20/11/27 01:08:26.67 7wK1iFl7.net
>>113
「ユビキタス熱核」読んでスペクトル幾何調べて太鼓で形を聞き分ける絡みのネタ熱心に追ってた時期がボクにもありますた。
119:１３２人目の素数さん
20/11/27 14:31:54.84 khxS5vKK.net
テータ関数の本質というか正体っていったい何なんですか？
教科書を見ると変換公式やら互いの関係式やらは書いてあり
ますが、それだけでは何が何やらさっぱりわかりません・・
120:１３２人目の素数さん
20/11/27 20:06:33.49 xHFtMtk4.net
V_l (>>107) に属するテータ関数を用いて
複素トーラスC/(1,τ)の
射影空間P l^2-1への埋め込みを与える
121:１３２人目の素数さん
20/11/27 20:07:14.10 xHFtMtk4.net
>>116
Ω(τ)=(1,τ)とおく
☆補題3.3
0≠f(z)∈V_lとすると
f(z)はlΩ(τ)=(l,lτ)の基本周期四辺形の中に
ちょうどl^2個の零点を持つ
ただし零点は重複度を込めて数える
☆補題3.4
zの関数としてθ1/2,1/2(z,τ)は奇関数である つまり
θ1/2,1/2(-z,τ)=-θ1/2,1/2(z,τ)
したがって
θ1/2,1/2(0,τ)=0
●命題3.7
θ(z,τ)の零点全体のなす集合は
{(p+1/2)τ+(q+1/2)|p,q∈Z}
(ai,bi)∈((1/l)Z)×((1/l)Z) (0<=i<=l^2-1)
を((1/l)Z)×((1/l)Z)の完全代表系とする
θi(z,τ)=θai,bi(z,τ)とおく
●命題3.8
θi(z,τ)の零点全体のなす集合は
{(-ai+p+1/2)τ+(-bi+q+1/2)|p,q∈Z}
i≠jならば
θi(z,τ)とθj(z,τ)には
共通零点が存在しない
122:１３２人目の素数さん
20/11/27 20:09:18.94 xHFtMtk4.net
命題3.8 (>>117) より、
l>=2とすると、任意のz∈Cに対して
(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
は零ベクトルになることはないので、
射影空間P l^2-1の点
[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる つまり、解析写像
Φl:C→P l^2-1
z → [θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる
V_l(>>107)の定義より
(θ0(l(z+1),τ),…,θl^2-1(l(z+1)､τ))
＝(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
(θ0(l(z+τ),τ),…,θl^2-1(l(z+τ)､τ))
＝○(-1/2l^2τ-lz)(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
であるので
[θ0(l(z+1),τ),…,θl^2-1(l(z+1)､τ)]
＝[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
[θ0(l(z+τ),τ),…,θl^2-1(l(z+τ)､τ)]
＝[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
したがって、解析写像
φl:C/Ω(τ)→P l^2-1
z → [θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる
E_τ=C/Ω(τ)とおく
★定理3.3
l>=2ならば、解析写像
φl:E_τ→P l^2-1
は、複素トーラスE_τ=C/(1,τ)の射影空間P l^2-1への埋め込みである
123:１３２人目の素数さん
20/11/28 09:43:20.28 XyNDA0Mg.net
V_l(>>107)はG_l(>>112)加群であるので 準同型写像
ρ:G_l→GL(V_l)
が存在する
(1,a,b)∈μl^2×((1/l)Z/lZ)×((1/l)Z/lZ)に対して
ρ(1,a,b)(θi)=Σ(j=0～j^2-1) ci
124:jθj であるとする ☆補題3.5 φl(z+(aτ+b)/l,τ) ＝[Σ(j=0～j^2-1) c0jθj,…,Σ(j=0～j^2-1) cl^2-1jθj]
125:１３２人目の素数さん
20/11/28 09:52:51.67 XyNDA0Mg.net
●命題3.9
射影平面P l^2-1において、超平面Hと像φl(E_τ)の共通部分は
重複度も込めて丁度l^2個の点からなる
一般に射影空間Pn内のd次元射影多様体Vが与えられたとき
Pnの一般の位置にあるn-d次元超平面H^(n-d)とVは
有限個の点で交わることが知られている
さらに交点の数|V∩H|はHのとり方によらない
この数を射影多様体V⊂Pnの次数という
命題3.9はφl(E_τ)⊂P l^2-1がl^2次曲線であることを述べている
126:１３２人目の素数さん
20/11/28 19:12:39.36 XyNDA0Mg.net
l=2(>>107)の場合
伝統的テータ関数記号(Mumford,Tata lectures on Theta)の定義
θ00(z,τ)=θ0,0(z,τ)
θ01(z,τ)=θ0,1/2(z,τ)
θ10(z,τ)=θ1/2,0(z,τ)
θ11(z,τ)=θ1/2,1/2(z,τ)
指標付きテータ関数の定義(>>104)より
θ00(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
θ01(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+1/2))
θ10(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1/2)^2τ+(n+1/2)z)
θ10(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1/2)^2τ+(n+1/2)(z+1/2))
一方、以下が成立している
θ00(z,τ)=θ(z,τ)
θ01(z,τ)=θ(z+1/2,τ)
θ10(z,τ)=○(1/8τ+1/2z)θ(z+1/2τ,τ)
θ11(z,τ)=○(1/8τ+1/2(z+1/2))θ(z+1/2τ+1/2,τ)
関数の零点(>>117) (p,q∈Z)
θ00(z,τ) z=(p+1/2)τ+(q+1/2)
θ01(z,τ) z=(p+1/2)τ+q
θ10(z,τ) z=pτ+(q+1/2)
θ11(z,τ) z=pτ+q
θ00(-z,τ)=θ00(z,τ) 偶関数
θ01(-z,τ)=θ01(z,τ) 偶関数
θ10(-z,τ)=θ10(z,τ) 偶関数
θ11(-z,τ)=-θ11(z,τ) 奇関数
>>118で、l=2とした場合
Φ2:C→P3 z→[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
127:１３２人目の素数さん
20/12/01 19:55:45.85 gRCeSSmI.net
☆補題3.6
A=
(1 1 1 1)
(1 1 -1 -1)
(1 -1 1 -1)
(1 -1 -1 1)
とおくと、等式
tAA=AtA=4I4
が成立する
ここでI4は4次の対称行列を表す
つまり(1/2)Aは直交行列である
☆系3.1
u1,u2,u3,u4,v1,v2,v3,v4を変数とする
u をu1 ～u4 による縦ベクトル
u'をu1'～u4'による縦ベクトル
v をv1 ～v4 による縦ベクトル
v'をv1'～v4'による縦ベクトル
とする
u'=(1/2)Au v'=(1/2)Av
とおく
このとき等式
Σ(i=1～4)ui'vi'=Σ(i=1～4)uivi
が成立する
128:１３２人目の素数さん
20/12/01 20:14:09.50 gRCeSSmI.net
テータ関数の定義より
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi^2)τ+Σ(i=1～4)mixi)
θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi)+(1/2)(Σ(i=1～4)mi^2)τ+Σ(i=1～4)mixi)
θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)(mi+1/2)^2)τ+Σ(i=1～4)(mi+1/2)xi)
θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi)+(1/2)(Σ(i=1～4)(mi+1/2)^2)τ+Σ(i=1～4)(mi+1/2)xi)
上記四個の等式を加えると
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2Σ'(m1～m4∈(1/2)Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi^2τ)+Σ(i=1～4)mixi)
ここでΣ'は条件1)または2)を満たす,すべてのm1～m4にわたる和を表す
1)i=1～4について、miは整数であって、Σ(i=1～4) mi∈2Z
2)i=1～4について、mi∈Z+1/2であって、Σ(i=1～4) mi∈2Z
129:１３２人目の素数さん
20/12/01 20:29:08.75 gRCeSSmI.net
さて
n=n1～n4による縦ベクトル
m=m1～m4による縦ベクトル
x=x1～x4による縦ベクトル
y=y1～y4による縦ベクトル
として
n=(1/2)Am y=(1/2)Ay
とおくと、以下の補題が成り立つ
☆補題3.7
m1～m4に関する次の条件は同値である
i) m1～m4はΣ'に関する>>123の条件1)または2)を満たす
ii)上に定義したn1～n4は整数である
系3.1(>>122)を、ui=vi=miとして適用して
Σ(i=1～4) mi^2=Σ(i=1～4) ni^2
を得る さらにui=mi,vi=xiに適用すれば
Σ(i=1～4) mixi=Σ(i=1～4) niyi
したがって
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2Σ'(n1～n4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)ni^2τ)+Σ(i=1～4)niyi)
よってRiemannのテータ公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ00(y1,τ)θ00(y2,τ)θ00(y3,τ)θ00(y4,τ)
130:１３２人目の素数さん
20/12/01 20:56:15.51 gRCeSSmI.net
☆補題3.8
次の公式が成り立つ
θ00(z+1,τ)=θ00(z,τ)
θ01(z+1,τ)=θ01(z,τ)
θ10(z+1,τ)=-θ10(z,τ)
θ11(z+1,τ)=-θ11(z,τ)
>>124の公式で、x1にx1+1を代入して補題3.8を使うと以下の公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
-θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
-θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ01(y1,τ)θ01(y2,τ)θ01(y3,τ)θ01(y4,τ)
131:１３２人目の素数さん
20/12/01 20:56:40.47 gRCeSSmI.net
☆補題3.9
次の公式が成り立つ
○(τ/2+z)θ00(z+τ,τ)=θ00(z,τ)
○(τ/2+z)θ01(z+τ,τ)=-θ01(z,τ)
○(τ/2+z)θ10(z+τ,τ)=θ10(z,τ)
○(τ/2+z)θ11(z+τ,τ)=-θ11(z,τ)
>>124の公式で、x1にx1+τを代入して両辺に○(τ/2+x1)を掛けると
補題3.9により以下の公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
-θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
-θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ10(y1,τ)θ10(y2,τ)θ10(y3,τ)θ10(y4,τ)
132:１３２人目の素数さん
20/12/01 20:57:12.08 gRCeSSmI.net
☆補題3.10
次の公式が成り立つ
○(τ/2+z)θ00(z+τ+1,τ)=θ00(z,τ)
○(τ/2+z)θ01(z+τ+1,τ)=-θ01(z,τ)
○(τ/2+z)θ10(z+τ+1,τ)=-θ10(z,τ)
○(τ/2+z)θ11(z+τ+1,τ)=θ11(z,τ)
>>124の公式で、x1にx1+τ+1を代入して両辺に○(τ/2+x1)を掛けると
補題3.10より以下の公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
-θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
-θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ11(y1,τ)θ11(y2,τ)θ11(y3,τ)θ11(y4,τ)
133:１３２人目の素数さん
20/12/01 21:30:45.64 gRCeSSmI.net
x1,x2,x3,x4にx1+l1,x2+l2,x3+l3,x4+l4を代入することにより
20個の公式を得る
l1～l4∈(1/2,τ/2) かつ l1+l2+l3+l4∈(1,τ) である
θab(x1,τ)θcd(x2,τ)θef(x3,τ)θgh(x4,τ) を
[ab,cd,ef,gh] と表し
θab(y1,τ)θcd(y2,τ)θef(y3,τ)θgh(y4,τ) を
[ab,cd,ef,gh]' と表す
上記の記号により20個のRiemannテータを記載する
1) [00,00,00,00]+[01,01,01,01]+[10,10,10,10]+[11,11,11,11] = 2[00,00,00,00]'
2) [00,00,00,00]+[01,01,01,01]-[10,10,10,10]-[11,11,11,11] = 2[01,01,01,01]'
3) [00,00,00,00]-[01,01,01,01]+[10,10,10,10]-[11,11,11,11] = 2[10,10,10,10]'
4) [00,00,00,00]-[01,01,01,01]-[10,10,10,10]+[11,11,11,11] = 2[11,11,11,11]'
5) [00,00,01,01]+[01,01,00,00]+[10,10,11,11]+[11,11,10,10] = 2[01,01,00,00]'
6) [00,00,01,01]+[01,01,00,00]-[10,10,11,11]-[11,11,10,10] = 2[00,00,01,01]'
7) [00,00,01,01]-[01,01,00,00]+[10,10,11,11]-[11,11,10,10] =-2[11,11,10,10]'
8) [00,00,01,01]-[01,01,00,00]-[10,10,11,11]+[11,11,10,10] =-2[10,10,11,11]'
9) [00,00,10,10]+[01,01,11,11]+[10,10,00,00]+[11,11,01,01] = 2[00,00,10,10]'
10) [00,00,10,10]+[01,01,11,11]-[10,10,00,00]-[11,11,01,01] = 2[01,01,11,11]'
11) [00,00,10,10]-[01,01,11,11]+[10,10,00,00]-[11,11,01,01] = 2[10,10,00,00]'
12) [00,00,10,10]-[01,01,11,11]-[10,10,00,00]+[11,11,01,01] = 2[11,11,01,01]'
13) [00,00,11,11]+[01,01,10,10]+[10,10,01,01]+[11,11,00,00] = 2[01,01,10,10]'
14) [00,00,11,11]+[01,01,10,10]-[10,10,01,01]-[11,11,00,00] = 2[00,00,11,11]'
15) [00,00,11,11]-[01,01,10,10]+[10,10,01,01]-[11,11,00,00] =-2[11,11,00,00]'
16) [00,00,11,11]-[01,01,10,10]-[10,10,01,01]+[11,11,00,00] =-2[10,10,01,01]'
17) [00,01,10,11]+[01,00,11,10]+[10,11,00,01]+[11,10,01,00] = 2[11,10,01,00]'
18) [00,01,10,11]+[01,00,11,10]-[10,11,00,01]-[11,10,01,00] =-2[10,11,00,01]'
19) [00,01,10,11]-[01,00,11,10]+[10,11,00,01]-[11,10,01,00] =-2[01,00,11,10]'
20) [00,01,10,11]-[01,00,11,10]-[10,11,00,01]+[11,10,01,00] = 2[00,01,10,11]'
134:１３２人目の素数さん
20/12/02 20:18:47.16 pV8MmGTK.net
Riemannのテータ関係式において
x1=x2、x3=x4と特殊化すると
テータ関数の加法公式が得られる
例えば
θ00(x1+x3)θ00(x1-x3)θ00(0)^2
=θ00(x1)^2θ00(x3)^2+θ11(x1)^2θ11(x3)^2
=θ01(x1)^2θ01(x3)^2+θ10(x1)^2θ10(x3)^2
θ11(x1+x3)θ11(x1-x3)θ00(0)^2
=θ11(x1)^2θ00(x3)^2-θ00(x1)^2θ11(x3)^2
=θ01(x1)^2θ10(x3)^2-θ10(x1)^2θ01(x3)^2
ここでさらにx3=0とすると
θ00(x1)^2θ00(0)^2
=θ01(x1)^2θ01(0)^2+θ10(x1)^2θ10(0)^2
θ11(x1)^2θ00(0)^2
=θ01(x1)^2θ10(0)^2-θ10(x1)^2θ01(0)^2
135:１３２人目の素数さん
20/12/02 20:19:59.61 pV8MmGTK.net
φ2:Eτ=C/(1,τ)→P3
φ2(z)=[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
が成り立つ
さらに
θ00(x1)^2θ00(0)^2-θ01(x1)^2θ01(0)^2-θ10(x1)^2θ10(0)^2=0
θ11(x1)^2θ00(0)^2-θ01(x1)^2θ10(0)^2+θ10(x1)^2θ01(0)^2=0
が成り立つ
このことは、射影空間の点
[a0,a1,a2,a3]=[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
が、二つの関係式
f1=θ00(0)^2 a0^2-θ01(0)^2 a1^2-θ10(0)^2 a2^2=0
f2=θ00(0)^2 a3^2-θ10(0)^2 a1^2+θ01(0)^2 a2^2=0
を満たしていることを示している
つまり[a0,a1,a2,a3]∈V(f1,f2)⊂P3
φ2(Eτ)⊂V(f1,f2) であるが実は
φ2(Eτ)⊃V(f1,f2) でもあるので
φ2(Eτ)=V(f1,f2)である
V(f1,f2)は二つの二次曲面の交わりとして定義されているので
射影空間内の4次曲線である(Bezoutの定理）
つまり2次式f1,f2は、4次曲線φ2(Eτ)の定義方程式を与える
136:１３２人目の素数さん
20/12/03 19:10:25.50 p8E7HDxN.net
★定理3.4
∂θ11(z,τ)/∂τ|z=0 ＝ -πθ00(0,τ)θ01(0,τ)θ10(0,τ)
☆補題3.11
∂^2θij(z,τ)/∂z^2=4π√(-1)θθij(z,τ)/∂τ
137:１３２人目の素数さん
20/12/04 20:45:49.18 BhD6Y/CZ.net
★定理3.5
i)無限級数Σ(n=1～∞) |un|が収束するとき,
無限積Π(n=1～∞) (1+un)は収束する
この時Π(n=1～∞) (1+un)は絶対収束するという。
ii)絶対収束するとき、上記の無限積は
積の順序に関係なく一定の値に収束する。
さらに分配法則にしたがって無限積を
形式的に無限級数に展開してもよい。
138:１３２人目の素数さん
20/12/04 20:46:17.31 BhD6Y/CZ.net
★定理3.6
有界閉集合K⊂Cが存在して
un(z)は、任意のnについてK上正則とする。
さらに級数Σ(n=1～∞) |un(z)|が
K上で一様収束すると仮定する このとき
無限積Π(n=1～∞) (1+un)はK上で一様収束し、
したがって正則である
139:１３２人目の素数さん
20/12/04 20:47:10.46 BhD6Y/CZ.net
☆補題3.12
z∈C,整数mに関する次の条件は同値である
i) ○((m+1/2)τ-z)=-1
ii) 整数nが存在し、2πi(z-(m+1/2)τ)=(2π+1)πiと書ける
iii)整数nが存在して、z=(m+1/2)τ+(n+1/2)と書ける
140:１３２人目の素数さん
20/12/04 20:47:32.76 BhD6Y/CZ.net
★定理3.7
テータ関数θ(z,τ)は以下のように無限積に展開�
141:ｳれる θ(z,τ)=Π(m=1～∞) (1-○(mτ)) Π(m=0～∞) {[1+○((m+1/2)τ-z)][1+○((m+1/2)τ+z)]}
142:１３２人目の素数さん
20/12/04 20:48:05.57 BhD6Y/CZ.net
☆補題3.13
p(z,τ)=Π(m=0～∞) {[1+○((m+1/2)τ-z)][1+○((m+1/2)τ+z)]}とおくと
i) p(z+1,τ)=p(z,τ)
ii)p(z+τ,τ)=○(-(1/2)τ-z)p(z,τ)
143:１３２人目の素数さん
20/12/05 16:21:43.17 IssG98Nd.net
>>135
定理3.7の公式は
q=○((1/2)τ),w=○((1/2)z)
とおくと、以下のように書ける
Σ(m=-∞～∞) q^(m^2)w^(2m)
=Π(m=1～∞) (1-q^2m)(1+q^(2m-1)w^2)(1-q^(2m-1)w^(-2))
上記の公式はJacobiの三重積公式と呼ばれている
144:１３２人目の素数さん
20/12/05 16:22:45.61 IssG98Nd.net
>>137
Jacobiの三重積公式の公式で
w=iq^(1/4) q=q^3/2
を代入すると、Eulerの5角数公式を得る
Σ(m=-∞～∞)(-1)^m*q^(m(3m+1)/2)
=Π(m=1～∞) (1-q^m)
145:１３２人目の素数さん
20/12/05 16:24:09.38 IssG98Nd.net
>>138
Eulerの5角数公式の右辺を展開すると
Π(m=1～∞) (1-q^m)
=1+Σ(n=1～∞)q^n[E(n)-U(n)]
ここで
E(m)は整数mを偶数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数
U(m)は整数mを奇数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数
★定理3.8
正の整数mが与えられたとき、
正の整数nが存在して
m=(1/2)n(3n+1) または m=(1/2)n(3n-1)
と書けるならば
E(m)-U(m)=(-1)^n
上記の整数nが存在しなければ
E(m)-U(m)=0
146:１３２人目の素数さん
20/12/06 18:25:52.36 DTMWYA77.net
☆補題3.14
整数a,b,c,dがad-bc=1を満たすとき
(1,τ)=(aτ+b,cτ+d)
が成立する
☆補題3.15
τを上半平面H上の点とし、
整数a,b,c,dはad-bc=1を満たすと仮定する
このとき次が成立する
i) (aτ+b)/(cτ+d)∈H
ii)Cの各元を(cτ+d)^(-1)倍する写像C→Cは
複素トーラスの同型
C/(1,τ)≣C/(1､(aτ+b)/(cτ+d))
を引き起こす
147:１３２人目の素数さん
20/12/06 18:26:18.73 DTMWYA77.net
★定理3.9(Jacobiの変換公式)
θ00(z/τ,-1/τ)=○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ00(z,τ)
☆系3.2
θ10(z/τ,-1/τ)=○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ01(z,τ)
θ01(z/τ,-1/τ)=○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ10(z,τ)
θ11(z/τ,-1/τ)=-i*○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ11(z,τ)
148:１３２人目の素数さん
20/12/06 18:26:37.97 DTMWYA77.net
★定理3.10
θ11(z,τ+1)=○(1/8)θ11(z,τ)
☆系3.3
θ00(z,τ+1)=θ01(z,τ)
θ01(z,τ+1)=θ00(z,τ)
θ10(z,τ+1)=○(1/8)θ10(z,τ)
149:１３２人目の素数さん
20/12/06 18:27:12.55 DTMWYA77.net
★定理3.11
a,b,c,d∈Z,ad-bc=1,c>=0とする
θ00(z/(cτ+d),(aτ+b)/(cτ+d))
=○(-1/8)(cτ+d)^(1/2)○(cz^2/(2(cτ+d))θ00(z,τ)
150:１３２人目の素数さん
20/12/07 19:47:18.75 ifA6lMeJ.net
★定理3.12
θ01(2z,2τ)/θ00(z,τ)θ01(z,τ)=θ01(0,2τ)/θ00(0,τ)θ01(0,τ)
θ11(2z,2τ)/θ10(z,τ)θ11(z,τ)=θ01(0,2τ)/θ00(0,τ)θ01(0,τ)
☆補題3.16～3.17
定数aが存在して
θ00(2z,2τ)=a(θ00(z,τ)^2+θ01(z,τ)^2)
★定理3.13
2θ00(0,2τ)θ00(2z,2τ)=θ00(z,τ)^2+θ01(z,τ)^2
2θ00(0,2τ)θ10(2z,2τ)=θ10(z,τ)^2-θ11(z,τ)^2
●命題3.10
θ00(0,2τ)^2=(θ00(z,τ)^2+θ01(z,τ)^2)/2
θ01(0,2τ)^2=θ00(z,τ)θ01(z,τ)^2
つまり
θ00(0,2τ)^2はθ00(z,τ)^2とθ01(z,τ)^2の算術平均
θ01(0,2τ)^2はθ00(z,τ)^2とθ01(z,τ)^2の幾何平均
151:１３２人目の素数さん
20/12/11 07:10:03.81 ydrdP7Wd.net
Weierstrassのσ関数とテータ関数の関係
σ(z)=exp((1/2)ω1η1z^2)(ω1/θ’11(0,τ))θ11(z,τ)
152:１３２人目の素数さん
20/12/11 07:11:58.69 ydrdP7Wd.net
これでテータ関数は終わり
次から「Jacobiの楕円関数」について
刮目して待て！
153:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:56:11.46 l8Uc2rWI.net
定義
u:=zπθ00^2(0)
sn u:=(-θ00(0)/θ10(0))(θ11(z)/θ01(z))
cn u:=( θ01(0)/θ10(0))(θ10(z)/θ01(z))
dn u:=( θ01(0)/θ00(0))(θ00(z)/θ01(z))
κ :=θ10^2(0)/θ00^2(0)
κ':=θ01^2(0)/θ00^2(0)
sn 0=0
cn 0=1
dn 0=1
154:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:56:56.98 l8Uc2rWI.net
>>147
κ^2+κ'^2=(θ10^4+θ01^4)/θ00^4=1
θ10^2(0,-1/τ)/θ00^2(0,-1/τ)
=θ01^2(0,-1/τ)/θ00^2(0,-1/τ)
=κ'
sn^2 u+cn^2 u
=(θ00^2(0)θ11^2(z)+θ01^2(0)θ10^2(z))/(θ10^2(0)θ01^2(z))
=1
dn^2 u+κ^2sn^2 u
=(θ01^2(0)θ00^2(z)+θ10^2(0)θ11^2(z))/(θ00^2(0)θ01^2(z))
=1
155:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:57:53.55 l8Uc2rWI.net
>>147-148
θ00(0),θ01(0),θ10(0)をθ00,θ01,θ10と書く
d(θ11(z)/θ01(z))/dz
=-πθ01^2(θ00(z)/θ01(z))(θ10(z)/θ01(z))
d(sn u)/du
=(dz/du)(d((-θ00/θ10)(θ11(z)/θ01(z)))/dz)
=(-1/πθ00^2)(θ00/θ10)(d(θ11(z)/θ01(z))/dz)
=(θ01^2/θ00θ10)(θ00(z)/θ01(z))(θ10(z)/θ01(z))
= cn u dn u
d(sn^2 u+cn^2 u)/du
=2sn u d(sn u)/du+2cn u d(cn u)/du
=2sn u cn u dn u+2cn u d(cn u)/du
=0
ゆえに
d(cn u)/du=-dn u sn u
d(dn^2 u+κ^2 sn^2 u)/du
=2dn u d(dn u)/du+2κ^2 sn u d(sn u)/du
=2dn u d(dn u)/du+2κ^2 sn u cn u dn u
=0
ゆえに
d(dn u)/du=-κ^2sn u cn u
156:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:59:01.09 l8Uc2rWI.net
>>147-149
(d(sn u)/du)^2
=(1-sn^2 u)(1-κ^2sn u)
(d(cn u)/du)^2
=(1-cn^2 u)(1-κ^2sn u)
=(1-cn^2 u)(κ'^2-κ^2cn u)
(d(dn u)/du)^2
=κ^4(1-sn^2 u)(1-cn^2 u)
=-(1-dn^2 u)(κ'^2-dn^2 u)
157:１３２人目の素数さん
20/12/13 07:50:17.89 hbHQHgSE.net
u:=∫[0,v] (1/√(1-x^2)(1-κ^2x^2))dx
とおく
sn 0=0,sn' 0=1であるので
sが0の近傍にあるとき
x=sn s
と変数変換できる
dx=d sn s=√(1-x^2)(1-κ^2x^2)ds
したがって
u
=∫[0,v] (1/√(1-x^2)(1-κ^2x^2))dx
=∫[0,sn^(-1) v] ds
=sn^(-1) v
つまり
v(s)=sn u
158:１３２人目の素数さん
20/12/13 07:50:47.00 hbHQHgSE.net
ω :=(π/2)θ00＾2
ω':=(π/2)θ00＾2τ
とする
周期
sn u:4ω, 2ω'
cn u:4ω, 2ω+2ω'
dn u:2ω, 4ω'
零点（基本平行四辺形上）
sn u: 0,2ω
cn u:ω,3ω
dn u:ω+ω',ω+3ω'
極（基本平行四辺形上）
sn u:ω',2ω+ω'
cn u:2ω+ω’,4ω+ω'
dn u:ω',3ω'
159:１３２人目の素数さん
20/12/13 07:51:18.41 hbHQHgSE.net
アフィン4次曲線
C:y^2=(1-x^2)(1-κ^2x^2)
を考える
Cのコンパクト化C~を
2枚のアフィン平面WとW'の貼り合わせで実現する
(x,y)∈Wと(x',y')∈W'を次の条件を満たすとき同一視する
1)xx'=1
2)y=y'/x'^2
C ={(x ,y )∈W |y^2=(1-x^2)(1-κ^2x^2)}
C'={(x',y')∈W'|y'^2=(x'^2-1)(x'^2-κ^2)}
CとC'はW∩W'上で一致し代数曲線C~を得る
cn^2 u dn^2 u=(1-sn^2 u)(1-κ^2 sn^2 u)
sn' u=cn u dn u
上記より
Ｃ→C: u→(sn u,cn u dn u)=(sn u,sn' u)
は正則写像
φ:Ｃ→C~=C∪C'
を定義する
したがってφは同型写像
φ~:C/(4ω,2ω')→C~
を与える
160:１３２人目の素数さん
20/12/15 19:44:06.90 CEX8aew8.net
★定理4.1(Jacobiの公式)
∫[0,1] (1/√((1-x^2)(1-κ^2x^2)))dx
=(π/2)θ00^2
(κ=θ10^2/θ00^2)
☆補題4.1
∫[0,1] (1/√((1-x^2)(1-κ'^2x^2)))dx
=∫[1,1/κ] (1/√((s^2-1)(1-κ^2s^2)))ds
(κ'= θ01^2/θ00^2 κ^2+κ'^2=1)
ここで、右辺の平方根はs=0でiをとるRiemann面R上の枝
また、Riemann面R上の積分路は、1と1/τを結ぶ線分上の縁μ+にとる
★定理4.2
∫[0,1] (1/√((1-x^2)(1-κ'^2x^2)))dx
=-i(π/2)θ00^2τ
161:１３２人目の素数さん
20/12/18 06:08:29.95 wcP2xck3.net
a,b,c∈Cとして、2階線型微分方程式
u(1-u)d^2f/du^2+(c-(a+b+1)u)df/du-abf=0
を超幾何微分方程式と呼ぶ
無限級数
F(a,b,c;u)
=1+(ab/1*c)u+(a(a+1)b(b+1)/1*2*c(c+1))u^2
+(a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)/(1*2*3c(c+1)(c+2))u^3+…
を超幾何級数という
●命題4.1
超幾何級数F(a,b,c;u)は超幾何微分方程式を満たす
162:１３２人目の素数さん
20/12/18 06:09:11.85 wcP2xck3.net
F(u)=∫[0,1] (1/√(1-x^2)(1-ux^2))dx
G(u)=∫[0,1] (1/√(s^2-1)(1-us^2))ds
とおく
★定理4.3
楕円曲線y^2=(1-x^2)(1-ux^2)の周期
∫Γ (1/y)dx=4F(u)
∫Γ’(1/y)dx=2G(u)
は、uの関数とみなすと、a=b=1/2、c=1とした超幾何微分方程式
u(1-u)d^2f/du^2+(1-2u)df/du-(1/4)f=0
の解である
163:１３２人目の素数さん
20/12/18 06:11:03.02 wcP2xck3.net
★定理4.4
Re(c-a-b)>0のとき、等式
F(a,b,c;1)=(Γ(c)Γ(c-a-b))/(Γ(c-a)Γ(c-b))
が成り立つ
164:数学指導要綱
20/12/18 23:13:26.56 6CwZJbqi.net
{ 「試験で，なぜなのかを問うてはいけない．答えられないから．もしそのような問題を出すな
ら，あらかじめその問題について，答を教えておく必要がある」
{ 時間内に答えるのは無理な沢山の問題を出すこと「学生は解き方を覚えてきた問題し�
165:ｩ手をつ けない．覚えてきた問題を試験に出さなくて悪い成績をつけたら，意地悪な先生と思われる」 { 理解が困難な内容を教えていること「志村先生も，理解を求めるより，分からなくてもどんどん 進めるのが効果的と書いている．易しくすれば，それに応じて学生が怠けるだけである」
166:１３２人目の素数さん
20/12/19 06:00:54.72 4b7NgT9S.net
第1種積分を
K(κ)= ∫[0,1] (1/√((1-x^2)(1-κ^2x^2)))dx
と書く
また、κ^2+κ'^2=1とする
★定理4.5
K(κ),K(κ’)は線型微分方程式
κ^3-κd^2y/dκ^2+(3κ^2-1)dy/dκ-κy=0
の解である
167:１３２人目の素数さん
20/12/19 06:01:45.48 4b7NgT9S.net
第2種積分を
E(κ)= ∫[0,1] (√(1-κ^2x^2)/√(1-x^2))dx
と書く
★定理4.6
E(κ),K(κ)は次の微分方程式系を満たす
dE/dκ=(E-K)/κ
dK/dκ=(E-κ'^2K)/(κκ'^2)
168:１３２人目の素数さん
20/12/19 06:02:09.05 4b7NgT9S.net
K'(κ)=K(κ’)
E'(κ)=E(κ’)
とおく
★定理4.7(Legendreの関係式)
0<κ<1のとき、等式
E(κ)K'(κ)+E'(κ)K(κ)-K(κ)K'(κ)=π/2
が成り立つ
169:１３２人目の素数さん
20/12/19 17:22:12.08 4b7NgT9S.net
テータ関数の加法公式より、
sn u,cn u,dn uの加法公式を
導くことができる
★定理4.8
次の加法定理が成り立つ
sn(u+v)=(sn u cn v dn v + sn v cn u dn u)/(1-κ＾2 sn^2 u sn^2 v)
cn(u+v)=(cn u cn v - sn u dn u sn v dn v)/(1-κ＾2 sn^2 u sn^2 v)
dn(u+v)=(dn u dn v - κ^2 sn u cn u sn v cn v)/(1-κ＾2 sn^2 u sn^2 v)
170:１３２人目の素数さん
20/12/20 15:54:36.00 8kDxKeWQ.net
これでJacobiの楕円関数は終わり
明日から「楕円曲線のモジュライ」について
刮目して待て！
171:１３２人目の素数さん
20/12/21 07:09:31.78 vtqOdlUh.net
ω1,ω2をR上1次独立な複素数
Ωをω1,ω2の生成する加法群Cの部分群とする
Ω=(ω1,ω2)
複素トーラスC/Ωは射影平面P2上の3次曲線
x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
に埋め込まれる
ここで
g2=60Σ'(1/ω^4) g3=140Σ'(1/ω^6)
さらに判別式
Δ=g2^3-27g3^2≠0
※問題5.1
逆にΔ≠0となるP2上の3次曲線
x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
が与えられたとする
このときP関数による埋め込みが、
与えられた3次曲線となるような
複素トーラスC/Ωが存在するであろうか
つまりΔ=g2^3-27g3^2≠0となる
複素数g2,g3が与えられたとき、
g2=60Σ'(1/ω^4) g3=140Σ'(1/ω^6)
とする部分群Ω=(ω1,ω2)⊂Cは存在するか？
（ω1,ω2をR上1次独立な複素数とする）
※問題5.2
二つの複素トーラスC/Ω,C/Ω'はいつ同型になるか
172:１３２人目の素数さん
20/12/21 07:10:41.14 vtqOdlUh.net
>>164
●命題5.1
複素トーラスの複素多様体としての同型写像
f:E=C/Ω→E'=C/Ω'
が与えられたとする。
このとき、複素数a,bが存在して、図式
f~:C→C
π:C→E
π':C→E'
は可換となる。
（つまりf・π=π’・f~)
ここで、
ｆ~は正則写像 u → au+b を表し
π、π’はx∈Cにその同値類を対応させる自然な写像である
●命題5.2
複素多様体Xが与えられたとき、
Xの普遍被覆多様体p:X~→Xが、同型を除いて唯一つ存在する
173:１３２人目の素数さん
20/12/21 07:12:36.12 vtqOdlUh.net
>>164の問題2の解は定理5.1で与えられる
★定理5.1
E=C/Ω,E'=C/Ω'を二つの複素トーラスとする。
このとき、次の条件は同値である
1) EとE'は複素多様体として同型である。
2) EとE'は複素リー群として同型である
つまり、複素多様体の同型写像f:E→E'であって、
次の条件を満たすものが存在する。
任意のx,y∈Eに対して、f(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つ
3) 0でない複素数aが存在して、aΩ=Ω'が成り立つ
☆系5.1
E,E'を複素トーラスとする
g:E→E'を複素多様体の同型写像とする
gがEの単位元0を、E'の単位元0に写すならば,
gは複素Lie群の同型写像である。すなわち、
g(x+y)=g(x)+g(y)
が、任意のx,y∈Eについて成り立つ
174:１３２人目の素数さん
20/12/21 07:13:57.02 vtqOdlUh.net
複素トーラス全体のなす集合Tを考える
E,E'∈Tとする。
EとE'が複素多様体として同型のとき、E≣E'と定義すると
≣は集合Tの元の間の同値関係となる。
※問題5.3
集合Tの同値関係≣による商集合T/≣は、どのようなものであろうか？
●命題5.3
Eを複素トーラスとする。
Imτ≠0である複素数τが存在して、
175: E≣C/(1,τ)が成立する。 ●命題5.4 Eを複素トーラスとする。 Imτ>0である複素数τが存在して、 E≣C/(1,τ)が成立する。 T'をC/(1,τ),Imτ>0の形の複素トーラス全体のなす集合とする。 ☆系5.2 商集合T/≣の元と商集合T'/≣の元の間に 自然な1対1対応が存在する。
176:１３２人目の素数さん
20/12/22 21:03:16.54 8IPH7YoJ.net
GL2(Z)=
{(a,b)
(c,d)|a,b,c,d∈Z,ad-bc=±1}
SL2(Z)=
{(a,b)
(c,d)|a,b,c,d∈Z,ad-bc=1}
とおくと、行列の積を考えることにより
GL2(Z)は群になる。
SL2(Z)はGL2(Z)の部分群である。
177:１３２人目の素数さん
20/12/22 21:03:52.53 8IPH7YoJ.net
H={τ∈C|Imτ>0}
τ,τ’∈Hとして
複素トーラス
E =C/(1,τ) と
E'=C/(1,τ')が
いつ同型になるかを見る。
定理5.1よりE≣E'となる条件は
0と異なる複素数αが存在して
α(1,τ)=(1,τ')
が成立することである
命題2.7により
上記は以下の条件と同値である
(a b)
(c d)∈GL2(Z)が存在して
ατ=aτ’+b
α=cτ’+d
が成り立つ
このとき以下が成り立つ
☆補題5.1
(a,b)
(c,d)∈SL2(Z)である
178:１３２人目の素数さん
20/12/22 21:04:20.67 8IPH7YoJ.net
●命題5.5
τ,τ’∈Hとし、複素トーラス
E =C/(1,τ) 、E'=C/(1,τ')
を考える
次の条件は同値である
1) EとE'は複素多様体として同型である。
2) EとE'は複素リー群として同型である
3)
(a,b)
(c,d)∈SL2(Z)が存在して
τ=(aτ’+b)/(cτ’+d)
が成り立つ
179:１３２人目の素数さん
20/12/23 19:42:32.09 fACOGH5o.net
■定義5.1
τ,τ’∈Hとする
(a b)
(c d)∈SL2(Z)が存在して
τ’∈(aτ+b)/(cτ+d)が成立するとき
τ≣τ'と書くことにする
☆補題5.2
定義5.1の≣は同値関係である
180:１３２人目の素数さん
20/12/23 19:42:55.84 fACOGH5o.net
■定義5.2
g=
(a b)
(c d)∈SL2(Z),τ∈Hに対して
gτ:=(aτ+b)/(cτ+d)∈Hとおく
☆補題5.3
τ,τ'∈Hとする 次の条件は同値である
1)τ≣τ’
2)g∈SL2(Z)が存在して、τ'=gτが存在する
☆補題5.4
τ∈H、g,g'∈SL2(Z)とすると、
I2τ=τ、(gg')τ=g(g'τ)が成立する
（I2は2次の単位行列）
181:１３２人目の素数さん
20/12/23 19:54:40.15 fACOGH5o.net
■定義5.3
Gを群、Xを集合とする。
次の条件1）、2）を満たす写像
μ:G×X→Xが与えられたとき、
群Gは集合Xに（左から）作用するという
g∈G、x∈Xに対して、μ(g,x)=g.xと書くことにする。
1)1.xが任意のx∈Xについて成り立つ
ここで1はGの単位元である
2)g.(g'x)=(gg').xが、任意のg,g'∈G、および任意のx∈Xについて成り立つ
補題5.4は写像
SL2(Z)×H→H、(g,τ)=gτ
が、群SL2(Z)の集合Hへの作用を定めることを示している
☆補題5.5
群Gが集合Xに作用しているとする
Xの元x,yに対して、Gの元gが作用して、y=g.xとなるとき
x≣yと書くことにする。
このとき、≣はXにおける同値関係となる
182:１３２人目の素数さん
20/12/23 20:12:07.62 fACOGH5o.net
xをXの元とする
G.x={g.x|g∈G}をxのG-軌道という
☆補題5.6
群Gが集合Xに作用していると仮定する
補題5.5の同値関係≣、およびXの二つの元x,yに関する
次の条件は同値である
1)x≣y
2)y∈G.x
3)G.x=G.y
☆系5.3
G.x={y∈X|x≣y}が成り立つ
☆系5.4
商集合X/≣＝G-軌道全体のなす集合
商集合X/≣を、G\Xと書くことが多い
(\は正しくはバックスラッシュ)
★定理5.2
次の自然な全単射写像が存在する
T/≣ ≣ SL2(Z)\H
183:１３２人目の素数さん
20/12/24 19:55:07.06 wIEHnPw9.net
■定義5.4
Hの連結開集合Fが次の条件を満たすとき、
FはSL2(Z)に関する基本領域であるという
1)Hの任意の点は、閉包F~の点と同値である
2)Fの任意の相異なる2点は同値ではない
★定理5.3
領域F={τ∈H||τ|>1,-1/2<Reτ<1/2}は、(SL2(Z),H)の基本領域である。
184:１３２人目の素数さん
20/12/25 06:56:39.64 KU8IyEtR.net
■定義5.4
Hの連結開集合Fが次の条件を満たすとき、
FはSL2(Z)に関する基本領域であるという
1)Hの任意の点は、閉包F~の点と同値である
2)Fの任意の相異なる2点は同値ではない
★定理5.3
領域F={τ∈H||τ|>1,-1/2<Reτ<1/2}は、(SL2(Z),H)の基本領域である。
185:１３２人目の素数さん
20/12/25 06:57:16.54 KU8IyEtR.net
☆補題5.7
τ∈Hに対して、τを固定するSL2(Z)の元全体のなす集合を
Gτと書くことにする つまり
Gτ={g∈SL2(Z)|g.τ=τ}
1)GτはGの部分群であり、Gτ⊃{±I2}が成り立つ
2)さらにτ∈F~,Gτ⊋{±I2}とすると、
次の３つの場合のいずれかが成立する
a)τ=iであり、
Gτ=
<(0 -1)>
<(1 0)>
b)τ=e^(2πi/6)であり、
Gτ=
<(0 -1)>
<(1 -1)>
c)τ=e^(2πi/3)であり、
Gτ=
<(-1 -1)>
<(1 0)>
186:１３２人目の素数さん
20/12/25 06:57:36.88 KU8IyEtR.net
☆補題5.8
U={τ∈H|Imτ>１
187:}とする。 Uの2点τ,τ’に関する次の条件は同値である 1)τ≣τ' 2)τーτ'∈Z 3)整数nが存在して (1 n) (0 1).τ=τ' となる
188:１３２人目の素数さん
20/12/25 06:57:58.19 KU8IyEtR.net
★定理5.4
次の全単射写像が存在する
T/～(≣SL2(Z)\H)≣C
189:１３２人目の素数さん
20/12/25 06:58:21.97 KU8IyEtR.net
S=
(1 1)
(0 1)
T=
(0 -1)
(1 0)
とする
●命題5.6
群SL2(Z)は二つの元S,Tから生成される
190:１３２人目の素数さん
20/12/27 16:42:44.77 zL5BD4YR.net
補題2.1にて n≧2に対して
G_2n(ω1,ω2)=Σ(ω∈Ω,ω≠0) 1/(ω^2n)
は絶対収束する
(ω1,ω2)=(ω1',ω2')ならばG_2nの定義より
G_2n(ω1,ω2)=G_2n(ω1',ω2')
したがって
G_2n(aτ+b,cτ+d)=G_2n(τ,1)
λを0と異なる複素数とすれば
λ^2n G_2n(λω1,λω2)=G_2n(ω1,ω2)
したがって
(cτ+d)^2n G_2n(τ,1)
=(cτ+d)^2n G_2n(aτ+b,cτ+d)
=G_2n((aτ+b)/(cτ+d),1)
τ∈Hのとき
G_2n(τ,1)=G*_2n(τ)
とおく
G*_2nはH上の正則関数である
上記より、以下の補題が成り立つ
☆補題5.9
τ∈H,
(a b)
(c d)∈SL2(Z)
とする このとき
G*_2n((aτ+b)/(cτ+d))=(cτ+d)^2n G*_2n(τ)
191:１３２人目の素数さん
20/12/27 16:44:35.39 zL5BD4YR.net
>>181
補題5.9において
(a b)
(c d)
=
(1 b)
(0 1) (b∈Z)
とすれば
G*_2n(τ+b)=G*_2n(τ)
したがってG*_2n(τ)はq=e^2πiτのLaurent級数に展開できる
(Fourier展開)
☆補題5.10
τ∈H,k≧2とする 次の等式が成立する
(-1)^k (k-1)! Σ(m=-∞～∞)(τ+m)＾-k=(2πi)^kΣ(n=1～∞) (n^(k-1) q^n)
☆補題5.11
G*_2k(τ)は以下のFourier展開を持つ
G*_2k(τ)=2s_2k + 2(2πi)^2k/(2k-1)!Σ(n=1～∞) (σ_(2k-1)(n) q^n)
ここで
q=e^2πiτ
s_2k=Σ(n=1~∞) (1/n^2k)
σ_r(n)=Σ(d|n,d>0) d^r
☆補題5.12
s_4=(1/90)π^4、s_6=(1/945)
192:１３２人目の素数さん
20/12/27 16:45:26.87 zL5BD4YR.net
>>182
g*_2(τ)=60G*_4(τ)
g*_3(τ)=140G*_6(τ)
Δ*(τ)=g*_2(τ)^3-27g*_3(τ)^2
J(τ)=(12^3)g*_2(τ)^3/Δ*(τ)
☆補題5.13
(2π)^(-12)Δ*(τ)=q+Σ(n=2～∞)(b_n q^n)
ここで、b_nはすべて整数
☆補題5.14
J(τ)は上半平面上の正則関数である
任意の
(a b)
(c d)∈SL2(Z)について
以下の等式が成り立つ
J((aτ+b)/(cτ+d))=J(τ)
193:１３２人目の素数さん
20/12/27 16:46:03.96 zL5BD4YR.net
>>183
★定理5.5
次の主張が成立する
1) J(τ)は商空間SL2(Z)\Hのコンパクト化
(SL2(Z)\H)∪{i∞~}上の有理型関数とみなせる。
2) J(τ)はSL2(Z)\H上正則であり、i∞~で1位の極を持つ
3) J(τ)はRiemann面の同型写像SL2(Z)\H≣Cを与える
特に複素数a∈Cを与えたとき、J(τ)=aとなるτが、同値を除いて一意的に定まる
12^3g*_2(τ)^3=(2π)^12(1+Σ(n=1～∞)(c_n q^n))
Δ*(τ)=(2π)^(12)(q+Σ(n=2～∞)(b_n q^n))
したがって
J(τ)=(12^3)g*_2(τ)^3/Δ*(τ)=1/q+qΣ(n=0～∞)(d_n q^n)
と書け、J(τ)がi∞~において、1位の極を持つ有理型関数であることを示す
☆補題5.15
ΣをRiemann球 PをΣ上の点とする
f(z)をΣ上の有理型関数で、Σ\P上正則、P上で1位の極を持つとする
このとき有理型関数f(z)は、Riemann球Σのf(P)=∞となる自己同型写像
f:Σ→Σを与える
194:１３２人目の素数さん
20/12/27 20:06:07.70 zL5BD4YR.net
■定義5.5
上半平面H上の正則関数f(τ)が次の条件を満たすとき、
f(τ)はSL2(Z)に関する重さkのモジュラー形式(modular form)
であるという
1)任意の
g=
(a b)
(c d)∈SL2(Z)
に対して
f((aτ+b)/(cτ+d))=(cτ+d)^k f(τ)
が成立する
2)f(τ)のq=e^2πiτに関するLaurent級数展開(=Fourier展開)は
qのベキ級数になる
f(τ)=Σ(n=0～∞)c_n q^n (c_n∈C)
SL2(Z)に関する重さkのモジュラー形式全体のなす集合M_kは
C-ベクトル空間を成す
G*_2n(τ)をEisenstein級数という
補題5.9及び補題5.11は、Eisenstein級数G*_2n(τ)が
SL2(Z)に関する重さ2nのモジュラー形式であることを示す
ベクトル空間M_kは有限次元であると証明できる さらに
M_0=C、M_2=0、M_4=Cg*_2(τ)、M_6=Cg*_3(τ)、
M_8=Cg*_2(τ)^2、M_10=Cg*_2(τ)g*_3(τ)
であると示せる
一般にC-ベクトル空間M_2nはg*_2(τ)^a g*_3(τ)^bから生成される
(2n=4a+6b)
195:１３２人目の素数さん
20/12/27 20:06:44.71 zL5BD4YR.net
>>185
■定義5.6
f(τ)をSL2(Z)に関するモジュラー形式とする
f(τ)のFourier展開が
f(τ)=Σ(n=1～∞)c_n q^n (c_n∈C)
となるとき、f(τ)は尖点形式(cusp form)であるという
SL2(Z)に関する重さkの尖点形式全体のなす集合S_kは
M_kの部分集合になる
g*_2(τ)、g*_3(τ)は各々、重さが4、6のモジュラー形式であるので
g*_2(τ)^3、g*_3(τ)^2は重さ12のモジュラー形式である
したがって、
Δ*(τ)=g*_2(τ)^3 - 27 g*_3(τ)^2
は重さ12のモジュラー形式であり、
補題5.13より尖点形式であると示される
196:１３２人目の素数さん
20/12/27 20:07:19.39 zL5BD4YR.net
>>185
■定義5.7
f(τ)をHの有理型関数とする
f(τ)が次の条件を満たすとき
f(τ)は群SL2(Z)に関するモジュラー関数であるという
1)任意の
g=
(a b)
(c d)∈SL2(Z)
に対して
f((aτ+b)/(cτ+d))=f(τ)
が成立する
2)f(τ)のFourier展開は
qの負ベキの項を有限個しか含まない
つまり、ある整数mが存在して
f(τ)=Σ(n=m～∞)c_n q^n (c_n∈C)
J(τ)は群SL2(Z)に関するモジュラー関数である
条件1)を満たすことは補題5.14で
条件2)を満たすことは定理5.5で示される
モジュラー関数をつくるには、
重さの等しい二つの0でないモジュラー形式の比
をとればよい
197:１３２人目の素数さん
20/12/27 20:07:57.96 zL5BD4YR.net
★定理5.6
テータ関数θ00(0,τ)^2、θ01(0,τ)^2、θ10(0,τ)^2は
Γ4に関する重さ1のモジュラー形式である
ここで
Γ4={g∈SL2(Z)|a≣d≣1,b≣c≣0 mod 4}
g=
(a b)
(c d)
198:１３２人目の素数さん
21/01/02 07:36:26.39 s/vqANgV.net
新年あけましておめでとう
さて、正月は、楕円関数を使った５次方程式の解法について書きますか
199:１３２人目の素数さん
21/01/02 07:36:50.31 s/vqANgV.net
5次方程式
x^5+a1x^4+a2x^4+a3x^2+a4x+a5=0
を考える
上記の方程式に対して、
Tschirnhausen変換
y=α0+α1x+α2x^2+α3x^3+α4x^4
をほどこし、
y^5+b1y^4+b2y^3+b3y^2+b4y+b5=0
なる方程式をつくる
ここでbi(1≦i≦5)はα0,α1,α2,α3,α4のi次斉次式である
☆補題6.1
nを3以上の整数とする
B(x0,x1,x2,…,xn)を体K上に係数を持つ2次斉次式とする
このとき、次の条件を満たす体Kの拡大K⊂L⊂M、及び
Pn上の点[u0,u1,u2,…,un]、[v0,v1,v2,…,vn]が存在する
1)L/K,M/Lは高々2次拡大である
2)(u0,u1,u2,…,un)、(v0,v1,v2,…,vn)∈M^(n+1)
3)[u0,u1,u2,…,un]≠[v0,v1,v2,…,vn]
4)任意の複素数λ,μに対して
B(λu0+μv0,λu1+μv1,…,λun+μvn)=0
●命題6.5
補題6.1の条件1)を満たすKの拡大体Mの3次拡大Nが存在して
bi(α0,α1,α2,α3,α4)=0 (1≦i≦3)
となる(α0,α1,α2,α3,α4)≠0をM^5の中に見つけることができる
★定理6.2
体Kに係数を持つ5次方程式
x^5+a1x^4+a2x^4+a3x^2+a4x+a5=0
が与えられたとする
2乗根、3次方程式、4乗根を解くことにより、
α0,α1,α2,α3,α4を決めて
Tschirnhausen変換
y=α0+α1x+α2x^2+α3x^3+α4x^4
により、与えられた5次方程式を
y^5+y+b=0
に変換することができる
200:１３２人目の素数さん
21/01/02 16:43:25.90 s/vqANgV.net
F(x,y)=x^6-y^6+5x^2y^2(x^2-y^2)-4xy(x^4y^4-1)=0
とおく
このとき
F(-(κ(5τ)^(1/4)),κ(τ)^(1/4))=0
が成り立つ（レベル5のモジュラー方程式）
そして
F(x,κ(τ)^(1/4))=(x+κ(5τ)^(1/4))Π(i=0～4) (x-κ((τ+16i)/5)^(1/4))
も成り立つ
体KをQ(κ(τ)^(1/4))とおくと
以下の1)、2)が成り立つ
1)多項式
F(x,κ(τ)^(1/4))∈Q(κ(τ)^(1/4))[x]=K[x]
はK上既約である
2)K係数の6次代数方程式
F(x,κ(τ)^(1/4))=0
の解は
α_∞(τ)=-(κ(5τ)^(1/4)) α_i=κ((τ+16i)/5)^(1/4) (i=0～4)
したがって、体の拡大
K(α_∞,α_1,α_2,α_3,α_4)/K
はGalois拡大で、そのGalois群は5次交代群A5である
A5には指数5の部分群Hが存在する
したがってHに対応する中間体Mをとれば
[M:K]=5である
一方K=Q(κ(τ)^(1/4))は一変数有理関数体Q(y)と同型であるので
拡大体M/Kは5次拡大の（あるいは5次方程式の)
1個のパラメータを含む族を与えている
5次方程式は1つのパラメータを含むBring_Jerrardの標準系
z^5+z+b=0
に帰着できるので、5次方程式の族M/Kを使って、
Bring_Jerrardの標準系が解けることが期待できる�
201:B
202:１３２人目の素数さん
21/01/03 06:01:20.88 5zDR5Xx2.net
体K(α_∞,α_1,α_2,α_3,α_4)の元r_i(0≦i≦4)を
次の式により導入する
r_0(τ)=(α_∞-α_0)(α_1-α_4)(α_2-α_3)κ(5τ)^(1/4)
r_1(τ)=(α_∞-α_1)(α_2-α_0)(α_3-α_4)κ(5τ)^(1/4)
r_2(τ)=(α_∞-α_2)(α_1-α_3)(α_0-α_4)κ(5τ)^(1/4)
r_3(τ)=(α_∞-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_0)κ(5τ)^(1/4)
r_4(τ)=(α_∞-α_4)(α_0-α_3)(α_1-α_2)κ(5τ)^(1/4)
r_iはK(√5)上5次方程式
x^5-2^4・5^3・κ^2(1-κ^2)^2x-2^6・5^(5/2)・κ^2(1-κ^2)^2(1+κ^2)=0
の解である
変換
x=(-2^4・5^3・κ^2(1-κ^2)^2)^(1/4)z
により上記の5次方程式は
z^5+z-(2・5(-5/4)・(1+κ^2(τ)))√(-1)/√(κ(τ))(1-κ^2(τ))
に変換される
203:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:10:15.49 5zDR5Xx2.net
>>192
r_i(0≦i≦4)の定義式中の
κ(5τ)^(1/4)を
κ(τ)^(1/4)に
に訂正の上 再掲
---
体K(α_∞,α_1,α_2,α_3,α_4)の元r_i(0≦i≦4)を
次の式により導入する
r_0(τ)=(α_∞-α_0)(α_1-α_4)(α_2-α_3)κ(τ)^(1/4)
r_1(τ)=(α_∞-α_1)(α_2-α_0)(α_3-α_4)κ(τ)^(1/4)
r_2(τ)=(α_∞-α_2)(α_1-α_3)(α_0-α_4)κ(τ)^(1/4)
r_3(τ)=(α_∞-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_0)κ(τ)^(1/4)
r_4(τ)=(α_∞-α_4)(α_0-α_3)(α_1-α_2)κ(τ)^(1/4)
r_iはK(√5)上5次方程式
x^5-2^4・5^3・κ^2(1-κ^2)^2x-2^6・5^(5/2)・κ^2(1-κ^2)^2(1+κ^2)=0
の解である
変換
x=(-2^4・5^3・κ^2(1-κ^2)^2)^(1/4)z
により上記の5次方程式は
z^5+z-(2・5(-5/4)・(1+κ^2(τ)))√(-1)/√(κ(τ))(1-κ^2(τ))
に変換される
204:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:11:23.28 5zDR5Xx2.net
一般の5次方程式はBring_Jerrardの標準型
z^5+z+b=0
に帰着できる
標準型の方程式は以下の方法で解ける
1)b=-(2・5(-5/4)・(1+κ~^2))√(-1)/√κ~(1-κ~^2)
となるκ~を求める
上記は4次方程式を解くことで実行できる
2)楕円曲線
C:y^2=(1-x^2)(1-κ~^2x^2)
C上の第一種積分
ξ=dx/y=dx/√(1-x^2)(1-κ~^2x^2)
の周期
K =∫[0,1] dx/√(1-x^2)(1-κ~^2x^2)
K'=∫[1,κ~] dx/√(1-x^2)(1-κ~'^2x^2)
を求める
（κ~'^2=1-κ~^2である）
τ~=√(-1)K'/K
(κ~=θ10^2(0,τ~)/θ00^2(0,τ~))
である
したがって
α_∞=-(κ(5τ~)^(1/4))
α_i =κ((τ~+16i)/5)^(1/4) (i=0～4)
β =κ(τ~)^(1/4)
として
r_0(τ~)=(α_∞-α_0)(α_1-α_4)(α_2-α_3)β
r_1(τ~)=(α_∞-α_1)(α_2-α_0)(α_3-α_4)β
r_2(τ~)=(α_∞-α_2)(α_1-α_3)(α_0-α_4)β
r_3(τ~)=(α_∞-α_3)(α_2-α_4)(α_1-α_0)β
r_4(τ~)=(α_∞-α_4)(α_0-α_3)(α_1-α_2)β
は、標準型の5次方程式の解である
205:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:17:59.10 xDjQDL3i.net
楕円関数ってどこまでが楕円関数って見なされるの？
sn,cn,dnが楕円関数なのは分かるけど。
amとかテータ関数も楕円関数？
206:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:29:50.13 5zDR5Xx2.net
参考
超冪根
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1858年に、シャルル・エルミートは楕円超越函数を用いた最初の一般五次方程式の解法を発表した
（同時期にフランチェスコ・ブリオッシとレオポルト・クロネッカーもまた同値な解法を得ている）。
エルミートは、既によく知られていた三次方程式に対する
三角函数を用いた解法を一般化する形でこの解法に到達し、
ブリング–ジェラード標準形
x^5-x+a=0
に対する解を求めた
（一般の五次方程式は、チルンハウス変換でこの標準形に帰着できる）。
エルミートは三次方程式における三角函数の役割を、
ブリング–ジェラード標準形の方程式において果たすのが
楕円函数であることを観察したのである。
このような取り扱いは、冪根を一般化する過程とみることもできる。
冪根が
(n)√x=exp((1/n)ln x)
あるいはもっと明確に
(n)√x=exp((1/n)(∫[1,x] dt/t))
と表せることに注意すると、エルミート–クロネッカー–ブリオッシの方法は、
本質的にはこの式に現れる指数函数 exp を楕円モジュラー函数で、
同じく積分 ∫[1,x] dt/t を楕円積分で、それぞれ置き換えるものである。
クロネッカーはこの一般化すら
任意の高次方程式に適用できる一般定理の
特別の場合に過ぎないものと考えていた。
そのような一般定理はトマエの公式と呼ばれ、完全な記述は1984年に梅村浩によって与えられた。
それは、上記の式の exp（あるいは楕円モジュラー函数）のところをジーゲル・モジュラー形式で、
積分のところを超楕円積分で、それぞれ置き換えるものになっている。
207:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:32:49.93 5zDR5Xx2.net
>>196
トマエの公式
208:Thomae's formula https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_formula
209:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:39:12.91 5zDR5Xx2.net
>>195
楕円関数とは二重周期関数です
テータ関数は二重周期関数ではないので、楕円関数ではありません
しかしながら、>>147で定義したように
楕円関数は２つのテータ関数の比として表すことができます
210:１３２人目の素数さん
21/01/03 16:43:25.69 5zDR5Xx2.net
>>195
なお、振幅関数amも二重周期性を持たないので楕円関数ではないそうです
（二重の擬周期性は有するとのこと）
URLﾘﾝｸ(math-functions-1.watson.jp)
211:１３２人目の素数さん
21/01/03 17:31:20.02 xDjQDL3i.net
ありがとうございます。
ヤコビとワイエルシュトラス以外にも楕円関数はあるんですね。
ガウスの楕円関数とかディクソンの楕円関数とかはじめて知りました。
212:１３２人目の素数さん
21/01/07 09:03:51.95 pUVJB/om.net
偏極アーベル多様体の例が分からない
213:１３２人目の素数さん
21/01/07 18:35:35.88 o0OybuXM.net
曲線のヤコビアン
214:１３２人目の素数さん
21/01/19 11:36:53.36 X0mC3/pQ.net
( ￣ー￣)／C□☆□D＼(￣ー￣ ) ヤコビヤーン
215:１３２人目の素数さん
21/01/31 13:09:57.17 k9whl64h.net
>>146
ご苦労さん
だがね
それは、例のスレにもっと早く書くべきことだろうよ（ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:52番) ）
ほとんど無価値な、本からの定理のみの写経じゃなくてさ
216:１３２人目の素数さん
21/01/31 13:12:06.83 k9whl64h.net
>>204
誤爆スマン
217:１３２人目の素数さん
21/02/01 06:23:20.11 ZFsykc4D.net
今月からMumford「代数曲線とヤコビ多様体」の中の
「ヤコビ多様体とテータ関数の起源」を読む
218:１３２人目の素数さん
21/02/01 06:27:42.10 ZFsykc4D.net
ヤコビ多様体の発端はアーベルとヤコービによる、ｘの多価代数関数ｆの積分
I=∫f(x)dx
の研究にある
上記のfは
g(x,f(x))≣0 gは2変数多項式
の解である
したがってIは
I=∫[γ]ydx
と書くことができる。
ここでγは平面曲線g(x,y)=0上の積分路である
219:１３２人目の素数さん
21/02/01 06:40:57.75 ZFsykc4D.net
主結果は、>>207の積分が常に加法定理をみたすことである
すなわち、ある整数ｇが存在してa_0を起点とし
a_1,…,a_(g+1)を、平面曲線Cの任意の点とすると、
{a_k}から有理的な方法でb_1,…,b_g∈Cが順番を除いて定まり
∫[a_0,a_1]ω+…+∫[a_0,a_(g+1)]ω≣∫[a_0,b_1]ω+…+∫[a_0,b_g]ω mod{∫ωの周期}
となる
たとえば、C=P^1、ω＝dx/xのときは、g=1となり
∫[1,a_1]dx/x+∫[1,a_2]dx/x＝∫[1,a_1*a_2]dx/x
が成り立つ
繰り返すことにより、すべての
a_1,…,a_g,b_1,…,b_g∈Cに対して
有理的な方法で、順番を除いて定まる
c_1,…,c_g∈Cが存在して
Σ[i=1~g]∫[a_0,a_i]ω + Σ[i=1~g]∫[a_0,b_i]ω = Σ[i=1~g]∫[a_0,c_i]ω (mod 周期)
が成り立つ
上記は諸定理の中でも最も古典的な結果であり
ほんのわずかな補強だけで非常に現代的な形で再定式化できる
220:１３２人目の素数さん
21/02/01 07:16:47.72 ZFsykc4D.net
代数群Gの定義
Gが代数多様体であり、かつ、
群の積m:G×G→G と
逆元i:G→G が
代数多様体の間の射になるようなもの
上記のGは自動的に複素解析的なLie群になる
したがってそのLie環 Lie(G) と
指数写像exp:Lie(G)→Gがある
221:１３２人目の素数さん
21/02/01 07:26:43.09 ZFsykc4D.net
アーベルの定理の言いかえ
Cvを代数曲線とし、
ωをCv上の有理微分とするとき
多価の関数
a→∫[a_0,a] ω
が以下の三
222:つの関数に分解する φ：Cv-(ωの極) → J exp：Lie J → J l：Lie J → C ただし 1)Jは可換代数群 2)lはLie J からCへの線型写像 3)φは代数多様体の間の射であって、実際にg=dim J のときは φをJの加法により拡張して φ(g):[(C-ωの極)×…×(C-ωの極)/順序の置換S_g]→J とすると、φ(g)が双有理射、すなわちあるザリスキ開集合間の同型射になる
223:１３２人目の素数さん
21/02/01 07:33:52.57 ZFsykc4D.net
>>210
Cv=P^1,ω=dx/xのとき、J=P1-(0,ω)となる
またφは恒等射である
要点はJが2つのg組(a_1,…,a_g)と(b_1,…,b_g)を「足して」
第3の組(c_1,…,c_g)を作ることを実現する対象物であり、
そのとき積分Σ[i=1~g] I(x_i)がJからGへの準同型になることである
224:１３２人目の素数さん
21/02/01 07:43:45.30 ZFsykc4D.net
ωのうちで最も重要なのは第１種微分、すなわち極をもたないものである
これらを一斉に積分すると最も重要なJ、つまりヤコビ多様体を得る
これをJacと書く
Jacは>>210の性質3)よりコンパクトな可換代数群、
つまり複素トーラスでなければならないことがわかる。
これは φ:Cv→Jac から引き起こされる
4) φ*:E→R_1(Cv)
（EはJac上の平行移動不変な1形式μの集合、
R_1(Cv)はCv上の極を持たない有理微分ωの集合)
が双射になるように設定する
こうして
dim Jac=dim R_1(Cv)=Cの種数g
となる
225:１３２人目の素数さん
21/02/01 16:38:37.92 ZFsykc4D.net
ヤコビ多様体を真に有効なものにしているのはテータ関数である
Jac上の関数論を展開する理由が３つある
a)Jac上の射影空間への埋め込みを与え、
したがって代数構造やモジュライ構造などの理解が深まる
b)Jacの群構造が関数論に面白い仕方で反映しているかもしれない
c)Jac上の関数をS"g(=Cv×…×Cv/S_g)に引き戻し、
さらにCv上に引き戻した関数の興味深い展開式が得られ
例えばリーマン・ロッホの定理の証明に使える
226:１３２人目の素数さん
21/02/01 16:39:52.61 ZFsykc4D.net
ヤコビ多様体を真に有効なものにしているのはテータ関数である
Jac上の関数論を展開する理由が３つある
a)Jac上の射影空間への埋め込みを与え、
したがって代数構造やモジュライ構造などの理解が深まる
b)Jacの群構造が関数論に面白い仕方で反映しているかもしれない
c)Jac上の関数をS~g(=Cv×…×Cv/S_g)に引き戻し、
さらにCv上に引き戻した関数の興味深い展開式が得られ
例えばリーマン・ロッホの定理の証明に使える
227:１３２人目の素数さん
21/02/01 16:47:01.28 ZFsykc4D.net
Jac=C^g/L と書き
C^g上のL周期的な有理型関数を構成する代わりに、
L保型な整関数fを求める すなわち
f(x+α)=e_α(x)f(x) α∈L x∈C^g
{e_α}={保形因子}
（保形因子とはC^g上の整関数であって
e_(α+β)(x)=e_α(x+β)e_β(x)
を満たし、いたるところで零でないもの)
228:１３２人目の素数さん
21/02/01 16:50:51.87 ZFsykc4D.net
同じことであるが、保型関数fはJac上の直線束L{e_α}の正則切断のことであり、
このような二つのfの商は常にL周期的になることは明らかである
最も単純な{e_α}としては
e_α(x)=e^(B(x,α)+c(α)) Bは双線型
がある
229:１３２人目の素数さん
21/02/01 16:55:17.88 ZFsykc4D.net
g>=2のときは、大部分の複素トーラスC^g/Lは、
その上に定数以外の有理形関数が全く存在せず、代数多様体にすらならない
しかも{e_α}は自明なものしかない
ところが曲線Cvの場合、何か特別なことが起こる
Bの候補になる双線型写像を見つけよう
230:１３２人目の素数さん
21/02/01 17:02:18.04 ZFsykc4D.net
Cv上の極を持たない有理微分の全体R_1(Cv)には
以下の正定値エルミート形式が存在する
(ω1,ω2)=∫[Cv] ω1∧ω2~
したがって 、その双対空間であるJacの普遍被覆空間C^g上にも
エルミート形式が存在する これをHと書く
231:１３２人目の素数さん
21/02/01 17:05:35.49 ZFsykc4D.net
ところでH_1(Cv,Z)には、交点形式から引き起こされる
以下の整数値の歪対称形式がある
E:H_1(Cv,Z)×H_1(Cv,Z)→Z
同型H_1(Cv,Z)≣Lがあるから、
Lにも上記のEがある
232:１３２人目の素数さん
21/02/01 17:11:24.93 ZFsykc4D.net
>>218-219
HとEの関係
∀x1,x2∈L.E(x1,x2)=Im H(x1,x2)
上記が成り立つ場合は（ほぼ標準的な）{e_α}の選び方がある
すなわち
e_α(x)=±e^(π[H(x,α)+(1/2)H(α,α)])
233:１３２人目の素数さん
21/02/01 17:15:32.47 ZFsykc4D.net
定理
C^g上に正定値エルミート形式Hが存在し、
L上でE＝Im Hを満たす整数値歪対対形式Eが存在することは、
複素トーラスC^g/L上にg個の代数的独立な有理形関数が存在するための
必要十分条件である
上記の関数があるとき、C^g/Lはある射影空間P^nに埋め込める
したがって射影代数多様体になる
234:１３２人目の素数さん
21/02/01 17:32:00.82 ZFsykc4D.net
今日はここまで
235:１３２人目の素数さん
21/02/01 18:39:11.01 jAbburBz.net
tata lectures on theta1, 2
236:１３２人目の素数さん
21/02/02 19:20:09.14 rITzWOgb.net
複素トーラスは簡単にはP^nに埋め込めない
埋め込みの存在は>>220の関係式
∀x1,x2∈L.E(x1,x2)=Im H(x1,x2)
の成立が前提である
そこで位数ｎのテータ関数を定義する
それはC^g上の整関数ｆであって
f(x+α)=(±e^π[H(x,α)+(1/2)H(α,α)])^n*f(x)
を満たすものである
上記のf全体のなす空間をS_nとする
このときS=ΣS_nは次数環で
dim S_n=n^g (n>=1)
が導かれる
特に1位のテータ関数が定数倍を除いて丁度１つある
この重要な関数をθと書き、リーマンのテータ関数と呼ぶ
237:１３２人目の素数さん
21/02/02 19:24:07.90 rITzWOgb.net
>>224
n>=3のとき、S_nの基底をψ_1,…,ψ_(n^g)とすると
以下の定理が得られる
レフシェッツの埋め込み定理
C^g/Lは
ｘ→(ψ_1,…,ψ_(n^g))=Ψ_n(x)
によりP^((n^g)-1)に埋め込まれる
238:１３２人目の素数さん
21/02/02 19:34:29.06 rITzWOgb.net
全てのβ∈C^gに対して
(T_β f)(x)=f(x+β)
と定義し、いたるところ零ではない正則関数eに対して
(U_e f)(x)=e(x)f(x)
と定義する
以下の補題が成立する
1)任意のβ∈C^gに対して、
U_e T_β S_n=S_nとなるようなeが存在するための必要十分条件は、
β∈(1/n)Lである。
2)各β∈(1/n)Lに対して上で定まるe(β)を選ぶとき、
β→U_e(β)・T_βは、(1/n)L/LのS_nへの射影表現を定義する
この表現は既約である
239:１３２人目の素数さん
21/02/02 19:39:50.88 rITzWOgb.net
C^g/Lはアーベル群であるにも関わらず
関数論的には次元が1より大きな既約表現が
沢山あることは注目に値する
実は、これらは有限２階ベキ零群G_nの通常表現である
1→Z/nZ→G_n→(1/n)/n→1
これらはベキ零リー群
1→R→G→V+V^→1 （V＝実ベクトル空間）
に類似の性質を持つ
このリー環はハイゼンベルクの交換関係の代数である
240:１３２人目の素数さん
21/02/02 19:47:56.95 rITzWOgb.net
>>226の補題から多くの結果を得ることができる
系
1)埋め込み写像Ψ_nにおいて、βによるC^g/Lの平行移動が
線型変換P^((n^g)-1)→P^((n^g)→1)に延長できるための
必要十分条件は、β∈(1/n)L/Lとなることである
2)対応する有限群G_nの生成元の選び方の不定性を除けば
S_nの特別な基底が定数倍を除いて定まる
したがって、射影変換により
Ψ_n:C^g/L→P^((n^g)-1)
を正規化することができる
この正規化において、β∈(1/n)L/による平行移動の
Ψ_n(C^g/L)への作用は具体的なn^g×n^g行列の
集まりによって与えられる
241:１３２人目の素数さん
21/02/02 20:00:38.04 rITzWOgb.net
基底をより具体的に表すため、θ∈S_1から始めよう
E(φ(n,m),φ(n',m'))=<n,m'>-<m,n'>
になるようなφ:Z^g×Z^g→Lを決め、φをQ^g×Q^g→L○×Qに延長する
このときn=m^2ならば、S_(m^2)の典型的な特別基底は次の形になる
θ[α β](x)=[e]・θ(mx+φ(α,β))
但し、α,βは(1/m)Z^gのmod Z^gの代表系を動くものとする
したがって
ｘ→（…,θ[α β](x),…)
が、C^g/Lの正規化された射影埋め込みである
242:１３２人目の素数さん
21/02/02 20:05:14.49 rITzWOgb.net
要約
共に素朴な等質空間である複素多様体C^g/LとP^nをとり
Ψ_nを仲人として結婚させると、できた子供は
非常に非対称的で複雑な関数θ[α β](n^g=m^2g個)になるのである
243:１３２人目の素数さん
21/02/02 20:09:25.58 rITzWOgb.net
>>224-230でg=1とすると
>>107-118となる
244:１３２人目の素数さん
21/02/02 20:16:18.19 rITzWOgb.net
今日はここまで
245:１３２人目の素数さん
21/02/02 23:25:15.51 qWkN2Tvo.net
Torelliの定理を示せば、曲線がそのJacobi多様体で決定することが分かる
よって、複素トーラスのモジュライ（Siegel upper half-spaceをシンプレクティック群で割ったもの）から、非特異射影曲線が完全に分類される
あ、g = 0のときは射影直線な
246:１３２人目の素数さん
21/02/03 11:22:33.47 XFPBjgpf.net
>>233
そこはその次の
「トレリの定理とショットキー問題」
で出てくるので もうちょっと待ってくれ
247:１３２人目の素数さん
21/02/03 11:23:08.62 XFPBjgpf.net
C^g/Lが曲線Cvのヤコビ多様体のとき、
C^g/L上の関数をCvに引き戻すと
248:何が得られるか見る 次の基本関数を考察する E_e(x,y)=θ(∫[x,y]ω→－e→) e→∈C^g ω→はR_1(Cv)の基底{ωi}を並べたもの yとｅ→を固定すると上記の関数はCv上の多価関数となり、 一周する経路に沿って解析接続したとき e^(∫[x,y]ω+定数) の倍数だけ変わる
249:１３２人目の素数さん
21/02/03 11:23:59.23 XFPBjgpf.net
>>235
E_eを用いて、Cv上の有理関数fの以下のような一意分解性が示せる
a_i=fの零点
b_i=fの極
とすると（あるω∈R1(Cv)により）以下が成り立つ
f(x)=e^(∫* ω)(Π(i) E_e(x,ai))/(Π(i) E_e(x,bi))
上記の分解式はP^1の有理関数の分解式
f(x)=C・(Π(i) (x-ai))/(Π(i) (x-bi))
の種数が高い場合の類似である
250:１３２人目の素数さん
21/02/03 11:26:11.59 XFPBjgpf.net
>>236
このE_eを用いるとCv上の微分(形式)で種々の極をもつものを記述できる
例えば
(∂/∂x) log(E_e(x,a)/E_b(x,b)) dx
は、a,bのみで位数1の極をもち、留数がそれぞれ1,-1となる、Cv上の有理1形式であり、
((∂^2/∂x∂y) log(E_e(x,y)))|(y=a) dx
はx=aのみで位数が2の極をもち、他には極をもたない、Cv上の有理1形式である
251:１３２人目の素数さん
21/02/03 11:45:21.54 U8q+JTkX.net
コンパクト複素多様体の場合、その上に異なる複素構造がどのくらい入るかは分かって、複素構造の同型類は
H^1(X, TX)
の元に1対1に対応する（TXはXのholomorphic tangent bundleの切断の層）。たとえば一次元なら、Riemann-RochとSerre双対性を使って、このベクトル空間の次元は簡単に計算できる。すなわち
H^1(X, TX)
～ H^0(X, ω⊗TX*) (ωは標準層、TX*はTXの双対)
～ H^0(X, ω^⊗2)
～ H^0(X, OX(2K)) (Kは標準因子)
gをXの種数として
deg(K) = 2g - 2
χ(D) = 1 - g + deg(D)
なので、
dim(H^0(X, OX(2K))) = 1 - g + (4g - 4) + dim(H^1(X, OX(2K)))
H^1(X, OX(2K)) ～ H^0(X, OX(K - 2K))
deg(-K) < 0だから、これは0。
∴ dim(H^1(X, TX)) = 3g - 3。
252:１３２人目の素数さん
21/02/03 12:04:52.77 U8q+JTkX.net
一番簡単なのは、代数幾何でいうアファイン多様体、複素幾何でいうStein多様体の場合
この場合はもちろんH^1 = 0だから、複素構造の同型類は1つしかない
射影空間も変形できない
H^1(P^n, T)
～ H^(n-1)(P^n, ω^⊗2)
～ H^(n-1)(P^n, O(-2(n+1)H)) (Hは超平面)
～ 0
253:１３２人目の素数さん
21/02/03 12:49:03.82 XFPBjgpf.net
>>238
>コンパクト複素多様体の場合、
>その上に異なる複素構造がどのくらい入るかは分かって、
>複素構造の同型類は
>H^1(X, TX)
>の元に1対1に対応する
>（TXはXのholomorphic tangent bundleの切断の層）
H^1(X, TX)って線型空間ですよね？違う？
254:１３２人目の素数さん
21/02/03 13:34:08.73 w3rkWE4x.net
>>240
違わない
255:１３２人目の素数さん
21/02/03 15:26:36.83 XFPBjgpf.net
>>241
つまり、コンパクト複素多様体の複素構造のモジュライ空間は線型空間になる、と言ってる？
256:１３２人目の素数さん
21/02/03 15:55:26.79 YLHw9PTJ.net
>>242
違うけど
257:１３２人目の素数さん
21/02/03 16:12:02.37 ByqtypZk.net
聞いてる方が明らかに答え知ってるやん
すなおに違うんですか？って聞けばいいのに
258:１３２人目の素数さん
21/02/03 16:16:36.92 XFPBjgpf.net
>>243
あれ？
「複素構造の同型類はH^1(X, TX)の元に『1対1』に対応する」
んですよね？
259:１３２人目の素数さん
21/02/03 16:20:01.61 XFPBjgpf.net
>>244
もし、>>238の文章が
「複素構造の同型類の空間の次元はH^1(X, TX)の次元と等しい」
だったら、何も言わなかったんですけどね
260:１３２人目の素数さん
21/02/03 16:33:56.68 RvrMcGZb.net
可算集合は常にQとの間に1対1対応があるわけだが、それを以って任意の可算集合が体であると主張する人を俺は知らない
261:１３２人目の素数さん
21/02/03 16:59:04.88 XFPBjgpf.net
そもそも
262:複素構造の同型類からH^1(X, TX)への自然な1対1対応って作れるの？
263:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:15:59.87 RvrMcGZb.net
小平"複素多様体論"の4章
小平"複素多様体と複素構造の変形1"（URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)）
やってることは局所座標の貼り合わせ写像にパラメータをつけて微分したら、チェインルールで出てきた係数がTXのČech 1-cocycleになるので、あとは同じコホモロジー類に属する条件を計算するだけ。
Sernisi "Deformations of Algebraic Schemes"の1章
こっちはそれのスキーム版。
264:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:21:15.20 XFPBjgpf.net
>>249
完全な1対1対応は作れるの？
265:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:22:38.96 RvrMcGZb.net
完全な1対1対応って何？
266:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:25:58.01 XFPBjgpf.net
>>238の「複素構造の同型類はH^1(X, TX)の元に1対1に対応する」は
全く何の嘘偽りもなく実現できるの？
267:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:30:56.69 XFPBjgpf.net
例えば
局所的にｎ次元のユークリッド空間と同相だからといって
大域的にもｎ次元のユークリッド空間と同相、とはいえないよね？
268:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:31:15.80 RvrMcGZb.net
自分で確かめたらいいんじゃないかな
269:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:31:46.56 RvrMcGZb.net
ここでいう同型類って無限小変形のことでしょ？
270:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:33:20.89 XFPBjgpf.net
>>254
あなたは確かめた上で
「複素構造の同型類はH^1(X, TX)の元に1対1に対応する」 つまり
「H^1(X, TX)は複素構造の同型類のモジュライ空間だ」 と言い切ってる？
271:１３２人目の素数さん
21/02/03 17:35:12.98 XFPBjgpf.net
>>255
>ここでいう同型類って無限小変形のことでしょ？
じゃ、はじめにそういわなきゃ
272:１３２人目の素数さん
21/02/03 18:02:22.39 ByqtypZk.net
専門じゃないからよく知らんけどモジュライ空間とタイヒミュラー空間は一次ホモロジー群の生成元の選び方分だけ違いが出るんだっけ？
273:１３２人目の素数さん
21/02/03 18:04:00.59 RvrMcGZb.net
>>238
> dim(H^1(X, TX)) = 3g - 3。
これ、g > 1のとき
g = 0, 1ならdeg(-K) < 0じゃないから。実際、
h^1(X, TX) =
0 (g = 0)
1 (g = 1)
3g - 3 (g > 1)
274:１３２人目の素数さん
21/02/03 18:13:24.84 XFPBjgpf.net
>>258
そもそもタイヒミュラー空間を写像類群（離散群）で割るんじゃなかったか？
275:１３２人目の素数さん
21/02/03 19:04:20.77 ByqtypZk.net
で確か写像類群の生成元がデーンツイストで生成されるとかなんとかかんとかという話に繋がるんだったような
あの話はなんか予想でまだ解けてないとかなんとかいう話しもあったな
昔聞いた話すぎてよく覚えてない
276:１３２人目の素数さん
21/02/03 19:15:43.55 mk2AOzAq.net
ぶっちゃけ微分幾何的な話はほとんど知らん
277:１３２人目の素数さん
21/02/03 19:37:26.45 XFPBjgpf.net
>写像類群の生成元がデーンツイストで生成される
ああ、ねじってくっつけるってやつね
阿原と逆井の本は買ったよ
やっぱ代数幾何よりトポロジーだな
278:１３２人目の素数さん
21/02/09 18:39:12.11 uPNK80lf.net
>>253
トーラスとか射影空間とか？
279:１３２人目の素数さん
21/03/05 11:42:14.57 FnGVSa/5.net
MumfordのTata lectures on thetaが最高に面白い
Hartshorneに飽きた人は是非読むと良い
280:１３２人目の素数さん
21/08/13 15:24:35.03 zvt4bOz8.net
n^3 を使え
n^4 をつかうと世界が広がるぞ
281:１３２人目の素数さん
21/10/12 03:18:10.26 NOFt0H9x.net
数学セミナー10月号と現代数学10月号は共に「楕円関数」がテーマだ。
282:１３２人目の素数さん
21/10/12 21:55:57.63 1Aothx+g.net
何か目新しい内容あるの？
283:１３２人目の素数さん
21/11/30 13:03:37.57 ccZQn9Vw.net
三角関数を使った相互律の証明を
楕円関数を使って実行すると
何が証明できますか？
284:１３２人目の素数さん
22/05/03 11:31:41.23 e3ZC3REA.net
>>265
ラマヌジャンの�
285:mートブックとどっちが面白い？ やっぱり数論的な香りにあふれた方が良い気がするんですが
286:１３２人目の素数さん
22/05/03 11:35:59.47 e3ZC3REA.net
無機質な単なる幾何の話は、代数幾何スレにでも移住して貰えませんか？
もっと楕円函数やモジュラーの底知れぬ美しさを存分に語ってほしいです
287:１３２人目の素数さん
22/06/18 01:06:59.58 782846WB.net
こういう本の方向？
>>270
＞数論的な香り
J.H.コンウェイ『素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式（THE SENSUAL FORM）』
Paul J. Nahin "In Pursuit of Zeta-3: The World's Most Mysterious Unsolved Math Problem"
>>271
＞楕円函数やモジュラーの底知れぬ美しさ
D.マンフォード『インドラの真珠: クラインの夢みた世界（Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein）』
288:１３２人目の素数さん
22/06/18 01:26:12.42 782846WB.net
数論的な話題は
「どうして保型形式で数論がわかるの・・・？」スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
289:１３２人目の素数さん
22/09/13 22:53:09.67 C+pPFqyr.net
＞三角関数を使った相互律の証明を
＞楕円関数を使って実行すると
＞何が証明できますか？
たとえば四次剰余の相互法則が
290:１３２人目の素数さん
22/10/24 07:19:49.13 GaDzP1V7.net
3次剰余の相互法則は
どんな関数を使って証明できますか？
291:
22/10/25 03:55:26.71 QFhns7Sv.net
BSD予想は楕円曲線上の予想、だとすれば平面を含んでいるので、この世界は直線は存在しないので偽である、というのは成り立ちませんかね？
292:１３２人目の素数さん
22/10/25 13:01:26.96 mZRnw1Vf.net
>>276
275の問いかけはそのレベル以下？
293:
22/10/27 01:56:46.26 RQQBef8r.net
>>277
問題の難易度の話ですか？
294:１３２人目の素数さん
22/10/27 09:54:37.46 v8i9IFFe.net
BSD予想って高次元のアーベル多様体に一般化できるの？
295:１３２人目の素数さん
22/10/27 18:47:58.98 aux2pG0D.net
p と q をアイゼンシュタイン整数環上の、3とも互いに素な素元とするとき、合同式 x3 ≡ p (mod q) が可解となる必要十分条件は x3 ≡ q (mod p) が可解となることである。
296:
22/11/07 07:22:38.81 57DpRDwW.net
BSD
「楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。」
楕円曲線は平面上にない為アーベル群が作られない。よって偽である。
これで終わってないですかね？
297:１３２人目の素数さん
22/11/07 07:52:54.13 /O7D42WP.net
>>281
>>楕円曲線は平面上にない為アーベル群が作られない。
平面上にないものはすべてアーベル群ではないと信じていますか？
298:１３２人目の素数さん
22/11/07 08:35:03.40 yxgpeeN1.net
なんでこんなすごい人が紛れ込んだの
299:
22/11/08 00:11:22.35 HbCupp77.net
>>282
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)アーベル群
ここの定義から見れば演算の話だから違いますね。
300:
22/11/08 00:11:34.73 HbCupp77.net
もう一回考えてみますね
301:
22/11/08 00:14:40.19 HbCupp77.net
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
つまりここの概要を見ると
有限個の基底で線型空間が貼られて全てその中の要素でアーベル群が作られる、的な話だと浅い解釈で喋ってましたがもう一度考えてみますね。
もしそのような解釈で合ってるのであればそもそも同一平面上にないからダメだと思うんですが
302:。
303:
22/11/08 00:27:05.27 HbCupp77.net
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
の概要
「
楕円曲線上の有理点（x 座標も y 座標も有理数になる点）は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 E 上の2点 P = (x1, y1), Q = (x2, y2) に対し、直線 PQ と E との交点と x 軸に関して対称な位置にある点 (x3, y3)を P + Q で表される点と定義する。（詳細は楕円曲線の記事を参照）」
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)楕円曲線
このページでその群の構造について語られていますが、幾何学的には交点だと書かれていますが、僕はその交点を恐らく持たない、何故なら同一平面上にないから
という事を主張している。そうなればアーベル群の定義から外れて
BSD予想のフォーミュレーション
「楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。」
の前提が崩れる為BSDは偽である
というような論法だと思われます。
304:１３２人目の素数さん
22/12/08 22:28:26.75 xpFZils6.net
280はよくわかるが
281,284,286,287は
全然わからない
305:１３２人目の素数さん
22/12/10 23:32:49.25 sxpPJ6rb.net
＞3次剰余の相互法則は
＞どんな関数を使って証明できますか？
これもアイゼンシュタインによる楕円関数を使う
証明があったと思う。周期が１とωのものを使ったと思う。
306:１３２人目の素数さん
22/12/11 07:32:17.74 lxcHhNkX.net
>>289
ありがとうございます
307:１３２人目の素数さん
22/12/21 22:53:12.88 F669Iarw.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
308:１３２人目の素数さん
23/01/18 12:31:31.07 0UiJdQrz.net
楕円積分と楕円関数 おとぎの国の歩き方
ちょっとクセがあるから堅い本に慣れてる人には読みにくいかも知れないけど初心者的には分かりやすかった
309:１３２人目の素数さん
23/09/26 12:03:28.75 Rhc6y/Rq.net
>>292
おう、読んでみるわ
310:１３２人目の素数さん
23/09/26 13:02:41.54 4ipQw1aI.net
モジュラー曲線は数体上定義される
311:１３２人目の素数さん
23/10/13 09:09:05.95 a+V5NCei.net
近々『数学』にK3モジュラー関数の話が載るようだ
312:１３２人目の素数さん
23/10/14 07:15:35.45 bWFtusHz.net
志村理論との関係が興味深い
313:１３２人目の素数さん
23/10/15 20:37:02.81 a0shg+mw.net
K3単純特異点も
314:１３２人目の素数さん
23/10/19 23:06:16.64 Ox7q1laF.net
特異点と言えばカスプ
315:１３２人目の素数さん
23/10/20 08:33:38.96 ZK0Z9SxF.net
志村多様体って何なの？
316:１３２人目の素数さん
23/10/20 10:47:21.90 o4X3cFBr.net
大雑把に言えば
対称領域の商空間で
有理数係数の定義方程式を持つもの
317:１３２人目の素数さん
23/10/23 10:16:36.91 axfP+9As.net
ベルグマン核とセゲー核の漸近展開の比較から
テータ関数の公式が導かれるらしい
318:１３２人目の素数さん
23/10/23 12:21:13.59 upEH5hqv.net
それはセゲーな
319:１３２人目の素数さん
23/10/23 14:06:42.42 bsm3GUCR.net
「そればすごい」なのか
「それはセゲーによる」なのか
どっちだ
320:１３２人目の素数さん
23/11/06 20:49:41.72 DN7G53u1.net
L^2正則関数の空間が持つ情報を究めなければいけない
321:１３２人目の素数さん
23/11/07 09:00:37.77 ivDADiXg.net
今話題の不変量は
Diederich-Fornaess指数
322:１３２人目の素数さん
24/01/31 03:49:19.42 b6Gsbw7H.net
セゲー・ガーボル（Szego" Ga
323:'bor, 1895/01/20～1985/08/07) は、 ユダヤ系ハンガリー人の数学者。 ハンガリーの Kunhegyes 出身。 渡米して、1938年から1966年までスタンフォード大学で教鞭を執った。 テプリッツ行列 (Toeplitz matrices)、直交多項式の理論に業績を残した。 数学者のジョン・フォン・ノイマンを教えている。 著作に「直交多項式」"Orthogonal polynomials" (1939) がある。 これは同分野の古典であり、多項式論の参考文献として広く用いられている。 アメリカ合衆国のカリフォルニア州パロアルトで死去した。
324:１３２人目の素数さん
24/01/31 14:20:18.40 b6Gsbw7H.net
〔楕円曲線〕
双曲線、放物線は明らかに曲線だが、
「楕円」と言ったときは内部を含むかも知れない。
そこで、楕円の周のことを特に「楕円曲線」と呼ぶことにした。
（ウソ）
325:１３２人目の素数さん
24/01/31 14:48:45.73 ACeeu+b2.net
楕円は楕円曲線じゃない
（ホント）
326:１３２人目の素数さん
24/01/31 23:13:00.13 PITVxeMx.net
楕円種数
327:１３２人目の素数さん
24/02/18 21:15:31.80 /BpmJ+zNp
関西地球破壞カジノ万博を中止させよう! 汚職の代名詞クソ├ーキョー五輪に学ぶこともせす゛低い見積もりで事業通して後から倍増とか
戦中の戦艦みたいな税金泥棒まだ続けてやか゛る、人の命より拝金の世界最悪の脱炭素拒否テロ国家に送られる化石賞4連続受賞して
世界中から非難されながら一方的な現状変更によってクソ航空機倍増して閑静な住宅地から都心まで数珠つなぎで鉄道の３0倍以上もの莫大な
温室効果カ゛スまき散らして騒音まみれ、静音が生命線の知的産業壞滅させて気候変動させて土砂崩れ、洪水、暴風、熱中症にと災害連発
天下り犯罪テロリストクソ航空関係者と共謀して住民の生命と財産を強奪して私腹を肥やし続ける世界最惡の強盜殺人テロ国家日本
太陽光発電時間帯など電力はタダで業者間取引されてるしクソ航空機廃絶すれば電力価格下落するほど余裕て゛足りるのが現実の中
原発爆発させて凄まじい放射能汚染引き起こしながら再稼働．フクシマ沖の魚から18000ベクレル（一般人の年間被曝限度の1/з）もの
セシウムが検出されていながら科学だのほさ゛いて核汚染水たれ流す腐敗政府か゛やることは何もかも積極的に阻止しよう!
〔ref.） URLﾘﾝｸ(www.call4.jp)ρhp?Tyρe=items&id=I00000６2
tТps://haneda-projｅct.jimdofreｅ.com/ , ＴΤρs://flight-rouｔe.com/
Τtps：//n-souonhigaisosyoudan.amebaownd.com/
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