20/10/24 14:11:23.02 ppZN3X44.net
前>>119訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/3-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/3-2/9)a^3
123:イナ
20/10/24 14:13:46.12 ppZN3X44.net
前>>120訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/6-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/6-2/9)a^3
124:１３２人目の素数さん
20/10/24 15:16:01.48 FgQK/f/3.net
>>87
男子１：５ 女子６：８とすると
男子１を選んで、残り７人から二人を２，６を選んだ場合と
男子２を選んで、残り７人から二人と１、６を選んだ場合で
重複して数えている。
125:１３２人目の素数さん
20/10/24 15:33:03.21 FgQK/f/3.net
>>122
＞男子１：５ 女子６：８とすると
男子を１，２，３，４，５、女子を６，７，８
と番号を付けるという意味
126:１３２人目の素数さん
20/10/24 16:05:46.25 FgQK/f/3.net
>>122
プログラムに組み合わせを列挙させて最後の方を表示さえてみた。
> re=NULL # 格納する変数
> for(m in 1:5){ # m: 1~5から順に一人目を選ぶ
+ # mを除いた7人から二人を選んで３人を組み合わせる
+ re=rbind(re,cbind(m,combinations(7,2,(1:8)[-m])))
+ }
> tail(re) # この方法での組み合わせの数 105通り
m
[100,] 5 4 6
[101,] 5 4 7
[102,] 5 4 8
[103,] 5 6 7
[104,] 5 6 8
[105,] 5 7 8
> tail(unique(t(apply(re,1,sort)))) # その105通りから重複を除いてカウント
[,1] [,2] [,3]
[50,] 4 6 7
[51,] 4 6 8
[52,] 4 7 8
[53,] 5 6 7
[54,] 5 6 8
[55,] 5 7 8
127:１３２人目の素数さん
20/10/24 17:55:12.94 sU9t17iw.net
8Ｃ3－3Ｃ3＝55
じゃあかんの？
128:１３２人目の素数さん
20/10/24 19:13:28.35 t/JXD1S3.net
互いに素でない二つの自然数において、公約数で割って互いに素ならば、それが最大公約数となる。これを証明する方法はありますか?
129:１３２人目の素数さん
20/10/24 20:07:48.85 LMmLCFr8.net
a,bの最大公約数をdとするとa=dm, b=dn,でmとnは互いに素
これらを公約数eでわるとa/e=(d/e)m, b/e=(d/e)n
e<dとするとd/eは２以上の自然数なのでa/e とb/eは互いに素にならないのでe=dである
130:81
20/10/24 21:40:40.06 2Pk4w+Tm.net
>>111
ありがとうございます。指摘部分を修正し復唱すると、
例えば、「１２で割れる」ならば「３で割れるかつ偶数である」
の「１２で割れる」「３で割れる」「偶数である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘは１２で割れる」ならば「ｘは３割でれるかつ偶数である」とするべき
例えば、「アリ」ならば「昆虫である」
の「アリ」「昆虫である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘがアリである」ならば「ｘは昆虫である」とするべき
主語が省略されている文はそのままでは意味が通じないのだから、主語を補って解釈するのは当然のこと
本来は主語が無いと文ではなくなるので命題でも条件でもないが、文意は誤解無く伝わると思われるので上記程度の主語の省略は許容されるだろう
ただし、当然数学的には一切何も省略しないことが一番正しい
覚えました。
131:１３２人目の素数さん
20/10/25 00:58:22.29 2hlYWElQ.net
t>0 とする。
(1) B = 1+t, C = 1+1/t のとき A = B + C を求めよ。
(2) log(A) = log(B) + log(C) を示せ。
132:１３２人目の素数さん
20/10/25 01:10:28.25 7eieyZMZ.net
>>90
重複カウントしているから>79の計算での105をで割った105/2通りにはならないんだな。
なんでだろ？
133:１３２人目の素数さん
20/10/25 01:36:11.97 SvsiFpep.net
>>130
３人とも男子のときはA－BC、B-AC、C-ABの三重カウント
２人が男子、一人が女子のときはA-Bc、B-Acの二重カウント
１人が男子、二人が女子のときはA-bcでダブリなし
よって5C1*4C2/3+5C1*4C1*3C1/2+5C1*3C2=55
134:１３２人目の素数さん
20/10/25 06
135::56:09.47 ID:6HGEVv7n.net
136:１３２人目の素数さん
20/10/25 07:16:06.59 T/xDoF2e.net
>>129
こんなんも見つけたぞー
t>0 とする。
B=1+t+t^2、C=1+t 、D=1/t、A=B+C+Dのとき
log(A)=log(B)+log(C)+log(D)
137:１３２人目の素数さん
20/10/25 08:02:22.77 5GNG1T31.net
>>132
いい加減にしろ
お前のは数学じゃなくて計算技術(1～4級)だ
138:１３２人目の素数さん
20/10/25 10:38:14.22 2hlYWElQ.net
それでは…
t>0 とする。
B = 1 + 1/t + 1/t, C = 1+t, D = 1, A = B+C+D のとき
log(A) = log(B) + log(C) + log(D).
139:１３２人目の素数さん
20/10/25 10:57:41.48 T/xDoF2e.net
一般には
D=(B+C)/(BC-1)
でファイナルアンサー
4項以上のときもtと1/tの多項式的なパラメータで書けるものがあるんかな
140:１３２人目の素数さん
20/10/25 11:10:24.38 T/xDoF2e.net
いや、一般にその方針でいけるのか・・・
B=1+(n-1)/t、C=1+t、D=E=…=1
か
141:１３２人目の素数さん
20/10/25 11:37:06.38 T/xDoF2e.net
定数多項式は含まない条件下で、tと1/tの多項式パラメトライズはあるか？
142:１３２人目の素数さん
20/10/25 12:16:44.00 TPOqs/ES.net
10n+1,10n+3,10n+7,10n+9
これらすべてが素数となるとき、
nの取り得る値が1しかないことを証明する方法はありますか?
素数は無数にあることは知られていますが、
nが1でない時は4つのうちのいずれかが素数でなくなるということも証明できれば良いのですが。
143:１３２人目の素数さん
20/10/25 12:34:30.28 TPOqs/ES.net
3の倍数判定を使うと簡単かと思いましたが、
2,4,8,10
3,5,9,11
4,6,10,12
5,7,11,13
1ずつ足していくと3の倍数が引っかかる、、、
これでは49に限らず素数の自乗を見つけられません。
証明として成り立たないので、質問してみました。
144:１３２人目の素数さん
20/10/25 12:40:48.02 cx0U6oD/.net
>>139 >>140
そもそも予想が間違っている
n=1 の他にもたくさんある
n = 10, 19, 82, 148, 187, 208, 325, 346, ...
おそらく無限個あるのだろうけれど この手の問題は未解決です
145:１３２人目の素数さん
20/10/25 12:42:53.10 TPOqs/ES.net
3の倍数に引っかからない合成数が49であることを考えると、オイラー素数の意味も見えてくる。
146:１３２人目の素数さん
20/10/25 12:54:34.94 cx0U6oD/.net
>>139
>>141
無限個あるという結論(仮)は Schinzel's hypothesis H という予想から導かれる:
[準備]
整数係数多項式f(x)に対して,
D(f(x)) = max{m∈N ; ∀x∈N m|f(x)} とおく
つまり, 「どんな自然数xに対しても f(x)がmで割り切れる」
となるような最大の自然数mを D(f(x))で定義する
今, k個の既約整数係数多項式が与えられたとして,
それのk個の積で定まる多項式をQ(x)とかくことにする
もし, D(Q(x))=1 ならば k個の多項式が同時に素数値を取ることは無限に発生する
これを Schinzel's hypothesis H という
これを用いるなら まず4つの整数係数多項式,
10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9 はどれも既約
(つまり1次有理数係数多項式の積に書けない)
そして Q(x)= (10x+1)(10x+3)(10x+7)(10x+9) とおくとき
gcd(Q(1),Q(2))=1 であるから D(Q(x))=1 であることがいえる
よって Schinzel's hypothesis H が正しいならば
問題の4つの式が同時に素数値を取ることは無限回発生する
147:１３２人目の素数さん
20/10/25 12:58:23.99 cx0U6oD/.net
一部タイプミスの修正
最後から5行目
[誤] つまり1次有理数係数多項式の積に書けない
[正] つまり1次以上の有理数係数多項式の積に書けない
あとはたぶん大丈夫そう
148:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:10:05.74 TPOqs/ES.net
>>141
ありがとうございます。数字和(3の倍数)で素数を追うには147,369には対応できても258には無力だということを思い知らされました。
149:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:38:32.20 MzU0UQdM.net
奇数mで次の条件を満たすものはありますか。
「m+2^n (n=1,2,3,…) がすべて合成数」
150:１３２人目の素数さん
20/10/25 14:11:17.62 cx0U6oD/.net
>>146
基本的には その手の問題は 2^k-1 のprimitive prime divisors を考えるのが筋
それは 古くはSierpinskiの covering set という考え方に基づくもの
2^(2^k)-1 の形の数が持つ primitive prime divisors を考える
2^64 - 1 = 3*5*17*257*641*65537*6700417 に注意する
たとえば 以下の合同式を満たすようにmを設定すれば条件を満たす:
m≡1 (mod 2)
m≡2 (mod 3*5*17*257*65637)
m≡ 333 (mod 641)
m≡ 6700415 (mod 6700417)
具体的には m = 8233406372846257083
151:１３２人目の素数さん
20/10/25 14:25:47.09 cx0U6oD/.net
(1) 9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1 が素数ならば nは36の倍数であることを証明せよ
†(2) nが36の倍数のとき, (1)の数が素数になることはあるか
152:１３２人目の素数さん
20/10/25 16:47:01.89 2hlYWElQ.net
>>136
A1 = 1 + t,
A2 = 1 + 1/t,
A3 = 1 + t/(tt+t+1),
X=Anの漸化式は
A1 + A2 + ････ + A_{n-1} + X = A1･A2････A_{n-1}･X,
より
X = (A1+A2+･････+A_{n-1})/(A1A2････A_{n-1} - 1),
153:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:47:31.15 T/xDoF2e.net
>>149
有理式でいいならそりゃそうだけどさ
そもそもA1～A(n-1)を好きな有理式(ただし積≠1)にしてもAnは有理式になるわけだし
154:１３２人目の素数さん
20/10/25 18:12:32.17 cx0U6oD/.net
>>150
和と積が一致するパラメタ
A[1] = n
A[2] = 2
A[3] = ... = A[n] = 1
これで すべて整数係数多項式
"異なる"とかそういう条件が入ると難問だろう
155:１３２人目の素数さん
20/10/25 18:27:14.14 T/xDoF2e.net
>>151
だから>>138に定数多項式は含まない、と書いたんだけどな
でもtと1/tの整係数多項式で全て非定数で異なるのも簡単だった
A1=Σ[i=2,n]Ai、A2=2/t^((n-1)(n-2)/2)、 A3=t^1…= An=t^(n-2)
とかでいい
156:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:07:10.19 AdWq2Ww/.net
>>141
数字和で3の倍数フィルターが258になることを必要条件とすると、
n=3x+1が成り立つのは理解できますが、
それだけでは不十分なので、何か別の条件があるはずです。
そうでないと49,77,133,169が素数でないことを立証できないからです。
157:１３２人目の素数さん
20/10/25 21:55:07.79 V72jBZRi.net
質問なんですが、六芒星をとがった部分から直線を
滑る感じで回転するときの軌跡ってどうなりますか？教えてください！
158:１３２人目の素数さん
20/10/25 21:58:02.90 V72jBZRi.net
回転というか1回転した時の軌跡です！
159:１３２人目の素数さん
20/10/25 22:49:13.63 BxW91u5O.net
プレミアム率25%ってどういう意味?
160:１３２人目の素数さん
20/10/26 00:23:00.48 WM0yBFVu.net
>>136
n=3
ΔXYZ は直角三角形でないとする。
B = tan(x), C = tan(y), D = tan(z)
----------------------------------------
sinの加法公式(*)は
sin(x+y+z)
= cos(x)cos(y)sin(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + sin(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
= cos(x)cos(y)cos(z) [ tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) ],
また、題意より
x+y+z = π, sin(x+y+z) =0,
cos(x)cos(y)cos(z) ≠ 0,
したがって
tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) = 0,
*) exp の加法公式
cos(x+y+z) +ｉsin(x+y+z) = e^{ｉ(x+y+z)}
= e^{ｉx} e^{ｉy} e^{ｉz}
= (cos(x)+ｉsin(x))(cos(y)+ｉsin(y))(cos(z)+ｉsin(z)),
の虚数部をとる。
161:１３２人目の素数さん
20/10/26 00:50:57.24 CzRFy8fL.net
>>157
実は元の>>133はその形を特殊化して導いた
x=π/2-α+β、y=α-γ、z=π/2-β+γ
s=tanα、t=tanβ、u=tanγとおくと
B=(1+st)/(s-t)、C=(s-u)/(su+1)、D=(1+tu)/(t-u)
というパラメータ表示を得る
ここでs=1+t、u=0と特殊化すると>>133の式になる
162:１３２人目の素数さん
20/10/26 00:59:18.72 WM0yBFVu.net
n=3,
ﾁｮﾄ追加
x+y+z = π とする。
B = tan(mx), C = tan(my), D = tan(mz),
B = cot(m'x), C= cot(m'y), D = cot(m'z),
ここに mは整数 m' = m + 1/2.
163:１３２人目の素数さん
20/10/26 01:04:09.27 CzRFy8fL.net
対称的なパラメータ形としては
x=α-β、y=β-γ、z=γ-αとおいて
B=(s-t)/(1+st)、C=(t-u)/(1+tu)、D=(u-s)/(1+us)
が得られる
164:１３２人目の素数さん
20/10/26 01:20:10.40 LJx6Jxx9.net
>>154
三角形
165:１３２人目の素数さん
20/10/26 01:31:32.22 baGfFlni.net
>>161
意味わからないんですけど・・・・・・・・・・・
166:１３２人目の素数さん
20/10/26 02:34:01.42 SJUVhnC9.net
>>154
何が回転したときの何の軌跡かを指定しないと意味不明な問題だぞ。
167:１３２人目の素数さん
20/10/26 02:35:44.76 KYnQZda7.net
>>148
(1) F(n)=9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1
n≧1のとき F(n)≧27
3|F(n) if n≡1 (mod 2)
5|F(n) if n≡2 (mod 4)
13|F(n) if n≡4,8 (mod 12)
19|F(n) if n≡6,12 (mod 18)
nが36の倍数でなければF(n)は3,5,13,19のいずれかを約数にもつ合成数である
(2) 高校数学で解けるの？
168:１３２人目の素数さん
20/10/26 03:50:35.22 KYnQZda7.net
>>154
「滑らずに転がる」だったらこんな感じになる
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
滑る感じで回転ってのはよくわからない
169:１３２人目の素数さん
20/10/26 05:47:11.67 WM0yBFVu.net
n=3m のとき
F(3m) = (9^3)^m + (8^3)^m + (4^3)^m + (3^3)^m + (2^3)^m + 1
≡ 7^m + (-1)^m + 7^m + 8^m + 8^m + 1 (mod 19)
≡ 0 (mod 19) (if n≡6,9,12 (mod18))
170:１３２人目の素数さん
20/10/26 06:45:28.70 WM0yBFVu.net
>>165
辺長がaの正六角形と考えたら
y = √{aa - (x-a)^2} (0≦x≦a/2)
y = √{3aa - (x-2a)^2} (a/2≦x≦2a)
y = √{4aa - (x-3a)^2} (2a≦x≦4a)
y = √{3aa - (x-4a)^2} (4a≦x≦11a/2)
y = √{aa - (x-5a)^2} (11a/2≦x≦6a)
軌跡の長さ：
L = (π/3)Σ(対角線)
= (π/3){a + (√3)a + 2a + (√3)a + a}
= (π/3)(4+2√3)a,
= 7.8163889 a,
6角形の周長 (6a) の 1.30273 倍
面積：
S = (π/6)Σ(対角線)^2
= (π/6)(aa + 3aa + 4aa + 3aa +aa)
= 2πaa,
正六角形の面積 ((3√3)/2・aa) の 2.4184 倍
外接長方形の面積の 0.5236 倍
幅： 6a
高さ： 2a
外接長方形の面積 12aa,
171:１３２人目の素数さん
20/10/26 06:54:35.00 WM0yBFVu.net
半径rの円の場合 (サイクロイド)
x = r(θ - sinθ),
y = r(1 - cosθ),
軌跡の長さ： L = 8r,
円周(2πr) の 1.27324 倍
面積： S = 3πrr,
円の面積 (πrr) の 3.0 倍
外接長方形の面積の 0.75
172: 倍 幅： 2πr 高さ： 2r 外接長方形の面積 4πrr,
173:１３２人目の素数さん
20/10/26 07:30:43.71 WM0yBFVu.net
>>167 訂正ｽﾏｿ
面積：
S = (π/6)Σ(対角線)^2 + (正六角形)
= (π/6)(aa + 3aa + 4aa + 3aa +aa) + (3√3)/2・aa
= {2π + (3√3)/2}aa,
正六角形の面積 ((3√3)/2・aa) の 3.4184 倍
外接長方形の面積 (12aa) の 0.740105 倍
174:１３２人目の素数さん
20/10/26 08:12:13.72 WM0yBFVu.net
正8角形の場合
対角線： a(辺), √(2+√2)・a, (1+√2)a, √(4+2√2)・a,
軌跡の長さ：
L = (π/4)Σ(対角線)
= (π/4) 13.13707 a
= 10.31783 a,
正8角形の周長 (8a) の 1.28973 倍
面積：
S = (π/8)Σ(対角線)^2 + (正8角形)
= (π/8)・27.31371 aa + 2(1+√2)aa
= 15.55450 aa
正8角形の面積 (2(1+√2)aa) の 3.22144 倍
外接長方形の面積の 0.744056 倍
幅： 8a
高さ： √(4+2√2)・a = 2.613126 a
外接長方形の面積 20.90501 aa,
175:１３２人目の素数さん
20/10/26 09:17:16.62 WM0yBFVu.net
正12角形の場合
対角線： a(辺), (√2 +√6)/2･a, (1+√3)a, (3√2 +√6)/2･a, (2+√3)a, (√2 +√6)･a,
軌跡の長さ：
L = (π/6)Σ(対角線)
= (π/6) (2+√3)(4+(1+√3)√2) a
= (π/6) 29.34774 a
= 15.36644 a,
正12角形の周長 (12a) の 1.280537 倍
面積：
S = (π/12)Σ(対角線)^2 + (正12角形)
= π(1+√3)^2 aa + 3(2+√3)aa
= 23.44917 aa + 11.19615 a
= 34.64532 aa
正12角形の面積 (3(2+√3)aa) の 3.09440 倍
外接長方形の面積の 0.74724 倍
幅： 12a
高さ： (√2 +√6)・a = 3.86370 a
外接長方形の面積 46.36444 aa,
176:１３２人目の素数さん
20/10/26 10:36:58.98 WM0yBFVu.net
正n角形の場合
対角線： a･sin(kπ/n)/sin(π/n), (1≦k≦n-1)
軌跡の長さ：
L = (2π/n)Σ(対角線)
= (2π/n) a/(1-cos(π/n)),
正n角形の周長 (na) の 4/π = 1.27324 倍に近づく。
面積：
S = (π/n)Σ(対角線)^2 + (正n角形)
= π/(1-cos(2π/n))･aa + n/(4tan(π/n))･aa
≒ (nn/2π) aa + (nn/4π) aa
= (3nn/4π) aa,
正n角形の面積 n/(4tan(π/n))･aa の 3倍に近づく。
外接長方形の面積の 3/4 倍に近づく。
幅： na
高さ： a/sin(π/n),
外接長方形の面積 n/sin(π/n)･aa ≒ (nn/π) aa,
n→∞ ではサイクロイドに近づく
177:１３２人目の素数さん
20/10/26 15:54:58.50 LJx6Jxx9.net
>>162
六芒星は三角形が2つだから乗り換えせずに
線を滑れば1つの三角形しか描けんだろ
178:１３２人目の素数さん
20/10/26 18:00:45.92 i5jkhGOF.net
好き勝手に解釈できてしまうのは>>154が曖昧すぎるのが原因なので致し方ない
179:１３２人目の素数さん
20/10/26 18:43:44.53 2OnXoVsG.net
数学IIBってどの順番でやっていくのがいいの？
180:イナ
20/10/26 20:52:01.72 COijmoNX.net
前>>121
>>154
動画によると、
軌跡の長さ=2π(√3/3)(60°/360°)×2+2π1(60°/360°)×2+2π(2√3/3)(60°/360°)
=2π√3/9+2π/3+2π√3/9
=(6+4√3)π/9
直線上の通過面積=π(√3/3)^2(60°/360°)×2+(√3/3)(1/2)(1/2)×2+π1^2(60°/360°)×2+(√3/3)1(1/2)×2+π(2√3/3)^2(60°/360°)
=π(1/3)(1/6)2+√3/6+π/3+√3/3+(4π/3)(1/6)
=π/9+√3/6+π/3+√3/3+2π/9
=2π/3+√3/2
181:１３２人目の素数さん
20/10/26 23:23:47.57 6jHZY/IM.net
大人6人、子ども3人の計9人を3人ずつ3つのグループにわける
どのグループも大人2人と子ども1人からなる分け方は何通りあるか
解答を見て納得はしました
最初は
大人6人から2人選ぶ時と、子ども3人から1人選ぶときで 6C2×3C1
そして、残りの大人4人から2人、子ども2人から1人選ぶときで 4C2×2C1
これらを足せば良いと思ったのですがこの解答がおかしい理由を教えてください
そもそもの組み合わせの利用の仕方がおかしいのでしょうか
182:１３２人目の素数さん
20/10/27 07:50:16.52 /9MkT2sb.net
>>172 の補足
Σ (対角線) = (a/sin(π/n)) Σ[k=1,n-1] sin(kπ/n)
= a/(2tan(π/2n)sin(π/n))
* Σ[k=1,n-1] 2sin(π/2n) sin(kπ/n) /(2cos(π/2n))
= a/(2tan(π/2n)sin(π/n))
* Σ[k=1,n-1] {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)} /(2cos(π/2n))
= a/(2tan(π/2n)sin(π/n))
= a/(1-cos(π/n)),
Σ (対角線)^2 = (a/sin(π/n))^2 Σ[k=1,n-1] sin(kπ/n)^2
= aa/(1-cos(2π/n)) Σ[k=0,n-1] (1 - cos(2kπ/n))
= aa/(1-cos(2π/n)) Σ[k=0,n-1] 1 (← 一周する)
= n/(1-cos(2π/n)) aa,
底辺a/2, 頂角π/n の直角⊿の
底辺に直交する辺は a/(2tan(π/n)),
面積は 1/(8tan(π/n)) aa,
それが2n個あるから
正n角形の面積は 4n/tan(π/n)･aa,
183:１３２人目の素数さん
20/10/27 08:11:31.46 5DIspiqp.net
>>177
大人をABCDEF、子どもをxyzとすると
最初にABxを選んで次にCDyを選ぶ場合と、最初にCDyを選んで次にABxを選ぶのは同じ組み合わせなのにダブって数えている
ってか、「これらを“足す”」ってまるっきりおかしいと思うんだけど
184:１３２人目の素数さん
20/10/27 09:07:04.69 r8Jl3Mn7.net
>>177
足すんじゃなくて、掛け合わせる。
まず、１号室、２号室、３号室に収容するグループ分けを
考えればいい。１号室に入る大人２人、子ども１人の選び
方は6C2×3C1通りあり、そのそれぞれの場合について、
２号室に入る大人２人、子供１人の選び方は4C2×2C1通り
あるんだから、場合の数は掛け算でしょ。
で、>>179が言うように、同じ分け方でも部屋が違う組み
合わせがあるが、それは分け方１つにつき、3P3通りある
ので、部屋の番号を区別しないグループ分けの場合の数
は6C2×3C1×4C2×2C1/3P3となる。
185:１３２人目の素数さん
20/10/27 09:12:21.15 GIMwZbYl.net
質問です
実数全体や空集合は閉区間でも開区間でも無いですか
186:１３２人目の素数さん
20/10/27 09:20:16.58 /9MkT2sb.net
n L/na S/正n角形 S/外接長方形
----------------------------------------------------
3 1.396263 5.83680 0.84247
4 1.34076 4.14159 0.732137
6 1.30273 3.41840 0.740105
8 1.28973 3.22144 0.744056
12 1.280537 3.09440 0.74724
16 1.27734 3.052344 0.748424
18 1.276477 3.04120 0.74875
24 1.27506 3.02303 0.74929
∞ 1.27324 3.0 0.75
(4/π)
187:１３２人目の素数さん
20/10/27 10:01:03.81 3TikPvvO.net
>>181
全体集合は開集合
空集合は開集合かつ閉集合
188:１３２人目の素数さん
20/10/27 13:21:21.04 hEdUOxv9.net
実数全体は開区間だろ
閉区間は端点がなきゃ
189:１３２人目の素数さん
20/10/27 13:47:56.03 6JKKAel/.net
f(x)=x^(1/x),g(x)=logf(x)
極限lim(x→+0){f(x)}の値とy=f(x)のグラフの概形を書くにはどうすればよいですか？
190:１３２人目の素数さん
20/10/27 14:15:58.74 CXUrP0DY.net
>>176
イナさんが初めてＡＶ動画見たのは何歳の時ですか？
191:イナ
20/10/27 15:20:46.83 0/ovOpqY.net
前>>276
>>277
大人6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2
大人4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2
子供1人目をどの大人グループに入れるかは3通り
子供2人目をどの大人グループに入れるかは2通り
(6Ｃ2)(4Ｃ2)×3×2=(6×5/2)(4×3/2)×6=15×6×6=540(通り)
重複してなければ。
192:１３２人目の素数さん
20/10/27 16:41:23.40 UgDNxp8k.net
積分についてなんですけど、定積分はまぁ分かるんです、インテグラル記号は言ってしまえばsum、シグマの意味であって指定の範囲分の和を出すと。dxはΔxの極限取ったもんだって
んじゃ不定積分ってこれ実際どういう操作して何を求めてるんでしょう。面積の概念どこに消えたんでしょうか。
よろしくおねがいします。いやー現役の頃はこれ分かってたのかな俺
193:１３２人目の素数さん
20/10/27 16:47:51.06 VWPLd7XQ.net
フーリエ変換について質問です。
複雑な振幅、周波数の波形をフーリエ変換することで基本的な波形に分解できると学びました。
糞バカなんで自分なりに例えて聞きますが
例えば5という波形をフーリエ変換して構成する波形2と3が求め�
194:轤黷ｽとします。 このとき5のフーリエ変換の解はこれ以外にも1と4のようにいくつか存在するのか それともたったひとつの組み合わせしか存在しないのかどっちなんでしょう
195:イナ
20/10/27 16:52:27.35 0/ovOpqY.net
前>>187アンカー訂正。前々>>176
>>177
大人6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2
大人4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2
子供1人目をどの大人グループに入れるかは3通り
子供2人目をどの大人グループに入れるかは2通り
(6Ｃ2)(4Ｃ2)×3×2=(6×5/2)(4×3/2)×6=15×6×6=540(通り)
重複してなければ。
>>186
24歳ぐらいかなぁ。10本1万円だったと思う。代引きで。
1本5分ぐらいのVHSで50歳ぐらいの老獪なおっさんと30歳ぐらいの女の人が全編室内。画像はモノクロに近い荒さで、となり同棲カップルでもう一方は大家さんちのベランダが隣接してたから音がほとんど出せなくて、順に観ていって4本目か5本目ぐらいにベッドシーンがあった気がする。ああもうこのあとはないかぁっていう7本目8本目9本目10本目だよね。これ1本で入るじゃん！ 正味1時間切ってっじゃん！ ていう感じ。そんな感想。
196:１３２人目の素数さん
20/10/27 17:09:59.84 hEdUOxv9.net
>>188
原始関数、操作としては積分定数を付けるだけ
>>189
たったひとつ
197:１３２人目の素数さん
20/10/28 07:31:38.47 QwqX9NFV.net
>>191
フーリエ変換の質問者です。
逆に言うとどんな波形をどのように組み合わせても
偶然同じ波形が出来てしまうことは絶対にあり得ないということ？
198:１３２人目の素数さん
20/10/28 14:31:35.01 NIS56CXm.net
A の波形と B - A の波形を足せば B の波形ができる
199:１３２人目の素数さん
20/10/28 14:43:30.63 pMUVLWJP.net
>>188マジスレすると不定積分とはaからxまでの定積分
200:１３２人目の素数さん
20/10/28 15:58:41.24 HUHbWRce.net
異なる四つの正の整数がある。これらのうちから二つを選んで和と差（大きい方の数から小さい方の数減じて得た数）を算出して、その全てを大きい順に左から並べたところ、次のとおりになった。
109 99 87 64 57 52 45 42 35 22 12 10
この時、四つの整数の和はいくらか。
121
144
151
154
173
201:１３２人目の素数さん
20/10/28 16:38:32.03 QJpWLHx7.net
151
202:１３２人目の素数さん
20/10/28 16:45:49.66 Z3Ky8IUF.net
パズルの問題だな
15＋27＋37＋72＝151
体系的な解き方があるのか気になる
203:１３２人目の素数さん
20/10/28 19:52:30.09 aHV2ojAc.net
F(a)=-C⇔∫[t=a,x]f(t)dt=F(t)[t=a,x]=F(x)-F(a)=F(x)+C=∫f(x)dx⇒定積分の積分始点が不定の場合が不定積分
説明割愛要素を無くしつつ間抜き書きで要約すると此んな感じでせうか？もっと濃ゆ～く出来れば御願い仕度候う｡
間抜き=理解渋滞を招くほど間抜け説明に成る事を厭わず間を抜く事。間を重んじる芸人業界や関西人が特に忌避する行為｡
204:１３２人目の素数さん
20/10/28 20:04:16.24 dJQSH1Po.net
0<a<b<c<d とすると
c + d = 109,
b + d = 99,
a+d または b+c = 87,
2b + 4c + 6d = 109 + 99 + 87 + ･････ + 12 + 10
205:= 634, (*) 4文字で方程式4つ ・b+c=87 のとき (a, 77/2, 97/2, 121/2) ∴ 不適 ・a+d=87 のとき (a, a+12, a+22, 87-a) ただし 0<a≦32, これらのうち、和&差 が一致する組合せを探す。 *) (a+b) + |b-a| = 2b, (a+c) + |c-a| = (b+c) + |c-b| = 2c, (a+d) + |d-a| = (b+d) + |d-b| = (c+d) + |d-c| = 2d,
206:１３２人目の素数さん
20/10/28 20:06:02.15 RX5Gz9Xa.net
質問です
コーシーの平均値の定理の証明はどのサイトを見ても細工した関数にロルの定理を使って示していますが
ノーマルな平均値の定理と媒介変数の微分法で明らかなことではないでしょうか
コーシーの平均値の定理の左辺は分子がf(x)の増分,分母がg(x)の増分
S=f(x),T=g(x)とすると局所的にSはTの関数で左辺はその平均変化率
右辺はある値T=αにおけるdS/dTの値
それは(dS/dx)/(dT/dx)のある値x=cにおける値→まさに定理の左辺
αとcの対応も中間値の定理で問題なし
この考え方のどこに穴がありますか？
207:１３２人目の素数さん
20/10/28 20:08:44.99 yHaiCuTZ.net
<n> で n番目の大きさの数を表すこととする。例えば、<1>=109,<2>=99,<3>=87,..,<12>=10
<1>-<2>=10=<12>
<1>-<3>=22=<10>
<1>-<4>=45=<7>
<1>-<5>=52=<6>
<1>-<6>=57=<5>
<1>-<7>=64=<4>
<1>-<8>=67=<->
<1>-<9>=74=<->
<1>-<10>=87=<3>
<1>-<11>=97=<->
<1>-<12>=99=<2>
４数を大きい順に、a,b,c,d とすると、<1>=a+b、 は確定
a+b から、 a±c,a±d,b±c,b±d を減じると、再び、x±y 型の数が現れる (x,y∈{a,b,c,d})
a+b から、a-b,c+d,c-d を減じると、x±y 型にはならない。（ただし、偶然なることは否定できない）
上の計算から、<8>=45,<9>=42,<11>=12 が a-b,c+d,c-d のいずれかに対応していることが確定
c+dとc-dの偶奇は一致するので、a-b=45、c+d=42、c-d=12が確定。
a+b=109なので、a+b+c+d=109+42=151
208:１３２人目の素数さん
20/10/28 20:11:29.03 QJpWLHx7.net
>>197
４数を大きい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとしたとき
１２個の数の最大のものはＡ＋Ｂだし、総和は６Ａ＋４Ｂ＋２ＣだからＡ＋ＣとＢ－Ｃも確定する
あとは和がＡ＋ＢやＡ＋Ｃの２数の組み合わせ、差がＢ－Ｃの２数の組み合わせを探し出してパズル的に解く
209:１３２人目の素数さん
20/10/28 20:45:00.33 oc0XT5fX.net
行列の転置について質問です！
xは列ベクトルの行列、Tは転置記号として
(
x1T
x2T
x3T
)T
↑x1,x2,x3が要素の列ベクトルの転置
これが
(x1 x2 x3)になるのがわかりません。。。
(
x1
x2
x3
)
にならないんですか！？
210:１３２人目の素数さん
20/10/28 21:10:19.50 9vTmFXWu.net
>>203
マルチポストです。
211:１３２人目の素数さん
20/10/28 21:24:12.17 oc0XT5fX.net
>>204
申し訳ございませんでした
212:１３２人目の素数さん
20/10/28 21:39:33.07 3BqdbK1h.net
>>197
機械的にするなら
リストの最大の数m、和f、2乗和g、3乗和hという4つ情報から4つの未知数(a>b>c>d)を決定できる
具体的には方程式
48X^3-24(f-2m)X^2+(6(f-3m)^2+18m^2-2g)X-f^3+12f^2m+fg-2mg-54fm^2+84m^3-h=0
の解からaを、順次b=m-a、c=f/2-2m-a、d=√(g/6-a^2-b^2-c^2)を決める
最初が3次式なので(a,b,c,d)は3通りあり、この中から正整数で大小が正しいものを選ぶ
213:１３２人目の素数さん
20/10/28 22:29:11.47 3BqdbK1h.net
>>206
訂正
方程式最終項の-hは正しくは-2h
214:１３２人目の素数さん
20/10/28 22:32:56.50 3BqdbK1h.net
しかし、このリストの作り方は隠れた対称性がありそうで気になる
例えば{1,2,3,4}と{0,1,2,5}だと同じリストを与える
215:１３２人目の素数さん
20/10/28 23:23:11.26 yHaiCuTZ.net
>>208
確かに同じリストができるようです。
201式で、復元できるか確かめてみました。
与えられるリストは、
7,6,5,5,4,3,3,2,2,1,1,1
最大数から、残りを引くと、
_,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6,6
_ + + + + + - + + + - -
対応が無い(元)メンバーの数は、3,1,1
a+b=7、で、a-b,c-d,c+d のいずれかが、 1,1,3 に対応すると考えると、
確かに、{1,2,3,4}と{0,1,2,5}が復元できる
216:１３２人目の素数さん
20/10/28 23:41:20.58 3BqdbK1h.net
3次方程式の解から作る3パターンは
a,b,c,d
(a+b+c-d)/2, (a+b-c+d)/2, (a-b+c+d)/2, (-a+b+c+d)/2
(a+b+c+d)/2, (a+b-c-d)/2, (a-b+c-d)/2, (a-b-c+d)/2
になるようだね
これらのリストは一致する
217:１３２人目の素数さん
20/10/29 00:00:39.27 kB7lNWqX.net
例えば
(10 4 3 1)、(9 5 4 2)、(8 6 5 1)
は同じリストを与える
やはり総和a+b+c+dが対称性の鍵になってるから、もしかすると上手い計算で総和だけはすぐ求められるのかも
218:１３２人目の素数さん
20/10/29 00:11:38.85 dcmo6QTY.net
>>200
「微分可能なら導関数が連続」を証明する必要がある
219:１３２人目の素数さん
20/10/29 01:29:53.52 o+Di++S9.net
>>211
与えられるリストは
14,13,11,9,7,7,6,5, 4, 3, 2, 1 ・・・（１）
14との差をリストにすると
__, 1, 3,5,7,7,8,9,10,11,12,13 ・・・（２）
(2)にはあるが、(1)にないものは、
8,10,12 で、それに対応する(1)の値は、6,4,2
この3数が、a-b,b+c,b-c のどれかに対応
a-bが6の時は、b+cは4
a-bが4、あるいは、2の時は、いずれの場合でも b+cは6
従って、a+b+c+dは、14+4=18 または、14+6=20
220:１３２人目の素数さん
20/10/29 02:11:54.40 kB7lNWqX.net
>>210-211
s=a+b+c+d
σ:(a,b,c,d)→(s/2-d, s/2-c, s/2-b, s/2-a)
τ:(a,b,c,d)→ (s/2, s/2-(c+d), s/2-(b+d), s/2-(b+c))
とおくと、関係式
σ^2=id、τ^2=id、στσ=τστ
より、これらは3次対称群の4次元表現Φとなる
指標を計算すると、既約分解が
Φ=(自明表現)+(自明表現)+(標準表現)
であることも分かる
例えば(a,b,c,d)=(3,2,1,0),(1,1,0,0)が各自明表現の基底である
221:１３２人目の素数さん
20/10/29 09:44:38.53 HeoTRr8A.net
2点A(0 ,1),B(0,-1)をとる。
点Pは∠APB=π/6を満たしながら動く。点Pの軌跡を求めよ。
点Pは∠AQB=5π/6を満たしながら動く。点Qの軌跡を求めよ。
ベクトルで計算していったのですが
｛x^(y^2-1)｝^2=3/4｛x^4+2(y^2+1)+(y-1)2^｝
となって円の方程式になりません、おねがいします
222:１３２人目の素数さん
20/10/29 09:57:39.80 JZmjW2qA.net
>>199
(x+y) + |x-y| = 2x, (x>y)
(x+y)^2 + |x-y|^2 = 2(xx+yy),
a>b>c>d>0 とすると
m = a+b = 109,
n = a+c = 99,
f = 6a+4b+2c = 634, (f=4m+2n だが)
g = 6(aa+bb+cc+dd) = 6･7507,
よって
(a,b,c,d) = (a, m-a, n-a, √{(g/6) -a^2 -(m-a)^2 -(n-a)^2})
整数条件から
(a,b,c,d) = (72,37,27,15) >>197
に絞る。
あるいは
(x+y)^3 + |x-y|^3 = 2x^3 + 6xyy, (x>y)
h = (6a^3+4b^3+2c^3) + 6{abb+(a+b)cc+(a+b+c)dd}
= (6a^3+4b^3+2c^3) + 6{abb+mcc+(m+n-a)dd} = 3733240,
を使って3つに絞る。
(a,b,c,d) = (72, 37, 27, 15)
(121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
(151/2, 67/2, 47/2, 23/2)
223:１３２人目の素数さん
20/10/29 10:20:08.56 YGCYELpd.net
×公式はミニプログラム ○公式はアルゴリズム
本当に内視鏡技師か怪しいなプログラム爺は
224:１３２人目の素数さん
20/10/29 13:12:57.30 z2jmRItd.net
大人ABCDEF 子供xyz
x x y y z z x x y y z z
[1,] A B C D E F [46,] B E C D A F
[2,] A B C E D F [47,] B E C F A D
[3,] A B C F D E [48,] B E D F A C
[4,] A B D E C F [49,] B F A C D E
[5,] A B D F C E [50,] B F A D C E
[6,] A B E F C D [51,] B F A E C D
[7,] A C B D E F [52,] B F C D A E
[8,] A C B E D F [53,] B F C E A D
[9,] A C B F D E [54,] B F D E A C
[10,] A C D E B F [55,] C D A B E F
[11,] A C D F B E [56,] C D A E B F
[12,] A C E F B D [57,] C D A F B E
[13,] A D B C E F [58,] C D B E A F
[14,] A D B E C F [59,] C D B F A E
[15,] A D B F C E [60,] C D E F A B
[16,] A D C E B F [61,] C E A B D F
[17,] A D C F B E [62,] C E A D B F
[18,] A D E F B C [63,] C E A F B D
[19,] A E B C D F [64,] C E B D A F
[20,] A E B D C F [65,] C E B F A D
[21,] A E B F C D [66,] C E D F A B
[22,] A E C D B F [67,] C F A B D E
[23,] A E C F B D [68,] C F A D B E
[24,] A E D F B C [69,] C F A E B D
[25,] A F B C D E [70,] C F B D A E
[26,] A F B D C E [71,] C F B E A D
[27,] A F B E C D [72,] C F D E A B
[28,] A F C D B E [73,] D E A B C F
[29,] A F C E B D [74,] D E A C B F
[30,] A F D E B C [75,] D E A F B C
[31,] B C A D E F [76,] D E B C A F
[32,] B C A E D F [77,] D E B F A C
[33,] B C A F D E [78,] D E C F A B
[34,] B C D E A F [79,] D F A B C E
[35,] B C D F A E [80,] D F A C B E
[36,] B C E F A D [81,] D F A E B C
[37,] B D A C E F [82,] D F B C A E
[38,] B D A E C F [83,] D F B E A C
[39,] B D A F C E [84,] D F C E A B
[40,] B D C E A F [85,] E F A B C D
[41,] B D C F A E [86,] E F A C B D
[42,] B D E F A C [87,] E F A D B C
[43,] B E A C D F [88,] E F B C A D
[44,] B E A D C F [89,] E F B D A C
[45,] B E A F C D [90,] E F C D A B
225:１３２人目の素数さん
20/10/29 13:14:37.40 z2jmRItd.net
>>217
内視鏡は国家資格がないと施行できんよ。
内視鏡技師なんてのは民間資格。
226:１３２人目の素数さん
20/10/29 13:25:17.68 JZmjW2qA.net
>>215
Pがある円周上にあるとすると、
中心角は ∠AOB = 2∠APB = 60°
中心は O (±√3, 0)
Pの軌跡 (|x|-√3)^2 + y^2 = 4,
Qの軌跡 (|x|+√3)^2 + y^2 = 4,
227:１３２人目の素数さん
20/10/29 15:48:47.51 z2jmRItd.net
>>190
グループ分けして松竹梅の部屋に各グループを入れるというのでなければ>218に示した90通りだと思う。
228:１３２人目の素数さん
20/10/29 17:00:02.02 JZmjW2qA.net
>>216
0 = 2(6a^3 + 4b^3 + 2c^3) + 12{abb+(a+b)cc+(a+b+c)dd} - 2h
= 12a^3 + 8b^3 + 4c^3 + 12abb + 12mcc + 2(m+n-a)(g-aa-bb-cc) - 2h
= 12X^3 +8(m-X)^3 +4(n-X)^3 +12X(m-X)^2 +12m(n-X)^2 +2(m+n-X){(g-6mm-6nn)+12(m+n)X-18X^2} - 2h
= 48X^3 - 48(m+n)X^2 + {24(mm+mn+nn) -2g}X - 4(m^3 +3mmn +2n^3) + 2(m+n)g - 2h,
= 48(X')^3 + {8(mm-mn+nn)-2g}(X') + (4/9)(m-2n)^3 -4mmn + (4/3)(m+n)g - 2h,
ここに
X' = X - (m+n)/3, f = 4m+2n,
とおいた。
3つの実根をもつ場合は cos の3倍角公式で解ける。
229:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:08:37.66 HeoTRr8A.net
>>220
Pがある円周上というのは円周角の定理の逆ということですか?
230:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:15:41.95 HeoTRr8A.net
>>220
なぜ2倍になるのでしょうか?
231:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:26:58.22 kB7lNWqX.net
>>214
前々から謎だった順序a>b>c>d>0の構造がだんだん分かってきた
これに対称性のある構造を乗せるにはあえてdだけはc+d>0を満たす範囲で負も許す方がいいのかもしれない
互換ε=στσ=τστは正規でない部分群を生成するから、これを潰して見たままではただの集合になってしまう
不定な3つの大小(3番目は通常見えていない)
(a+d,b+c)、(a-d,b+c)、(a+d,a-d)
に三次対称群の元τ,σ,εが互換として作用する
これらはΦのうち自明表現1つと標準表現1つを使って作る置換表現の直交基底に対応している
リストの12要素のうち
自明表現の基底に対応する(a+b),(a+c),(b-c)を不変にし
残り9要素が3要素の3つ組を同時に置換する
(a+d),(b+c),(a-d)
(b-d),(a-c),(b+d)
(c-d),(a-b),(c+d), (b-c)
ただし大小関係としてb-cは三段目のどこかに位置し
縦方向には順序を固定された12本の"直線"を持つ
(a+d)>(a-c)>(a-b)
(a+d)>(a-c)>(b-c)
(a+d)>(b+d)>(c+d)
(a+d)>(b+d)>(b-c)
(b+c)>(b+d)>(c+d)
(b+c)>(b+d)>(b-c)
(b+c)>(b-d)>(c-d)
(b+c)>(b-d)>(b-c)
(a-d)>(b-d)>(c-d)
(a-d)>(b-d)>(b-c)
(a-d)>(a-c)>(a-b)
(a-d)>(a-c)>(b-c)
232:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:34:48.02 441wzOkm.net
>>190
イナさんが初めて買ったパソコンのCPUは何ですか？俺はＰ3の700Ｍｈｚ
233:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:36:31.54 JZmjW2qA.net
>>216
m = a+b = 109,
n = a+c = 99,
o + p = (a+d) + (b+c) = 87 + 64 = 151, ← これを使う。
f = 6a+4b+2c = 634, (f=4m+2n, 不要?)
から
b = m-a,
c = n-a,
d = o+p-m-n+a,
これらを入れて
0 = (aa+bb+cc+dd) - g/6
= aa + (m-a)^2 + (n-a)^2 + (o+p-m-n+a)^2 - g/6
= 4XX -4{m+n-(o+p)/2}X + mm+nn+(o+p-m-n)^2 - g/6
= {2X - (m+n) + (o+p)/2}^2 + (2/3)(mm-mn+nn) + (1/3)(m+n -3(o+p)/2)^2 - g/6,
2次方程式を解いて
X = [m+n -(o+p)/2 + √{g/6 - (2/3)(mm-mn+nn) - (1/3)(m+n-3(o+p)/2)^2} ] /2
= 72,
(∵ m=109, n=99, o=87, p=64, g/6 =7507)
234:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:45:41.34 kB7lNWqX.net
>>227
リストの3番目と4番目が(a+d),(b+c)というのは一般には判定できないけどね
(a+d),(a-d)の可能性がある
235:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:47:37.47 kB7lNWqX.net
元々の問題>>195としてはリストの3番目と4番目の和が奇数のときはそれがa+b+c+d、というのが最良の解答か
236:１３２人目の素数さん
20/10/29 19:55:28.26 JZmjW2qA.net
うむ。
>>197 の期待に少しは応えられたかな？
237:１３２人目の素数さん
20/10/29 20:12:36.75 JZmjW2qA.net
>>228 の場合は
a = (o+p)/2,
b = m-a,
c = n-a,
d = (o-p)/2,
かな
238:イナ
20/10/30 03:26:28.02 zTLc67RJ.net
前>>190
>>226
王冠でC3POとR2B2を見たことある。
買ったことはない。そもそもあの手のジュースを飲んだことがない。コーラだったかな？
ただ街のゴミ箱やら焼却炉やらグランドやらに落ちてるのを拾いあつめた。
239:イナ
20/10/30 03:29:23.34 zTLc67RJ.net
前>>232
P700iやったかな？
けっこう長く使ってたよ。
二つ折りのな。
240:１３２人目の素数さん
20/10/30 11:48:06.16 NYoUhiCM.net
>>227 の場合は
・m = a+b, n = a+c, o = a+d, p = b+c,
(a,b,c,d) = ((m+n-p)/2, m-a, n-a, o-a) = (72, 37, 27, 15)
・m = a+b, n = a+c, o = b+c, p = a+d,
(a,b,c,d) = ((m+n-o)/2, m-a, n-a, p-a) = (121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
のいずれか。
o+p = a+b+c+d,
m+n-o-p = a-d,
{2mn+op-(m+n)(m+n-o-p)}/2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd,
g/6 = aa+bb+cc+dd,
a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2,
を根とする2次式は
(2X-m-n+p)(2X-m-n+o)
= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + (m+n)(m+n-o-p) + op
= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + mm+nn + (m+n-o-p)^2 -g/6,
241:１３２人目の素数さん
20/10/30 12:47:50.23 NYoUhiCM.net
しかし >>228 が指摘したように
・m = a+b, n = a+c, o = a+d, p = a-d,
(a,b,c,d) = ((o+p)/2, m-a, n-a, (o-p)/2) = (151/2, 67/2, 47/2, 23/2) <
242:br> もある。 これも含めれば o+p = a+b+c+d or 2a, m+n-o-p = a-d or b+c, g/6 = aa+bb+cc+dd, a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2, (o+p)/2, を根とする3次式 >>222 となる。
243:１３２人目の素数さん
20/10/30 19:02:16.47 qC05kNtC.net
10y^2－24xy－5＝0
x^2＋y^2＝1
もともとは三角比の問題で、sinθcosθをそれぞれxyに書き替えて解こうとしたら
絶望的な流れになって、何度ごちゃごちゃやってみても解けません。
この連立方程式は簡単そうに見えて実は解けない、あるいは難しいのでしょうか？
アドバイスいただけると助かります。
244:１３２人目の素数さん
20/10/30 19:46:23.80 U2stiFDk.net
x だけ y だけにすれば 4次方程式になるだけだろ
何の問題があるのだ？
245:１３２人目の素数さん
20/10/30 19:50:18.27 U2stiFDk.net
答えだけなら簡単
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
246:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:21:56.60 Yhtffd3b.net
① 10yy-24xy-5=0
② xx+yy=1
①+8×②より 18yy-24xy+8xx=13
③ y=(2/3)x+√(13/18) または
④ y=(2/3)x-√(13/18)
③を②に代入して (13/9)xx+(4/3)√(13/18)x-5/18=0
x = 1/√26, -5/√26 これを③に代入してyを求める
(x,y) = (1/√26, 5/√26),(-5/√26, 1/√26)
同様にして ④ より
(x,y) = (5/√26, -1/√26),(-1/√26, -5/√26)
247:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:44:01.35 rIN0soo1.net
>>239
へー、よく完全平方を思いついたねぇ。
248:イナ
20/10/30 21:03:07.45 zTLc67RJ.net
前>>233
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=1
x=1/√26,y=5/√26
グラフを描くと交点が(1/√26,5/√26)のほかに3点ありそう。
249:イナ
20/10/30 21:19:56.37 zTLc67RJ.net
前>>241訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=1
x=±1/√26,y=±5/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)
250:１３２人目の素数さん
20/10/30 21:30:35.94 nmXOfPnp.net
＞13(2x^2-1)=12
＞26x^2=1
これはあかん
251:１３２人目の素数さん
20/10/30 21:58:44.65 nmXOfPnp.net
>>236
＞10y^2－24xy－5＝0
＞x^2＋y^2＝1
10y^2－24xy－5(x^2＋y^2)＝0
5y^2－24xy－5x^2＝0
(5y＋x)(y－5x)＝0
－5y＝x または y＝5x
－5y＝xとx^2＋y^2＝1より26y^2＝1
よって(x,y)＝(－5/√26, 1/√26), (5/√26, －1/√26)
y＝5xとx^2＋y^2＝1より26x^2＝1
よって(x,y)＝(－1/√26, －5/√26), (1/√26, 5/√26)
252:１３２人目の素数さん
20/10/30 23:00:14.31 4mx++Qq5.net
>>236
定数消去して因数分解でもいける
253:イナ
20/10/30 23:06:46.07 zTLc67RJ.net
前>>242
>>243なにがあかんじゃ。
グラフ描いてこれがベストやないか。
254:236
20/10/30 23:30:25.01 qC05kNtC.net
>239
③④の答えが出るのか理解するだけで苦労しました。
平方完成(こういう綺麗な形の時は240さんおっしゃるとおり完全平方？)を
思いつくのがスゴいと思います。
>242
丁寧な回答ありがとうございます。
238にあるリンク先で、グラフの外形を見て驚きました。
まさかここまで複雑な難問とは思いもしませんでした。
円じゃない方のグラフの形を見ると高校数学外な気もしますが…
どちらにしても、示してくださった回答が非常に複雑で、今まだ解読中です。
でもまずは先にお礼を申し上げます。
>244
いちばん納得できる、わかりやすい回答でした。
でも、この形はとてもじゃないけど私じゃひらめきません。
答が先に示されたとしたらなんとか…みたいなレベルです。
xがsinθ yがcosθで、①の式が
10cos^2θ-24sinθcosθ-5=0
のときの tanθを求める問題で、両辺にcos^2θをかけるとうまくいくのが「模範解答」
なんですが、思いつかずなんとなならないか試行錯誤して今回の質問に至りました。
ところがどうやら模範解答の方が救いのある発想なようで…(^^;
練習を重ねていくうちにcos^2θをかけるなんていうひらめきができるようになるのか、とても不安です。
皆さんのおかげで、あるいみスパッと気持ちを切り替えることができました！
なんでも代入して(簡単に)解けると思ったら大間違いだったんですね。
肝に銘じておきます。
255:236
20/10/30 23:34:25.64 qC05kNtC.net
間違えました。
「cos^2θをかける」んじゃなくて「cos^2θで割る」が正しいです。
tanってあまりつかうことないので、なかなか思いつきません…。
2年3年と進むにつれて使うことが多くなるのなら頑張れるのですが
今のところその気配はないようで…。
256:イナ
20/10/31 00:42:07.84 /HtleTZK.net
前>>246計算間違いか。訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=12+13=25
x=±5/√26,y=干1/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)
257:１３２人目の素数さん
20/10/31 01:30:01.39 GUC2y5s4.net
>>249
ようやく読み解けました。
倍角の公式なんですね。
こんなところでうまく使える自信はまったくありませんが、
自分の知識だけでなんとか解けることを知れたことがうれしいです。
特に「169cos^2(2θ)=144」のところは気持ちいいです。
計算が合ってる自信というか、正解にたどり着けそうな雰囲気というか。
こんな工夫を知ったことは、この先何かの糧になるかもしれません。
できる限り頭の隅にとどめておきます。
本当にありがとうございました！
258:１３２人目の素数さん
20/10/31 01:38:29.60 i9jEU/Qp.net
２次同次式は倍角と半角で次数下げがセオリー
259:１３２人目の素数さん
20/10/31 06:37:49.44 IflJOm3v.net
>>251
後だしだっせぇ～
260:１３２人目の素数さん
20/10/31 06:49:18.12 IflJOm3v.net
ちなみに無知な馬鹿どものために教えてやる。これは自治医科大の過去問。
261:１３２人目の素数さん
20/10/31 07:45:08.38 vjQd1vI0.net
なんで顔真っ赤にしてんのw？
262:１３２人目の素数さん
20/10/31 07:51:04.00 IflJOm3v.net
>>254
顔真っ赤にするのが大好きだからだよ
263:１３２人目の素数さん
20/10/31 07:52:41.51 IflJOm3v.net
ほかに顔真っ赤にする理由があるのかよクソが。
264:１３２人目の素数さん
20/10/31 13:09:12.14 4ft4y0rs.net
なんで怒ってんの？
265:１３２人目の素数さん
20/10/31 17:07:23.68 i9jEU/Qp.net
>>252
俺は違う解法書いてる
266:１３２人目の素数さん
20/10/31 17:44:27.53 2ihjertC.net
>>258
頓馬は黙ってろ
267:１３２人目の素数さん
20/10/31 21:41:19.24 3AyWXIVe.net
関数f(x)が、f(0)=0, f'(x)>0, f''(x)<0 を満たすとき
任意の正の定数cに対して、f(x+c)/f(x) はx→∞で1に収束すると言えるますか。
268:１３２人目の素数さん
20/11/01 01:22:13.57 S0PL8w05.net
f(x) = 2x + 1 - exp(x)
269:１３２人目の素数さん
20/11/01 04:54:10.84 zGFQw1Vr.net
>>225
3次元的に見れば良かった
和の大小関係
(a+b)
v
(a+c)>(b+c)
v v
(a+d)>(b+d)>(c+d)
差の大小関係
(a-d)>(b-d)>(c-d)
v v
(a-c)>(b-c)
v
(a-b)
に対してc+d>0という条件を課すと
両図式の正方形の頂点が新たに結ばれ立方体になる
立方体には(a+b)>という角が1本と
>(c+d),>(c-d),>(a-b)という足が3本でており
角をトップとする立方体の対角線を軸にS3対称性が作用する
270:１３２人目の素数さん
20/11/01 08:54:02.57 wjET/d39.net
>>212㌧
導関数の連続性はどこで使いますか？
中間値の定理はg(x)の連続性だけだと思うのですが
271:１３２人目の素数さん
20/11/01 10:25:37.08 vPayCbtl.net
>>212
[附記] 導函数の連続性について
区間[a,b]においてf(x)が微分可能ならば、f(x)は連続であるが、
導函数f '(x)は必ずしも連続でない。
すなわち 微分法は連続性を保存しない。
[例] f(x) = x^2･sin(1/x), (x≠0)
f(0) = 0,
導函数は必ずしも連続でないから、x→a のとき f '(x) → f '(a) とはいかない。
lim[x→a] f '(x) は存在すらも保証されない。
高木貞治『解析概論』改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第2章, §18, p.50 附記
URLﾘﾝｸ(www1.gifu-u.ac.jp)
272:１３２人目の素数さん
20/11/01 10:42:19.75 0A33OiP2.net
>>261
f'(x)=2-exp(x)がどうしたの？
273:１３２人目の素数さん
20/11/01 11:29:10.01 vPayCbtl.net
>>200
(a,b) で g(x)≠0 (単調) なら、SはTの1価関数だから
ノーマルの方でいけるね。
だが一般には、f '(x) = g '(x) = 0 でなければいいので、
SはTの多価関数かもしれない。
g'(x) = 0 なる点でいくつかの区間に分けるのも面倒だ。
この定理に興味ある幾何学的の説明を与えることができる。
曲線 x=g(t), y=f(t), a≦t≦b
を考察する。 t=a, t=b に対応する点を A, B とすれば
左辺は 弦ABの勾配で、右辺は点t=ξに対応する点P
における接線の勾配である。すなわち 曲線AB上の中間の或
る点Pにおける接線が、弦ABに平行になるのである。
高木貞治『解析概論』改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第2章, §18, 定理21のあと, p.49
274:１３２人目の素数さん
20/11/01 12:26:24.91 OnAzt99c.net
>>260
言えそうだよね。
上に凸なグラフで単調増加だから、f(x)<f(x+c)<f'(x)c+f(x)
f(x)>0で除して、1<f(x+c)/f(x)<cf'(x)/f(x) +1
x→∞でf(x)が有限な値に収束する場合はf'(x)→0
x→∞でf(x)→∞の場合でも、f''(x)<0 よりf'(x)は単調減少
なので、0<f'(x)<f'(0)となり 0 < f'(x)/f(x) <f'(0)/f(x)
でf'(x)/f(x) →0
ってことで、x→∞でcf'(x)/f(x) +1 →1となるので、
f(x+c)/f(x)→1
275:１３２人目の素数さん
20/11/01 12:33:03.98 vPayCbtl.net
>>260
f '(x) は単調減少で正だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = m ≧ 0.
f(x) ≧ f(0) + ∫[0,x] m dt = mx (x>0)
任意の ε>0 に対して、十分大きいxをとれば
mx ≦ f(x) < (m+ε)x,
m=0 のときは成立
m≠0 のときは
1 < f(x+c)/f(x) < (m+ε)(x+c)/(mx),
1 ≦ lim[x→∞] f(x+c)/f(x) ≦ (m+ε)/m,
ε>0 は任意だったから
lim[x→∞] f(x+c)/f(x) = 1,
276:１３２人目の素数さん
20/11/01 13:37:34.71 S0PL8w05.net
おっと f'(x) > 0 だったか f'(0) > 0 に空目した！
ならば >>260 の答は YES だ
証明は 2つに場合に分ける
lim f(x) < ∞ の場合：lim f(x) = M > 0 が存在するから
lim f(x+c)/f(x) = (lim f(x+c))/(lim f(x)) = M/M
277: = 1 lim f(x) = ∞ の場合：lim f'(x) = M ≧ 0 が存在して f(x+c) = f(x) + c f'(ξ), x ≦ ξ ≦ x+c だから lim f(x+c)/f(x) = lim(1 + c f'(ξ)/f(x)) = 1 + c M/(lim f(x)) = 1
278:１３２人目の素数さん
20/11/01 16:37:54.51 QDSLSe3f.net
正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=１,PB=２,PC=３のとき正方形の面積を求めよ。
279:１３２人目の素数さん
20/11/01 17:44:00.45 vPayCbtl.net
AB = CD = l,
BC = DA = m,
P(x,y)
とおく。
3 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - xx より
x = (l-3/l)/2,
5 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - yy より
y = (m-5/m)/2,
これを
xx + yy = 1,
に入れて l=m とすれば
l^4 - 10l^2 + 17 = 0,
l^2 = 5 + 2√2,
S = l･m = l^2 = 5 + 2√2 = 7.8284271
280:１３２人目の素数さん
20/11/01 17:44:42.99 OnAzt99c.net
>>270
135/34 ?
281:１３２人目の素数さん
20/11/01 17:45:40.50 OnAzt99c.net
まちがえた、225/34?
282:１３２人目の素数さん
20/11/01 17:50:59.35 OnAzt99c.net
すまん、なんか全然間違えてたｗ
283:１３２人目の素数さん
20/11/01 18:32:00.61 OnAzt99c.net
>>271
相変わらずお見事。書き込み直前に確認すれば
恥をかかずにすんだのに、、、残念ｗ
l^2=5-2√2はどうやって排除するの？自明な気もするが。
284:260
20/11/01 18:42:21.37 81uyEtG7.net
うわあ証明がいっぱいだ！
ありがとうございます！ >>267-269
285:１３２人目の素数さん
20/11/01 19:21:59.53 vPayCbtl.net
l^2 = 5-2√2 の場合は
l√2 = 2.08402
PC = 3 だから PはABCDの内部の点でない。
∴ 題意に不適。
286:１３２人目の素数さん
20/11/01 19:32:56.30 vPayCbtl.net
それより
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{7+(3-√3)φ} = 3.0085852 のとき
(1) ∠PAB を求めよ。
(2) 面積は 5π/2 より大きいか小さいか。
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
287:１３２人目の素数さん
20/11/01 22:06:50.44 QDSLSe3f.net
>>278
プログラムで計算させた
（座標を書いてベクトルの内積からacosでだすと）
∠PAB は
rad deg
0.7930288 45.4372053
lm = function(a,b,c) {
b1=sqrt(2)*b
(1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
}
面積は
> lm(PA,PB,PC)
[1] 7.854102
> 5*pi/2
[1] 7.853982
よりわずかに大きい。
288:１３２人目の素数さん
20/11/02 00:17:57.24 nV+GRV6y.net
(2) は正解です！
(1) PC の式が複雑すぎたかな。
※ 元の問題では PC=3 で、その場合は >>270
x = (1+√2)/l, y = (√2)/l, l = √(5+2√2) = 2.79793265
tan(∠PAB) = y/x = 2 - √2,
∠PAB = 30.3611934°
これと大差ないと思ったが…
289:１３２人目の素数さん
20/11/02 00:42:00.95 +8d7S6a5.net
>>277
なるほど、2l^2 =10-4√2 < PC^2=9 だから除外できるのか。
頭いいな。
290:１３２人目の素数さん
20/11/02 14:07:18.15 jc+J+kmQ.net
Ｘ²－Ｙ²＝60を満たす自然数をもとめよ！
この問題の解説お願いします！
291:１３２人目の素数さん
20/11/02 14:15:20.46 PRz9hXtP.net
>>282
因数分解してかけて60になる組み合わせを調べるだけ
292:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:54:01.51 nV+GRV6y.net
XX-YY = (X+Y)(X-Y),
X+Y と X-Y は共に偶数 or 共に奇数。
本問では両方とも偶数。
(X+Y)/2 = s, (X-Y)/2 = t (s>t>0)とおくと
st = (X+Y)(X-Y)/4 = (XX-YY)/4 = 15,
(s,t) = (15,1) or (5,3)
(X,Y) = (s+t, s-t) = (16,14) or (8,2)
293:１３２人目の素数さん
20/11/02 19:49:43.47 nV+GRV6y.net
>>278
m = 1/2 + √{13/4 + (3-√3)φ}
= φ√3
= 2.80251708
らしい…
294:１３２人目の素数さん
20/11/02 20:55:02.86 FAp7bgxt.net
>>282
x^2 - y^2 = 60
xとyは偶奇が等しく,x＞y だから
x = y + 2z (z:自然数)とおけるので
(y+2z)^2 - y^2 = 60
よって z(y + z) = 15
zはy+zより小さいので,zは√15未満の15の正の約数である
よって,z=1,3 の場合だけを調べればよい
z=1 のとき y=14 だから (x,y)=(16,14)
z=3 のとき y=2 だから (x,y)=(10,2)
295:１３２人目の素数さん
20/11/02 20:56:53.43 FAp7bgxt.net
最下段は計算ミス
z=3 のとき y=2 まではOKで (x,y)=(8,2) が正しい
296:１３２人目の素数さん
20/11/02 23:08:36.59 +8d7S6a5.net
>>284
いつもながら華麗な解答だねぇ。文句なし。
297:１３２人目の素数さん
20/11/03 15:08:21.28 WgTW/jgC.net
単調増加で下に凸な関数はｘが無限に行くと無限大に発散しますか？
298:１３２人目の素数さん
20/11/03 15:26:59.84 WzeT9Eh0.net
1/xとかどうですか？
299:１３２人目の素数さん
20/11/03 15:34:51.95 3zkQMGoc.net
>>289
発散する。任意の点における接線で下から評価すればよい。
>>290
1/xは十分大きいxに対して上に凸である。
300:１３２人目の素数さん
20/11/03 16:40:24.33 XCxGvOul.net
>>289
g(x) = {f(x) - f(0)}/x, (x>0)
とおく。
・f(x)は単調増加だから
g(x) ≧0, (x>0)
・f(x) は下に凸な関数。
0<a<b とすると、
(a,f(a)) は線分 (0,f(0))－(b,f(b)) より下にある。
∴ g(b) - g(a) = {(a/b)f(b) + (1-a/b)･f(0) - f(a)}/a ≧ 0,
∴ g(x) も x>0 で単調増加。
g(x) > g(b) > 0 (x>b)
f(x) = f(0) + g(x) x > f(0) + g(b) x → ∞ (x→∞)
1/x は x>0 で単調減少。
f(x) が微分可能の場合は接線が曳けますが、下に尖 の場合も…
xがどんなに大きくても 1/x は下に凸。
301:１３２人目の素数さん
20/11/03 16:42:36.25 DD5vwt+r.net
先日の大阪都構想開票報道で100万人の結果が3000人のサンプルでピッタリ合ってたので驚きました
１0万人の結果を300人のサンプルでは当てられないですよね
母数１億人だったら何人ぐらい調べたらいいですか
302:１３２人目の素数さん
20/11/03 16:52:16.95 XCxGvOul.net
>>285
PA=1, PB=2, AB=l=φ√3,
∠PAB = ?
う～む
303:１３２人目の素数さん
20/11/03 17:10:10.48 sEtrplSe.net
質問です。 反復試行の確率でなざCがでてくるのでしょうか。 当たる順番が大切だからと言われてもピンときません。
304:１３２人目の素数さん
20/11/03 17:18:57.58 6zTKqNDW.net
馬鹿かよ
305:１３２人目の素数さん
20/11/03 17:31:55.64 QLs0C1iT.net
バカじゃないならこんなとこで聞くわけないわな
306:１３２人目の素数さん
20/11/03 20:14:07.70 Zi8GxxPv.net
i=√-1で、-i=-√-1という理解でよいのですか？
307:１３２人目の素数さん
20/11/03 20:48:27.47 XCxGvOul.net
>>297
対偶は
こんなとこで訊く なら バカだわな
308:１３２人目の素数さん
20/11/03 21:44:25.76 FFMlQKpH.net
>>298
√-1 をどう考えてるかによる
本来は意味のない表現だからな
309:１３２人目の素数さん
20/11/03 23:30:43.07 XCxGvOul.net
>>294
第二余弦定理で
310:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:47:57.46 c/0O/dNO.net
A～Eの5人
月曜日、火曜日、水曜日の3日間について、1日2人ずつの宿直を決める。
1回も宿直に当たらない人はいてもよいが、1人で3日すべて宿直に当たるのはナシとするとき、
3日間の宿直の割り振り方は何通りありますか？
311:１３２人目の素数さん
20/11/04 2
312:0:35:21.57 ID:SDW+Wes8.net
313:１３２人目の素数さん
20/11/04 20:49:09.79 zpA7lgDs.net
京大実践模試 理系数学 2017 第1回 第3問について質問です。
[問題]
さいころを投げて、他のさいころと同じ目が出ているさいころをすべて取り除く。
例えば、7回投げて
1,2,3,4,4,5,5または1,2,3,4,4,4,4
と出たときは1,2,3が出た3個だけを残すことになる。
n個(n>=7)のさいころを投げたとき、さいころがちょうど5個だけ残る確率をp,およびちょうど4個だけ残る確率qを求めよ。
[質問]
pは求まりましたが、qが分かりません。
インターネット上で最終的な値だけは見つかったのですが、自分の答えと一致しません。
qに関して、過程も含めて解答お願いします。
一応下にネットで見つけた値(恐らく正しい値だとは思います)。
[答え]
p=(1/6)^(n-1)×n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
q={(1/6)^(n-1)×5n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^(n-5)-n+4}
314:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:16:02.09 0ym78Hqr.net
q = [Binomial(n, 4)×4!×{2^(n-4)-2×(n-4)}×Binomial(6, 4)]/6^n = {(1/6)^(n-1)×5n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^(n-5)-n+4}
315:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:18:03.49 0ym78Hqr.net
説明が難しいです。
316:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:21:15.26 0ym78Hqr.net
Binomial(n, 4)は生き残った4つのサイコロの出た目の数字の集合が何通りあるか。
{①, ②, ③, ④}
{①, ②, ③, ⑤}
{①, ②, ③, ⑥}
…
{③, ④, ⑤, ⑥}
317:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:22:35.19 0ym78Hqr.net
あ、間違えました。
318:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:23:59.79 0ym78Hqr.net
Binomial(6, 4)は生き残った4つのサイコロの出た目の組み合わせの数。
319:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:25:58.98 0ym78Hqr.net
Binomial(n, 4)はNo.1からNo.nまでのn個のサイコロのうち、生き残る4個のサイコロを選ぶ組み合わせの数。
320:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:27:22.30 0ym78Hqr.net
4!は生き残った4個のサイコロに割り当てる4つの異なる数字の割り当て方の数。
321:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:29:32.84 0ym78Hqr.net
{2^(n-4)-2×(n-4)}は取り除かれてしまうn-4個のサイコロの目の出かたの数。
322:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:34:34.38 zpA7lgDs.net
>>305
323:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:35:59.38 zpA7lgDs.net
>>305-312
分かりやすい説明ありがとうございます。場合の数に分けるのが上手ですね。理解できました。
324:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:38:33.73 0ym78Hqr.net
①②③④が生き残る4つのサイコロの出た目の数の組み合わせとすると、
他のn-4個のサイコロの出た目は⑤か⑥で⑤も⑥も2回以上出ていないといけない。
n-4個のサイコロを投げたとき出る目が⑤か⑥であるような目の出方の数は、2^(n-4)通り。
そのうち⑤がちょうと1回でるような目の出方の数はn-4通り。
そのうち⑥がちょうと1回でるような目の出方の数はn-4通り。
2^(n-4) - (n-4) - (n-4)通りの目の出方は、⑤も⑥も（あれば）2個以上含む
325:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:39:14.88 0ym78Hqr.net
すみません。説明するのが苦手で自分で書いてて意味不明になってきました。
326:１３２人目の素数さん
20/11/04 21:53:28.88 zpA7lgDs.net
>>315-316
いえいえ。非常にわかりやすかったです。qを一発で求めに行く発想はなかったので面白かったです。
自分の解答に重複して数えたりした部分がなかったか確認したいと思います。
327:302
20/11/05 00:09:39.00 p1xgTp2C.net
ありがとお
328:１３２人目の素数さん
20/11/05 12:50:09.34 cJYLjAE9.net
>>302
プログラムを組んで690を列挙してみた。 最初とと最後の10個を書き出すと
> print(head(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[1,] C D A B A B
[2,] C E A B A B
[3,] D E A B A B
[4,] B C A C A B
[5,] B D A C A B
[6,] B E A C A B
[7,] C D A C A B
[8,] C E A C A B
[9,] D E A C A B
[10,] B C A D A B
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[681,] C E C D D E
[682,] A B C E D E
[683,] A C C E D E
[684,] A D C E D E
[685,] B C C E D E
[686,] B D C E D E
[687,] C D C E D E
[688,] A B D E D E
[689,] A C D E D E
[690,] B C D E D E
329:１３２人目の素数さん
20/11/05 13:15:07.58 cJYLjAE9.net
>>302
# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
# 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。
と条件を変更すると
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[171,] B C A D D E
[172,] B C A E D E
[173,] A B B C D E
[174,] A C B C D E
[175,] A D B C D E
[176,] A E B C D E
[177,] A C B D D E
[178,] A C B E D E
[179,] A B C D D E
[180,] A B C E D E
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[171,] B C A D D E
[172,] B C A E D E
[173,] A B B C D E
[174,] A C B C D E
[175,] A D B C D E
[176,] A E B C D E
[177,] A C B D D E
[178,] A C B E D E
[179,] A B C D D E
[180,] A B C E D E
>
１８０通り
330:１３２人目の素数さん
20/11/05 13:33:25.20 cJYLjAE9.net
さらにこんな条件を追加してみた、すなわち、
# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
# 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。
# (Aの彼女をBが寝取ったためAとBとを同じ日に宿直させると刃傷沙汰になるため)AとBは別の日に宿直させなければならない。
> print(head(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[1,] B E A D A C
[2,] B D A E A C
[3,] D E B C A C
[4,] A E B D A C
[5,] B E B D A C
[6,] C E B D A C
[7,] D E B D A C
[8,] A D B E A C
[9,] B D B E A C
[10,] C D B E A C
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[117,] B C A C D E
[118,] B D A C D E
[119,] B E A C D E
[120,] B C A D D E
[121,] B C A E D E
[122,] A C B C D E
[123,] A D B C D E
[124,] A E B C D E
[125,] A C B D D E
[126,] A C B E D E
１２６通り
331:１３２人目の素数さん
20/11/05 14:07:06.54 48rfgVX4.net
>>320
># 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
># 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。
この条件のほうが現実的な割り振りの仕方だね。
誰か１人が２日やるので、その選び方５通りあって、その
人をどの曜日に割当るかは3C2=3通り。そのそれぞれについ
て、その人が当たってない日に誰がやるかは4C2=6通りで、
さらにそのそれぞれについて、残りの２人をどっちの曜日
につけるかが2通りと、都合5x3x6x2 =180通り
332:１３２人目の素数さん
20/11/05 14:16:19.53 48rfgVX4.net
AとBは別の日という条件を加えるということは,
AとBが同じ日になる場合の数をさっぴけばよい。
どの曜日に同じになるかは３通り。それぞれに
ついて、残りの２日をACDEに割り振るのは4C2=6通り。
また、BCDEに割り振るのも6通り。CDEに割り振る
のは誰を2日やらせるかで3通り、そのそれぞれに
ついて残りの２人の曜日のとり方が２通りなので、
都合 3x(6+6+3x2)=54通り
よって180-54=126通り
333:１３２人目の素数さん
20/11/05 15:15:01.86 oCSwH2P1.net
>>304
他のどのサイコロとも異なる出目のサイコロを「孤立サイ」と呼ぶ。
n個(n≧7)投げて、孤立サイk個が生き残り、(n-k)個が取り除かれたとする。
取り除かれた(n-k)個のサイコロの出目は(6-k)種のいずれかである。
総計 (6-k)^{n-k} とおりの順列のうち、孤立サイが無いものを求める。
特定のｊ個が孤立している順列は P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j} 個。
孤立サイが無い順列は、ド・モルガンの法則を使って
Q(n,k) = Σ[j=1,6-k] (-1)^{6-k-j}・Binomial(6-k,j)・P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j} 個,
n個(n≧7)投げて、孤立サイk個が生き残る確率は
Binomial(n,k)･P(6,k)･Q(n,k) / (6^n),
ここで
Binomial(n,k) はn個のサイコロのうち、生き残るk個を選ぶ組合せの数。
P(6,k) = Binomial(6,k) × k! は生き残ったk個の孤立サイの出目の順列の数。
Q(n,k) は取り除かれる (n-k)個のサイコロの出目の順列の数。
334:１３２人目の素数さん
20/11/05 16:44:25.32 oCSwH2P1.net
上記の
Q(n,k) = Σ[j=1,6-k] (-1)^{6-k-j}・Binomial(6-k,j)・P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j},
を具体的に書けば
Q(n,5) = 1^{n-5} = 1,
Q(n,4) = 2^{n-4} - 2(n-4),
Q(n,3) = 3^{n-3} - 3(n-3)･2^{n-4} + 3(n-3)(n-4),
Q(n,2) = 4^{n-2} - 4(n-2)･3^{n-3} + 6(n-2)(n-3)･2^{n-4} - 4(n-2)(n-3)(n-4),
Q(n,1) = 5^{n-1} - 5(n-1)･4^{n-2} + 10(n-1)(n-2)･3^{n-3} - 10(n-1)(n-2)(n-3)･2^{n-4} + 5(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),
Q(n,0) = 6^n - 6n･5^{n-1} + 15n(n-1)･4^{n-2} - 20n(n-1)(n-2)･3^{n-3} + 15n(n-1)(n-2)(n-3)･2^{n-4} - 6n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),
335:１３２人目の素数さん
20/11/05 18:31:04.75 oCSwH2P1.net
>>301
∠PAB = (PA^2 + AB^2 - PB^2)/(2･PA･AB),
336:１３２人目の素数さん
20/11/06 09:34:10.73 MFaIptOD.net
>>322
宿直１人で現実的な問題を考えてみた。
A,B,C
337:,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で 日曜日から土曜日までのある７日の宿直を割り当てる。 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない 誰も2日続けて宿直してはならない 割り当て方は何通りあるか？ プログラムで最初と最後の１０個を列挙させてみた。 > print(head(ans,10),quote=F) 日 月 火 水 木 金 土 [1,] A B A B C D E [2,] A B A B C E D [3,] A B A B D C E [4,] A B A B D E C [5,] A B A B E C D [6,] A B A B E D C [7,] A B A C A D E [8,] A B A C A E D [9,] A B A C B D E [10,] A B A C B E D > > print(tail(ans,10),quote=F) 日 月 火 水 木 金 土 [7791,] E D E C D A B [7792,] E D E C D B A [7793,] E D E C E A B [7794,] E D E C E B A [7795,] E D E D A B C [7796,] E D E D A C B [7797,] E D E D B A C [7798,] E D E D B C A [7799,] E D E D C A B [7800,] E D E D C B A 7800通り
338:１３２人目の素数さん
20/11/06 09:43:29.10 MFaIptOD.net
A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日までのある７日の宿直を割り当てる。
# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
# 誰も2日続けて宿直してはならない
# 誰においても7日の宿直日数の上限は２日である
という条件にすると
> print(tail(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[6591,] E D E C B C A
[6592,] E D E C B D A
[6593,] E D E C D A B
[6594,] E D E C D B A
[6595,] E D E D A B C
[6596,] E D E D A C B
[6597,] E D E D B A C
[6598,] E D E D B C A
[6599,] E D E D C A B
[6600,] E D E D C B A
6600通り
339:１３２人目の素数さん
20/11/06 10:40:03.48 MFaIptOD.net
A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日まで１週間の日の宿直を割り当てる。
# １週間のうち1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
# 誰も2日続けて宿直してはならない
# 前週の土曜日の宿直者を日曜日に宿直させてはならない
# 誰においても7日の宿直日数の上限は２日である
という条件にすると
１週間の宿直割当は何通りあるか？
340:イナ
20/11/06 11:10:55.55 k+PZZEWU.net
前>>249
>>327
日曜日だれでもいい。7通り。
月曜日、日曜日入ってない人ならだれでもいい。6通り。
火曜日、月曜日入ってない人ならだれでもいい。6通り。連勤は体にわるいからね。
水曜日、火曜日入ってない人ならだれでもいいってわけにはいかない。ていうのはだぁれも少なくとも1日勤務しなくてはいけないから。4通り。
木曜日、3通り。
金曜日、2通り。
土曜日、1通り。
7×6×6×4×3×2×1=6048
∴6048通り
ちょっと自信ない。
341:イナ
20/11/06 12:02:06.53 k+PZZEWU.net
前>>330訂正。
>>327
1人3勤務の人がいるか2人2勤務の人がいるかで、
1人3勤務のとり方は日火木、日火金、日火土、日水金、日水土、日木土、月水金、月水土、月木土、火木土の10通りで、だれがやるんだ5通り。
10×5=50
5人の出方が5!=120
50×120=6000
2人2勤務のとり方は日火と月水、日火と月木、日火と月金、日火と月土、日火と水金、日火と水土、日水と月木、日水と月金、日水と月土、日水と火木、日水と火金、日水と火土、日水と木土、日木と月水、日木と月金、日木と月土、日木と火金、日木と火土、日木と水金、日木と水土、日金と月水、日金と月木、日金と月土、日金と火木、日金と火土、日金と水土の26通りで、だれがやるんだ5×4=20(通り)。
26×20=520(通り)
残り3日をあとの3人で3×2=6(通り)。
520×6=3120(通り)
6000+3120=9120
∴9120通り
自信ない。
342:イナ
20/11/06 12:15:41.88 k+PZZEWU.net
前>>331訂正。
>>327
1人3勤務の人がいるか2人2勤務の人がいるかで、
1人3勤務のとり方は日火木、日火金、日火土、日水金、日水土、日木土、月水金、月水土、月木土、火木土の10通りで、だれがやるんだ5通り。
10×5=50
残り4日をあとの4人で4×3×2=24(通り)
50×24=1200(通り)
2人2勤務のとり方は日火と月水、日火と月木、日火と月金、日火と月土、日火と水金、日火と水土、日水と月木、日水と月金、日水と月土、日水と火木、日水と火金、日水と火土、日水と木土、日木と月水、日木と月金、日木と月土、日木と火金、日木と火土、日木と水金、日木と水土、日金と月水、日金と月木、日金と月土、日金と火木、日金と火土、日金と水土の26通りで、だれがやるんだ5×4=20(通り)。
26×20=520(通り)
残り3日をあとの3人で3×2=6(通り)。
520×6=3120(通り)
1200+3120=4320
∴4320通り
足りないのか？
343:１３２人目の素数さん
20/11/06 12:54:03.38 MFaIptOD.net
# 前週の土曜日の宿直者を日曜日に宿直させてはならない
↓
# 前週の土曜日の宿直者Aを日曜日に宿直させてはならない
とする。
344:１３２人目の素数さん
20/11/06 13:07:48.19 DLKrvzXt.net
問題
α= cos(π/3)+isin(π/3)とする
(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)(1-α^5)=6を証明せよ
解答
αは1の6乗根の１つであり
1,α,α^2,α^3,α^4,α^5が(z^6)-1=0の解となる
よって(z^6)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)…②
とおける
一方,(z^6)-1=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)…③
である.ここで②,③より
(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)
であるから
(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
=z^5+z^4+z^3+z^2+z+1
となる.これはzについての恒等式であるから,
z=1を両辺に代入すると
(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)(1-α^5)=6が成り立つ
質問
②について
(z^6)-1=0
⇔(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)=0ならば分かるのですが
(z^6)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)がなぜ成り立つか分かりません
初歩的な質問かもしれませんがお願いします
345:１３２人目の素数さん
20/11/06 13:30:42.62 UTDN6Zn5.net
因数定理を繰り返し使えばそのように因数分解されることがわかります。
346:１３２人目の素数さん
20/11/06 13:32:26.71 MFaIptOD.net
>>329
前週の土曜日の宿直者をAとして連続勤務は不可として列挙させてみると
> print(head(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[1,] B A B A C D E
[2,] B A B A C E D
[3,] B A B A D C E
[4,] B A B A D E C
[5,] B A B A E C D
[6,] B A B A E D C
[7,] B A B C A D E
[8,] B A B C A E D
[9,] B A B C D A E
[10,] B A B C D C E
> print(tail(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[5271,] E D E C B C A
[5272,] E D E C B D A
[5273,] E D E C D A B
[5274,] E D E C D B A
[5275,] E D E D A B C
[5276,] E D E D A C B
[5277,] E D E D B A C
[5278,] E D E D B C A
[5279,] E D E D C A B
[5280,] E D E D C B A
5280通りになった。
347:１３２人目の素数さん
20/11/06 14:24:01.25 ScfEnqq3.net
>>334
因数定理を用いる(以下くわしく)
α= cos(π/3)+isin(π/3)とすれば
1,α,.,α^5 はすべて異なる複素数である
また, α^6=1 から それら6数はすべてz^6=1を満たしている
(∵ (α^i)^6 = (α^6)^i = 1 (i=0,1,.,5)
今, 多項式f(x)=x^6-1 を考える
g(x) = (x-1)(x-α)..(x-α^5) とおく.
f(x)に対して因数定理を6回用いれば
f(x)はg(x)で割り切れることがいえる
よって, f(x) = g(x)h(x) を満たす多項式h(x)が取れる
両辺の次数を比較することで h(x)は定数であるといえる
よって両辺の最高次の係数を比較することで h(x)=1 を得る
したがって f(x) = (x-1)(x-α)..(x-α^5) がいえた
348:１３２人目の素数さん
20/11/06 15:39:17.51 61h7IdZR.net
>>335
>>337
因数定理への理解が浅かったようです…
ありがとうございました！
349:イナ
20/11/06 16:42:18.93 k+PZZEWU.net
前>>849
>>996
L(r→0)=2π×1=2π
∴示された。
350:１３２人目の素数さん
20/11/06 20:03:24.22 2uQNgYSq.net
αは1の6乗根とする。
α^6 =1, α^3≠1, α^2≠1, α≠-1
(α^2 -1)(α^4 +α^2 +1) = α^6 -1 = 0, α^2≠１
∴ α^4 + α^2 +1 = 0,
∴ (1-α^2)(1-α^4) = 3 - (α^4 +α^2 +1) = 3,
(α^3 -1)(α^3 +1) = α^6 -1 = 0, α^3≠1
∴ α^3 +1 = 0,
∴ (1-α^3) = 2,
(α+1)(α^2 -α +1) = α^3 +1 = 0, α≠-1
∴ α^2 -α +1 = 0,
∴ (1-α)(1-α^5) = (1-α)(1-1/α) = 1 - (α^2 - α+1)/α = 1,
辺々掛けて 3･2･1 = 6
351:１３２人目の素数さん
20/11/06 20:07:09.40 2uQNgYSq.net
>>326
訂正
ｃｏｓ(∠PAB) = (PA^2 + AB^2 - PB^2)/(2･PA･AB),
352:１３２人目の素数さん
20/11/07 07:10:23.34 sTyOzji9.net
>>329
現実だとBは月曜日が都合が悪いとか、Cは火曜日と木曜日は都合が悪いとかいう個別条件が入ってきて割り当てをすることになるんだろうな。
353:１３２人目の素数さん
20/11/07 09:49:25.54 sTyOzji9.net
もっと現実的な問題にしてみた。
ある病院に内科医A,B,C、外科医D,Eがいて１週間(日～土）の当直と呼び出し待機の割り当てをする。
以下の条件を満たす割り当ては何通りあるか？
(1) 1回も当直に当たらない人がいてはいけない
(2) 誰も続けて勤務（当直または待機）してはならない(但し、前週の土曜日の勤務は考慮しない）
(3) 誰においても１週間の当直総数の上限は２日である
(4) 内科医が当直のときは待機は外科医、外科医が当直の時は内科医が待機する。
例
日 月 火 水 木 金 土
当直 A B A C D E D
待機 D E D E A B C
354:１３２人目の素数さん
20/11/07 10:29:14.22 sTyOzji9.net
>>343
補足説明
待機はしない人がいてもよい
待機の日数の総数に制限はない
こういうのも可
日 月 火 水 木 金 土
当直 A B A B C D E
待機 E D E D E A B
355:１３２人目の素数さん
20/11/07 10:31:05.01 PA/OJlhX.net
きりがないからもういいんじゃね？誰も読んでないと思うけど。
356:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:19:26.49 gnf32zPw.net
エスパー的な質問になります。
数理モデル解析（工学やマーケティングを含む）で、図を用いて解を求める図式解法（図的解法）
ってどんなものがありますか？
例えば（直線同士の交点でない場合の）損益分岐点とか。
気象学の世界では、相手が非線形問題の塊ということで、
357:スパコンが無い時代は図に書いて 解を求めていたそうですが。。。 複雑な線同士の交点とかは、高校以上のレベルとなりますので、ここで聞くことにしました。 スレ違いの場合は移動します。宜しくお願い致します。
358:１３２人目の素数さん
20/11/07 13:20:07.59 3qtx3cWE.net
≒これってなんて読むの？ニアイコール？ニアリーイコール？
359:１３２人目の素数さん
20/11/07 13:34:56.34 aV4jZOx5.net
「だいたい等しい」
360:１３２人目の素数さん
20/11/07 15:41:04.98 b7M8hFRD.net
圧力 0.10 MPa、体積 1.5 m3 の理想気体を加熱し圧力 0.20 MPa、体積 2.0 m3 とした。
このときの内部エネルギーの変化が+ 60 kJ であったとするとエンタルピーの変化はいくらか。
361:１３２人目の素数さん
20/11/07 20:49:39.39 aV4jZOx5.net
公式に代入すればいい
けど公式わすれた