純粋・応用数学 5

純粋・応用数学 5at MATH

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200:１３２人目の素数さん
 20/10/27 06:06:03.54 RdShKY6k.net
代数学の基本定理は、複素数体が、代数方程式による数の拡大体で最大のものであることを示している。 
これは、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」 ということになる。

201:１３２人目の素数さん
 20/10/27 19:08:14.39 RdShKY6k.net
リゾルベント 
https://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_(Galois_theory) 
In Galois theory, a discipline within the field of abstract algebra, a resolvent for a permutation group G is a polynomial whose coefficients depend polynomially on the coefficients of a given polynomial p and has, roughly speaking, a rational root if and only if the Galois group of p is included in G. More exactly, if the Galois group is included in G, then the resolvent has a rational root, and the converse is true if the rational root is a simple root. 
抽象代数学の一分野であるガロア理論では、順列群Gに対するレゾルベントとは、係数が多項式pの係数に多項式的に依存する多項式であり、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ、大まかに言えば有理根を持つものである。 
Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. The simplest examples of resolvents are 
・X^2-Delta where Delta is the discriminant, which is a resolvent for the alternating group. In the case of a cubic equation, this resolvent is sometimes called the quadratic resolvent; its roots appear explicitly in the formulas for the roots of a cubic equation. 
The cubic resolvent of a quartic equation, which is a resolvent for the dihedral group of 8 elements. 
The Cayley resolvent is a resolvent for the maximal resoluble Galois group in degree five. It is a polynomial of degree 6. 
今ではまだガロア群を計算するための基本的なツールとなっています。リゾルベントの最も単純な例は 
・X^2-Delta ここで、Deltaは判別子であり、交代群の利ゾルベントである。 
　3次方程式の場合，このリゾルベントは2次リゾルベントと呼ばれることがある． 
　その根は，3次方程式の根の公式の中に明示的に現れる． 
・四分方程式の三次レゾルベントは、8要素の二面体群のためのレゾルベントである。 
・ケイリーレゾルベントは、5次の最大可解ガロア群のレゾルベントである。 
　次数6の多項式である。

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