20/11/13 20:57:19.19 p93F8AqD.net
>955
x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)は，常に有理数解をもちません。
おっしゃるとおりです。
だから，x^n+y^n=z^pが整数解を持つかどうかのテスターとして x^3+y^3=(x+√3)^3 は使えないといっているんです。
証明の完成まではx^n+y^n=z^pが整数解をもつかどうかは不明なんですよ。
x^n+y^n=z^pが整数解を持つときと，もたないときとで結果が変わらないと困るでしょ。
よく意味がわかりません。
1024:日高
20/11/13 21:02:18.92 p93F8AqD.net
>953
n=2のときも，r=√2にしましょうと提案したので，n=2のときも目を通しておこうと思って，あらためて，(修正52)を読んでみると，ちょっとこれはひどくないですか？
n=2のとき，
>(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
>(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
>(3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
rが有理数であることだけが(3)が有理数解をもつ根拠なら，z=x+2を x^n+y^n=z^nに代入したら n=>3でも有理数解をもつことになりませんか？
展開してx^2を消去するとxの一次式になるから，と以前はしていたような・・・
n>=3の場合とどうしても表現を合わせたいのでしょうが，トンデモ論理で n=2 のときも【証明】としては誤りになるようなことはしない方がいいと思います。
n>=3の場合の場合は、rが有理数の場合は、(4)となります。
1025:日高
20/11/13 21:04:23.86 p93F8AqD.net
(修正52)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。
1026:１３２人目の素数さん
20/11/13 21:40:32.68 IWpJzxnM.net
>>980
> >963
> x^2+y^2=(x+√3)^2においてr=√3は無理数
> > yに4*√3/2を代入すると
> y=4*√3/2は有理数じゃないでしょ
> だからx^3+y^3=(x+√3)^3が整数比の解を持つかどうかで
> > (3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。
> これは理由にならんでしょ
>
> どうしてでしょうか？
x^3+y^3=(x+√3)^3においても
y=4*√3/2であるような解は有理数解じゃないでしょ
> x^2+y^2=(x+√3)^2においてr=√3は無理数
> > yに4*√3/2を代入すると
> y=4*√3/2は有理数じゃないでしょ
y=4*√3/2はy=2*√3=2*r
x^2+y^2=(x+2)^2ではy=4を代入するのならy=2*2=2*r
2*rの2はx^2+y^2=(x+1)^2の解x=3/2,y=2,z=5/2のy=2の2である
x^3+y^3=(x+2)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
x^3+y^3=(x+√3)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
1027:１３２人目の素数さん
20/11/13 22:17:19.97 p7G6TBwv.net
>>982
> r=1が真の基準には、なりません。a=1が基準です。
aを使わないでもr=1を基準にしてr倍すれば
x^2+y^2=(x+r)^2の場合も証明できるじゃないですか
あんたがx^2+y^2=(x+2)^2の場合でやっていることも
r=1を基準にして2倍した場合と同じです
x^2+y^2=(x+1)^2が有理数解を持つことをまず証明する
y^2=2x+1のyにy=t (s,tは有理数とする)を代入すると
t^2=2x+1
x=(1/2)*(t^2-1)なのでs=(1/2)*(t^2-1) (有理数)とおける
よってx=sでありs^2+t^2=(s+1)^2が成り立つ
s:t:(s+1)は整数比
--- r=1の証明はここまで ---
その解x=s,y=tをr倍すると
(rs)^2+(rt)^2=(rs+r)^2となり
x^2+y^2=(x+r)^2の解x=rs,y=rt,z=rs+rは整数比である
一方
x^2+y^2=(x+r)^2が整数比の解を持つことを証明する
y^2=2rx+r^2のyにy=rt (yは有理数とは限らない)を代入すると
r^2*t^2=2rx+r^2
r*t^2=2x+r
x=r*(1/2)*(t^2-1)なのでs=(1/2)*(t^2-1) (有理数)とおける
よってx=rsであり(rs)^2+(rt)^2=(rs+r)^2
x^2+y^2=(x+r)^2の解x=rs,y=rt,z=rs+rは整数比である
--- rがかかっているだけで実質r=1の場合と同じ ---
つまりs^2+t^2=(s+1)^2が成り立つがs,tは
x^2+y^2=(x+1)^2の有理数解x=s,y=tである
s:t:(s+1)は整数比
x^3+y^3=(x+2)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
x^3+y^3=(x+√3)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
1028:１３２人目の素数さん
20/11/13 22:25:08.84 5UMB4ZPH.net
>>986
> (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
x=5,y=2√6,z=7もx^2+y^2=(x+2)^2の解です
r=2だけではyの値を限定できないので有理数解を持つ根拠にはなりません
1029:１３２人目の素数さん
20/11/14 00:28:20.05 H4OiAtMSL
日高氏の証明を整理すると、
x,y,z ∈ R が
(1) x^n + y^n = z^n = (x+r)^n (n≧3)
を満たすとする。
a := r^{n-1}/n とすると、(1)は次のように変形できる。
n
(4) x^n + y^n = (x + (an)^{1/(n-1)})^n
(3) x^n + y^n = (x + (n)^{1/(n-1)})^n (a=1の場合)
そのとき、次が成り立つ。
a = 1 ならば、 (3)の解x,y,zは有理数解ではない。
なぜなら、r = n^{1/(n-1)}が無理数だから。
(3)の解がx,y,zならば、(4)の解は、αx,αy,αz である。ここで、α:= 1/a^{1/(n-1)}
従って、
(*) (x,y,z)は有理数解ではないので、(αx,αy,αz)も有理数解ではない。
しかし、最後の(*)が誤り。
なぜなら、>965
1030:１３２人目の素数さん
20/11/14 00:17:13.36 Kki1pCRJ.net
日高は
r^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)を見ると
r^(n-1)=nが基準だと思い込むらしい
1031:１３２人目の素数さん
20/11/14 00:21:14.68 Kki1pCRJ.net
>>986 日高
> (2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
> (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
ここは(3)をy^2=4x+4としてyを任意の有理数とするとxも有理数になると解釈してやってもいいんじゃないか
1032:日高
20/11/14 07:52:23.23 8XYDkgyN.net
>992
ここは(3)をy^2=4x+4としてyを任意の有理数とするとxも有理数になると解釈してやってもいいんじゃないか
はい。いいです。
1033:日高
20/11/14 08:03:57.51 8XYDkgyN.net
>991
日高は
r^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)を見ると
r^(n-1)=nが基準だと思い込むらしい
a(1/a)=1なので、a=1が基準になります。
1034:日高
20/11/14 08:12:06.86 8XYDkgyN.net
>989
> (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
x=5,y=2√6,z=7もx^2+y^2=(x+2)^2の解です
r=2だけではyの値を限定できないので有理数解を持つ根拠にはなりません
x^2+y^2=(x+2)^2のyに有理数を代入すると、xは必ず有理数になります。
x=5,y=2√6,z=7は、有理数解では、ありません。
1035:１３２人目の素数さん
20/11/14 08:22:03.62 M23zEL66.net
>>994
> a(1/a)=1なので、a=1が基準になります。
そういうことを言う割にはs,tが有理数のときに
x=s*p^{1/(p-1)},y=t*p^{1/(p-1)},z=(s+1)*p^{1/(p-1)}が(3)を満たすか
どうかという問題をあんたに聞くとp^{1/(p-1)}で割って
(ap)^{1/(p-1)}=1のときにしようとするからおかしいよね
こちらとしては基準のa=1のままで証明してほしいのに
1036:１３２人目の素数さん
20/11/14 08:23:40.93 M23zEL66.net
>>995
> x^2+y^2=(x+2)^2のyに有理数を代入すると、xは必ず有理数になります。
> x=5,y=2√6,z=7は、有理数解では、ありません。
>>986の証明のどこにyに有理数を代入すると書いてあるの？
> (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
としか書いてないが
1037:日高
20/11/14 08:47:49.49 8XYDkgyN.net
>988
x^3+y^3=(x+2)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
2=(a3)^(1/2)
a^(1/2)=2/(3√3)
yに、(3√3)/2の有理数倍を代入すればよいです。
整数比の解を持たないことがわかります。
x^3+y^3=(x+√3)^3が整数比の解を持つかどうかを
検討するのにyに何を代入すればよいか書け
√3=(a3)^(1/2)
a=1
yに、1の有理数倍を代入すればよいです。
有理数解を持たないことがわかります。
1038:日高
20/11/14 08:50:47.54 8XYDkgyN.net
(修正52)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。
1039:日高
20/11/14 09:03:41.29 8XYDkgyN.net
>996
> a(1/a)=1なので、a=1が基準になります。
そういうことを言う割にはs,tが有理数のときに
x=s*p^{1/(p-1)},y=t*p^{1/(p-1)},z=(s+1)*p^{1/(p-1)}が(3)を満たすか
どうかという問題をあんたに聞くとp^{1/(p-1)}で割って
(ap)^{1/(p-1)}=1のときにしようとするからおかしいよね
こちらとしては基準のa=1のままで証明してほしいのに
x=s*p^{1/(p-1)},y=t*p^{1/(p-1)},z=(s+1)*p^{1/(p-1)}は、
s^p+t^p=(s+1)^pを解いた形です。
これは、(ap)^{1/(p-1)}=1のときです。
a=1の場合は、s^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)})^pとなります。
(3)の形のs^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)})^pは、成り立たないので、
(4)の形のs^p+t^p=(s+1)^pも、なりたちません。
1040:１３２人目の素数さん
20/11/14 09:05:08.83 l4b3YRHf.net
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1041:１３２人目の素数さん
20/11/14 09:06:11.13 l4b3YRHf.net
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