21/03/28 18:43:31.48 Eu8CzLjp.net
>>435
a = (1 + 1/√2)/2 = 0.8535534
b = (5/2+√2)/2 = 1.95710678
L = √(71/4 + 2√2) = 4.5363451285
とおく。
問題の領域は 直径がLである3円
(x-a)^2 + (y+b)^2 ≦ (L/2)^2,
(x+a)^2 + (y+b)^2 ≦ (L/2)^2,
x^2 + (y+b-a√3)^2 ≦ (L/2)^2,
により二重に被覆されている。doubly covered.
どの点も 2つ以上の円に含まれる。
どの2点も同じ円に含まれるから 距離 ≦ L.
457:１３２人目の素数さん
21/03/28 19:49:01.62 fpb6SHPW.net
>>414
この方程式をプログラムで数値解を出して
重心が(0,0),垂心が(1,0)となる三角形をAの座標を乱数発生させて描いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Gが重心、oが垂心、Iが内心
458:１３２人目の素数さん
21/03/28 20:01:29.09 gC1h70qb.net
>>448
無理でしょ？
(a,b,c,d,e)と(x,y,z,u,v)を周期5で考えて畳み込んだものと(a,b,c,d,e,0,0,0)と(x,y,z,u,v,0,0,0)を周期8で畳み込んだものは一致しないでしょ？
459:１３２人目の素数さん
21/03/28 20:10:43.19 fpb6SHPW.net
>>450
乱数発生を1000回繰り返して内心となる座標を重ね合わせてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
内心の分布は円形に収まりそう。(3,1)が内心となることはなさそうだな。
460:１３２人目の素数さん
21/03/28 20:14:27.21 fpb6SHPW.net
>>452
シミュレーションの結果は>432の予想を支持する。
プログラミングが楽しめた。
461:１３２人目の素数さん
21/03/28 21:00:42.43 /jK5jGei.net
>>451
0で埋めると巡回行列じゃなくなってしまいますね。
462:１３２人目の素数さん
21/03/28 21:05:40.37 iiFYE3Wp.net
>>452
おー分かりやすい
何個か円の外にはみ出てる点あるけどこれは何でなん？
463:１３２人目の素数さん
21/03/28 21:11:51.83 gC1h70qb.net
>>454
少なくともFFTを使って高速化できるのはnに何の要件もなければ無理なんじゃないかな？
少なくともwikiではnが小さい素因子をたくさんかけた形の高速化法しか載ってない
一般の場合でもできるなら方法そのものを載せるのは無理でも論文へのリファレンスがないのは考えられないし
出題ミスかな？
FFTでできないから一般にも無理とは言えないけど
464:１３２人目の素数さん
21/03/28 21:20:31.38 gC1h70qb.net
O:外心
I内心
H:垂心
OI^2/OH^2
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
465:１３２人目の素数さん
21/03/28 21:31:11.30 fpb6SHPW.net
>>455
多分、三角形を形成しないような乱数が選択されたのではと推測。
466:１３２人目の素数さん
21/03/28 22:57:13.38 9hClS6gi.net
>>458
プロおじは出禁だぞ。
467:１３２人目の素数さん
21/03/29 00:35:57.63 GgCLqWW4.net
今回は役に立ってるからな
おまえさんにゃ分が悪い
468:１３２人目の素数さん
21/03/29 00:41:01.25 PU1lRMXx.net
ミスリードしてるからあかんやろ
469:１３２人目の素数さん
21/03/29 00:58:14.08 JEuzD2OD.net
プロおじは期待値から勉強し直してきなさい。
470:１３２人目の素数さん
21/03/29 01:22:09.05 JXTeJTxs.net
訂正
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
471:１３２人目の素数さん
21/03/29 02:37:12.22 rt8CA3eO.net
延々とプロおじ追い出そうとしてる奴いるけど正直うっとうしい
レス内容が気に入らないなら見なきゃいいだけなのに
472:１３２人目の素数さん
21/03/29 02:43:06.46 aDVxIJBu.net
ハサミは使いよう等と言う
出禁にするのは勿体無い
473:１３２人目の素数さん
21/03/29 02:48:42.75 /r3M6nmW.net
公園で遊んでたらオナニーしてる人がいて困ってる状況ですし
コテつけてるならNGすればいいけど、そうしない時点で「プロおじ=公衆オナニー見せつけて喜んでるキチガイ」なんだもの
474:１３２人目の素数さん
21/03/29 02:51:59.03 9N6BVMjD.net
>>466
>>466
475:１３２人目の素数さん
21/03/29 04:38:45.90 JxT5eGiE.net
五者択一の問題に連続４問正解したら合格の試験がある。
１問解答するのに１０００円を徴収される。
太郎君は１０万円を準備して試験に臨み、問題文は読まずにランダムに解答することにした。
(1)太郎君の合格する確率はいくらか？
(2)太郎君の合格確率を1/2にするにはいくら準備すればよいか？
476:１３２人目の素数さん
21/03/29 06:46:22.46 Q46gHliY.net
wolframalpha>>(越えられない壁)>>プロおじ
>>464
左翼は、よく左翼のふりをして外国贔屓の外国右翼に利用される｡
下手にプロおじを静観しない方がスレの為｡
477:１３２人目の素数さん
21/03/29 13:29:04.38 pDr3G3SZ.net
>>468
（１）は 表のでる確率が1/5のコインを100回投げて4回以上連続して表がでる確率と等しいかな？
478:１３２人目の素数さん
21/03/29 13:58:58.60 lBxffmcv.net
プロおじは社会や家庭だけでなく5chにも居場所なんかないからな。
479:１３２人目の素数さん
21/03/29 14:23:56.95 5dpYUdde.net
>>445-447
更にどうでもいいことだが
X = 5/3 + 1/198,
は
X^3 - (１ + 3/198^2)X - (３ - 2/198^3) = 0,
の実数解
480:１３２人目の素数さん
21/03/29 14:58:15.46 5dpYUdde.net
更に更にどうでもいいことだが
X = 5/3,
は
X^3 - (１ - 1/45)X - 3 = 0,
X^3 - X - (３ - 1/27) = 0,
の実数解
481:１３２人目の素数さん
21/03/29 15:02:28.77 pDr3G3SZ.net
>>468
(１) 0.1175311
(2) 542000円
482:１３２人目の素数さん
21/03/29 15:14:24.79 pDr3G3SZ.net
>>445
更にどうでもいいことだがｗ
グラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Newton-Raphson法での数値解
> f <- function(x) x^3 - x - 3
> curve(f(x),-5,5)
> abline(h=0,lty=3)
> uniroot(f,c(-5,5),tol=1e-24)$root
[1] 1.67169988166
483:１３２人目の素数さん
21/03/29 16:36:11.44 c+KCNM8F.net
シミュレーション向きの問題です
以下の連立不等式で表される3次元空間の立体
x^2+y^2≦1
y^2+z^2≦1
z^2+x^2≧1
を図示せよ。
484:１３２人目の素数さん
21/03/29 17:18:02.69 5dpYUdde.net
>>468
(1) 0.1176679987
(2) 542000円
n問解答後に、最後のk問が正解の確率を Q_k(n) とする。
(n-k が不正解で、n-k+1～n が正解)
漸化式
Q0(n) = (1-p){Q0(n-1) + Q1(n-1) + Q2(n-1) + Q3(n-1)},
Q1(n) = p･Q0(n-1),
Q2(n) = p･Q1(n-1),
Q3(n) = p･Q2(n-1),
n問目で合格する確率は
P(n) = p･Q3(n-1),
特性方程式
(1/(1-p))･t^4 - t^3 - p･t^2 - p^2･t - p^3 = 0,
特性値 (p=1/5)
α = 0.998713391320282
541問までで合格 0.49989971143
542問までで合格 0.50054314480
485:１３２人目の素数さん
21/03/29 17:54:16.00 JXTeJTxs.net
単にn回目までに合格する確率S(n)求めるだけならk=4として
S(n)=S(n-1)+qp^k(1-S(n-k-1))
の方が早いがな
特殊解S(n)=1もすぐ見つかるし
この漸化式から求まるP(n)の特性方程式は
x^(k+1)-x^k=p^(k+1)-p^k
もうこのネタ何十回見たやろ
486:１３２人目の素数さん
21/03/29 19:31:54.37 5dpYUdde.net
>>435
この領域を平行線で挟んだときの幅を考える。
平行線の傾きが正のときは点 (-2,0) を通り、
傾きが負のときは点 (2,0) を通る。
∴ どちらにしても 幅 ≦ L,
∴ この領域内の線分の長さ ≦ L,
参考
支持関数 (support function)
凸領域
487:１３２人目の素数さん
21/03/29 20:43:18.88 L8k5fESM.net
>470の確率と一致するはずと思っての答が>474でしたが、>477と一致しないので
プログラムを見直したらインデックスがひとつずれておりました。
>474は撤回して以下に修正
> P(100,1/5,4)
[1] 0.1176679986993025
（2）の方は> P(541:543)
[1] 0.4998997114295112 0.5005431448015157 0.5011857503265590
なので542000円のまま。
シミュレーションプログラムを組んで検証してみよう。
488:１３２人目の素数さん
21/03/29 21:00:28.87 L8k5fESM.net
100万回のシミュレーションだと太郎君の合格確率は
> mean(y[,2])
[1] 0.117868
と出た。
ちなみに太郎君が合格したときに手元に残るお金の平均値は
> (100-mean(z))/10 # 合格したときの残金
[1] 4.91万円になった。案外手元に残るもんだな。
オマケ（Rのコードはここ）
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:849番)
オマケのおまけ：総解答数と合格確率のグラフ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
489:１３２人目の素数さん
21/03/29 21:04:17.06 L8k5fESM.net
>>476
罵倒厨が３D見取り図を作る練習問題にいいかもな。
粘土でつくるかもしれんが。
490:１３２人目の素数さん
21/03/29 21:17:05.17 c+KCNM8F.net
シミュレーション向きの問題です
（1）A=C[20212022,2021],B=C[20211011,2020]とするとき、KA=LBを満たす正の奇数K,Lが存在することを示せ。
（2）Aを4で割った余りを求めよ。
491:１３２人目の素数さん
21/03/29 21:21:53.39 lBxffmcv.net
誰にも相手にされてないプロおじ虚しくないのか？
492:１３２人目の素数さん
21/03/30 01:11:01.96 9OPtgdh7.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
493:１３２人目の素数さん
21/03/30 01:11:15.54 gtiIL6DW.net
>>432
0＜α＜π/2, -α＜β＜αとして、A(cos2α,sin2α), B(cos2β,sin2β), C(cos2α,-sin2α)をとる。
任意の三角形はこの形式に相似変換できる。
外心O=0,
重心G=((2cos2α+cos2β)/3,(sin2β)/3)
垂心H=(2cos2α+cos2β,sin2β)
G-Hの中点M=(2(2cos2α+cos2β)/3,2(sin2β)/3)
内心I=(cos(β+α)+cos(β-α)-1,sin(β+α)+sin(β-α))=(2cosαcosβ-1,2cosαsinβ)
線分MHとMIの距離の二乗の差を考える。
MH^2-MI^2
=(((2cos2α+cos2β)/3)^2+((sin2β)/3)^2)-((2cosαcosβ-1-2(2cos2α+cos2β)/3)^2+(2cosαsinβ-2(sin2β)/3)^2)
=4cosα(cosβ-cosα)((2cosα-cosβ)^2+1-(cosβ)^2)/3 ①
0＜cosα＜cosβ＜1 なので ①≧0、よって MH≧MI
等号は(2cosα-cosβ)^2+1-(cosβ)^2=0のときのみ。cosβ=1,cosα=1/2なのでこのとき△ABCは正三角形。
よって、
＞正三角形を除く三角形の内心は、重心-垂心間の線分を直径とする円の内側に存在する □
494:１３２人目の素数さん
21/03/30 03:32:52.72 1nCYsZUW.net
>>456
FFTは任意のnで行えるし実装もされている（rader's fft algorithmという）。
wikipediaの情報が誤っているのは執筆者の学が足りないだけ。
495:１３２人目の素数さん
21/03/30 03:43:46.05 9OPtgdh7.net
外接円の半径を1、外心O、垂心H、内心Iとする
OI^2=3-2cosA-2cosB-2cosC
OH^2=3+2cos2A+2cos2B+2cos2C
OI.OH=2cosA+2cosB+2cosC-cos(A-B)-cos(B-C)-cos(C-A)
3IG.IH
=(OH-3OI).(OH-OI)
=2(cos2A+2cos2B+2cos2C)
-14(cosA+cosB+cosC)
+4(cos(A-B)+cos(B-C)+cos(C-A))
+12
=4(cosA+cosB+cosC)^2-10(cosA+cosB+cosC)+6
≦0 (∵ cosA+cosB+cosC≦3/2)
496:１３２人目の素数さん
21/03/30 03:53:39.25 9OPtgdh7.net
訂正
1≦cosA+cosB+cosC≦3/2
497:１３２人目の素数さん
21/03/30 06:17:06.69 hjMIVqxL.net
>>483
>468で太郎が合格したときに手元に残る金の期待値の方がシミュレーション向きだと思う。
498:１３２人目の素数さん
21/03/30 07:22:13.42 Yc3/2/EC.net
>>486
力作の投稿ありがとうございます。
三角形の五心の座標を算出する関数をおもちゃ箱から取り出して
正三角形を除く三角形の内心は、重心-垂心間の線分を直径とする円の内側に存在する
を体感してみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
もとを辿れば、
>414の連立方程式をプログラムで数値解を出そうと探索させてみたけどして最適解がみつからず、
プログラムが間違っているのかと訝っていましたが、題意を満たす三角形は存在しないことが証明されて感動しました。
499:１３２人目の素数さん
21/03/30 08:46:53.71 Jgfj8cZF.net
>>487
そりゃ離散フーリエ変換自体は任意のnで定義されてるでしょ？
問題はその計算量
これもwikiだのみだけど
畳み込み積分の計算をゼロ埋めなしのFFTで行う場合、計算時間はNの性質に強く依存する。最悪の場合、N-1 が素数 N2 により N-1= N2 と表され、また N2–1が素数 N3 により N2–1 = N3 と表され、以下同様に続いていく場合である。このような場合、レーダーのアルゴリズムの再帰が連続することになり、O(N²)の計算時間がかかる可能性がある。このような性質をもつNは ソフィー・ジェルマン素数と呼ばれ、上記の数列は一次の Cunningham(ビル-カニンガム)チェーンと呼ばれる。し�
500:ｩしながら、これまでの研究ではカニンガムチェーンの成長はlog2(N)よりも遅いことが分かっているため、レーダーのアルゴリズムの再帰によりかかる計算時間はO(N²)よりかは速いと思われる。幸いにも、畳み込み計算にゼロ埋めを用いたFFTを使えば計算時間はO(N log N)のオーダーになることが保証されている。 とあるけど？ ゼロ埋め使えないし
501:１３２人目の素数さん
21/03/30 11:04:46.46 ux9g6nBw.net
>>492
イヤ、訂正
これはなんかwikiの方がおかしい気もする
アルゴリズムの内容も読んでみたらnlog(n)で計算できる気もする
502:１３２人目の素数さん
21/03/30 12:31:15.21 1nCYsZUW.net
>>493
なぜゼロつめができないと決めつける？
非巡回畳み込みはゼロつめで高々2倍のnで2^kの計算に持ち込めて定数を無視すると
O(2n*log(2n))=O(n*log(n))で計算できる。
巡回畳み込みは非巡回畳み込みをn回足せばよいだけだからこれもn*log(n)オーダで計算できる。
したがって任意の非巡回、巡回畳み込みはn*log(n)オーダで計算でき、
任意のnの離散フーリエ変換もこのオーダーで計算できる。
またレーダーの方法以外にも素数nの離散フーリエ変換をO(n*log(n))で計算するアルゴリズムは少々技巧的だが存在する。
503:１３２人目の素数さん
21/03/30 12:41:51.51 85330UQl.net
>>494
イヤ、実際できないでしょ？
[[a,b,c],[b,c,a],[c,a,b]]と[p,q,r]
のサイズが2冪になるように0詰めしたら
[[a,b,c,0],[b,c,0,a],[c,0,a,b],[0,a,b,c]]と[p,q,r,0]
になってこの積は高速に計算できるかもしれないけど、それは元の行列とベクトルの積とは一致しない
オーディオ機器とかへの応用ででNのサイズに特に意味がないなら好きなだけ0詰めすればいいけど、今数学の問題で「行列とベクトルの積をFFTの理論を応用して高速に行いたい」というテーマなんだから0詰めなんてできないじゃん？
504:１３２人目の素数さん
21/03/30 12:49:56.29 1nCYsZUW.net
>>495
訂正:高々2倍→高々4倍
(a,b,c)×(p,q,r)は
(a,b,c,0,0,0,0,0)×(p,q,r,0,0,0,0,0)を計算して、
巡回してない部分を足し合わせることで計算可能
505:１３２人目の素数さん
21/03/30 12:57:12.84 85330UQl.net
>>496
どうやって？
もちろん(a,b,c,0,0,0,0,0)×(p,q,r,0,0,0,0,0)には元の(a,b,c)×(p,q,r)を計算するためのデータは揃ってるけどホントに求めたい(a,b,c)×(p,q,r)のn個あるデータそれぞれを計算するために高々logn回の計算で辿り着かなければいけない
どうやってやるの？
506:１３２人目の素数さん
21/03/30 13:16:14.35 1nCYsZUW.net
>>497
だから具体的に書くと
(a,b,c,0,0,0,0,0)×(p,q,r,0,0,0,0,0)=(ap,bp+aq,cp+bq+ar,cq+br,cr,0,0,0)
でさらに
(第1要素+第4要素,第2要素+第5要素,第3要素)=(ap+cq+br,bp+aq+cr,cp+bq+ar)
を計算すると完全に巡回畳み込みと一致する
507:１３２人目の素数さん
21/03/30 13:25:28.33 85330UQl.net
>>498
それ必要になる成分の数にちゃんと制限あるん？
2冪でうまく行くのは後で足し合わせる時1,2,4,8‥成分だけ計算しておけば、残りはそれらのlog(n)回の足し引きで済むから早くなるけど、0埋めして、行列×ベクトルのlog(n)個以内の足し引きで必ず済むの？
508:１３２人目の素数さん
21/03/30 13:35:25.16 85330UQl.net
あ、>>499の前半の早くなる理由はウソ
しかし後半が自明でないのはその通りじゃない？
v×wを0埋めして(v,0..)×(w,0‥)の計算がnlog(n)で計算できたとして、目標のv×wの各成分は(v,0..)×(w,0‥)の各成分の高々log(n)個の線形結合になってるの？
計算できるかどうかじゃないよ？
計算量の問題だよ？、
509:１３２人目の素数さん
21/03/30 13:49:25.85 85330UQl.net
アレ
失礼しました
高々2個か
510:１３２人目の素数さん
21/03/30 17:46:58.34 Kuq1zeeQ.net
⊿ABC の面積を S とおく。
S = abc/(4R), (← 正弦定理)
S = (a+b+c)/2・r,
辺々掛けて
r/R = {8/[abc(a+b+c)]}SS
= (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/(2abc) (← ヘロン)
= (bb+cc-aa)/(2bc) + (cc+aa-bb)/(2ca) + (aa+bb-cc)/(2ab) - 1
= cos(A) + cos(B) + cos(C) - 1, (← 第二余弦定理)
よって
511: OI^2 = R (R-2r) (← Chapple-Euler) = RR {3 - 2cos(A) - 2cos(B) - 2cos(C)},
512:１３２人目の素数さん
21/03/30 19:33:10.27 Kuq1zeeQ.net
>>489
cos(A) + cos(B) + cos(C) = - cos(A+B+C)
+ 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2) cos((A+B+C)/2)
+ 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2) sin((A+B+C)/2),
= 1 + 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2) (← A+B+C=π)
> 1,
また
sin(A/2) sin(C/2) sin(C/2)
≦ {[sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C)]/3}^3 (← GM-AM)
≦ sin((A+B+C)/6)^3 (← 上に凸 in [0,π])
= sin(π/6)^3 (← A+B+C=π)
= (1/2)^3
= 1/8,
∴ 1 < cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3/2
等号成立は A=B=C=π/3 (正三角形).
513:１３２人目の素数さん
21/03/30 22:13:14.87 B+2WTY4k.net
筋肉関数M(n)を以下のように定義する。
M(0)=1
M(n+1)=M(n)+m(n)+i*fat(n)
m(n)=1（筋トレをした場合）,-1（筋トレをしなかった場合）
fat(n)=-1（筋トレをした場合）,1（筋トレをしなかった場合）
いま各時刻t=0,1,2,...で筋トレをする確率は3/5とする。
M(31)の期待値を求めよ。
514:１３２人目の素数さん
21/03/30 22:18:02.87 mBXhg3m8.net
E(M(31))
=E(1)+E(m(0))+IE(f(0))+‥+E(m(30))+iE(f(30))
515:１３２人目の素数さん
21/03/30 23:25:20.15 1dhgi6UX.net
>>488
これ読んでも理解がほとんど追い付いてないが
内積が負だから円内、と判断するのは面白いと思った
素人にはとても思い付かない
516:１３２人目の素数さん
21/03/31 00:21:10.48 QZ85spMB.net
普通だろ
517:１３２人目の素数さん
21/03/31 02:51:04.01 /C5TwyyR.net
ゴリゴリ計算していけば答えにたどり着いた。動画解説の通り、図形をパズルにように
組み合わせれば小学生でも解けるが、ムズいな。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
518:１３２人目の素数さん
21/03/31 03:17:34.47 pB24Au2w.net
>>508
勘のいい子は三平方を説明するときの、正方形の四辺に直角三角形の斜辺を貼り付けた図をすぐ思い付くんじゃないかな
519:１３２人目の素数さん
21/03/31 03:31:17.45 /C5TwyyR.net
>>508だけど、今の小学生はルート√は習うのかな？学習するのは中学生からだったかな？
いずれにせよ、小学生が解くならば√は知らないから、図形を組み合わせて解答するしかないか。
共通テストの第一問で出題したら、受験生の半分がテンパりそうな問題だな（笑）
520:１３２人目の素数さん
21/03/31 08:23:45.68 /UkXl8oK.net
アルゴリズムの世界的権威の著者らが書いた世界的権威のあるアルゴリズムの本に、以下が成り立つと証明なしで書いてあります。
Rが例えば整域でなくても、本当に以下が成り立ちますか？
Rを乗法に関する単位元1をもつ可換環とする。
ωをRの元とし、以下の条件を満たしているものとする。
ω ≠ 1
ω^n = 1
1 ≦ p ≦ n - 1に対して、1 + ω^p + (ω^p)^2 + (ω^p)^3 + … + (ω^p)^(n-1) = 0
このとき、
X^n - 1 = 0の解の集合は、{1, ω, ω^2, …, ω^(n-1)}である。
521:１３２人目の素数さん
21/03/31 08:28:28.26 4M8E3Zan.net
成り立つ
522:１３２人目の素数さん
21/03/31 08:56:55.28 /UkXl8oK.net
>>512
証明してください。
523:１３２人目の素数さん
21/03/31 09:36:18.57 /UkXl8oK.net
>>512
成り立ちませんね。
524:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:17:08.29 B295tPVx.net
成り立つ
525:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:27:02.98 /UkXl8oK.net
>>515
証明してください。
526:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:35:00.69 B295tPVx.net
>>516
君に学問は無理です
もう諦めなさい
527:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:38:43.45 yyZA7esc.net
>>504
100万シミュレーション。
sim <- function(n=31){
M=complex()
M[1]=1+ifelse(rbinom(1,1,3/5),1-1i,-1+1i)
for(j in 1:(n-1)){
M[j+1]=M[j]+ifelse(rbinom(1,1,3/5),1-1i,-1+1i)
}
M[n]
}
re=replicate(1e6,sim())
結果
> summary(cbind(m=Re(re),fat=Im(re)))
m fat
Min. :-18.000 Min. :-29.000
1st Qu.: 4.000 1st Qu.: -9.000
Median : 8.000 Median : -7.000
Mean : 7.196 Mean : -6.196
3rd Qu.: 10.000 3rd Qu.: -3.000
Max. : 30.000 Max. : 19.000
>
実数部をmuscle、虚数部をfatとしてグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
528:１３２人目の素数さん
21/03/31 10:53:12.54 AgG38hC2.net
（ ・∀・）＜ とぼけた顔して可換環
529:イナ
21/03/31 10:53:29.37 fqc5FMt5.net
前>>373
>>508
x(1+√3)=20
x=20/(1+√3)
x^2=400/(4+2√3)
=200/(2+√3)
V=x(x+x√3/2)
=x^2(1+√3/2)
=x^2(2+√3)/2
=200/2
=100(c㎡)
530:イナ
21/03/31 11:20:11.34 fqc5FMt5.net
前>>520別解。
>>508
正方形と正三角形を円環状に並べると、
求める面積は、
同じ長さの辺を持つ正十二角形の面積の1/6
正十二角形の中の一辺20cmの正方形からはみ出した部分の面積は、
V/2の4つ分だから、
20×20+V/2×4=6V
4V=400
∴V=100(平方cm)
531:１３２人目の素数さん
21/03/31 11:34:45.03 /UkXl8oK.net
>>511
反例がありますね。
アルゴリズムの世界的権威でも、専門分野から少し外れると、こんな初歩的なミスをするんですね。
532:１３２人目の素数さん
21/03/31 11:55:30.04 yyZA7esc.net
>>490
厳密解が出せるはず。
533:１３２人目の素数さん
21/03/31 12:34:13.85 i5fM6HxW.net
シミュレーションには向きません
複素平面上の相異なる2点A(α),B(β)に対して、w=αβとおく。
点P(w)とするとき、複素平面の原点O(0)とPが直線ABに関して線対称となるために、複素数αとβが満たすべき条件を求めよ。
534:１３２人目の素数さん
21/03/31 13:59:03.74 B295tPVx.net
w≠0のとき
re(α/w)=1/2, re(β/w)=1/2
w=0のとき
β^をβの複素共役とするときαβ^∈R
535:１３２人目の素数さん
21/03/31 16:13:28.74 8O7QNadM.net
>>503
第一余弦定理より
a + b + c = (b+c)cos(A) + (c+a)cos(B) + (a+b)cos(C)
a,b,c と cos(A),cos(B),cos(C) は逆順序だからチェビシェフで
≧ (2/3)(a+b+c) {cos(A) + cos(B) + cos(C)},
∴ cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3/2,
(a+b+c){cos(A) + cos(B) + cos(C)} - (a+b+c)
= a cos(A) + b cos(B) + c cos(C) (← 第一余弦定理)
= 2a cos(B)cos(C) + 2b cos(C)cos(A) + 2c cos(A)cos(B)
= 4R {sin(A+B+C) + sin(A)sin(B)sin(C)} (← 加法公式)
= 4R sin(A)sin(B)sin(C) (← A+B+C=π)
= abc/2RR (← 正弦定理)
= 2S/R
> 0,
∴ cos(A) + cos(B) + cos(C) > 1,
536:１３２人目の素数さん
21/03/31 17:49:51.43 JGWnraRa.net
10^2 + 1^2 = 101
588^2 + 2353^2 = 5882353
みたいな
a^+b^2 = (ab)_10
を満たすような数って他にありますか？？？
(_10は十進数表記です。)
あれば教えてほしいです！
537:１３２人目の素数さん
21/03/31 18:01:25.01 B295tPVx.net
[(10,1),(12,33),(10,100),(88,33),(990,100)]
538:１３２人目の素数さん
21/03/31 18:07:39.93 B295tPVx.net
a+b≦5000
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
539:１３２人目の素数さん
21/03/31 19:21:20.91 u6ErDboE.net
>>523
49131.17円
540:１３２人目の素数さん
21/03/31 20:34:34.43 yo5I1sgO.net
>>527
ごめん、a,bは互いに素である条件ぬけてた
541:１３２人目の素数さん
21/04/01 05:32:38.86 l7n5MEm5.net
三平方の定理も使わずに解答するのは、逆に難しいな。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
542:１３２人目の素数さん
21/04/01 07:18:09.76 XiUFMgcQ.net
>>527
9999以下で探索させた結果
> re
[,1] [,2]
[1,] 10 1
[2,] 588 2353
しかヒットしなかった。
オマケ：総当たりのコード
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:866番)
543:１３２人目の素数さん
21/04/01 08:41:36.38 IZVEfrs5.net
>>532
正方形の面積はその動画にあるように対角線を一辺とする正方形の面積の半分でこっちはわりと簡単だろう
円の方をなんかややこしい解き方をしているけど、そっちも対角線を一辺とする正方形にすっぽりはまる円の面積の半分として計算すればすぐわかる
544:１３２人目の素数さん
21/04/01 10:31:34.40 nY7D84Mz.net
R を乗法に関する単位元をもつ任意の可換環とする。
a ∈ R が a^(2*n) = 1 を満たすならば、 a^n = 1 or -1 はかならず成り立つか？
545:１３２人目の素数さん
21/04/01 10:38:20.60 +HTiLAOF.net
R=Z×Zにはx^2-1=0の解は4つある
546:１３２人目の素数さん
21/04/01 15:58:54.20 gGoQj9hx.net
>>535
R=Z/8Zとするとx^2=1の解の集合は{1,3,5,7}で成り立たない。
これは>>511 の反例。
547:１３２人目の素数さん
21/04/01 16:15:17.99 GyNdrsdh.net
>>537
504の反例にはなっていない
x^n-1が複数の因数分解を持っているだけ
548:１３２人目の素数さん
21/04/01 16:30:59.63 dDDGBIFk.net
△ABCの辺AB上に点Pを、辺AC上に点Qをとり、△APQ=1/3△ABCとなるようにせよ。ただしP,Qは点A,B,Cのいずれにも一致しないものとする。
549:１３２人目の素数さん
21/04/01 17:23:02.79 xUrkRBVP.net
>>539
ABCの形状をランダムに選んでAPQを作図させた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
550:１３２人目の素数さん
21/04/01 17:44:33.14 dDDGBIFk.net
>>540
定規とコンパスで作図可能であることを示さないと無意味
その書き込みに意味ないね、出直して来い
551:１３２人目の素数さん
21/04/01 18:25:08.32 nY7D84Mz.net
アルゴリズムの世界的権威の著者らが書いた世界的権威のあるアルゴリズムの本に、以下が成り立つと証明なしで書いてあります。
本当に以下が成り立ちますか？
Rを乗法に関する単位元1をもつ可換環とする。
n・1 ≠ 0 とする。
ωをRの元とし、以下の条件を満たしているものとする。
ω ≠ 1
ω^n = 1
1 ≦ p ≦ n - 1に対して、1 + ω^p + (ω^p)^2 + (ω^p)^3 + … + (ω^p)^(n-1) = 0
ψ^2 = ω であるとする。
このとき、
ψ^n = -1
が成り立つ。
552:１３２人目の素数さん
21/04/01 18:46:01.81 6dm7nGOH.net
なに繰り返してんねん
553:１３２人目の素数さん
21/04/01 19:00:54.65 nY7D84Mz.net
前とは違う質問です。
554:１３２人目の素数さん
21/04/01 19:29:41.05 dDDGBIFk.net
aを正の実数とする。0≦x≦πにおける実数xの関数f(x)を、
f(x)=(x+sinx+a)^2+(cosx+3)^2
により定義する。
f(x)は何個の極値を持つか。
555:１３２人目の素数さん
21/04/01 20:37:13.63 dO/Tcd28.net
f'(x) = 2 ((a + x) cos(x) + a + x - 2 sin(x))
が端点で極値を取ると言えるかどうか微妙
通常は入れないが高校の多くの教科書は明文化してないので通常はその問題が発生しないように省がないとダメ
556:１３２人目の素数さん
21/04/01 21:11:14.44 xsHi3J8K.net
>>541
プログラムで書けばいいじゃん。
別に紙の上に書く必要もないし。
557:１３２人目の素数さん
21/04/01 21:12:51.01 MQ2/uV15.net
>>542
馬鹿アスペ一号
558:１３２人目の素数さん
21/04/02 02:38:17.56 cbxK/qfX.net
>>541
定規とコンパスを作って作図せよとか書けよ
正確に問題も出せないくせに内容はともかくレス付けてくれた人を批判する権利ねーわ、お前が出直してこい
559:イナ
21/04/02 02:48:35.23 dH6cp4GK.net
前>>539
>>521
ラブアタックかプロポーズ大作戦か名前忘れたけど、
三角形の電光掲示板のテーブル△ABCの辺ABに男子5人、辺ACに女子5人が等間隔で並ぶ。
注意すべきは端の人はとなりと同じだけの間隔を端からとるってこと。
頂点Aから3番目の男P3と4番目の女Q4が相思相愛のときと、
頂点Aから4番目の男P4と3番目の女Q3が相思相愛のときは、
電光掲示板が結ばれ、△AP3Q4=△AP4Q3=(1/3)△ABC
ちなみにABCホールで収録されてたらしい。
560:１３２人目の素数さん
21/04/02 04:52:24.39 k1JSy9QT.net
>>539
⊿の3辺の中点とそれに対向する頂点を結ぶと、
その交点が⊿の重心である。
辺ABの中点をPとする。 AP = (1/2)AB,
辺BC上に点Rをとる。(R≠B,C)
⊿ABR の重心をG1, ⊿ACR の重心をG2 とする。
直線 G1G2と辺AC の交点を Q とする。
AQ = (2/3)AC,
よって
⊿APQ = (AP/AB)(AQ/AC)⊿ABC = (1/3)⊿ABC,
561:１３２人目の素数さん
21/04/02 05:09:36.19 k1JSy9QT.net
(続き)
高さ (底辺BRCからの距離) を比べると
重心G1, G2 の高さは 頂点Aの高さの 1/3,
∴ AQ = AC - QC = AC - (1/3)AC = (2/3)AC,
562:１３２人目の素数さん
21/04/02 05:32:13.27 k1JSy9QT.net
>>546
f '(x) = 2{(a+x)(1+cos(x)) - 2sin(x))}
f '(π) = 0 だが x=π は端点なので除外する。
1+cos(x)>0 で割れば
2tan(x/2) - x = 2sin(x)/[1+cos(x)] - x = a (>0)
左辺は 0≦x≦π で 0から∞まで単調増加する。
∴ 極値は1個
563:１３２人目の素数さん
21/04/02 07:34:02.09 170M9bo4.net
>>539
点Pを辺ABの中点にとり、辺BCの延長にBC=CDとなる点をとる。直線PDと辺ACの交点を点Qとする。
564:１３２人目の素数さん
21/04/02 07:40:49.64 k1JSy9QT.net
f '(x｡) = 0 とする。
2tan(x｡/2) - x。= a (>0)
x｡(a) は 0からπまで単調に増加。
cos(x｡) + 1 < 2,
極値は
f(x｡) = 2 [cos(x｡)+3]^2 / [cos(x｡)+1]
= 8/[cos(x｡)+1] + 8 + 2[cos(x｡)+1]
> 16,
565:１３２人目の素数さん
21/04/02 08:00:39.40 k1JSy9QT.net
>>554
Pは辺ABの中点、Cは辺BDの中点。
PD と AC の交点Q は ⊿ABD の重心。
∴ AQ = (2/3)AC
566:１３２人目の素数さん
21/04/02 08:59:31.98 pGdfDivG.net
>>554
その操作を数式に置き換えて作図して体感。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
567:１３２人目の素数さん
21/04/02 09:06:07.97 k1JSy9QT.net
〔551蓬莱〕 大阪名物 豚まん(肉まん)
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
568:１３２人目の素数さん
21/04/02 09:20:04.79 k1JSy9QT.net
大阪市の動物園のホッキョクグマ
ゴーゴとイッちゃんの赤ちゃんの名前は
「ホウちゃん」に決まったらしい…
569:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:06:35.52 FJziMvxl.net
集合論におけるCantor-Bernsteinの定理の証明で、定理に登場する2つの集合AとBが共通部分を持たないと仮定しても一般性が失われないのはなぜですか？
570:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:11:36.47 VfnaXHgm.net
a∩c=φ、b≡cとなるcを取り直せばいいから
571:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:28:39.26 FJziMvxl.net
そのようなcの存在はどうやって保証するんですか？
572:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:32:49.65 ujpdH9Ac.net
aも取り替えた方がいいのか
a' = { <x,0> | x∈a }
b' = { <y,1> | y∈b }
573:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:38:54.40 FJziMvxl.net
>>561,563
ありがとうございました。
574:１３２人目の素数さん
21/04/02 17:51:35.85 uwF3Ws8z.net
正整数nを用いて1/nの形で表される循環小数で、循環節の長さが2021であるものは存在するか。
575:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:08:51.83 ujpdH9Ac.net
n=2021とする
1/(10^n-1)は循環小数で表され、循環節の長さmはnの約数でこの時ある自然数lを用いて
1/(10^n-1)×(10^(l+m)-10^l)=:a∈Z
となるがこの時
(10^n-1)a = 10^l(10^m-1)
となるが、Zsigmondyの定理より任意のk<nに対して(10^k-1)の素因子とはならない10^n-1の素因子pが存在する
∴m=n
576:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:09:37.99 f+MwEMNE.net
単に n = 10^2021 - 1 でいいじゃん
577:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:16:36.37 FJziMvxl.net
>>560
ところで、AとBが共通部分を持っていると証明において何が不都合なのかが分かりません。
578:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:20:23.74 ujpdH9Ac.net
>>568
そんなもん本の証明わからなけりゃわかるはずない
579:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:37:08.07 FJziMvxl.net
>>569
証明は以下です。（コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』）
f : A → B
g : B → A
f, gを単射とする。
AとBは共通部分を持たないと仮定しても一般性は失われない。
Aの任意の元xに対して、列{x_n}を以下のように定義する。
xをx_0と定義する。
g^{-1}(x_0)が空集合でなければ、その唯一の要素である元をx_1と定義する。
f^{-1}(x_1)が空集合でなければ、その唯一の要素である元をx_2と定義する。
以下同様にx_nを定義する。
1. あるnに対して、x_{n+1}が存在しなければ、xの位数はnであるとする。
2. 任意のnに対して、x_{n+1}が存在するときには、xの位数は∞であるとする。
位数が偶数であるAの要素全体の集合をA_Eとする。
位数が奇数であるAの要素全体の集合をA_Oとする。
位数が∞であるAの要素全体の集合をA_Iとする。
A = A_E ∪ A_O ∪ A_I（直和）が成り立つ。
同様に、B = B_E ∪ B_O ∪ B_I（直和）と分割する。
fはA_Eの元をB_Oの元に写す。
fはA_Iの元をB_Iの元に写す。
g^{-1}はA_Oの元をB_Eの元に写す。
φをA_E∪A_Iの元はfで写し、A_Oの元はg^{-1}で写すようなAからBへの写像とするとφは全単射である。
580:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:42:24.06 ujpdH9Ac.net
>>570
全然いらんな
そのeeductionが必要な証明だったのを不要な証明に差し替えた時抜き忘れたか、必要なくても一応すぐできる仮定は入れといて損はないの精神かのどっちかでしょ
後で使おうが使うまいがとりあえず可能なreductionはつけといて損はないからな
581:１３２人目の素数さん
21/04/02 18:44:18.50 FJziMvxl.net
>>571
ありがとうございました。
582:１３２人目の素数さん
21/04/02 19:17:27.02 k1JSy9QT.net
>>567
1/(10^n -1) = 1/10^n + 1/10^{2n} + 1/10^{3n} + …
= 0．00…01 00…01 00…01 00…
0が(n-1)個, 1が1個
∴ 循環節の長さはn,
でござるか。
583:１３２人目の素数さん
21/04/02 20:07:12.66 zTMoi5NP.net
x^3+x^2+y^2=z^2
を満たす正の整数の組(x,y,z)の存在について、正しいものを選べ。
（ア）存在するが有限個である。
（イ）無数に存在する。
（ウ）存在しない。
584:１３２人目の素数さん
21/04/02 21:08:22.55 k1JSy9QT.net
(イ)
x + y = z,
に制限すると
x^3 = 2xy,
x^2 = 2y, (x>0)
(x,y,z) = (2n, 2nn, 2n(n+1))
585:１３２人目の素数さん
21/04/02 21:42:12.66 k1JSy9QT.net
(イ)
2(x+1) + y = z,
xx/2 - y = z,
に制限すると
(x,y,z) = (2n, nn-2n-1, (n+1)^2)
586:１３２人目の素数さん
21/04/02 22:20:53.24 VfnaXHgm.net
よくよく考えたら「循環小数は有理数」は中学の教科書に載ってるんだから事実上「0～9の値からなる周期2021の整数列が存在する事を示せ」やな
難しい要素なんもない
587:１３２人目の素数さん
21/04/02 23:40:06.37 sgDcV6jk.net
>>577
分数が1なのはどう処理する？
588:１３２人目の素数さん
21/04/02 23:43:27.13 VfnaXHgm.net
>>578
なんのこっちや？
589:１３２人目の素数さん
21/04/02 23:44:16.00 VfnaXHgm.net
嗚ぁ、分子1って縛りはあるのか
590:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:00:49.70 1LjBRQ4k.net
以下の命題の以下の証明は合っていますか？
Nを自然数の集合とする。
{X ∈ 2^N | N - X が有限集合} が可算集合であることを証明せよ。
証明：
{X ∈ 2^N | X が有限集合} が可算集合であることを示せば良い。
{{}} は有限集合
∴元の数が 0 個であるような集合全体の集合は有限集合
{{1}, {2}, …} は可算集合
∴元の数が 1 個であるような集合全体の集合は可算集合
任意の自然数 n に対して、 {n, n+1}, {n, n+2}, {n, n+3}, …} は可算集合だから、{{1, 2}, {1, 3}, …} ∪ {{2, 3}, {2, 4}, …} ∪ {{3, 4}, {3, 5}, …} ∪ … は可算集合
∴元の数が 2 個であるような集合全体の集合は可算集合
以下同様にして、元の数が n 個であるような集合全体の集合は可算集合
有限集合と、可算集合の可算個の和集合、の和集合は可算集合だから、{X ∈ 2^N | X が有限集合} は可算集合である。
591:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:03:47.78 1LjBRQ4k.net
>>581
合っているとして、もっと明快に証明できませんか？
592:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:04:55.64 1LjBRQ4k.net
>>581
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』で「証明せよ」と書かれている命題です。
593:１３２人目の素数さん
21/04/03 00:38:22.98 uoyDCoCd.net
自然数の有限列(ai),(bj)に順序
(ai)≦(bj):⇔辞書式順序で(Σai,a1,a2,‥)≦(Σbj,b1,b2,‥)
で定め、有限列の集合SからNへの全単射fをf((ai)):=#{(bj) | (bj)≦(ai) }で定める
594:
21/04/03 00:46:38.81 W+iQgwCX.net
前>>550
>>539
三角形の電光掲示板のテーブル△ABCの辺ABに男子5人、辺ACに女子5人が等間隔で並ぶ。
注意すべきは端の人はとなりと同じだけの間隔を端からとるってこと。
頂点Aから3番目の男P3と4番目の女Q4が相思相愛のときと、
頂点Aから4番目の男P4と3番目の女Q3が相思相愛のときは、
電光掲示板が結ばれ、△AP3Q4=△AP4Q3=(1/3)△ABC
∵AP3=(3/6)AB,AQ4=(4/6)ACよりAP3AQ4=(3/6)AB(4/6)AC=(1/3)ABAC
AP4=(4/6)AB,AQ3=(3/6)ACよりAP4AQ3=(4/6)AB(3/6)AC=(1/3)ABAC
△AP3Q4=(1/2)AP3AQ4sin∠A=(1/2)(1/3)ABACsin∠A=(1/3)△ABC
△AP4Q3=(1/2)AP4AQ3sin∠A=(1/2)(1/3)ABACsin∠A=(1/3)△ABC
前々>>521
595:１３２人目の素数さん
21/04/03 02:36:15.86 uoyDCoCd.net
非負整数の有限列a0,a1,a2,anに対して
(a0+1個の1)0(a1個の1)0(a2個の1)0‥0(an個の1)
を対応させて1から始まる0,1からなる有限列を対応させて全単射となる
1から始まる0,1からなる有限列はそれを二進展開と見做して自然数の全体と一対一に対応させる事ができる
596:１３２人目の素数さん
21/04/03 05:21:23.90 hzQFnBJN.net
ごめんなさい高校数学の範囲になってしまいますがよろしいでしょうか？京大理系1976問5の(i)なんですがh(x)=g(x)f(ax)で大丈夫でしょうか？f(x)を用いろと書いてるのにf(ax)を用いているのでちょっと気がかりで
597:１３２人目の素数さん
21/04/03 08:07:51.22 j+xFqciV.net
>>574
(イ)
2a(x+1) + y = z,
xx/(2a) - y = z,
に制限すると
(x, y, z) = (2an, a(nn-2an-1), a(nn+2an+1))
a=1 の場合 >>576
598:１３２人目の素数さん
21/04/03 08:31:08.91 AsAI2YNm.net
>>587
問題そのものを示さなきゃ。
1976年の問題なんて、殆どの人が知らないし見られない。
599:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:12:01.04 hzQFnBJN.net
かんう
600:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:24:16.29 hzQFnBJN.net
関数f(x)で次の条件を満たすものがある。
(イ)f(x)は微分可能
(ロ)x≦0→f(x)=0.x≧1→f(x)=1
微分可能な関数g(x)と正数aがあるときf(x)を用いて以下の条件を満たすような微分可能な関数h(x)を作れ
(ハ)h(0)=0
(二)|x|>a→h(x)=g(x)
601:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:31:10.97 25TF2Ock.net
さすが京大
1976年でも転がってるよ
問題
URLﾘﾝｸ(server-test.net)
解答
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp)
602:１３２人目の素数さん
21/04/03 09:51:16.21 jvDktHoO.net
見れなかった
フォントがないらしい
603:１３２人目の素数さん
21/04/03 10:41:47.08 AsAI2YNm.net
>>591
ｆ（ｘ）を使えということなので、f を使う限りどんな関数でもいいのだろう。
例えば、x の勝手な関数 k(x) を使って f(k(x)) でも k(f(x)) でもOKなんだろう。
でも最初の質問にあった h(x)=g(x)f(ax) は 条件（二）を満たさない。
604:１３２人目の素数さん
21/04/03 11:07:52.41 hzQFnBJN.net
>>592
>>594
解決しましたありがとうございます
605:１３２人目の素数さん
21/04/03 15:03:57.16 1LjBRQ4k.net
>>584,586
ありがとうございました。
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』に集合論の順序数について大雑把な説明が書いてあります。
非常につまらないのですが、順序数って何に使われるんですか？
606:１３２人目の素数さん
21/04/03 15:28:33.92 0O9c6KVZ.net
nを自然数、[x]でxを超えない最大の整数を表します
Σ[k^2/n]≧(n^2+2)/3を示してください。Σはk=1からnまで。
607:１３２人目の素数さん
21/04/03 17:28:31.58 QTQYhaPS.net
m,nは正整数でn>mを満たす。
A=C[4n+1,4m+1]、B=C[pn,m]とする。
KA=LBとなる奇数K,Lが存在するような正整数pの条件をm,nで表せ。
608:１３２人目の素数さん
21/04/03 22:15:21.09 1LjBRQ4k.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』に集合の環、半環というものが登場します。
測度論で重要だと書いてあるのですが、他のルベーグ積分の本にも書いてありますか？
609:１３２人目の素数さん
21/04/03 22:41:03.36 1LjBRQ4k.net
半環が役立ちそうなのは議論を読んでいると何となく分かります。
610:１３２人目の素数さん
21/04/03 22:48:33.74 1LjBRQ4k.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』ですが、半環の議論のところは、適切な図を描いてくれていたら非常に分かりやすくなるはずですが、図は全くありませんね。
611:１３２人目の素数さん
21/04/03 23:05:40.39 kcuMm9Jc.net
すみません、
{a+b+(2/a)+(1/b)}^7を展開したときのab²の係数を求めよ、という問題の解答を教えていただけないでしょうか。
612:１３２人目の素数さん
21/04/03 23:12:15.23 1LjBRQ4k.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』の半環についての補助定理1, 2はヴィジュアルに全く考えずに証明を追うと非常に
難しく感じますが、ヴィジュアルに考えると自明なことを言っているだけですね。
613:１３２人目の素数さん
21/04/03 23:43:02.07 1LjBRQ4k.net
>>602
{(a + 2/a) + (b + 1/b)}^7 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 1)*(a + 2/a)^1*(b + 1/b)^6 を展開したときの a*b^2 の係数と、
binomial(7, 3)*(a + 2/a)^3*(b + 1/b)^4 を展開したときの a*b^2 の係数と、
binomial(7, 5)*(a + 2/a)^5*(b + 1/b)^2 を展開したときの a*b^2 の係数の和。
binomial(7, 1)*(a + 2/a)^1*(b + 1/b)^6 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 1)*binomial(2*1-1, 1)*2^(1-1)*binomial(2*3, 3+1)
binomial(7, 3)*(a + 2/a)^3*(b + 1/b)^4 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 3)*binomial(2*2-1, 2)*2^(2-1)*binomial(2*2, 2+1)
binomial(7, 5)*(a + 2/a)^5*(b + 1/b)^2 を展開したときの a*b^2 の係数は、
binomial(7, 5)*binomial(2*3-1, 3)*2^(3-1)*binomial(2*1, 1+1)
よって、答えは、
binomial(7, 1)*binomial(2*1-1, 1)*2^(1-1)*binomial(2*3, 3+1)+
binomial(7, 3)*binomial(2*2-1, 2)*2^(2-1)*binomial(2*2, 2+1)+
binomial(7, 5)*binomial(2*3-1, 3)*2^(3-1)*binomial(2*1, 1+1)
=
1785
614:
21/04/04 01:17:48.77 3Ie9H2+f.net
前>>585
>>602
係�
615:狽ﾍフィボナッチ数列だから、 1,1 1,2,1 1,3,3,1 1,4,6,4,1 1,5,10,10,5,1 1,6,15,20,15,6,1 1,7,21,35,35,21,7,1 与式=(a+2/a)^7+7(a+2/a)^6(b+1/b)+21(a+2/a)^5(b+1/b)^2+35(a+1/a)^4(b+1/b)^3+35(a+2/a)^3(b+1/b)^4+21(a+2/a)^2(b+1/b)^5+7(a+2/a)(b+1/b)^6+(b+1/b)^7 ab^2の係数は、 21×2^2×10+35×3×2×4+7×15=840+840+105 =1785
616:１３２人目の素数さん
21/04/04 02:00:13.25 PNWAM08q.net
>>597
できた
めっちゃしんどい
617:１３２人目の素数さん
21/04/04 05:12:13.96 Ss0gp4AG.net
>>606
流れだけでもいいので教えてもらえません？
618:１３２人目の素数さん
21/04/04 09:11:02.14 kDWXnT3D.net
まずr(n,x) = x÷nの余りとして与式が
Σr(n,k^2) ≦ n(n-1)/2
となるのは容易
a(n,k)=#{ l | 0 ≦ l ≦ n-1, l^2≡k ( mod n ) }
とおけば上の式は
Σka(n,k)≦n(n-1)/2
となる
さらにχを法Nの実dirichlet指標の全体を走るとして
a(n,k)=Σ[χ]χ(k)
なので示すべきは
Σ[k,χ]kχ(k)≦n(n-1)/2
となる
χが自明指標のときはΣkχ(k)=n(n-1)/2なので非自明な実指標に対して
Σ[k:0→n-1]kχ(k)≦0
を示せば十分
コレを
ρ=exp(2πi/n)、L=Q(ρ)とおいてχ毎に決まる二次無理数D(χ)で
Σkχ(k)=tr[L,Q](D(χ)Σkρ^k)
を利用して示す
619:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:05:05.90 5Ev98o0O.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』のp.38の半環についての定理3の証明に間違いを発見してしまいました。
620:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:08:04.48 5Ev98o0O.net
あ、間違っていませんでした。
621:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:22:39.87 5Ev98o0O.net
順序数とかの話は集合論の中でもつまらない話ですが、集合の環とか半環の話は少し面白いですね。
622:１３２人目の素数さん
21/04/04 10:27:41.20 5Ev98o0O.net
測度論が退屈だという話をよく聞きますが、集合の環とか半環の話の延長線上の話だとすると、結構面白そうですね。
623:１３２人目の素数さん
21/04/04 11:16:46.90 5Ev98o0O.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』のp.39に
σ代数とδ代数が一致するということが書いてあります。
σ環とδ環も一致するので、σ代数とδ代数が一致するのは自明ですが、それについては言及がないですね。
624:１３２人目の素数さん
21/04/04 11:34:05.09 tUieZye7.net
>>598
これお願いします
625:１３２人目の素数さん
21/04/04 11:47:55.75 5Adek1N+.net
>>602 です。
ありがとうございます。
626:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:32:31.80 EVpL3sX9.net
>>611
順序数がつまらないとかオドロキ
一番衝撃を受けた話なのに
627:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:44:44.00 5Ev98o0O.net
数直線上の閉区間[a, b]の全体をSとする。
Sの上の最小のσ代数 = 2^S
は成り立ちますか？
628:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:47:31.19 5Ev98o0O.net
訂正します：
数直線上の閉区間[a, b]の全体をSとする。
Sの上の最小のσ代数 = 2^(∪_{A∈S} A)
は成り立ちますか？
629:１３２人目の素数さん
21/04/04 12:55:05.63 5Ev98o0O.net
あ、明らかに成り立たないですね。
630:１３２人目の素数さん
21/04/04 14:48:25.65 5Ev98o0O.net
環ではあるが、σ環ではないような例とか考えるだけでもちょっと大変だと思いますが、
そういう例は知らなくても考えなくてもいいですか？
知らなくても考えなくても、おそらく本を読む上では何の支障もないと思います。
631:１３２人目の素数さん
21/04/04 18:29:34.56 NjWYvr7o.net
>>597
類題考えてみた
Σ([k^2/n]+[√(kn)]-n)=1
が成り立つのはnがどんな時か？
632:１３２人目の素数さん
21/04/04 19:34:43.84 tUieZye7.net
>>598
これできませんか？
633:１３２人目の素数さん
21/04/05 06:12:13.01 9Tet45ha.net
r(n, x) = mod(x, n)
r(n, c^2) = n-1 となるような整数cがあるとき
(-1 が平方剰余のとき) はたぶん簡単…
cとnは互いに素 (cは正則) で
r(n, (ck)^2) + r(n, k^2) = r(n, -k^2) + r(n,k^2)
= (r>0のときn, r=0のとき0)
≦ n,
これを k=1 から k=n-1 までたすと
2Σ[k=1,n-1] r(n, k^2) ≦ n(n-1),
Σ[k=1,n-1] r(n, k^2) ≦ n(n-1)/2,
-1 が非剰余のときが難かしそう…
634:１３２人目の素数さん
21/04/05 06:18:18.37 wZxNVsMt.net
>>602
発展問題
(a+1/a+b+2/b+c+3/c+d+4/d+e+5/e)^21の
a*b^2*c^3*d^4*e^5の係数を求めよ。
635:１３２人目の素数さん
21/04/05 07:50:28.14 9Tet45ha.net
>>621
(x,y) は格子点で
x=1,2,…,n y=1,2,…n
とする。
[kk/n] は y≦xx/n, x=k となる格子点の数
[√(kn)] は y≧xx/n, y=k となる格子点の数
y=xx/n 上にある格子点は2度カウントされる。
∴ 左辺は y=xx/n 上にある格子点の数
∴ nの最大の平方因数。以下省略
636:１３２人目の素数さん
21/04/05 08:36:30.44 9Tet45ha.net
>>602
a^3 b^2 (2/a)^2 の係数 7!/(3!2!2!) = 210,
a^2 b^3 (2/a) (1/b) の係数 7!/(2!3!1!1!) = 420,
a b^4 (1/b)^2 の係数 7!/(1!4!2!) = 105,
∴ 210*4 + 420*2 + 105 = 1785,
637:１３２人目の素数さん
21/04/05 11:44:32.65 fIV9wDOG2
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638:１３２人目の素数さん
21/04/05 11:49:56.01 9WD5BfbZ.net
可換とは限らない環Rの元a,bがab=1を満たしているとき、ba=1も言えますか？
639:１３２人目の素数さん
21/04/05 12:15:02.85 4200C0pi.net
>>628
R^Nの第k成分のみ1で残り0のベクトルをvkとしてvkの全体ではられる空間をV, Vの線形準同型のなす環をR, a,b∈Rを
a(vi) = v(i-1) (i>1)
. = 0 (i=1)
b(vi) = v(i+1)
で定めればab=1, ba≠1
640:１３２人目の素数さん
21/04/05 13:21:24.30 bvbts7MI.net
生成作用素と消滅作用素か
641:１３２人目の素数さん
21/04/05 16:10:04.17 5K8DPyes.net
m,nは正整数でn>mを満たす。
A=C[4n+1,4m+1]、B=C[pn,m]とする。
KA=LBとなる奇数K,Lが存在するような正整数pの条件をm,nで表せ。
642:イナ
21/04/05 17:50:12.76 Vo39qmi2.net
前>>605
>>624
1+2+3+4+5=15
21-15=6
係数の掛け算の組み合わせは5^3=125(通り)
平面に5^2=25(通り)しか書けないから、
一升に5項の和を書くと、
🔲 a ｜ b ｜ c ｜ d ｜ e
a｜ 15｜ 30｜ 45｜ 60｜ 75
b｜ 30｜ 60｜ 90｜ 120｜ 150
c｜ 45｜ 90｜ 135｜ 180｜ 225
d｜ 60｜ 120｜ 180｜ 240｜ 300
e｜ 75｜ 150｜ 225｜ 300｜ 375
ab^2c^3d^4e^5の係数の和は3375
違うかも。
643:１３２人目の素数さん
21/04/05 18:50:50.35 9Tet45ha.net
>>621
平方因子をもたない整数を
無平方数 (square-free integer) と云うらしい。
644:１３２人目の素数さん
21/04/05 19:32:53.66 1BaBh4+p.net
>>624
1050
645:１３２人目の素数さん
21/04/05 20:11:18.74 safEmvMd.net
たぶん
Sum[Mod[k^2,n],{k=1,n-1}] == n(n-1)/2
⇔
nは4k+3型の素因数を持たず、各素因数の指数が全て1
が成立
646:１３２人目の素数さん
21/04/05 20:19:10.69 9Tet45ha.net
>>630
右シフト と 左シフト
ペアノの公理に出てくる successor と precursor
か
647:１３２人目の素数さん
21/04/05 21:08:24.46 9Tet45ha.net
>>635
ふむふむ
-1 が非剰余の場合、等式は成立しないんだね。
-1 が平方剰余 かつ 平方因子もなければ
r(n, k^2) > 0 (1≦k≦n-1) >>623
で等式が成立しますね。
648:１３２人目の素数さん
21/04/06 04:09:30.09 hMi+3g0E.net
nを正整数の定数とする。
1≦k≦n-1である全ての正整数kに対して、不等式
nCk≧an
を成立させる最大の実数aを求めよ。
649:１３２人目の素数さん
21/04/06 05:46:01.18 D9cznXAr.net
A を2つの2項演算 o1 : A×A → A, o2 : A×A → A が定義された集合とする。
S を A の空でない部分集合とする。
B を S を含み、 o1、o2 について閉じている最小の A の部分集合とする。
B の元を陽に表そうとすると、葉がSの元で、葉以外のノードが o1 または o2 であるような2分木で表せるというのは直感的に分かるのですが、
これをきちんと述べるにはどうすればいいでしょうか？
650:１３２人目の素数さん
21/04/06 06:06:18.23 D9cznXAr.net
>>639
代数系について上の B のような最小の閉じた集合を考えることは多いと思うのですが、代数学の本で上のような話をキチンと書いてある本はありますか？
651:１３２人目の素数さん
21/04/06 06:09:13.36 PAecLtrc.net
>>638
1≦k≦n-1 より
nＣk = n!/[(n-k)!k!]
= n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/k!
= n･((n-1)/k) ((n-2)/(k-1)) …… ((n-k+1)/2)
≧ n,
または
nＣk = n!/[k!(n-k)!]
= n(n-1)(n-2)……(k+1)/(n-k)!
= n･((n-1)/(n-k)) ((n-2)/(n-k-1)) …… ((k+1)/2)
≧ n,
等号成立は k=1, k=n-1 のとき。
∴ a=1
652:１３２人目の素数さん
21/04/06 06:44:39.52 PAecLtrc.net
>>637
-1 が平方剰余 かつ nに平方因子がなければ
r(n, k^2) > 0 (1≦k≦n-1)
(略証)
r(n, k^2) = 0, 0<k<n
ならば
k^2 = nd, 0<k<n
∴ d < k
∴ ある素因数pに関して、 (kの指数) ≧ (dの指数) + 1
上式より
(nの指数) = 2(kの指数) - (dの指数) ≧ 2,
∴ n は平方因子 p^2 を持つ。
これの対偶をとる。
653:１３２人目の素数さん
21/04/06 07:09:47.41 u8/C/Jwg.net
>>624
620134238243520
654:１３２人目の素数さん
21/04/06 08:14:29.66 PAecLtrc.net
>>624
9 738 383 692 957 920,
違う鴨。
655:１３２人目の素数さん
21/04/06 08:19:36.92 PAecLtrc.net
余談ですが >>643 は
(a + 1/a + b + 1/b + c + 1/c + d+ 1/d + e + 1/e)^21
の係数と一致します。
656:１３２人目の素数さん
21/04/06 09:12:35.90 PAecLtrc.net
分子が {1,2,3,4,5} なので、それによる因子を掛けてから合計します。
しかしここでは 指数の組み合わせ (35種) について
この因子だけを合計してみましょう。
分子の1乗和～3乗和が
S_1 = 15,
S_2 = 55,
S_3 = 225,
なので
{(S1)^3 + 3 S1 S2 + 2 S3}/6 = 1050,
これは >>634 と一致します。
657:１３２人目の素数さん
21/04/06 09:31:24.18 f2YPCutR.net
助けてくださいお願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
658:１３２人目の素数さん
21/04/06 09:50:39.59 PyPyNh3F.net
>>645
誤答とその原因の指摘ありがとうございます。
確かに1/a+1/b+..+1/eで計算していました。
659:１３２人目の素数さん
21/04/06 10:10:19.41 PyPyNh3F.net
>>644
数式を書き換えて計算させたら
1113995693435765664903804202516480
と出てきました。
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
660:１３２人目の素数さん
21/04/06 10:24:46.57 D9cznXAr.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
定義：
空でない集合系 R に対して、 A ∈ R, B ∈ R ならばつねに A △ B ∈ R、 A ∩ B ∈ R となっているとき、 R を（集合）環という。
定理：
任意の空でない集合系 S が与えられたとき、 S を含み、かつ、 S を含む任意の環 R^* に含まれる環 R(S) が、一つしかもただ一つ存在する。
この定理ですが、
>>639
の2分木で表せるような集合全体の集合を考えると、明らかに、 △、∩ について閉じているので、 R(S) が一意的に存在するのは明らかだと思いますが、
コルモゴロフらは、 S を含むような環たちの共通分をとって、それが R(S) であるなどと長い議論をしています。
無駄に複雑な証明をしているのはなぜでしょうか？
△、∩ の演算子を有限回使って、表わされるような集合全体の集合が求める環であると書けば、一行で済む話です。
661:１３２人目の素数さん
21/04/06 11:31:28.17 x0AUmmd8.net
>>647
むしろrobotのほうが得意なんじゃなかろうか
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
662:イナ
21/04/06 13:20:23.73 pUlLW8Vm.net
前>>632
>>647
方程式を解くとx=32
検算すると左辺=右辺
663:１３２人目の素数さん
21/04/06 14:01:29.51 ttQW89xf.net
Aが勝った回数をXとするとき、
Aが負けた回数は（Xの上に－）
この（Xの上に－）ってなんて読みますか？
664:１３２人目の素数さん
21/04/06 19:36:39.43 WuAKN2zt.net
>>653
エックスバーだと思う。
665:１３２人目の素数さん
21/04/06 20:29:24.76 D9cznXAr.net
>>650
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』ってよくあるルベーグ積分の本での測度論のところに登場する有限加法族とかσ加法族とかよりも一般的
な環、半環、σ環について書いてあるんですね。
有限加法族とかσ加法族しか書いていないほうが確かに分かりやすいと思いますが、一般的に書いてあるのも魅力的ですね。
コルモゴロフらの本では、有限加法族は代数、σ加法族はσ代数と読んでいます。
666:１３２人目の素数さん
21/04/06 20:34:50.92 86kX3B0F.net
本読んだ自慢はウザいね
667:１３２人目の素数さん
21/04/06 22:17:50.52 1LioiF7O.net
そのうち、コルモゴロフさんとフォミーンさんは大丈夫な人たちなんでしょうか
とくるか
668:１３２人目の素数さん
21/04/06 22:38:58.53 YCsaz+bQ.net
>>654
ありがとうございます！バーですね！
669:１３２人目の素数さん
21/04/06 23:48:49.65 w+KqsiSM.net
ベイズ統計においてベイズ統計モデルとは、
パラメトリックな確率密度関数の族f(x|θ)と事前分布π(θ)で構成されると色々なところで書いてあるとおもいます。
しかし、f(x|θ)に従う確率変数をX、π(θ)に従う確率変数をΘとしたとき、XとΘが独立じゃなければ、
上のパラメトリック族としてのf(x|θ)と、条件付き密度関数としてのf(x|θ)が異なってしまいませんか？
670:１３２人目の素数さん
21/04/07 00:23:56.61 v5Wj7/lc.net
>>649
1.11399569343576566490380420251648×10^33
が a=b=c=d=e=1 とおいたときの全項の和
20^21 = 2.097152×10^27
よりも大きいのは？ですね。
>>644 の方は
9.738383692957920×10^15 < 20^21
671:１３２人目の素数さん
21/04/07 00:46:02.22 3yLKAlGb.net
>>659
何で確率変数が別なんだ？
672:１３２人目の素数さん
21/04/07 01:23:03.86 v5Wj7/lc.net
(蛇足)
a,b,c,d,e > 0 のとき
(a + 1/a) + (b + 2/b) + (c + 3/c) + (d + 4/d) + (e + 5/e)
≧ 2 (1 + √2 + √3 + 2 + √5)
= 16.7646647
等号成立は (a, b, c, d, e) = (1, √2, √3, 2, √5) のとき。
673:１３２人目の素数さん
21/04/07 03:07:40.49 v5Wj7/lc.net
>>644
a, 1/a, b, 2/b, c, 3/c, d, 4/d, e, 5/e,
の指数を
i+1, i, j+2, j, k+3, k, L+4, L, m+5, m,
とする。その和が21だから
i+j+k+L+m = 3,
これを満たす非負整数 (i,j,k,L,m) の組合せは
5Ｈ3 = 7Ｃ3 = 35 とおり。
Σ {21!/((i+1)!i!(j+2)!j!(k+3)!k!(L+4)!L!(m+5)!m!)}･(1^i)(2^j)(3^k)(4^L)(5^m)
が答。
674:１３２人目の素数さん
21/04/07 10:53:37.42 49jcs0mc.net
プロおじまだ粘着してたか。しつこいぞ。
期待値も分からないやつは出直してこい。
675:１３２人目の素数さん
21/04/07 11:08:38.95 90BIMoih.net
>>650
馬鹿アスペ二号と呼んで
676:１３２人目の素数さん
21/04/07 13:35:43.20 rbCHnB7B.net
>>661
別とはどういうことですか？
f(x|θ)とπ(Θ)は別の集合上の確率密度ですよね
677:１３２人目の素数さん
21/04/07 16:48:54.03 rFpjS8LR.net
>>660
誤答の御指摘を受けて、コードを見直してバグ修正しました。
9738383692957920
という同じ値が得られました。
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
678:１３２人目の素数さん
21/04/07 16:50:15.41 3yLKAlGb.net
確率変数と確率密度がゴッチャか
679:１３２人目の素数さん
21/04/07 19:09:01.98 lssXsYSk.net
無限回微分可能な関数f(x)で、どんな自然数kについても、方程式f^[k](x)=0が解けないものってありますか？
680:１３２人目の素数さん
21/04/07 20:53:44.34 mYnipKIn.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
定義1：
B を空でない集合系とする。B が以下の(1), (2), (3)を満たすとき、B をσ代数という。
(1) a ∈ B, b ∈ B ならばつねに a △ b ∈ B、 a ∩ b ∈ B が成り立つ。
(2) a_n ⊂ B for n = 1, 2, … ならば、 ∪_{n=1}^{∞} a_n ∈ B が成り立つ。
(3) e ∈ B が存在して、任意の a ∈ B に対して、 a ∩ e = a が成り立つ。この e を B の単位元という。
定義2：
S を空でない集合系とする。
B を S を含むσ代数とする。
∪_{a ∈ S} a が B の単位元になっているとき、 B は S に関して既約であるという。
定理1：
空でない集合系 S に対して、 S を含む任意の S に関して既約なσ代数に含まれるようなσ代数 B(S) が存在する。
定義3：
f : m → n を写像、 N を n の部分集合からなる集合系とする。
f^{-1}(N) で集合系 N に属する集合 b の逆像 f^{-1}(b) の全体を表わすことにする。
定理2：
B(f^{-1}(N)) = f^{-1}(B(N)) が成り立つ。
------------------------------------------------------------------------------
定理2ですが、
f^{-1}(B(N)) が f^{-1}(N) に関して既約なσ代数であることは簡単に証明できました。
定理1により、 B(f^{-1}(N)) ⊂ f^{-1}(B(N) が成り立ちます。
B(f^{-1}(N)) ⊃ f^{-1}(B(N) が成り立つことが証明できません。
どう証明すればいいのでしょうか？
681:１３２人目の素数さん
21/04/07 20:58:42.88 90BIMoih.net
>>670
馬鹿アスペ二号
682:１３２人目の素数さん
21/04/07 21:04:34.09 mYnipKIn.net
>>670
この定理2ですが、この結果を後の章で可測函数を考察する際に必要になるそうです。
それにもかかわらず、証明が書いてありません。
683:１３２人目の素数さん
21/04/07 22:13:36.50 3yLKAlGb.net
a △ b て何だろね
684:１３２人目の素数さん
21/04/07 22:34:37.94 mYnipKIn.net
>>673
symmetric difference
a △ b := (a - b) ∪ (b - a)
です。
685:１３２人目の素数さん
21/04/08 00:40:18.16 SrEB3Bbk.net
>>669
e^x
686:１３２人目の素数さん
21/04/08 11:43:50.44 jAHOCp/v.net
f^[k] は f をk回繰り返し作用するのか k階微分か？
687:１３２人目の素数さん
21/04/08 12:50:50.58 EXNY8XH9.net
微分可能て書いてるから微分じゃね？
688:１３２人目の素数さん
21/04/08 12:53:35.49 EXNY8XH9.net
そもそも5次方程式が解けんしなー
689:１３２人目の素数さん
21/04/08 13:27:25.78 jAHOCp/v.net
>>677
なるほど Thx.
>>678
四則演算と累乗根では解けませんね。
(楕円関数とか使えば別ですが)
690:１３２人目の素数さん
21/04/08 13:53:14.91 rTVA1Wui.net
>>670
あ、簡単ですね。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを考えれば、以下の式から明らかですね。
f^{-1}(∪ a_n) = ∪ f^{-1}(a_n)
f^{-1}(a △ b) = f^{-1}(a) △ f^{-1}(b)
f^{-1}(a ∩ b) = f^{-1}(a) ∩ f^{-1}(b)
691:１３２人目の素数さん
21/04/08 13:54:50.51 rTVA1Wui.net
そして、コルモゴロフらがなぜこの命題の証明を書かなかったのかも推測できます。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを正確に記述するのが面倒だからでしょうね。
692:１３２人目の素数さん
21/04/08 14:01:01.41 rTVA1Wui.net
自身の筆力・記述能力がないために、容易だから読者に任せるというパターンはよくありますよね。
確かに容易ではあるのですが、正確に記述するのは面倒というパターンです。
迷惑な話です。
そして、同じように容易な話でも記述するのが簡単な場合には喜んで書いていたりするんですよね。
松坂和夫さんとかによくあるパターンです。
693:１３２人目の素数さん
21/04/08 14:59:26.04 ODPkq44X.net
>>670
数学の本 第80巻
150 ：１３２人目の素数さん[]：2021/04/08(木) 13:52:54.66 ID:rTVA1Wui>>148
あ、簡単ですね。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを考えれば、以下の式から明らかですね。
f^{-1}(∪ a_n) = ∪ f^{-1}(a_n)
f^{-1}(a △ b) = f^{-1}(a) △ f^{-1}(b)
f^{-1}(a ∩ b) = f^{-1}(a) ∩ f^{-1}(b)
分からない問題はここに書いてね 466
672 ：１３２人目の素数さん[]：2021/04/08(木) 13:53:14.91 ID:rTVA1Wui>>670
あ、簡単ですね。
B(N), B(f^{-1}(N)) の元がどのような元からなるかを考えれば、以下の式から明らかですね。
f^{-1}(∪ a_n) = ∪ f^{-1}(a_n)
f^{-1}(a △ b) = f^{-1}(a) △ f^{-1}(b)
f^{-1}(a ∩ b) = f^{-1}(a) ∩ f^{-1}(b)
694:１３２人目の素数さん
21/04/08 19:00:33.71 V6V8bhQu.net
a,bはa>b>0を満たす整数の定数とする。
A=C[4a+1,4b+1]、B=C[a,b]とするとき、奇数の定数K,Lで、等式KA=LBを満たすものがとれることを示せ。
695:１３２人目の素数さん
21/04/08 23:01:17.60 f8fg6N2Z.net
関数 f_2(n) を自然数nを素因数分解したとき、2の指数を返す関数とて、f_2(A)=f_2(B)が言えれば良い
f_2(A)=f_2((4a+1)!)-f_2((4b+1)!)-f_2((4a-4b)!)
={[(4a+1)/2]+[(4a+1)/4]+[(4a+1)/8]+[(4a+1)/16]+...}-{[(4b+1)/2]+[(4b+1)/4]+[(4b+1)/8]+[(4b+1)/16]+...}-{[(4a-4b)/2]+[(4a-4b)/4]+[(4a-4b)/8]+[(4a-4b)/16]+...}
= (中略) = f_2(B)
696:１３２人目の素数さん
21/04/09 14:00:07.85 qtjVxAQC.net
>>502-503
正弦定理より
aa+bb+cc = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2}
= 2RR {3-cos(2A)-cos(2B)-cos(2C)}
= 8RR{1+cos(A)cos(B)cos(C)},
OI^2 = R(R-2r) = RR - abc/(a+b+c), (Chapple-Euler)
OG^2 = RR - (aa + bb + cc)/9
= RR {1-8cos(A)cos(B)cos(C)}/9, (Leibniz)
IH^2 = 2rr + 4RR - (aa+bb+cc)/2
= 2rr - 4RRcos(A)cos(B)cos(C),
G-Hの中点をMとおく。
OG = GM = MH,
つまり線分OHの3等分点だから
MI^2 = (OI^2 + 2IH^2)/3 - 2MH^2,
線分MH, MIの長さの二乗の差を考える。
MH^2 - MI^2 = (GH^2 - IG^2 - IH^2)/2
= 3OG^2 - (OI^2 + 2IH^2)/3
= (2/3)r(R-2r)
≧ 0,
よって MH ≧ MI.
697:１３２人目の素数さん
21/04/09 15:57:35.44 h5lUmEIP.net
これが何故50になるのかが理解できないのですが分かりますか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
698:１３２人目の素数さん
21/04/09 16:47:30.35 wkVmplFM.net
>>687
Bを中心としてABを半径とする円を描く
この円周上の点でACに対して反対側にある点をPとすると∠APCは中心角220°の半分である110°ということになる
Qをこの円の外の点とすると∠AQCは110°より小さくなるし、円の内の点とすると∠AQCは110°より大きくなる
∠ADCは110°なのだからDはこの円周上にある
するとAB=BD=BC=CDとなるから△BCDは正三角形、△ABDは二等辺三角形
以下略
699:１３２人目の素数さん
21/04/09 19:22:53.87 wkVmplFM.net
>>688
> この円周上の点でACに対して反対側にある点をPとすると
ちょっと訂正
この円周上の点でACに対してBの反対側にある点をPとすると
700:１３２人目の素数さん
21/04/09 19:44:51.48 ugZQIOu5.net
123456の6この数字があって この数字を並べて5桁の数字を作ります
左端には必ず1が来るのは何通りですか？
701:１３２人目の素数さん
21/04/09 19:47:44.64 h5lUmEIP.net
>>688
中心角のところってよくわからないのですが教えて頂けませんか？
702:１３２人目の素数さん
21/04/09 20:50:07.41 fbFoqrCh.net
>>690
nPr(5,4)=120
703:１３２人目の素数さん
21/04/09 20:51:54.73 fbFoqrCh.net
>>690
発展問題
123456の6この数字があって この数字を並べて5桁の数字を作ります
同じ数字を複数回用いてもかまわない。
左端には必ず1が来るのは何通りですか？
704:１３２人目の素数さん
21/04/09 20:58:49.01 fbFoqrCh.net
>>693
6^4
705:１３２人目の素数さん
21/04/09 21:06:43.13 j06h5cz+.net
>>691
円周角、わからない？
706:１３２人目の素数さん
21/04/09 21:20:55.96 BmAymsNu.net
>>687
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
707:１３２人目の素数さん
21/04/10 00:24:34.57 Tq6xhZve.net
>>687
三角法を使うなら…
B, D は既知とする。
底辺ADから各頂点までの高さは
A: 0
B: sin(A)
C: sin(D)
D: 0
∴ sin(D) = sin(A) + sin(A-(180-B))
= sin(A) - sin(A+B)
= -2cos(A+B/2)sin(B/2), (← 和積公式)
sin(D) = sin(B/2) だから
cos(A+B/2) = -1/2,
∴ A = 120° - B/2.
708:１３２人目の素数さん
21/04/10 01:03:39.58 Tq6xhZve.net
>>432
〔公式425〕
三角形の内心I、重心G、垂心H、G-Hの中点M とすると
MH^2 - MI^2 = (2/3)r(R-2r) ≧ 0,
rは内接円の半径、Rは外接円の半径
等号成立は正△のとき。
(略証) >>686 など
709:１３２人目の素数さん
21/04/10 08:49:34.76 hNqvvR4d.net
n>k>0である全ての整数(n,k)に対して、恒等式
C[n^2,k^2]=f(n,k)C[n,k]
が成立するとき、f(x,y)は多項式でないことを示せ。
710:１３２人目の素数さん
21/04/10 09:57:00.63 Z9sY9TKp.net
>>699
2変数多項式だと仮定して
f(n,k) = g₀(k) + g(k)₁ n¹ + g₂(k) n² + ... + g&#
711:8341;(k) n^h と置く 任意整数 α を固定すると k=α, n= α+1, α+2, ... の無限点で *** の両辺の値が等しい よって 変数n の代数式として等式: n² (n²-1)...(n²-α²+1)/α²! = f(n,α) n (n-1)... (n-α+1)/α! が成り立つ 両辺の次数比較より f(n,α) の次数は 2α² - α これは十分大きな α を採ると h を越えてしまう (矛盾)
712:１３２人目の素数さん
21/04/10 15:04:16.37 NH7RXFaf.net
ユークリッド空間R^nからユークリッド空間R^nへのアファイン変換fの逆写像はアファイン変換である
アファイン変換fとはR^nからR^nへの写像fで全単射であって、任意の直線を直線に写し、任意の線分の内分比を変えないもの
713:１３２人目の素数さん
21/04/10 18:16:28.05 Tq6xhZve.net
>>698
三角形の外心O、内心I、垂心H、O-Hの中点N とすると
NI = (1/2)(R-2r),
rは内接円の半径、Rは外接円の半径
714:１３２人目の素数さん
21/04/10 19:55:53.73 eYoFZYDx.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
p.50 演習
ρ_1 > ρ_2, B(x, ρ_1) ⊂ B(y, ρ_2) なる二球 B(x, ρ_1), B(y, ρ_2) をもつ距離空間の例をつくれ。
X を離散距離空間とし、 x, y をその任意の元、 ρ_1 = 3, ρ_2 = 2 とすればよい。
この問題の著者らが想定している模範解答は何ですか？
まさか、こんなつまらない解答を想定してはいないですよね？
もし、こんな解答を想定しているとしたら、物凄い小物数学者のようですよね。
715:１３２人目の素数さん
21/04/10 20:17:32.86 0tHJ3yUM.net
相変わらずバカだなぁ
716:１３２人目の素数さん
21/04/10 20:50:09.09 K6rSfdKg.net
コルモゴロフに小物と言えるこいつは一体何者なんだ...
717:１３２人目の素数さん
21/04/11 02:10:48.63 EF+6GgtN.net
コルモゴロフが小物なら>>703は塵屑だな
718:１３２人目の素数さん
21/04/11 02:24:05.75 Dw09nwLQ.net
なんで1+1は2なのって子供の質問どう答えてますか？
私は分かりませんと答えました
719:１３２人目の素数さん
21/04/11 06:33:33.79 gwC2XqGY.net
昔の人がそう決めたから
でいいんじゃないかな
720:１３２人目の素数さん
21/04/11 08:23:38.71 sZ6ZL7G1.net
>>702
(略証)
三角形の外接円を重心Gのまわりに (-1/2)倍した円は、
各辺の中点などを通り、9点円とよばれる。
9点円の中心N, 半径は R/2.
内接円の中心I, 半径はr.
[定理31]
三角形の9点円は内接円に接する。(Feuerbachの定理)
∴ NI = (1/2)(R-2r),
(参考書)
清宮俊雄 著 「モノグラフ 15.幾何学」 矢野健太郎 監修, 科学新興社 (1968/Sep)
§10. p.41
のちに科学新興新社から改訂版が発行された。(1988/Mar)
721:１３２人目の素数さん
21/04/11 10:43:44.38 B/ZwQ0zG.net
略証って言い換えてるだけやん
722:１３２人目の素数さん
21/04/11 11:14:13.07 tCRmiMbP.net
>>701
これお願いします
723:１３２人目の素数さん
21/04/11 13:43:15.96 kSxMWaeX.net
>>707
「1つ足す」と言うことは「次の数」で、1の次は2だから
「1+1」は「1の次」で「2」になる
724:１３２人目の素数さん
21/04/11 20:03:48.57 tCRmiMbP.net
>>701
自己解決しまーす
725:１３２人目の素数さん
21/04/12 01:51:01.94 stYbLZe7.net
>>712
自然数とは
1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,・・・
という記号の列の全体を示す言葉であって、
その記号に順序と量を対応させ、同時に・・・・・なので 1+1=2 ということになる。
726:１３２人目の素数さん
21/04/12 10:50:25.15 yPK2H072.net
コルモゴロフ、フォミーン著『函数解析の基礎原書第4版上』
x, y ∈ (α, β)
y, z ∈ (γ, δ)
⇒
x, z ∈ (α, δ)
が成り立つなどと書かれています。
α < γ < δ < x < β
のとき、 x は (α, δ) に含まれません。
論理的に考えず、なんとなく開区間のイメージを思い浮かべてそれに頼って証明を書いているのがバレてしまいましたね。
727:１３２人目の素数さん
21/04/12 16:07:48.09 u9V4efvt.net
他人を蔑むだけに生きてる奴ってキモいな
728:ID:1lEWVa2s
21/04/12 16:25:15.27 J0ouTj+i.net
>>716
なんて書いてあるの。漢字が読めない。
729:１３２人目の素数さん
21/04/12 19:58:31.66 7a+16wPB.net
たにんをさげすむだけにいきてるやつってキモいな
とかいてある。
730:１３２人目の素数さん
21/04/12 20:56:26.73 sL5koGgx.net
k=1,2,...,n-1のどのkに対しても、nCk/(n^2+1)が整数にならないnが、無数に存在することを示せ。
731:１３２人目の素数さん
21/04/12 23:58:12.57 d/DzSP/c.net
p≡1 ( mod 4 )である素数を任意に取る
オイラーの定理よりn^2+1≡0 ( mod p ), 1 ≦ n ≦ p/2を満たすnが取れる
この時n>√pである
この時任意の0≦k≦nに対しC[n,k]の素因子はn以下であるからC[n,k]はpの倍数足りえない
よってpi ≡ 1 ( mod 4 ), ni^2+1 ≡ 0 ( mod pi ), p(i+1)>ni^2と選べば良い
732:１３２人目の素数さん
21/04/13 08:00:33.39 j+QCmQK0.net
>>718
いるよね。
助言でなく罵倒にしか喜びを見いだせないヤツ。
自分の考えと異なる人間は同一人物にみえるらしくすぐに自演認定するのがその特徴でもある。
733:１３２人目の素数さん
21/04/13 08:38:38.28 VQQVIuEI.net
>>721
罵倒厨とか言ってるやつのことか？
734:１３２人目の素数さん
21/04/13 13:29:25.91 pvDz1UJH.net
自分自身？
735:１３２人目の素数さん
21/04/13 13:56:20.05 lWQXuxEC.net
いるよね。
p ≡ 1 (mod 4) である素数pが無数にあると思ってるヤツ。
736:１３２人目の素数さん
21/04/13 13:59:54.59 lWQXuxEC.net
4m+1 形の奇素数は無数にある。
(略証)
5,13,17,･････,p は 4m+1形の奇素数とし、
a = (2･5･13･17･････p)^2 + 1
とおく。
すなわち、上記の4m+1形の奇素数すべてと2との積を平方して、1を加える。
(1) aが素数なら、aは上記以外の4m+1形の奇素数。
(2) aが合成数のとき、
a = n^2+1 だから、aの素因数qは2または4m+1形の奇素数に限る。 (← 補題)
aの定義から、上記の4m+1形の奇素数や2は aの素因数ではない。
よって、qは上記以外の4m+1形の奇素数。
〔補題〕
n^2 +1 の素因数qは、2または4m+1形の奇素数に限る。
(略証)
qを法とすると、-1は平方剰余である。
((-1)/q) = +1
q≠2 のとき
-1 ≠ 1 (mod q)
剰余類 (Z/qZ) の乗法群は、位数4の元を含む。
φ(q) = q-1 は4の倍数。 (← ラグランジュの定理)
q は 4m+1形の奇素数。
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