20/11/08 15:09:32.45 BM2uk/CN.net
0.999…を「任意の自然数nに対し、小数第n位が9である小数」と定義する。
0.999…=1を二通りの方法で証明する。
証明1 実数のアルキメデス性を用いた証明
1-0.999…:=x とおく
明らかに x≧0
いま x>0 を仮定
アルキメデスの原理より、
ある自然数 n が存在して
10^n > 1/x > 0
逆数をとって
x > 1/(10^n) = 1-0.999…9(9がn個) だから、0.000…0999…<0 なる矛盾が帰結される。
よって 0.999…=1
証明2 lim[n→∞](1-1/10^n)=1を用いた証明
1-0.999…:=x とおく
明らかに x≧0
いま x>0 を仮定
lim[n→∞](1-1/10^n)=1 より、
ある自然数mが存在して、
|(1-1/10^m)-1|<x
左辺=1-(1-1/10^m)=1-0.999…9（9がm個）だから、0.000…0999…<0 なる矛盾が帰結される。
よって 0.999…=1