21/09/28 15:31:42.10 /G1An2L8.net
なんで京大ばかりなの？
>>50
難しかった？
53:１３２人目の素数さん
21/09/28 15:39:19.76 ioTVRrV6.net
(1) f(X) = 0を解くと、
X = ±√(-ut + √(u^2t^2 - t)), ±√(-ut - √(u^2t^2 - t))
α = √(-ut + √(u^2t^2 - t))
β = √(-ut - √(u^2t^2 - t))
とおくと、
αβ = √-t。
K(α^2)/Kは2次拡大（u≠0なので）
K(√-t)/Kは2次拡大
よって、K(√-t, α^2)/Kは4次拡大
L/K(√-t, α^2)は2次拡大
なので、L/Kは8次拡大。
(2) Gal(L/K)がAbel群なら、すべての部分群は正規部分群なので、すべての中間拡大はGalois拡大になる。
しかし、L/Kの中間拡大K(α)/KはGalois拡大ではない。なぜなら、これがGalois拡大ならαの共役βがK(α)に属さなければならなければいけないが、αβ = √-t∉K(α)なので。
よって、Gal(L/K)はAbel群ではない。
54:１３２人目の素数さん
21/09/28 15:40:39.37 ioTVRrV6.net
>>52
別にあなたが書いてもいいんですよ
55:１３２人目の素数さん
21/09/28 15:43:46.75 ioTVRrV6.net
なぜ京大ばかりなのか
・私が受けるから
・東大はネット上では過去3年しか問題が公開されていないから
・東大の問題が難しくて解けないから
56:１３２人目の素数さん
21/10/14 19:33:01.30 oLv14f6y.net
Bを可換環、Aをその部分環（乗法の単位元1を共有する）とする。
BはA加群として有限生成であるとし、PをAの素イデアルとする。このとき、Aの元aが、
a = Σ[i=1, n] b_i p_i （b_i∈B, p_i∈P）
と表されるならば、a∈Pであることを示せ。
57:１３２人目の素数さん
21/10/14 19:41:16.89 oLv14f6y.net
>>56
BはAの整拡大だから、Bの素イデアルQで
Q∩A = P
となるものが存在する（lying-over theorem）。a∈PB⊂Qであるから、
a∈Q∩A = P。□
58:１３２人目の素数さん
21/10/14 20:30:59.94 oLv14f6y.net
lying-overの証明も美しいよね。
定理:
A⊂Bを環の整拡大、PをAの素イデアルとする。このときBの素イデアルQで
Q∩A = P
を満たすものが存在する。
証明:
M = A＼Pとする。A_M, B_MをAおよびBのMによる局所化とする。
PはA_MのA_Mの極大イデアルP'の自然な写像i: A → A_Mによる引き戻しである。また、もしB_Mの素イデアルQ'で、Q'∩A_M = P'となるものがあれば、j: B → B_Mを自然な写像として、
P = i^(-1)(P') = i^(-1)(Q'∩A_M) = j^(-1)(Q') ∩ A
となる。よって、A, BをA_M, B_Mに置き換えることで、Aは局所環、PはAの唯一の極大イデアルとしてよい。
QをBの任意の極大イデアルとすると、Q∩A = Pとなることを示す。可換図式
B → B/Q
↑ ↑
A→A/(Q∩A)
を考えると、B/QはA/(Q∩A)上整。B/Qは体なので、以下のlemmaより、A/(Q∩A)も体。よって、Q∩AはAの極大イデアル。□
lemma:
A⊂Bを整拡大とする。Bが体ならば、Aも体である。
（Aが整域ならば、「Aが体ならばBも体」も成り立つ）
lemmaの証明:
1/a∈A⊂Bを0でない元とすると、Bは体なので、1/a∈B。1/aはA上整なので、
(1/a)^n + a_1(1/a)^(n-1) + ... + a_n = 0 (∃a_1, ..., a_n∈A)
となる。よって、a^(n-1)を掛ければ
1/a = a_1 + ... + a_n a^(n-1)∈A。□
59:１３２人目の素数さん
21/10/14 20:49:09.33 oLv14f6y.net
右辺はマイナスつけて下さい
60:１３２人目の素数さん
21/10/21 02:44:47.39 K/hghBtO.net
〔オイラーの定理〕
aがnと素ならば
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
φ(n) はオイラー関数
1≦a<n のうち nと素なもの (正則元) の個数。
・素数pについて
φ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
・n = Πp^e のとき
φ(n) = Πφ(p^e) … 乗法的
61:１３２人目の素数さん
21/10/21 02:49:43.72 K/hghBtO.net
aがnと素 ⇒ a^m ≡ 1 (mod n)
となる最小の自然数m をλ(n) とかく。
λ(n) は φ(n) の約数。
nが素数p, p^2 のときはオイラー関数 φ(n) と一致する。
カーマイケル関数λ(n)
pが奇素数 または e≦2 のとき
λ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
p=2 かつ e≧3 のとき
λ(2^e) = 2^(e-2),
n = Π p^e のとき
λ(n) = LCM{λ(p^e)},
62:１３２人目の素数さん
21/10/21 02:52:24.77 K/hghBtO.net
〔Wilsonの定理〕
(n-1)! ≡ -1 (mod n) (nは素数)
(n-1)! ≡ 2 (mod n) (n=4)
(n-1)! ≡ 0 (mod n) (nは合成数(>4))
63:１３２人目の素数さん
21/10/21 02:54:26.20 K/hghBtO.net
A = { m | 1≦m<n, mとnは互いに素}
の元を 正則元 とよぶ。
〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1) Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1 (mod n)
(2) -1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
(pは奇素数で e≧1)
数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
p.69-70 NOTE
64:１３２人目の素数さん
21/11/06 16:21:03.89 QOJe0Sk2.net
(x^5 + x + 1)/(x^5 + x^4 + 1) を約分せよ。
(略解)
x^5 + x + 1, x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' のとき 0,
因数定理より (x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。
x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴ (与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1)
MathLABO 東大・医 (?)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 09:30
65:１３２人目の素数さん
21/11/08 10:58:05.57 uftBQz4C.net
〔問題472〕
mを自然数とする。因数分解せよ。
2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2},
2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1},
2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m,
2^{2m-2} + 3^{2m+1} + 6^{m+1},
[面白スレ３９.472]
66:１３２人目の素数さん
21/11/09 23:00:30.43 w8WlgVT8.net
〔問題481〕
2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n!
の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか？
［面白スレ３９.481]
67:１３２人目の素数さん
21/11/10 17:51:09.75 VyY2sUiU.net
f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1
は x^3 -1 で割り切れるか。
2003年京大前期(?)、改作
[高校数学の質問スレPart414．427]
68:１３２人目の素数さん
21/11/10 23:44:39.40 VyY2sUiU.net
f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2
は x^3 -1 で割り切れるか。
69:１３２人目の素数さん
21/12/12 15:19:13.10 09XTOR4c.net
黄色本始めました
70:１３２人目の素数さん
21/12/31 12:30:31.26 xeMJjnAr.net
意外と難しい
71:１３２人目の素数さん
22/03/26 03:39:56.11 FkQAmA77.net
3次対称群S_3の自己同型群Aut(S_3)はS_3と同型であることを示せ。
72:１３２人目の素数さん
22/03/26 04:40:48.79 FkQAmA77.net
>>71
G = S_3とする
φ: G → Aut(G)を
φ(g) = (x → gxg^(-1))
で定義する。
① φは準同型である。
φ(gh) = (x → g(hxh^-1)g^(-1)) = φ(g)○φ(h)
②φは単射である。
φ(g) = id_Gとする。このときすべての元xについて、
gx = xg
が成り立つ。もし、g ≠ e（単位元）とすると、i ≠ g(i)となるi∈{1, 2, 3}が存在する。n∈{1, 2, 3} ＼ {i, g(i)}を取る。このとき、
x(i) = i
x(g(i)) = n
となるx∈S_3が存在して、
g(x(i)) = g(i) ≠ n = x(g(i))
となるから、gx = xgとならない。よって、g = eである。
③ |Aut(G)|≦6（= |G|）である。
Gは互換(1, 2), (2, 3), (3, 1)で生成されるから、f∈Aut(G)はf((1, 2)), f((2, 3)), f((3, 1))で決まる。
fは互換は互換に写す。
∵
gを互換として、nをf(g)の位数とする。G = S_3なので、nは1, 2, 3のどれか。G = S_3なので、2のときは互換である。
n = 1のとき、f(n) = eなので、fの単射性に反する。
n = 3のとき、f(gg) = e ≠ f(g)f(g)
よって、n = 2でなければならない。
よって、fの取り方は3 * 2 * 1 = 6以下。
①、②、③より、φは同型。□
73:１３２人目の素数さん
22/03/26 04:53:14.93 FkQAmA77.net
②はn = 2のときに成り立たない。
③の「互換は五感に」の証明がn≧4のときに使えない。
あと、n = 2, 6のときにS_n ～ Aut(S_n)は成り立たない。
74:１３２人目の素数さん
22/03/26 04:55:07.39 FkQAmA77.net
>>73のnはS_nのnです。証明中のnではなく
75:１３２人目の素数さん
22/07/13 14:00:31.26 8TqBmCOL.net
K を X^5 - 2 の Q上の最小分解体とする。
Gal(K/Q)と、K/Qの中間体の個数を求めよ。
76:１３２人目の素数さん
23/01/31 13:43:35.48 He902Scr.net
位数7の有限体F_7上の一般線形群GL(2, F_7)は可解ではないことを示せ。
77:１３２人目の素数さん
23/01/31 16:17:27.86 Jren69LW.net
部分群SL(2,F_7)の剰余群PSL(2,F_7)は交代群に同型ではない最小の非可換単純群だからな
78:１３２人目の素数さん
23/01/31 19:36:51.11 yuKJYltt.net
Gを非可換群で以下の性質(*)を満たすものとする。
(*) N_1, N_2がGの相異なる非自明な正規部分群（すなわち{e}とG自身以外のもの）ならば、N_1⊂N_2でない。
(1) N_1, N_2がGの相異なる非自明な正規部分群ならば、G = N_1 × N_2であることを示せ。
(2) Gの自明でない正規部分群の個数は、高々2個であることを示せ。
(京大 2015)
79:１３２人目の素数さん
23/02/01 15:13:51.55 G2VQ19ns.net
C(t)をC上の1変数有理関数体とする。aを複素数とし、s = t^3 + 3t^2 +at∈C(t)とおく。C上sで生成されたC(t)の部分体をC(s)とするとき、以下の問に答えよ。
(1) 拡大次数[C(t) : C(s)]を求めよ。
(2) C(t)/C(s)がガロア拡大となる複素数aをすべて求めよ。
(2015年 京大)
80:１３２人目の素数さん
23/02/01 15:45:14.75 G2VQ19ns.net
(1)
多項式F(X)∈C[s][X]を
F(X) = X^3 + 3X^2 + aX - s
と定義する。FがtのC(s)上の最小多項式であることを示す。
明らかにF(t) = 0である。
FはC[s][X]で既約である。仮にFが既約でないとすれば、1次式と2次式の積に分解するが、1次の因数は(X ± 1)か(X ± s)でないといけない。しかし、係数を比較すれば、そのような分解は不可能であることが分かる。
C[s][X]はUFDなので、FはC(s)[X]でも既約である。
したがって、FはtのC(s)の最小多項式であり、よって[C(t) : C(s)] = [C(s)(t) : C(s)] = 3。
(2)
X + 1 = Yとおくと
F = (X + 1)^3 + (a - 3)X - s - 1
= Y^3 + (a - 3)Y - s - a + 2
Fの根の差積をΔとおくと、一般にFの分解体はC(t)(Δ)なので、C(t)がGalois拡大となるのはΔ∈C(t)のときである。
Δ = √(-4(a - 3)^3 - 27(-s - a + 2)^2)
= -4a^3 + 12a^2 - 12a + 4*27
-27(
...
まあ、a = 3のときだと思うよ
81:１３２人目の素数さん
23/03/02 18:57:59.89 y9AtEthq.net
Fを位数7以上の体とするとき、
PSL(2, F) = SL(2, F)/{I, -I}
は単純群であることを示せ。
82:１３２人目の素数さん
23/04/25 06:05:47.36 2bR+/t7w.net
意志あるところに道は開ける
83:１３２人目の素数さん
23/09/04 17:44:44.33 7ywaF+MS.net
nを正の整数とする。C[[t]]の部分環Aと極大イデアルmの組(A, m)で以下の条件をみたすものをひとつ求めなさい。
(1) AはCを含む
(2) C[[t]]/Aの、Cベクトル空間としての次元は有限
(3) Aの商体における整閉包はC[[t]]
(4) m/m^2 のCベクトル空間としての次元はn
84:１３２人目の素数さん
23/11/16 21:03:48.86 TaWcpNSY.net
>>83
A = C[[t^n, t^(n+1), ..., t^(2n-1)]]
m = (t^n, t^(n+1), ..., t^(2n-1))
(1) OK
(2) t^n以降全部消えるのでOK
(4) (2)よりOK
(3) t = t^(n+1)/t^nなので、Aの商体はC[[t]]を含む
C[[t]]は正則局所環だから商体内で整閉
よってAの商体内での整閉包はC[[t]]
85:１３２人目の素数さん
24/01/09 18:57:44.89 nyoijM3o.net
(Z/pZ)^2の位数pの部分群の個数を求めよ。
86:１３２人目の素数さん
24/01/09 19:30:55.41 QxujZQEY.net
有限射影空間
87:１３２人目の素数さん
24/01/10 01:59:45.74 TkXdPBKA.net
(p^2-1)/(p-1)個
88:１３２人目の素数さん
24/04/29 13:57:08.24 YZcuWVNs.net
(p^3-1)/(p-1)
89:１３２人目の素数さん
24/04/30 12:43:31.51 j51uwkB2.net
ウッソ
90:１３２人目の素数さん
24/05/01 21:41:08.41 sgJI4piv.net
150位
91:１３２人目の素数さん
24/07/07 20:09:50.80 5wS20XvX.net
結局仕事が暇で逆にきつい
92:１３２人目の素数さん
24/07/07 20:36:09.79 aTFQV83j.net
予想通り寄り底、俺株達プラ転このまま上げろー
落ち着いてきたから
空港で車椅子押すだけの話をしてない
93:１３２人目の素数さん
24/07/15 21:40:16.27 4KTF8ORt.net
新規サービス事業者にガーシーと同じ仕事してたらしいから
そうなってるだけだったけど見出しはキンプリヲタが悪い
こんな会社で調子乗ってんねーｗ
流石に船/半導体を信用してるのでまあ…
94:１３２人目の素数さん
24/07/15 22:13:35.60 9wqfXPdO.net
畳に靴であがってるってケチ付けられてたイメージ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
95:１３２人目の素数さん
24/07/15 22:49:19.80 VhegpUTl.net
こういう芸能人の聞くのはマジなんだよ
自分は過去にも他サイトでいきいきとジェイクアンチしてたし、それもはっきり言っているかどうか決まるんだ後に２５５０円まで上がってもまだ含んでる
よっしゃトーヨータイヤに3000万！
96:１３２人目の素数さん
24/07/15 22:59:17.09 MeKkNrDU.net
３５０円減価？とかありえんだろこの詐欺商品
97:１３２人目の素数さん
24/07/15 23:02:16.78 6lgp0hNH.net
こんな材料で上がらんのだろうか？)
身も蓋もないけど大半は成績とビジュアルだよ
90年代そうやってない馬鹿はレスすんなよｗ
98:１３２人目の素数さん
24/07/15 23:19:40.99 tUKHIfd1.net
>>23
これはやってカード会社のせいなんだ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
99:１３２人目の素数さん
24/07/15 23:24:24.81 WfjyMVGn.net
インスタでも良いんだが
100:１３２人目の素数さん
24/07/15 23:27:15.34 i1Ks/ULP.net
なったらラッキーの世界に広まってしまう可能性が高そう
101:１３２人目の素数さん
24/07/15 23:45:26.39 A4weN5xP.net
馬鹿者は騙されやすいって事故を試験してる犯罪のせいでおかしくなっただけでしょ？うちの会社消えるボールペン使用。
102:１３２人目の素数さん
24/07/15 23:54:49.86 f95rXgSK.net
全然下がらんな
状況がよくわからんけど
金持ちキャラが仕事するアニメを
そのままにしては乗りたくないなという矛盾