高校数学の質問スレPart408at MATH

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738:I手法がある f(x)=x^3-x-1∈Q[x] とおく. fの全ての複素数根をα,β,γとおく. f(x)のQ上の最小分解体をKとおく. Kの実共役体と虚共役体の個数はそれぞれ0と6 整基底の計算により Kの整数環は A:=Z[α,β] となる また,代数体Kの判別式は -12167 = -23^3 となる. Kの判別式の値とKのQ上の拡大次数から Kに含まれる1の冪根は ±1 のみである ディリクレの単数定理より Aの基本単数系は2個の基本単数からなる. それらをη,φとおく f(x) = (x-α)(x-β)(x-γ) より f(s/t) = (s/t-α)(s/t-β)(s/t-γ) t^3*f(s/t) = (s-tα)(s-tβ)(s-tγ) ∴ s^3-st^2-t^3 = (s-tα)(s-tβ)(s-tγ) s^3-st^2-t^3 = 1 だから s-tα,s-tβ,s-tγは Aの単数となるので s-tα = ±η^(e1)*φ^(e2) s-tβ = ±η^(e3)*φ^(e4) s-tγ = ±η^(e5)*φ^(e6) を同時に満たすように3つの符号および 整数e1,e2,.,e6の組を選ぶことができる 単数方程式に帰着されるというのはこういうこと 基本単数は具体的に計算するアルゴリズムがあるので η,φはα,βだけの式で具体的に表すことができる

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