20/10/30 20:09:09.12 iuPqYV+w.net
ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、
リーマン幾何学に関する講演は高く賞賛した。
255:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:09:46.78 iuPqYV+w.net
1857年に予備教授となり、1859年にディリクレの後継者として正教授になった。
256:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:10:22.73 iuPqYV+w.net
1862年に妹の友人エリーゼ・コッホと結婚し娘が生まれたが、
この時期から結核の病状が悪化してイタリアで療養するようになった。
257:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:11:15.73 iuPqYV+w.net
1866年、旅の途中にマッジョーレ湖の近くで39歳で亡くなった。
258:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:15:48.57 iuPqYV+w.net
リーマンといえば、リーマン面
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、
連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。
ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。
リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。
各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、
大域的位相は大きく異なり得る。
例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。
259:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:16:28.59 iuPqYV+w.net
リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。
今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の
大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている。
260:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:17:24.92 iuPqYV+w.net
全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、
正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。
2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、
（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。
従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、
メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。
261:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:18:24.89 iuPqYV+w.net
リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、
他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。
リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。
262:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:18:56.34 iuPqYV+w.net
コンパクトなリーマン面の理論は、複素数上に定義される
非特異な射影的代数曲線の理論と等価である。
263:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:23:08.63 iuPqYV+w.net
代数曲線
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
複素曲線と実曲面
（複素代数曲線の）位相次元は 2、つまり曲面になる。
この曲面の位相的種数（つまりハンドル体やドーナツ穴の数）は、
代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。
次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、
常特異点（相異なる接線を持つ重複度 2 の特異点）しか持たないならば、
その種数は (d － 1)(d － 2)/2 － k となる。
ただし、k はそのような特異点の数とする。
264:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:24:55.83 iuPqYV+w.net
楕円曲線
楕円曲線を有理点を持つ種数 1 の任意の曲線として定義することができる。
よく用いられるモデルは非特異平面三次曲線で、
これは種数 1 の任意の曲線のモデルとして十分である。
265:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:26:04.06 iuPqYV+w.net
種数 1 より大きな曲線
1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。
有理数体上定義されたそのような曲線は、
ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、
またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。
例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線、
フェルマー曲線 x^n + y^n = z^n (n ≥ 3) などが挙げられる。
266:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:44:10.46 iuPqYV+w.net
代数曲線のモジュラス
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space
(typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism
classes of algebraic curves.
It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions
applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding
moduli problem and the moduli space is different.
One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces
for the same moduli problem.
代数幾何学では、（代数的）曲線のモジュライ空間は、
点が代数的曲線の同型クラスを表す幾何学的空間
（典型的にはスキームや代数的スタック）である。
したがって、これはモジュライ空間の特殊なケースである。
考慮される代数的曲線のクラスに適用される制限に応じて、
対応するモジュライ問題とモジュライ空間は異なる。
また、同じモジュライ問題でも細かいモジュライ空間と
粗いモジュライ空間を区別することができる。
267:１３２人目の素数さん
20/10/30 20:46:31.56 iuPqYV+w.net
The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves
of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond
precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which
Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces,
in particular their dimensions ("number of parameters on which
the complex structure depends").
最も基本的な問題は、固�
268:闔岦狽ﾌ滑らかな完全曲線のモジュライの問題である。 複素数の場において、これらは与えられた種数のコンパクトなリーマン曲面に 正確に対応しており、ベルンハルト・リーマンは、モジュライ空間、 特にその次元（複素構造に依存するパラメータの数）についての 最初の結果を証明しました。
269:１３２人目の素数さん
20/10/31 08:59:56.70 CLm9DCft.net
タイヒミュラー空間
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus ｇ>= 2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces.
Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
リーマン曲面とそれに関連するフックス群のためのモジュライ空間は、種数g>=2の曲面上の複雑な構造の変化を記述するために6g-6のパラメータが必要であることを知っていたBernhard Riemann (1826-1866)の仕事以来、研究されてきた。
19世紀後半から20世紀初頭にかけてのタイヒミュラー空間の初期の研究は、幾何学的なものであり、リーマン曲面を双曲面として解釈することに基づいていた。
主な貢献者には、フェリックス・クライン、アンリ・ポアンカレ、ポール・コーベ、ヤコブ・ニールセン、ロベルト・フリック、ヴェルナー・フェンチェルなどがいる。
270:１３２人目の素数さん
20/10/31 09:03:57.66 CLm9DCft.net
The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject.
They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works.
After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers.
The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).
タイヒミュラーのモジュライ研究への主な貢献は、擬等角写像の導入であった。
これにより、それまでの初歩的な研究にはなかった付加的な特徴を与え、モジュライ空間の研究に深みを与えることができるようになった。
第二次世界大戦後、主題はこの分析的な流れの中で、特にLars AhlforsとLipman Bersによってさらに発展した。
この理論は現在も活発に活動しており、タイヒミュラー空間の複素構造（Bersによって導入された）の研究が数多く行われている。
271:１３２人目の素数さん
20/10/31 09:09:03.74 CLm9DCft.net
The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface.
Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
タイヒミュラー空間の研究における幾何学的な脈絡は、曲面の写像類群の研究で使用した幾何学的なコンパクト化を導入した1970年代後半のウィリアム・サーストンの仕事によって復活しました。
このグループに関連する他のより多くの組合せ対象（特に複素曲線）もまた、タイヒミュラー空間に関連しており、これは幾何学的群論の研究の非常に活発な主題である。
272:１３２人目の素数さん
20/10/31 09:13:18.85 CLm9DCft.net
>>251-253 まとめ
・「タイヒミュラー空間」を見つけたのは、タイヒミュラーじゃなくてリーマン
・タイヒミュラーがやったのは、擬等角写像の導入
・写像類群による（トポロジー的な）研究を始めたのはサーストン
273:１３２人目の素数さん
20/10/31 16:44:54.06 CLm9DCft.net
写像類群
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The mapping class groups of surfaces have been heavily studied, and are sometimes called Teichmüller modular groups (note the special case of MCG(T^2) above), since they act on Teichmüller space and the quotient is the moduli space of Riemann surfaces homeomorphic to the surface.
These groups exhibit features similar both to hyperbolic groups and to higher rank linear groups.
They have many applications in Thurston's theory of geometric three-manifolds (for example, to surface bundles).
The elements of this group have also been studied by themselves: an important result is the Nielsen–Thurston classification theorem, and a generating family for the group is given by Dehn twists which are in a sense the "simplest" mapping classes.
Every finite group is a subgroup of the mapping class group of a closed, orientable surface, in fact one can realize any finite group as the group of isometries of some compact Riemann surface (which immediately implies that it injects in the mapping class group of the underlying topological surface).
曲面の写像類群は，これまで熱心に研究されてきており，タイヒミュラー空間に作用し，商がその曲面に同形のリーマン曲面のモジュライ空間であることから，タイヒミュラーモジュラー群と呼ばれることもある（上記のMCG(T^2)の特殊なケースに注意）．
これらの群は双曲群と高位線形群の両方に似た特徴を示す。
これらの群は、サーストンの幾何学的三次元多様体の理論において多くの応用がある（例えば、曲面束への応用）。
この群の要素はそれ自体も研究されており、重要な結果はNielsen-Thurstonの分類定理であり、この群の生成族はある意味で「最も単純な」写像類であるDehnのねじれによって与えられている。
すべての有限群は，閉じた方向性のある曲面の写像類群の部分群であり，実際には，任意の有限群をコンパクトなリーマン曲面の等長写像の群として実現することができる（これは，すぐに，その下にある位相曲面の写像類群に包含することを意味する）．
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