21/03/31 03:17:34.47 pB24Au2w.net
>>508
勘のいい子は三平方を説明するときの、正方形の四辺に直角三角形の斜辺を貼り付けた図をすぐ思い付くんじゃないかな
519:１３２人目の素数さん
21/03/31 03:31:17.45 /C5TwyyR.net
>>508だけど、今の小学生はルート√は習うのかな？学習するのは中学生からだったかな？
いずれにせよ、小学生が解くならば√は知らないから、図形を組み合わせて解答するしかないか。
共通テストの第一問で出題したら、受験生の半分がテンパりそうな問題だな（笑）
520:１３２人目の素数さん
21/03/31 08:23:45.68 /UkXl8oK.net
アルゴリズムの世界的権威の著者らが書いた世界的権威のあるアルゴリズムの本に、以下が成り立つと証明なしで書いてあります。
Rが例えば整域でなくても、本当に以下が成り立ちますか？
Rを乗法に関する単位元1をもつ可換環とする。
ωをRの元とし、以下の条件を満たしているものとする。
ω ≠ 1
ω^n = 1
1 ≦ p ≦ n - 1に対して、1 + ω^p + (ω^p)^2 + (ω^p)^3 + … + (ω^p)^(n-1) = 0
このとき、
X^n - 1 = 0の解の集合は、{1, ω, ω^2, …, ω^(n-1)}である。
521:１３２人目の素数さん
21/03/31 08:28:28.26 4M8E3Zan.net
成り立つ
522:１３２人目の素数さん
21/03/31 08:56:55.28 /UkXl8oK.net
>>512
証明してください。
523:１３２人目の素数さん
21/03/31 09:36:18.57 /UkXl8oK.net
>>512
成り立ちませんね。
524:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:17:08.29 B295tPVx.net
成り立つ
525:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:27:02.98 /UkXl8oK.net
>>515
証明してください。
526:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:35:00.69 B295tPVx.net
>>516
君に学問は無理です
もう諦めなさい
527:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:38:43.45 yyZA7esc.net
>>504
100万シミュレーション。
sim <- function(n=31){
M=complex()
M[1]=1+ifelse(rbinom(1,1,3/5),1-1i,-1+1i)
for(j in 1:(n-1)){
M[j+1]=M[j]+ifelse(rbinom(1,1,3/5),1-1i,-1+1i)
}
M[n]
}
re=replicate(1e6,sim())
結果
> summary(cbind(m=Re(re),fat=Im(re)))
m fat
Min. :-18.000 Min. :-29.000
1st Qu.: 4.000 1st Qu.: -9.000
Median : 8.000 Median : -7.000
Mean : 7.196 Mean : -6.196
3rd Qu.: 10.000 3rd Qu.: -3.000
Max. : 30.000 Max. : 19.000
>
実数部をmuscle、虚数部をfatとしてグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
528:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:53:12.54 AgG38hC2.net
（ ・∀・）＜ とぼけた顔して可換環
529:イナ
21/03/31 10:53:29.37 fqc5FMt5.net
前>>373
>>508
x(1+√3)=20
x=20/(1+√3)
x^2=400/(4+2√3)
=200/(2+√3)
V=x(x+x√3/2)
=x^2(1+√3/2)
=x^2(2+√3)/2
=200/2
=100(c㎡)
530:イナ
21/03/31 11:20:11.34 fqc5FMt5.net
前>>520別解。
>>508
正方形と正三角形を円環状に並べると、
求める面積は、
同じ長さの辺を持つ正十二角形の面積の1/6
正十二角形の中の一辺20cmの正方形からはみ出した部分の面積は、
V/2の4つ分だから、
20×20+V/2×4=6V
4V=400
∴V=100(平方cm)
531:１３２人目の素数さん
21/03/31 11:34:45.03 /UkXl8oK.net
>>511
反例がありますね。
アルゴリズムの世界的権威でも、専門分野から少し外れると、こんな初歩的なミスをするんですね。
532:１３２人目の素数さん
21/03/31 11:55:30.04 yyZA7esc.net
>>490
厳密解が出せるはず。
533:１３２人目の素数さん
21/03/31 12:34:13.85 i5fM6HxW.net
シミュレーションには向きません
複素平面上の相異なる2点A(α),B(β)に対して、w=αβとおく。
点P(w)とするとき、複素平面の原点O(0)とPが直線ABに関して線対称となるために、複素数αとβが満たすべき条件を求めよ。
534:１３２人目の素数さん
21/03/31 13:59:03.74 B295tPVx.net
w≠0のとき
re(α/w)=1/2, re(β/w)=1/2
w=0のとき
β^をβの複素共役とするときαβ^∈R
535:１３２人目の素数さん
21/03/31 16:13:28.74 8O7QNadM.net
>>503
第一余弦定理より
a + b + c = (b+c)cos(A) + (c+a)cos(B) + (a+b)cos(C)
a,b,c と cos(A),cos(B),cos(C) は逆順序だからチェビシェフで
≧ (2/3)(a+b+c) {cos(A) + cos(B) + cos(C)},
∴ cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3/2,
(a+b+c){cos(A) + cos(B) + cos(C)} - (a+b+c)
= a cos(A) + b cos(B) + c cos(C) (← 第一余弦定理)
= 2a cos(B)cos(C) + 2b cos(C)cos(A) + 2c cos(A)cos(B)
= 4R {sin(A+B+C) + sin(A)sin(B)sin(C)} (← 加法公式)
= 4R sin(A)sin(B)sin(C) (← A+B+C=π)
= abc/2RR (← 正弦定理)
= 2S/R
> 0,
∴ cos(A) + cos(B) + cos(C) > 1,
536:１３２人目の素数さん
21/03/31 17:49:51.43 JGWnraRa.net
10^2 + 1^2 = 101
588^2 + 2353^2 = 5882353
みたいな
a^+b^2 = (ab)_10
を満たすような数って他にありますか？？？
(_10は十進数表記です。)
あれば教えてほしいです！
537:１３２人目の素数さん
21/03/31 18:01:25.01 B295tPVx.net
[(10,1),(12,33),(10,100),(88,33),(990,100)]
538:１３２人目の素数さん
21/03/31 18:07:39.93 B295tPVx.net
a+b≦5000
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
539:１３２人目の素数さん
21/03/31 19:21:20.91 u6ErDboE.net
>>523
49131.17円
540:１３２人目の素数さん
21/03/31 20:34:34.43 yo5I1sgO.net
>>527
ごめん、a,bは互いに素である条件ぬけてた
541:１３２人目の素数さん
21/04/01 05:32:38.86 l7n5MEm5.net
三平方の定理も使わずに解答するのは、逆に難しいな。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
542:１３２人目の素数さん
21/04/01 07:18:09.76 XiUFMgcQ.net
>>527
9999以下で探索させた結果
> re
[,1] [,2]
[1,] 10 1
[2,] 588 2353
しかヒットしなかった。
オマケ：総当たりのコード
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:866番)
543:１３２人目の素数さん
21/04/01 08:41:36.38 IZVEfrs5.net
>>532
正方形の面積はその動画にあるように対角線を一辺とする正方形の面積の半分でこっちはわりと簡単だろう
円の方をなんかややこしい解き方をしているけど、そっちも対角線を一辺とする正方形にすっぽりはまる円の面積の半分として計算すればすぐわかる
544:１３２人目の素数さん
21/04/01 10:31:34.40 nY7D84Mz.net
R を乗法に関する単位元をもつ任意の可換環とする。
a ∈ R が a^(2*n) = 1 を満たすならば、 a^n = 1 or -1 はかならず成り立つか？
545:１３２人目の素数さん
21/04/01 10:38:20.60 +HTiLAOF.net
R=Z×Zにはx^2-1=0の解は4つある
546:１３２人目の素数さん
21/04/01 15:58:54.20 gGoQj9hx.net
>>535
R=Z/8Zとするとx^2=1の解の集合は{1,3,5,7}で成り立たない。
これは>>511 の反例。
547:１３２人目の素数さん
21/04/01 16:15:17.99 GyNdrsdh.net
>>537
504の反例にはなっていない
x^n-1が複数の因数分解を持っているだけ
548:１３２人目の素数さん
21/04/01 16:30:59.63 dDDGBIFk.net
△ABCの辺AB上に点Pを、辺AC上に点Qをとり、△APQ=1/3△ABCとなるようにせよ。ただしP,Qは点A,B,Cのいずれにも一致しないものとする。
549:１３２人目の素数さん
21/04/01 17:23:02.79 xUrkRBVP.net
>>539
ABCの形状をランダムに選んでAPQを作図させた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
550:１３２人目の素数さん
21/04/01 17:44:33.14 dDDGBIFk.net
>>540
定規とコンパスで作図可能であることを示さないと無意味
その書き込みに意味ないね、出直して来い
551:１３２人目の素数さん
21/04/01 18:25:08.32 nY7D84Mz.net
アルゴリズムの世界的権威の著者らが書いた世界的権威のあるアルゴリズムの本に、以下が成り立つと証明なしで書いてあります。
本当に以下が成り立ちますか？
Rを乗法に関する単位元1をもつ可換環とする。
n・1 ≠ 0 とする。
ωをRの元とし、以下の条件を満たしているものとする。
ω ≠ 1
ω^n = 1
1 ≦ p ≦ n - 1に対して、1 + ω^p + (ω^p)^2 + (ω^p)^3 + … + (ω^p)^(n-1) = 0
ψ^2 = ω であるとする。
このとき、
ψ^n = -1
が成り立つ。
552:１３２人目の素数さん
21/04/01 18:46:01.81 6dm7nGOH.net
なに繰り返してんねん
553:１３２人目の素数さん
21/04/01 19:00:54.65 nY7D84Mz.net
前とは違う質問です。
554:１３２人目の素数さん
21/04/01 19:29:41.05 dDDGBIFk.net
aを正の実数とする。0≦x≦πにおける実数xの関数f(x)を、
f(x)=(x+sinx+a)^2+(cosx+3)^2
により定義する。
f(x)は何個の極値を持つか。
555:１３２人目の素数さん
21/04/01 20:37:13.63 dO/Tcd28.net
f'(x) = 2 ((a + x) cos(x) + a + x - 2 sin(x))
が端点で極値を取ると言えるかどうか微妙
通常は入れないが高校の多くの教科書は明文化してないので通常はその問題が発生しないように省がないとダメ
556:１３２人目の素数さん
21/04/01 21:11:14.44 xsHi3J8K.net
>>541
プログラムで書けばいいじゃん。
別に紙の上に書く必要もないし。
557:１３２人目の素数さん
21/04/01 21:12:51.01 MQ2/uV15.net
>>542
馬鹿アスペ一号
558:１３２人目の素数さん
21/04/02 02:38:17.56 cbxK/qfX.net
>>541
定規とコンパスを作って作図せよとか書けよ
正確に問題も出せないくせに内容はともかくレス付けてくれた人を批判する権利ねーわ、お前が出直してこい
559:イナ
21/04/02 02:48:35.23 dH6cp4GK.net
前>>539
>>521
ラブアタックかプロポーズ大作戦か名前忘れたけど、
三角形の電光掲示板のテーブル△ABCの辺ABに男子5人、辺ACに女子5人が等間隔で並ぶ。
注意すべきは端の人はとなりと同じだけの間隔を端からとるってこと。
頂点Aから3番目の男P3と4番目の女Q4が相思相愛のときと、
頂点Aから4番目の男P4と3番目の女Q3が相思相愛のときは、
電光掲示板が結ばれ、△AP3Q4=△AP4Q3=(1/3)△ABC
ちなみにABCホールで収録されてたらしい。
560:１３２人目の素数さん
21/04/02 04:52:24.39 k1JSy9QT.net
>>539
⊿の3辺の中点とそれに対向する頂点を結ぶと、
その交点が⊿の重心である。
辺ABの中点をPとする。 AP = (1/2)AB,
辺BC上に点Rをとる。(R≠B,C)
⊿ABR の重心をG1, ⊿ACR の重心をG2 とする。
直線 G1G2と辺AC の交点を Q とする。
AQ = (2/3)AC,
よって
⊿APQ = (AP/AB)(AQ/AC)⊿ABC = (1/3)⊿ABC,
561:１３２人目の素数さん
21/04/02 05:09:36.19 k1JSy9QT.net
(続き)
高さ (底辺BRCからの距離) を比べると
重心G1, G2 の高さは 頂点Aの高さの 1/3,
∴ AQ = AC - QC = AC - (1/3)AC = (2/3)AC,
562:１３２人目の素数さん
21/04/02 05:32:13.27 k1JSy9QT.net
>>546
f '(x) = 2{(a+x)(1+cos(x)) - 2sin(x))}
f '(π) = 0 だが x=π は端点なので除外する。
1+cos(x)>0 で割れば
2tan(x/2) - x = 2sin(x)/[1+cos(x)] - x = a (>0)
左辺は 0≦x≦π で 0から∞まで単調増加する。
∴ 極値は1個
563:１３２人目の素数さん
21/04/02 07:34:02.09 170M9bo4.net
>>539
点Pを辺ABの中点にとり、辺BCの延長にBC=CDとなる点をとる。直線PDと辺ACの交点を点Qとする。
564:１３２人目の素数さん
21/04/02 07:40:49.64 k1JSy9QT.net
f '(x｡) = 0 とする。
2tan(x｡/2) - x。= a (>0)
x｡(a) は 0からπまで単調に増加。
cos(x｡) + 1 < 2,
極値は
f(x｡) = 2 [cos(x｡)+3]^2 / [cos(x｡)+1]
= 8/[cos(x｡)+1] + 8 + 2[cos(x｡)+1]
> 16,
565:１３２人目の素数さん
21/04/02 08:00:39.40 k1JSy9QT.net
>>554
Pは辺ABの中点、Cは辺BDの中点。
PD と AC の交点Q は ⊿ABD の重心。
∴ AQ = (2/3)AC
566:１３２人目の素数さん
21/04/02 08:59:31.98 pGdfDivG.net
>>554
その操作を数式に置き換えて作図して体感。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
567:１３２人目の素数さん
21/04/02 09:06:07.97 k1JSy9QT.net
〔551蓬莱〕 大阪名物 豚まん(肉まん)
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
568:１３２人目の素数さん
21/04/02 09:20:04.79 k1JSy9QT.net
大阪市の動物園のホッキョクグマ
ゴーゴとイッちゃんの赤ちゃんの名前は
「ホウちゃん」に決まったらしい…
569:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:06:35.52 FJziMvxl.net
集合論におけるCantor-Bernsteinの定理の証明で、定理に登場する2つの集合AとBが共通部分を持たないと仮定しても一般性が失われないのはなぜですか？
570:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:11:36.47 VfnaXHgm.net
a∩c=φ、b≡cとなるcを取り直せばいいから
571:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:28:39.26 FJziMvxl.net
そのようなcの存在はどうやって保証するんですか？
572:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:32:49.65 ujpdH9Ac.net
aも取り替えた方がいいのか
a' = { <x,0> | x∈a }
b' = { <y,1> | y∈b }
573:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:38:54.40 FJziMvxl.net
>>561,563
ありがとうございました。
574:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:51:35.85 uwF3Ws8z.net
正整数nを用いて1/nの形で表される循環小数で、循環節の長さが2021であるものは存在するか。
575:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:08:51.83 ujpdH9Ac.net
n=2021とする
1/(10^n-1)は循環小数で表され、循環節の長さmはnの約数でこの時ある自然数lを用いて
1/(10^n-1)×(10^(l+m)-10^l)=:a∈Z
となるがこの時
(10^n-1)a = 10^l(10^m-1)
となるが、Zsigmondyの定理より任意のk<nに対して(10^k-1)の素因子とはならない10^n-1の素因子pが存在する
∴m=n
576:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:09:37.99 f+MwEMNE.net
単に n = 10^2021 - 1 でいいじゃん
577:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:16:36.37 FJziMvxl.net
>>560
ところで、AとBが共通部分を持っていると証明において何が不都合なのかが分かりません。
578:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:20:23.74 ujpdH9Ac.net
>>568
そんなもん本の証明わからなけりゃわかるはずない
579:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:37:08.07 FJziMvxl.net
>>569
証明は以下です。（コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』）
f : A → B
g : B → A
f, gを単射とする。
AとBは共通部分を持たないと仮定しても一般性は失われない。
Aの任意の元xに対して、列{x_n}を以下のように定義する。
xをx_0と定義する。
g^{-1}(x_0)が空集合でなければ、その唯一の要素である元をx_1と定義する。
f^{-1}(x_1)が空集合でなければ、その唯一の要素である元をx_2と定義する。
以下同様にx_nを定義する。
1. あるnに対して、x_{n+1}が存在しなければ、xの位数はnであるとする。
2. 任意のnに対して、x_{n+1}が存在するときには、xの位数は∞であるとする。
位数が偶数であるAの要素全体の集合をA_Eとする。
位数が奇数であるAの要素全体の集合をA_Oとする。
位数が∞であるAの要素全体の集合をA_Iとする。
A = A_E ∪ A_O ∪ A_I（直和）が成り立つ。
同様に、B = B_E ∪ B_O ∪ B_I（直和）と分割する。
fはA_Eの元をB_Oの元に写す。
fはA_Iの元をB_Iの元に写す。
g^{-1}はA_Oの元をB_Eの元に写す。
φをA_E∪A_Iの元はfで写し、A_Oの元はg^{-1}で写すようなAからBへの写像とするとφは全単射である。
580:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:42:24.06 ujpdH9Ac.net
>>570
全然いらんな
そのeeductionが必要な証明だったのを不要な証明に差し替えた時抜き忘れたか、必要なくても一応すぐできる仮定は入れといて損はないの精神かのどっちかでしょ
後で使おうが使うまいがとりあえず可能なreductionはつけといて損はないからな
581:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:44:18.50 FJziMvxl.net
>>571
ありがとうございました。
582:１３２人目の素数さん
21/04/02 19:17:27.02 k1JSy9QT.net
>>567
1/(10^n -1) = 1/10^n + 1/10^{2n} + 1/10^{3n} + …
= 0．00…01 00…01 00…01 00…
0が(n-1)個, 1が1個
∴ 循環節の長さはn,
でござるか。
583:１３２人目の素数さん
21/04/02 20:07:12.66 zTMoi5NP.net
x^3+x^2+y^2=z^2
を満たす正の整数の組(x,y,z)の存在について、正しいものを選べ。
（ア）存在するが有限個である。
（イ）無数に存在する。
（ウ）存在しない。
584:１３２人目の素数さん
21/04/02 21:08:22.55 k1JSy9QT.net
(イ)
x + y = z,
に制限すると
x^3 = 2xy,
x^2 = 2y, (x>0)
(x,y,z) = (2n, 2nn, 2n(n+1))
585:１３２人目の素数さん
21/04/02 21:42:12.66 k1JSy9QT.net
(イ)
2(x+1) + y = z,
xx/2 - y = z,
に制限すると
(x,y,z) = (2n, nn-2n-1, (n+1)^2)
586:１３２人目の素数さん
21/04/02 22:20:53.24 VfnaXHgm.net
よくよく考えたら「循環小数は有理数」は中学の教科書に載ってるんだから事実上「0～9の値からなる周期2021の整数列が存在する事を示せ」やな
難しい要素なんもない
587:１３２人目の素数さん
21/04/02 23:40:06.37 sgDcV6jk.net
>>577
分数が1なのはどう処理する？
588:１３２人目の素数さん
21/04/02 23:43:27.13 VfnaXHgm.net
>>578
なんのこっちや？
589:１３２人目の素数さん
21/04/02 23:44:16.00 VfnaXHgm.net
嗚ぁ、分子1って縛りはあるのか
590:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:00:49.70 1LjBRQ4k.net
以下の命題の以下の証明は合っていますか？
Nを自然数の集合とする。
{X ∈ 2^N | N - X が有限集合} が可算集合であることを証明せよ。
証明：
{X ∈ 2^N | X が有限集合} が可算集合であることを示せば良い。
{{}} は有限集合
∴元の数が 0 個であるような集合全体の集合は有限集合
{{1}, {2}, …} は可算集合
∴元の数が 1 個であるような集合全体の集合は可算集合
任意の自然数 n に対して、 {n, n+1}, {n, n+2}, {n, n+3}, …} は可算集合だから、{{1, 2}, {1, 3}, …} ∪ {{2, 3}, {2, 4}, …} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, …} ∪ … は可算集合
∴元の数が 2 個であるような集合全体の集合は可算集合
以下同様にして、元の数が n 個であるような集合全体の集合は可算集合
有限集合と、可算集合の可算個の和集合、の和集合は可算集合だから、{X ∈ 2^N | X が有限集合} は可算集合である。
591:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:03:47.78 1LjBRQ4k.net
>>581
合っているとして、もっと明快に証明できませんか？
592:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:04:55.64 1LjBRQ4k.net
>>581
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』で「証明せよ」と書かれている命題です。
593:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:38:22.98 uoyDCoCd.net
自然数の有限列(ai),(bj)に順序
(ai)≦(bj):⇔辞書式順序で(Σai,a1,a2,‥)≦(Σbj,b1,b2,‥)
で定め、有限列の集合SからNへの全単射fをf((ai)):=#{(bj) | (bj)≦(ai) }で定める
594:
21/04/03 00:46:38.81 W+iQgwCX.net
前>>550
>>539
三角形の電光掲示板のテーブル△ABCの辺ABに男子5人、辺ACに女子5人が等間隔で並ぶ。
注意すべきは端の人はとなりと同じだけの間隔を端からとるってこと。
頂点Aから3番目の男P3と4番目の女Q4が相思相愛のときと、
頂点Aから4番目の男P4と3番目の女Q3が相思相愛のときは、
電光掲示板が結ばれ、△AP3Q4=△AP4Q3=(1/3)△ABC
∵AP3=(3/6)AB,AQ4=(4/6)ACよりAP3AQ4=(3/6)AB(4/6)AC=(1/3)ABAC
AP4=(4/6)AB,AQ3=(3/6)ACよりAP4AQ3=(4/6)AB(3/6)AC=(1/3)ABAC
△AP3Q4=(1/2)AP3AQ4sin∠A=(1/2)(1/3)ABACsin∠A=(1/3)△ABC
△AP4Q3=(1/2)AP4AQ3sin∠A=(1/2)(1/3)ABACsin∠A=(1/3)△ABC
前々>>521
595:１３２人目の素数さん
21/04/03 02:36:15.86 uoyDCoCd.net
非負整数の有限列a0,a1,a2,anに対して
(a0+1個の1)0(a1個の1)0(a2個の1)0‥0(an個の1)
を対応させて1から始まる0,1からなる有限列を対応させて全単射となる
1から始まる0,1からなる有限列はそれを二進展開と見做して自然数の全体と一対一に対応させる事ができる
596:１３２人目の素数さん
21/04/03 05:21:23.90 hzQFnBJN.net
ごめんなさい高校数学の範囲になってしまいますがよろしいでしょうか？京大理系1976問5の(i)なんですがh(x)=g(x)f(ax)で大丈夫でしょうか？f(x)を用いろと書いてるのにf(ax)を用いているのでちょっと気がかりで
597:１３２人目の素数さん
21/04/03 08:07:51.22 j+xFqciV.net
>>574
(イ)
2a(x+1) + y = z,
xx/(2a) - y = z,
に制限すると
(x, y, z) = (2an, a(nn-2an-1), a(nn+2an+1))
a=1 の場合 >>576
598:１３２人目の素数さん
21/04/03 08:31:08.91 AsAI2YNm.net
>>587
問題そのものを示さなきゃ。
1976年の問題なんて、殆どの人が知らないし見られない。
599:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:12:01.04 hzQFnBJN.net
かんう
600:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:24:16.29 hzQFnBJN.net
関数f(x)で次の条件を満たすものがある。
(イ)f(x)は微分可能
(ロ)x≦0→f(x)=0.x≧1→f(x)=1
微分可能な関数g(x)と正数aがあるときf(x)を用いて以下の条件を満たすような微分可能な関数h(x)を作れ
(ハ)h(0)=0
(二)|x|>a→h(x)=g(x)
601:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:31:10.97 25TF2Ock.net
さすが京大
1976年でも転がってるよ
問題
URLﾘﾝｸ(server-test.net)
解答
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp)
602:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:51:16.21 jvDktHoO.net
見れなかった
フォントがないらしい
603:１３２人目の素数さん
21/04/03 10:41:47.08 AsAI2YNm.net
>>591
ｆ（ｘ）を使えということなので、f を使う限りどんな関数でもいいのだろう。
例えば、x の勝手な関数 k(x) を使って f(k(x)) でも k(f(x)) でもOKなんだろう。
でも最初の質問にあった h(x)=g(x)f(ax) は 条件（二）を満たさない。
604:１３２人目の素数さん
21/04/03 11:07:52.41 hzQFnBJN.net
>>592
>>594
解決しましたありがとうございます
605:１３２人目の素数さん
21/04/03 15:03:57.16 1LjBRQ4k.net
>>584,586
ありがとうございました。
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』に集合論の順序数について大雑把な説明が書いてあります。
非常につまらないのですが、順序数って何に使われるんですか？
606:１３２人目の素数さん
21/04/03 15:28:33.92 0O9c6KVZ.net
nを自然数、[x]でxを超えない最大の整数を表します
Σ[k^2/n]≧(n^2+2)/3を示してください。Σはk=1からnまで。
607:１３２人目の素数さん
21/04/03 17:28:31.58 QTQYhaPS.net
m,nは正整数でn>mを満たす。
A=C[4n+1,4m+1]、B=C[pn,m]とする。
KA=LBとなる奇数K,Lが存在するような正整数pの条件をm,nで表せ。
608:１３２人目の素数さん
21/04/03 22:15:21.09 1LjBRQ4k.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』に集合の環、半環というものが登場します。
測度論で重要だと書いてあるのですが、他のルベーグ積分の本にも書いてありますか？
609:１３２人目の素数さん
21/04/03 22:41:03.36 1LjBRQ4k.net
半環が役立ちそうなのは議論を読んでいると何となく分かります。
610:１３２人目の素数さん
21/04/03 22:48:33.74 1LjBRQ4k.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』ですが、半環の議論のところは、適切な図を描いてくれていたら非常に分かりやすくなるはずですが、図は全くありませんね。
611:１３２人目の素数さん
21/04/03 23:05:40.39 kcuMm9Jc.net
すみません、
{a+b+(2/a)+(1/b)}^7を展開したときのab²の係数を求めよ、という問題の解答を教えていただけないでしょうか。
612:１３２人目の素数さん
21/04/03 23:12:15.23 1LjBRQ4k.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』の半環についての補助定理1, 2はヴィジュアルに全く考えずに証明を追うと非常に
難しく感じますが、ヴィジュアルに考えると自明なことを言っているだけですね。
613:１３２人目の素数さん
21/04/03 23:43:02.07 1LjBRQ4k.net
>>602
{(a + 2/a) + (b + 1/b)}^7 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 1)*(a + 2/a)^1*(b + 1/b)^6 を展開したときの a*b^2 の係数と、
binomial(7, 3)*(a + 2/a)^3*(b + 1/b)^4 を展開したときの a*b^2 の係数と、
binomial(7, 5)*(a + 2/a)^5*(b + 1/b)^2 を展開したときの a*b^2 の係数の和。
binomial(7, 1)*(a + 2/a)^1*(b + 1/b)^6 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 1)*binomial(2*1-1, 1)*2^(1-1)*binomial(2*3, 3+1)
binomial(7, 3)*(a + 2/a)^3*(b + 1/b)^4 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 3)*binomial(2*2-1, 2)*2^(2-1)*binomial(2*2, 2+1)
binomial(7, 5)*(a + 2/a)^5*(b + 1/b)^2 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 5)*binomial(2*3-1, 3)*2^(3-1)*binomial(2*1, 1+1)
よって、答えは、
binomial(7, 1)*binomial(2*1-1, 1)*2^(1-1)*binomial(2*3, 3+1)+
binomial(7, 3)*binomial(2*2-1, 2)*2^(2-1)*binomial(2*2, 2+1)+
binomial(7, 5)*binomial(2*3-1, 3)*2^(3-1)*binomial(2*1, 1+1)
=
1785
614:
21/04/04 01:17:48.77 3Ie9H2+f.net
前>>585
>>602
係�
615:狽ﾍフィボナッチ数列だから、 1,1 1,2,1 1,3,3,1 1,4,6,4,1 1,5,10,10,5,1 1,6,15,20,15,6,1 1,7,21,35,35,21,7,1 与式=(a+2/a)^7+7(a+2/a)^6(b+1/b)+21(a+2/a)^5(b+1/b)^2+35(a+1/a)^4(b+1/b)^3+35(a+2/a)^3(b+1/b)^4+21(a+2/a)^2(b+1/b)^5+7(a+2/a)(b+1/b)^6+(b+1/b)^7 ab^2の係数は、 21×2^2×10+35×3×2×4+7×15=840+840+105 =1785
616:１３２人目の素数さん
21/04/04 02:00:13.25 PNWAM08q.net
>>597
できた
めっちゃしんどい
617:１３２人目の素数さん
21/04/04 05:12:13.96 Ss0gp4AG.net
>>606
流れだけでもいいので教えてもらえません？
618:１３２人目の素数さん
21/04/04 09:11:02.14 kDWXnT3D.net
まずr(n,x) = x÷nの余りとして与式が
Σr(n,k^2) ≦ n(n-1)/2
となるのは容易
a(n,k)=#{ l | 0 ≦ l ≦ n-1, l^2≡k ( mod n ) }
とおけば上の式は
Σka(n,k)≦n(n-1)/2
となる
さらにχを法Nの実dirichlet指標の全体を走るとして
a(n,k)=Σ[χ]χ(k)
なので示すべきは
Σ[k,χ]kχ(k)≦n(n-1)/2
となる
χが自明指標のときはΣkχ(k)=n(n-1)/2なので非自明な実指標に対して
Σ[k:0→n-1]kχ(k)≦0
を示せば十分
コレを
ρ=exp(2πi/n)、L=Q(ρ)とおいてχ毎に決まる二次無理数D(χ)で
Σkχ(k)=tr[L,Q](D(χ)Σkρ^k)
を利用して示す
619:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:05:05.90 5Ev98o0O.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』のp.38の半環についての定理3の証明に間違いを発見してしまいました。
620:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:08:04.48 5Ev98o0O.net
あ、間違っていませんでした。
621:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:22:39.87 5Ev98o0O.net
順序数とかの話は集合論の中でもつまらない話ですが、集合の環とか半環の話は少し面白いですね。
622:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:27:41.20 5Ev98o0O.net
測度論が退屈だという話をよく聞きますが、集合の環とか半環の話の延長線上の話だとすると、結構面白そうですね。
623:１３２人目の素数さん
21/04/04 11:16:46.90 5Ev98o0O.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』のp.39に
σ代数とδ代数が一致するということが書いてあります。
σ環とδ環も一致するので、σ代数とδ代数が一致するのは自明ですが、それについては言及がないですね。
624:１３２人目の素数さん
21/04/04 11:34:05.09 tUieZye7.net
>>598
これお願いします
625:１３２人目の素数さん
21/04/04 11:47:55.75 5Adek1N+.net
>>602 です。
ありがとうございます。
626:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:32:31.80 EVpL3sX9.net
>>611
順序数がつまらないとかオドロキ
一番衝撃を受けた話なのに
627:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:44:44.00 5Ev98o0O.net
数直線上の閉区間[a, b]の全体をSとする。
Sの上の最小のσ代数 = 2^S
は成り立ちますか？
628:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:47:31.19 5Ev98o0O.net
訂正します：
数直線上の閉区間[a, b]の全体をSとする。
Sの上の最小のσ代数 = 2^(∪_{A∈S} A)
は成り立ちますか？
629:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:55:05.63 5Ev98o0O.net
あ、明らかに成り立たないですね。
630:１３２人目の素数さん
21/04/04 14:48:25.65 5Ev98o0O.net
環ではあるが、σ環ではないような例とか考えるだけでもちょっと大変だと思いますが、
そういう例は知らなくても考えなくてもいいですか？
知らなくても考えなくても、おそらく本を読む上では何の支障もないと思います。
631:１３２人目の素数さん
21/04/04 18:29:34.56 NjWYvr7o.net
>>597
類題考えてみた
Σ([k^2/n]+[√(kn)]-n)=1
が成り立つのはnがどんな時か？
632:１３２人目の素数さん
21/04/04 19:34:43.84 tUieZye7.net
>>598
これできませんか？
633:１３２人目の素数さん
21/04/05 06:12:13.01 9Tet45ha.net
r(n, x) = mod(x, n)
r(n, c^2) = n-1 となるような整数cがあるとき
(-1 が平方剰余のとき) はたぶん簡単…
cとnは互いに素 (cは正則) で
r(n, (ck)^2) + r(n, k^2) = r(n, -k^2) + r(n,k^2)
= (r>0のときn, r=0のとき0)
≦ n,
これを k=1 から k=n-1 までたすと
2Σ[k=1,n-1] r(n, k^2) ≦ n(n-1),
Σ[k=1,n-1] r(n, k^2) ≦ n(n-1)/2,
-1 が非剰余のときが難かしそう…
634:１３２人目の素数さん
21/04/05 06:18:18.37 wZxNVsMt.net
>>602
発展問題
(a+1/a+b+2/b+c+3/c+d+4/d+e+5/e)^21の
a*b^2*c^3*d^4*e^5の係数を求めよ。
635:１３２人目の素数さん
21/04/05 07:50:28.14 9Tet45ha.net
>>621
(x,y) は格子点で
x=1,2,…,n y=1,2,…n
とする。
[kk/n] は y≦xx/n, x=k となる格子点の数
[√(kn)] は y≧xx/n, y=k となる格子点の数
y=xx/n 上にある格子点は2度カウントされる。
∴ 左辺は y=xx/n 上にある格子点の数
∴ nの最大の平方因数。以下省略
636:１３２人目の素数さん
21/04/05 08:36:30.44 9Tet45ha.net
>>602
a^3 b^2 (2/a)^2 の係数 7!/(3!2!2!) = 210,
a^2 b^3 (2/a) (1/b) の係数 7!/(2!3!1!1!) = 420,
a b^4 (1/b)^2 の係数 7!/(1!4!2!) = 105,
∴ 210*4 + 420*2 + 105 = 1785,
637:１３２人目の素数さん
21/04/05 11:44:32.65 fIV9wDOG2
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638:１３２人目の素数さん
21/04/05 11:49:56.01 9WD5BfbZ.net
可換とは限らない環Rの元a,bがab=1を満たしているとき、ba=1も言えますか？
639:１３２人目の素数さん
21/04/05 12:15:02.85 4200C0pi.net
>>628
R^Nの第k成分のみ1で残り0のベクトルをvkとしてvkの全体ではられる空間をV, Vの線形準同型のなす環をR, a,b∈Rを
a(vi) = v(i-1) (i>1)
. = 0 (i=1)
b(vi) = v(i+1)
で定めればab=1, ba≠1
640:１３２人目の素数さん
21/04/05 13:21:24.30 bvbts7MI.net
生成作用素と消滅作用素か
641:１３２人目の素数さん
21/04/05 16:10:04.17 5K8DPyes.net
m,nは正整数でn>mを満たす。
A=C[4n+1,4m+1]、B=C[pn,m]とする。
KA=LBとなる奇数K,Lが存在するような正整数pの条件をm,nで表せ。
642:イナ
21/04/05 17:50:12.76 Vo39qmi2.net
前>>605
>>624
1+2+3+4+5=15
21-15=6
係数の掛け算の組み合わせは5^3=125(通り)
平面に5^2=25(通り)しか書けないから、
一升に5項の和を書くと、
🔲 a ｜ b ｜ c ｜ d ｜ e
a｜ 15｜ 30｜ 45｜ 60｜ 75
b｜ 30｜ 60｜ 90｜ 120｜ 150
c｜ 45｜ 90｜ 135｜ 180｜ 225
d｜ 60｜ 120｜ 180｜ 240｜ 300
e｜ 75｜ 150｜ 225｜ 300｜ 375
ab^2c^3d^4e^5の係数の和は3375
違うかも。
643:１３２人目の素数さん
21/04/05 18:50:50.35 9Tet45ha.net
>>621
平方因子をもたない整数を
無平方数 (square-free integer) と云うらしい。
644:１３２人目の素数さん
21/04/05 19:32:53.66 1BaBh4+p.net
>>624
1050
645:１３２人目の素数さん
21/04/05 20:11:18.74 safEmvMd.net
たぶん
Sum[Mod[k^2,n],{k=1,n-1}] == n(n-1)/2
⇔
nは4k+3型の素因数を持たず、各素因数の指数が全て1
が成立
646:１３２人目の素数さん
21/04/05 20:19:10.69 9Tet45ha.net
>>630
右シフト と 左シフト
ペアノの公理に出てくる successor と precursor
か
647:１３２人目の素数さん
21/04/05 21:08:24.46 9Tet45ha.net
>>635
ふむふむ
-1 が非剰余の場合、等式は成立しないんだね。
-1 が平方剰余 かつ 平方因子もなければ
r(n, k^2) > 0 (1≦k≦n-1) >>623
で等式が成立しますね。
648:１３２人目の素数さん
21/04/06 04:09:30.09 hMi+3g0E.net
nを正整数の定数とする。
1≦k≦n-1である全ての正整数kに対して、不等式
nCk≧an
を成立させる最大の実数aを求めよ。
649:１３２人目の素数さん
21/04/06 05:46:01.18 D9cznXAr.net
A を2つの2項演算 o1 : A×A → A, o2 : A×A → A が定義された集合とする。
S を A の空でない部分集合とする。
B を S を含み、 o1、o2 について閉じている最小の A の部分集合とする。
B の元を陽に表そうとすると、葉がSの元で、葉以外のノードが o1 または o2 であるような2分木で表せるというのは直感的に分かるのですが、
これをきちんと述べるにはどうすればいいでしょうか？
650:１３２人目の素数さん
21/04/06 06:06:18.23 D9cznXAr.net
>>639
代数系について上の B のような最小の閉じた集合を考えることは多いと思うのですが、代数学の本で上のような話をキチンと書いてある本はありますか？
651:１３２人目の素数さん
21/04/06 06:09:13.36 PAecLtrc.net
>>638
1≦k≦n-1 より
nＣk = n!/[(n-k)!k!]
= n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/k!
= n･((n-1)/k) ((n-2)/(k-1)) …… ((n-k+1)/2)
≧ n,
または
nＣk = n!/[k!(n-k)!]
= n(n-1)(n-2)……(k+1)/(n-k)!
= n･((n-1)/(n-k)) ((n-2)/(n-k-1)) …… ((k+1)/2)
≧ n,
等号成立は k=1, k=n-1 のとき。
∴ a=1
652:１３２人目の素数さん
21/04/06 06:44:39.52 PAecLtrc.net
>>637
-1 が平方剰余 かつ nに平方因子がなければ
r(n, k^2) > 0 (1≦k≦n-1)
(略証)
r(n, k^2) = 0, 0<k<n
ならば
k^2 = nd, 0<k<n
∴ d < k
∴ ある素因数pに関して、 (kの指数) ≧ (dの指数) + 1
上式より
(nの指数) = 2(kの指数) - (dの指数) ≧ 2,
∴ n は平方因子 p^2 を持つ。
これの対偶をとる。
653:１３２人目の素数さん
21/04/06 07:09:47.41 u8/C/Jwg.net
>>624
620134238243520
654:１３２人目の素数さん
21/04/06 08:14:29.66 PAecLtrc.net
>>624
9 738 383 692 957 920,
違う鴨。
655:１３２人目の素数さん
21/04/06 08:19:36.92 PAecLtrc.net
余談ですが >>643 は
(a + 1/a + b + 1/b + c + 1/c + d+ 1/d + e + 1/e)^21
の係数と一致します。
656:１３２人目の素数さん
21/04/06 09:12:35.90 PAecLtrc.net
分子が {1,2,3,4,5} なので、それによる因子を掛けてから合計します。
しかしここでは 指数の組み合わせ (35種) について
この因子だけを合計してみましょう。
分子の1乗和～3乗和が
S_1 = 15,
S_2 = 55,
S_3 = 225,
なので
{(S1)^3 + 3 S1 S2 + 2 S3}/6 = 1050,
これは >>634 と一致します。
657:１３２人目の素数さん
21/04/06 09:31:24.18 f2YPCutR.net
助けてくださいお願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
658:１３２人目の素数さん
21/04/06 09:50:39.59 PyPyNh3F.net
>>645
誤答とその原因の指摘ありがとうございます。
確かに1/a+1/b+..+1/eで計算していました。
659:１３２人目の素数さん
21/04/06 10:10:19.41 PyPyNh3F.net
>>644
数式を書き換えて計算させたら
1113995693435765664903804202516480
と出てきました。
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
660:１３２人目の素数さん
21/04/06 10:24:46.57 D9cznXAr.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
定義：
空でない集合系 R に対して、 A ∈ R, B ∈ R ならばつねに A △ B ∈ R、 A ∩ B ∈ R となっているとき、 R を（集合）環という。
定理：
任意の空でない集合系 S が与えられたとき、 S を含み、かつ、 S を含む任意の環 R^* に含まれる環 R(S) が、一つしかもただ一つ存在する。
この定理ですが、
>>639
の2分木で表せるような集合全体の集合を考えると、明らかに、 △、∩ について閉じているので、 R(S) が一意的に存在するのは明らかだと思いますが、
コルモゴロフらは、 S を含むような環たちの共通分をとって、それが R(S) であるなどと長い議論をしています。
無駄に複雑な証明をしているのはなぜでしょうか？
△、∩ の演算子を有限回使って、表わされるような集合全体の集合が求める環であると書けば、一行で済む話です。
661:１３２人目の素数さん
21/04/06 11:31:28.17 x0AUmmd8.net
>>647
むしろrobotのほうが得意なんじゃなかろうか
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
662:イナ
21/04/06 13:20:23.73 pUlLW8Vm.net
前>>632
>>647
方程式を解くとx=32
検算すると左辺=右辺
663:１３２人目の素数さん
21/04/06 14:01:29.51 ttQW89xf.net
Aが勝った回数をXとするとき、
Aが負けた回数は（Xの上に－）
この（Xの上に－）ってなんて読みますか？
664:１３２人目の素数さん
21/04/06 19:36:39.43 WuAKN2zt.net
>>653
エックスバーだと思う。
665:１３２人目の素数さん
21/04/06 20:29:24.76 D9cznXAr.net
>>650
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』ってよくあるルベーグ積分の本での測度論のところに登場する有限加法族とかσ加法族とかよりも一般的
な環、半環、σ環について書いてあるんですね。
有限加法族とかσ加法族しか書いていないほうが確かに分かりやすいと思いますが、一般的に書いてあるのも魅力的ですね。
コルモゴロフらの本では、有限加法族は代数、σ加法族はσ代数と読んでいます。
666:１３２人目の素数さん
21/04/06 20:34:50.92 86kX3B0F.net
本読んだ自慢はウザいね
667:１３２人目の素数さん
21/04/06 22:17:50.52 1LioiF7O.net
そのうち、コルモゴロフさんとフォミーンさんは大丈夫な人たちなんでしょうか
とくるか
668:１３２人目の素数さん
21/04/06 22:38:58.53 YCsaz+bQ.net
>>654
ありがとうございます！バーですね！
669:１３２人目の素数さん
21/04/06 23:48:49.65 w+KqsiSM.net
ベイズ統計においてベイズ統計モデルとは、
パラメトリックな確率密度関数の族f(x|θ)と事前分布π(θ)で構成されると色々なところで書いてあるとおもいます。
しかし、f(x|θ)に従う確率変数をX、π(θ)に従う確率変数をΘとしたとき、XとΘが独立じゃなければ、
上のパラメトリック族としてのf(x|θ)と、条件付き密度関数としてのf(x|θ)が異なってしまいませんか？
670:１３２人目の素数さん
21/04/07 00:23:56.61 v5Wj7/lc.net
>>649
1.11399569343576566490380420251648×10^33
が a=b=c=d=e=1 とおいたときの全項の和
20^21 = 2.097152×10^27
よりも大きいのは？ですね。
>>644 の方は
9.738383692957920×10^15 < 20^21
671:１３２人目の素数さん
21/04/07 00:46:02.22 3yLKAlGb.net
>>659
何で確率変数が別なんだ？
672:１３２人目の素数さん
21/04/07 01:23:03.86 v5Wj7/lc.net
(蛇足)
a,b,c,d,e > 0 のとき
(a + 1/a) + (b + 2/b) + (c + 3/c) + (d + 4/d) + (e + 5/e)
≧ 2 (1 + √2 + √3 + 2 + √5)
= 16.7646647
等号成立は (a, b, c, d, e) = (1, √2, √3, 2, √5) のとき。
673:１３２人目の素数さん
21/04/07 03:07:40.49 v5Wj7/lc.net
>>644
a, 1/a, b, 2/b, c, 3/c, d, 4/d, e, 5/e,
の指数を
i+1, i, j+2, j, k+3, k, L+4, L, m+5, m,
とする。その和が21だから
i+j+k+L+m = 3,
これを満たす非負整数 (i,j,k,L,m) の組合せは
5Ｈ3 = 7Ｃ3 = 35 とおり。
Σ {21!/((i+1)!i!(j+2)!j!(k+3)!k!(L+4)!L!(m+5)!m!)}･(1^i)(2^j)(3^k)(4^L)(5^m)
が答。
674:１３２人目の素数さん
21/04/07 10:53:37.42 49jcs0mc.net
プロおじまだ粘着してたか。しつこいぞ。
期待値も分からないやつは出直してこい。
675:１３２人目の素数さん
21/04/07 11:08:38.95 90BIMoih.net
>>650
馬鹿アスペ二号と呼んで
676:１３２人目の素数さん
21/04/07 13:35:43.20 rbCHnB7B.net
>>661
別とはどういうことですか？
f(x|θ)とπ(Θ)は別の集合上の確率密度ですよね
677:１３２人目の素数さん
21/04/07 16:48:54.03 rFpjS8LR.net
>>660
誤答の御指摘を受けて、コードを見直してバグ修正しました。
9738383692957920
という同じ値が得られました。
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
678:１３２人目の素数さん
21/04/07 16:50:15.41 3yLKAlGb.net
確率変数と確率密度がゴッチャか
679:１３２人目の素数さん
21/04/07 19:09:01.98 lssXsYSk.net
無限回微分可能な関数f(x)で、どんな自然数kについても、方程式f^[k](x)=0が解けないものってありますか？
680:１３２人目の素数さん
21/04/07 20:53:44.34 mYnipKIn.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
定義1：
B を空でない集合系とする。B が以下の(1), (2), (3)を満たすとき、B をσ代数という。
(1) a ∈ B, b ∈ B ならばつねに a △ b ∈ B、 a ∩ b ∈ B が成り立つ。
(2) a_n ⊂ B for n = 1, 2, … ならば、 ∪_{n=1}^{∞} a_n ∈ B が成り立つ。
(3) e ∈ B が存在して、任意の a ∈ B に対して、 a ∩ e = a が成り立つ。この e を B の単位元という。
定義2：
S を空でない集合系とする。
B を S を含むσ代数とする。
∪_{a ∈ S} a が B の単位元になっているとき、 B は S に関して既約であるという。
定理1：
空でない集合系 S に対して、 S を含む任意の S に関して既約なσ代数に含まれるようなσ代数 B(S) が存在する。
定義3：
f : m → n を写像、 N を n の部分集合からなる集合系とする。
f^{-1}(N) で集合系 N に属する集合 b の逆像 f^{-1}(b) の全体を表わすことにする。
定理2：
B(f^{-1}(N)) = f^{-1}(B(N)) が成り立つ。
------------------------------------------------------------------------------
定理2ですが、
f^{-1}(B(N)) が f^{-1}(N) に関して既約なσ代数であることは簡単に証明できました。
定理1により、 B(f^{-1}(N)) ⊂ f^{-1}(B(N) が成り立ちます。
B(f^{-1}(N)) ⊃ f^{-1}(B(N) が成り立つことが証明できません。
どう証明すればいいのでしょうか？
681:１３２人目の素数さん
21/04/07 20:58:42.88 90BIMoih.net
>>670
馬鹿アスペ二号
682:１３２人目の素数さん
21/04/07 21:04:34.09 mYnipKIn.net
>>670
この定理2ですが、この結果を後の章で可測函数を考察する際に必要になるそうです。
それにもかかわらず、証明が書いてありません。
683:１３２人目の素数さん
21/04/07 22:13:36.50 3yLKAlGb.net
a △ b て何だろね
684:１３２人目の素数さん
21/04/07 22:34:37.94 mYnipKIn.net
>>673
symmetric difference
a △ b := (a - b) ∪ (b - a)
です。
685:１３２人目の素数さん
21/04/08 00:40:18.16 SrEB3Bbk.net
>>669
e^x
686:１３２人目の素数さん
21/04/08 11:43:50.44 jAHOCp/v.net
f^[k] は f をk回繰り返し作用するのか k階微分か？
687:１３２人目の素数さん
21/04/08 12:50:50.58 EXNY8XH9.net
微分可能て書いてるから微分じゃね？
688:１３２人目の素数さん
21/04/08 12:53:35.49 EXNY8XH9.net
そもそも5次方程式が解けんしなー
689:１３２人目の素数さん
21/04/08 13:27:25.78 jAHOCp/v.net
>>677
なるほど Thx.
>>678
四則演算と累乗根では解けませんね。
(楕円関数とか使えば別ですが)
690:１３２人目の素数さん
21/04/08 13:53:14.91 rTVA1Wui.net
>>670
あ、簡単ですね。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを考えれば、以下の式から明らかですね。
f^{-1}(∪ a_n) = ∪ f^{-1}(a_n)
f^{-1}(a △ b) = f^{-1}(a) △ f^{-1}(b)
f^{-1}(a ∩ b) = f^{-1}(a) ∩ f^{-1}(b)
691:１３２人目の素数さん
21/04/08 13:54:50.51 rTVA1Wui.net
そして、コルモゴロフらがなぜこの命題の証明を書かなかったのかも推測できます。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを正確に記述するのが面倒だからでしょうね。
692:１３２人目の素数さん
21/04/08 14:01:01.41 rTVA1Wui.net
自身の筆力・記述能力がないために、容易だから読者に任せるというパターンはよくありますよね。
確かに容易ではあるのですが、正確に記述するのは面倒というパターンです。
迷惑な話です。
そして、同じように容易な話でも記述するのが簡単な場合には喜んで書いていたりするんですよね。
松坂和夫さんとかによくあるパターンです。
693:１３２人目の素数さん
21/04/08 14:59:26.04 ODPkq44X.net
>>670
数学の本 第80巻
150 ：１３２人目の素数さん[]：2021/04/08(木) 13:52:54.66 ID:rTVA1Wui>>148
あ、簡単ですね。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを考えれば、以下の式から明らかですね。
f^{-1}(∪ a_n) = ∪ f^{-1}(a_n)
f^{-1}(a △ b) = f^{-1}(a) △ f^{-1}(b)
f^{-1}(a ∩ b) = f^{-1}(a) ∩ f^{-1}(b)
分からない問題はここに書いてね 466
672 ：１３２人目の素数さん[]：2021/04/08(木) 13:53:14.91 ID:rTVA1Wui>>670
あ、簡単ですね。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを考えれば、以下の式から明らかですね。
f^{-1}(∪ a_n) = ∪ f^{-1}(a_n)
f^{-1}(a △ b) = f^{-1}(a) △ f^{-1}(b)
f^{-1}(a ∩ b) = f^{-1}(a) ∩ f^{-1}(b)
694:１３２人目の素数さん
21/04/08 19:00:33.71 V6V8bhQu.net
a,bはa>b>0を満たす整数の定数とする。
A=C[4a+1,4b+1]、B=C[a,b]とするとき、奇数の定数K,Lで、等式KA=LBを満たすものがとれることを示せ。
695:１３２人目の素数さん
21/04/08 23:01:17.60 f8fg6N2Z.net
関数 f_2(n) を自然数nを素因数分解したとき、2の指数を返す関数とて、f_2(A)=f_2(B)が言えれば良い
f_2(A)=f_2((4a+1)!)-f_2((4b+1)!)-f_2((4a-4b)!)
={[(4a+1)/2]+[(4a+1)/4]+[(4a+1)/8]+[(4a+1)/16]+...}-{[(4b+1)/2]+[(4b+1)/4]+[(4b+1)/8]+[(4b+1)/16]+...}-{[(4a-4b)/2]+[(4a-4b)/4]+[(4a-4b)/8]+[(4a-4b)/16]+...}
= (中略) = f_2(B)
696:１３２人目の素数さん
21/04/09 14:00:07.85 qtjVxAQC.net
>>502-503
正弦定理より
aa+bb+cc = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2}
= 2RR {3-cos(2A)-cos(2B)-cos(2C)}
= 8RR{1+cos(A)cos(B)cos(C)},
OI^2 = R(R-2r) = RR - abc/(a+b+c), (Chapple-Euler)
OG^2 = RR - (aa + bb + cc)/9
= RR {1-8cos(A)cos(B)cos(C)}/9, (Leibniz)
IH^2 = 2rr + 4RR - (aa+bb+cc)/2
= 2rr - 4RRcos(A)cos(B)cos(C),
G-Hの中点をMとおく。
OG = GM = MH,
つまり線分OHの3等分点だから
MI^2 = (OI^2 + 2IH^2)/3 - 2MH^2,
線分MH, MIの長さの二乗の差を考える。
MH^2 - MI^2 = (GH^2 - IG^2 - IH^2)/2
= 3OG^2 - (OI^2 + 2IH^2)/3
= (2/3)r(R-2r)
≧ 0,
よって MH ≧ MI.
697:１３２人目の素数さん
21/04/09 15:57:35.44 h5lUmEIP.net
これが何故50になるのかが理解できないのですが分かりますか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
698:１３２人目の素数さん
21/04/09 16:47:30.35 wkVmplFM.net
>>687
Bを中心としてABを半径とする円を描く
この円周上の点でACに対して反対側にある点をPとすると∠APCは中心角220°の半分である110°ということになる
Qをこの円の外の点とすると∠AQCは110°より小さくなるし、円の内の点とすると∠AQCは110°より大きくなる
∠ADCは110°なのだからDはこの円周上にある
するとAB=BD=BC=CDとなるから△BCDは正三角形、△ABDは二等辺三角形
以下略
699:１３２人目の素数さん
21/04/09 19:22:53.87 wkVmplFM.net
>>688
> この円周上の点でACに対して反対側にある点をPとすると
ちょっと訂正
この円周上の点でACに対してBの反対側にある点をPとすると
700:１３２人目の素数さん
21/04/09 19:44:51.48 ugZQIOu5.net
123456の6この数字があって この数字を並べて5桁の数字を作ります
左端には必ず1が来るのは何通りですか？
701:１３２人目の素数さん
21/04/09 19:47:44.64 h5lUmEIP.net
>>688
中心角のところってよくわからないのですが教えて頂けませんか？
702:１３２人目の素数さん
21/04/09 20:50:07.41 fbFoqrCh.net
>>690
nPr(5,4)=120
703:１３２人目の素数さん
21/04/09 20:51:54.73 fbFoqrCh.net
>>690
発展問題
123456の6この数字があって この数字を並べて5桁の数字を作ります
同じ数字を複数回用いてもかまわない。
左端には必ず1が来るのは何通りですか？
704:１３２人目の素数さん
21/04/09 20:58:49.01 fbFoqrCh.net
>>693
6^4
705:１３２人目の素数さん
21/04/09 21:06:43.13 j06h5cz+.net
>>691
円周角、わからない？
706:１３２人目の素数さん
21/04/09 21:20:55.96 BmAymsNu.net
>>687
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
707:１３２人目の素数さん
21/04/10 00:24:34.57 Tq6xhZve.net
>>687
三角法を使うなら…
B, D は既知とする。
底辺ADから各頂点までの高さは
A: 0
B: sin(A)
C: sin(D)
D: 0
∴ sin(D) = sin(A) + sin(A-(180-B))
= sin(A) - sin(A+B)
= -2cos(A+B/2)sin(B/2), (← 和積公式)
sin(D) = sin(B/2) だから
cos(A+B/2) = -1/2,
∴ A = 120° - B/2.
708:１３２人目の素数さん
21/04/10 01:03:39.58 Tq6xhZve.net
>>432
〔公式425〕
三角形の内心I、重心G、垂心H、G-Hの中点M とすると
MH^2 - MI^2 = (2/3)r(R-2r) ≧ 0,
rは内接円の半径、Rは外接円の半径
等号成立は正△のとき。
(略証) >>686 など
709:１３２人目の素数さん
21/04/10 08:49:34.76 hNqvvR4d.net
n>k>0である全ての整数(n,k)に対して、恒等式
C[n^2,k^2]=f(n,k)C[n,k]
が成立するとき、f(x,y)は多項式でないことを示せ。
710:１３２人目の素数さん
21/04/10 09:57:00.63 Z9sY9TKp.net
>>699
2変数多項式だと仮定して
f(n,k) = g₀(k) + g(k)₁ n¹ + g₂(k) n² + ... + g&#
711:8341;(k) n^h と置く 任意整数 α を固定すると k=α, n= α+1, α+2, ... の無限点で *** の両辺の値が等しい よって 変数n の代数式として等式: n² (n²-1)...(n²-α²+1)/α²! = f(n,α) n (n-1)... (n-α+1)/α! が成り立つ 両辺の次数比較より f(n,α) の次数は 2α² - α これは十分大きな α を採ると h を越えてしまう (矛盾)
712:１３２人目の素数さん
21/04/10 15:04:16.37 NH7RXFaf.net
ユークリッド空間R^nからユークリッド空間R^nへのアファイン変換fの逆写像はアファイン変換である
アファイン変換fとはR^nからR^nへの写像fで全単射であって、任意の直線を直線に写し、任意の線分の内分比を変えないもの
713:１３２人目の素数さん
21/04/10 18:16:28.05 Tq6xhZve.net
>>698
三角形の外心O、内心I、垂心H、O-Hの中点N とすると
NI = (1/2)(R-2r),
rは内接円の半径、Rは外接円の半径
714:１３２人目の素数さん
21/04/10 19:55:53.73 eYoFZYDx.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
p.50 演習
ρ_1 > ρ_2, B(x, ρ_1) ⊂ B(y, ρ_2) なる二球 B(x, ρ_1), B(y, ρ_2) をもつ距離空間の例をつくれ。
X を離散距離空間とし、 x, y をその任意の元、 ρ_1 = 3, ρ_2 = 2 とすればよい。
この問題の著者らが想定している模範解答は何ですか？
まさか、こんなつまらない解答を想定してはいないですよね？
もし、こんな解答を想定しているとしたら、物凄い小物数学者のようですよね。
715:１３２人目の素数さん
21/04/10 20:17:32.86 0tHJ3yUM.net
相変わらずバカだなぁ
716:１３２人目の素数さん
21/04/10 20:50:09.09 K6rSfdKg.net
コルモゴロフに小物と言えるこいつは一体何者なんだ...
717:１３２人目の素数さん
21/04/11 02:10:48.63 EF+6GgtN.net
コルモゴロフが小物なら>>703は塵屑だな
718:１３２人目の素数さん
21/04/11 02:24:05.75 Dw09nwLQ.net
なんで1+1は2なのって子供の質問どう答えてますか？
私は分かりませんと答えました
719:１３２人目の素数さん
21/04/11 06:33:33.79 gwC2XqGY.net
昔の人がそう決めたから
でいいんじゃないかな
720:１３２人目の素数さん
21/04/11 08:23:38.71 sZ6ZL7G1.net
>>702
(略証)
三角形の外接円を重心Gのまわりに (-1/2)倍した円は、
各辺の中点などを通り、9点円とよばれる。
9点円の中心N, 半径は R/2.
内接円の中心I, 半径はr.
[定理31]
三角形の9点円は内接円に接する。(Feuerbachの定理)
∴ NI = (1/2)(R-2r),
(参考書)
清宮俊雄 著 「モノグラフ 15.幾何学」 矢野健太郎 監修, 科学新興社 (1968/Sep)
§10. p.41
のちに科学新興新社から改訂版が発行された。(1988/Mar)
721:１３２人目の素数さん
21/04/11 10:43:44.38 B/ZwQ0zG.net
略証って言い換えてるだけやん
722:１３２人目の素数さん
21/04/11 11:14:13.07 tCRmiMbP.net
>>701
これお願いします
723:１３２人目の素数さん
21/04/11 13:43:15.96 kSxMWaeX.net
>>707
「1つ足す」と言うことは「次の数」で、1の次は2だから
「1+1」は「1の次」で「2」になる
724:１３２人目の素数さん
21/04/11 20:03:48.57 tCRmiMbP.net
>>701
自己解決しまーす
725:１３２人目の素数さん
21/04/12 01:51:01.94 stYbLZe7.net
>>712
自然数とは
1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,・・・
という記号の列の全体を示す言葉であって、
その記号に順序と量を対応させ、同時に・・・・・なので 1+1=2 ということになる。
726:１３２人目の素数さん
21/04/12 10:50:25.15 yPK2H072.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
x, y ∈ (α, β)
y, z ∈ (γ, δ)
⇒
x, z ∈ (α, δ)
が成り立つなどと書かれています。
α < γ < δ < x < β
のとき、 x は (α, δ) に含まれません。
論理的に考えず、なんとなく開区間のイメージを思い浮かべてそれに頼って証明を書いているのがバレてしまいましたね。
727:１３２人目の素数さん
21/04/12 16:07:48.09 u9V4efvt.net
他人を蔑むだけに生きてる奴ってキモいな
728:ID:1lEWVa2s
21/04/12 16:25:15.27 J0ouTj+i.net
>>716
なんて書いてあるの。漢字が読めない。
729:１３２人目の素数さん
21/04/12 19:58:31.66 7a+16wPB.net
たにんをさげすむだけにいきてるやつってキモいな
とかいてある。
730:１３２人目の素数さん
21/04/12 20:56:26.73 sL5koGgx.net
k=1,2,...,n-1のどのkに対しても、nCk/(n^2+1)が整数にならないnが、無数に存在することを示せ。
731:１３２人目の素数さん
21/04/12 23:58:12.57 d/DzSP/c.net
p≡1 ( mod 4 )である素数を任意に取る
オイラーの定理よりn^2+1≡0 ( mod p ), 1 ≦ n ≦ p/2を満たすnが取れる
この時n>√pである
この時任意の0≦k≦nに対しC[n,k]の素因子はn以下であるからC[n,k]はpの倍数足りえない
よってpi ≡ 1 ( mod 4 ), ni^2+1 ≡ 0 ( mod pi ), p(i+1)>ni^2と選べば良い
732:１３２人目の素数さん
21/04/13 08:00:33.39 j+QCmQK0.net
>>718
いるよね。
助言でなく罵倒にしか喜びを見いだせないヤツ。
自分の考えと異なる人間は同一人物にみえるらしくすぐに自演認定するのがその特徴でもある。
733:１３２人目の素数さん
21/04/13 08:38:38.28 VQQVIuEI.net
>>721
罵倒厨とか言ってるやつのことか？
734:１３２人目の素数さん
21/04/13 13:29:25.91 pvDz1UJH.net
自分自身？
735:１３２人目の素数さん
21/04/13 13:56:20.05 lWQXuxEC.net
いるよね。
p ≡ 1 (mod 4) である素数pが無数にあると思ってるヤツ。
736:１３２人目の素数さん
21/04/13 13:59:54.59 lWQXuxEC.net
4m+1 形の奇素数は無数にある。
(略証)
5,13,17,･････,p は 4m+1形の奇素数とし、
a = (2･5･13･17･････p)^2 + 1
とおく。
すなわち、上記の4m+1形の奇素数すべてと2との積を平方して、1を加える。
(1) aが素数なら、aは上記以外の4m+1形の奇素数。
(2) aが合成数のとき、
a = n^2+1 だから、aの素因数qは2または4m+1形の奇素数に限る。 (← 補題)
aの定義から、上記の4m+1形の奇素数や2は aの素因数ではない。
よって、qは上記以外の4m+1形の奇素数。
〔補題〕
n^2 +1 の素因数qは、2または4m+1形の奇素数に限る。
(略証)
qを法とすると、-1は平方剰余である。
((-1)/q) = +1
q≠2 のとき
-1 ≠ 1 (mod q)
剰余類 (Z/qZ) の乗法群は、位数4の元を含む。
φ(q) = q-1 は4の倍数。 (← ラグランジュの定理)
q は 4m+1形の奇素数。
URLﾘﾝｸ(www2.wbs.ne.jp)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 15:20,
737:１３２人目の素数さん
21/04/13 14:49:43.08 wgnWxNBw.net
φn(x)をn次円分多項式、aを整数、pをφn(a)の素因子でnと互いに素とする時 p≡1 ( mod n )
∵) ζ=exp(2πi/n)、R=Z[ζ]、PをpZの上にあるイデアルとする時(i1,n)=1なるi1をとってζ^i1≡a ( mod P )
よって任意の(i,n)=1であるiに対してζ^i≡b ( mid P ) (∃b ∈ Z)
∴ φn(x) ≡ f(x) ( mod P ) ( ∃f(x) ∈ Z[x] )
∴ Frobenius置換Fは恒等射像
∴ p ≡ 1 ( mod n )
738:１３２人目の素数さん
21/04/13 14:53:55.66 lWQXuxEC.net
補題の方は
n^2 ≡ -1 (mod q)
qが奇数だから φ(q)/2 乗して
n^φ(q) ≡ (-1)^{φ(q)/2} (mod q)
一方、フェルマーの小定理から (n,q)=1 のとき
n^φ(q) ≡ 1 (mod q)
∴ φ(q) は4の倍数。
∴ q は 4m+1形の奇数。
4m-1形の奇素数の方は
a = 4(3･7･11････p) - 1
とおくらしい。
なお、n^2 +1 形の素数が無数にあるかどうか、未解決らしい･･･
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
739:１３２人目の素数さん
21/04/13 15:14:02.46 oIY6xqiV.net
Nを正の整数、aをNと素である整数とするとき
lim[x→∞] #{ p | p≦x, p ≡ a ( mod N ) } / (x/logx) = 1/φ(N)
∵ K/Qをガロア拡大、C⊂G = Gal(K/Q)を共役類とするときチェボタリョフ密度定理より
lim[x→∞] #{ p | p≦x, Fp ∈ C } / (x/logx) = #C/#G
K=Q(exp(2πi/n))とするときGal(K/Q)は位数φ(n)のアーベル群で
p ≡ a ( mod n ) ⇔ Fp(ζ) = ζ^a
740:１３２人目の素数さん
21/04/14 00:31:03.32 6YZhquKp.net
自分に都合の悪いレス＝罵倒厨w
単に頭が悪いことを指摘されただけだろうが。
741:１３２人目の素数さん
21/04/14 12:52:11.14 OunzomDB.net
動画に謝意を示す投稿とか、自分の考えと異なる人間は同一人物にみえるらしくすぐに自演認定するのが罵倒厨の特徴である。
>718には完全に同意。
742:１３２人目の素数さん
21/04/14 13:05:27.12 XG40KOs9.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
Cantorの集合を F とおく。
F + F = [0, 2]
であることを示せ。
743:１３２人目の素数さん
21/04/14 13:09:40.06 XG40KOs9.net
回答がない場合には、夕方に解答を書きます。
744:１３２人目の素数さん
21/04/14 13:51:29.58 xC8tpW4f.net
以下三進展開は0または2が無限個持つものに限るとする
Fは0以上1以下の三進展開が1を含まないものの全体とする
xが(0,2)の元とする
三進展開が1を無限に含む時
1を２つずつ組みにしていく
めんどくさいので一例で書けば
1220220221
=0220220222
+0222222222
と分けていく
つまり2のところはどっちも2,0のところは0と2、最初の1のところはどっちも0,最後の1のところはどっちも2
仮定によりどちらにも0は無限個入る
三進展開が1を有限個しか持たない時
1が偶数個なら1が無限にある場合とほぼ一緒
0が無限に入るようにできるところがやや自明ではないが容易
1が奇数個数なら最後の1以降を
122202222000222202....
=022222222200222222....
+022202222022222202....
とわける
つまり2のところは双方2,0のところは0と2,ただしいずれも0が無限に入るように振り分ける
それが可能なのも容易
745:１３２人目の素数さん
21/04/14 14:41:08.49 XG40KOs9.net
>>733
ありがとうございます。
F + F ⊂ [0, 2] は明らか。
x ∈ [0, 2] とする。
x/2 ∈ [0, 1] である。
x/2 = a_1/3 + a_2/3^2 + a_3/3^3 + …, （a_i ∈ {0, 1, 2}） と書く。
a_i = 2 のとき、 b_i = 1, c_i = 1 とする。
a_i = 1 のとき、 b_i = 1, c_i = 0 とする。
a_i = 0 のとき、 b_i = 0, c_i = 0 とする。
y = b_1/3 + b_2/3^2 + b_3/3^3 + …, （b_i ∈ {0, 1, 2}）
z = c_1/3 + c_2/3^2 + c_3/3^3 + …, （b_i ∈ {0, 1, 2}）
とする。
x/2 = y + z である。
x = 2*y + 2*z である。
2*x, 2*y ∈ F である。
よって、 x ∈ F + F である。
746:１３２人目の素数さん
21/04/14 17:45:21.05 xC8tpW4f.net
>>734
カントール集合は各桁が0 or 2やろ？
なんで0 or 1に分解してるん？
747:１３２人目の素数さん
21/04/14 17:46:45.83 XG40KOs9.net
2*x, 2*y は各桁が 0 or 2 になります。
748:１３２人目の素数さん
21/04/14 17:46:46.95 xC8tpW4f.net
あぁ、あとで２倍してるのか
749:１３２人目の素数さん
21/04/14 17:49:26.42 xC8tpW4f.net
あとその構成だとaiに2が有限個の場合場合ciは有限個除いて全部0になる
それは禁止やからあかんやろ
750:１３２人目の素数さん
21/04/14 17:51:16.58 xC8tpW4f.net
あ、失礼、逆やな
有限個除いて全部0は可やった
751:１３２人目の素数さん
21/04/14 22:45:59.22 6YZhquKp.net
>>730
コピペしか能がないのか
752:１３２人目の素数さん
21/04/14 23:01:19.41 XG40KOs9.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
C[a, b] を区間 [a, b] で連続な関数全体の集合とする。
f, g ∈ C[a, b] に対して、 ρ(f, g) := sup_{x ∈ [a, b]} | f(x) - g(x)| とする。
ρ は距離の公理を満たす。
M_K := {f ∈ C[a, b] | |f(t) - f(s)| ≦ K*|t - s| for any s, t ∈ [a, b]}
とおく。
M_K は閉集合であり、 {f ∈ C[a, b] | f は [a, b] で微分可能で |f'(t)| ≦ K を満たす} の閉包に等しいことを証明せよ。
で定義する。
753:１３２人目の素数さん
21/04/15 05:21:11.90 cEnfWYSS.net
実数xについて定義された関数f(x)は、0<a<bなる任意の実数a,bに対して
f(a)/a < {f(b)-f(a)}/(b-a) < f(b)/b
を満たすという。
このようなf(x)の例を挙げよ。
754:１３２人目の素数さん
21/04/15 07:21:21.98 xLVMSrQW.net
>>741
M_K が閉集合であることは簡単に分かりますね。
f を M_K の触点とする。
M_K の関数列 (g_n) で f に収束するものが存在する。この収束は一様収束である。
任意の正の実数 ε に対して、 |g_N(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b] が成り立つような N が存在する。
For any x, y ∈ [a, b], |f(x) - f(y)| ≦ |f(x) - g_N(x)| + |g_N(x) -g_N(y)| + |g_N(y) - f(y)| < K*|x-y| + 2*ε.
∴|f(x) - f(y)| ≦ K*|x-y| for any x, y ∈ [a, b]
∴f ∈ M_K
∴M_K は閉集合。
755:１３２人目の素数さん
21/04/15 08:59:43.80 /uP9Fo0X.net
>>742
与式の右側から
b{f(b)-f(a)} < (b-a)f(b),
f(b)/b < f(a)/a,
となって矛盾
756:１３２人目の素数さん
21/04/15 12:02:04.24 sjnFC7Th.net
解明の無い数学題
757:１３２人目の素数さん
21/04/15 13:05:00.50 X9qcKTqm.net
f(x)をM_Kに属する関数とする
周期2πを持つ周期関数としてよい
閉円盤|z|≦1での連続関数u(z)を
・u(exp(ix)) = f(x)
・u(z)は|z|<1で調和関数
となるように取れる
この時|z|=1と|ρ|=1に対して|φ(ρz)-φ(z)|≦K|ρ-1|であるから最大値原理を用いて|z|≦1でも成立する
この時f_r(x)=u(rexp(ix))とおけばlim f_r(x)=f(x) (uniform)かつ|f'(x)|≦Kである
758:１３２人目の素数さん
21/04/15 13:45:47.52 /uP9Fo0X.net
a{[f(b)-f(a)]/(b-a) - f(a)/a} + b{f(b)/b - [f(b)-f(a)]/(b-a)} = 0,
両方が同時に正にはならない。
759:１３２人目の素数さん
21/04/15 13:51:16.90 /uP9Fo0X.net
>>727
4m-1形の奇素数は無数にある。
(略証)
3,7,11,･････,p は 4m-1形の奇素数とし、
a = 4(3･7･11･････p) - 1
とおく。
(1) aが素数なら、aは上記以外の4m-1形の奇素数。
(2) aが合成数のとき、
aは4m-1形の奇数だから、4m-1形の素因数qをもつ。
しかし aの定義から 上記の4m-1形の奇素数はaの素因数ではない。
∴ q は上記以外の4m-1形の奇素数。
760:１３２人目の素数さん
21/04/15 18:06:46.64 cEnfWYSS.net
実数xについて定義された関数f(x)は、0<a<bなる任意の実数a,bに対して
f(a)/a < {f(b)-f(a)}/(b-a) < f(b)/b
を満たす。
というf(x)が存在しないことは、図形的にはどう説明できますか？
761:１３２人目の素数さん
21/04/15 18:43:14.58 X9qcKTqm.net
p<<rの時
p～rの傾き=p～qの傾きとq～rの傾きの加重平均
762:１３２人目の素数さん
21/04/15 21:06:42.63 XjSeSAKy.net
>>749
不等式の各項から見える通りを表現するだけだな。
原点O:(0,0)、点A:（a, f(a))、点B:(b, f(b)) ここに 0＜a＜b のとき、
OAの傾きがOBの傾きより小さいときはABの傾きはOBの傾きよりおおきく
OAの傾きがOBの傾きより大きいときはABの傾きはOBの傾きよりちいさい。
763:１３２人目の素数さん
21/04/16 00:14:17.68 FMSmwK5I.net
重積分の解き方がわかりません。
∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^x/(e^x+e^y+e^z) dxdydz
wolframで答えは確認したのですが、どうやって解くのでしょうか。
764:１３２人目の素数さん
21/04/16 00:23:01.48 jd5oFRy+.net
対称性を使え
765:１３２人目の素数さん
21/04/16 02:50:40.69 SMl20eo3.net
dzdydxの順に累次積分
766:１３２人目の素数さん
21/04/16 10:31:59.79 FMSmwK5I.net
途中でどうしても積分できない形になってしまうのですが、、、
767:１３２人目の素数さん
21/04/16 11:47:48.60 FMSmwK5I.net
>>752
すみません、どなたか解説お願いします、、、
768:１３２人目の素数さん
21/04/16 12:08:03.62 Jxk/mkxx.net
I = ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^x/(e^x+e^y+e^z) dxdydz
= ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^y/(e^x+e^y+e^z) dxdydz
= ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] e^z/(e^x+e^y+e^z) dxdydz
3I = ∫[0,1]∫[0,1]∫[0,1] dxdydz = 1
769:１３２人目の素数さん
21/04/16 12:24:19.11 FMSmwK5I.net
ありがとうございます！
こんなにあっさりと解けるんですね、、、
こういう解き方の発想、どうやって思いつくのかをもしよかったら教えていただきたいです！
770:１３２人目の素数さん
21/04/16 12:36:49.51 Jxk/mkxx.net
対称性を使え
771:１３２人目の素数さん
21/04/16 13:10:57.25 xwfgxic/.net
>>749
0<a<b
OBの傾きは、OAの傾きとABの傾きの加重平均だから
それらの中間にある。
∴ ABの傾きは f(a)/a と f(b)/b の中間にはない。
772:１３２人目の素数さん
21/04/16 13:19:21.08 PH0kEqcg.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
p.65 演習3
つぎつぎに前の球に含まれるような適当な閉球列の交わりが空集合であるような完備距離空間の例をつくれ。
本当にこんな完備距離空間って存在するんですか？
773:１３２人目の素数さん
21/04/16 16:09:35.08 SMl20eo3.net
R^n
774:１３２人目の素数さん
21/04/16 16:10:33.56 SMl20eo3.net
よく見たら閉集合でなく球限定か
775:１３２人目の素数さん
21/04/16 16:21:54.68 NiDHgcDH.net
そうそう
有界完備の閉集合で単調に減少していかないといけないのでコンパクトでない例をあげないとダメ
有界完備距離空間でコンパクトでない例だから有界だけど全有界でない例やね
それ自体はすぐ上げられるけど、なおかつ閉球の単調減少列で反例を作らないといけないからなぁ
776:１３２人目の素数さん
21/04/16 16:48:06.45 Jxk/mkxx.net
math.stackexchange.com
Example of nested closed balls with empty intersection?
で挙げられている例
d(n,n) = 0, d(n,m) = 1 + 1/min(n,m) (n≠m)
で距離付けされた空間: N = {1, 2, ,3, 4, ... }
球列: Ballₙ = B(n, 1+1/n) = {n, n+1, n+2, ... }
Ball₁ ⊃ Ball₂ ⊃ Ball₃ ⊃ ...
∩ₙ Ballₙ = ∅ である.
777:１３２人目の素数さん
21/04/16 17:47:21.55 KWN7naKQ.net
Σ(2k)!!/(2k+1)!!=(2n+2)!!/(2n+1)!!-1
らしいのですが、帰納法以外でどうすれば右辺にたどり着けるでしょうか？
和は k=0 から k=n までです
778:１３２人目の素数さん
21/04/16 17:52:46.02 djcsjBGz.net
!! を ! で書いてみたら？
779:１３２人目の素数さん
21/04/16 17:58:00.35 KWN7naKQ.net
和の中身=(2^k･k!)^2/(2k+1)!
みたいな感じですか？
780:１３２人目の素数さん
21/04/16 19:42:31.97 PH0kEqcg.net
>>765
ありがとうございました。
こういう極端な例を考えないといけないんですね。
こういう問題の場合、ユークリッド空間のイメージは捨てて考えたほうがいいようですね。
781:１３２人目の素数さん
21/04/16 19:53:57.03 DXqyicCC.net
荒らしに優しいスレ、感動した
782:１３２人目の素数さん
21/04/16 20:25:27.46 xwfgxic/.net
>>766
Σ の中身に (2k+2) - (2k+1) を掛ける。
(2k)!!/(2k+1)!! = (2k+2)!!/(2k+!)!! - (2k)!!/(2k-1)!!
telescoping と云うらしい
783:１３２人目の素数さん
21/04/16 21:27:09.26 iuAaUDrV.net
>>771
あー答えの形から気づけと言われればそうですが僕には無理かな～
ありがとうございました
784:１３２人目の素数さん
21/04/17 00:41:54.76 efHaSsJn.net
>>760
質問者>>749 は、これを読んで、加重平均って何のことなんだろって、またまた悩んでいることだろうなあ。
785:１３２人目の素数さん
21/04/17 00:58:11.01 noLBqZYE.net
質問者>>749 はそれを読んで
(OBの傾き) = {f(b)-f(0)}/(b-0)
= {f(b)-f(a) + f(a)-f(0)}/{(b-a) + (a-0)}
= {(b-a)(ABの傾き) + (a-0)(OAの傾き)}/{(b-a)+(a-0)}
= {(ABの傾き) と (OAの傾き) の加重平均}
のことだと思ってるよ。。。
786:１３２人目の素数さん
21/04/17 01:16:20.84 WSKRU0d1.net
まぁしかし加重平均というのをコレを機会に覚えるのはいい事に間違いはないし
そもそもa～cの傾きがa～bの傾きとb～cの傾きの間に必ず来るというのはいくつか図を書いてみれば常にそうなるのはわかる、わかるがじゃあ、「何例かかいてみたらいつでもそうなるから」なんてのが数学的証明として成立するわけない
結局次のステップとして「何故そうなるのか？」を理解しないと意味ないし
そしてその理由は傾き＝平均変化率＝変化の“割合”の平均になってるのがエッセンスでa～cの平均はa～bでの平均とb～cでの平均を(重みをつけて)平均を取り直したものになってるからというのがミソになってるのは間違いないからな
787:766
21/04/17 01:44:40.64 noLBqZYE.net
解説乙
788:１３２人目の素数さん
21/04/17 09:38:01.31 +1oB9kpo.net
公平なコインがあり、コインを振って表が出た場合○を、裏が出た場合☓をノートに書くゲームを繰り返し行う。
ゲームを開始してちょうど10回コインを振ったところ、ノートには○が2つと☓が8つ書かれた。ノートの○と☓の数が同じになるまでコインを振るとき、あと何回コインを振ることになると考えられるか。その期待値を求めよ。
789:１３２人目の素数さん
21/04/17 11:38:06.74 cTPX2a7q.net
その試行が「終わらない」場合もあるけど、これは問題設定として適切なのか？
それとも終わる場合のみを考えた 条件付き確率として求めるのが正しいのか？
790:１３２人目の素数さん
21/04/17 11:51:44.72 WSKRU0d1.net
枚数差がnのとき同数となるまでの期待値をEnとおくAn=En+n^2とおけば漸化式
An=(1/2)(A(n+1)+A(n-1))
を満たすからE0,E1を求めれば良い
E1=0
E1=Σ[k=0,∞]Ck/(2×4^k)(2k+1)
よりカタラン数の母関数を使って以下ry
791:１３２人目の素数さん
21/04/17 15:10:47.56 noLBqZYE.net
枚数差 n=2 とすると
あと2k回コインを振ったとき初めて同じ枚数になる、という確率が
p_k ～ 0.19925 / k^(3/2)
よって
E2 = Σ[k=1,∞] 2k･p_k は発散？
792:１３２人目の素数さん
21/04/17 15:26:17.92 WSKRU0d1.net
発散するな
惜しいね
確率が1/2でなければ収束するのに
793:１３２人目の素数さん
21/04/17 16:30:04.48 noLBqZYE.net
枚数差 n=1 とすると
あと2k+1回コインを振ったとき初めて同じ枚数になる、という確率が
P_k ～ 1.13 / k^(3/2)
よって
E1 = Σ[k=0,∞] (2k+1)･P_k も発散
794:１３２人目の素数さん
21/04/17 20:19:29.21 6DAmp0q3.net
応用(？)問題
ある大学の進級試験（本試験と呼ぶ）は○☓で答える問題が９問出されて正答率が５割を越える、即ち、５問以上正答で合格とする。
不合格者には追試が用意されていて１問ずつ問題が出されて本試験との通算成績が５割を越えた時点で合格となる。
追試には１問につき１万円が徴収される。
A君は本試験では問題も読まずに無作為に解答したため４問正答５問誤答で本試験は不合格となった。
追試料を100万円準備して追試も無作為に解答することにした。
A君が合格する確率はいくらか？
（尚、出題者は答をもっておりませんので悪しからず。）
795:１３２人目の素数さん
21/04/17 20:20:28.63 er1C6e/s.net
プロおじが似たような問題どっかで出してたね
796:１３２人目の素数さん
21/04/17 21:47:57.03 WSKRU0d1.net
プロおじやろ
797:772
21/04/17 23:47:16.68 noLBqZYE.net
n=2 と考えてよい
84.2382098507744%
798:１３２人目の素数さん
21/04/18 01:34:00.87 RBDdYvgz.net
n個の箱にk個の玉を入れていく。
各玉がどの箱に入るかについて、その確率は等しく1/nである。
全ての玉を入れ終わったあと、2個以上の玉が入った箱を取り除く。取り除かれる箱の数の期待値を、n=2kの場合にkで表せ。
799:１３２人目の素数さん
21/04/18 07:21:01.95 gK9RVIsx.net
>>783
10万回シミュレーション。
追試合格確率
> mean(y[,1])
[1] 0.84103
追試合格したときの追試料の分布
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
800:１３２人目の素数さん
21/04/18 07:23:24.74 gK9RVIsx.net
合否を問わず、
801:１３２人目の素数さん
21/04/18 07:23:44.85 gK9RVIsx.net
A君の払う追試料金の分布
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
802:１３２人目の素数さん
21/04/18 07:45:53.43 gK9RVIsx.net
>>783
厳密解を出そうと思ったけど、(1/2)^100の計算は計算機がオーバーフローするので
10万円準備した場合の追試合格確率を計算
> sum(calc(nn))
[1] 0.548828125
803:１３２人目の素数さん
21/04/18 08:00:52.85 RdIaqb7f.net
フローするってわかってるなら型変えればいいのに
数値計算もそんなに詳しくないのかな
あと自演はもうやめてね
804:１３２人目の素数さん
21/04/18 08:13:29.39 gK9RVIsx.net
>>787
ｋ=20までシミュレーション
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
805:１３２人目の素数さん
21/04/18 08:14:41.76 gK9RVIsx.net
>>792
出題時はシミュレーション解しかもっていなかった。
いまも100万のときの厳密解はだせないでいる。
806:１３２人目の素数さん
21/04/18 08:23:30.41 RdIaqb7f.net
>>794
自演はもうやめてね
807:１３２人目の素数さん
21/04/18 10:48:10.73 FmOnSyhV.net
>>787
箱iに2個以上入らず取り除かれる確率は(1-1/n)^k k(1/n)(1-1/n)^(k-1)
よって取り除かれる箱の個数の期待値は
n((1-1/n)^k k(1/n)(1-1/n)^(k-1))
808:１３２人目の素数さん
21/04/18 11:09:31.21 E0FLEhCb.net
>>795
なんだ分数での厳密解でも出せたのかと期待したのに
809:１３２人目の素数さん
21/04/18 11:52:50.02 T2x+9b6/.net
2k, p_k
-------------------------
2, 0.250000000 1/4
4, 0.125000000 2/16
6, 0.078125000 5/64
8, 0.054687500 14/256
10, 0.041015625 42/1024
12, 0.032226563 132/4096
14, 0.026184082 429/16384
16, 0.021820068 1430/65536
18, 0.018547058 4862/262144
20, 0.016017914 16796/1048576
30, 0.009029028
40, 0.005970033
50, 0.004318276
60, 0.003308973
70, 0.002639596
80, 0.002168973
90, 0.001823285
100, 0.001560573
2～10回
0.548828125 562/1024
平均 4.220640569395回
2～100回
0.842382098507744
平均 14.710974719367回
810:１３２人目の素数さん
21/04/18 13:11:20.27 gK9RVIsx.net
>>787
k=20,30,40,50で実験
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
811:１３２人目の素数さん
21/04/18 13:20:00.71 7oLWGUsy.net
>>797
そうやって誤魔化し続けることしかできないんだなお前
812:１３２人目の素数さん
21/04/18 18:51:32.51 gK9RVIsx.net
>>800
んで厳密解出せたのか？
813:１３２人目の素数さん
21/04/18 19:15:07.91 6/ob1NSd.net
>>801
自演はもうやめてね
814:１３２人目の素数さん
21/04/18 20:31:47.31 gK9RVIsx.net
>>791
追試料20万円までなら計算が終了した。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
815:１３２人目の素数さん
21/04/18 20:34:43.46 gK9RVIsx.net
>>802
んで、厳密解でたの？
816:１３２人目の素数さん
21/04/18 20:40:18.99 gK9RVIsx.net
>>792
言語仕様上無理。
不定長整数の扱えない
> 2^100+1 == 2^100
[1] TRUE
> 2^50+1 == 2^50
[1] FALSE
という仕様なので