22/02/09 16:24:06.01 ST0bviM0.net
定理7
証明
F(xi)=det(Axi)=detAX。
n重線型性と交代性により
detAX=F(ei)det(xi)=detA・detX
定理8
detA=detA11・detA22
証明
detA=Σsgn σ Πa(iσ(i)) , σ∈S(m+n)
m+1以降が恒等置換になっているものだけを考えればよい。
するとdetA=detA11となる。
定理9
行列式の次数下げ
p次小行列式。
定理10
行列Aの階数がrであるとはr次小行列式のうち0でないものが少なくとも1つ存在し、rより大きな次数の小行列式の中には0以外のものは存在しない。
基本変形により標準形に移しても行列式の値は変わらない。証明は両向きの不等式が得られ等号が成り立つ。
定理11
行列が正則⇔行列式≠0
19:１３２人目の素数さん
22/02/09 16:48:41.73 ST0bviM0.net
3 行列式の展開
小行列式と余因子。
定理1
行列式の展開。
定理2
定理5
クラメルの公式
20:１３２人目の素数さん
22/02/10 09:37:50.51 jHugAxFm.net
自分で数値計算やらないと身に付かない分野
21:１３２人目の素数さん
22/02/10 09:38:58.39 jHugAxFm.net
プログラムに落とし込むのがなかなか難しい
22:１３２人目の素数さん
22/02/11 01:37:57.76 7nHKC3N8.net
行列
1 定義
積の定義、cik=Σaijbjk
=ai1b1k+ai2b2k+…+aimbmk
23:１３２人目の素数さん
22/02/11 17:45:58.68 7nHKC3N8.net
定理2
定理3
ともに行列の積の定義を用いる。
単位行列En=(δij)
クロネッカーの記号。
n項単位ベクトルei
積AB=(Abi)
x=(xi)=Σxiei 線型結合
一般に線型結合x=Σxiai
定理6
複素共役行列について
定理7
転置行列tAについて
行列の区分け。ブロック分割
小さい行列Aijがあたかも成分aij(CまたはR)であるかのように計算できる(定義される)。
24:１３２人目の素数さん
22/02/17 14:29:37.95 hw000AcH.net
3 正方行列 正則行列
行列の割り算、逆行列、群をなす
対称区分けが重要
対角行列、スカラー行列、
固有和、跡、トレイス、スプール、TrA。
定理 Trの線型性、Trの可換性
Tr(αA+βB)=αTrA+βTrB、
Tr(AB)=Tr(BA)
4 線型写像
f : Cn→Cmの線型写像fは行列Aで表されるものに限ることの証明。略。
自然な一対一対応、線型変換、恒等変換、R^2とV^2、R^3とV^3
25:１３２人目の素数さん
22/02/18 00:08:43.68 vtDqIj3u.net
4 基本変形と階数
基本行列、
左基本変形、右基本変形
要として掃き出す
定理2
標準形への変形
26:１３２人目の素数さん
22/03/19 01:32:58.25 M7j4
27:NT2J.net
28:１３２人目の素数さん
22/03/19 22:46:02.36 M7j4NT2J.net
1
集合と写像
同値関係、A~B、相似。
B=P^(-1)AP。反射律、対称律、推移律。
同値関係による類。類別。
商集合。逆像は復数あることもあるし全く無いこともある。全逆像、{x|P(x)}。
一対一写像、上への写像、像、一対一対応、逆写像、自然な射影写像、
29:１３２人目の素数さん
23/01/21 14:55:16.02 hgAVMC7T.net
1ₙ 恒等置換、単位置換
σ⁻¹ 逆置換
τ￮σ=τσ=(132)(231)=(321)
1→1→3、2→3→2、3→2→1
(231)(132)=(213)
互換σに関してσ⁻¹=σ
結合法則、単位元の存在
逆元の存在、Sₙはn次対称群
置換σの符号sgn σ=1、-1
30:１３２人目の素数さん
23/01/21 15:24:14.99 R3M/LSZl.net
123 +1
132 -1
213 -1
231 +1
312 +1
321 -1
n≧2とする。偶置換全体をSₙ⁺、
奇置換全体をSₙ⁻とする。
∀τ∈Sₙ⁺に対して∃σ=(21)∈Sₙ⁻を掛けるとστ∈S⁻になるので|S⁺|≦|S⁻|
逆に∀ρ∈S⁻に対して∃σ=(21)∈S⁻を掛けるとσρ∈S⁺になるので|S⁻|≦|S⁺|よって|Sₙ⁺|=|Sₙ⁻|=n!/2
σρ₁=σρ₂の時, 両辺に左からσ⁻¹を掛けるとρ₁=ρ₂となる。すなわちρとσρは一対一に対応する。同様にτとστとは一対一に対応する。
31:１３２人目の素数さん
23/01/21 16:56:14.84 lQq7Q8nZ.net
(12)(23)(34)…(n-1 n)=(23…n 1)
n-1回。
同様にn-2、n-3、…1回置換をおこなうと(-1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ²
1234 +
1243 -
1324 -
1342 +
1423 +
1432 -
2134 -
2143 +
2314 +
2341 -
2413 -
2431 +
3124 +
3142 -
3214 -
3241 +
3412 +
3421 -
4123 -
4132 +
4213 +
1231 -
1312 -
4321 +
∃置換σによってσ(1)=i≠1となるとすると互換τ(i 1)によってσ(1)=iと出来る。その後でσ(2)=j≠2とすると互換τ(2 j)によりσ(2)=jとなる
よってσ=τ(1 i)τ(2 j)…と表される。以後も同様。
例(3 1 4 2)とすると
σ(1)=3よりτ(13)で(3214)
σ(2)=1よりτ(23)で(3124)
σ(3)=4よりτ(34)で(3142)
よってσ=τ(13)τ(23)τ(34)と互換の積として表される。
互換τ(i j) (i<j)は隣接互換ρ(j-1 j)…ρ(i i+1)2よりi→jと出来る。
i、i+1、i+2、…、j-1、j→
j、i、i+1、…、j-1→
j、i+1、…、j-1、iとなる。
∀置換は∃互換の積として表され、∀互換は∃隣接互換の積として表される。
32:１３２人目の素数さん
23/01/21 19:23:02.39 D+sAbE8w.net
行列式Σ sgn(σ) Πx(i σ(i)) σ∈Sₙ
123+231+312-132-213-321
det(cA)=cⁿ|A|、 |ᵗA|=|A|
多重線型性。ある行または冽に関して和とスカラー倍の線型性が成り立つ
交代性。det(a(σ(i)))=sgn(σ)detA
例 B=(a₂ a₃ a₁)の時, |B|=σ|A|=|A|
多重線型性を持つ写像は定数倍の任意性を除きdetに等しい。
det(AB)=(detA)(detB)
対称な区分け
33:１３２人目の素数さん
23/01/21 20:51:23.12 IxubW4oe.net
ヴァンデルモンドの行列式
⊿=|ᵗ(1 x x² … xⁿ⁻¹)|
=Π{Π(xᵢ-xⱼ) (i<j)差積
0+1+…+(n-1)=n(n-1)/2
ₙC₂=n(n-1)/2
(x₁⁰ x₁¹ x₁² … x₁ⁿ⁻¹)
det(A －B、B A)=|det(A+iB)|²
A －B A+Bi －B+Ai A+Bi O
B A B A B A－Bi
(A+Bi)(A－Bi)=|det(A+Bi)|²
34:１３２人目の素数さん
23/04/16 11:21:35.12 VyBPsrRB.net
加法とスカラー乗法
a₁、a₂、…、aₖの線型結合
r₁a₁+r₂a₂+…+rₖaₖ
線型独立、線型従属、
余弦定理a²=b²+c²-2bccosx
正弦定理a=2Rsinx
(a|b)=|a||b|cosx
a･b≦|a||b| シュヴァルツの不等式
|a+b|≦|a|+|b| 三角不等式
S=|a×b|=absinx
x=x₁+ta t∈ℝ
Vector表示、Parameter表示、助変数表示、方向Vector、法線Vector
x=x₁+ta+sb t, s∈ℝ
平面のVector表示、Parameter表示、助変数表示、
x=a+s/(s+t)(b-a)=(ta+sb)/(s+t)
内積、Nor、表示、座標
s: t、重さと腕の長さは反比例する
aにt≧0、bにs≧0がおいてある
重心はM=s+t、(ta+sb)/M
=(ta+sb)/(s+t)
35:１３２人目の素数さん
23/04/16 12:03:30.52 ZD3gb4BW.net
1
(1) b-a=cより線型従属
(2) -1+4+0-2+2-0=3≠0より線型独立
(3) 2+3+0-4-0+1=2≠0より線型独立
(4) a=2(b-c)より線型従属
列Vectorが線型独立、線型従属
⇔detA≠0またはdetA=0
36:１３２人目の素数さん
23/04/16 13:09:33.71 JBRjfC6r.net
2
(1) 直線x=a+t(b-a) t∈ℝと表せる。
x=(1-t)a+tb=sa+tb s+t=1 (直線)
a, bは線型であるから表し方は一意的である。斜交座標系の成分として一意的である。
(2) 線分x=a+t(b-a) 0≦t≦1と表せる。x=sa+tb、s+t=1、0≦s≦1、0≦t≦1、s+t=1 (線分)
37:１３２人目の素数さん
23/05/26 04:58:44.00 94vMfoav0
大多数の議員が統－教会の集会に出席して襃め称えて會費まで支払って祝電まて゛送って會長を官邸にまで招待してた統ー教会と
一心同体の自民党か゛．白々しく□先だけで関係を断つた゛のほさ゛いて，現状を何ひとつ変えようとしないあたり分かりやすいよな
私腹を肥やしたいた゛けの世界最悪の殺人腐敗利権集団公明党も石川博崇、高木陽介、佐藤茂樹が統―教會と繋がってたし、
政教分離などの宗教全体の問題になることを必死に姑息に阻止して．統─教会を擁護してるあたりも分かりやすいた゛ろ＞創価学會員
都心まて゛数珠つなぎでクソ航空機に騒音に温室効果カ゛スにコロナにとまき散らさせて．クソポリ公へリまでク゛儿グル飛ばさせて、
旅行支援もとい人殺し支援だのと税金で気候変動させて地球破壞して、曰本と゛ころか世界中で土砂崩れに洪水、暴風、大雪．猛暑．
干は゛つ．森林火災にと災害連發させて，世界中の住民の生命と財産を賄賂癒着組織に強奪させてる世界最悪のテ囗組織自民公明に
乗っ取られた腐敗テ口國家の暴走を止めるには，民主主義の教祖山上大先生みたいなのが大勢出てこないとどうしようもないな
創価学会員は．何百万人も殺傷して損害を与えて私腹を肥やし続けて逮捕者まで出てる世界最悪の殺人腐敗組織公明党を
池田センセ━が囗をきけて容認するとか本気て゛思ってるとしたら侮辱にもほと゛があるぞ！
ｈＴｔРｓ：／／ｉ，ｉｍｇｕｒ，соｍ／hnli1ga.jpeg
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