21/02/07 08:37:35.51 sd5BVB79.net
自分のノートでやればいいじゃん
6:１３２人目の素数さん
21/02/07 08:43:43.27 OoaCqu0y.net
付記
ドルボーの補題は、実微分形式に関し
「閉形式は局所的に完全形式である」
とするポアンカレの補題の複素版である
そしてドルボーの定理は、同じく実微分形式に関し
0→Rー(i)→A~0ー(d)→Ａ~1ー(d)→…ー(d)→A~n→0
(R 実数の定数層
A~p p次微分形式の芽の層)
が層の完全系列で、Rの細層による分解であることから証明される
ド・ラムの定理の複素版である
☆ド・ラム(de Rham)の定理
H~q(X,R)≣Ker(ｄ:Γ(X,A~p)→Γ(X,A~(p+1)))｜d(Γ(X,A~(p-1)))
7:１３２人目の素数さん
21/02/07 08:47:22.60 OoaCqu0y.net
>>5
ここが私のノート（抜粋版）である
8:１３２人目の素数さん
21/02/07 09:13:55.32 OoaCqu0y.net
Eを複素多様体X上の複素ベクトル束とする
Eの接続とは、アーベル層としての準同型写像
D:A~0(E)→A~1(E)
で、以下のライプニッツの公式を満たすものである
D(fξ)=df・ξ+fDξ f∈A~0 ξ=A~0(E)
A~0（E)はEに値をとるp次微分形式の芽の層
接続Dは写像
D:A~p(E)→A~(p+1)(E)
に拡張できる
D(φξ)=dφ・ξ+((-1)^p)φDξ φ∈A~p ξ=A~0(E)
D^2(fξ)=D(df・ξ+fDξ)=d^2 f・ξ-df∧Dξ+df∧Dξ+f・D^2ξ=f・D^2ξ
となり、A~0（E)からA^2（E)へのA~0加群の層としての準同型写像となる
R=D^2 とおき、RをDの曲率と呼ぶ
9:１３２人目の素数さん
21/02/07 09:26:59.16 OoaCqu0y.net
Eを複素多様体X上の複素ベクトル束とする
hが以下の性質をもつとき、E上に定義された
エルミート(Hermite)構造であるという
各点x∈Xで、hはファイバー束E_xにエルミート内積h_xを与える
a)h_x(ξ,η)はξに関して線型
b)h_x(η,ξ)はh_x(ξ,η)~
c)ξ≠0ならば、h_x(ξ,ξ)>0
d)ξとηがC~∞ならば、h(ξ,η)もC~∞
Eの接続Dが以下の条件を満たすとき、h-接続、もしくは、hを保つ、という
d(h(ξ,η))=h(Dξ,η)+h(ξ,Dη) ξ,η∈A~0(E)
定理
正則ベクトル束Eのエルミート構造hに対して
hを保つD=D'+d''の形の接続が一つ、ただ一つ存在する
（D'は、D=D'+D''と分解したときのA~(1,0)に対応する成分）
上記の接続を(E,h)の標準接続とよぶ
10:１３２人目の素数さん
21/02/07 09:51:04.24 i3aurVMs.net
>>8
接続って一体何を一般化したものなの？
曲面の場合とかだとどうなんの？
11:１３２人目の素数さん
21/02/07 09:54:27.10 OoaCqu0y.net
エルミート正則ベクトル束（E,h)に対して(det E,det h)を考える
det Eの接続形式ω_det(E)は、ω_det(E)=tr(ω_E)となる
またエルミー正則ベクトル束の接続形式は以下で与えられる
ω~i_j＝ΣΓ~i_j[a]dz[a] 但しΓ~i_j[a]h~ik(∂h~jk/∂z[a])
したがって(det E,det h)の接続形式は
Σω~i_i＝ΣΓ_a dz[a] (Γ_a＝Γ~i_i[a])
となるがこのときΓ_aは計算可能である
hを行列Hで表した場合
Γ_a＝(det H)^(-1)∂(det H)/∂z[a]＝∂log(det H)/∂z[a]
よって接続形式は以下のようになる
Σω~i_i＝d’log(det H)
さらに曲率R_det(E)＝tr(R_E)は以下の式で与えられる
tr(R_E)＝d''d'log(det H)
12:１３２人目の素数さん
21/02/07 10:03:14.73 OoaCqu0y.net
>>10
以下をお読みください
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
実のところ、
「標準接続では簡単な計算で曲率が求まる」
という点がポイントなので
微分幾何の一般論には踏み込みません
悪しからず
13:１３２人目の素数さん
21/02/07 10:07:36.56 7YOKKMWk.net
>>11
接続形式とは何？
この説明では、det EとEについてのみ考えるから定義はしないということ？
14:１３２人目の素数さん
21/02/07 10:09:27.12 7YOKKMWk.net
> hを行列Hで表した場合
> Γ_a＝(det H)^(-1)∂(det H)/∂z[a]＝∂log(det H)/∂z[a]
これは基底に依存しないの？
15:１３２人目の素数さん
21/02/07 15:34:09.86 OoaCqu0y.net
>>13
Xの各点で、その近傍Uで枠の場e_1,…,e_rをとる
Dを任意の接続とすれば、De_jは
Eに値をとるU上の1次微分形式として
以下のように書ける
De_j=Σ(i) ω~i_je_i
この1次微分形式のつくるr×r行列ω=(ω~i_j)を
枠e_1,…,e_rに関するDの接続形式とよぶ
16:１３２人目の素数さん
21/02/07 15:35:40.16 0nP6/SOr.net
>>15
ありがとう
枠の場って何
17:１３２人目の素数さん
21/02/07 15:41:35.85 OoaCqu0y.net
>>14
正則局所枠e_1,…,e_rが以下の条件を満たすとき
点x∈Xで適合しているという
1)h_jk(x)=δ_jk
2)Γ~i_ja(x)=∂h_ji/∂z[a](x)=0
与えられた点x∈Xに対し、その点で適合した正則局所枠が必ず存在する
18:１３２人目の素数さん
21/02/07 15:52:15.38 OoaCqu0y.net
複素多様体Xのエルミート計量を
Xのリーマン計量gで以下の性質を満たすもの
として定義する
g(ξ,η)=g(Jξ,Jη) JはXの概複素構造
エルミート計量の与えられた複素多様体を
エルミート多様体という
Φ(ξ,η)=g(ξ,Jη)
と書く、この2次微分形式をエルミート多様体(X,g)の
基本2次微分形式という
19:１３２人目の素数さん
21/02/07 15:58:01.00 OoaCqu0y.net
Xをn次元複素多様体
gをエルミート計量
Φをその基本2次微分形式とする
以下の2条件は同値である
1)標準接続のねじれ率が0である
2)dΦ=0である
上記の条件を満たすエルミート計量gをケーラー計量といい
（X,g)をケーラー多様体という
Φをケーラー微分形式とも呼ぶ
20:１３２人目の素数さん
21/02/07 16:08:01.13 OoaCqu0y.net
>>16
Xを複素多様体、Eをその上の複素ベクトル束でファイバーの次元をr
その射影をπ、x∈XにおけるファイバーをE_x＝π^(-1)(x)と書く
PをGL(r,C)を構造群とするEに同伴する主ファイバー束とし
その射影もπと書く
定義により、ｕ∈P_x＝π^(-1)(x)は同型写像u:C^r→E_xである
したがってu∈P_xはC^rの自然な基のuによる像として得られる
E_xの枠（順序のついた基）である
21:１３２人目の素数さん
21/02/07 16:11:43.52 OoaCqu0y.net
ケーラー多様体の例
１．リーマン面
Xをリーマン面、すなわち１次元複素多様体とし
gを任意のエルミート計量とする
Xの実次元は2であるから、基本2次微分形式は必然的に閉じている
したがってgはケーラー計量である
22:１３２人目の素数さん
21/02/07 16:19:04.99 OoaCqu0y.net
>>21
ケーラー多様体の例
２．複素トーラス
z[1],…,z[n]をC^nの座標系とするとき、
自然なケーラー計量とその基本2次微分形式Φは以下の通りである
ds^2=Σdz[j]dz~[j] Φ=(i/2)Σdz[j]∧dz~[j]
e[1]=∂/∂z[1],…,e[n]=∂/∂z[n]
で与えられる正規直交枠をとれば、
接続形式ωは恒等的に０で、曲率形式Rも０になる
23:１３２人目の素数さん
21/02/07 16:30:05.76 OoaCqu0y.net
>>22
ケーラー多様体の例
３．複素射影空間
P^n（C）をｎ次元射影空間とする
(ζ[0],…,ζ[n])をその斉次座標系とする
<ζ,ζ~>=Σζ[j]ζ~[j]
とおくと
ds^2=2Σ(∂^2log<ζ,ζ~>/∂ζ[j]∂ζ~[k])dζ[j]dζ~[k]
Φ=id'd''log<ζ,ζ~>
はそれぞれ複素射影空間のケーラー計量とその基本2次微分形式である
この計量をP^n(C）のフビニ・ストゥディ形式と呼ぶ
24:１３２人目の素数さん
21/02/07 16:34:28.28 OoaCqu0y.net
>>23
ケーラー多様体の例
４．代数多様体
ケーラー多様体Mの複素部分多様体Xに
Mのケーラー計量ds^2を制限すれば
ケーラー計量になる
（基本2次微分形式についても同様）
複素射影空間の閉複素部分多様体は
コンパクトなケーラー多様体の重要な例である
25:１３２人目の素数さん
21/02/07 17:01:40.95 OoaCqu0y.net
>>24
ケーラー多様体の例
５．複素双曲型空間
B_n={z∈C^n||z|^2<1}を考える
以下の計量はB_nのケーラー計量である
ds^2=2Σg_jkdz[j]dz~[k]
g_jk=∂^2/∂z[j]∂z~[k](1/log(1-|z|^2)^(n+1)
26:１３２人目の素数さん
21/02/07 17:15:51.97 OoaCqu0y.net
今日はここまで
27:１３２人目の素数さん
21/02/07 21:05:05.72 9aHkgZ1B.net
教科書バカ乙
28:１３２人目の素数さん
21/02/12 22:02:12.69 gtyJUbfP.net
Griffiths Harrisを手に入れた
29:１３２人目の素数さん
21/02/13 13:55:04.75 9VxnU/uL.net
Hodge理論の応用というか良さを教えてくれ……
ベクトル束とかエルミート計量のあたりでお腹いっぱいなんだ
30:１３２人目の素数さん
21/02/26 21:19:45.39 rpTyP75D.net
Hodge理論より
射影代数多様体の奇数次ベッチ数が偶数であることがわかる
このことから
ホップ多様体の非代数性が直ちに従う
31:１３２人目の素数さん
21/03/25 18:28:39.45 66jxOSA6.net
線形代数からやり直した
以前よりもメトリクスとかに抵抗は無くなった