレ, ファイナリスト]
64:１３２人目の素数さん
23/01/02 02:02:11.32 Tjm8RrUz.net
「ガロア群」と言わずに、「代数拡大の自己同形群」といったらだめなの？
65:１３２人目の素数さん
23/01/02 23:41:41.39 qZFMMNjk.net
>>62
>「ガロア群」と言わずに、「代数拡大の自己同形群」といったらだめなの？
レスありがとう
お答えします
１）まず、「ガロア群」は、単なる代数拡大ではまずく、ガロア拡大（下記）に対しての自己同形群でなければならない
２）この説明は、下記のwikipedia ガロア群 にあるので ご参照請う
３）分かり易い例が、代数拡大 Q(√2)/Q は、ガロア拡大で、Gal(Q(√2)/Q)と書けて、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる
４）一方、2の3乗根 2^1/3 による拡大 Q(2^1/3)では、正規拡大でない（x^3 ? 2の根を全て含んでいない）ため、ガロア拡大ではない
実際、K＝Q(2^1/3)で、代数拡大の自己同形群 Aut(K/Q)は自明な群（群{e}）になる
しかし、x^3 ? 2の根の全ての添加、それは 2^1/3、2^1/3ω、2^1/3ω^2 の3つで、2^1/3とωの二つの添加で足りるから（ωは1の3乗根）
拡大体L = Q(2^1/3,ω)は、多項式x^3 - 2のQ上の分解体となり、自己同型群は、ガロア群で、Gal(Q(2^1/3,ω)/Q)と書けて、3次の置換群 S3と同型となる
この程度の説明で分かるかな
詳しくは、下記を読んでください
分からなければ、また質問してね
(参考)（原文見る方が見やすいよ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
E を体 F の拡大体とし、その体の拡大を E/F と表わすこととする。また E/F の自己同型を、 F の各元を固定する E の自己同型と定義する。このとき、 E/F の自己同型全体は群を成す。これを Aut(E/F) と表わす。 E/F がガロア拡大であるなら、 Aut(E/F) を拡大 E/F のガロア群と呼び、 Gal(E/F) で表わす。 E/F がガロア拡大でない場合は、 E のガロア閉包 G に対する自己同型群 Aut(G/F) を、E/F のガロア群と定義することもある。
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
つづく
66:１３２人目の素数さん
23/01/02 23:42:09.92 qZFMMNjk.net
>>63
つづき
例
下記の例において、 F は一般の体、 C, R, Qはそれぞれ複素数体、実数体 、有理数体とする。また、 F(a) は体 F に元 a を添加した体、即ち F の全ての元と a をふくむ最小の体であるとする。
・Gal(F/F)は恒等写像のみからなる自明な群。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
・Gal(Q(√2)/Q) は、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる。
・K = Q(2^1/3)とするとき、Aut(K/Q)は自明な群となる。これはKが正規拡大でない（x^3 ? 2の根を全て含んでいない）ためである。これはKが分解体ではないからと言いかえることもできる。
・ω を1の3乗根とするとき、拡大体L = Q(2^1/3, ω)は、多項式x^3 - 2のQ上の分解体となり、自己同型群は、3次の置換群 S3と同型となる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、E/F が代数拡大であって、自己同型群 Aut(E/F) による固定体（英語版）がちょうど基礎体 F であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要である[1]。
エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。E が与えられた体で、G が E の自己同型からなるある有限群で固定体が F のとき、E/F はガロア拡大である。
つづく
67:１３２人目の素数さん
23/01/02 23:42:31.06 qZFMMNjk.net
>>64
つづき
ガロア拡大の特徴づけ
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である：
・E/F は正規拡大かつ分離拡大である。
・E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。
・|Aut(E/F)| = [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数と等しい。
他の同値なステートメントとして以下がある：
略
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。すべてのそのような群は同型であるので、英語などではしばしば定冠詞をつけて the trivial group などと呼ばれる。�
68:ｩ明群のただ1つの元は単位元であるので普通 0, 1, e のように文脈に応じて表記される。群の演算が * であれば e * e = e によって定義される。 (引用終り) 以上
69:１３２人目の素数さん
23/01/03 13:18:23.25 JnLpt9Qh.net
＞Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
その無限群の要素の例を示せ（配点5点）。
a = 2^{1/3} ω、ωは1の複素原始3乗根
K = Q(a)とするとき、Aut(K/Q)はどうなるか（配点5点）。
70:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:34:45.45 aZhrx//w.net
>>63 追加
方程式の根の置換としてのガロア群という視点も重要
下記 海城 は中高一貫校生向けだから、分かり易く書いてある
参考文献に、[2] 倉田令二朗, 『ガロアを読む?第 I 論文研究』, 日本評論社, 1987 年.
「[2] では, 古典的な意味での代数方程式のガロア群が紹介されています。ガロア
理論のテキストは数多く出版されていますが, 体上の自己同型群の立場で記述さ
れているものがほとんどです。本書は n 次対称群の部分群として定義してあり,
本稿ではその記述の部分で参考にしました」
とある
方程式論では、この視点も重要です
4次方程式と5次以上の方程式の Galois 理論
Galois 生誕 200 年記念 数学科リレー講座 6 日目
担当: 網谷 泰治 2011 年 8 月 27 日 (土) 海城
71:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:37:48.70 aZhrx//w.net
>>67
URLが通らないので、キーワード検索頼む
72:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:38:18.04 aZhrx//w.net
>>68 追加
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
角皆 宏(つのがい ひろし)のウェブページ 上智
2008年度の講義概要
代数特論II (早稲田大学教育学部理学科数学専修・非常勤)
10/28
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
方程式論としての Galois 理論
(根の置換としての Galois 群)
73:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:46:35.66 aZhrx//w.net
>>68
これ通るかな？
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
海城
数学科からのお知らせ
Galois生誕200年記念
2011年度数学科夏期リレー講座（2011/8/22～8/27）
・初日 Galoisの生涯とGalois理論概説 平山裕之
・２日目 集合から群まで 小澤嘉康
・３日目 いろいろな群 宮﨑篤
・４日目 部分群と正規部分群 春木淳
・５日目 2次方程式と3次方程式のGalois理論 川崎真澄
・６日目 ４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論 網谷泰治
・全日 授業レポートと担当者および受講者の声
74:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:48:30.74 aZhrx//w.net
>>70
はあ
これ通るんだ
ここの ・６日目 ４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論 網谷泰治 のリンクから >>67 へ飛べるよ
75:１３２人目の素数さん
23/01/03 21:53:14.24 1A5bcamd.net
こういう催しで盛り上がったところで
永田の可換体論の問題をみんなで一気に解いたらいいんじゃないかな
76:１３２人目の素数さん
23/01/19 23:15:46.82 +bH80TEF.net
x^3=2 はQ上既約な方程式なので
その根x1, x2, x3 はQには属さず、Q上x^3=2を満たす以外の
関係を持たないから、区別出来ないはずである。
だからQ(x1)/QとQ(x2)/QとQ(x3)/Qは同じだろう。
ｘ1，ｘ2，ｘ3が実数であるとか虚数であるとかは、代数としては
（Qの中にいて体の演算だけでは）見分けが付かない気がする。
77:１３２人目の素数さん
23/01/20 06:45:12.14 +MGBTa5E.net
>>73
>…はずである。
>…だろう。
>…気がする。
という”接尾辞”要らない
78:１３２人目の素数さん
23/01/25 02:41:32.53 xivZ01AB.net
ガロアより以前に置換群論において正規部分群という概念を思いついた
という人は居ないのだろうか？
79:１３２人目の素数さん
23/01/27 08:27:47.91 Jt/5xpTI.net
>>75
いないみたい
80:１３２人目の素数さん
23/01/29 21:16:09.45 wni79iFl.net
ガウスが天文で職を得ずにそのまま代数学・整数論・解析学に邁進し続ける
ことが出来たのならば、どれほど奥深いところまでいけたのだろうかと
思わざるを得ない。たとえば富豪の息子だったり、貴族であったら、
天文学や実際の測地・測量などしなくても良かったはずであるから。
貴族の没落が当時の歴史背景としてあるのだろうか。
81:１３２人目の素数さん
23/01/29 21:43:36.83 OeFtN7RE.net
曲率とかはいらんかね
82:１３２人目の素数さん
23/01/29 21:48:21.07 61X04R7S.net
当時は今ほどには望遠鏡の性能がよくなかったから
天文学者には数学を研究するだけの十分な時間があった
83:１３２人目の素数さん
23/01/29 23:22:51.34 4yIyibZ0.net
>>77
>ガウスが天文で職を得ずにそのまま代数学・整数論・解析学に邁進し続ける
>ことが出来たのならば、どれほど奥深いところまでいけたのだろうかと
その問いは面白いね
多分、もっと論文とか本とか発表しただろう
（何かで読んだが、ガウスは数学では寡作だが、天文系ではかなり発表したらしい）
もっとも、ガウスの時代は天文や物理と数学は未分化だったろう
ニュートンは、物理学者でもあった
オイラーも、数学以外にも手広くいろんな研究をしている
また、戦前日本数学物理学会だった時代があるよ
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
朝永振一郎
1906(明治39)-1979(昭和54)
(提供: 独立行政法人
理化学研究所)
Journal ＠rchive Stories
数物学会誌の紹介
2006/05/24 第5回 数物学会誌と日本の数学・物理学の発展
現在の日本数学会と日本物理学会は，戦前は一緒で，「日本数学物理学会」と なっていました。それが戦後1946年1月にそれぞれ独立して，日本数学会と 日本物理学会となって現在に至っています。その起源をさかのぼると， 1877年(明治10年)9月に，湯島の昌平館に同好の士が集まり，東京数学会社が 設立されたときに至ります。｢会社｣というのは Society のことです。この 東京数学会社は，現在までつながっていて，雑誌も名称を変えながらも 現在までつながっているものとしては， 日本で最古の学会です。この会社は 和算家が中心だったのと，当時日本ではまだ物理学が未分化でしたので 「数学会社」となっていますが，ケンブリッジ大学で数学と物理学を学んだ 菊池大麓なども参加しており，力学に関する記事も含んでいました。発足当時の 117名の会員については，和算家のほかに軍関係者が意外に多いのですが， 海軍は航海術，陸軍は弾道計算などに関心があったのかもしれません。 その後，1884年5月3日の例会で菊池大麓により，「数学および物理学 (星学を含む)を講究拡張するを以って目的とすべし」との動議が出され， 全会一致で「東京数学物理学会」に改組拡充されました。1918年には 長岡半太郎の提案で「日本数学物理学会」と改称され，1945年12月まで
84: 続きました。
85:１３２人目の素数さん
23/01/30 06:46:59.96 +oveQqIS.net
ガウスと文通した天文学者たちの中には
宇宙の非ユークリッド構造の存在を信じ
距離の絶対的単位の測定を提案するものもいた。
86:１３２人目の素数さん
23/01/30 07:10:28.53 Lhm7MwqP.net
>>77
むしろ、なぜガウスが大学教授にならなかったのか興味ある
>>80
ありきたりな問いに大袈裟に感心して
ありきたりな答えを延々書くなよ
つまらん奴だな
むしろ、なぜガウスは群論を構築できなかったか興味ある
群論から導かれることについてはガウスは熟知していたが
「群」という概念自体をガウスがどれほど明確に意識してたか
定かではない
87:１３２人目の素数さん
23/01/30 07:28:35.40 +oveQqIS.net
>>82
大学教授は兼任
ブリタニカに書いてある
88:１３２人目の素数さん
23/01/30 07:30:46.86 +oveQqIS.net
>>82
ガウスは楕円函数の定義域がトーラスであることを
認識できていなかったと言われる
89:１３２人目の素数さん
23/01/30 07:37:29.12 Lhm7MwqP.net
>>83
なるほど じゃ、問いを修正
「なぜガウスが大学教授に専任しなかったのか」
ガウスは大学教授を、学生に数学を教える仕事と考え
数学を研究する仕事とは考えなかったんだろうな
自分でいうのもなんだがつまらん問いだったな
90:１３２人目の素数さん
23/01/30 07:42:13.16 Lhm7MwqP.net
>>84 そろそろこの質問をしようかな
「ガロアがガロア理論を考えた目的は何か？」
もちろん５次方程式のベキ根での非可解性を説明する
とかいう後ろ向きな動機ではなかったことは確かだろう
ガロアの最後の手紙がカギ
91:１３２人目の素数さん
23/01/30 07:42:59.63 kcnn4hJ8.net
>>80
著者訂正
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数物学会誌の紹介
2006/05/24 第5回 数物学会誌と日本の数学・物理学の発展
(佐宗哲郎: 埼玉大学理工学研究科教授)
92:１３２人目の素数さん
23/01/30 08:32:56.79 +oveQqIS.net
>>86
あいまいの理論
93:１３２人目の素数さん
23/01/30 11:01:16.29 ft46ux2X.net
>>88
>あいまいの理論
ありがとう
”Galoisは、Chevalierへの手紙”下記より
「the theory of ambiguity to transcendental analysis」ね
P9
”were directed on the application of the theory of ambiguity to transcendental analysis. It was to see, a
priori, in a relation between transcendental quantities or functions, what exchanges
can be done, what quantities we could substitute to the given quantities, without
changing the relation. This makes one recognise immediately lots of expressions
that one could look for. ”
ですね
（参考）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:792番)
>Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
p=11ね
下記のGaloisは、Chevalierへの手紙で
楕円曲線の等分問題で、p = 11の解法を取り上げている
英文によるfulltextを探すと、下記がヒットしたので貼る
彼は、20歳で亡くなったという
存命ならば、ここらは論文として出版されたろうに
なお、GaloisのChevalierへの手紙については
下記高木先生の近世数学史談でも、これは取り上げられている
つづく
94:１３２人目の素数さん
23/01/30 11:01:53.64 ft46ux2X.net
>>89
つづき
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Last Mathematical Testament of Galois Indian Academy of Sciences
Classics Volume 4 Issue 10 October 1999 pp 93-100
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Last Mathematical Testament of Galois
Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is
reproduced here in English translation I.
P3
The last application of the theory of equations is related to the modular equation of elliptic functions.
P5
For p = 7 we find a group of (p + 1) (p - 1) /2 permutations, where
∞ 1 2 4
are respectively related to
0 3 6 5.
This group has its substitutions of the form
略
b being the letter corresponding to c, and a a letter which is a residue or non-residue
according as c.
For p = 11, the same substitutions take place with the same notations,
∞ 1 3 4 5 9
are respectively related to
o 2 6 8 10 7.
Thus, for the case of p = 5,7,11, the modular equation is reduced to degree p.
In all rigor, this reduction is not possible in the higher cases.
The third paper concerns the integrals.
We know that a. sum of terms of the same elliptic function is always reduced to a
single term plus algebraic or logarithmic quantities.
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
近世数学史談 (岩波文庫) Paperback Bunko ? August 18, 1995
by 高木 貞治
95:１３２人目の素数さん
23/01/30 11:38:35.04 vn4lc217.net
特に興味なし
96:１３２人目の素数さん
23/01/30 12:21:16.68 jInmyY01.net
>>89
>Galoisは、Chevalierへの手紙で
>楕円曲線の等分問題で、
>p = 11の解法を取り上げている
それ、モジュラー方程式の話
モジュラー方程式、わかってる？
97:１３２人目の素数さん
23/01/30 14:53:57.32 ft46ux2X.net
>>92
>>楕円曲線の等分問題で、
>p = 11の解法を取り上げている
> それ、モジュラー方程式の話
> モジュラー方程式、わかってる？
ありがとう
笠原乾吉先生
「モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている」
これが、1990年
いま、2023年
（参考）
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
数学史シンポジウム報告集
19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム(1990.11.17) 所報 1 1991
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
第1回数学史シンポジウム
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
モジュラー方程式について
笠原乾吉 (津田塾大学)
0. モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている。
楕円関数の本、例えば S.Lang「Elliptic Functions」にはでてくるが、その定璧からは何故モジュラ一方程式と呼ぶのかよくわからない。
最近、 高瀬正仁氏のおかげでずいぶんその事情が明解になった([11] [12])。
ここでは高瀬氏のいう三つのモジュラー方程式に加え、上記のLang の本などにある F. Klein のモジュラー方程式をいれて四つのモジュラー方程式を紹介する。
そしてその関係と、 私にはまだ不明な点を一二申しあげたい。
98:１３２人目の素数さん
23/01/30 15:02:54.08 KGwjkvDU.net
>>93 要するに、わかりません、と
99:１３２人目の素数さん
23/01/30 16:37:11.46 ft46ux2X.net
>>94
Yes！ ザッツライト！
要するに、わかりませんｗ
さっき、モジュラー方程式について>>93
笠原乾吉 (津田塾大学)を
分からないなりに読んでましたｗ
読んだけど、いまいち理解できないところ多しｗ
100:１３２人目の素数さん
23/01/30 17:12:25
101:.84 ID:Lhm7MwqP.net
102:１３２人目の素数さん
23/01/30 18:56:13.96 MGKjz/Z7.net
指標くらいは幼稚園児でも知っている
103:１３２人目の素数さん
23/01/30 19:25:37.37 Lhm7MwqP.net
>>97 でも自分は知らない、と
104:１３２人目の素数さん
23/01/30 21:34:40.26 kcnn4hJ8.net
>>96
>を読んでいただきたいが・・・まあ指標を知らない人には全く理解できないでしょう
指標か・・昔読んだ気がするが（読んだはずｗ）、あまり理解でなかったのだろう
殆ど残っていないｗ
指標表と指標理論の抜粋（数分の一のみ）貼りますね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
指標表
群論において、指標表（しひょうひょう、英: character table）とは、与えられた群について、その全ての既約表現の指標を表にまとめたものである。これは直交関係などにより対象としている群についての比較的少ない情報から計算できて、群の性質をそこから引き出すことができる。
化学・結晶学・分光学において点群の指標表は、対称性の観点から分子振動を分類したり、2つの量子状態間の遷移が可能かどうかを考える場合に用いられる。
定義
有限群 G の複素数体 C 上既約表現 X: G → GLn(C) に対して写像 χ = Tr X: G → C を次数 n の既約指標という。既約指標の数と共役類の数は等しい。群 G の既約指標 χ1, …, χk と共役類の完全代表系 g1, …, gk に対して正方行列 T = [ χi(gj) ]1 ? i, j ? k を指標表という[1]。指標は類関数なので指標表は矛盾なく定まるが、行と列に関する入れ替えを除いてしか決まらない。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Character table
つづく
105:１３２人目の素数さん
23/01/30 21:35:14.17 kcnn4hJ8.net
>>99
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
指標理論 「指標 (数学)」も参照
群の表現の指標（しひょう、英: character）は、群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像である。指標は表現の本質的な情報をより凝縮された形で持っている。ゲオルク・フロベニウスは最初に、指標のみに基づいて、表現の明示的な行列表示は用いずに、有限群の表現論（英語版）を発展させた。これは有限群の複素表現はその指標によって（同型を除いて）決定されるから可能である。正標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の場合には、状況はより繊細であるが、リチャード・ブラウアー（英語版）はこの場合にも指標の強力な理論を発展させた。有限群の構造に関する多くの深い定理はモジュラー表現の指標を用いる。
応用
既約表現の指標には群の多くの重要な性質が反映されており、したがってその構造の研究に用いることができる。指標理論は有限単純群の分類において本質的な道具である。Feit?Thompson の定理（英語版）の半分近くは指標の値の入り組んだ計算を伴う。指標理論を使う、より容易だがなお本質的な結果は、バーンサイドの定理（純粋に群論的な証明は見つかっているが、バーンサイドのもともとの証明のあと半世紀以上経ってからである）や、有限単純群はシロー 2-部分群として一般四元数群を持つことはできないというブラウアー・鈴木の定理である。
指標表
詳細は「指標表」を参照
有限群の既約複素指標は群 G についての多くの有用な情報を凝縮された形で表現する指標表をなす。各行は既約表現によってラベルづけられ、行の成分は G のそれぞれの共役類上の表現の指標である。列は G の共役類（の代表元）によってラベル付けられる。第一行を自明指標でラベル付け、第一列を単位元（の共役類）でラベル付けるのが通例である。第一列の成分は単位元における既約指標の値、既約指標の次数である。
直交関係式
詳細は「シューアの直交関係式（英語版）」を参照
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Character theory
(引用終り)
以上
106:１３２人目の素数さん
23/01/31 06:00:08.34 XoNg1Jy8.net
>>99
>貼りますね
承認欲求？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
承認欲求（しょうにんよっきゅう）とは、
「他者から認められたい、自分を価値ある存在として認めたい」
という願望であり、「尊敬・自尊の欲求」とも呼ばれる。
承認欲求は現実の組織や社会において自己実現欲求などよりも強い力で人を動機づけている。
一方で承認欲求の表れ方は文化や風土にも左右される。
日本人は
「周囲から認められなければならない」「期待を裏切れない」
という切迫した感覚に陥りやすく、それが
過激な動画の投稿、パワーハラスメントやいじめ、不登校、過労死、企業不祥事など
の社会問題を引き起こす場合がある。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
自分が理解してないことでもコピー＆ペーストしてしまうのも
明らかに何か認められたいという承認欲求の表れかと思うが
理解してないのなら一体何を他人に認めてもらいたいのか
今一度自分を見つめ直したほうがいいのではないか？
107:１３２人目の素数さん
23/01/31 06:12:03.92 XoNg1Jy8.net
>>101
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
アブラハム・マズローは、人間の基本的欲求を低次から、
生理的欲求 (physiological need) 、
安全の欲求 (safety need) 、
所属と愛の欲求 (social need/love and belonging) 、
承認の欲求 (esteem) 、
自己実現の欲求 (self actualization)
の5段階に分類した。このことから「階層説」とも呼ばれる。
また、「生理的欲求」から「承認の欲求」までの4階層に動機付けられた欲求を
「欠乏欲求」 (deficiency needs) とする。
生理的欲求を除き、これらの欲求が満たされないとき、人は不安や緊張を感じる。
「自己実現の欲求」に動機付けられた欲求を
108:「成長欲求」としている。 中でも承認欲求とは、 自分が集団から価値ある存在と認められ、尊重されることを求める欲求 である。 尊重のレベルには二つある。 低いレベルの尊重欲求は、 他者からの尊敬、地位への渇望、名声、利権、注目など を得ることによって満たすことができる。 マズローは、この低い尊重のレベルにとどまり続けることは危険だとしている。 高いレベルの尊重欲求は、 自己尊重感、技術や能力の習得、自己信頼感、自立性など を得ることで満たされ、他人からの評価よりも、自分自身の評価が重視される。 この欲求が妨害されると、劣等感や無力感などの感情が生じる。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ID:kcnn4hJ8氏も検索結果のコピペで 低いレベルの尊重欲求を満たすのではなく 数学を理解することで、高いレベルの尊重欲求を満たすべく 努力したほうが健全だと思うが如何か？
109:１３２人目の素数さん
23/01/31 06:36:49.37 XoNg1Jy8.net
自分が理解できない文章をコピペするのと
自分が食べない寿司にワサビを混ぜ込むのは
その根本において同一の行為と思われる
110:１３２人目の素数さん
23/01/31 07:26:16.81 yXEkrxN7.net
コピペするから理解できないというわけでもなかろう
111:１３２人目の素数さん
23/01/31 08:19:29.78 FSzGv1IG.net
>>103
>コピペするから理解できないというわけでもなかろう
そこ同意です
コピペは、相互理解のスタート地点だな
お互いの情報共有であり、共通認識を形成する
そして、「理解」は主観であって、自分が理解したと思っても、客観性が担保できないから、議論の基礎にはなりえない
議論の基礎になり得るのは、主観的理解ではなく、客観的事実（＝証明されたもの、及び定義、それはしばしば定評あるテキストによる）
コピペは、承認欲求にあらず
「議論の基礎」ですよｗ
112:１３２人目の素数さん
23/01/31 09:26:46.01 V2GaRosN.net
>>104
順序逆じゃね？
理解できないからコピペで丸投げってことじゃね？
>>105
あんたが理解できないんじゃ
議論なんか出来ないんじゃね？
他人の文章をトンチンカンに引用しても
どこがどうトンチンカンかもわかんないんでしょ？
基礎からわかってないやん
そら低レベルの承認欲求満たしたいだけって云われるわ
113:１３２人目の素数さん
23/01/31 11:59:30.22 tkHk7/Du.net
>>106
１）他人が、何をどこまで理解しているか？
それを計る客観的基準はない
例えば、数学科修士の入学試験があったとして
それは、あくまで一つの指標でしかない
２）かつ、院試で満点で合格する人はおそらくいない！
合格点が何点か知らない
しかり、仮に100点満点の75点としよう
院試合格者の理解は75％でしょ？
残り25点分は、十分理解できていないことになるよ！
３）そして、あなたは、数学科学部で落ちこぼれて
情報科学の修士へ行った
院試やったら100点満点の50点取れるかどうかじゃね？
なに、寝言いっているのかね？ｗ
114:１３２人目の素数さん
23/01/31 12:07:16.64 01NEJa1+.net
>>107
>>仮に100点満点の75点としよう
>> 院試合格者の理解は75％でしょ？
これを書いた後、議論の粗雑さに気が付いて
気が咎めなかった？
115:１３２人目の素数さん
23/01/31 12:39:31.08 tkHk7/Du.net
>>108
>>107より
（引用開始）
他人が、何をどこまで理解しているか？
それを計る客観的基準はない
例えば、数学科修士の入学試験があったとして
それは、あくまで一つの指標でしかない
(引用終り)
その一例として院試を取り上げた
もう一例、下記の許 埈珥（ホ・ジュニ、June Huh） フィールズ賞
かれは、落ちこぼれだったらしい（Early life and educationご参照）
勿論、私と比較するつもりはないｗ
ただ、”他人が、何をどこまで理解しているか？
それを計る客観的基準はない”
ってことの例だよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
許 埈珥（ホ・ジュニ、June Huh、1983年6月9日 - ）は韓国系アメリカ人の数学者である。
2022年フィールズ賞を受賞した[1]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
June Huh
Early life and education
Poor scores on elementary school tests convinced him that he was not very good at math. He dropped out of high school to focus on writing poetry after becoming bored and exhausted by the routine of studying.[6]
Huh enrolled at Seoul National University (SNU) in 2002, but was initially unsettled. He initially aimed to become a science journalist and decided to major in physics and astronomy, but compiled a poor attendance record and had to repeat several courses that he initially failed.[6]
Due to his poor undergraduate record, Huh was rejected from all but one of the American universities that he applied to. He started his Ph.D.
116:１３２人目の素数さん
23/01/31 15:55:49.87 tkHk7/Du.net
>>75
>ガロアより以前に置換群論において正規部分群という概念を思いついた
>という人は居ないのだろうか？
ガロアは、Chevallierへの手紙（下記）で
・正規部分群について明記している
（This is called proper decomposition：G = H + H S + H S' + ・・とG = H +TH +T'H +・・とが一致するとき）
・”If each of these groups has a prime number of permutations then the equation will be solvable by radicals; otherwise, not.”と明記している
・The smallest number of permutations that an indecomposable group can have,when this number is not a prime number, is 5・4・3.（＝位数60のA5(交代群)）と明記している
Chevallierへの手紙は、明らかにガロア理論の創始！
（これより以前は、アーベルの方程式論が最前線です）
（参考）
>>90より
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Last Mathematical Testament of Galois
Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is
reproduced here in English translation I.
Ｐ１
The second contains rather interesting applications from the theory of equations.Here is a summary of the most important ones:
1. According to the propositions II and III of the first paper, one sees a great difference between adjoining, to an equation, . one of the roots or all the roots of an auxiliary equation.
つづく
117:１３２人目の素数さん
23/01/31 15:56:41.49 tkHk7/Du.net
>>110
つづき
In both the cases, the group of the equation can be partitioned by adjunction into groups such that one can pass from one to another by a self-transformation;but the condition that these groups have the same substitutions holds only in thesecond case.
This is called proper decomposition.
In other words, when a group G contains another, H, the group G can be parti-tioned into groups each of which is obtained by operating on the permutations inH a self-transformation, in such a way that,G = H + H S + H S' + ・・..And we can also partition into groups which have all similar substitutions, such that G = H +TH +T'H +・・
These two types of decompositions generally do not coincide. When they do coin-cide the decomposition is said to be proper.
It is easy to see that, when the group of an equation is not susceptible to any proper decomposition, however well we might have transformed this equation, the groupsof the transformed equations will always have the same number of permutations.On the contrary, when the group of an equation is susceptible to a proper decom-position in such a way that we can decompose it into M groups of N permutations,we can resolve the given equation by means of two equations: one will have a groupof M permutations and the other, one of N permutations.
つづく
118:１３２人目の素数さん
23/01/31 15:57:16.75 tkHk7/Du.net
>>111
つづき
Hence when we would have exhausted all possible proper decompositions on the group of an equation, we arrive at groups which can be transformed but for whichthe number of permutations will always be the same.
If each of these groups has a prime number of permutations then the equation will be solvable by radicals; otherwise, not.
The smallest number of permutations that an indecomposable group can have,when this number is not a prime number, is 5・4・3.（＝60のA5(交代群)）
(引用終り)
以上
119:１３２人目の素数さん
23/01/31 16:15:11.43 Du0QojS9.net
マッチポンプ
120:１３２人目の素数さん
23/01/31 16:42:45.10 rDyPETFK.net
>>109
>>勿論、私と比較するつもりはないｗ
>>ただ、”他人が、何をどこまで理解しているか？
>> それを計る客観的基準はない”
>>ってことの例だよ
そんなことは幼稚園児でも知っている
121:１３２人目の素数さん
23/01/31 21:02:38.92 FSzGv1IG.net
>>93 補足
>>>楕円曲線の等分問題で、
>>p = 11の解法を取り上げている
>> それ、モジュラー方程式の話
>> モジュラー方程式、わかってる？
>ありがとう
>笠原乾吉先生
>「モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている」
>これが、1990年
今頃気づいたが
下記ガロア第一論文でも
”The last application of the theory of equations is related to the modular. equation of elliptic functions.”
と使われているね
”related to the modular. equation of elliptic functions.”だね
レムニスケートの等分と類似ないし同じ意味だね
(参考)（>>90より再録）
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Last Mathematical Testament of Galois
Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is
reproduced here in English translation I.
P3
The last application of the theory of equations is related to the modular. equation of elliptic functions.
We show that the group of the equation which has for roots the sine of the amplitude of p2 - 1 divisions of a period is:
122:１３２人目の素数さん
23/01/31 21:06:18.78 FSzGv1IG.net
>>114
>>114
>>>勿論、私と比較するつもりはないｗ
>>>ただ、”他人が、何をどこまで理解しているか？
>>> それを計る客観的基準はない”
>>>ってことの例だよ
>そんなことは幼稚園児でも知っている
では
「あなたとも比較するつもりはない」
とでも言ってあげれば
そんなことは
小学生でも知っていると
そう言ってくれるかな？ｗ
123:１３２人目の素数さん
23/01/31 21:28:42.66 FSzGv1IG.net
>>115
>下記ガロア第一論文でも
>”The last application of the theory of equations is related to the modular. equation of elliptic functions.”
>と使われているね
下記 en.wikipedia ”Modular equation”かな？
”geometrically, the n^2-fold covering map from a 2-torus to itself ”
か・・
これ（the n^2-fold covering map）は、下記
望月IUTの"q^j^2"、"同様な同型は楕円曲線のモジュライ・スタック上でも考察することができ"
と関連があるのかもね
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Modular equation
In mathematics, a modular equation is an algebraic equation satisfied by moduli,[1] in the sense of moduli problems. That is, given a number of functions on a moduli space, a modular equation is an equation holding between them, or in other words an identity for moduli.
The most frequent use of the term modular equation is in relation to the moduli problem for elliptic curves. In that case the moduli space itself is of dimension one. That implies that any two rational functions F and G, in the function field of the modular curve, will satisfy a modular equation P(F,G) = 0 with P a non-zero polynomial of two variables over the complex numbers. For suitable non-degenerate choice of F and G, the equation P(X,Y) = 0 will actually define the modular curve.
In that sense a modular equation becomes the equation of a modular curve. Such equations first arose in the theory of multiplication of elliptic functions (geometrically, the n^2-fold covering map from a 2-torus to itself given by the mapping x → n・x on the underlying group) expressed in terms of complex analysis.
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(2015-02).pdf
宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い 2015-02 望月新一
P4
Hodge-Arakelov 理論
q^j^2
同様な同型は楕円曲線のモジュライ・スタック上でも考察することができ
124:１３２人目の素数さん
23/01/31 22:06:41.14 XoNg1Jy8.net
>>115-117 承認欲求？
125:１３２人目の素数さん
23/02/01 00:28:53.27 uZdPVmPu.net
>>93 補足
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
数学史シンポジウム報告集
19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム(1990.11.17) 所報 1 1991
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
第1回数学史シンポジウム
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
モジュラー方程式について
笠原乾吉 (津田塾大学)
0. モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている。
楕円関数の本、例えば S.Lang「Elliptic Functions」にはでてくるが、その定璧からは何故モジュラ一方程式と呼ぶのかよくわからない。
最近、 高瀬正仁氏のおかげでずいぶんその事情が明解になった([11] [12])。
ここでは高瀬氏のいう三つのモジュラー方程式に加え、上記のLang の本などにある F. Klein のモジュラー方程式をいれて四つのモジュラー方程式を紹介する。
(引用終り)
P9
[11] 高瀬正仁、 虚数乗法論の諸相 (一) (二) (三)、プレプリント (1990)。
[12] 高瀬正仁、 ガウスの遺産と継承者たち (ドイツ数学史の構想) 海鳴社、(1990)
ここで、”ガウスの遺産と継承者たち (ドイツ数学史の構想) 海鳴社、(1990) ”は、いま手元にあり見ている
”虚数乗法論の諸相 (一) (二) (三)、プレプリント (1990)”は、それらしき文書は、検索ではヒットせず
つづく
126:１３２人目の素数さん
23/02/01 00:29:36.47 uZdPVmPu.net
>>119
つづき
さて、上記笠原乾吉氏で モジュラー方程式関連抜粋
P2 ”母数と母数との関係式を、高瀬氏にしたがい Jacobi のモジュラー方程式という”
P4 ”Weber [8] は、このようにして偶有理式から作られた特殊な変換方程式を、モジュラー方程式と呼んでいる。 ここでは、n^2-1 次の周期等分方程式からでてくる変換方程式の特殊なものとしてのモジュラー方程式、 または簡単に Weber の本のモジュラー方程式と呼ぶ。”
同 "これで、kacobi のモジュラー方程式が、 周期等分方程式の変換方程式の一つであることがわかった。"
P5 "これで、変換の母数の間の関係式としてのモジュラー方程式と、 周期等分方程式の片割れの変換方程式としてのモジュラー方程式とがしっかり結びつく。"
同 "特異母数が満たす方程式を、高瀬氏は特異モジュラー方程式と呼び、これが第三のモジュラー方程式である。 Kronecker ([5]) は、特異モジュラー方程式の形とその代数的可解性について証明なしに述べている。"
P6 "4. Kleinのモジュラー方程式 J(τ) は上半平面で正則な関数で"
同 "Φn(X, Y) =0が、楕円関数などの今日の教科書に現われるモジュラー方程式であるが、ここでは Keinのモジュラー方程式と呼ぶことにする。"
同 " これはDedekindのモジュラー関数J(T) が現われる以前であり、 Kronecker がどのようにしてここに到達し、 どんな証明をもっていたか私にはわからない"
以上
127:１３２人目の素数さん
23/02/01 00:30:23.08 uZdPVmPu.net
>>118
単に
チラシの裏にメモ書いただけですぜ、旦那ｗ
128:１３２人目の素数さん
23/02/01 01:04:55.37 Jvs8LpXg.net
Auguste Chevallierがガロアからの手紙を棄てたり焼いたりしていたら
どうなっただろうか？あるいは自分にはちんぷんかんぷんで誰か
高名な数学者に判読を頼んだら、その人が自分の業績としてパクって
ガロアの名前には一切言及しなかったら、歴史は変わっていたか？
129:１３２人目の素数さん
23/02/01 06:15:05.79 H5dy1vFX.net
>>119-121
>単にチラシの裏にメモ書いただけですぜ、旦那
それを人は承認欲求という
130:１３２人目の素数さん
23/02/01 07:37:02.95 H5dy1vFX.net
>>122
みだりに野生動物にエサをあたえないでください
131:１３２人目の素数さん
23/02/01 10:18:42.70 sQMfVFbD.net
>>116 追加
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジョン・F・ケネディ 名前のイニシャルをとってJFK
大統領就任演説
日本では演説の最後に語られた次の一句がよく引用されている[注 40]。
”・・・我が同胞アメリカ国民よ、国が諸君のために何が出来るかを問うのではなく、諸君が国のために何が出来るかを問うてほしい。・・・世界の友人たちよ。アメリカが諸君のために何を為すかを問うのではなく、人類の自由のためにともに何が出来るかを問うてほしい。・・・最後に、アメリカ国民、そして世界の市民よ、私達が諸君に求めることと同じだけの高い水準の強さと犠牲を私達に求めて欲しい。[88]・・・”
(引用終り)
JFK：国が諸君のために何が出来るかを問うのではなく、諸君が国のために何が出来るかを問うてほしい
さて
このJFKの原理を、数学に当てはめれば
「他人が何をどれだけ理解しているかを問うのではなく、自分がどれだけ理解しているかを問い、そして数学のために何が出来るかを問うてほしい」
となるだろう
実際、他人が何を理解あるいは理解していないかよりも
自分が数学をどれだけ理解しているか
そして、それをどう生かしていくかが
一番重要なのだから
132:１３２人目の素数さん
23/02/01 11:45:56.27 sQMfVFbD.net
>>122
>Auguste Chevallierがガロアからの手紙を棄てたり焼いたりしていたら
>どうなっただろうか？あるいは自分にはちんぷんかんぷんで誰か
>高名な数学者に判読を頼んだら、その人が自分の業績としてパクって
>ガロアの名前には一切言及しなかったら、歴史は変わっていたか？
そうですね
考えたことなかったけど
１）Chevallier氏も苦労したみたい
下記、”シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)に「死者小伝」(Necrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。”
”リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathematique pures et appliquees)に掲載された。”
1846年まで、14年。
（なお、「複数の著名な数学者へ論文の写しを送った」も結構苦労したのでは？ そもそもコピー機ないよ、この時代ｗ
『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)の別刷を、何部か分けてもらったかも。国際、郵便制度もあやしいか。
その上、”You make a public request to Jacobi and Gauss to give their opinion, not as to the truth but as to the importance of these theorems. ”（>>110）
って、フランス語では通じないから、ドイツ語かラテン語の手紙がいるよね。簡単じゃない）
２）下記”デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[13]。”
1832年から23年だね。デーデキントは、体の拡大という視点を導入したという
（ガロア第一論文では、体の代わりにガロア分解式を使う）
３）お説の「高名な数学者に判読を頼んだら」は、「複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの」とあるから、あり得たかも
但し、1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)に「ガロアの論文等を掲載」とあるから、「自分の業績としてパクって」は不成立か
（なお、この時代は、いまのように参考文献を調査してしっかりつける習慣は確立されていなかったみたい。文献検索システムないしｗ。だから、パクリの意識が希薄かも）
つづく
133:１３２人目の素数さん
23/02/01 11:46:44.33 sQMfVFbD.net
>>126
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エヴァリスト・ガロア
エヴァリスト・ガロア（Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）
死後の動き
ガロアの死後、シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopedique)に「死者小伝」(Necrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。
また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。
しかし、何らかのきっかけで、その写しがジョゼフ・リウヴィルの手元に渡った。
リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathematique pures et appliquees)に掲載された。
その際、ガロアが生前認められなかった理由を、簡潔にまとめようという意識が過剰であり、明快さに欠けたためと分析している。
リヒャルト・デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[13]。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された667ページに及ぶ著書『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
ジョルダンはその序文において、「本書はガロアの諸論文の注釈に過ぎない」と述べている。
1848年には『ル・マガザン・ピトレスク』（Magasin Pittoresque、挿絵付雑誌の意）に、ガロアに関する匿名[14]の短い伝�
134:Lが、弟のアルフレッドが記憶をたどって描いた肖像画と共に掲載されている。 1872年には、ガロアの母が84歳で亡くなっている[15]。 1897年には、エミール・ピカールの序文付きでリウヴィルの編集した『ガロア全集』が刊行されている。 (引用終り) 以上
135:１３２人目の素数さん
23/02/01 12:06:57.57 sQMfVFbD.net
>>119
>笠原乾吉 (津田塾大学)
笠原乾吉先生について
（参考）
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
更新日: 2022/11/08
新井 仁之
Hitoshi Arai
ディーバーな関数論．笠原乾吉著『複素解析』（ちくま学芸文庫）
投稿日時 : 2016/08/23
ちくま学芸文庫からさまざまな数学書が文庫化されていることは今更ここで言うまでもないことですが，今月，また新たに一冊加わりました．
笠原乾吉著『複素解析 1変数解析関数』．
今回も期待を裏切らない渋い選択です．本書はもともと実教出版から1978年に出版されたもので，私も学生時代お世話になりました．
【ヘルマンダリズムと本書】
かつて故倉田令二朗氏は数学セミナーでの伝説的な連載『多変数複素関数論を学ぶ』（1977-78）において，L. ヘルマンダーの多変数複素解析の方法を「ヘルマンダリズム」と呼びました．笠原著『複素解析』はそのヘルマンダリズムの雰囲気を醸し出している入門書と言えるでしょう．ヘルマンダリズムというのは，岡潔氏の仕事を非斉次コーシー・リーマン方程式という連立偏微分方程式を解くことに帰着させる主義を意味するものです．本書でも第5章では1変数のクザンの加法的問題が非斉次コーシー・リーマン方程式（後述）を解くことにより証明されています．クザンの加法的問題は，与えらえた極と主要部を有する有理型関数の存在を保証するミッタグ・レフラーの定理を一般化したものです．1変数複素解析の教科書でクザンの加法的問題を取り上げているものは極めて珍しいといえます．
ヘルマンダリズムといえば，創始者のヘルマンダー氏の本 "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables" （1966）があり，その第1章が1変数複素解析に充てられています．
つづく
136:１３２人目の素数さん
23/02/01 12:07:27.75 sQMfVFbD.net
>>128
つづき
【あなどれない付録】
本書を読むのに必要な予備知識は2変数の微分積分と平面上のベクトル解析ですが，それは付録に懇切丁寧に解説されています．
じつはこの付録，付録だからと言ってあなどることができません．これ自身読みごたえ十分で，存在感のある部分です．
【補遺】
倉田令二朗氏の数セミの連載は最近，単行本として出版されています．
倉田令二朗著（高瀬正仁解説）『多変数複素関数論を学ぶ』（日本評論社）．
ヘルマンダーの本は和訳
ヘルマンダー著（笠原乾吉訳）『多変数複素解析学入門』（東京図書）
もありましたが，今は出版されていないようです．図書館か運が良ければ古書店で見出せるかもしれません．
【蛇足】
このブログのタイトルですが，「ディーバー」は「ディーパー（deeper）」のタイプミスではありません．ただ，そちらにもひっかけてあります．念のため．
(引用終り)
以上
137:１３２人目の素数さん
23/02/01 12:38:11.40 MUCkhyke.net
>>125-129 承認欲求？
138:１３２人目の素数さん
23/02/01 13:59:57.40 sQMfVFbD.net
>>1
ガロア第一論文英訳見つけた！（下記）
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Where can I find Galois original paper?
asked Mar 25, 2016 at 17:00 uuuuuuuuuu
つづく
139:１３２人目の素数さん
23/02/01 14:03:39.56 sQMfVFbD.net
つづき
6 Answers
The best Galois full edition you will ever find is found here:
https://
（URLが通らないので改行）
uberty.org/wp-content/up
（URLが通らないので改行）
loads/2015/11/Peter_M._Neumann_The_Mathematical_Writings.pdf
answered Sep 22, 2018 at 4:47 roland5999
つづく
140:１３２人目の素数さん
23/02/01 14:04:35.71 sQMfVFbD.net
つづき
The best Galois full edition you will ever find is found here:
URLﾘﾝｸ(uberty.org)
（URLが通らないので改行）
loads/2015/11/Peter_M._Neumann_The_Mathematical_Writings.pdf
Heritage of European Mathematics
Peter M. Neumann
The mathematical
writings of
Evariste Galois
2011 European Mathematical Society
P119(内頁107)
Memoir on the conditions for solubility of equations by radicals
（いわゆるガロア第一論文）
This 16 January 1831.
E. Galois
なお
P97(内頁85)
Letter to Auguste Chevalier.
Paris, 29 May 1832
E. Galois
以上
141:１３２人目の素数さん
23/02/01 14:06:40.38 sQMfVFbD.net
>>132-133
uploads が、NGワードかな？ｗ
142:１３２人目の素数さん
23/02/01 15:29:15.16 UecUirTT.net
ガロア理論
ガロア第一論文
ガロア最後の手紙
全て理解出来ないのに
検索だけ出来たと
承認欲求？
143:１３２人目の素数さん
23/02/01 17:27:24.86 sQMfVFbD.net
>>75
>ガロアより以前に置換群論において正規部分群という概念を思いついた
>という人は居ないのだろうか？
戻る
下記が
多少参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Last Mathematical Testament of Galois Indian Academy of Sciences
Classics Volume 4 Issue 10 October 1999
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
The Theory of Equations and the Birth of Modern Group Theory - An Introduction to Galois Theory
B Sury
General Article Volume 4 Issue 10 October 1999 pp 47-60
URLﾘﾝｸ(www.ias.ac.in)
144:１３２人目の素数さん
23/02/01 17:29:48.46 sQMfVFbD.net
>>135
ガロア理論
ガロア第一論文
ガロア最後の手紙
全て理解出来ないので
欲求不満？
しらんがな
くすり付けなよ
バカにつける薬を
145:１３２人目の素数さん
23/02/01 17:42:18.01 FK+j7Kvi.net
>>137
>欲求不満？
あなたが？
>くすり付けなよ
>バカにつける薬を
自分に？
146:１３２人目の素数さん
23/02/02 11:44:24.42 ctSDNTad.net
>>119-120
補足
モジュラス（modulus、複数形は moduli; モジュライ）
下記ね
いまの場合
・除法において割る数（除数）のこと。法
（関連して、レムニスケートなどの曲線のｎ等分）
・楕円函数の母数、率
・モジュライ空間の元
でしょう
そして、ガウスＤＡの合同 mod（含 円周等分）
↓
レムニスケートなどの曲線のｎ等分
↓
モジュラー方程式（等分 19世紀）
↓
モジュラー方程式（モジュライ空間 20世紀）
と意味が変わってきた気がする
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モジュラス（羅: modulus、複数形は moduli; モジュライ）、モジュール (仏: module) は、「測る単位」を意味する。
・絶対値の別名。モジュール、母数とも。
・除法において割る数（除数）のこと。法、法数、モジュールとも。合同式あるいは合同算術の項も参照。「n を法とする」は "モジュロ (modulo) n"
・モジュラスN（Nは数）は、合同式がNを法とすること。特に、その演算を利用したチェックディジット
・剰余演算子（C言語の%の類）
・楕円函数の母数、率
・ハール測度の母数、母数函数（モジュラー函数）、母数指標（モジュラス指標）
・モジュライ空間の元
・物理量の「～係数」、「～率」
・特に、ヤング率 (Young's modulus)
URLﾘﾝｸ(eow.alc)
147:.co.jp/search?q=%5Bmoduli%5D 英辞郎 modulus 名 《物理》係数、率 《数学》法、対数係数、絶対値◆【略】mod. 発音[US] m??d??l?s ｜ [UK] m??djul?s、カナ[US]モジュラス、[UK]モデュラス、変化《複》moduli、分節mod・u・lus
148:１３２人目の素数さん
23/02/02 13:00:28.69 QMkIXy2g.net
本日の承認欲求のお時間が参りました
149:１３２人目の素数さん
23/02/02 21:00:20.97 IR67z+yT.net
>>139
>モジュラス（modulus、複数形は moduli; モジュライ）
2023年のいま、モジュライと言えば、下記中島啓です！
ガウスやガロアのモジュラーにあらず！
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
こんにちは！ 中島啓です！
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
私が書いた記事
・下に書いてある数学セミナー１９９７年８月号の「弦双対性の示唆する22世紀の幾何学 母空間, 保型空間」の増補版です. 数学セミナーでは省略された数学の概念の説明を付け加え, より理解しやすくなりました.
・数学セミナー８月号に原稿が載ります！ タイトルは 「弦双対性の示唆する22世紀の幾何学 母空間, 保型空間」です. お楽しみに.
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
弦双対性の示唆する22世紀の幾何学: 母空間, 保型空間
(増補版: オリジナルは数学セミナー1997年8月号)
目次
1.序
2. 保型形式
3. ４次元多様体上のインスタントン
4.アファイン・リー環とその指標
5.母空間とは？
6.双対性を理解したい！
つづく
150:１３２人目の素数さん
23/02/02 21:00:46.46 IR67z+yT.net
>>141
つづき
1. 序
1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて, 頭を思いっきり殴られたような衝撃を受けたことを, つい昨日のように思い出します. そのメールの内容は次のようなものでした. ４次元多様体 X の上のインスタントン数が n のインスタントンのモジュライ空間 Mnのオイラー数をe(Mn)としたときに,
(1) Z(q) = Σn=0∞ e(Mn) qn
という関数を考えます.
ここで, q は不定元です. (収束の問題は考えず,単なる形式的べき級数と考えています.) このとき, ヴァッファとウィッテンは, 上の関数が保型性を持つという予想をしていて, ある多様体の例, 当時私が研究していたALE空間という４次元多様体の場合に成立しているかどうかを知りたい, と尋ねてきたのでした. (使っている専門用語はおいおい説明して行きます. また, 細かい技術的なことを省くために上の記述にはいろいろと嘘があります.)
このように, 数列(今の場合は e(Mn) (n=0,1,...)のこと)が与えられたときに,上と同じようにして不定元を導入して級数として定義される関数のこ とを母関数といいます. 数列を各項ごとに調べるよりも一度に扱った方が物事が見えてくることが多いので, 母関数を導入して, その性質を調べることは数学の常套手段です. その顕著な例である保型形式を次の章で説明します.
つづく
151:１３２人目の素数さん
23/02/02 21:01:06.85 IR67z+yT.net
>>142
つづき
ヴァッファの質問への答えはイエスであったのですが, 私が衝撃を受けた理由は, 次のものです.
通常は各インスタントン数 n ごとにモジュライ空間 Mn を個別に調べていた. 一つ一つのモジュライ空間 Mn のオイラー数でなく, それらを一度に取り扱った母関数を考えるという発想が新しかった.
その上, 保型性が成り立つことは, モジュライ空間のオイラー数の列を一度に取り扱うことによって初めて見える性質であり, モジュライ空間一つ一つを見ていてるだけでは出てこない性質である. だから保型性を持つというは誰も夢想だにしなかった, 突拍子もないものである.
第一の理由は衝撃的なものではありますが, 当時ドナルドソン不変量の母関数を考えるときれいな構造を持つというクロンハイマー-ムロフカの構造定理が証明されていましたので, その方面の研究者は, そのように考えるのがよいのかもしれないと``もやもや''と感じていました. その意味では, ヴァッファが母関数を考えたことは, 革新的に新しいかと問えばそうでなかったといっていいでしょう. クロンハイマー-ムロフカの構造定理(数学セミナー８月号の亀谷さんの記事に解説があリます)は, 違ったインスタントン数を持つ二つのモジュライ空間の間に関係をつけるような新しい空間(具体的には, ２次元部分多様 体に沿って特異性を持ったインスタントンのモジュライ空間)を導入することで証明されました.
一方, 第二の理由は有限個のモジュライ空間の間の関係として記述できるものではない, という意味で完全に新しいものでしたし, 保型性という数学者にとって親しみのあるものが, 今までまったく関連すると思われていなかった４次元のインスタントンの話題に現れたので驚いたのです. こちらが衝撃を受けた本当の理由です. 特に, 保型性の裏には２次元のトーラスが隠されていることが多いので, ４次元ゲージ理論の新しい広がりを感じさせました.
電子メールへの答えはイエスだったと書きましたが, その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群がアファイン・リー環の表現空間になっているという, ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
(引用終り)
以上
152:１３２人目の素数さん
23/02/02 23:16:03.44 IR67z+yT.net
>>142
> 1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて
ヴァッファさんは、下記ですね
”アンドリュー・ストロミンガーとともにブラックホールのエントロピーの表式を超弦理論におけるソリトンであるDブレーンを用いて統計力学的に導出した”
"2017年 - 基礎物理学ブレイクスルー賞"
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カムラン・ヴァッファ
カムラン・バッファ（Cumrun Vafa，1960年8月1日 - ）は、イラン出身の理論物理学者。専門は素粒子論。
マサチューセッツ工科大学（MIT）を卒業。1985年にプリンストン大学でPh.D.を取得。1990年からハーバード大学教授。
主要な業績
・アンドリュー・ストロミンガーとともにブラックホールのエントロピーの表式を超弦理論におけるソリトンであるDブレーンを用いて統計力学的に導出した。
・Gopakumarとともに3次元Calabi-Yau多様体とGromov-Witten不変量についての研究。
・Seiberg-Witten prepotentialをCalabi-Yau多様体の Gromov-Witten不変量によって定義した。これはMirror対称性予想にも貢献した。
・ロベルト・ダイクラーフとともにDijkgraaf-Vafa理論を提唱した。
受賞歴
・2008年 - ICTPのディラック賞
・2016年 - ハイネマン賞数理物理学部門
・2017年 - 基礎物理学ブレイクスルー賞
著書
「宇宙を解くパズル」大栗博司監訳、水谷淳訳、講談社ブルーバックス 2022年
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
基礎物理学ブレイクスルー賞
賞金は300万ドルと、ノーベル賞受賞者に与えられる金額の2倍以上であり[3][4]、2018年9月現在でこの賞は世界で最も収益性の高い学術賞となっている[5]。この賞を「21世紀のノーベル賞」と称するメディアも存在する[6]。
受賞者
2017年
場の量子論、ひも理論、量子重力理論の変革的進歩に対して[11]
ジョセフ・ポルチンスキー カリフォルニア大学サンタバーバラ校
アンドリュー・ストロミンジャー、カムラン・ヴァッファ ハーバード大学
153:１３２人目の素数さん
23/02/03 06:27:33.41 wWgl+Bdv.net
>>141-144
>2023年のいま、モジュライと言えば、中島啓です！
>ガウスやガロアのモジュラーにあらず！
承認欲求君はガウスもガロアも完全に諦めたらしい
数学全てを諦めるまであと一歩だね
154:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:00:35.42 wWgl+Bdv.net
>>141-144
>保型空間
>保型形式
.> ４次元多様体 X の上のインスタントン数が n のインスタントンのモジュライ空間 Mnのオイラー数をe(Mn)としたときに,
> (1) Z(q) = Σn=0∞ e(Mn) q^n
> という関数を考えます.(q は不定元です. (収束の問題は考えず,単なる形式的べき級数と考えています.) )
> このとき, ヴァッファとウィッテンは, 上の関数が保型性を持つという予想をしていて,
> ある多様体の例, 当時私が研究していたALE空間という４次元多様体の場合に成立しているかどうかを知りたい,
> と尋ねてきたのでした.
> 保型性が成り立つことは, モジュライ空間のオイラー数の列を一度に取り扱うことによって初めて見える性質であり,
> モジュライ空間一つ一つを見ていてるだけでは出てこない性質である.
> だから保型性を持つというは誰も夢想だにしなかった, 突拍子もないものである.
> (上記の)理由は有限個のモジュライ空間の間の関係として記述できるものではない,
> という意味で完全に新しいものでしたし,
> 保型性という数学者にとって親しみのあるものが,
> 今までまったく関連すると思われていなかった
> ４次元のインスタントンの話題に現れたので驚いたのです.
> こちらが衝撃を受けた本当の理由です.
> 特に, 保型性の裏には２次元のトーラスが隠されていることが多いので,
> ４次元ゲージ理論の新しい広がりを感じさせました.
> 電子メールへの答えはイエスだったと書きましたが,
> その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群が
> アファイン・リー環の表現空間になっているという,
> ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
三角関数もろくに扱えん人が、
保型形式とかいっても無駄よ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
155:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:04:02.72 wWgl+Bdv.net
>>146
モジュラ形式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アイゼンシュタイン係数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
な、全然わかわからんやろ
やめとき
156:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:09:56.31 wWgl+Bdv.net
>>147
アイゼンシュタイン級数に関連して
ベルヌーイ数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマンゼータ関数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
約数関数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テータ関数
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
E8格子
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ラマヌジャン
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
な、どれ一つ全然わからんやろ
やめとき
157:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:20:32.79 wWgl+Bdv.net
>>148
ベルヌーイ数に関連して
異種球面
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
球面のホモトピー群
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ヒルツェブルフの符号数定理とベルヌーイ数
な、何で球面の微分構造の数や安定ホモトピー群に
ベルヌーイ数が出てくるのか全然わけわからんやろ？
やめとき
158:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:24:06.84 wWgl+Bdv.net
>>149
最後に
ムーンシャイン理論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ああやばいやばいやばい
モジュラー函数も分からん素人が
月光浴びても発狂して死ぬで
やめとき
159:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:36:56.60 0QP90A6z.net
>>147-148
モジュラ形式
から
ラマヌジャン
まで
必死に検索
ごくろさんｗ
全て理解出来ないので
欲求不満？
しらんがな
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137
例えば、日本国憲法
全然わかわからんという人は少ないだろうが
憲法学者なみに分かっていて、講義できるほど理解できている人も少ない
（法律の刑法、民法も同じ。刑法、民法になると、全文読んだ人は少ないだろうが、部分的にはニュースで見たり聞たりしているだろう？ 強盗致傷とか、有罪だ無罪だとかね）
数学も同じだよ
日本国憲法や刑法、民法を、全く知らずに 日本で暮らすこともないだろう
と同様に、数学を全く知らずに 理系（物理学なども）の仕事をする人はいない
モジュラ形式
から
ラマヌジャン
まで
分かっているとは、いわないが
全然わかわからんでもない
今時の教養の一つでしょ？ｗ
全て理解出来ないので
欲求不満？
しらんがな
くすり付けなよ
バカにつける薬を>>137ｗｗｗ
160:１３２人目の素数さん
23/02/03 07:58:12.42 0QP90A6z.net
>>141
モジュライ
向井 茂 先生の本があるね
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
モジュライ理論 I II
代数幾何学的なモジュライ概念を具体例とともに解説．幾何学的不変式論と代数関数論に焦点を絞って論じる．
著者 向井 茂 著
刊行日 2008/12/05
モジュライとは幾何学的対象をパラメータ付けている多様体であり，多様体の隠れた性質を解明する際にプリズムのような役割を果たす．代数幾何学におけるモジュライ概念を具体例とともに解説．とくに，もっとも直接的で大域的なモジュライ構成手法である幾何学的不変式論をくわしく紹介し，代数多様体のモジュライ問題を論じる．
モジュライとは幾何学的対象をパラメータ付けている多様体であり，多様体の隠れた性質を解明する際にプリズムのような役割を果たす．代数幾何学におけるモジュライ概念を具体例とともに解説．とくに，もっとも直接的で大域的なモジュライ構成手法
である幾何学的不変式論をくわしく紹介し，代数多様体のモジュライ問題を論じる．
岩波講座「現代数学の展開」からの単行本化．（全２冊）
■ モジュライ理論 I
第１章 不変式とモジュライ
第２章 環と多項式
第３章 代数多様体
第４章 代数群と不変式環
第５章 商多様体の構成
■ モジュライ理論 II
第６章 商多様体の大域的構成
第７章 Grassmann多様体とベクトル束
第８章 曲線とJacobi多様体
第９章 曲線上の安定ベクトル束
第10章 モジュライ関手
第11章 Verlinde公式と交点数公式
第12章 数値的判定法とその応用
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン オンデマンド
モジュライ理論I Paperback ? January 10, 2019
by 向井 茂
多様体の隠れた性質を解明する際に重要なモジュライ。代数幾何学におけるモジュライ概念を具体例とともに解説。特にモジュライ構成法である幾何学的不変式論とモジュライを用いた代数関数論を取り上げ詳しく論じる。(全2冊)
161:１３２人目の素数さん
23/02/03 08:50:57.05 k1w8ED4r.net
>>151
承認欲求さん
唯一の技「検索」を他人に真似されて拗ねる、と
検索なんて素人でも出来るって
それから保型形式=日本国憲法とか
保型形式なめてるね
理論物理ならともかく工学屋は
モジュラー形式とか一生縁ないよ
よかったな
162:１３２人目の素数さん
23/02/03 11:50:00.26 OOOXQ2PB.net
>>153
あたま、相当悪いなｗ
くすり付けなよ
バカにつける薬をｗ>>137
>>139に書いたけど
１）ガウスから始まり、アーベル・ヤコビ、ガロアと続いた (楕円関数) modular equation 論
(>>115 ガロア ”The last application of the theory of equations is related to the modular equation of elliptic functions.”)
２）下記 中島啓にあるように、これが 楕円曲線→複素トーラス(リーマン面)→(楕円曲線の)モジュライ空間（多様体）
という流れで
３）20世紀末 1997年頃には、モジュライ理論 向井 茂 著>>152
となってきたよってこと（この後の進展は、山下真由子に聞け(数学のみならず物理学との境界における場の理論の研究をしており) URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
４）>>93 笠原乾吉先生の
「モジュラー方程式という語は19世紀数学にはよく登場するが、日本数学会「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている」これが、1990年
これ古いよね！！
いま、2023年で、上記１）～３）だね
類似のことが、Modular equation URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) >>117
にも書いてある
そういうことを、言っているんだよ！！ｗ
（参考） >>141 より
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
中島啓
弦双対性の示唆する22世紀の幾何学: 母空間, 保型空間
(増補版: オリジナルは数学セミナー1997年8月号)
このあと私も, 物理学者からいろいろと質問される機会もあり, また私自身も物理の論文を眺める(読む, 勉強するとは言えませんが)ことが多くなってきました. そのうちに, 双対性というものは非常に新しい発想であり, これを数学的に正当化するためにはおそらく, 現在の空間の概念を根底から覆すまったく新しい概念が導入される必要があるのではないだろうか, と強く感じるようになりました. 数学セミナー�
163:V月号の座談会の中で, 「ポスト多様体」とよばれているもののことですし, 個人的には, 「22世紀の幾何学の舞台」といっています. つづく
164:１３２人目の素数さん
23/02/03 11:50:29.71 OOOXQ2PB.net
>>154
つづき
別に, 22世紀と言う年号には意味はないのですが, 21世紀と言うとすぐ来てしまうので取り敢えずもう少し先に伸ばしておいたと言う程度の意味しかありません.
1997年の四月に日本数学会の幾何学分科会で講演をすることを依頼されました.
せっかく講演するのでしたら双対性の宣伝をしようと思いました. そして, それが数学に新しい枠組みを求めていることを伝えたいと思いました. 双対性は, 現在の数学の枠組みで捉えることのできる予想も提出しているのですが, それを話すことをやめて, 何か我々の感覚から見ると全く親しみがないものを話したい, その様に思いました. 新しいことが起こりつつあることを汲み取って欲しいと思いました. この記事の目的も同じで, 双対性が現在の我々の枠組みから出ていることを感じていただきたいと思います.
アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開もよく知られていて
Ek(z) = 2ζ(k) + 2 (-2πi)k / (k-1)! Σn=1∞ σk-1(n) qn
となります. ζ はリーマンのζ関数で, σk-1(n)は, n の約数の k-1乗の和です. σk-1(n)という初等整数論的な数をまとめると, 保型形式になるところが興味深いですね. σk-1(n)を各n ごとに見ていただけでは何も見えてきませんが, 全部まとめて母関 数を考えると, アイゼンシュタイン級数となって全く違うやり方で定義することが出来る様になる. そちらで見ると, 保型性が簡単に分かる. そういう筋道になっています. 母関数のありがたみは, そういうところにあります.
我々の４次元ゲージ理論のように他の分野と保型形式が思わずに繋がりを持つという話は, 他にもたくさんあると思いますが, 筆者に印象深いのは次の例です. モンスターとよばれる位数が最大の散発型単純群の既約表現の次元が, j 関数とよばれる保型形式(ウェイトは0 ですが)のフーリエ級数の展開の係数と関係があることをマッケイとトンプソンが観察しました.
つづく
165:１３２人目の素数さん
23/02/03 11:50:53.45 OOOXQ2PB.net
>>155
つづき
その後, 頂点代数と言う非常に大きな無限次元代数が存在して, その自己同型群がモンスターであり, 頂点代数の表現が次数を持っていて次元を並べたものが j関数になっていると言う説明がフレンケルやボーチャーズ達の仕事によって明らかにされました. モンスターと言う群は, 単純群の分類の仕事の途中で発見された群で, 複雑なものなのですが, それが一見何の繋がりもない j関数(こちらはよく知られた保型形式)と関連するところが興味深いところです. このように思わぬところに顔を出すところに, 保型形式の奥の深さを感じます.
次に, 保型形式と楕円曲線(トーラス)の関係を説明しましょう. 楕円曲線とは, 複素平面を 1と上半平面の点zで生成される格子で割ってできる1次元の複素多様体です. 実多様体としては, 2次元のトーラスです. 実は, zとz'が SL2(Z)で移りあっているときは, 対応する楕円曲線は複素多様体として同型であることが分かります. 楕円曲線の全体を考え, 同型なものを同じと見なしてできる空間を(楕円曲線の)モジュライ空間と言います. 従って, 重みが0の保型形式は, モジュライ空間上の正則関数に他なりません. 重みがkのものは, モジュライ空間上のある直線束の正則な切断です. このように見れば, 保型形式と楕円曲線が関係することは明らかです.
(引用終り)
以上
166:１３２人目の素数さん
23/02/03 12:03:39.71 mlSrcqaW.net
>>154-156
承認欲求さん、恒例のマウンティング
旧きを温ね新しきを知る
ってことなんですがね
母空間と母関数(アイゼンシュタイン級数)の比較がいい例
これで19世紀と21世紀は繋がった
167:１３２人目の素数さん
23/02/03 12:09:34.63 mlSrcqaW.net
幾何学版ムーンシャインなのよ
マッカイもビックリ
168:１３２人目の素数さん
23/02/03 15:19:47.62 vBQNBbX6.net
John K. S. McKay (18 November 1939 – 19 April 2022)[1][2] was a British-Canadian mathematician and academic who worked at Concordia University, known for his discovery of monstrous moonshine, his joint construction of some sporadic simple groups, for the McKay conjecture in representation theory, and for the McKay correspondence relating certain finite groups to Lie groups.
169:１３２人目の素数さん
23/02/03 17:12:14.46 OOOXQ2PB.net
>>159
>John K. S. McKay (18 November 1939 – 19 April 2022
ああ、McKay さん、昨年亡くなられていたのか。コロナかも、ご冥福をお祈りいたします
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematician)
John K. S. McKay (18 November 1939 ? 19 April 2022)
>>158
>幾何学版ムーンシャインなのよ
>マッカイもビックリ
それもある
それもあるけど、
IMU（国際数学連合）が、物理とか関連分野との関係を相当重視しているってことでしょ？
中島啓総裁は、その一例で、
モンストラス・ムーンシャインも弦理論や頂点作用素代数などを用いて証明された
なので、ボーチャーズ氏は、フィールズ賞
ミルザハニさん、下記エドワード・ウィッテンの推測に新たな証明を与え、「リーマン面とそのモジュライ空間の力学と幾何学に関する顕著な業績」を理由にフィールズ賞を受賞
ここらの視点は重要です
モジュライ空間：物理と隣接しているってこと
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モンストラス・ムーンシャイン
1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マリアム・ミルザハニ 1977年5月12日[1] - 2017年7月15日[8][2]
業績
ミルザハニはリーマン面のモジュライ空間の理論についていくつかの業績を上げている。
彼女は、モジュライ空間におけるトートロジー集合の交差数に関するエドワード・ウィッテンの推測に新たな証明を与え、またコンパクトな双曲面における単純な閉測地線の長さに関する漸近線の公式を導き出した。
2014年にミルザハニは「リーマン面とそのモジュライ空間の力学と幾何学に関する顕著な業績」を理由にフィールズ賞を受賞した[27]。
170:１３２人目の素数さん
23/02/03 19:36:40.51 wWgl+Bdv.net
>>160
数学だけじゃなく物理も承認欲求か
勉強大嫌いなのにね
中島啓は「微分幾何学の最先端」でも
「ディンキン図式をめぐって―数学におけるプラトン哲学」
とか書いてるくらいだから、ガチなムーンシャイナー
ていうか、ADE分類はプラトンの多面体以来だから
紀元前のギリシャ以来２０００年以上の伝統数学だよ
わかってる？
ガロアの最後の手紙もADEに関係してるし
グロタンディクの12のテーマの最後も
「正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究」
だからADEだね
171:１３２人目の素数さん
23/02/03 21:30:19.76 0QP90A6z.net
>>143
>その理由はALE空間の上のインスタントンのモジュライ空間のホモロジー群がアファイン・リー環の表現空間になっているという, ちょうどその直前に私がやったばかりの仕事を使うと分かるわけでした.
ALE：ALE（Asymptotically Locally Euclidean）空間
重力インスタントン
インスタントン
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
場の量子論 第25回 インスタントン
taku物理
2021/02/06
場の理論のトンネル効果に該当するインスタントンについて。
URLﾘﾝｸ(chuo-u.repo.nii.ac.jp)
中央大学
インスタントンの宇宙項への寄与 理工学研究科物理学専攻
小用晃 著 ・ 2012
インスタントン(インスタントン解) とは、有限なユークリッド作用から得られる局在解のことであり、ソリトン とは異なり、時間的にも局在している。
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
Yuji Tachikawa
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
日本語による解説記事
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
[pdf] ヤン=ミルス゛理論とインスタントン
数学セミナー増刊「ミレニアム賞問題」、2010年7月、6ページ。何かミレニアム賞問題について書けと言われたが、質量ギャップ問題は何も知らないので、自分の知っているインスタントンの話について書いた。
立川 裕二
2 インスタントンとは
式略 (6)
を解けば良い、
そのとき S[A] = 8π^2k となりま
す。k は物理ではインスタントン数、数学では第二
チャーン数と呼ばれる量です。
以上のような考察から、この方程式 (6) の解を調
べると、ヤン=ミルズ理論を理解する手がかりにな
るのではないかと考えられました。1970年代のこと
です。解のことをインスタントンと呼びます。
つづく