21/08/13 12:10:20.41 3KF9NHro.net
>>637
(>>653の続き)
2)：ε≧1 のとき。
有理数の稠密性により、0＜p/q＜1/ε≦ε を満たす有理数 p/q p、q∈Z＼{0} は存在する。
このとき、正の有理数 p/q に対して 0＜1/(N(p/q))＜p/q を満たす最小の自然数 N(p/q) は存在する。
また、有理数の稠密性により、0＜p'/q'＜1/(N(p/q)) なる有理数 p'/q' p'、q'∈Z＼{0} も存在する。
このとき、正の有理数 p'/q' に対して 0＜1/(N(p'/q'))＜p'/q' を満たす最小の自然数 N(p'/q') は存在し、N(p'/q')≧2。
３と４の各議論において、任意に取った2以上の整数nを N(p'/q') で書き換えて、３と４との同様な各議論を繰り返せば、
３と４の各定義から、N(p'/q') に対して、Ω_{N(p'/q')}＝{1,…,N(p'/q')} 上の完全加法族 Σ_{N(p'/q')}
と可測空間 (Ω_{N(p'/q')}、Σ_{N(p'/q')}) 上の数え上げ測度としての確率測度 p_{N(p'/q')}、
及び有限確率空間 (Ω_{N(p'/q')}、Σ_{N(p'/q')}、p_{N(p'/q')}) が設定されて、
確率列 {p_n} の第 N(p'/q') 項 p_{N(p'/q')}＝1-1/(N(p'/q')) が定まる。
2以上の自然数 N(p'/q') の取り方により 0＜1/(N(p'/q'))＜p'/q' だから、
確率 p_{N(p'/q')} は |1-p_{N(p'/q')}|＝1/(N(p'/q'))＜p'/q' を満たす。
p'/q'＜p/q＜1/ε≦ε なので、εに対して定まる自然数 N(ε) を N(ε)＝N(p'/q') とおけば、N(ε)≧2 であって、
n≧N(ε) のとき ３の議論と同様に Ω_n＝{1,…,n} 上の完全加法族 Σ_n
と可測空間 (Ω_n、Σ_n) 上の数え上げ測度としての確率測度 p_n、
及び有限確率空間 (Ω_n、Σ_n、p_n) が設定されて、
３と４の各議論から勝つ確率は p_n＝1-1/n と表され、|1-p_n|＜ε である。
ここに 1/(N(p'/q'))＜1/ε から、n≧N(p'/q') のとき n＞ε。 ( 2) 終わり )
1)、2)の各議論から、1より小さい正の実数εは任意だから、εを ε＞0 で走らせれば、
ε→+0 のとき n→+∞ であって、確率列 {p(n)} は1に収束する：lim_{n→+∞}p(n)＝1。