20/12/12 09:48:28.80 CvV0i5UV.net
>>907
つづき
４．上記のように、ガロア理論で真に使えるガロア対応は、群Gに対して、その正規部分群Nとの対応になっているとき
それ以外は大概クソです
∵部分群の包含関係と体の包含関係が逆になっているから
手元の足立恒雄の「ガロア理論講義 増補版」（日本評論社 2010）の記号で説明するよ
（P108 系5.10 です）
基礎体K、ガロア拡大体L、中間体M、で、対応するガロア群G、部分群Hとし、いま部分群H＝N(正規部分群)とする
G＝Gal(L/K)で、Gal(L/M)＝G/N が成立
つまり
体：L⊃M⊃K
群：e⊂N⊂G (ここで、eは{e}の略)
なる対応で、再度強調すると、”Gal(L/M)＝G/N”成立
これは、”部分群H＝N(正規部分群)”でなければ言えない
（Cayleyの定理は、ガロア理論ではクソ。An(n≧5)は、単純群なので、基本的に”部分群H＝N(正規部分群)”とできないのです！！）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
・包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
・拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
・体 E^H は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。このとき Gal(E/F) の元の E^H への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
つづく