823:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:22:30.47 xc6bep5/.net
>>717
つづき
1.2 テンソル代数
この項を通して, 特に断らない限り V , V1, . . . , Vn は有限次元実線型空間を表すものと
する. ここでは, 実線型空間のテンソル代数を定義し, その性質を見る.
1.2.1 高階のテンソル
先の V 〇x W を二階のテンソルという. ここでは n 階のテンソルを定義する.
定理 1.19 V1, . . . , Vn のテンソル積が存在し, ある意味で一意的である.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル空間
るテンソルの座標に依らない（英語版）現代的な取扱いは、テンソル空間（テンソルくうかん、英: tensor space）と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間
ベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
(引用終り)
以上
824:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:49:03.01 xc6bep5/.net
>>715-718 補足
貼った資料を読めば、分かるやつは分かるｗ（＾＾；
が、それでは不親切かもね
１．テンソルの定義：これが意外にはっきり書いてないけど、分かり易くいうなら、テンソル空間の元(>>718)
ベクトルは、ベクトル空間の元の如し。>>715でも、「T の元をテンソル」と書いているように、テンソルは、集合の元のことです
２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
>>715 "証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばある"は、例えば雪江明彦 代数学2 のテンソル積の章などに
一応、田丸先生のPDFをご紹介する>>716。ここにも証明あるよ。（雪江明彦に類似。先に一意を言い、あとから存在を示す筋です）
３．田丸先生で面白いのが、”テンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
つまり、3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です
４．ところで、内積を考える。3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、内積はテンソル積ではない！！
ＱＥＤ（＾＾；
ああ、もちろん内積は双線型ですよ（下記）ｗ
（なお、外積も同様だが、略す）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双線型写像
(抜粋)
特別な場合
X = F のとき（このときの双線型写像は双線型形式と呼ばれる）は特に有用である（例えばドット
825:積、内積、二次形式の記事を参照されたい）。 (引用終り) 以上
826:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:53:16.28 xc6bep5/.net
>>719 補足
x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
ここに、e1,e2,e3 は基底ベクトルを表す
まあ、常識なので分かると思うが、念のため
院試など試験では抜かさないように（書いていないと減点されかねないから） （＾＾
827:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 12:02:24.87 xc6bep5/.net
>>719 追加
（なお、外積も同様だが、略す）
↓
（なお、外積と行列式も同様だが、略す）
（＾＾；
828:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 14:29:53.71 xc6bep5/.net
>>721 追加
思いついたときに、外積と行列式について、追加しておく
行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる(下記)
「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、基底の外積で0になるものがあるから
>>719に示したように、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる行列式も、テンソル積とは異なる！
（多重線型ではあるが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ?nE は A 上階数1の自由加群である。
明示的な定義
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とする
略
これは Kn 上 ?nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
(抜粋)
V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧v=0
を持つものである。
形式的定義と代数的な性質
外冪
基底と次元
V の次元を有限な n とし、{e1, …, en} を V の一つの基底とする。
楔積の中に同じベクトルがあれば 0 になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。 一般に、結果として得られた k-ベクトルの基底の係数は基底 ei に関してベクトル vj を記述する行列の小行列式として計算できる。
基底に属する元の個数を数えることにより ?k(V) の次元は二項係数 C(n , k) で与えられることが分かる
以上
829:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:15:36.81 xc6bep5/.net
思い出したときに
(>>635)
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
ここの得居誠也氏のディープラーニング は、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってこと�
830:ﾅしょ（＾＾ 普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う 数学科生が、コンピュータ処理の人から、「テンソルとは？」と聞かれて、雪江明彦 代数2の説明をすると大外れ（＾＾ 得居誠也氏のテンソルは、複数添え字のデカルト積ですね。写真画像の画素（ピクセル）を扱うのに、縦と横にカラー（R，G，B）と3種の添え字を使うところが、テンソル似というだけのこと あと、下記 直積 (ベクトル)（あるいは外積）が、”典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う”であり、外積が「クロス積の意味で使われる」云々とか 思い出してきたな～。用語が、錯綜していましたね～（＾＾； 複数の分野に跨って書籍を読むとき、ご注意ください（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88 直積集合 集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。 具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。 つづく
831:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:16:35.45 xc6bep5/.net
つづき
直積集合の例
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クロス積
ベクトル積（英語: vector product）とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。
演算の記号からクロス積（cross product）と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれるが、英語でouter productは直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。
つづく
832:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:17:02.90 xc6bep5/.net
>>724
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
(引用終り)
以上
833:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:33:06.45 xc6bep5/.net
>>724 補足
>線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う
>ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）
outer productと、exterior productとが
834:、 同じ「外積」という訳語が付けられたのですね 「外積」という訳語だけ見ていると、ワケワカですね～（＾＾；
835:１３２人目の素数さん
20/09/29 17:52:12.95 3gGgCYQz.net
>>715
>定理
> V とW を線型空間とする。
> このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で
> 次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
> （性質）任意の線型空間 U と
> 任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して
> ΦU=fU○κ を満たす線型写像 fU:T→U が
> 唯一つ存在する。
>このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、
>T を V⊗W、 κ(v,w) を v⊗w と書く。
>また上記の（性質）をテンソル積 (V⊗W,κ) の普遍性と呼ぶ。
◆yH25M02vWFhP君に質問
「ＶとＷのテンソル積V⊗Wと、ＶとＷの直積Ｖ×Wの関係を述べよ
例えばＶ×Ｗのκにおける像Imκは、Tにおけるいかなる集合か？」
ここまで書けば、テンソル空間 V⊗Wを直接
「ベクトルv∈V,w∈Wのテンソル積 v⊗w の全体」
として定義せず、なぜ>>702の定義２のような
双対空間を使った定義としているのか、がわかる
ついでいうと、上記の定理の証明の骨子は>>664-665で示されてる
836:１３２人目の素数さん
20/09/29 17:56:18.62 3gGgCYQz.net
>>715-718で示された引用がジャストミートなので
「もしかして◆yH25M02vWFhP は全部分かってて
あえて分かってないフリしてるのかな？」
という疑念が、ふと頭をかすめた
が、>>719を読んだ瞬間
「あ、こいつ、引用した文章全然読めてねぇ
全然分かってねぇわ」
と気づいた
>１．テンソルの定義：・・・テンソルは、集合の元のことです
（小声で）普遍性、全然分かってねぇな
>２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
ベクトル空間同士のテンソル積と
個々のベクトル同士のテンソル積を
明確に区別せず、しかも普遍性について
「ある種の」とかトンチンカンな形容詞を
ぶっこんでる時点で
「こいつ、分かってねぇわ」臭がプンプン
>３．・・・面白いのが、
>”テンソル積の次元が分かった.
> 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
唐突に次元について述べてる時点で
「ん、こいつ、やっぱもしかして分かってる？」
と思ったが・・・
（ちなみに直積V×Wの時点はdim V + dim Wね。）
>４．ところで、内積を考える。
> 3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
> 内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
> ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。
> 上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
>（3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です）
> よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、
> 内積はテンソル積ではない！！
ここで一気に腰砕け！
ということで、次に続く
837:１３２人目の素数さん
20/09/29 17:57:46.47 3gGgCYQz.net
さて
１．まず、もちろんベクトルの内積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、内積はテンソルである。
なぜなら内積は双線型写像だから、普遍性により、
ベクトルx,yのテンソル積
(x1y1 x2y1 x3y1)
(x1y2 x2y2 x3y2)
(x1y3 x2y3 x3y3)
が属する線型空間（テンソル空間）から
スカラーへの線形写像が構築できるから
（注：内積は反変テンソルではなく共変テンソルである
ベクトルのスカラー積は反変テンソル）
その際、線型写像としてテンソル積の各成分に掛ける
係数は以下の通り
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
そして行列式も同様にできる
ということで、またまた次に続く
838:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:01:14.93 3gGgCYQz.net
さて、行列式の場合だが
>>722
>行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる
>「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
> もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
> 外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、
> 基底の外積で0になるものがあるから
> テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び
> 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
> 外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる
> 行列式も、テンソル積とは異なる！
またまた、腰砕け！！
ついでにいうと
「3ｘ3行列なら 9個の項になるところ」
は誤り
正しくは３つの３次元ベクトル空間のテンソル積だが
項の数は3×3×3=27
これから反論の余地がないように
完璧に書いてさしあげよう
ということで、さらに次に続く
839:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:02:23.74 3gGgCYQz.net
行列Mを行ベクトル（列ベクトルでもいいが）
m1=(m11,m12,m13)
m2=(m21,m22,m23)
m3=(m31,m32,m33)
に分解する
１．もちろんベクトルの外積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、外積も、そして行列式もテンソルである。
なぜなら、行列式の多重線形性から普遍性により
それらのテンソル積からスカラーへの線形写像
として構築でき、各成分に掛ける係数も明確に決められるから
３行３列の場合 ３つの行ベクトルのテンソル積は
第１段
(m11m21m31 m12m21m31 m13m21m31)
(m11m22m31 m12m22m31 m13m22m31)
(m11m23m31 m12m23m31 m13m23m31)
第２段
(m11m21m32 m12m21m32 m13m21m32)
(m11m22m32 m12m22m32 m13m22m32)
(m11m23m32 m12m23m32 m13m23m32)
第３段
(m11m21m33 m12m21m33 m13m21m33)
(m11m22m33 m12m22m33 m13m22m33)
(m11m23m33 m12m23m33 m13m23m33)
となるが、各成分に掛ける係数は以下の通り
第１段
(0 0 0)
(0 0 -1)
(0 1 0)
第２段
( 0 0 1)
( 0 0 0)
(-1 0 0)
第３段
(0 -1 0)
(1 0 0)
(0 0 0)
どうだ、まいったか(￣ー￣)
840:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:03:59.64 3gGgCYQz.net
さて、◆yH25M02vWFhPは、予想通り
普遍性が全然分かってない
分からん理由はただ一つ
一度も自分で計算しないから
一度でも計算すれば、ああそういうことか！と分かる筈
はっきり言っちゃうと、
テンソルなんて所詮、線形代数の延長戦だから
大して難しいわけがない
逆にこれが難しいって人は、
線形代数すら難しくてよくわかってない
ってことになる
もしそうなら、理系としては致命的なので
分野を替えたほうがいいだろう
（理系でも生物系ならなんとかなるかもしれん 知らんけど）
841:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:08:15.89 3gGgCYQz.net
>>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
「テンソル積は単なる直積集合（デカルト積）」
ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━━!!
・・・失礼
V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
前者の次元はdimV×dimW
後者の次元はdimV+dimW
積と和は全然違う
普遍性とは、要するに
Φ：V×W→U が 双線形写像なら
V×Wを包含する線型空間V⊗Wが存在して
(正確にはV×WからV⊗Wへの双線型写像κで埋め込む）
ｆ：V⊗W→U が 線形写像 となり、さらに
その写像のV×Wへの制限が、もとの
Φ：V×W→U と一致するように拡大できる
ということ
ついでにいうと、ここで>>727の問の答え書くけど
V⊗Wは線型空間だが、V×WってV⊗Wの中の線形空間ですらない
（つまりV×WからV⊗Wへの双線型写像κは
V×Wに直積による自然な線型空間の構造を入れた場合、
線型写像とはならない）
◆yH25M02vWFhP、全然わかってなかっただろ
842:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:11:31.51 3gGgCYQz.net
(蛇足）
ところで、
共変テンソル(ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像)
としての内積や外積、行列式が
共変ベクトル(ベクトルからスカラーへの線形写像)のテンソル積
として実現できるか？といえばそれは無理
なぜそう言い切れるか
もし、二つのベクトルのテンソル積になるなら
その結果できた行列の行列式は０になるが
内積を表す行列は対角行列であってその行列式は１だから
注：行列式が０だからといってベクトルのテンソルで表せる、とはいえない
843:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:19:04.75 3gGgCYQz.net
普遍性
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論の用語だな
「U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をCの対象とする。
X から Uへの普遍射 （universal morphism） は、
D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、
かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
Y がDの対象で f : X → U(Y) がCの射であるような場合、
常に射 g : A → Yが一意に存在して、次の図を可換にする。
（つまりf=U(g)○φ）
射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、
一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。」
ま、いいたいことは分かるが、
これが実体だといえるヒトは、相当数学的にソフィスティケートされてる
もし工学部の学生なら、即、理学部数学科に転科したほうがいい
技術者なんぞになるのはもったいない
844:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 20:25:07.83 JfmTq990.net
>>719 補足
> ２．テンソル空間は、略 普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような
845:抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。 結果として、我々は普遍性の一般的な扱い方を得ることになる。例えば、群の直積や直和、自由群、積位相, ストーン－チェックのコンパクト化, テンソル積, 逆極限 と 順極限, 核と余核, 引き戻し, 押し出し および イコライザ、など。 目次 2.1 存在と一意性 2.2 同値な定義 2.3 随伴関手との関係 3.1 テンソル代数 4 どのようなメリットがあるのか？ 5 歴史 存在と一意性 数量を定義することがその存在を保障することにはならない。与えられた関手U及び上述の対象Xに対し、X から U （もしくはU から X）の普遍射は、存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。しかしながら、もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。 すなわち、もし別の対 (A ' , φ ' ) が存在すれば、一意な同型射g : A → A ' が存在して φ ' = U(g)φ となる。 これは (A ' , φ ' ) を普遍射の定義にしたがって (Y, f) と置き換えることで容易に確かめられる。 例 ここで、この一般的なアイデアを明らかにすべく3つの有効な例を挙げる。読者は導入部で例示した記事を参照すれば、他にもたくさんの例を構築できるだろう。 テンソル代数 C を体 K 上のベクトル空間の圏 K-Vect とし、 D をK 上の多元環 K-Alg （ユニタリー かつ 結合的と仮定）とする。U を、各多元環をその基底となるベクトル空間に写す忘却関手とする。 K上の任意のベクトル空間 V において、V のテンソル代数 T(V) を構成できる。テンソル代数の普遍性は i : V → T(V) が埋め込み写像となるような対 (T(V), i) を表し、これは V から U への普遍射となる。 この構成は任意のベクトル空間 V において有効であり、それゆえ T は K-Vect から K-Alg への関手だと結論付けられる。この関手は忘却関手 U に対して左随伴となる。
846:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 20:55:28.45 JfmTq990.net
>>703 補足
>テンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり
歴史として、有名なコーシーが「応力テンソル」を考えたそうですが、これは、テンソル場の話です
https://ノートcom/k_pone/n/n562fc61beb67
切り口で見え方が変わるのが応力 1ST_CEE_SHIRAI 2020/04/25
(抜粋)
「応力テンソル」の話です．
前回の記事はこちら．
応力の値は断面の取り方で決まるので，これでは
応力一意に定義できなくなってしまいます（下図）．
略
そこで，発想の逆転をした人がいました．それは，断面によって変換されるような量として，応力を定義してしまおうというものでした．
その人は，フランスのA. L. コーシーです．
コーシーは，関数解析ではこの人の名前の付かない定理を探すのが難しいくらい有名ですが，もともとは工学屋さんで，Ecole Polytechique の土木科卒業です．つまり，
変形体を扱う力学が専門だったんですね．
テンソル"T"と書くのと「行列形式」で書くのでは，普遍性が全く違います（以前のテキストを参照）．
断面は
断面の「法線ベクトル」
で決まります．そこでコーシーは，「法線ベクトル」と「応力ベクトル」を対応させようと考えたわけです．概念としては，応力を調べたいある検査面が決まると，その面の法線が決まり，その面の法線ベクトルを，回転，伸縮させて変換するのです．
その変換の演算子のことを「応力テンソル」と呼ぶことにしたのです．
略
すなわち上図では，f = T n
ということになります．具体的な演算の中身は，応力テンソル"T"が「行列」の形で書けて，
略
ということになります．
テンソルの成分は，このように添字がついた量で表されます．この場合は2つの添字がついているので，「2階のテンソル」といいます．
847:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:03:20.19 JfmTq990.net
>>737 追加
ベクトル歴史
歴史的には、コーシーによるテンソルの方が早いようですね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
空間ベクトル
歴史
いわゆる矢印ベクトルは物理学の教育では力学の初歩から導入されるため、ベクトルも古典力学と同時(17世紀ごろ)に発生したと思われるかもしれないが、実はもっと後の19世紀になって現れたものである。今でこそベクトルや行列などを使って、物理学や幾何の問題を解くといったことは常識であるが、ベクトルが誕生する以前の数学や物理学では初等幾何学、解析幾何学や四元数などを利用していた。今日我々が知っているベクトルの概念は、およそ200年もの時間を掛けて徐々に形成されてきたものである。そこでは何十人もの人々が重要な役割を果たしてきた[1]。ベクトルの先祖は四元数であり、ハミルトンが1843年に複素数の一般化によって考案したものである。ハミルトンは最初に、二次元における複素数と複素平面のような関係を満たすような数を三次元空間にも見いだそうとしたが失敗し、なぜか三つの数の組では二次元の場合の複素数と複素平面のように三次元空間を記述できないことが判明した。
研究の結果、最終的に四次元(数が4組)の四元数へとたどり着くこととなった。三次元空間を記述するのに、数が三組では記述が不可能でなぜか四組必要だったのである。二次元では、二組の数である複素数を用いることによって、複素平面を二次元ユークリッド平面と同等みなすとベクトルに似た概念(回転やスカラー倍など)が記述できるというのに、三次元空間を記述するのに四次元の数が必要だったのである。ハミルトンは1846年に四元数の複素数における実部と虚部に相当するものとしてスカラーとベクトルという用語を導入した(今日の用法とは異なることに注意されたい):
つづく
848:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:03:59.48 JfmTq990.net
>>738
つづき
代数的な虚部(ベクトル)は、幾何的には直線または半径ベクトルであり、それらは一般的には、各々の四元数によって決定され、空間における向きと長さが定まり、それをベクトル部(虚部)または単に四元数のベクトルと呼ぶ[2]。
ベラヴィティス（英語版）、コーシー、グラスマン、メビウス、セイントベナント（英語版）、マシュー・オブライエン（英語版）といったハミルトン以外の何人かの数学者たちは同時期にベクトルに似た概念を開発した。グラスマンの1840年の論文「Theorie der Ebbe und Flut」(減衰と流れの理論)は空間解析の最初の体系であって、今日の体系と類似したものであり、今日の外積、内積、ベクトルの微分に相当する概念が含まれていた。グラスマンの業績は1870年代まで不当に無視され続けていた[1]。
ピーター・テイト（英語版）はハミルトンの後に四元数の基礎を確立した。テイトの1867年の「Elementary Treatise of Quaternions」(四元数の初等的理論)には今日の∇(ナブラ)演算子に相当する概念が含まれていた。
ウィリアム・クリフォード（英語版）は1878年に力学原論（英語版）を出版した。ここでクリフォードは完備四元数積(complete quaternion product)から今日の二つのベクトルの外積、内積に相当する概念を抽出した。このアプローチは四次元の実在に疑念を抱いている技術者などの人々にベクトル解析を通じて三次元空間の解析を行う手段を提供したといえる。
つづく
849:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:04:29.18 JfmTq990.net
>>739
つづき
アメリカ
850:の物理学者ギブスは、四元数ベースで書かれていたマクスウェルの電磁気学の著書、「Treatise on Electricity and Magnetism」を現代的なベクトル解析を用いたものに書き直した。電磁気学の数理はベクトルが登場するまでは四元数が用いられており、ニュートン力学が初等幾何学ベースで後世の科学者らに現代風の解析学を用いる数理に書き換えられたのと同様、マクスウェルのオリジナルのものは四元数ベースであり今日教えられているベクトルベースの電磁気学もまた後世の科学者らによって書き換えられたものである。ギブスは自身のイェール大学での講義を元にベクトル解析の専門書「Elements of Vector Analysis」の最初の分冊を1881年に出版したが、ここでは今日用いられているベクトル解析の基本概念が概ね確立されているといえる[1]。この講義録は英国のヘヴィサイドにも送られ評価された。教え子のエドウィン・ウィルソン（英語版）が1901年に出版した「Vector Analysis」はギブスの講義を元に書かれており、四元数の名残を完全に抹消し今日のベクトル解析の基礎を確立した最初の著作であるといえる。 これ以降、理工学ではベクトルの概念が盛んに用いられるようになり、四元数は一旦廃れたものの、20世紀後半以降コンピュータの発達により三次元空間のプログラミングに四元数が一部で再び用いられている。 更に20世紀に入ると線型代数学の発達によりベクトルの概念も抽象化し、向きを持った直線の矢印で表せる具体的な幾何ベクトルのみならず線型空間と関連した抽象的存在としても認識されるようになっていく。20世紀後半になると線型代数は教育にも取り入れられるようになり、昔ながらの初等幾何学や解析幾何学よりもベクトルや線型代数を用いて幾何学や物理学の問題が教育されるようになった (引用終り) 以上
851:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:08:07.18 JfmTq990.net
>>738 補足
英語版（日本語は下記の訳がベースですね）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euclidean vector
History
The concept of vector, as we know it today, evolved gradually over a period of more than 200 years. About a dozen people made significant contributions to its development.[10]
In 1835, Giusto Bellavitis abstracted the basic idea when he established the concept of equipollence. Working in a Euclidean plane, he made equipollent any pair of line segments of the same length and orientation. Essentially, he realized an equivalence relation on the pairs of points (bipoints) in the plane, and thus erected the first space of vectors in the plane.[10]:52?4
The term vector was introduced by William Rowan Hamilton as part of a quaternion, which is a sum q = s + v of a Real number s (also called scalar) and a 3-dimensional vector. Like Bellavitis, Hamilton viewed vectors as representative of classes of equipollent directed segments. As complex numbers use an imaginary unit to complement the real line, Hamilton considered the vector v to be the imaginary part of a quaternion:
The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion.[11]
つづく
852:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:08:35.82 JfmTq990.net
>>741
つづき
Several other mathematicians developed vector-like systems in the middle of the nineteenth century, including Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Mobius, Comte de Saint-Venant, and Matthew O'Brien. Grassmann's 1840 work Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) was the first system of spatial analysis that is similar to today's system, and had ideas corresponding to the cross product, scalar product and vector differentiation. Grassmann's work was largely neglected until the 1870s.[10]
Peter Guthrie Tait carried the quaternion standard after Hamilton. His 1867 Elementary Treatise of Quaternions included extensive treatment of the nabla or del operator ∇.
In 1878, Elements of Dynamic was published by William Kingdon Clifford. Clifford simplified the quaternion study by isolating the dot product and cross product of two vectors from the complete quaternion product. This approach made vector calculations available to engineers?and others working in three dimensions and skeptical of the fourth.
Josiah Willard Gibbs, who was exposed to quaternions through James Clerk Maxwell's Treatise on Electricity and Magnetism, separated off their vector part for independent treatment. The first half of Gibbs's Elements of Vector Analysis, published in 1881, presents what is essentially the modern system of vector analysis.[10][7] In 1901, Edwin Bidwell Wilson published Vector Analysis, adapted from Gibb's lectures, which banished any mention of quaternions in the development of vector calculus.
(引用終り)
以上
853:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:16:55.31 3gGgCYQz.net
ぽっぽっぽ
854:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:17:09.89 3gGgCYQz.net
鳩ぽっぽ
855:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:17:29.79 3gGgCYQz.net
豆がほしいか
856:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:17:49.82 3gGgCYQz.net
そらやるぞ
857:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:18:06.41 3gGgCYQz.net
みんなで仲善く
858:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:18:27.02 3gGgCYQz.net
食べに來い
859:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:21:35.70 3gGgCYQz.net
あめあめ ふれふれ かあさんが
860:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:21:52.33 3gGgCYQz.net
じゃのめで おむかえ うれしいな
861:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:22:08.08 3gGgCYQz.net
ピッチピッチ チャップチャップ
862:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:22:23.84 3gGgCYQz.net
ランランラン
863:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:02:50.77 lT/rGugt.net
🌧🌧🌧
☔ 。。ﾔｯﾊﾟﾘ雨ﾊ。。
𐀪𐁑彡☂︎゛💞相愛傘💕
ﾃﾞｽｮﾈｯ!
。。。ｱﾙﾙﾙﾙﾙｪｪｪｪ…?
💓愛合傘💖ﾀﾞｯﾀｶﾅ…
864:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:09:36.19 JfmTq990.net
>>738
>ベクトル歴史
山上 滋先生、下記、なかなか面白い（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
ベクトルあれこれ
?古人の求めたるところを
山上 滋 名古屋大
2016 年 1 月 27 日
目次
1 見通しなど 2
2 実数と複素数の幾何学 4
3 重心座標 7
4 ベクトル空間 7
5 ユークリッド空間 9
6 直交群 10
7 ユークリッド変換 11
8 四元数は予言する 12
付録 A ぶつぶつ交感 16
解析学特論（基礎解析） 大学院
目的：ベクトルは、日常語としても使われる程、人口に膾炙したものとなっているが、
その数学教育の中に
865:おける位置づけについて、発展の歴史的流れにも配慮しつつ理解を深 める。 到達目標：ベクトルの概念の自然科学における発展の流れを知る。その背景の下、数学 概念としてのベクトルの確かな理解とその運用方法を修得する。 以下の項目のいくつかについて演習もまじえて学習し、ベクトルの考え方に対する理解 を深める。
866:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:10:07.36 lT/rGugt.net
|∞ ﾇｼｻﾏ…ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…
|;´д`)め~さまの思惑通りﾆ
с 荒らしﾁｬｯﾃ…ﾓｩｼﾏｾﾝ…
| 許ｼ亭許ｼﾃ…
＼＼＼＼ｶﾞﾊﾞｯ!
_|~|〇
|∞ 失礼ｼﾏｼﾀ…
|`;)))
с
|
Σ|
Σ|Ю彡
Σ|
ﾊﾟﾀｯ!
867:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:10:14.56 JfmTq990.net
>>753
いらっしゃい
お元気そうで、なによりです（＾＾；
868:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:14:17.89 lT/rGugt.net
゜○。ｫ休ﾐﾅｻｨ。。。🍀ﾟ○。🍀🐑🍀ﾟ🐑🐑🍀🐑🐑🐑🍀。○゜良ぃ夢を。。。○゜🍀🍀🐑🐑🐑🐑🐑🍀🍀。○゜
869:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:15:42.91 JfmTq990.net
>>754
山上 滋先生、追加下記、これもなかなか面白そう（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
行列代数あれこれ 山上 滋 2017
線型代数の内容は、今となってはどれも代り映えがせず、だれがやっても金太郎飴状態のようにも思えるの
で、あえてそれに逆らうのは愚かなれど、別の見方をすると、十年一日、進歩がないというか、時代の変化を
無視してきたというのか、そのつけを支払わされるのは、教わる学生のみならず、巡り巡って社会全体に及ぶ
という大風呂敷。冥途のみやげに最後の悪あがきもまた一興。
８年ぶりの線型代数、相変わらず進歩がないというよりもむしろ劣化が激しいので、今回はぜひとも教科書
の指定をと思い、以下の項目をチェック。
(i) ３次元座標空間の幾何学はあるか。正射影、平面の方程式、距離の公式。
(ii) 連立一次方程式の幾何学的解釈があるか。
(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
(v) 実二次形式の標準化が説明してあるか。極値問題への応用が意識されているか。
何と、大部分が (iii), (iv) でアウト。かろうじて残ったものも (i), (ii) であえなく撃沈。ううむ、困った。
しようがないので、昔のノート*1 をふくらまして凌ぐことにしよう。題して、行列代数あれこれ*2。あれこれ
というよりは、行きあたりばったりであるか。行き倒れにならないといいのだが、はてさて。
*1 懐かしの「行列代数これだけ」URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
*2 線型代数は使ってなんぼのもんである。あれもこれもと欲張るよりは、基本的なところをさっとやって、あとは個々人の関心のお
もむくまま実践するのがよい。そうして、必要になったときに必要な範囲で掘り下げる。丁寧にしつこく教えたとて身につくもの
でなし。その意味で、教科書は簡潔明瞭が良いのであるが、一方で砂をかむの苦行を強いるものは避けたい。行きあたりばったりを標榜する所以である。
目次
1
870:行列事始め 3 2 直線と平面の幾何学 5 3 行列とその計算 10 4 ２次・３次の行列式 15 5 一般の行列式 16 6 行列式の特徴づけ 19 略
871:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:50:39.68 JfmTq990.net
>>758
失礼、2020年版が出ていました。84ページが、85ページに増えている
それよりも、新しい版は、誤植などのバグが修正されている可能性大なので、是非こちらを（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
授業記録
名古屋大学における授業の記録です。
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
行列代数あれこれ
山上 滋
2020 年 7 月 6 日
872:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:53:33.34 JfmTq990.net
山上 滋先生は、昔はイバ大にいて、
以前数学板に居たコテの猫さんが、
山上 滋先生を評価していましたね～（＾＾；
873:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 23:44:13.96 JfmTq990.net
外積代数も、普遍性あり
用語大混乱：「内積」(inner) 、「外積」(outer) 内部積（英語版） (interior) 、外（部）積 (exterior) 、外積代数、幾何代数（英語版）、スカラー積
いやはや、思い出してきました、なんか混乱させられた記憶が・・（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。
2.4 普遍性
普遍性
外積代数の普遍性
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
内積
関連のある積について
「内積」(inner) という語は「外積」(outer) の反対という意味での名称だが、外積は（きっちり反対というよりは）もう少し広い状況で考えることができる。
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。
さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
874:１３２人目の素数さん
20/09/30 05:52:35.59 wXBmLOg8.net
>>761
>>761
＞外積代数も、普遍性あり
別に驚くことじゃない
すべての反対称テンソルが、ベクトルの外積として表せるわけじゃないから
多重線型写像は、そのままでは線形写像にならないが
定義域を拡大すれば、一意的に線形写像にできる
テンソルとは拡大された定義域
875:１３２人目の素数さん
20/09/30 05:55:22.17 wXBmLOg8.net
>>761
＞いやはや、思い出してきました
何を？
＞なんか混乱させられた記憶が・・・
定義を理解しないからだよ
だからいまだに
「内積も行列式もテンソルじゃない」
なんて初歩的な誤り、平気で口にするんだよ
876:１３２人目の素数さん
20/09/30 06:00:39.01 wXBmLOg8.net
ま、テンソルも
「ベクトルのテンソル積がなす空間」
ではなく
「ベクトルのテンソル積の線型結合がなす空間」
と云ってしまえば、簡単だけどね
実際、基底同士のテンソル積の線型結合で表せるし
877:１３２人目の素数さん
20/09/30 06:16:49.15 wXBmLOg8.net
>>758
YS氏、いうことはごもっともだが、
それなら、自分で教科書書けばいいのに
＞(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
そうね 「邪念」を排すれば、列の操作は要らないね
＞(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。
「帰納的導入」ってなにかと思ったら、より小さい行列式を用いて定義する、ってことね
行列式と掃き出し法をつなげるなら、そうしたほうがいいね
線型代数なのに、いきなり偶置換・奇置換を持ち出すのは「暴挙」なんだろう
偶置換、奇置換による１、－１の決定は、帰納的な定義から定理として導けるから <
878:現代数学の系譜 雑談
20/09/30 16:18:52.14 GzqVILqn.net
>>762
>＞外積代数も、普遍性あり
>別に驚くことじゃない
あらら、自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。
存在と一意性
もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。
例
テンソル代数
879:１３２人目の素数さん
20/09/30 17:50:08.17 wXBmLOg8.net
>>766
>外積代数も、普遍性あり
>テンソル代数も、普遍性あり
>だったら、
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
>それは、おかしいよね
全然おかしくないが
>もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、
>一意な同型射を除いて一意的である
だからテンソル空間も外積空間（反対称的テンソル空間）も
”それぞれ”一意化されるが
君、一意化を誤解してる？
普遍性、全く理解できてないだろ
テンソル積と外積は違うんだろ？
だったらテンソル空間と（その部分空間となる）反対称的テンソル空間も違うが？
880:１３２人目の素数さん
20/09/30 18:56:45.87 wXBmLOg8.net
ところで、外積を「交代テンソル積」とすれば
「対称テンソル積」というものも考えられる
反対称テンソル（交代テンソル）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称テンソル積は
・置換に対する符号の転換を無視して足し合わせる
・同じ基底同士の積を０としない
という形で実現できる
881:現代数学の系譜 雑談
20/09/30 20:07:20.42 WPXiFBae.net
おサルは、統合失調症だったよね
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
あんた、数学無理じゃねぇ？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的に意味不明だよ
それに気付かないのか？
統合失調症
数学無理だよ
882:粋蕎
20/09/30 20:36:26.52 nTJimpPg.net
瀬田氏の名前のイニシャルはYじゃったか
883:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:37:27.86 wXBmLOg8.net
>>769
◆yH25M02vWFhPは、知的障害か
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>って、数学的に意味不明だよ
◆yH25M02vWFhPは、数学が分からない知的障害か
「テンソルとは多重線型写像である」
という定義の意味が不明なんだから
明らかな知的障害
数学以前に日本語の文章が理解できない時点で知的障害
884:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:44:10.23 wXBmLOg8.net
>>770
違うよ
「YS氏」とは山上 滋（やまがみ しげる）氏のこと
885:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:48:37.83 wXBmLOg8.net
多重線形写像はテンソル空間からスカラーへの線型写像を一意に定めるし
その線型写像もまたテンソルである
886:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:53:27.98 wXBmLOg8.net
◆yH25M02vWFhPは読み書き障害がある
日本語の文章の意味が正しく理解できない
国語ができない人には数学はもちろん、いかなる学問も無理
887:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:56:15.45 wXBmLOg8.net
正規部分群の定義の誤解も、定義の文章が正しく読めなかったせい
∈と⊂の誤解も、∈と⊂の定義の文章が正しく読めなかったせい
そして今回のテンソルの件も、定義の文章が正しく読めなかったせい
数学以前に、国語からやり直したほうがいい
今のままで、初歩的な誤りを繰り返すだけで、何も正しく学べない
888:粋蕎
20/09/30 21:08:04.69 nTJimpPg.net
ヤマタノチンポ>>765
済まん、投稿者の事じゃのうて引用先の名大数学教授じゃったか、飛ばし読みし過ぎた
889:１３２人目の素数さん
20/09/30 21:31:05.55 wXBmLOg8.net
◆yH25M02vWFhPの本名には興味ないな
数学どころか英語も国語もダメな時点で
取るに足らない人物であることは明らか
890:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 07:53:54.15 puwLBl/N.net
>>733
>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>前者の次元はdimV×dimW
>後者の次元はdimV+dimW
あんた、勘違いしているよ
後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
そう考えないと、基底を用いた定義での「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」も、解釈不能になる
（5ch数学板では、数学記号が自由に使えず視認性が悪い。なので、原文のサイトを見て下さい）
そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
(抜粋)
定義
基底を用いた定義
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間
V◯x_FW(=V◯x W):= span _F((ξ_i,η_j)｜ 1<= i<= n,1<= j<= m)
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ◯x W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
Σ _{i,j}c_{ij}(ξ _i◯x η _j)
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ◯x w が定義できる。
つづく
891:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 07:54:12.93 puwLBl/N.net
>>778
つづき
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_{2},w)～ (v_1+v_{2},w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
普遍性
テンソル積の普遍性
双線型写像 φ: V × W → V ◯x W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、
h = ~h ◯ φ を満足する線型写像
~h: V ◯x W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏（英語版）の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ′: V × W → V ◯x′ W に対し、同型写像 k: V ◯x W → V ◯x′ W が存在して φ′ = k ◯ φ を満足することを言う。
(引用終り)
以上
892:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 08:03:04.54 puwLBl/N.net
>>733 追加
(引用開始)
>>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
(引用終り)
でな、(>>635より)
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！
分かってないな～！（＾＾；
893:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:11:52.20 ZvCLwev4.net
>>769
オカシイオカシイじゃなくて、何がどうオカシイのか言わないと
で、何がどうオカシイと？
894:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 13:52:08.19 7fZLD5Mp.net
>>781
そう慌てなさんな
分からない人には分からない
分かる人には分かる
そもそも
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的におかしいよね
それに気づかないってことは
どっか何が欠けているんだろうね
何か知らないが
何が欠けているか知らないが
そういう人に、「おかしい」と分からせるのは
大変なんだよ、自覚がないからな
895:１３２人目の素数さん
20/10/01 13:58:54.79 ZvCLwev4.net
>>782
あなたの論法はいつもそれですね
箱入り無数目でも「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」
それ、何の主張にもなってないこと、そろそろ理解しましょうね
896:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 14:25:37.23 7fZLD5Mp.net
>>780 補足
”(>>635より)
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！”
ここを、補足しておくと
１．いま、１枚のデジタル画像（カラー写真）があるとする。縦10、横10で 10x10のピクセル（画素）から成るとする
２．物理的には、2次元のカラー写真と見ることもできるけれども、
コンピュータのデジタル処理を考えると
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
３．デカルト積で、下記の2次元直交座標系（x,y）と同様に、同じ流儀で言えば、300次元 300個の数字の組で、１枚のデジタル画像情報が扱えるのです
４．それで、>>778のような ”V×W 次元はdimV+dimW ”みたいな流儀だと、10＋10＋3＝23次元という計算になるけど、アホでしょ、それは（＾＾；
５．また、300次元で、添え字１つで、i＝1～300とするよりも
10ｘ10の数字の並びの行列が、R，G，B 3枚あるとする方が、分かり易い
デカルト積だが、添え字はテンソル流ってことですね（＾＾
つづく
897:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 14:26:07.30 7fZLD5Mp.net
>>784
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直積集合
(抜粋)
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ?�
898:~?（? は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。 (引用終り) 以上
899:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 14:27:52.32 7fZLD5Mp.net
>>783
なんだ、おサルか
＞箱入り無数目でも「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」
ちゃんと主張になっているよｗ
箱入り無数目の記事不成立も
「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」！！ｗｗ（＾＾；
900:１３２人目の素数さん
20/10/01 14:50:16.74 ZvCLwev4.net
>>786
あなたの論法が正しいならこう帰結されます
箱入り無数目の記事成立も
「国語・数学を学べば分かる」！！ｗｗ（＾＾；
901:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 15:21:15.32 7fZLD5Mp.net
>>787
（>>782より再録）
そもそも
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的におかしいよね
それに気づかないってことは
どっか何が欠けているんだろうね
何か知らないが
何が欠けているか知らないが
そういう人に、「おかしい」と分からせるのは
大変なんだよ、自覚がないからな
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
”こいつ何言っているだ？”ってね
”気は確かか”ってね
それに、気付いていないのかな？ｗ（＾＾；
902:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 16:22:27.83 7fZLD5Mp.net
余談ですが、直積もテンソルを学ぶときに、用語が混乱しやすいです
下記、ご参照（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直積
数学において、直積を考えられる対象は様々ある。そのうちの一部を以下に挙げる。
・集合の直積
・群の直積
・加群の直積（ドイツ語版、英語版）
・環の直積
・位相空間の直積
・ベクトルの直積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。
「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直積集合
（「積集合」と「デカルト積」はこの項目へ転送されています。その他の用法については「共通部分 (数学)」、「デカルトモノイド圏」をご覧ください。）
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分 (数学)
共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）[1]、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。
903:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 16:32:15.27 7fZLD5Mp.net
>>789 補足
直積 (ベクトル)が、
「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う」であって
「外積（outer product）」と呼ばれたり
直積集合が、「デカルト積」だとか
初学者レベルの集合論では、共通部分を、
積集合（せきしゅうごう）とか、積と言ったりします
テンソルのテキスト（教科書）を読むとき
ここらの、著者の立場（代数系の人かとか、応用系か（例えばベクトル解析、あるいは物理系とか）など）、用語の定義によく注意しましょう
あと、時代で用語の流行り廃れがあります
細かくフォローできていませんが
なんか、混乱させられた記憶があります（＾＾；
904:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 17:00:06.08 7fZLD5Mp.net
>>784 補足訂正
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
↓
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個の変数のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
”300個の変数のコンピュータプロブラム”に、補足訂正します（＾＾；
905:１３２人目の素数さん🐙
20/10/01 17:56:30.50 ZvCLwev4.net
>>788
気は確かかと思うのはあなたの勝手ですが、根拠を示さなければナンセンスであるという至極当たり前のことを何故あなたは理解しないのですか？
906:１３２人目の素数さん
20/10/01 18:56:17.25 YkS1knOQ.net
>>778
>>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>>前者の次元はdimV×dimW
>>後者の次元はdimV+dimW
>あんた、勘違いしているよ
>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
トンデモ、ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━━!!
ま、正規部分群の定義の読み違いやら
∈と⊂の混同やらとかいう
明らかなトンデモぶりを見てきた
こちらとしては「ああ、またか」って
感じですけどね
>そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
>つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、
>集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
包含関係が逆
正しくは V×W⊂V⊗W
つまり、ｔ∈V×Wが存在して
任意のv∈V、ｗ∈Wについて、
t=v⊗wでない
V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
逆に、V⊗Wの次元はdimV×dimW
>そう考えないと、基底を用いた定義での
>「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」
>も、解釈不能になる
確かに、nm個のξi ⊗ηjは、V×Wの中にある、
しかし、
「だから V×Wの次元はdimV×dimW」
といってるなら誤り
２つのξi ⊗ηjの和が、ベクトル同士のテンソル積で表せないなら
V×Wの要素ではない
つまり、V×Wは、V⊗Wの中に「曲面」として埋め込まれており、
したがって、V⊗W内の線型空間ではない
>そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ
勘違いしてるのは、キミだよ、キ・ミ
907:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:13:10.72 YkS1knOQ.net
>>780
>ここの・・・ディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
>代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
引用された記事書いた人が、この文章見たら、確実に泣くな
V×Wだったら、2種類の添字要らない
Vの基底がe1~enで、Wの基底がε１~εｍだったら
V×Wを線型空間とみなした場合の基底は
e1~enおよびε１~εｍのn+m個だろ？
(v,w)∈V×W なんだからさ
ほんとマジで全然わかってないな
じゃ、聞くけど
e1⊗ε1＝(e1,ε1)∈V×W
e2⊗ε2＝(e2,ε2)∈V×W
として
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwって何？
>>778で
V⊗W⊂V×W
と言い切ったんだから
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwを
具体的に書き表し切ってみせられるよね
さあ、やって！今！ここで！
ほんと、いつまでたっても
自分が微積分も線形代数も基礎から誤解してる
トンデモだという自覚がないんだねぇ（呆）
908:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:18:00.12 YkS1knOQ.net
>>782
＞分からない人には分からない
＞分かる人には分かる
◆yH25M02vWFhPには分からない
数学者卒業者には皆分かる
◆yH25M02vWFhPが >>778
＞V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
と言い切った瞬間
「数学のスの字も分からん正真正銘のidiot」
であることが、数学科出身者にとって明らかとなった
909:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:25:50.02 YkS1knOQ.net
>>780 >>784
＞…氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
あまりに馬鹿な誤解なので、著者が気の毒すぎて、名前が書けない
だいたい、「商」ってなんだ？ 意味が分らん
(v,w)∈V×Wなので、Vがn次元で、Wがｍ次元なら、V×Wはn+m次元
C^nは、CをR^2と見たとき、R^(2*n)であって、R^(2^n)ではないだろｗ
ほんと、どこまで底抜けのidiotなんだろうな こいつは
910:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:34:32.03 YkS1knOQ.net
>>785
＞直積集合
＞集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）
＞または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、
＞または単に積（せき、英: product）、積集合は、
＞集合の集まり（集合族）に対して
＞各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）
＞を元として持つ新たな集合である。
＞具体的に二つの集合 A, B に対し、
＞それらの直積とはそれらの任意の元
＞a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b)
＞全てからなる集合をいう。
だろ？
で、
「任意のｔ∈V⊗Wについて、
ｔ＝v⊗ｗ＝(v,w)∈V×Wとなる
v∈V,w∈Wが必ず存在する」
というなら、ｔから(v､w)への関数を
具体的に示してみせて
ここまで言われて自分の誤りに気づけないなら
◆yH25M02vWFhP 君は正真正銘のidiotだよ
911:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:52:48.79 YkS1knOQ.net
線型空間V,Wについて、直積集合V×Wに、
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
a(v,w)=(av,aw)
のように成分ごと演算を定義して
線型空間の構造を入れたものを
VとWの「直和」といいV⊕Wで表す
加群の直和
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これは、双線型写像の考え方とは明らかに異なるんだよね
φ(v1+v2､w)=φ(v1､w)+φ(v2,w)
φ(v､w1+w2)=φ(v,w1)+φ(v,w2)
φ(av,w)=φ(v,aw)=aφ(v,w)
ほんと、線形代数が根本から全然分かってないんだねぇ、◆yH25M02vWFhPは
912:１３２人目の素数さん
20/10/01 20:21:46.55 YkS1knOQ.net
>>788
＞みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね
「V×Wの次元も、dimV×dimWだよ」って、
数学科出身者全員、”ドン引き”どころか”超弩級失笑”
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
913:１３２人目の素数さん
20/10/01 20:29:21.00 YkS1knOQ.net
今日のまとめ
１．V×Wに線型空間の構造を入れたものは、直和V⊕W
２．V×WからVとWのテンソル積V⊗Wへの写像は双線型写像であって、
線型写像ではない つまりV×WはV⊗Wの線型部分空間ではない
914:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 21:09:04.57 puwLBl/N.net
>>793
>>あんた、勘違いしているよ
>>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
>V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
あーらら、頑張るねｗ
だが、あんたの負けだな
下記の田丸先生読んでみな（＾＾
「定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. 」
「命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.」
だよ
つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ（＾＾；
（参考 >>716より）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大（今は大阪市大）
(抜粋)
Ｐ2
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
1.1.2 基底を用いた構成
ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する.
命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.
この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する
ことが従う.
系 1.8 dim(V ◯x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ
V , W の基底とすると, {vi ◯x wj} は V ◯x W の基底である.
これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件.
(引用終り)
以上
915:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 21:21:58.86 puwLBl/N.net
>>796
>＞…氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
>だいたい、「商」ってなんだ？ 意味が分らん
何が分からないのかな？
下記のwikipediaの通りだよ
テンソル積、商としての定義より
体 K 上のベクトル空間 V, W
デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)
「・・同値関係 ～ による商として定義することができる」とあるよ（下記）
デカルト積 V × Wにおいて、Vがm次元、Wがn次元として、m+n次元にしかならないとしたら
デカルト積 V × Wの商から、テンソル積 U = V ◯x W での、積のmn次元が出るわけないでしょ
デカルト積 V × Wが、積のmn次元だから、テンソル積 U = V ◯x W での、積のmn次元が出るんだよｗ（＾＾；
（参考 >>778より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
(抜粋)
定義
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_2,w)～ (v_1+v_2,w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。
これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
(引用終り)
以上
916:１３２人目の素数さん
20/10/01 22:00:50.31 YkS1knOQ.net
>>801
>あーらら、頑張るね
あーらら、頑張るね idiot
でも頑張れば頑張るほど間違い続けて馬鹿にされるよ idiot
>U0 :=R^mn とおき, ι :V × W → U0 を双線型写像とする
ιは双線型写像であって線型写像ではないのは分かってるかな？
つまりι（V × W ）は線形空間ではない
>もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば,
>(U0, ι) は V と W のテンソル積である
もし{ι(vi, wj )} が U0 の基底であっても
{ι(vi, wj )} が ι（V × W ）の全ての元を生成できるわけではない
このことが分からないキミは・・・idiot ！
>つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ
超特大トンデモ発言 ｷﾀ―(ﾟ∀ﾟ)―!!
V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ
大学に合格できなかった高卒idiot君
917:１３２人目の素数さん
20/10/01 22:12:33.55 YkS1knOQ.net
>>802
＞下記のwikipediaの通りだよ
同値関係も同値類もまったく理解できない
idiotのキミには到底理解できないから諦めな
918:１３２人目の素数さん
20/10/01 22:19:45.24 YkS1knOQ.net
そもそも、idiotの君には「自由線型空間」の
「自由」の意味が全く理解できないだろう
自由加群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。」
つまり
「デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)」
（正しくはV×W上の自由K-線型空間F(V×W)）
とは、V×Wの任意の元を基底に持つK-線型空間
919:１３２人目の素数さん
20/10/01 22:26:02.10 YkS1knOQ.net
F(V × W)においては
(v_1,w) (v_2,w) (v_1+v_2,w)
はそれぞれ独立である
つまり
920:F(V × W)の基底は無限にある
921:現代数学の系譜 雑談
20/10/02 00:02:46.13 4l+W3Pp2.net
>>805-806
(引用開始)
「自由」の意味が全く理解できないだろう
自由加群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。」
F(V × W)においては
(v_1,w) (v_2,w) (v_1+v_2,w)
はそれぞれ独立である
つまりF(V × W)の基底は無限にある
(引用終り)
いやいや、おサルの妄想は、面白ね～
統合失調症の妄想って、こんなに面白いことになるのかね？
「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？ｗ（＾＾；
V × W って、あなた、「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ」(>>803)と言った尻から、突然「基底は無限」かよ、おいｗ（＾＾
自由加群って、定義としては、下記自由加群wikipedia”R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。”
ってこと。この話は、過去スレでも議論した
「自由」の意味は、自由加群wikipedia”一般化”のところに図があるから、その周辺を読んでみなよ
それで分かるだろう
で、R-加群は、必ずしも基底を持たないって話だったでしょ
基底を持つ場合を、特に定義したわけですよ、大事だからね
それから、下記 テンソル積 wikipedia「商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) 」
は、下記の 自由加群wikipedia「構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる」で
集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
単純」に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
つづく
922:現代数学の系譜 雑談
20/10/02 00:03:14.52 4l+W3Pp2.net
>>807
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自由加群
(抜粋)
定義
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
1.E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
2.E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e_1,e_2,・・・ ,e_n に対して r_1e_1+r_2e_2+・・・ +r_ne_n=0_M であれば、 r_1=r_2=・・・ =r_n=0_R となる。
（ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。）
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。
基底の濃度を自由加群 M のランク（階数）と言い、濃度が有限ならば、M をランク n の自由加群、あるいは単に有限ランクの自由加群と言う。
構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる。それは単純に R の|E| 個のコピーの直和であり、しばしば R(E) と表記される。この直和を C(E) と表記し、具体的に構成しよう。
一般化
より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。例えば、任意の完全局所デデキント環上のすべてのねじれのない加群は平坦加群、射影加群、自由加群でもある。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
（参考 >>778より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
(抜粋)
定義
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)
(引用終り)
以上
923:現代数学の系譜 雑談
20/10/02 00:05:36.12 4l+W3Pp2.net
>>807 タイポ訂正
単純」に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
↓
単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義するってことじゃね？ それ以上でも以下でもない（＾＾
”」”を抜く
分かると思うが（＾＾；
924:１３２人目の素数さん
20/10/02 02:46:17.34 joDAzeh/.net
>>807
>「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？ｗ（＾＾；
>V × W って、あなた、「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ」(>>803)と言った尻から、突然「基底は無限」かよ、おいｗ（＾＾
一行目はF(V × W)、2行目はV × Wなんだけど、なに発狂してるんですか？
925:１３２人目の素数さん
20/10/02 02:50:54.29 7SeDt20X.net
ガロアを無視しちゃなんねぇ。
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40p．2200円
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実在の虫の一生 淡々と
日経夕刊 10/1 (竹内 薫が選ぶ3冊)
926:現代数学の系譜 雑談
20/10/02 06:40:50.69 4l+W3Pp2.net
>>807 訂正
集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
↓
集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、
だな
E＝ V × W（デカルト積）ではないですね
補足
１．V × W（デカルト積）で、>>801の田丸先生より
{v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、下記直積 (ベクトル)wikipediaの 二つのベクトル v∈V、w∈ のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される
（下記「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。」ってことね。（ｍｎ行列全体ではなく、直積 (ベクトル)の形に制限される。詳しくは、直積 (ベクトル)wikipediaをご参照））
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。
(引用終り)
以上
927:現代数学の系譜 雑談
20/10/02 07:01:21.72 4l+W3Pp2.net
>>812 補足
ここらは、
手元に、雪江明彦 代数学2があるけど、Ｐ127 ”2.10 テンソル積”を併読すると、よく分かると思う
雪江明彦では、テンソル積の普遍性を使って、テンソル積を定義している
よく言われるが、数学では”ある数学の対象Ａが、ある性質を持つ”ということが分かると
逆に、”ある性質を持つ 数学的対象Ａ’ ”という形で、対象Ａを抽象的に定義することがよくあるという
”テンソル積の普遍性を使って、テンソル積を定義している”というのも
その典型例かもね（＾＾
928:現代数学の系譜 雑談
20/10/02 11:02:11.23 lW4e9AjH.net
やれやれ
「V × Wは、R^(m+n) つまり、mとnの和の次元なのだよ 」（>>803）
「自由加群 デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) とは、V×Wの任意の元を基底に持つK-線型空間 つまりF(V × W)の基底は無限にある」（>>805-806）
この二つの発言もひどいな(>>812-813)
下記もひどいけどな～（＾＾；
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
おいおい
”・内積や行列式がテンソルであることが理解できない
・機械工学やらオペレーションズリサーチやらのテンソルが
数学におけるテンソルの定義を満たしてることも理解できない
こういう人を、我々、数学科で学んだ”神”はこう呼ぶ
idiot”（>>640）って、なに言ってんだろうね？
てめえ、ベクトル空間のデカルト積 V × W の次元さえ理解できていないのに
「数学科で学んだ”神”」を自称するかね～？ｗ（＾＾
”オペレーションズリサーチ”の理解もあやしいな
普通は、”オペレーションズリサーチ”には、テンソルは出てこないよ（テンソルを使ってはいけないことはないけども）
いまどきのAIとかビッグデータと、昔からの”オペレーションズリサーチ”とを混同しているようだな（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オペレーションズ・リサーチ
(引用終り)
以上
929:１３２人目の素数さん
20/10/02 19:17:30.66 GDNIEcV7.net
>>807
>「つまりF(V × W)の基底は無限にある」って、あらま、突然「基底は無限」になる？
（中略）
>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
>単純に記号F(V × W)を使って”K-上の自由線型空間 F(V × W)”を定義する
>ってことじゃね？
いちいち？で疑問形で終わるって、キミ自分に全然自信ないの？
さすが大学に受からなかった高卒だな
大卒で数学理解してれば、？じゃなく！で言い切れる
言い切れないキミは、数学界の落伍者！
>>808
>R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
>1.E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
>2.E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e_1,e_2,・・・ ,e_n に対して
>r_1e_1+r_2e_2+・・・ +r_ne_n=0_M であれば、 r_1=r_2=・・・ =r_n=0_R となる。
>（ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。）
で、E=V×Wとしたとき、V×Wって有限集合かい？違うだろ？
じゃ、基底は無限にある！
無限にあることも分からず、無限にある？と疑うキミは完全なidiot！！！
930:１３２人目の素数さん
20/10/02 19:43:47.67 GDNIEcV7.net
>>812
>集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
> ↓
>集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、
>だな
>E＝ V × W（デカルト積）ではないですね
はい、キミは日本語も読めないidiot 確定！！！
E＝ V × W（デカルト積）
「集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、」
のみが正しい文章
そもそも V×W というだけでは線型空間にならない
V×Wにたいして
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
とかいう演算を入れるなら
線型空間の直和V⊕Wとなる、
その次元は dim V + dim W
931:１３２人目の素数さん
20/10/02 19:44:14.30 GDNIEcV7.net
>>812
>１．V × W（デカルト積）で、
> {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
結構
>２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
然り
>３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
然り
>４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
否！キミはそこで間違った！気違った！発狂した！トンデモになった！
まず 基底のペア(vi, wj)を「新たな基底」として「（VでもWでもない）新たなベクトル空間」を考えるのはいい
し・か・し、その「新たなベクトル空間」は V × W（デカルト積）ではない！V⊗W （テンソル積）である
なぜ、そう言い切れるか？それは例えば
(v1,w1)+(v2､w2)
932:は、双線型性を保持する+の定義では (v,w)として表せず、したがってV × Wの要素ではないからだ ウソだというなら、(v1,w1)+(v2､w2)=(v､w)となるv,wを、 v1,v2,w1,w2を使ってあらわしてくれ キミがどんな式を書いてもその誤りを即座に指摘して キミを焼き🐓にしてみせようｗ >５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、 >二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される 逆だ！キミは日本語も正しく読めないidiotだな 二つのベクトル v∈V、w∈W のテンソル積 v⊗w からなる集合こそ V × W（デカルト積）からV⊗Wへの双線型写像の像 そしてそれは、集合Vと集合Wのテンソル積 V⊗W の真部分集合 つまりt∈V⊗Wのほとんど全てはv⊗wとは表せない （v1⊗w1+v2⊗w2 のような形には表せるが、v⊗wにはできない）
933:１３２人目の素数さん
20/10/02 19:57:21.04 GDNIEcV7.net
>>813
キミは、普遍性が全然わかってない
普遍性とは
V×W→U が双線型写像なら
V×W→V⊗W によって、一意的に
V⊗W→U という線型写像が構成できる
ということ
その際用いられる、双線型写像
V×W→V⊗W は
１．全射ではない！
２．単射でもない！
１は
「ベクトル同士のテンソル積で実現できる行列の行列式は０だが
行列の中には行列式が０でない者が存在する」
ことで示せる
２は
「ベクトルv⊗wは、スカラーが体を成す場合
0でない任意のスカラーaについて
av⊗(1/a)w 及び (1/a)v⊗aw と等しい」
ことで示せる