20/12/09 00:19:07.29 kknhQEZa.net
横からだが龍孫江氏のはあれで問題なかろう
初学者のためにさらに最後の部分を補足するなら
Im(φ)はSym(G/H)の部分群に同型であるが
Sym(G/H)は有限群だから Im(φ)は有限群である
ここで 群準同型定理より G/Kerφ≅Im(φ) となるから
G/Kerφは有限群であり,とくに |G/Kerφ|は有限
ゆえに Kerφは指数有限のGの正規部分群である
20/12/09 00:19:07.29 kknhQEZa.net
横からだが龍孫江氏のはあれで問題なかろう
初学者のためにさらに最後の部分を補足するなら
Im(φ)はSym(G/H)の部分群に同型であるが
Sym(G/H)は有限群だから Im(φ)は有限群である
ここで 群準同型定理より G/Kerφ≅Im(φ) となるから
G/Kerφは有限群であり,とくに |G/Kerφ|は有限
ゆえに Kerφは指数有限のGの正規部分群である