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写像類群
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The mapping class groups of surfaces have been heavily studied, and are sometimes called Teichmüller modular groups (note the special case of MCG(T^2) above), since they act on Teichmüller space and the quotient is the moduli space of Riemann surfaces homeomorphic to the surface.
These groups exhibit features similar both to hyperbolic groups and to higher rank linear groups.
They have many applications in Thurston's theory of geometric three-manifolds (for example, to surface bundles).
The elements of this group have also been studied by themselves: an important result is the Nielsen–Thurston classification theorem, and a generating family for the group is given by Dehn twists which are in a sense the "simplest" mapping classes.
Every finite group is a subgroup of the mapping class group of a closed, orientable surface, in fact one can realize any finite group as the group of isometries of some compact Riemann surface (which immediately implies that it injects in the mapping class group of the underlying topological surface).
曲面の写像類群は，これまで熱心に研究されてきており，タイヒミュラー空間に作用し，商がその曲面に同形のリーマン曲面のモジュライ空間であることから，タイヒミュラーモジュラー群と呼ばれることもある（上記のMCG(T^2)の特殊なケースに注意）．
これらの群は双曲群と高位線形群の両方に似た特徴を示す。
これらの群は、サーストンの幾何学的三次元多様体の理論において多くの応用がある（例えば、曲面束への応用）。
この群の要素はそれ自体も研究されており、重要な結果はNielsen-Thurstonの分類定理であり、この群の生成族はある意味で「最も単純な」写像類であるDehnのねじれによって与えられている。
すべての有限群は，閉じた方向性のある曲面の写像類群の部分群であり，実際には，任意の有限群をコンパクトなリーマン曲面の等長写像の群として実現することができる（これは，すぐに，その下にある位相曲面の写像類群に包含することを意味する）．