21/08/13 12:03:31.55 3KF9NHro.net
>>637
(知らないうちに age ちゃったけど、>>651の続き)
６：2以上の整数全体の集合を Ω とする。Ω 上の完全加法族を Σ とする。
実数直線R上の完全加法族を Σ(R) とする。1次元ルベーグ測度をμとする。
このとき、(R、Σ(R)、μ) は測度空間である。
2以上の整数nを任意に取る。n次元ユークリッド空間 R^n 上の完全加法族を Σ(R) とする。
このとき、非可測集合の存在性から、(R^n、Σ(R^n)、μ^n) は完備でない測度空間である。
ここに、μ^n はn次元ルベーグ測度である。
直線R上の零集合の全体集合をZで表す。
任意のR上の零集合のルベーグ測度は0であることに注意して、
直線R上の任意の零集合Nについて、Nの部分集合に含まれるすべての部分集合からなる集合を Σ(N) とする。
Σ_0(R) を Σ(R) と ∪_{N∈Z}(Σ(N)) により生成されるσ-集合族とする。
一次元ルベーグ測度μの Σ_0(R) への拡張としてのルベーグ測度で、
μ_0(C)＝inf{μ(D)|C⊂D∈Σ(R)}
と定義されるような下限として与えられる測度 μ_0 が存在する。
このとき、(R、Σ_0(R)、μ_0) は完備測度空間であるから、マハラムの定理より
(R、Σ_0(R)、μ_0) は実数直線R上の測度と、有限可測空間上の数え上げ測度または可算無限可測空間上の数え上げ測度に分解可能である。
故に、３の議論から、任意の2以上の整数nを任意に対して p_n は有限可測空間 (Ω_n、Σ_n) の数え上げ測度である。
７：可算無限可測空間Ω上の数え上げ測度λが確率測度になったとすると、
確率測度λが λ(Ω)＝+∞ を満たし確率測度の定義の条件を満たさなくなるから、
矛盾が生じる。よって、背理法を適用すると、可算無限可測空間Ω上の数え上げ測度λは確率測度にはならない。